单自由度系统的振动.ppt
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单自由度系统的无阻尼自由振动课件
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必数有关的常数。令 n2 c/ a
则自由振动的微分方程的标准形式：
xn2x0
方程的通解解为：xAsi nnt()
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7
动
力 学或：
xC 1co nts C 2sin n t
C1，C2由初始条件决定
这里A和φ与C1和C2的关系为：
一、自由振动的概念：
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2
动
单自由度系统的自由振动
力
学
以弹簧质量系统为力学模型
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3
动 力运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 学
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
m x m g k(sx)
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4
动 力在静平衡时有： 学
mg k s
振动微分方程为：
m x m g k(sx)
m x kx
令 n2 k / m g / s xn2x 0
方程的通解为：xAsi nnt()
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5
动
力 学
xAsi nnt()
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6
动 二力、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 学对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位
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12
固有频率及固有周期
n
k m
固有圆频率，为了方便也称 为固有频率，是系统的固有 特性，与系统是否振动无关
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
则自由振动的微分方程的标准形式：
xn2x0
方程的通解解为：xAsi nnt()
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7
动
力 学或：
xC 1co nts C 2sin n t
C1，C2由初始条件决定
这里A和φ与C1和C2的关系为：
一、自由振动的概念：
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2
动
单自由度系统的自由振动
力
学
以弹簧质量系统为力学模型
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3
动 力运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 学
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
m x m g k(sx)
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4
动 力在静平衡时有： 学
mg k s
振动微分方程为：
m x m g k(sx)
m x kx
令 n2 k / m g / s xn2x 0
方程的通解为：xAsi nnt()
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5
动
力 学
xAsi nnt()
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6
动 二力、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 学对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位
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12
固有频率及固有周期
n
k m
固有圆频率，为了方便也称 为固有频率，是系统的固有 特性，与系统是否振动无关
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
单自由度系统在简谐激励下的受迫振动.ppt
Solution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:
幅频特性与相频特性
ψ 的讨论
1、 ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 ＝0，响
应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2、 >>1的区域(高频区或惯性控制区)， ψ π ，响应与 β 0， 激励反相；阻尼影响也不大。 3、 ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 ＝1略为偏左 处有峰值。通常将＝1，即 ＝ pn 称为共振频率。阻尼影响 显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。 4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， ＝1时，总有， ＝ /2 ,这也是共振的重要现象。
－曲线族－幅频特性曲线 －曲线族－相频特性曲线
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ 的讨论
－曲线族－幅频特性曲线;－曲线族－相频特性曲线
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差
z Zei ( t ) (Ze i )ei t
Substituting into Eq., we obtain
and
x ( Ze
i
Ze
i
m 2Y k m 2 i c
Y )e
i t
k i c i t ( ) Ye k m 2 i c
第一章(单自由度系统的振动)
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1 k3
k2
√
k4
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1
k3
k2
╳
k4 k1
k3
k2
m
k4
问题3
无质量弹性杆
刚性杆
k
m
等效
k
m
F
k F /
第一章：单自由度系统的振动
第二讲：
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
4
o 势能：V mg(R r)(1 cos ) 1 mg(R r) 2
2
R
m 简谐运动： max sin(nt )
B
rC
Tmax
3m 4
(
R
r
)2
(n
max
)
2
A
D
mg
Vmax
1 2
mg
(
R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
《单自由度系的振动》课件
应用领域
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
结构动力学 -单自由度体系的振动
负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Ae
nt
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd xR
当
2<<1时
2π N 1 2
ln
ln 2π N ln 2π N
此式对估算小阻尼系统的 ζ值是很方便的。例如， 经过10个周期测得P、R两点的幅值比 r=2，将N=10、 r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
2 r1 n n 2 0
2 r2 n n 2 0
微分方程的解为
x e
nt
(C1e
2 n 2 0 t
C2 e
2 n 2 0 t
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
2 x Ae nt sin( 0 n2 t ) 或
x Ae
nt
sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d n
2 0
2
称有阻尼自由振动的圆频率
x Ae
nt
c c m
f (t )
k
m
xs
k
kx
cx
m
o x x
x
m x
o x
振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
dx （2）粘性阻尼力 Fc c cx ；方向与速度方向相反。 dt
cx m x 根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为：
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
第1章 单自由度系统的振动
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
第一部分 单自由度系统的振动
& x0 = A(ωd cos ϕ − ζω n sin ϕ )
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
单自由度体系强迫振动.ppt
1
2 2
yst
1
2 2
,
于是有:
C2 0
于是有:
y(t)
yst
1
1
2 2
(sint sin t)
10 12
yst (sint sin t)
强迫振动的过程可分为两个组成部分,第一部分按荷载 频率作纯强迫振动,第二部分按自振频率作自由振动。 振动开始时两种振动并存，称为“过渡阶段”或“瞬 态”，由于实际振动中存在阻尼力，故经过一段时间后， 将只剩下第一部分仍在振动，第二部分则“衰减”掉了， 这一
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动---动荷载引起的振动,又称受迫振动。
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
一.运动方程及其解
Fp(t) Fp sint
my(t) k11 y(t) Fp sint FP(t) m
y(t)
或
y(t)
2
y(t)
Fp
s in t 10
11
l
EI
m
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
=1
FP
运动方程
振幅
y(t) 12FP sint 11(my)
my(t) 1 y(t) 12 FP sin t
11
11
令
Fp
12 11
FP
A
Fp
m 2
Fp11
12 11
FP11
12FP
yst
my(t
稳态解
)
1
11
y (t )
y(t) Fp
Fp
m 2
sin t s in t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
单自由度体系强迫振动.ppt课件
A
动弯矩幅值图(Md图)
例3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图。已知： 0.5
解:
FP sint
FPl / 2
m
FP
l
=1
EI
l/2
l/2
y st
11
y st
1 EI
1 FPl 22
l 5l 26
5 48
FPl 3 EI
1
1
2
/
2
4 3
A
yst
5 36
FPl 3 EI
FI
max mA 2
mA 1 2
解: 11 0.722 10 7 m/N M Q 35kN Q 2.53103 m
yst FP11 0.722 10 3 m
1 M st 4 FPl 10kN.m
动位移幅值
A yst 2.45 10 3 m
动弯矩幅值
2n / 60 52.3 1/ S
M D M st 34kN.m
Pl / 2 P
EI
l/2
l/2
y(
1 EI
1 Pl 22
l 5l 26
5 48
Pl 3 EI
l
=1 11
1
4
1 2 /2 3
A
yst
5 36
Pl 3 EI
例4:求图示体系右端的质点振幅
FP sint
m EI
k
m
l
l
l
解:
Mo 0
mA 2
FP
o A
1 mA 2
3
计算步骤:
1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的
位移、内力；
yst , Mst
2.计算动力系数；
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由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力
§12-1 单自由度系统无阻尼自由振动
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动
一、振动的微分方程：
ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率
无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；
(3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mg F1 F2
mg (k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k
2
keq k1 k2
并联
st st1 st2
mg mg mg( 1 1 )
k1 k2
k1 k2
q An cos(nt )
设 t = 0 时，q q0 , q q0 代入上两式得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
q C1cosn t C2 sinn t
C1，C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
以平衡位置为计算势能的零位置，
微分方程。
对于其他类型，同理可得。如
单摆：
2
n
0
(
2 n
g
/l)
复摆：
2
n
0
(
2 n
mga /
J)
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式：
解为：
qn2q 0 q Asin(nt )
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。3. 研 Nhomakorabea振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
图示质量——弹簧系统，以平衡位置为 坐标原点，则
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的
st
mg keq
mg(
1 k1
1 k2
)
k
eq
k1k2 k1 k2
串联
二、 求系统固有频率的方法
对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
mg k st
st ——弹簧在全部重力作用下的静变形
于是：
n
g
st
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
设x Asin(nt )
Vmax
1 2
k[(
A
st
)
2
st 2 ] mgA
k st mg
Vmax
1 kA2 2
Tm a x
1 2
mxm2 ax
1 2
mA2
2 n
由
Tm a x
Vm
得
ax
静平衡时： mI (F ) 0,
(M m)gR kst 2R 0
st
M m 2k
g
在任意位置x 时：
F
k ( st
2x)
M
2
m
g
2kx
应用动量矩定理x：
HI
mxR
MxR
1 2
MR2
x R
( 3 M m)Rx 2
mI (F ) (M m)gR F 2R 4kxR
第十八章 单自由度系统的振动
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
1. 振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。
2. 振动的利弊： 利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
1 2
mA
2
2 n
1 2
k A2
n
k m
由Tmax=Vmax求n的方法称为能量法。
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
综上所述，求系统固有频率的方法有：
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q 0
n
g
st
q
q0
cos nt
q0
n
sin
nt
A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置
T ——周期，每振动一次所经历的时间
T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。