基本不等式-公开课课件-课件ppt

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高中数学配套基本不等式公开课获奖课件

题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪解析探究提高由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最小值．
数学苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一正 —— 各项均为
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪解析探究提高
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已

基本不等式和柯西不等式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

(1)求 m 的值； (2)求证：an24＋pb42＋qc24≥2.
解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2，当且仅当 2≤x≤4 时，等号成立，故 m＝2. (2)证明：[(na2)2＋(pb2)2＋(qc2)2]·(a2＋b2＋c2)
≥(na2·a＋pb2·b＋qc2·c)2，即(na42＋pb42＋qc24)×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4，故na42＋pb42＋qc24≥2.
值为 3 2.
探究六：应用柯西不等式证明不等式
例6 设 a1，a2，a3 均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，
求证：a11＋a12＋a13m9 .
【变式】 (2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x， y，z 均为正数．求证：
33(1x＋1y＋1z)≤ x12＋y12＋z12. 证明：由柯西不等式得，
a2b＝ab，即 a＝b＝4 2时取等号.
探究四：基本不等式的综合应用
[例 4] 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、
y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2 ≥2 yx·yx＋2＝4.仅当 x＝y 时取等号．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd

基本不等式公开课课件完整版

4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常需要运用基本不等式进行求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +

高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt

xy x y
xy
即a2 26a 25 ，0 解得
，1 当a且仅25当等号成立y 6x
经检验：当x
5
，y 1时5 ，
当a； 25,
2
x 1时y， 3 10 5
a 1
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体现了整体处理的思想与构造的方法.
函数
是题设条件等式左边中某两项和，可
以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设 4x
a(26 a)
y 则a
(4x y)(
1
1 x9 )
9 y
， 26 a 13 y
x
36x
0, y
13
0
2
,所以 y 36x 25
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
3、椭圆中的最值：
4
2
3
1
四、小结与课后思考
（当且仅当a b时等号成立）
1、本节课主要内容
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值. （2）两个正数和为定值，积有最大值.
3、基本不等式的适用条件：一正二定三相等
思考题:若直线 ax by 1 0 平分圆 C：
x2 y2 2x 4y 1 0 的周长且
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

基本不等式课件(公开课)

(2)若a 0,b 0, 那么 ab a b 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab

基本不等式的应用最值问题公开课一等奖课件省赛课获奖课件

3．注意函数 f(x)＝x＋1x是常遇到的一个函数，根据基本不等式知，x＞0 时，f(x)≥2，x＜0 时，f(x)≤－2，其值域为(－ ∞，－2]∪[2、＋∞)．
另外其单调性为：在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0)上单调递减，(0,1]上单调递减，[1，＋∞)上单调递
记忆方法是|x|很大(|x|＞1)时，1x可忽略，其单调性与 y＝x 单调性相同，|x|很小(|x|＜1)时，x 可忽略，其单调性与 y＝1x单调性同．进而可扩展到 f(x)＝x＋xk(k＞0)的情形．
[解析] y＝xx2＋＋14＝x＋12－x＋21x＋1＋5 ＝x＋1＋x＋5 1－2≥2 5－2 (x＋1>0)，等号在 x＋1＝x＋5 1，即 x＝ 5－1 时成立， ∴函数的值域为[2 5－2，＋∞)．
[点评]
还可以如下进行
y
＝
x2＋4 x＋1
＝
x2－1＋5 x＋1
＝
x－
1
＋
x＋5 1＝x＋1＋x＋5 1－2.
重点：基本不等式的应用．难点：将实际问题化为不等式问题．
学习要点点拨
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．
2．由基本不等式导出的结论． (1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a，b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． (2)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.

基本不等式公开课课件

基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。

本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。

二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。

通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。

2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。

常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。

2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。

这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。

四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。

2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。

例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。

五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。

2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。

六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。

七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。

基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。

希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。

基本不等式(公开课)

“1” 的妙用
学生演板
(2)已知x, y R , 且2 x y 1, 求证： 1 1 3 2 2, 并指出等号成立的条件。 x y
积为定值和有最小值
基本不等式
1 1．当 x>2 时不等式 x＋ ≥a 恒成立则实数 a 的取值范围是( B ) x－2 A．(－∞，2]ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习
学习小结：
2
和为定值积有最大值，积为定值和有最小值
基本不等式
2
x 5 1 E. f ( x ) x ( x 2) F . f ( x) 2 x2 x 1
和为定值积有最大值，积为定值和有最小值
ab ab a b 2 ab 提炼成果 2 ab 2 极值定理可以理解为: ab ( ) (1)当两个正数 x与y的积xy是定值P且x y时,2
A.6 2 3, B7 2 3, C6 4 3, D.7 4 3.
基本不等式
ab a b 2 ab 1.本节课我们有哪些收获？ ab 2 ab 2 2. 基本不等式是什么？ a b ab ( 2 ) ab
3. 极值定理是什么？课后作业：考点作业59 P117练习
x y (1)积xy为定值P时, 有 P , x y 2 P . 上式 2
ab ab 2
基本不等式
下列函数中，最小值为 4的是 C,E
4 A. f ( x) x x
x
合作探究
C. f ( x) 3 4 3
x
4 B. f ( x) sin x sin x D. f ( x) lg x 4log x 10
和为定值积有最大值

《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

OcB
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2

基本不等式： ≤(a+b)_公开课课件

思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出 m，n 的关系 m＋n＝3，将所找的关系与m4 ＋n1结合，再用基本不等式求最值，关键的一步是m4 ＋n1＝13m4 ＋n1(m＋n)．
对于(2)，用基本不等式或函数的单调性对选项进行验证，可得到结论．
解析：(1)设等比数列的公比为 q，则由 a7＝a6＋2a5 得 q2＝q＋2，解得 q＝2(舍去负值 q＝－1)，
小值是________．答案：4
4．(2012·宁波市鄞州区适应性考试)已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为__________.
解析：因为点 A(m，n)在直线 x＋2y－1＝0 上，则 m＋2n＝1.
所以 2m＋4n＝2m＋22n≥2 2m·22n＝ 2 2m＋2n＝2 2. 答案：2 2
答案：(1)B (2)B
点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、导数等)．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等式的目的．使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”．
变式探究
3．(2011·哈师大附中检测)若 x>0，y>0，且 x＋4y ＝1，则1x＋2y的最小值为( )
A．9 B．8 2 C．9＋4 2 D．4 2
答案：C
4．(2012·柳州市一模)若ab＞0，且A(a,0)，B(0，b)， C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案：16
∴aman＝a21qm＋n－2＝2a21，得 2m＋n－2＝2，∴m＋n＝ 3.

不等式的基本性质(优秀公开课课件)

不等式的基本性质
万源市井溪乡中心小学校伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
我会判断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y