2019年高中数学课时跟踪检测十二定积分的简单应用新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十二） 定积分的简单应用

层级一 学业水平达标

1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．③④

解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b

[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛08

22x d x －⎠⎛48

(2x －8)d x ，③

和④正确．故选D.

2．一物体以速度v ＝(3t 2

＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )

A ．31 m

B ．36 m

C ．38 m

D ．40 m

解析：选B S ＝⎠⎛03

(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32

＝36(m)，故应选B.

3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3

解析：选C S ＝⎠⎛-3 1

(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)

＝3－13－1＝5

3

，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.

∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝32

3

.故应选C.

4．由y ＝x 2

，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )

D ．1

解：选A 图形如图所示，

S ＝⎠⎛01

x 2d x －⎠⎛01

14x 2

d x

＝⎠⎛01

34x 2d x

＝14x 3⎪⎪⎪

1

＝14

. 5．曲线y ＝x 3

－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10

D ．9

解析：选B 由⎩⎪⎨

⎪

⎧

y ＝x 3

－3x ，y ＝x ，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝0，y ＝0

或⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2，y ＝2

或⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝－2，y ＝－2.

∵两函数

y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，

∴S ＝2⎠⎛02

[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02

(4x －x 3)d x

＝2⎝

⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪

2

0＝8，故选B.

6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．

解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02

a (t )d t ＝⎠⎛0

2

6t d t ＝3t 2⎪⎪⎪

2

＝12，

所以v (2)＝v (0)＋3×22

＝1＋12＝13. 答案：13

7．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．

解析：S ＝⎠⎛0

10

1＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪

⎪

10

＝23⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1132－1. 答案：23⎝ ⎛⎭

⎪⎫1132－1

8．由y ＝1

x

，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．

解析：画出曲线y ＝1

x

(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴

影部分面积．

∴S ＝⎠

⎛1

21x

d x ＝ln x ⎪⎪⎪

2

1

＝ln 2－ln 1＝ln 2.

答案：ln 2

9．计算曲线y ＝x 2

－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．

解：由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋3，y ＝x 2

－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.

从而所求图形的面积

S ＝⎠⎛03

[(x ＋3)－(x 2

－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13

x 3＋32x 2⎪⎪⎪

3

0＝9

2

. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；

(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2

＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，

∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2

＋2x ＋1.

(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10

(x 2＋2x ＋1)d x ＝13

x 3＋x 2

＋x ⎪⎪⎪

-1

＝13

. 层级二 应试能力达标

1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )

A ．8 J

B ．10 J

C ．12 J

D ．14 J

解析：选 D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13

(4x －1)d x ＝(2x 2

－x ) ⎪⎪

⎪

3

1

＝14(J)，故应选