极限的概念 答案详解
高等数学：极限的概念
极限的概念一、基本内容1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞→lim 或当∞→n 时，a x n →。
2. 函数极限：（1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限：在点0x 处的极限)(lim 0x f x x →； 左极限)(lim )0(00x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(00x f x f x x +→=+。
关系：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。
（2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞→； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞→； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞→。
关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→均存在且相等。
二、学习要求1. 理解极限的概念；2. 掌握函数极限存在的充要条件。
三、基本题型及解题方法题型1 求数列的极限解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。
【例1】 判断数列=n x 2)1(11+-+n 的敛散性。
解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2)1(11+-+n ，…，可见该数列随着n 的增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。
【例2】 判断数列nn x n n 1)1(--+=的敛散性。
解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，nn n --+，可见当n 无限增大时，表示数列nn x n n 1)1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1=-++∞→nn n ，所以该数列收敛。
题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。
高等数学基础教材课后答案详解
高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。
函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。
而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。
在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。
同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。
2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。
在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。
需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。
3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。
这些性质是进行极限计算的基本工具。
极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。
4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。
通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。
无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。
二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。
在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。
求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。
2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。
几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。
3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。
通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。
在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。
4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
极限概念解析及其应用
极限概念解析及其应用极限是微积分的核心概念之一，是描述函数在某一点附近行为的重要工具。
它不仅在数学理论中有着重要地位，而且在物理、工程等应用领域也扮演着关键角色。
本文将对极限的概念进行详细解析，并讨论其在实际问题中的应用。
一、极限的定义在数学中，极限可以理解为函数在某一点无穷接近某个值的趋势。
更精确地说，给定函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，若对应的函数值f(x)无论怎么变动，总能无限接近某个固定的数L，则称函数f(x)在自变量趋于a时的极限为L，记作lim[f(x)] = L，或者写成x→a时f(x)的极限等于L。
换言之，对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
这个定义表明，在自变量趋近于a的过程中，函数值会越来越接近L，同时可以无限接近L而不超过某个给定的精度。
二、极限的性质极限具有以下基本性质：1. 唯一性：若lim[f(x)]存在，则极限唯一。
2. 局部有界性：若lim[f(x)] = L，则f(x)在x→a时在某个邻域内有界。
3. 保号性：若lim[f(x)] = L > 0，则在x充分接近a时，f(x)大于0；若lim[f(x)] = L < 0，则在x充分接近a时，f(x)小于0。
4. 四则运算性质：设lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = B，则有lim[f(x) +g(x)] = A + B，lim[f(x) - g(x)] = A - B，lim[f(x) * g(x)] = A * B，lim[f(x) / g(x)] = A / B（若B≠0）。
三、极限的应用极限在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型例子：1. 切线与切线斜率：切线是一条通过曲线上某一点的直线，切线斜率表示曲线在该点的斜率。
通过极限，我们可以准确求出曲线在某一点的切线斜率，进而研究曲线的变化趋势并进行相关推导。
高等数学分析教材答案详解
高等数学分析教材答案详解第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 极限的定义极限是数列或函数的重要概念之一。
对于数列 {an}，当任意给定一个正数ε，存在正整数N，使得当 n>N 时，an与某一固定实数 L 的差的绝对值小于ε，即 |an - L| < ε，那么称 L 是数列 {an} 的极限，记作lim(an) = L，或者an → L（n→∞）。
1.1.2 极限的运算性质对于数列 {an} 和 {bn}，有以下运算性质：1) lim(an ± bn) = lim(an) ± lim(bn)，其中 ±表示加法和减法；2) lim(c·an) = c·lim(an)，其中 c 是常数；3) lim(an · bn) = lim(an) · lim(bn)；4) lim(an / bn) = lim(an) / lim(bn)，其中bn ≠ 0。
1.2 函数的极限1.2.1 函数的极限定义对于函数 f(x)，当 x 的值无限接近于某一实数 a 时，函数值 f(x) 也无限接近于某一实数 L，那么称 L 是函数 f(x) 在点 a 处的极限，记作lim(f(x)) = L，或者f(x) → L（x→a）。
1.2.2 函数的极限运算性质对于函数 f(x) 和 g(x)，有以下运算性质：1) lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))；2) lim(c·f(x)) = c·lim(f(x))，其中 c 是常数；3) lim(f(x) · g(x)) = lim(f(x)) · lim(g(x))；4) lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x))，其中lim(g(x)) ≠ 0。
2 极限的概念及运算法则
江门职业技术学院教案授课时间年月日第周星期第节授课地点B308 课程类型理论授课题目极限授课班级染整工艺班、智能产品1班、智能产品2班教学目的与教学要求通过本课的学习，使学生理解数列极限和函数极限的概念；能利用左、右极限判定分段函数在分段点处极限是否存在.主要内容一：通过几个数列的项的变化情况，得出项的变化趋势；二：通过例，巩固数列极限的概念；三：通过学生熟悉的反比例函数引入函数的极限的概念；四：通过例，巩固函数极限的概念五：了解常见函数极限求法重点与难点1、数列极限的概念；2、函数极限的概念；3、左、右极限教学方法手段（教具）1、讲授法2、演示法3、练习指导法4、作业指导法参考资料1、《高等数学》同济大学应用数学系主编高等教育出版社2、《经济应用数学》顾静相主编高等教育出版社3、《高职应用数学》杨伟传关若峰主编清华大学出版课后作业与思考题练习题1.2 3、5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）教学后记教学过程设计§1.2极限的概念☆ 旧课复习1、基本初等函数，初等函数、复合函数。
2、函数的性质。
3、数列的定义？（是以自然数为自变量的函数） 一、 数列的极限 1、数列极限定义： 如果无穷数列的项数∞→n 时，项n x 无限趋于一个确定的常数A ，那么A 称为数列}{n x 的极限，或称数列}{n x 收敛，且收敛于A ，记作Ax n n =∞→lim 或 )(∞→→n A x n 。
如果当∞→n 时，n x 不趋于一个确定的常数，我们便说数列}{n x 没有极限，或说数列}{n x 发散。
例： 讨论数列的极限。
（1） n x C = (2) 2n x n = (3) 1(1)n n x q q -=<一般的（1） )1(0lim <=∞→q q nn (2)C C n =∞→lim二、 函数的极限1. 当∞→x 时函数的极限 ∞→x 可以分为三种情况：（1）∞→＋x ，读作x 趋向正无穷大，表示x 正向无限增大的过程； （2）∞→－x ，读作x 趋向负无穷大，表示0<x 且x 无限增大的过程； （3）∞→x ，读作x 趋向无穷大，表示x 无限增大的过程。
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先，我们来了解极限的定义。
在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。
接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后，我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。
最后，我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解) (2)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlim lim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
大一数学极限题目及答案
大一数学极限题目及答案
高等数学中的极限
1.概念：
极限是高等数学中概念之一，它指的是在定义域中自变量x逐渐接近某一值a时函数f(x)表示的值所收敛到的某一值L。
对极限的定义一般有如下三个定义：
(1)极小的定义：当x从某点a的左边接近点a时，使得函数f(x)趋向极小。
(2)极大的定义：当x从某点a的右边接近点a时，使得函数f(x)趋向极大。
(3)极限统一定义：函数f(x)逐渐接近某一值L时，这个值L就是函数f(x)在点a处的极限。
可以把极限L表示为：lim f(x)=L
2.求极限运算规则：
（1）基本公式：
•lim(1/x) = +∞，x→0；
•lim(x/x) = 1，x不等于0；
•lim(A/B) = A/B, B≠0。
（2）绝对值的极限：
•lim(|x|) = 绝对值(x)
（3）幂函数：
•lim(x^n) = x^n。
（4）连续函数的极限：
对于任意给定的实数a, 当x接近a的时候，f(x)将接近在a处的极限L。
3.常见极限问题：
（1）求无穷小的极限：
问题：求lim x→0 (2x+2)/(x+5)
解：原式中x为自变量，当x接近0时，我们可以用绝对值求极限公式简化极限问题：即lim x→0(|2x+2|)/(|x+5|)=lim x→0 |2|/|5|=2/5。
（2）求无穷大的极限：
问题：求lim x→∞ (2x+2)/(x+5)
解：类似上面求解的思路，原式中x为自变量，当x接近无穷大时，
我们可以用绝对值求极限公式简化极限问题：即lim x→∞
(|2x+2|)/(|x+5|)=lim x→∞ |2|/|x|=2。
华工高数参考答案答案
华工高数参考答案答案华工高数参考答案高等数学是大部分理工科专业的必修课程，对于很多学生来说，高数是一门相对较难的学科。
华南理工大学（简称华工）是一所以工科为主的综合性大学，其高数课程也备受关注。
本文将提供一份华工高数参考答案，希望能够帮助到正在学习高数的同学们。
第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质- 极限的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的ε>0，都存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称函数f(x)在x0处的极限为A。
- 极限的性质：- 唯一性：如果极限存在，那么极限值唯一。
- 局部有界性：如果函数在某点的极限存在，则函数在该点的某个去心邻域内有界。
- 局部保号性：如果函数在某点的极限存在且大于（或小于）零，则函数在该点的某个去心邻域内大于（或小于）零。
- 四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，且lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则：- lim(x→x0)(f(x)+g(x))=A+B- lim(x→x0)(f(x)-g(x))=A-B- lim(x→x0)(f(x)g(x))=A*B- lim(x→x0)(f(x)/g(x))=A/B（若B≠0）2. 连续与间断- 连续的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
- 连续的性质：- 连续函数的四则运算：若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（若g(x0)≠0）在点x0处也连续。
- 复合函数的连续性：若函数f(x)在点x0处连续，函数g(u)在u=f(x0)处连续，则复合函数g(f(x))在点x0处连续。
无穷小和无穷大的概念 极限的运算法则 答案详解
x 1
x 1时， x 2 3 ， x 1 0 ，则倒式 1 ，故 x 2 是无穷大
x 1
x 1
1
4. y 2x 1
解：
x
时，
1 x
1
0， 2x
20
1
1 ，则 2x
1
0 是无穷小
x
0 时，
1 x
1
， 2x
1
，则 2x
1
3 1 解：分析同 3 题类似，原式 lim x
2 x2
3
x
1
1 x4
5. lim x( x2 1 x) x
解：分子或分母有理化是求极限时常用的变形技巧
原式 lim x( x
x2 1 x)(
x2
1
x)
抓大头
lim
x2 1 x
x
1
1
lim
x
2x 715
210 35
215
3 2
5
5. limln[(sin 2x)3] （ 0 ）. x 4
解：复合函数的极限，从内层到外层逐层讨论
x 时， 2x ,sin 2x 1, (sin 2x)3 1, ln[(sin 2x)3] 0
1.3 无穷小和无穷大的概念 极限的运算法则
一、指出下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量：
分析：极限趋于 0 的量为无穷小，趋于 的量为无穷大，故该类型题关键是求极限 1. y ex
解：
y
ex
1 x e
高等数学上册教材答案详解
高等数学上册教材答案详解在高等数学这门学科中，上册教材的学习内容涵盖了多个重要的数学知识点和概念。
为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，以下将对上册教材中的部分题目进行详细的答案解析。
第一章：函数与极限第一节：函数与映射1.（1）解：函数 f(x) = 2x - 3 是一个一次函数，其图象是一条直线。
2.（2）解：函数 f(x) = x² + 1 是一个二次函数，其图象是一个开口向上的抛物线。
第二节：极限的概念1.（1）解：当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) = (x - 1) / (x² - 1) 的极限是1/2。
2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = sinx / x 的极限是 1。
第三节：极限的性质1.（1）解：若两个函数 f(x) 和 g(x) 在点 x = a 处的极限存在，那么它们的和函数 f(x) + g(x) 在同一点的极限也存在，并且等于两个函数极限的和。
2.（2）解：若函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且不为零，那么对于任意的常数 c，函数 c·f(x) 在该点的极限也存在，并且等于 c 乘以原函数在该点的极限值。
第四节：无穷小与无穷大1.（1）解：当 x 趋近于正无穷时，函数 f(x) = sin(1/x) 是一个无界函数。
2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = 1/x 是一个无穷大函数。
第五节：极限存在准则1.（1）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 和 h(x) 在点 x = a 处的极限都存在且相等于 L，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。
2.（2）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 在点 x = a 处的极限为 L，h(x) 在点 x = a 处的极限为 M，并且对于任意的 x，有f(x) ≥ g(x) ≥ h(x)，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
高数上册：极限概念解析
高数上册：极限概念解析关键信息项：1、极限的定义及表述方式：＿___________________________2、极限的性质与运算法则：＿___________________________3、常见极限类型及求解方法：＿___________________________4、极限与函数连续性的关系：＿___________________________5、极限在实际问题中的应用举例：＿___________________________1、极限的定义及表述方式11 数列极限的定义对于数列｛an}，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记为lim(n→∞） an ＝A 。
12 函数极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当 0＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x 趋于 x0 时的极限，记为lim(x→x0) f(x) ＝ A 。
13 极限的表述方式极限可以用数学语言精确地表述为“ε δ”语言，这种语言的严谨性使得极限的概念更加清晰和准确。
2、极限的性质与运算法则21 极限的唯一性如果数列或函数的极限存在，那么这个极限是唯一的。
22 极限的局部有界性如果函数 f(x) 在 x0 处有极限，那么在 x0 的某一去心邻域内，函数f(x) 是有界的。
23 极限的四则运算法则若lim(x→x0) f(x) 和lim(x→x0) g(x) 都存在，则有：lim(x→x0) f(x) ＋ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ＋lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) g(x) ＝lim(x→x0) f(x) lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) × g(x) ＝lim(x→x0) f(x) × lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ／lim(x→x0) g(x)（lim(x→x0) g(x) ≠ 0）3、常见极限类型及求解方法31 无穷小量与无穷大量无穷小量是以0 为极限的变量，无穷大量是绝对值无限增大的变量。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a 0)；极限严格定义证明，例如：limn 当 an0，|q| 1时 nlim(3x 1) 5；limq ；等等n x 2不存在，当|q| 1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x) g(x)] A B （2）limf(x) g(x) A Bf(x)g(x)AB（3）lim,(此时需B 0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）limsinxxx 0111xxlim(1 ) e lim(1 x) e（2）；xx x 0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1例如：limsin3x3xx 01，lim(1 2x)x 02xe，lim(1x3)3 e；等等。
xx4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1 x)～ex 1。
高中数学极限试题及答案
高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某个去心邻域内有定义，且存在常数\( A \)，使得当\( x \)在\( x_0 \)的去心邻域内且\( x \neq x_0 \)时，都有\( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称\( A \)是函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限，记作\( \lim_{x \to x_0}f(x) = A \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处的极限存在，否则称为极限不存在。
2. 极限的运算法则（1）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B \)。
（3）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B \)（前提是\( B \neq 0 \)）。
3. 极限的计算（1）计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
（2）计算极限\( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) \)。
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1.2 极限的概念
一、观察当n 时下列数列的变化趋势，并判断它们是否收敛，若收敛指出其极限：
1
1.
x (1)
n
n n
3
答：收敛于0 （通过观察趋势可得）
2.x
n 1 ( 1)n
n
答：收敛于0 （因为数列1
n
和
(1)n
n
均收敛于零，由四则运算其和也应收敛于零）
3.x a n (a 1)
n
答：发散（通过观察趋势可得数列趋于无穷大，故发散）
4.x cos n
n
答：发散（cos n (1)n ，通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1，从而发散）
5.x
3(1)
n
n
答：发散（通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1
3
和3，从而发散）
6.
2
1
n
x
n n
3
答：收敛于0 （注意到
n n
2 1 2 1
n
，由于公比的绝对值均小于1，两个等比数列3 3 3
n
n n
2
1
和
3
3
均收敛于零，由四则运算其差也应收敛于零）
二、由函数图形判别下列函数极限是否存在，如存在，则写出其极限：lim cos
1.
x0
x
答：存在，极限为1
x
2.lim cos
x
答：不存在，因为函数值在1之间振荡3.lim ln x
x0
答：不存在，因为函数值趋于负无穷大
4.lim arctan x
x
答：不存在，因为lim arctan x , lim arctan x ，两者不等，故趋于无穷大的极限x 2 x 2
不存在（注：请同学们一定要熟悉y arctan x 的图形！）
lim a x 5.
x0 (a 0, a
1)
答：存在，极限为1
6.lim a x
x (a 0, a
1)
答：不存在。
若a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大；若0 a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大
lim f (x), f (x) 7.
x0
x 1, x 0
x 1, x 0
答：不存在，因为lim f (x) lim (x 1) 1, lim f (x) lim (x 1) 1，两者不等，故趋
x0 x0 x0 x 0
于零的极限不存在
1
8.lim
x x
答：存在，极限为0
三、考察函数f (x)
x
在点x 0 处的左右极限，并说明在x 0 处极限是否存在.
x
解：
x x lim f (x ) lim 1, lim f (x ) lim 1
x 0 x0 x0 x 0
x x
x) lim f (x)lim f (x) 不存在x x
0 0 x 0
四、设函数f (x ) x2 a, x
，若当x 0 时极限存在，求常数a 的值.
e , x 0
x
解：lim f (x) lim e x 1, lim f (x) lim (x2 a) a x0 x0 x0 x0
) 存在 lim f (x) lim f (x) a 1
x0 x0
五、思考并回答下列问题：
1. 如果数列x 收敛，数列
x 是否一定收
敛？n 2n 1
答：是，因为数列收敛的任意子数列也收敛
2. 如果数列x 发散，数列
x 是否一定发
散？n 2n 1
答：不一定，例如( 1)n x 收敛
x 是发散的，但 2 1
2 1 ( 1) n 1
n n
3. 如果数列lim
n x a
，数列
x 是否一定收敛？若收敛，求极限. n n 10
答：是，因为数列的前面有限项不影响数列的极限，lim x n10 a
n
4. 如果数列x 收敛，y 发散，问
x y 是收敛还是发
散？n n n n
答：发散，由数列的性质可得，两数列一个收敛一个发散，其和与差一定发散
5. 如果数列x ，y 均发散，问
x y 是否一定发
散？n n n n
答：不一定，可能收敛可能发散，如数列x (1)n1, y (1)n 都发散，
但数列
n n
x y 0收敛
n n
六、下列命题中正确的是（ C ）.
A. 若lim
n x a ，
lim
n
n
y b
，且a b ，则n
N ，有
n
x y
n n
B. 若lim
n x a ，则
lim
2n 1
n
x
a
n
C. 若lim f (x)
存在，则函数在x a的某去心邻域内有界
x a
D. 若lim ( ) lim ( )，而函数f (x) 在x a无定义，则lim f (x)
f x f x
不存在x a x a x a
解析：A 错误，x n y n不一定对任意n N成立。
由极限的保号性，正确的说法是“若
lim x a , lim y b 且a b ，则至少存在一个正整数N ，使得当n N 时，有
n n x y ”。
n n
n n
说明数列的极限与其前面有限项无关。
B 错误，例如x n
2 1 ( 1) x n 发
散
2 1 收敛于1，但( 1)
n n
C 正确，此命题说明有极限的函数具有局部有界性
一定存在。
说明函数的极限反映了自
D 错误，若lim f (x ) lim f (x)，则lim
f( x)
x a x a x a
变量无限趋近某点过程中函数值的变化规律，与在该点处是否有定义或取值多少无关。