相平面法

系统运动的速度和加速 0, ) 0， x f ( x , x ⑷ 在奇点处 x
度同时为0。 ⑸ 对于二阶系统来说，系统在奇点处不再发生运动， 处于平衡状态，故相平面的奇点亦称为平衡点。且
二阶系统的平衡点即为原点(0，0)。
3、线性二阶系统奇点的类型： ⑴ 焦点——特征根为共轭复根
<一>奇点：
) 表示的二阶系统，其相轨 x f ( x , x 1、定义： 以微方
) dx f ( x, x 迹上每一点切线的斜率为 ， dx x
)和 x 同时为0， 若在某点处 f ( x ， x
0 dx 则称该点为相平面 即有 的不定形式， dx 0
的奇点。
相轨迹的绘制（续）
dc c M (c r ) dc 有 dc c M (c r ) dc 对上式积分，得
2 c 2 Mc A1 (c r ) 2 2 Mc A2 (c r ) c 其中A1 .A2为积分常数，
x02
01 x
x01
02 x
x01
Fra Baidu bibliotek
x
x02
01 x
x
T 0
02 x
T 0
<二>线性二阶系统的相轨迹：
n2 x 0 设 x 2 n x
dx 则 x dt 2 n 2 n x x dx
x
1、 0
dx 2 2 n x n 则 x x或 dt dx
若已知x和 x 的时间曲线如下图中（b）和（c）
( t )的值， 所示，则可根据任一时间点的 x(t) 和 x
基本概念（续）
( t )为纵坐标的相平面上的 x 得到以 x(t)为横坐标，
相轨迹上对应的点，并由此获得一条相轨迹，如 上图（a）所示。 1、相平面与相变量
( t ) ——系统运动的相变量（状态变量）； x ( t) 和 x
可以证明：此时的相轨迹是 一簇通过原点的抛物线。 此时系统的暂态分量为非振 荡衰减形式。 存在两条特殊的等倾线，其 斜率分别为： k 1 s1 n n 2 1 0
k 2 s2 n n 2 1 k1
4、负阻尼：（分三种） <1> 1 0 :
由x— 2、相轨迹
组成的直角坐标平面——相平面。 x
0 )起 ， 相变量从初始时刻 t0 对应的状态点 ( x 0， x
随着时间的推移，在相平面上运动形成 的曲线
基本概念（续）
——相轨迹。
3、相平面图： 根据微分方程解的存在和唯一性定理，对于任一给 定的初条，相平面上有一条相轨迹与之对应，多个
初条下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇。而
由一簇相轨迹所组成的图形——相平面图。 二、相轨迹的绘制： （1）解析法、（2）作图法、（3）实验法 （一）解析法：求出相轨迹的解，再画出相轨迹。
相轨迹的绘制（续）
适用场合：（1）运动方程比较简单 （2）可以分段线性化 例1、如图所示，弹簧—质量运动系统， m 为物体质 量，k 为弹性系数。 若初条为
其中 A 、 都是由初条决定的常数。 由例3可知， （ 此 例 中 0 . 5，
2
n 1） ，相轨迹为向心螺旋
线，最终趋于原点。 可见：无论初条如何，经过 衰减振荡，系统最终趋于平 衡点——原点。
3、 1
由第三章可知：
x ( t ) A1e 1t A 2 e 2 t
的相轨迹为以原点
2 2 为圆心， x 0 0 x
x0
x
为半径的圆。
相轨迹的绘制（续）
例2、理想继电器特性的非线性系统 r ( t ) 1 ( t )， 试绘制相轨迹。
解：线性部分有 c y，而非线性部分有 dc dc dc dc M (e 0, 即 c r ) c c y y dt dc dt dc M (e 0, 即 c r )
封闭曲线。
相轨迹的绘制（续）
可见：时间响应呈周期运动状态。 <二> 图解法 绘制相轨迹的作图方法有多种，如等倾线 法、 法 等 。 其中等倾线法以其简单实用而被普遍采用。
图解法（续）
1、等倾线法的基本思路：首先确定相轨迹的等倾线，
进而绘制出相轨迹的切线方向场， 然后从初条出
发，沿方向场逐步绘制相轨迹。
一、基本概念：
设非线性二阶系统可以常微方描述：
) x f ( x , x
〈１〉
) 是 x ( t) 和 x 其中 f ( x , x ( t ) 的线性或非线性
函数。方程〈１〉的解可以用 x(t) 的时间函数曲
( t )和 x(t) 的关系曲线表示， 线表示，也可以用 x
而 t 为参变量。
2 n x dx dx x
dx n2 x d x 则 有x
2 x 2 x 2 A2 n
其中A是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。
2、 0 1:
由第三章知： x ( t ) A e n t s in( d t ), d n 1
2、特点：不需求解微分方程。对于求解困难的非线
性微分方程，显得尤为实用。
x 3、方法：对于非线性系统
) f ( x， x
dx ) dx f ( x, x 即x f ( x, x) 写 成 dx dx x
其中
dx 是相轨迹的斜率； dx
图解法（续）
dx ) f ( x, x f ( x, x ) 0。 令 且 为 一 常 数 ，则有 或 x x dx
图解法（续）
沿各条等倾线所决定的相 轨迹的切线方向依次画出 系统的相轨迹。
x0 例3、若已知 x x 试用等倾线法绘制
系统的相轨迹。
dx x0 解： x x dx
x dx x 即 dx x
图解法（续）
x x 0 x
1 则x x 1
0则 x随 t 而 增 加 。 <2>在相平面的上半平面， x
相轨迹的走向应是由左向右；相反，在下半平面
0则 x随 t 而 减 小 。 x 相轨迹的走向应是由右向左。
图解法（续）
<3>除平衡点外，相轨迹与x轴的相交处的切线斜率 ) f ( x, x 应 为 或 ，即相轨迹与x轴垂直 x 相交。 <4>一般的，等倾线分布越密，绘制的相轨迹越准确， 但同时工作量也增大，而且还会使作图产生的积 累偏差增大，因此可采用平均斜率法——取相邻 两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线 间直线的斜率。
三、线性系统的相轨迹：
线性系统是非线性系统的特例。对于许多非线
性一阶和二阶系统（系统所含非线性环节可用分段
折线表示），常可以分成多个区间进行研究。而在 每个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分
方程描述。另外，对于某些非线性微方，为研究各
平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作小偏 差法近似处理。因此，研究线性一阶、二阶系统的
系统特征根为一对具有
正实部的共轭复数根。 系统自由运动为发散振 荡形式。其相轨迹从原 点向外卷，为离心螺旋
线。
<2> 1 : 系统特征根为两个正实根：
s 1 .2 n n 1
2
系统自由运动呈非振荡发 散。其相轨迹存在两条特 殊的等倾线，其斜率分别
为： k 1 s1 , k 2 s 2 相轨迹的曲线的形式与
的共轭复根（ 0 1) 稳 定 焦 点 ： 一 对 负 实 部 部的共轭复根（ - 1 0) 不 稳 定 焦 点 ： 一 对 正 实
(0) x 0 x ( 0 ) x 0， x 试确定系统自由运动的相轨 迹。
m x 解：
k x 0 即 x x 0
相轨迹的绘制（续）
dx dx xdx 可写为 x x x dx x 1 2 2 xdx ( x x 0 ) 0 x 2
2、性质：⑴相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系
统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇 点。因此在奇点处多条相轨迹相交。
奇点（续）
⑵ 在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足
0和 f ( x , x ) 0， 相轨迹的切线斜率是一个确定 x
的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。 ⑶ 由奇点定义知，奇点一定位于相平面的横轴上 。
根据这一方程可在相 平面上作一曲线，称为等倾线。
当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相
等，均为 。取
为若干不同 的常数，即可在相平
相平面上绘制出若干 条等倾线。在等倾线上各点处 作斜率为 的短直线，并以箭头表示切线方向，则 构成相轨迹的切线方向场。 所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可
由初始条件求得。
相轨迹的绘制（续）
可见：直线c=r[在此r=1]
将相平面分成两个
区域I和II。 1）若初始条件处于A点(II内):
2 2 M c A 2， 从 A B 点 。 c
2）过B点后：
2 c 2 M c A 1， 从 B C 点 。
3）过C点后又进入II区：从 C A B 周而复始，构成
们又是其他相轨迹的渐近线
此外作为相平面的分割线，还将相平面划分为四
正反馈二阶系统（续）
个具有不同运动状态的区域。 当初条位于斜率为 k2 的直线上时，系统的 运动将趋于原点，但只要受到极其微小的扰动， 系统的运动将偏离该相轨迹，并最终沿着斜率为
k1的相轨迹的方向发散至无穷。所以正反馈二阶
系统的运动是不稳定的。
1 的情况相同，只是 运动方向相反。
<3>正反馈二阶系统：
n2 x 0 x 2 n x
s 1 .2 n n 2 1
则 s 1 0 , 而 s 2 0。
相轨迹存在的两条特殊的等 倾线也是相轨迹，其斜率分
k 1 s 1 , k 2 s 2，同时它 别为：
相平面法
相平面法由庞加莱1895年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系 统的运动过程——位置和速度平面上的相轨迹，直观、形象、准确的反映 了系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，以及初始条件和参数对系统运动 的影响。其特点——绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见 非线性特性和一、二阶线性环节组合而成的非线性系统。
1 2 2 且 xdx ( x x 0 ) x0 2
x
1 2 2 x 0 则 有 （x ) 2 1 2 ( x 2 x0 ) 2
相轨迹的绘制（续）
整理有
x x x x
2 2 2 0
2 0
2
x
0 x
0
(
2 2 0 x0 x )
故该系统自由运动
在作好等倾线的相平
面图上，从初始点出
dx 令 dx x x 则 有 x
发顺时针将各小线段
光滑的连接起来，便
图解法（续）
得到一条相轨迹。如从A点出发经过B、C、D、 E‥ ‥ ‥最后逐渐趋于原点。 4、使用等倾线法绘制相轨迹应注意的问题： <1>坐标轴x和 x 应选用相同的比例尺，否则等倾线 斜率不准确。
四、奇点与奇线
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。 由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所 以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。 因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨 论和研究。另外，系统的自激振荡状态也是人们非
常关心的问题。前者叫奇点，后者为极限环（奇线
最常见的形式）。
相轨迹及其特点就显得尤为重要。因此得出的结论
是非线性一、二阶系统相平面分析的基础。
<一> 线性一阶系统的相轨迹：
1 x x 0 相 轨 迹 方 程 ：x Tx T
1 (0) x 0 x0 设初始条件 x ( 0 ) x 0 , 则 x T
x
x