第四章 三铰拱
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建筑力学 第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 一、实例——拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
赵州桥，建于隋大业(公元605-618)年间
第四章 三铰拱
世界上最古老的铸铁拱桥（1781年，英国科尔布鲁克 代尔桥)
第四章 三铰拱
万县长江大桥：主跨420米，桥面宽24米，世界上跨度 最大的混凝土拱桥
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
解: (1) 反力计算
4 4 1 8 12 0 VA VA 16 7kN
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C D 4f y (x) 2 x (l x ) l 8m 4m 4m 4kN 4kN 4m
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 拱趾铰 拱轴线
拱（矢）高
跨度
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A M A 0, VBl M ABP 0 H A
M ABP VB l l 同跨度同荷载简支梁(代 梁）的支座反力：
0 0 0 VA ,VB , MC , M 0 ,V 0 分别表示相应简支代梁的支反力和 对应截面的内力。在计算时，应代 入相应的正、负号。
1 cos , 2 1 ( y ')
sin y 'cos
(4 7)
sin 其中， cos 为正值， 的正负取决于 y ' 的符号。
第四章三铰拱
y
P1 K
P2
φK
MK [FAV xK P1( xK a1 )] FH yK
M
0 K
FA0V xK
P1(xK
a1 )
FAH A FAV
yK f
x xK
P1
MK
K
FNK
B FBV
FBH MK M0K FH yK （3-3）
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FHsinφK
1 l
(P1a1
P2a2 )
FAH A
xK
yK f
B
请问:有水平x荷载,
或铰FAV Cl1不在顶l2部,F或BV
是斜拱三铰,右拱计l边算的简图结论 还是正确的吗?
FBH
FAV FA0y
FBV
FB0y
（3-1）
FX 0: FAH FBH FH
MC FAVl1 P1(l1 a1)水 F平H推f 力 0FH
x
44 122
312
3
3m
FBV
FBV
26389 12
9kN
FH
M
C
f
11 6 2 6 3 4
7.5kN
M2
M
2
FH
y2
113
231.5 7.53
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
FS 2
FS
2
cos2
FH
sin 2
FSK
(FAV P1 )cosφK FHsinφK
三铰拱
M
O
0 FN ( FN d FN ) 0
可得 d FN 0 合理拱轴线方程为
FN q
FN =常数
d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为
2 FN sin sin d 2
圆弧线
因 d 极小
d 2
返 章
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0
1 2
qx ( l x )
0
三铰拱的推力为
FH
0
MC f
4f l
2
ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
FH
x (l x )
北京建筑工程学院
三铰拱合理拱轴线形状的确定
三铰拱
14kN m
A
50kN
B
C
75.5kN 58.5kN
175.5 201
M图(kNm)
与三铰拱相应弯矩相比，要大 很多。
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力
分解如图（b）。
由平衡条件可得 （a
F AV F
0 AV
, F BV F
0
FS F AV F1
0 0
轴力以压力为正
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。 由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。
结构力学第四章三铰拱
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2 13
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
d 2 y M 0dx)M 0 1 (2 y ( x2) (q0 2 g y) q(x) HH dx dx
8
Q YA P ,
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
解: (1)求反力
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
4m B
4 4 812 V A (2)作相应简支梁的N V A0 7k 16 A 6kN M°图和12 8 4 4 Q°图 0 8m VB VB 5k N 16 7kN 1kN/m (3)截面几何参数 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M C 58 4 4 H 6k N 4f x(16 x) 4 y ( x) f 2 x(l x) l 16 7 ＋ dy 4 f 8 x tg 2 (l 2 x) dx l 8 Q°图（kN）1
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
14
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 n q
t
d / 2
N+dN
r ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
d
N
由 t 0， N cos
d d N dN cos 0, 得 dN 0 2 2 由于d很小， 即拱截面上的轴力N为常数。 d d d d 由 n 0， N sin N dN sin qds 0, 取 sin , 2 2 2 2 得 Nd qds 0 并略去高阶微量，
第4章三铰拱
M = M − FH y = 0 0 M y= FH 在竖向荷载作用下， 在竖向荷载作用下，三
0
铰拱的合理拱轴线的纵 只限于三铰平拱受 坐标与相应简支梁弯矩 竖向荷载作用 图的竖标成正比。 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 FH=ql2/8f /8f
K
y P 1
QK M K
C
A
C
B
FQK=F cosϕ−FHsinϕ QK
0
三铰拱在竖向荷载作用 F =−F0 sin ϕ−F cosϕ a1 b1 NK H QK 下轴向受压。 下轴向受压。 FVA0 a2 b2 FVB0
q=2kN .m y
2 1 0 A 3 4 5 6
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方程
4f ⋅ x(l − x) 2 l 制内力图。 y=
ϕ2 y2 x
7 8 B
f=4m FH = 7.5kN FVB= 9kN
计算反力并绘
7.5kN x2=3m FVA =11kN 3m 6m 6m
（1）计算支座反力
（2）内力计算
y2 =
以截面2为例
4f 4×4 x( l − x ) = × 3(12 − 3) = 3m 2 2 M 2 = M 2 − FHy 2 = (11× 3 − 2 × 3 × 1.5) − 7.5 × 3 l 12
拱 (arch)
一、简介
1.拱的定义 拱的定义
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
--杆轴线为曲 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 作用下会产生水 平推力的结构 的结构。 平推力的结构。
04.三铰拱、组合结构
M ( x) M 0 ( x) FHy( x) 0
于是合理拱轴线的方程为：
M 0 ( x) y ( x) FH
例2： 试求图示对称三铰拱在均匀荷载q作 用下的合理轴线。 解：作出相应简支梁如图所示，其弯矩方程为
1 1 2 1 M qlx qx qx (l x) 2 2 2
0 VA
100 9 20 6 3 FHA 12 105kN
0 FVB FVB
C
4m
A
B FHB
x 6m 6m
100 3 20 6 9 12 115kN
FVA
FVB
0 MC 105 6 100 3 FH FHA FHB 82.5kN f 4
2、三铰拱的类型
平拱 斜拱
虚铰拱
二、三铰平拱的计算
1、支座反力的计算
y a2 a1
i
HA
P2 C
f
an
Pn
M B 0
FVA F (l a )F
i
P1
A
B FHB
x l/2 l/2
l
M A 0
FVB l
Fa
FVA P2 P1 FHA C
f
FVB
i i
M C 0
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m， 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后，内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ，2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大，但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
第4章_三角拱
因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有
M M0 Hy 0
M 0 ( x) 即 y H
（4-4）
这就是合理拱轴线应满足的方程。 下面举例说明如何确定合理拱轴线。
例2 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。 解 建立如图所示坐标系 相应简支梁任一截面的弯 矩方程为
y q C f l
y
FN+dFN FQ+dFQ
d
FQ cos
M FN
FQ
d FN FN dFN sin 0 2
∵d很小 d d ∴ sin , cos d 1 2 2 2 因此（a）式整理可得
dFQ ds
FN
q
(b)
由
Y 0
得
d d d FN cos FN dFN cos FQ FQ dFQ sin 0 (c) 2 2 2 上式整理可得 FQ dFN (d) ds 由 Mo F 0 得
∴
FNK F sin K H cos K 0 FQK FQK cos K H sin K
0 QK
y
Fp1
MK
K
FNK
H
K FQK yK x
（4-3）
VA
xK
Fp1
F0QK
VA0
(3)三铰拱的内力图
图(c)
有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。与梁刚
解
由于荷载 q 也与拱轴的形状有关， 故此时无法直接应用（4-4）式。
q C f l
qd
x
B
对（4-4）式两边微分得
∵
A
y
∴
1 d 2 M 0 ( x) y H dx 2
结构力学 三铰拱
9 / 13
À
第四章 静定拱
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线
q y A x q f C B
FH=ql2/8f M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=M0/FH=4fx(l-x)/l2
l
x
抛物线À
10 / 13
第四章 静定拱
荷载布置改变，合理拱轴亦 改变 荷载确定、拱脚位置确定， 则顶铰位置决定水平反力， 因此，有无限多个相似图形 可作合理拱轴 三铰位置确定，合理拱轴唯 一确定 设计时只能根据主要荷载选 择近似合理拱轴
第四章 静定拱 §4-1 概述
三铰拱(three-hinges arch)的构成
拱顶 拱轴线 拱高 拱址 起拱线 拱跨 拱址
1 / 13
ÀБайду номын сангаас
第四章 静定拱
1)拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
2 / 13
À
第四章 静定拱
2)拱的受力特点
FP
曲梁
FP • 在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
6 / 13
À
第四章 静定拱
拱的内力图
− y ⎤⎧M ⎫ ⎧M ⎫ ⎡1 0 ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨FS ⎬ = ⎢0 cosϕ − sinϕ⎥⎨ FS ⎬ ⎪F ⎪ ⎢0 sinϕ cosϕ ⎥⎪ F ⎪ ⎦⎩ H ⎭ ⎩ N⎭ ⎣
0
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形 的，内力图要通过逐点描图的方法绘制。
拱
• 由于水平推力的存 在，使得拱内弯矩大 大减小。
3 / 13
À
第四章 静定拱 §4-2 三铰拱的计算
第四章三铰拱-2012
x
d y 1 d M 2 dx H dx 2
2
2
2
对简支梁来说， d M q x 2
e
x
shx chx
ex chx shx
dx
而 q x qc y , 即
y
H qc y 2 dx H
y 0
MC 0
VA 100 20 6 115 105kN
1 H (105 6 100 3) 82.5kN 4
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
4f y 2 (l x) x L
（2）求系数 拱轴方程为抛物线：
yK
4 4 (12 3) 3 3m 12 12
N D R N E R dR 0
ND NE N 当取微段时，认为R没有变化
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
n 0
q dS 2 N sin
d 0 2 N qR
q Rd N d 0
R
N q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。
§4-1 概述
在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 一、拱式结构的特点及应用
1、拱的定义 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力 的结构。 曲梁与拱的区别
在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
曲梁 二个刚片，三个联系
拱 三个刚片，三个铰
水平推力存在是拱式结构区别于梁式结构的 重要标志，拱式结构通常又称为推力结构。
N K (105 100 20 3) (0.555) 82.5 0.832 99.17kN
第四章三铰拱
All Rights Reserved
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
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(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ 图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)， 拱仅受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
FS
FVB
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(3)计算拱身内力 在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取 代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为
M M FS y
0
FQ F cos FS sin
0 Q
FCx
I C
FCy
FP3
F B
FN F sin FS cos
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
All Rights Reserved
a1 FP1 FHA y A FVA x
K C
f
FP2 B FVB FHB
l/2
l FP1
l/2
FP2
0 FH A 0
A
K C
0 MC
B
0 FV B
M FH f 0
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(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ 图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)， 拱仅受轴向压力FN作用。
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FS
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(3)计算拱身内力 在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取 代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为
M M FS y
0
FQ F cos FS sin
0 Q
FCx
I C
FCy
FP3
F B
FN F sin FS cos
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
All Rights Reserved
a1 FP1 FHA y A FVA x
K C
f
FP2 B FVB FHB
l/2
l FP1
l/2
FP2
0 FH A 0
A
K C
0 MC
B
0 FV B
M FH f 0
4结构力学(李廉锟第五版)
q( x) p( x) ds dx
dx p(x) ds x
y
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18:50
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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18:50
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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18:50
§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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18:50
§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FV A 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/ 2 FVB FHB C F
y
F HA
F1 A
dx p(x) ds x
y
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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18:50
§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FV A 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/ 2 FVB FHB C F
y
F HA
F1 A
拱合理拱轴线
FVB
0
0 VA
代梁
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08:29
§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0，得
FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F F K x l/ 2 FVB C f B FHB F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
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08:29
§4-1 概 述
结构力学
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛
地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在
它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。
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08:29
§4-2 三铰拱的数值解 一、三铰拱的反力和内力计算。
0
VA
a1 a2 a3
FVB
0
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08:29
§4-2 三铰拱的数值解
y F F K A x C f
结构力学
F
由 0
F HA FVA
F1
x l/ 2
F2 K
B l/ 2 FVB
FHB
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
MK
ξ y
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正，
剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，
弯矩以拱内侧纤维受拉者为正。
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08:29
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学之三铰拱概要课件
请注意，以上扩展内容仅为概要性的课件提纲，如需详细讲解，还需进一步细化和 补充具体内容。
03
三铰拱的动力学分析
动力学基础
动力学定义
动力学是研究物体运动与受力之间关系的学科，是结构力学的重 要基础。
牛顿运动定律
牛顿运动定律是动力学的基础，包括惯性定律、动量定律和作用反 作用定律，用于描述物体运动的基本规律。
体平衡，确保结构安全稳定。
02
三铰拱的静力学分析
静力学基础
静力学基本概念
静力学是研究物体在静止状态下的平 衡条件的力学分支，涉及力的平衡、 力矩的平衡等概念。
力的分解与合成
介绍如何将力分解为分力，以及如何 将分力合成为合力，以实现力的平衡 。
三铰拱的静力学模型
三铰拱的定义与构成
解释三铰拱的结构组成，包括三个铰链和构成的拱形结构。
能的同时，可以通过优化形状、比例和细节处理等方式提高三铰拱的视
觉效果。
三铰拱的施工方法
常规施工方法
常规的三铰拱施工采用搭设支架、安装模板、绑扎钢筋、浇筑混凝土等步骤进 行。在施工过程中，需要严格控制施工质量，确保各个施工环节的精度和稳定 性。
新型施工方法
随着技术的发展，一些新型施工方法如预制装配式施工、3D打印技术等也逐渐 应用于三铰拱的施工中。这些新型施工方法具有效率高、质量好等优点，但在 应用过程中也需要考虑到成本、技术成熟度等因素。
结构力学之三铰拱概要课件
目录
• 三铰拱的概述和特性 • 三铰拱的静力学分析 • 三铰拱的动力学分析 • 三铰拱的设计和施工 • 三铰拱在结构工程中的应用 • 三铰拱的发展和前景
01
三铰拱的概和特性
三铰拱的定义
定义
三铰拱是一种由三个铰链连接的 弧形结构，主要用于承受荷载并 将其传递给支座。
03
三铰拱的动力学分析
动力学基础
动力学定义
动力学是研究物体运动与受力之间关系的学科，是结构力学的重 要基础。
牛顿运动定律
牛顿运动定律是动力学的基础，包括惯性定律、动量定律和作用反 作用定律，用于描述物体运动的基本规律。
体平衡，确保结构安全稳定。
02
三铰拱的静力学分析
静力学基础
静力学基本概念
静力学是研究物体在静止状态下的平 衡条件的力学分支，涉及力的平衡、 力矩的平衡等概念。
力的分解与合成
介绍如何将力分解为分力，以及如何 将分力合成为合力，以实现力的平衡 。
三铰拱的静力学模型
三铰拱的定义与构成
解释三铰拱的结构组成，包括三个铰链和构成的拱形结构。
能的同时，可以通过优化形状、比例和细节处理等方式提高三铰拱的视
觉效果。
三铰拱的施工方法
常规施工方法
常规的三铰拱施工采用搭设支架、安装模板、绑扎钢筋、浇筑混凝土等步骤进 行。在施工过程中，需要严格控制施工质量，确保各个施工环节的精度和稳定 性。
新型施工方法
随着技术的发展，一些新型施工方法如预制装配式施工、3D打印技术等也逐渐 应用于三铰拱的施工中。这些新型施工方法具有效率高、质量好等优点，但在 应用过程中也需要考虑到成本、技术成熟度等因素。
结构力学之三铰拱概要课件
目录
• 三铰拱的概述和特性 • 三铰拱的静力学分析 • 三铰拱的动力学分析 • 三铰拱的设计和施工 • 三铰拱在结构工程中的应用 • 三铰拱的发展和前景
01
三铰拱的概和特性
三铰拱的定义
定义
三铰拱是一种由三个铰链连接的 弧形结构，主要用于承受荷载并 将其传递给支座。
三铰拱
2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4
4 三铰拱
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念
在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力
都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受
二、合理拱轴线的确定
竖向荷载作用
Mx M 0x Hyx M x 0 M 0x Hyx 0
yx
M 0x
H
f
M 0(x)
Qk0 sin k H A cosk
内力的计算公式：
M Qk
k
M Qk0
0 k
c
H A yk
osk H
A
s
in
k
Nk Qk0 sin k H A cosk
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。
M
0 C
H
M
0 C
f
∵ 在荷载、跨度、拱高给 定时，H是一个常数.
∴ 合理拱轴线与相应的简 支梁的弯矩图形状相似，对应 竖标成比例.
在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。
例4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试 求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
QD右 QD0右 cosD H sin D 12 0.832 10.5 0.555 －4.16kN
ND右 QD0右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
VA0 P1 cosk H A sin k
Qk0 cosk H A sin k
第四章 三铰拱习题解
第四章三铰拱习题解4-1设三铰拱的为拱轴线方程为24()fy x l x l=-，拱的尺寸及承受的荷载如图所示。
试求支反力及D、E截面的内力。
A H A题4-1(b)Y A=35kNo解：（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力000535120A B C Y Y M===?kN,kN,kN m故，00120535304C A AB BA B M Y Y Y Y H H f========kN,kN,kN00005420(,5480100(,5DA DC DA DC M M V V=?=?=?+=?==kN m)kN m)kN0000354140(,35,5EB EC EB EC M M V V==?=?=-=kN m)kN kN(2)计算D、E截面的内力因为拱轴线方程为24()fy x l x l=-，故，24(2)tan f y l x l?'=-=，cos,sin cos y???'==①计算D截面的内力2444(164)3(16D y?=??-=m)2441(1624)tan162DD y??'=-?==1cos,sin cos2D D D y???'=====。
故，2030370(, 10030310( cos sin5sin cos5DA DA DDC DC DDA DC DA D D DA DC DA D D M M HyM M HyV V V HN N V H????=-=-?=-?=-=-?=?==-===--=-kN m)kN m)30==-8.94(kN)30==-29.07(kN)②计算E截面的内力24412(1612)3(16Dy?=??-=m)2441(16212)tan162E Ey??'=-?=-=1cos,sin cos 2E D Dy???'=====-=14030350(, cos sin35( cos sin5( sin cos(35)(sinEB EC EB E EB EB E EEC EC E EEB EB E EEC EC EM M M HyV V HV V HN V HN V H???????==-=-?=?=-=-?=-=?=--=--?=--kN m)-30-17.89(kN)30=17.89(kN)30=-42.49(kN)cos5(E?=-?30=-24.60(kN)4-2如图所示半圆弧三铰拱，左半跨承受水平竖向荷载。
三铰拱
(sin = 0.447, cos = 0.894)
0 FQK 左 = FQK 左 cos FH sin = 12.5 × 0.894 10 × 0.447
= 11.18 4.47 = 6.71kN FNK 左 = FQK 左 sin + FH cos = 12.5 × 0.447 + 10 × 0.894 + 0 + = +5.59 + 8.94 = 14.53kN (压) +
0 M c0 = [ F AV ×
Mc0
l l 1 a1 有水平荷载 b1 FH = [ F AV × F1 ( a1 )] 请问:有水平荷载 请问 有水平荷载, f 2 2 0 0 b或 a2 FAV 或铰 不在顶部 2 FBV 或铰C不在顶部 不在顶部,或 l l
不是平拱,右边的 不是平拱 右边的 0 FBV=FBV0 FAV=FAV 结论还是正确的 FAH=FBH = FH 吗?
A
K
C
三铰拱在竖向荷载作用 a1 下轴向受压. 下轴向受压. b1
FAV0 a2 b2 FBV0
B
F =F cosF sin S H
0 S
0 F =F Ssin +F cos N H
其中 左半拱 >0,右半拱 <0.
将本例题数据代入得:
l l M = F × FP1 × = 12.5 × 8 15 × 4 = 40kN .m 2 4 0 M C 40 FHA = = = 10kN (→) FHB = 10kN (←) f 4
2
F1 (
2
a1 )]
FH = MC0 / f
二,三铰拱的数解法 ----内力计算 内力计算 y F FS M K 1 K F2 F1 C FN 三铰拱的内力不但与荷 y f 载及三个铰的位置有关, B 载及三个铰的位置有关,而 FBH FAH x A F1 M 0 K FAV 且与拱轴线的形状有关. 且与拱轴线的形状有关. x FAH l/2 l/2 0 FS0 由于推力的存在, FBV FAV 由于推力的存在,拱的 FAV l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M K = M K FH y F2 F1 小.
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结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第 4章
3.4 静定拱的组成及受力特征
一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构。 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构 或推力结构。 二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。
第 4章
a1 y FAH A xK FAV P1 b1
2、弯矩计算—内侧纤维受拉为正φ
b2 P2
P1
a2 K φK yK
MK [ FAV xK P1 ( xK a1 )] FH yK
0 M0 F K AV xK P 1 (xK a1 )
f
x
B
FBH
MK M0 K FH yK
FNK FS0 φK FH cosφK （3-5） K sin
FAV0
FSK
0
q=2kN .m y
2 1 0 3 4 5
P=8kN
6 7 8 B
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
f=4m FH 7.5kN FBV 9kN
2 y2 x
7.5kN
A
4f y 2 x l x l 制内力图。
M
C
0:
FNAB
l FBV P3 lcF 2
f
0 MC f
l/2
（3）计算各截面内力 0 FBV 依截面法或拱的计算公式，可求得 任意截面的内力。
第 4章
三、三铰拱的合理拱轴线 1、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
F
X
0:
C
FAH FBH FH
M
B
FBV0
FAH
0=
0
P1 A
FAV0
K
C
P2
xK
相应简支梁
FAV l1 P FH f 0 FH 1(l1 a1 )水平推力 只与三个铰的 1 FH [ FAV l1 P1 (l1 位置有关，而 a 1 )] f 与拱轴的形状 0 MC FAV l1 P 1 (l1 a 1) 无关，与拱的 0 高跨比有关。 MC （3-2） FH f
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
0.375
7 B 8
6
P=8kN
0.000
FS 图 (kN)
M图 (kN.m)
FN 图 (kN)
第 4章
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （ a）
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
0
FAy
ql 2 2
研究AC
M
C
q
M（x）
ql 2 FH 8f
任一截面的弯矩 ：
y
ql ql 2 qx2 M x x y 0 2 8f 2
ql2/(8f)
A x
整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
ql/2
y
4f l x x 2 l
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达
式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。
第 4章
2、例题2
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
0 FAV FAV FH tan
（ b）
0 FBV FBV FH tan
第 4章
补充题1：试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。
（4）构造复杂，施工费用高。第 4章源自三、拱的种类：三铰拱
两铰拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
折线型拱
四、拱各部分的名称：
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
第 4章
五、拱与曲梁的区别
P C FAx A FAy B FBy FBx FAx=0 A FAy P
B FB
拱结构
曲梁结构
3.2 三铰拱的内力计算
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 FH 7.5kN f 4
M2 M2 FH y2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
0 MC ql 2 推力H为： FH f 8f
l/2
令：MK M0 K FH yK 0 可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
q
A x ql/2 l
ql/2
1 qx( l x ) M 4f 2 y (l x ) x ql 2 FH l2 8f
0
第 4章
解法2：
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
AV BV 1 2
1、支座反力计算 1 F (P b P2b2 ) M B 0 AV l 1 1 M 0 F 1 (P a P a ) A BV 1 1 2 2 l 0 F F A V Ay （3-1） 0 FBV FBy
PP
P2 E
1
C f 拉杆
lCF
P3
FCH
F 1 B FBV
1 C
FCV
P3
F
解： （1）计算支座反力
FH 0
B
0 FAV FA V
0 FBV FB V
FH
A FAV
D
FNAB
l/2
1
l/2
l/2
FBV
l
（2）计算拉杆轴力 作1-1截面，研究其右半部
P1 A D E
0 FAV
P2 C
P3 B F l/2 l
FN 2 FS 2 sin 2 FH cos 2 11 2 3 0.555
7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
第 4章
四、三铰拱计算公式的建立
a1 a2 y FAH A P1 xK b1 b2
φK
K yK
C
P2
f
B
FBH
x 请问:有水平荷载 , F l 或铰 Cl 不在顶部 ,F 或 l 是斜拱 ,右边的结论 三铰拱计算简图 还是正确的吗?
0
P1 A
FAV0
K
K
C
P2 B
0 BV
FSK FS0 φK FH sin φK （3-4） K cos
x 三铰拱的内力与荷 F 载及三个铰的位置有关， P 0 MK 与拱轴线形状有关；
1
4、轴力计算—使截面受压为正
FNK FAV sinφK P1sinφK FH cosφK ( FAV P1 )sin φK FH cosφK 0 FS0 K FAV P 1 FAy P 1
4 4 2 3 1 12 12
FS 2 FS 2 cos 2 FH sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025 kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
（3-3）
K
MK F NK FSK
FBV
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FH sinφK
F 左为正，右为负 Ax A FAy FAH
0=
( FAV P1 )cosφK FH sinφK
0 FS0 F K AV P 1 FAy P 1
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin
FN q
d qd 0 2 d d sin 2 2
计算反力并绘
x2=3m FAV 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第 4章
3.4 静定拱的组成及受力特征
一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构。 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构 或推力结构。 二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。
第 4章
a1 y FAH A xK FAV P1 b1
2、弯矩计算—内侧纤维受拉为正φ
b2 P2
P1
a2 K φK yK
MK [ FAV xK P1 ( xK a1 )] FH yK
0 M0 F K AV xK P 1 (xK a1 )
f
x
B
FBH
MK M0 K FH yK
FNK FS0 φK FH cosφK （3-5） K sin
FAV0
FSK
0
q=2kN .m y
2 1 0 3 4 5
P=8kN
6 7 8 B
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
f=4m FH 7.5kN FBV 9kN
2 y2 x
7.5kN
A
4f y 2 x l x l 制内力图。
M
C
0:
FNAB
l FBV P3 lcF 2
f
0 MC f
l/2
（3）计算各截面内力 0 FBV 依截面法或拱的计算公式，可求得 任意截面的内力。
第 4章
三、三铰拱的合理拱轴线 1、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
F
X
0:
C
FAH FBH FH
M
B
FBV0
FAH
0=
0
P1 A
FAV0
K
C
P2
xK
相应简支梁
FAV l1 P FH f 0 FH 1(l1 a1 )水平推力 只与三个铰的 1 FH [ FAV l1 P1 (l1 位置有关，而 a 1 )] f 与拱轴的形状 0 MC FAV l1 P 1 (l1 a 1) 无关，与拱的 0 高跨比有关。 MC （3-2） FH f
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
0.375
7 B 8
6
P=8kN
0.000
FS 图 (kN)
M图 (kN.m)
FN 图 (kN)
第 4章
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （ a）
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
0
FAy
ql 2 2
研究AC
M
C
q
M（x）
ql 2 FH 8f
任一截面的弯矩 ：
y
ql ql 2 qx2 M x x y 0 2 8f 2
ql2/(8f)
A x
整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
ql/2
y
4f l x x 2 l
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达
式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。
第 4章
2、例题2
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
0 FAV FAV FH tan
（ b）
0 FBV FBV FH tan
第 4章
补充题1：试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。
（4）构造复杂，施工费用高。第 4章源自三、拱的种类：三铰拱
两铰拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
折线型拱
四、拱各部分的名称：
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
第 4章
五、拱与曲梁的区别
P C FAx A FAy B FBy FBx FAx=0 A FAy P
B FB
拱结构
曲梁结构
3.2 三铰拱的内力计算
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 FH 7.5kN f 4
M2 M2 FH y2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
0 MC ql 2 推力H为： FH f 8f
l/2
令：MK M0 K FH yK 0 可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
q
A x ql/2 l
ql/2
1 qx( l x ) M 4f 2 y (l x ) x ql 2 FH l2 8f
0
第 4章
解法2：
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
AV BV 1 2
1、支座反力计算 1 F (P b P2b2 ) M B 0 AV l 1 1 M 0 F 1 (P a P a ) A BV 1 1 2 2 l 0 F F A V Ay （3-1） 0 FBV FBy
PP
P2 E
1
C f 拉杆
lCF
P3
FCH
F 1 B FBV
1 C
FCV
P3
F
解： （1）计算支座反力
FH 0
B
0 FAV FA V
0 FBV FB V
FH
A FAV
D
FNAB
l/2
1
l/2
l/2
FBV
l
（2）计算拉杆轴力 作1-1截面，研究其右半部
P1 A D E
0 FAV
P2 C
P3 B F l/2 l
FN 2 FS 2 sin 2 FH cos 2 11 2 3 0.555
7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
第 4章
四、三铰拱计算公式的建立
a1 a2 y FAH A P1 xK b1 b2
φK
K yK
C
P2
f
B
FBH
x 请问:有水平荷载 , F l 或铰 Cl 不在顶部 ,F 或 l 是斜拱 ,右边的结论 三铰拱计算简图 还是正确的吗?
0
P1 A
FAV0
K
K
C
P2 B
0 BV
FSK FS0 φK FH sin φK （3-4） K cos
x 三铰拱的内力与荷 F 载及三个铰的位置有关， P 0 MK 与拱轴线形状有关；
1
4、轴力计算—使截面受压为正
FNK FAV sinφK P1sinφK FH cosφK ( FAV P1 )sin φK FH cosφK 0 FS0 K FAV P 1 FAy P 1
4 4 2 3 1 12 12
FS 2 FS 2 cos 2 FH sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025 kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
（3-3）
K
MK F NK FSK
FBV
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FH sinφK
F 左为正，右为负 Ax A FAy FAH
0=
( FAV P1 )cosφK FH sinφK
0 FS0 F K AV P 1 FAy P 1
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin
FN q
d qd 0 2 d d sin 2 2
计算反力并绘
x2=3m FAV 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力