基于部件替换的生产库存模型与遗传算法研究

基于部件替换的生产库存模型与遗传算法研究
摘要：集成化库存管理是供应链管理的核心内容之一，是提高供应链同步化程度的一种有效方法，其目的是在减少安全库存和库存总量的同时降低缺货率。

文章阐述了由单个生产商多个销售商组成的生产系统不可靠的二级供应链系统，即库存—运输—维修，建立了一个一体化库存模型。

关键词：集成化库存；遗传算法；部件替换
在模型中，假设生产商的生产设备有一个关键部件，其发生故障的时间服从负指数分布，故障率是生产率的增函数。

为了增加设备的稳定性和减少各销售商的库存水平，模型中采取了部件替换的维修策略和一次订购多次运输的运输策略。

建立模型的目的是确定备用部件的个数，各销售商的运输次数，订购周期和生产率，使系统单位时间的总成本最小。

1符号说明与模型假设
1.1符号说明
N为销售商个数；Di为第个销售商的需求率，i=1，2…，N；p为生产率（决策变量）；T为生产商的生产周期或各销售商的订购周期（决策变量）；Ai为销售商的订购费；S为生产商的准备费；HV为生产商单位时间单位产品的库存费；Hbi为第个销售商单位时间单位产品的库存费；ATi为每次运输的固定运输费；α为关键部件处于非控制状态时，单位时间的废次产品率；c为每个备用部件成本；m为关键部件的备用个数（决策变量）；ni为在一个订购周期内，第个销售商的运输次数（决策变量）；ω为每件废次产品的处理费。

1.2模型假设
①考虑由一个生产商多个销售商组成的二级供应链系统，生产单一产品；②生产系统由一台机器构成，该机器有一个关键部件，其工作状态随生产的进行逐渐恶化。

在生产期初，机器处于正常工作状态，没有废次品产生。

生产进行一段时间后，由于关键部件的恶化，机器处于非可控制状态，此时，有废次产品出现，其废次产品率为a。

关键部件的工作状态从可控状态转为非可控状态的时间服从负指数分布，其分布函数记为ϕ（p，t）=λ（p）e-λ （p）t，λ（p）是生产率p的一个增函数；③为了减少废次产品，在生产过程中，一旦关键部件变为非可控状态，如有备用部件，立即用备用部件替换；④备用部件与关键部件的工作性能相同，替换时间和报废部件的处置费忽略不计；⑤生产商的生产周期与销售商的订购周期相同。

销售商实行一次订购多次运输的策略，每次的运输量相等，但各销售商之间每次的运输量可不相同；⑥生产商对销售商的产品运输按如下运输策略进行：首先对销售商进行排序，不妨设为1，2…，N，然后，按该顺序对各销售商组织第一次运输。

且在向某个销售商组织第二次运输之前，每个销售商都得到了第一次运输；⑦生产商在生产完成后，对废次产品进行再处理，使其为等量的正常产品，但每件废次产品的处理费为ω；⑧单位产品的生产成本C（p）
是生产率p的函数，设C（p）=r0+r1/p+r2p，其中r0表示单位原料费；r1/p表示生产单位产品所消耗的劳动力，随生产率的增大而降低，r2p表示生产单位产品所需的设备，随生产率的增大而增大；⑨生产率大于各销售商的需求率之和，即p>Di。

2模型建立
建立模型目的是求备用部件个数，运输次数，生产或订购周期，生产率和第一次运输顺序，使得供应链系统单位时间的总费用最小。

系统的总费用包括各销售商的订购费、产品库存费、运输费和生产商的产品成本费、生产准备费、库存费、备用部件的成本费以及废次产品费。

系统的整个库存水平如图1、图2所示。

下面分析生产商的各种费用：
为了求生产商的平均库存量，假设生产商按1，2…，N的顺序对销售商进行排序，并按该顺序组织第一次运输，则销售商的累积库存水平如图3所示，其中小矩形的面积之和为各销售商的累积库存之和。

生产商向第i个销售商运输产品的最后一次运输时间为：LTi=+（n-1），i=1，2…，N；
设生产商在一个生产周期内的最后一次运输是运送给第个销售商，则生产商库存清空时间为：
LTk=max{LTi1≤i≤N}
第k个销售商的累计库存量为：
Sbk=Dk
（nk-1）+
（nk-2）+…+
=DkT2
第i（i≠k）个销售商的累计库存量为：
Sbk=Di
（ni-1）+
（ni-2）+…+
+niDi（LTk-LTi)=DiT2[+（LTk-LTi）]
因此，销售商单位时间的平均库存费为：
Iv（p，T，ni）=[（DiT）2+DiT（LTk-DiT）-Sbi]
=
Di（p-
Di）+
（
Dj-Hv）（1）
由于每个部件从可控制状态转为非可控制状态的时间是服从独立同分布的负指数分布，设第个部件的正常工作时间为ti，则m+1个部件的正常工作时间Y=ti是一个随机变量，且服从Gamma分布，其分布函数为ψ（Y）=。

生产商在一个生产周期内的生产时间Ti=DiT/p，所以，生产商单位时间的废次产品费为：
Cu（p，T，m）==ap（Ti-p）dY
=（2）
其中Γ（ξ）=xξ-1e-xdx，Γ（ξ，z）=xξ-1e-xdx。

于是，生产商单位时间的总费用：TCV（p，T，m，ni）=备用部件费+生产准备费+产品库存费+维修费+产品成本
=+IV（p，T，ni）+Cu（p，T，m）+（r0++r2p）Di（3）
又由于销售商单位时间的总费用为：
TCb（T，ni）=（Ai+niATi）+Thbi（4）
其中，第一项表示销售商单位时间的订购费与固定运输费之和，第二项表示销售商单位时间的产品库存费。

因此，对于给定的运输顺序，系统单位时间的总费用为：
JTEC（p，T，m，ni）=TCb（T，ni）+TCV（p，T，m，ni）
=
Di（p-
Di）+
（
Dj-Hv）+
+
cm+S+（Ai+niATi）+(r0++r2p)Di（5）
s.tDi0，且ni，m为整数，i=1，2……，N（8）
其中约束条件式（6）表示生产率大于销售商的需求率之和，但不大于最大生产率；约束条件式（7）表示各销售商在得到一次运输之后，再进行第二次运输；约束条件式（8）表示在一个生产周期内每个销售商至少得到一次运输。

由式（1）知，生产商单位时间的库存费与销售商的运输顺序有关，而对销售商进行运输顺序安排，受许多因素的影响，例如销售商的需求量大小、重要度、单位时间的库存费等。

这里，仅根据经济订购批量公式按订购周期从小到大的顺序对销售商进行排序。

对给定的运输顺序，优化问题（1）（5）是一个有约束的非线性混合整数规划问题，且目标函数既不是凸函数也不是凹函数。

为了得到模型的最优解，下面利用实数编码的遗传算法进行求解。

3实数编码的遗传算法
为研究问题的方便，将模型改记为如下简单形式：
Minf（x，y）=JTEC（p，T，m，ni）（9）
s.tgi（x，y）=-≥0，i=1，2……，N
xL≤x≤xu，yL≤y≤yu
其中x=（p，t）表示连续变量，y=（m，n1，n2…，nN）表示整数变量，xL，xu，yL，yu分别是x，y的上下界。

3.1染色体表示
为了避免二进制编码方式引起的计算精度下降，采用实数编码，即直接采用原始变量构成染色体。

设第j个染色体Vj=（xj，yj），其中，xj是二维连续变量，yj是N+A维整数变量。