第四章 三铰拱
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结构力学第4章 三铰拱
sin D 0.555
cos D 0.832
(2wenku.baidu.com 内力计算
x D 9m yD 3m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 16
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
研究AC
M
C
0
q
M(x)
任一截面的弯矩 :
ql ql 2 qx 2 M x x y 0 2 8f 2
y
ql2/(8f)
A x
整理后,可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 :
ql/2
4f y 2 l x x l
例 4-3 设在三铰拱的上面填土,填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰
0 A k
B
0 VA V x P xk a1 H A yk 1
VB0
N k V A sin k P sin k H A cos k 1 V A0 P sin k H A cos k 1 Qk0 sin k H A cos k
x 0, dx
y
B
0:
qC γ
B0
γ ch x 1 H
sin D 0.555 cos D 0.832
结构力学 第四章 三铰拱
第四章 三铰拱 2、水平反力
P A
VA
q
C
∑ X = 0,
H A = HB = H
f
取AC段为为脱离体,由: H A AC段为为脱离体, 段为为脱离体
B
l1
l − l1
HB VB
∑M
C
= 0, Hf − VAl1 + M CAP = 0
0 MC 1 得: = (VA ⋅ l1 − M CAP ) = H f f
第四章41概述42三铰拱的支座反力和内力43压力线与合理拱轴第四章一实例拱桥赵州桥建于隋大业公元605618年间拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要承重构件的桥梁拱结构由拱圈拱肋及其支座组成
第四章 三铰拱
第四章
三铰拱
教学内容: 教学内容: 三铰拱的支座反力和内力,合理拱轴。 三铰拱的支座反力和内力,合理拱轴。 教学要求: 教学要求: 了解静定拱的合理拱轴线的概念; 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念; 理解静定拱的基本概念及基本特点; 2、理解静定拱的基本概念及基本特点; 掌握静定拱的反力及内力计算。 3、掌握静定拱的反力及内力计算。 重点:静定拱反力、内力的计算。 重点:静定拱反力、内力的计算。 难点:静定拱的内力计算。 难点:静定拱的内力计算。
P
q
P
HC VA0 VB0 在竖向荷载作用下,三铰拱的支座反力有如下特点: 在竖向荷载作用下,三铰拱的支座反力有如下特点: VC HA A 支座反力与拱轴线形状无关,而与三个铰的位置有关。 1)支座反力与拱轴线形状无关,而与三个铰的位置有关。 竖向支座反力与拱高无关。 2)竖向支座反力与拱高无关。 VA 3)当荷载和跨度固定时,拱的水平反力H与拱高 f 成反比,即拱高 当荷载和跨度固定时,拱的水平反力H 成反比, f 越大,水平反力H越小,反之,拱高 f 越小,水平反力H越大。 越大,水平反力H越小,反之, 越小,水平反力H越大。
三铰拱
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
第四章
三
铰
拱
北京建筑工程学院
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三铰拱
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三铰拱
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三铰拱
§4-1 概 述
0
A
B
曲梁
FP
拱--杆轴线为曲 线,在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
相应简支梁的弯矩方程无法写出,对上式两边求导得 当q向下为正时 将已知条件代入得
d M dx
2 2 0
y
1 d M FH dx
2
q
可得
qc FH
y
q FH
y
FH
y
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
北京建筑工程学院
结构力学教研室
FH
三铰拱
FH qc
方程的一般解为
50.25kN
北京建筑工程学院
y1 4 4 12
2
结构力学教研室
三铰拱
tan 1 tan
2
1.5 (12 1.5) 1.75 m 4 4 12
结构力学教研室
三铰拱
第四章
三
铰
拱
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§4-1 概 述
0
A
B
曲梁
FP
拱--杆轴线为曲 线,在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
相应简支梁的弯矩方程无法写出,对上式两边求导得 当q向下为正时 将已知条件代入得
d M dx
2 2 0
y
1 d M FH dx
2
q
可得
qc FH
y
q FH
y
FH
y
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50.25kN
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tan 1 tan
2
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第四章 三铰拱习题解
第四章三铰拱习题解
4-1设三铰拱的为拱轴线方程为2
4()f
y x l x l=-,拱的尺寸及承受的荷载如图所示。试求支反力及D、E截面的内力。
A H A题4-1
(b)
Y A=35kN
o
解:(1)画出三铰拱的等代梁,求三铰拱的约束反力000535120A B C Y Y M===?kN,kN,kN m
故,0
0120
535304
C A A
B B
A B M Y Y Y Y H H f========kN,kN,kN
00005420(,5480100(,5DA DC DA DC M M V V=?=?=?+=?==kN m)kN m)kN0000354140(,35,5EB EC EB EC M M V V==?=?=-=kN m)kN kN
(2)计算D、E截面的内力因为拱轴线方程为24()f
y x l x l
=-,故,24(2)tan f y l x l?'=
-=,cos,sin cos y???'==①计算D截面的内力
2
44
4(164)3(16D y?=
??-=m)2441
(1624)tan162D
D y??'=-?==1cos,sin cos2D D D y???'=
====。故,
2030370(, 10030310( cos sin5
sin cos5
DA DA D
DC DC D
DA DC DA D D DA DC DA D D M M Hy
M M Hy
V V V H
N N V H
??
??
=-=-?=-?
=-=-?=?
==-=
==--=-
kN m)
kN m)
30==-8.94(kN)
结构力学第四章三铰拱
1
5
5 20
M°图(kN.m)
24
12× (16 12) 8 12 3m tg 0.5 y 16 8 26.5 0 sin 0.447 cos 0.894 M 0 Hy 20 6×3 2kN .m M
左 D 0
x(16 x) 16 8 x tg 8 y ( x)
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下,其合理拱 轴线为一抛物线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2 13
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
d 2 y M 0dx)M 0 1 (2 y ( x2) (q0 2 g y) q(x) HH dx dx
三 铰 拱 反 力 和 内 力 计 算
拱 结 构 的 特 点
1
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
立柱 拱肋
纵梁
拱轴线
f
矢高
拱趾
起拱线
l
跨度
拱趾
2
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
40m
150m
l
跨度
3
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
水平推力对拱肋有力,对下部结构很不利。
为了消除拱对支座的水平推力,可采用带拉杆的拱。如图。
04.三铰拱、组合结构
三铰拱、组合结构
一、三铰拱概述 二、三铰平拱的计算 三、其他三铰拱的计算 四、合理拱轴线 五、组合结构的计算
一、三铰拱概述
1、三铰拱的特征
拱的两端与支座联结处称为拱趾,或称拱脚。两个拱趾间的水 平距离l称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为拱高,或 称拱矢。拱高与跨度之比f/l称为高跨比或矢跨比。 三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下,拱脚处产生水平推 力;因此,拱轴任一截面轴力FN比较大,弯矩较小。有时用拉杆 来承受水平推力,称为拉杆拱。
12.47kN
17.44kN +
17.44kN 12.47kN
7.5kNm 11.25kNm 11.25kNm 11.25kNm
7.5kNm
Q图
11.25kNm
149.48kN
149.48kN
M图
151.53kN +
151.97kN 151.97kN 151.53kN 149.06kN + + 149.06kN + -35kN 150kN 154kN 154kN -35kN
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m, 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后,内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ,2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大,但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
一、三铰拱概述 二、三铰平拱的计算 三、其他三铰拱的计算 四、合理拱轴线 五、组合结构的计算
一、三铰拱概述
1、三铰拱的特征
拱的两端与支座联结处称为拱趾,或称拱脚。两个拱趾间的水 平距离l称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为拱高,或 称拱矢。拱高与跨度之比f/l称为高跨比或矢跨比。 三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下,拱脚处产生水平推 力;因此,拱轴任一截面轴力FN比较大,弯矩较小。有时用拉杆 来承受水平推力,称为拉杆拱。
12.47kN
17.44kN +
17.44kN 12.47kN
7.5kNm 11.25kNm 11.25kNm 11.25kNm
7.5kNm
Q图
11.25kNm
149.48kN
149.48kN
M图
151.53kN +
151.97kN 151.97kN 151.53kN 149.06kN + + 149.06kN + -35kN 150kN 154kN 154kN -35kN
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m, 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后,内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ,2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大,但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
4 第四章 三铰拱
世界上最古老的铸铁拱桥(英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥:世界上跨度最大的混凝土拱桥
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”
“渭水第一桥” 主跨:40 米 建成时间:1368
§4-2 三铰拱的计算(数解法)
a1
a2
a3 b1
b3
b2
FP2
在研究它的反力、 内力计算时,为了便于 理解,始终与相应的简 支梁作对比。
F0SK
例1:图示三铰拱的拱轴线方程为:y 4 f ( L x) x 2 L 请求出其D点处的内力。 解:a、求反力
100kN
y D 20kN/m
M
B
0
C
4m B x
FYA (20 6 3 100 9) /12 105kN
Y 0
A
3m 3m 6m
FYB 100 20 6 105 115kN
100 kN
MD FSD
0右
0
斜拱如 何求解?
FBH
FAH
FBy
FAy
例2:请求出图示三铰拱式屋架D点的内力。 解:a、求反力
FYA FYB 29 36 24 89kN
FXA 0
24kN
0.75
2.3
2.6 0.2 11.7m
0.2
D A
结构力学 三铰拱
À
第四章 静定拱
2、内力的计算
F1 FH FAV F1
FAV0
FS
KM
ϕ FN
M = M − FH y
0
FS = FS cosϕ − FHsinϕ
0
FN = FS sinϕ + FHcosϕ
0
FS0 M0
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位 置有关,而且与拱轴线的形状有关。 由于推力的存在,拱的弯矩比相应简支 梁的弯矩要小。 三铰拱在竖向荷载作用下内力轴压为主
7 / 13
À
第四章 静定拱
三铰拱的弯矩是由两部分组成,故弯矩远小于 相应简支梁的弯矩,内应力分布均匀,且以压应力 为主 拱结构的优点:选用耐压性能好而抗拉性能差的砖 石、混凝土材料,节省用料,重量轻,可用于大跨、 大空间结构 拱结构的缺点:由于推力的存在,所以对基础的要 求较严;拱轴的曲线形状不便于施工(有时为减轻 拱对基础的压力,常使用拉杆、桁杆布置)
第四章 静定拱 §4-1 概述
三铰拱(three-hinges arch)的构成
拱顶 拱轴线 拱高 拱址 起拱线 拱跨 拱址
1 / 13
À
第四章 静定拱
1)拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
2 / 13
À
第四章 静定拱
2)拱的受力特点
结构力学4三铰拱
第四章
静定拱
拱的实例
三铰拱的特点
P1
P2
f H
三铰拱的类型、基本参数
H
VA
l
VB
曲线形状:抛物线、园、悬链线……..
f 1 10 l
§ 4-1 概 述
1、三铰拱的定义:在竖向荷载作用下,有水平推力产
生的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 在固定荷载作用下,使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知,按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发,寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
静定拱
拱的实例
三铰拱的特点
P1
P2
f H
三铰拱的类型、基本参数
H
VA
l
VB
曲线形状:抛物线、园、悬链线……..
f 1 10 l
§ 4-1 概 述
1、三铰拱的定义:在竖向荷载作用下,有水平推力产
生的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 在固定荷载作用下,使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知,按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发,寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
第四章三铰拱-2012
第五章
拱的实例
三铰拱的特点
P1
H
l
三铰拱的类型、基本参数
P2
f H
VA
VB
f 1 10 l
曲线形状:抛物线、圆、悬链线……..
拱常用的形式
三铰拱
两铰拱
无铰拱
P
静定拱-三铰拱(三铰 斜拱)、拉杆拱 凡在竖向荷载作 用下会产生水平反 力的结构都可称为 拱式结构或 推力结 构。
超静定拱
HA
HB
2、内力计算
水平简支梁: M V x 1 qx 2 , Q V qx 0 A 0 A 2 1 2 M VA x qx M 0 斜简支梁: 2
Q (V A qx) cos Q0 cos
N (V A qx) sin Q0 sin
P2 P1 NK 三铰拱的内力不但与荷 y f XA 载及三个铰的位置有关,而 0 x A B XB P1 MK YA 且与拱轴线的形状有关。 x XA l/2 l/2 0 0 Q YB YA 由于推力的存在,拱的 YA K l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M M Hy K K P 2 小。 P1 K
P P
拉杆 提高净空
拉杆来代替支座承受水平推力
适用于抗压强度大于抗拉强度的材料。
拱顶 拱轴线 拱高(矢高) f
拱趾
起拱线
结构力学第4章
∴ MK
M
0 K
H
yK
(4-2)
an
a2
b2
a1
b1
Fp1 Fp2 C
HA A
Kf
bn
Fpn B HB
l1
l2
VA
l
VB
Fp1 MK
FNK
K
y H
K FQK yK x
xK VA
图(b)
Fp1 VA0
M
0 K
F0QK
所有的力向FNK方向投影得
FNK VA Fp1 sin K H cos K
5kN
H
M
0 C
V
0 A
8
1 2
82
6kN
f
4
利用上述方程可以求出任一截面的内力,为了方便绘 图,通常列表求出有限个截面的内力数值,然后根据表中 数据,采用描点法即可得到内力图(有限个截面选取时要 注意,有些关键截面——内力突变截面不要漏掉)。若八 等分,则计算结果如下表所示。
截面 1 2 3 4 5 6 7
f
拱趾 拱两端支座称为拱趾;
拱顶 拱中间的最高点称为拱顶;
l
矢高 拱顶到两支座连线的竖向距离 f 称为矢高; 矢跨比 矢高 f 与跨度 l 之比 f/l,称为矢跨比。矢跨比是 拱的基本参数,工程中大多数为 f/l =(10.1)。
4结构力学(李廉锟第五版)
FVB
0
0 VA
代梁
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18:50
§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0,得
FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F F K x l/ 2 FVB C f B FHB F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
H H H
H
VA VA
VB VB
0 0 VAVA
0 VB
0
VB
H
H
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为: 0 MK MK FH y 拱合理拱轴线:若拱的所有截面上的弯矩都为零, 这样的拱轴线为合理拱轴线。 0 M M FH y 0 由 0 得合理拱轴线方程 M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程 FH ——拱支座的水平推力 由公式(3-4)看出:合理拱轴线的形状应与代梁 的弯矩图相似,纵坐标应与代梁弯矩图的纵坐标成比 例。
M y FH
ห้องสมุดไป่ตู้
(4-4)
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
第四章三铰拱
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(3)计算内力 以截面E为例,计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中,得yE = 3m, E tan y E = -0.5, F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此,有 q=10kN/m
P
C E
y
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●
本章内容简介:
4.1 4.2 4.3
拱结构的形式和特性 三铰拱的内力计算 三铰拱的压力线和合理拱轴
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4.1 拱结构的形式和特性
一、拱结构
在竖向荷载作用下,支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构,称为拱结构。
FP FHA FP FHB FHA=0 FP FP
FVA a)
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FVB 拱结构
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FVA b) 曲梁
FVB
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶 拱身 拱 趾
拱 趾
起拱线
拱高f
跨度l
二铰拱
三铰拱
无铰拱
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0 FV A
l/2
(3)计算内力 以截面E为例,计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中,得yE = 3m, E tan y E = -0.5, F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此,有 q=10kN/m
P
C E
y
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本章内容简介:
4.1 4.2 4.3
拱结构的形式和特性 三铰拱的内力计算 三铰拱的压力线和合理拱轴
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4.1 拱结构的形式和特性
一、拱结构
在竖向荷载作用下,支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构,称为拱结构。
FP FHA FP FHB FHA=0 FP FP
FVA a)
All Rights Reserved
FVB 拱结构
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FVA b) 曲梁
FVB
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶 拱身 拱 趾
拱 趾
起拱线
拱高f
跨度l
二铰拱
三铰拱
无铰拱
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0 FV A
l/2
三铰拱
sin = -0.447,
cos = -0.894
② 截面D的内力
M = M 0 - Hy = 5 4 - 6 3 = 2kN m
因为在集中荷载处,Q0 有突变,所以要算出左右两边 的剪力和轴力。 0 Q左 = Q左 cos - H sin = - 1 0.894 - 6 (- 0.447) = 1.79kN
0 N左 = - Q左 sin - H cos = - (- 1) (- 0.447) - 6 0.894 = - 5.81kN
4-10
0 Q右 = Q右 cos - H sin = - 5 0.894 - 6 (- 0.447) = - 1.79kN 0 N右 = - Q右 sin - H cos = - (- 5) (- 0.447) - 6 0.894 = - 7.60kN
yk = y x=4 = 3m,
sink = 0.447 ,
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同,分为 M kz 和 M ky。
0 M kz= M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m(外拉) 0 M ky= M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m(内拉) 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零,这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为: y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
例9.7 求图示三铰拱截面D和E上的内力。己知拱轴线方程为 y 4 f x(l x)
解:(1)计算三铰拱的支座反力
l2
由代梁的计算简图可得
FA0x 0
FA0y FB0y 100kN
M
0 C
500 kN m
则三铰拱的支座反力为
FAy FA0y 100 kN
FBy FB0y 100 kN
(3)计算E 截面上的内力
计算所需有关数据
xE 5m
yE
4f l2
xE (l xE ) 3m
tan E
dy dx
x5m
0.400
sinE 0.371
cosE 0.928
FQ0E 50kN
M
0 E
375kN m
则三铰拱的内力为
ME
M
0 E
Fx yE
0
FQE FQ0E cosE Fx sin E 0.025kN 0
结构力学——三铰拱
M
0则M k FAy xk P 1 xk a1 FH yk
0 FAy xk P 1 xk a1 FH yk 0 Mk FH yk
A
P1 k C
P2
B
0 FS k FAy P 1 0
0 FBy
Fy' 0
0 FAy P 1 cos k FH sin k
几点说明:
• 所求截面转角,实质是求相关函数(sin 和 cos 值),可 利用三角边的关系求出; • 顶铰左右部分截面转角分正负; • 集中力作用点剪力图和轴力图有突变,应给予注意。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
绘弯矩图
40 48
36
40
M
0 K
FH y
0 MK MK FH y
拱结构的优点:选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混凝 土材料,节省用料,重量轻,可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点:由于推力的存在,所以对基础的要求较严; 拱轴的曲线形状不便于施工(有时为减轻拱对基础的压力, 常使用拉杆、桁杆布置)
第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线,被称为 与该荷载对应的合理拱轴
A
B
FS 3 F cos FH sin 0 kN
0 S3
6
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(2)如何满足合理拱轴:首先写出任一截面的弯矩表达
式,而后令其等于零即可确定合理拱轴。
第 4章
2、例题2
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载,试求其合理拱轴线。
q
解法1:相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
AV BV 1 2
1、支座反力计算 1 F (P b P2b2 ) M B 0 AV l 1 1 M 0 F 1 (P a P a ) A BV 1 1 2 2 l 0 F F A V Ay (3-1) 0 FBV FBy
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 FH 7.5kN f 4
M2 M2 FH y2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
q
解:研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
0
FAy
ql 2 2
研究AC
M
C
q
M(x)
ql 2 FH 8f
任一截面的弯矩 :
y
ql ql 2 qx2 M x x y 0 2 8f 2
ql2/(8f)
A x
整理后,可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 :
ql/2
第 4章
a1 y FAH A xK FAV P1 b1
2、弯矩计算—内侧纤维受拉为正φ
b2 P2
P1
a2 K φK yK
MK [ FAV xK P1 ( xK a1 )] FH yK
0 M0 F K AV xK P 1 (xK a1 )
f
x
B
FBH
MK M0 K FH yK
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
0 FAV FAV FH tan
( b)
0 FBV FBV FH tan
第 4章
补充题1:试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。
y
4f l x x 2 l
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解:由图a,荷载为非竖向荷载。 思路:假定拱处于无弯矩状态,根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
M
C
0:
FNAB
l FBV P3 lcF 2
f
0 MC f
l/2
(3)计算各截面内力 0 FBV 依截面法或拱的计算公式,可求得 任意截面的内力。
第 4章
三、三铰拱的合理拱轴线 1、合理拱轴的概念: (1)定义:在给定荷载作用下,拱各截面只承受轴力, 而弯矩、剪力均为零,这样的拱轴称为合理拱轴。
计算反力并绘
x2=3m FAV 11kN
3m 6m 6m
(1)计算支座反力
FAV FAV FBV FBV
2 6 9 8 3 11kN 12 2 6 3 8 9 9kN 12
(2)内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m l2 12 2
FNK FS0 φK FH cosφK (3-5) K sin
FAV0
FSK
0Βιβλιοθήκη Baidu
q=2kN .m y
2 1 0 3 4 5
P=8kN
6 7 8 B
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
f=4m FH 7.5kN FBV 9kN
2 y2 x
7.5kN
A
4f y 2 x l x l 制内力图。
(3-3)
K
MK F NK FSK
FBV
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FH sinφK
F 左为正,右为负 Ax A FAy FAH
0=
( FAV P1 )cosφK FH sinφK
0 FS0 F K AV P 1 FAy P 1
4 4 2 3 1 12 12
FS 2 FS 2 cos 2 FH sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025 kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
0 MC ql 2 推力H为: FH f 8f
l/2
令:MK M0 K FH yK 0 可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 :
B
q
A x ql/2 l
ql/2
1 qx( l x ) M 4f 2 y (l x ) x ql 2 FH l2 8f
0
第 4章
解法2:
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载,试求其合理拱轴线。
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin
FN q
d qd 0 2 d d sin 2 2
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第 4章
3.4 静定拱的组成及受力特征
一、定义:
通常杆轴线为曲线,在竖向荷载作用下,支座产生水 平反力的结构。 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构 或推力结构。 二、特点: (1)弯矩比相应简支梁小,水平推力存在的原因。 (2)用料省、自重轻、跨度大。 (3)可用抗压性能强的砖石材料。
PP
P2 E
1
C f 拉杆
lCF
P3
FCH
F 1 B FBV
1 C
FCV
P3
F
解: (1)计算支座反力
FH 0
B
0 FAV FA V
0 FBV FB V
FH
A FAV
D
FNAB
l/2
1
l/2
l/2
FBV
l
(2)计算拉杆轴力 作1-1截面,研究其右半部
P1 A D E
0 FAV
P2 C
P3 B F l/2 l
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
0.375
7 B 8
6
P=8kN
0.000
FS 图 (kN)
M图 (kN.m)
FN 图 (kN)
第 4章
计算图(a)斜拱的支反力 时为避免解联立方程,可将反力 分解如图(b)。 由平衡条件可得 ( a)
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力,所以计算拱时,规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比,通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
第 4章
四、三铰拱计算公式的建立
a1 a2 y FAH A P1 xK b1 b2
φK
K yK
C
P2
f
B
FBH
x 请问:有水平荷载 , F l 或铰 Cl 不在顶部 ,F 或 l 是斜拱 ,右边的结论 三铰拱计算简图 还是正确的吗?
(4)构造复杂,施工费用高。
第 4章
三、拱的种类:
三铰拱
两铰拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
折线型拱
四、拱各部分的名称:
平拱: 两拱趾在同一水平线上 斜拱: 两拱趾不在同一水平线上
第 4章
五、拱与曲梁的区别
P C FAx A FAy B FBy FBx FAx=0 A FAy P
B FB
拱结构
曲梁结构
3.2 三铰拱的内力计算
F
X
0:
C
FAH FBH FH
M
B
FBV0
FAH
0=
0
P1 A
FAV0
K
C
P2
xK
相应简支梁
FAV l1 P FH f 0 FH 1(l1 a1 )水平推力 只与三个铰的 1 FH [ FAV l1 P1 (l1 位置有关,而 a 1 )] f 与拱轴的形状 0 MC FAV l1 P 1 (l1 a 1) 无关,与拱的 0 高跨比有关。 MC (3-2) FH f
0
P1 A
FAV0
K
K
C
P2 B
0 BV
FSK FS0 φK FH sin φK (3-4) K cos
x 三铰拱的内力与荷 F 载及三个铰的位置有关, P 0 MK 与拱轴线形状有关;
1
4、轴力计算—使截面受压为正
FNK FAV sinφK P1sinφK FH cosφK ( FAV P1 )sin φK FH cosφK 0 FS0 K FAV P 1 FAy P 1
FN 2 FS 2 sin 2 FH cos 2 11 2 3 0.555
7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354