线性规划+ILP

目标函数 c = (c1,L cn)T 价值向量 , cj , j = 1,2,L n价值系数 , xj , j = 1,2,L n决策变量 ,
⑵ 规范形式
min cT x
⑶ 标准形式
min cT x
Ax ≥ b s .t . x ≥ 0
Ax = b s .t . x ≥ 0
三种形式的LP问题全都是等价的， 三种形式的 问题全都是等价的，即一种 问题全都是等价的 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的 ， 形式的 可以简单的变换为另一种形式的LP， 可以简单的变换为另一种形式的 且它们有相同的解 . 以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式. 形式
是最优解，则根据相应规则， 是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好 的可行解（极点），直到最优解（或问题无界） 的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）. ），直到最优解 关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求 解过程可参见文献[1]. 解过程可参见文献 然后在实际应用中，特别是数学建模过程中， 然后在实际应用中，特别是数学建模过程中， 遇到线性规划问题的求解， 遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现 有的软件进行求解， 有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划 问题是标准形式. 问题是标准形式 比较常用的求解线性规划模型 的软件包有LINGO和LINDO. 和 的软件包有
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（ 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z = c1 x1 + L+ cn xn A i b 1 a L 系 x +11 x a12+ L + a1nx = b , , p ain i = 1,L s.t . ai1 1 ai 2 2 n i b= M 数 a21 a22 L a2n s aiA = + ai 2 x2 + L + ain xn ≥ bi , i = p + 1,L, x1 1 b 矩 M M M M m a a s + 1,L, m + 2 阵 i1 x1 a ai 2 xa + L +ain xn ≤ bi , i = 右端向量 L mn m1 m2 x j ≥ 0, j = 1,L, q 非负约束 Aj > 自由变量 x j < 0, j = q + 1, n
运 费 产 地
甲
销 地
A B C D
21
25
7
15
乙
51
51
37
15
表 1.1
解
min f = 21 x11 + 25 x12 + 7 x13 + 15 x14 + 51 x21 + 51 x22 + 37 x23 + 15 x24
2
甲
x11 x12
A
x21
x22
B
∑xi1 = 1700 i=1 ∑xi2 = 1100 i=1 ∑xi3 = 200 i=1 ∑xi4 = 100 i=1
第一讲 规划理论及模型
一、引言 二、线性规划模型 三、整数线性规划模型 四、0-1整数规划模型 整数规划模型 五、非线性规划模型 六、多目标规划模型 七、动态规划模型
下 回
停
一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模 年 高教社杯” 我们从 竞 赛的B题 在线租赁” 赛的 题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 在线租赁 谈起. 谈起. 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型 它 在运筹学中处于中心的地位. 在运筹学中处于中心的地位 这类问题一般可以 数学规划模型. 归结为 数学规划模型
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 + c2 x2 + L cn xn , 其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai 1 x1 + ai 2 x2 + L ain xn . 因此上述问题可表述为： 因此上述问题可表述为： min c1 x1 + c2 x2 + L cn xn
a11 x1 + a12 x2 + L a1n xn ≥ b1 a x + a x + La x ≥ b 22 2 2n n 2 21 1 M s .t . a x + a x + La x ≥ b m2 2 mn n m m1 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L xn ≥ 0
s .t . x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 s.t. x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0, i = 1,2; j = 1,2,3,4
∑ aij x j ≥ bi j =1
可引入一个剩余变量 可引入一个剩余变量 si ，用
n
∑ aij x j − sFra Baidu bibliotek = bi , j =1
代替上述的不等式约束. 代替上述的不等式约束.
n
si ≥ 0
对于不等式约束
∑ aij x j ≤ bi j =1
可引入一个松弛变量 可引入一个松弛变量 ri ，用
n
∑ aij x j + ri = bi , j =1
代替上述的不等式约束
n
ri ≥ 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 这样就把一般形式的 变换为标准形式 .
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题， 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备， 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 单纯形方法及其相应的变化形式（ 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 单纯形方法及其相应的变化形式 法，对偶单纯形法等）. 对偶单纯形法等） 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法， 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发， 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判 断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不 断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不 ），
• • • • • • •
LP问题的 问题的Lindo输入范例 问题的 输入范例 MAX 3x1+2x2 ST 2) X1<4 3) X2<3 4) 2x1+3x2<12 END
运输问题 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 例2. 设要从甲地调出物资 吨 资1100吨，分别供给 地1700吨、B地1100吨、C 吨 分别供给A地 吨 地 吨 所示. 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表 所示 吨 地 吨 已知每吨运费如表1.1所示 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 假定运费与运量成正比 在这种情况下， 同的调拨计划，运费就可能不一样 现在问： 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？ 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
这样就把一般形式的LP变换为规范形式. 这样就把一般形式的 变换为规范形式. 变换为规范形式
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式， 为了把一般形式的LP问题变换为标准形式， LP问题变换为标准形式 必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. 对于一个不等式约束
m
n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 即 ∑ ai = ∑ b j ，则称该问题为平衡的运输问题 则称该问题为平衡的运输问题.
i =1 i =1 m n
否则，称为不平衡的运输问题，包括： 否则，称为不平衡的运输问题，包括： 总产量>总销量和总产量 总销量 总产量 总销量和总产量<总销量 总销量和总产量 总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解. 我们的重点就是解决平衡运输问题的求解
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、 线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 简单的一种 2.1 线性规划模型的标准形式 例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 （食谱问题） 种食物， 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c 请确定食谱中n 食物价格分别为 1, c2, …, cn，请确定食谱中 种食 物的数量x 物的数量 1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b 的情况下， 的含量分别不低于 1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低. 总的费用最低
数学模型： 数学模型：
min s .t .
z = ∑ ∑ cij xij
i = 1 j =1
m
n
∑ xij = ai , i = 1,2,L, m j =1 ∑ xij = b j , j = 1,2,L, n i =1
xij ≥ 0, i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n
规划模型的应用极其广泛， 规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及， 越多的人所重视 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 创造的价值无法估量 特别是在数模竞赛过程中， 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 见的一类数学模型 从92-06年全国大学生数模竞 年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看， 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次 占到了 现了 次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 ， 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
2 2 2
∑x1i = 2000
j=1
4
乙
∑x2i = 1100 j=1
4
C x23 x14 x24 D
x13
xij ≥ 0 ( i = 1,2; j = 1,2,3,4)
m in f = 21x11 + 25x + 7x +15x 12 13 14 +51x21 + 51x22 + 37x23 +15x24
目标函数的转化
max z = − min ( − z )
z
o
-z
x
约束条件和变量的转化 为了把一般形式的LP问题变换为规范形式 问题变换为规范形式， ① ． 为了把一般形式的 问题变换为规范形式 ， 我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一 我们必须消除等式约束和符号无限制变量 在一 般形式的LP中 般形式的 中，一个等式约束
一般的运输问题可以表述如下： 一般的运输问题可以表述如下：
要把某种物资从 m 个发点 Ai , i = 1,2,L, m ， 调运给需要这种物资的 n 个收点 B j , j = 1,2,L, n 已知 ∑ ai = ∑ b j ，从 Ai 运一个单位的产品到 B j
i =1 i =1 m n
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案， 现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai 到 B j 的运输量 xij , i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ，在满 足供需要求的条件下，使总运输费用最省. 足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
n
∑ aij x j = bi j =1
可用下述两个不等式约束去替代
∑ aij x j ≥ bi j =1
n
∑ (−aij ) x j ≥ (−bi ) j =1
n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负 变量 x + ≥ 0 和 x − ≥ 0 ，并设 j j
x j = x+ − x− j j