高中数学：2.1.2椭圆的简单性质课时训练 (北师大选修1-1))

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2018-2019数学北师大版选修1-1 第二章1.2 椭圆的简单性质(一) 作业2

[A.基础达标]1．已知椭圆x 216＋y 29＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋43y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－32＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52B.5－1C.2－12D.2－1 解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c，即b 2＝ac ，又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－c 2＝ac ，即c 2＋ac －a 2＝0，所以e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)，所以e ＝－1＋52. 4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 24＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 23＋y 2＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2，b ＝2×32＝ 3. 故该椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a 解析：选D.设F 2为椭圆的右焦点，|F 1P i |＋|F 2P i |＝2a (i ＝1，2，…，99)，P 1，P 2，…，P 99关于y 轴成对称分布， ∑i ＝199 （|F 1P i |＋|F 2P i |）＝2a ×99＝198a ，∑i ＝199| F 1P i |＝12∑i ＝199 (|F 1P i |＋|F 2P i |)＝99a .又因为|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，所以|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |＝99a ＋2a ＝101a .6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35，所以c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．解析：将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m＝1，则必有m >0.因为m ＋1>m >0，所以1m ＋1<1m. 所以a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m. 答案：2m m8．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率e ∈⎣⎡⎭⎫22，1，则实数m 的取值范围为________．解析：当焦点在x 轴上时，可得：⎩⎨⎧0＜m ＜4，22≤4－m 2＜1，解得m ∈(0，2]；当焦点在y 轴上时，可得：⎩⎨⎧m ＞4，22≤m －4m ＜1，解得m ∈[8，＋∞)，故m ∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，因为m －m m ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0，所以m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3. 由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. 所以a ＝1，b ＝12，c ＝32. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)． 10．(1)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程． (2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1. 将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，所以P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝b a，所以b ＝2c . 所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15. 所以e ＝c a ＝55.[B.能力提升]1．已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017解析：选B.若P 在x 轴上方，则P (t ，9（1－t 225）)，Q (t ，－9（1－t 225）)，所以FP →＝(t ＋4，9（1－t 225）)，FQ →＝(t ＋4，－9（1－t 225）)，FP →·FQ →＝3425t 2＋8t ＋7，t ∈(－5，5)，其对称轴为t ＝－5017∈(－5，5)，故当t ＝－5017时， FP →·FQ →取最小值． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为2b ，则该椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－ 2 C.2－1 D.3－ 2解析：选C.由题意知，A (a ，0)，直线BF 的方程为x －c ＋y b＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c 2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，c a ＝2－1，所以e ＝2－1. 3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析：由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．答案：点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为________．解析：由|AO →||AF →|＝|AP →||AB →|＝23＝a a ＋c ，得a ＝2c . 故e ＝c a ＝12. 答案：125．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (0，1)，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆上的一点，求|AP |的最大值．解：(1)因为过点A (0，1)，所以b ＝1，又因为离心率为32，所以a ＝2，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)，则满足x 204＋y 20＝1，得x 20＝4(1－y 20)，所以|AP |2＝x 20＋(y 0－1)2＝4(1－y 20)＋(y 0－1)2，整理得|AP |2＝－3y 20－2y 0＋5＝－3(y 0＋13)2＋163，所以当y 0＝－13时，|AP |max ＝433. 6．(选做题)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝120°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝(m ＋n )2－mn ＝4a 2－mn ≥4a 2－(m ＋n 2)2＝4a 2－a 2＝3a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥34，即e ≥32. 又0<e <1，所以e 的取值范围是[32，1)． (2)证明：由(1)知mn ＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12mn sin 120°＝3b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。

高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案选修1-1

第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系解的个数 Δ的取值相交两解 Δ＞0 相切一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2，故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称．已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ，则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)，则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500，当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围．【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】因为椭圆过点(1，22)，e ＝22，所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1，因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2，所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

北师大高中数学选择性必修第一册第二章1.2 椭圆的简单几何性质课时作业14椭圆的简单几何性质(含答案

北师大高中数学选择性必修第一册第二章1.2 椭圆的简单几何性质课时作业14椭圆的简单几何性质（含答案）北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业14椭圆的简单几何性质(原卷版)角一、选择题1. 椭圆＝1的离心率为(C)A. B.C. D.2. 椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率分别是(A)A.10，8，B.5，4，C.10，8，D.5，4，3. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，则(D)A.a2＝15，b2＝16B.a2＝9，b2＝25C.a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D.a2＝25，b2＝94. 椭圆＝1的焦点坐标是(C)A.(±2，0)B.(±4，0)C.(0，±2)D.(0，±4)5. 椭圆＝1(a＞b＞0)和＝k(k＞0)具有(C)A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点6. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1的焦距为4，则C的离心率为(C)A. B.C. D.7. 在椭圆＝1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，△MF1A2面积的最大值为(A)A.16B.32C.16D.328. (多选题)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(BCD)A. B.C. D.二、填空题9. 椭圆＋y2＝1的离心率是，焦距是2 .10. 已知椭圆的半短轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为(2，4].11. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＝1(a＞b＞0)的焦距为2C.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为(2，4].三、解答题12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3，0)，离心率e＝.13. 如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.14. 若焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)的离心率为，则a的值为(C)A.9B.6C.3D.2C.15. 设F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，点P在C上，e 为C的离心率. 若△PF1F2是等腰直角三角形，则e＝或－1；若△PF1F2是等腰钝角三角形，则e的取值范围是(2，4].16. 已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2(O为坐标原点)的面积为2，求椭圆的方程.北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业14椭圆的简单几何性质(解析版)一、选择题1. 椭圆＝1的离心率为(C)A. B.C. D.解析：在椭圆＝1中，a＝4，b＝3，c＝，因此，该椭圆的离心率为e ＝. 故选C.2. 椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率分别是(A)A.10，8，B.5，4，C.10，8，D.5，4，解析：把椭圆方程化为标准方程＝1，得到a＝5，b＝4，则c＝3，所以长轴和短轴的长分别为10，8，椭圆的离心率e＝. 故选A.3. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，则(D)A.a2＝15，b2＝16B.a2＝9，b2＝25C.a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D.a2＝25，b2＝9解析：因为椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，所以a2＝25. 又因为椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，所以b2＝9. 故选D.4. 椭圆＝1的焦点坐标是(C)A.(±2，0)B.(±4，0)C.(0，±2)D.(0，±4)解析：由条件可知a2＝10，b2＝6，△c2＝a2－b2＝4，并且焦点在y轴，所以焦点坐标是(0，±2). 故选C.5. 椭圆＝1(a＞b＞0)和＝k(k＞0)具有(C)A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点解析：椭圆＝1的离心率e1＝＝k可化为＝1(k＞0)，其离心率e2＝. △e1＝e2. 故选C.6. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1的焦距为4，则C的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由题得a2－4＝4，△a2＝8，△|a|＝2. 所以椭圆的离心率为e ＝. 故选C.7. 在椭圆＝1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，△MF1A2面积的最大值为(A)A.16B.32C.16D.32解析：由题意可知点M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值，因为椭圆方程为＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，即有S＝(a＋c)×b＝×8×4＝16. 故选A.8. (多选题)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(BCD)A. B.C. D.解析：由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又由|PF1|＝2|PF2|，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a，又由|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，可得a≤2c，所以e＝，即椭圆的离心率e的取值范围是. 故选BCD.二、填空题9. 椭圆＋y2＝1的离心率是，焦距是2.解析：由椭圆方程＋y2＝1得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆＋y2＝1的离心率是，椭圆的焦距为2.10. 已知椭圆的半短轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为(2，4].解析：△e＝，b＝1，0＜e≤，△.则1＜a≤2，△2＜2a≤4. 即长轴长的取值范围是(2，4].11. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＝1(a＞b＞0)的焦距为2C.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为.解析：设切点为Q，B，如图所示. 切线QP，PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得，所以e＝.三、解答题12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3，0)，离心率e＝.解：(1)设椭圆的标准方程为＝1或＝1(a＞b＞0). 由已知a＝3b且椭圆过点(3，－1)，△＝1或＝1，△或故所求椭圆的方程为＝1或＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知a＝3，，△c＝.△b2＝a2－c2＝9－6＝3.△椭圆的标准方程为＝1. 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知b＝3，，△，△a2＝27.△椭圆的标准方程为＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.13. 如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.解：解法一：设焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意设M点坐标为. 在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2aB.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以，所以e2＝＝1－，所以e＝.解法二：设M，代入椭圆方程，得＝1，所以，所以，即e＝.14. 若焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)的离心率为，则a的值为(C)A.9B.6C.3D.2解析：焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)，可得c＝，由离心率为，可得，解得a＝3. 故选C.15. 设F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，点P在C上，e 为C的离心率. 若△PF1F2是等腰直角三角形，则e＝或－1；若△PF1F2是等腰钝角三角形，则e的取值范围是.解析：当PF1△F1F2或PF2△F1F2时，两条直角边长为2c，斜边长为2c，由椭圆定义，可得2c＋2c＝2a，所以e＝－1；当PF1△PF2时，斜边长为2c，直角边长为c，由椭圆定义，可得c＝2a，所以e＝. 故e＝或－1.当△PF1F2为钝角时，PF1＝F1F2＝2c，由椭圆定义，可得PF2＝2a－2c，再根据形成三角形的条件以及余弦定理，可得2a－2c＜2c＋2c，(2a－2c)2＞4c2＋4c2，解得－1；当△PF2F1为钝角时，同上可得－1；当△F1PF2为钝角时，PF1＝PF2＝a，F1F2＝2c，所以a2＋a2＜4c2，解得＜e＜1. 故－1或＜e＜1.16. 已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2(O为坐标原点)的面积为2，求椭圆的方程.解：如图，△＝0，△AF2△F1F2，△椭圆的离心率e＝，△b2＝a2，设A(x，y)(x＞0，y＞0)，由AF2△F1F2知x＝c，△A(c，y)代入椭圆方程得＝1，△y＝. △△AOF2的面积为2，△c·＝2，而，△b2＝8，a2＝2b2＝16，故椭圆的标准方程为＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质(一)作业北师大版选修1-1(2021年整理)

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2。

1.2 椭圆的简单性质（一)[A。

基础达标]1．已知椭圆错误!＋错误!＝1及以下3个函数：①f(x）＝x；②f(x）＝sin x；③f（x)＝cos x,其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( ）A．1个B．2个C．3个D．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f（x)＝x,f（x）＝sin x为奇函数，f（x）＝cos x为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的两个顶点在直线x＋错误!y＝4上,则此椭圆的焦点坐标是( )A．（±5,0) B．(0,±5）C．(±7,0）D．（0，±错误!)解析：选C.直线x＋错误!y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝错误!＝错误!，故椭圆的焦点坐标为(±错误!,0）．3.如图，A、B、C分别为椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为（）A.错误!B.错误!－1C。

错误! D.错误!－1解析：选A。

[最新]高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习北师大版选修1-1试题及答案解析

高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习北师大版选修1-1一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35[答案] B[解析] 椭圆25x 2＋9y 2＝225化为标准方程为y 225＋x 29＝1，∴a 2＝25，b 2＝9，∴长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝45，故选B.2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.15 B ．34C.33D ．12[答案] D[解析] 由题意得a ＝2c ，∴离心率e ＝c a ＝12.3．椭圆2x 2＋3y 2＝6的焦距是( ) A ．2 B ．2(3－2) C ．2 5 D ．2(3＋2)[答案] A[解析] 椭圆方程可化为x 23＋y 22＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴c ＝1. ∴焦距2c ＝2.4．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D ．5或5153[答案] B[解析] 若5>m ，e ＝5－m 5＝105，m ＝3. 若m >5，e ＝m －5m ＝105，m ＝253. 5．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D ．x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 由2a ＝18得a ＝9，又a －c ＝2c ，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.6．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．x ，y 有相同的取值范围[答案] B[解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25， ∴25－k －9＋k ＝16，故两椭圆有相等的焦距．二、填空题7．(2015·四川)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1，则椭圆E 的方程为________．[答案]x 24＋y 22＝1 [解析] 由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又P 点的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.8．若椭圆两焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程为________．[答案]x 225＋y 29＝1 [解析] ∵焦点为(－4,0)，∴c ＝4，且焦点在x 轴上又最大面积为bc ＝12，∴b ＝3，∴a 2＝16＋9＝25，∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1.三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8；(2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A (1,1)； (3)两焦点间的距离为8，两个顶点分别是(－6,0)，(6,0)．[答案] (1)x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1 (2)x 249＋48y 249＝1 (3)x 236＋y 220＝1或x 236＋y252＝1[解析] (1)由题意得b ＝3，c ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝9＋16＝25∵焦点位置不定，所以存在两种情况． ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a ＝7.∴方程可设为x 249＋y 2b2＝1，又过点(1,1)，代入可得b 2＝4948，∴椭圆方程为x 249＋48y249＝1.当焦点在y 轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b ＝7.∴椭圆方程可设为y 2a 2＋x 249＝1，又过点(1,1)，代入可得a 2＝4948，这与a 2>b 2矛盾，∴不符合题意．综上可知，椭圆方程为x 249＋48y249＝1.(3)∵2c ＝8，∴c ＝4，当焦点在x 轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a ＝6，∴b 2＝36－16＝20，∴椭圆方程为x 236＋y 220＝1.当焦点在y 轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b ＝6. ∴a 2＝36＋16＝52，∴椭圆方程为x 236＋y 252＝1.∴椭圆方程为x 236＋y 220＝1或x 236＋y 252＝1.10．当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．[答案] (1)±5 (2)－5<m <5 (3)m <－5或m >5 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，9x 2＋16y 2＝144.消去y 得，9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14400.(1)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点． (2)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点． (3)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点.一、选择题1．椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 24＝1[答案] A[解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10， ∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20，解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y 216＝1.2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b2a.∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.3．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4．(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )A.34 B ．37 C.38 D ．318[答案] C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ，∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. 二、填空题5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．[答案] (0，22) [解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22. 6．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7，七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝____________.[答案] 35[解析] 根据对称性|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F | ＝12×7×2a ＝12×7×10＝35. 三、解答题7．经过点P (0,2)作直线l 交椭圆C ：x 22＋y 2＝1于A 、B 两点，若△AOB 的面积为23，求直线l 的方程．[解析] 如图所示，直线l 的斜率显然存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并整理得：(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0. ①由韦达定理有x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， ②过O 作OH ⊥AB ，则|OH |＝21＋k2.又∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]，∴S △AOB ＝12|AB |·|OH |＝x 1＋x 22－4x 1x 2.∵S △AOB ＝23，∴x 1＋x 22－4x 1x 2＝23，即9[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4.将②式代入得9[(－8k 2k 2＋1)2－4×62k 2＋1]＝4，即4k 4－32k 2＋55＝0，∴k 2＝112或k 2＝52. 又①式的判别式Δ>0，得2k 2－3>0，k 2>32.∴k ＝±222，k ＝±102均满足．故直线l 的方程为y ＝±222x ＋2或y ＝±102x ＋2. 8．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[答案] －2<k <－32或32<k <2[解析] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线ly ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 24＋y 2＝1消去y ，整理得(k 2＋14)x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4(k 2＋14)×3＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32. ①又0°<∠AOB <90°⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14.∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0.即k 2<4.∴－2<k <2. `②故由①②得－2<k <－32或32<k <2.。

高中数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质探究导学课型 word版含答案

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课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=，所以c=2，所以b2=a2-c2=16-12=4，所以椭圆的标准方程为+=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线+=1的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a==5，b==3，所以e==.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )A.14B.16C.18D.20【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10+2×4=18，故选C.4.设F1， F2是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2=2c⇒e==.5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|=，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以|PF2|=，根据椭圆定义得=2a，从而可得e==.【一题多解】选B.设|F1F2|=2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|=c，|PF2|= c.所以|PF1|+|PF2|=2c=2a，离心率e==.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知椭圆+=1的离心率e=，则m的值为__________.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=，所以=，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=，所以=，解得m=.故m=3或m=.答案：3或【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为__________.【解析】因为b=1，所以c2=a2-1，又==1-≤，所以≥，所以a2≤4，又因为a2-1>0，所以a2>1，所以1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.答案：(2，4]8.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·取最小值时|+|的取值为__________.【解析】由已知得a=2，b=，c=1，所以F2(1，0)，A1(-2，0)，设P(x，y)，则·=(1-x，-y)·(-2-x，-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2=3-x2，代入上式，得·=x2+x+1=(x+2)2.又x∈，所以当x=-2时，·取得最小值.所以P(-2，0)，求得|+|=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3，0)，离心率e=.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，因为e==，所以c=，所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为+=1.若焦点在y轴上，则b=3，因为e====，解得a2=27.所以椭圆的标准方程为+=1.综上可知，所求椭圆标准方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为+=1.10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°==，即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③由②③得|PF1||PF2|=.④由①和④运用基本不等式，得|PF1||PF2|≤，即≤a2.由b2=a2-c2，故(a2-c2)≤a2，解得e=≥.又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为.【一题多解】设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°.在Rt△OB1F2中，e==sin∠OB1F2≥sin 30°=.又因为e<1，所以该椭圆的离心率的取值范围为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.将椭圆C1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程，即C1：+=1，从而得C2：+=1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上.e1==e2，故离心率相等.2.(2015·广安高二检测)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点，若·=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由·=0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2=，设|PF2|=m，则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=)，即4c2=5m2，c=m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，所以a=.所以离心率e==.【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( ) A.(0，3) B.C.(0，3)∪D.(0，2)【解析】选C.当k>4时，c=，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c=，由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故=a，解得e==.答案：4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为__________.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S=×2c×b=bc=1≤=.所以a2≥2.所以a≥，所以长轴长2a≥2.答案：2【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a和a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积最大”准备了条件.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2.求椭圆C的离心率.【解题指南】由=2，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，其中F是左焦点，B是上顶点，则F(-c，0)，B(0，b)，设D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，所以解得x=-c，y=-.又因为点P在椭圆C上.所以+=1.整理得=，所以e==.6.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P (x0，y0)，且+=1，所以||2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0=4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.关闭Word文档返回原板块。

高中数学选修1-1课时作业1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] 由椭圆的对称性知点(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9[答案] D3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52 B.33 C.12 D.13 [答案] B[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________． [答案] 14[解析] 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有________． ①相同的顶点 ②相同的离心率③相同的焦点 ④相同的长轴和短轴[答案] ②[解析] 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故②正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升8．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 [答案] D[解析] 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. [答案] 14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有1－1m 1＝32，解得m ＝4；当1m>1时，依题意有1m －11m ＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．[答案] 2－1 [解析] 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m. ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32. 12. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|.而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a 3，所以2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质训练含解析北师大版选修1_1

1.2 椭圆的简单性质A组1.下面是关于曲线4x2=12-3y2对称性的一些叙述:①关于x轴对称;②关于y轴对称;③关于原点对称;④关于直线y=x对称.其中正确叙述的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线方程4x2=12-3y2可化为x23+y24=1,故该曲线为焦点在y轴上的椭圆,由椭圆的性质,知该曲线关于x轴、y轴、原点对称,将曲线方程中的x换成y,y换成x,得y 23+x24=1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线y=x对称.答案:C2.已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因为m>0,所以m=3.答案:B3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则椭圆C的方程是()A.x23+y24=1 B.x242√3=1C.x24+y22=1 D.x24+y23=1解析:设椭圆C的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),则c=1,e=ca =12,所以a=2,b=√3,所以椭圆C的方程是x 24+y23=1.答案:D4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.√22B.√2-12C.2-√2D.√2-1解析:由已知|PF2|=2c,∴|PF1|=2√2c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即2√2c+2c=2a,∴e=ca =√2+1=√2-1.答案:D5.已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m=( ) A.14B.12C.2D.4 解析:将椭圆方程化为标准方程为x 2+y 21m=1.因为焦点在y 轴上,所以1m >1,所以0<m<1, 由方程得a=√1m ,b=1. 因为a=2b ,所以m=14.答案:A6.设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于 . 解析:因为AB ⊥x 轴,所以点D 为F 1B 的中点,且|AF 2|=b 2a .又AD ⊥F 1B , 所以|AF 1|=|AB|,所以2a-b 2a =2b 2a,所以b 2a 2=23,e 2=1-b 2a 2=13,所以e=√33. 答案:√337.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e ≤√32,则长轴长的取值范围为 . 解析:因为0<e ≤√32,所以0<e 2≤34.又因为e 2=1-b 2a 2,b=1,所以0<1-1a 2≤34, 所以-34≤1a 2-1<0,所以14≤1a 2<1, 所以1<a 2≤4,所以1<a ≤2, 所以长轴长2a ∈(2,4]. 答案:(2,4]8.椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则椭圆E 的方程为 .解析:由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ).又P 点的坐标为(0,1),且PC⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, 于是{1-b 2=-1,ca=√22,a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=√2,所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1.答案:x 24+y 22=19.导学号01844012如图所示,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且MF 2⊥F 1F 2,∠MF 1F 2=30°.试求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ,因为MF 2⊥F 1F 2,所以△MF 1F 2为直角三角形. 又∠MF 1F 2=30°,所以|MF 1|=2|MF 2|,|F 1F 2|=√32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|+|MF 2|=2a , 因此|MF 1|=4a3,|MF 2|=2a3, 所以2c=√32×4a 3,即ca =√33, 即椭圆的离心率是√33.B 组1.椭圆的焦点在x 轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4√5,则椭圆的标准方程为( ) A.x 236+y 216=1 B.x 216+y 236=1 C.x 26+y 24=1D.y 26+x 24=1解析:由题意得c=2√5,a+b=10,∴b 2=(10-a )2=a 2-c 2=a 2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案:A2.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3解析:椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a ,∴最长的弦为2a=4,最短的弦为2b2a =2×32=3,故选B.答案:B3.(2014大纲全国高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为()A.x23+y22=1 B.x23+y2=1C.x212+y28=1 D.x212+y24=1解析:∵x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,∴ca =√33.又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点, △AF1B的周长为4√3,∴4a=4√3,∴a=√3.∴b=√2,∴椭圆方程为x23+y22=1,选A.答案:A4.已知椭圆C :x 22+y 2=1的两焦点为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)满足0<x 022+y 02<1,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 .解析:由于0<x 022+y 02<1,所以点P (x 0,y 0)在椭圆x 22+y 2=1内部,且不能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|PF 1|+|PF 2|<2a=2√2,且|PF 1|+|PF 2|的最小值为点P 落在线段F 1F 2上,此时|PF 1|+|PF 2|=2.故|PF 1|+|PF 2|的取值范围是[2,2√2). 答案:[2,2√2) 5.导学号01844013如图所示,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ,b ,c ,则焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),M 点的坐标为(c ,23b), 则△MF 1F 2为直角三角形.在Rt △MF 1F 2中,|F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2, 即4c 2+49b 2=|MF 1|2.而|MF 1|+|MF 2|=√4c 2+49b 2+23b=2a , 整理得3c 2=3a 2-2ab.又因为c 2=a 2-b 2, 所以3b=2a , 所以b 2a 2=49, 所以e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=59,所以e=√53.6.导学号01844014在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l 上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2',则F2'(-9,12),那么F1F2'与直线l的交点即为所求的点P.易知F1F2'的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得P(-5,4).(2)由(1)知2a=6√5,a=3√5,∴b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为x 245+y236=1.。

高中数学选修1-1课时作业10：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1.椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A.8,2B.5,4C.5,1D.9,12.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67B.167C.716D.763.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A.b 2B.abC.acD.bc 4.若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(a ，b )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a ，b 的取值来确定5.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )A.x ＋2y －3＝0B.2x ＋y －3＝0C.x －2y ＋3＝0D.2x －y ＋3＝0 6.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22B.±22C.12D.±12二、填空题7.直线x ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________. 8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.9.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________.10.若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，若n m ＝2，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为________.三、解答题11.已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线x －3y ＋2＝0的交点，点M 是AB 的中点，且点M 的横坐标为－12，若椭圆C 的焦距为8，求椭圆C 的方程.12.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点). (1)求证：1a 2＋1b 2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈[33，22]，求椭圆长轴长的取值范围.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程.[[答案]]精析1.D2.B [椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1， ∴F (－2，0).又∵直线AB 的斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋122x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167.] 3.D4.C [∵直线与圆没有交点，∴d ＝4a 2＋b 2>2，∴a 2＋b 2<4，即a 2＋b 24<1， ∴a 29＋b 24<1， ∴点(a ，b )在椭圆内部，故直线与椭圆有2个交点.]5.A [易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0.设交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.]6.B7.(－3，3) 8.3－1[[解析]] 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0).∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c ， ∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 9.53[[解析]] 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △OAB ＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积).10.22[[解析]] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1， ①mx 22＋ny 22＝1， ② ①－②得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即m n ＋y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝0.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－1，m n ＝22， ∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝22， ∴k OM ＝22. 11.解设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，依题意得⎩⎨⎧ x 2A a 2＋y 2A b 2＝1，x 2Ba 2＋y 2Bb 2＝1，∴2x M a 2＋2y M b2k AB ＝0， ∵点M (－12，12)， ∴－1a 2＋1b 2×13＝0， ∴a 2＝3b 2.又∵c ＝4，∴a 2＝24，b 2＝8，经检验，a 2＝24，b 2＝8符合题意，∴椭圆C 的方程为x 224＋y 28＝1. 12.解 (1)椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0，得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0， ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b 2等于定值. (2)∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6].13.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得，a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ∆＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k |(－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单性质 Word版含解析

1．2椭圆的简单性质授课提示：对应学生用书第14页一、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围|x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 顶点(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c对称性对称轴坐标轴，对称中心原点离心率e＝ca二、当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．[疑难提示]椭圆方程中a，b，c的意义结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示．[想一想]1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?提示：可以．由于e＝ca，又c＝a 2－b2，故e＝ca＝a2－b2a＝1－b2a2.[练一练]2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：由b ＝c 得c 2＝b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2c 2即c 2a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 答案：B3．椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________．答案：18 6 (0，±62) (±3,0)和(0，±9) 223授课提示：对应学生用书第15页探究一由椭圆方程得椭圆的几何性质[典例1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率． (1)4x 225＋y 216＝1； (2)m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)．[解析] (1)椭圆的方程4x 225＋y 216＝1可转化为x 2254＋y 216＝1.∵16>254，∴焦点在y 轴上，并且长半轴长a ＝4，短半轴长b ＝52，半焦距c ＝a 2－b 2＝16－254＝392，∴长轴长2a ＝2×4＝8，短轴长2b ＝2×52＝5，焦点坐标为(0，－392)，(0，392)，顶点坐标为(－52，0)，(52，0)，(0，－4)，(0,4)，e ＝c a ＝398. (2)椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)，可化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m )，e ＝c a ＝32.已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a 与b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D2．已知椭圆mx 2＋(m ＋9)y 2＝25m (m >0)的离心率e ＝35，求实数m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解析：椭圆的方程可化为x 225＋(m ＋9)y 225m ＝1.∵25－25m m ＋9＝225m ＋9>0，∴25>25mm ＋9，即a 2＝25，b 2＝25m m ＋9，c 2＝a 2－b 2＝225m ＋9，由e ＝35，得22525(m ＋9)＝925，∴m ＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．探究二利用几何性质求标准方程[典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率e ＝63. [解析] (1)由a ＝2，e ＝12，可得a 2＝4，且c 2＝12，即c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y 轴上，所以所求的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b ＝5，所以a 2＝b 2＋c 2＝25＋9＝34.因此所求的标准方程为x 234＋y 225＝1.(3)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27，所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a 2，b 2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 解析：由椭圆的定义可知2a ＋2a ＝12，即a ＝3.由e ＝a 2－b 2a ＝23，解得b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.答案：D4．求符合下列条件的椭圆标准方程： (1)焦距为8，离心率为45；(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．解析：(1)由题意，因为2c ＝8，所以c ＝4；又因为c a ＝45，所以a ＝5，所以b 2＝9，焦点在x 轴上时，椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时，椭圆标准方程为y 225＋x 29＝1.(2)由题意，a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，所以解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时，椭圆标准方程为x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时，椭圆标准方程为y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b .① 又过点(2，－6)，因此有22 a2＋(－6)2 b2＝1或(－6)2a2＋22b2＝1.②由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.探究三椭圆的离心率椭圆的离心率—⎪⎪⎪⎪—直接法求椭圆的离心率—方程思想求椭圆的离心率—利用椭圆的定义求离心率—求椭圆的离心率的取值范围5．椭圆x24＋y29＝1的离心率是()A.53 B.52C.133 D.132解析：由方程知a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝5，∴e＝ca＝53.答案：A6．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.55 B.22C.33 D. 3解析：设椭圆的焦距为2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，∴e＝55.故选A.答案：A(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．答案：27－57．F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a，即m＋m＋2m＝4a，(2＋2)m＝4a.∴m＝(4－22)a.又|PF2|＝2a－m＝(22－2)a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2.∴c2a2＝9－62＝3(2－1)2，∴e＝ca＝3(2－1)＝6－ 3.8．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．解析：由余弦定理得cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，即|PF 1|·|PF 2|＝4b 23，∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2， ∴3a 2≥4(a 2－c 2)，解得c a ≥12，又∵0<e <1，∴所求椭圆离心率e 的取值范围为[12，1)．因忽略讨论椭圆焦点位置致误[典例] 若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________.[解析] 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k ，因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝43.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k .由e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以－k 4＝14. 所以k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.[答案] 43或－1[错因与防范] 本例易主观认为焦点在x 轴上，漏掉另一个解－1，从而导致答案不全面．对椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1，当分母含参数时，一要注意隐含条件分母m >0，n >0，m ≠n ，二要注意讨论焦点位置(即分母大小).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学选修1-1课时作业4：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）1.直线y =kx －k ＋1与椭圆22x y 194＋＝的位置关系为( ) （A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定2.已知椭圆2222x y 1a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP 2PB =u u u r u u u r ，则椭圆的离心率是( )（A）（B）（C ）13 （D ）123.过点M （-1，12）的直线l 与椭圆x 2+2y 2=2交于A ，B 两点，设线段AB 中点为M ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( )（A ）2 （B ）-2 （C ）12（D ）-124.若点（x ,y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则y x 2-的最小值为 ( ) （A ）1 （B ）-1（C）D ）以上都不对 5.已知椭圆C 的方程为2222x y 1a b+=(a ≥2b >0)，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______. 6.F 1,F 2是椭圆22x y 12+=的两个焦点,过F 2作倾斜角为4π的弦AB ,则△F 1AB 的面积为_______.7.已知椭圆22x y 182+=过点M （2，1），O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0）.（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系;（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值.8.设椭圆C:2222x y1a b+=(a>b>0)过点（0，4），离心率为35.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.9.已知大西北某荒漠上A，B两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.（1）试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程；（2）农艺园的最大面积能达到多少？（3）该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A，且l与AB成30°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，因此，对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，则暂不加固的部分有多长？[[答案]]1.[[解析]]选B.直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1,1)．又∵2211194+<，∴点(1,1)在椭圆22x y 194+＝内部， ∴直线y ＝kx －k ＋1与椭圆相交，故选B .2.[[解析]]选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，2B b y .a＝设P (0，t )，AP 2PB,=u u u r u u u r Q∴(－a ，t )＝2(－c ，2b a－t ). ∴a ＝2c ，∴c1a 2＝，即e =12. 3.[[解析]]选D.设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）.则2211x 2y 2+= ①2222x 2y 2+= ②②-①，得（x 2-x 1）(x 2+x 1)+2(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,即()21122112y y x x x x 2y y -+=--+， 21121y y 2k 1,x x 21--∴==-=-⨯ 而21012k 102-==---，故k 1·k 2=-12. 4.[[解析]]选C.y x 2-表示椭圆上的点（x ,y ）与定点（2，0）连线的斜率. 不妨设y x 2-=k ，则过定点（2，0）的直线方程为y =k (x -2).由()22y k x 24x y 4⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得（k 2+4）x 2-4k 2x +4k 2-4=0. 令Δ=(-4k 2)2-4(k 2+4)·（4k 2-4）=0,得k∴k m in即y x 2-的最小值为5.[[解析]]离心率e === ∵a ≥2b ，b 10e a 22∴≤∴=≥=＜，，又0<e <1，∴e∈［2,1). [[答案]]［2,1) 6.[[解析]]不妨设椭圆的右焦点为F 2(1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程为y ＝x －1. 由22y x 1,x y 1,2=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2-4x =0， ∴x 1=0,x 2=43.根据弦长公式得12AB x 3=-= 椭圆的左焦点为F 1(-1,0)到直线AB的距离d ==1F AB 114S d AB .2233∴===V [[答案]]437.[[解析]]（1）由题可知l OM 1k k ,2==当m =3时，直线l 的方程为y =12x +3.由221y x 3,2x y 1,82⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x 2+6x +14=0.∵Δ=36-4×14=-20<0,∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点，此时直线l 和椭圆相离.（2）设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y =12x +b , 联立221y x b,2x y 182⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得x 2+2bx +2b 2-4=0, ∴Δ=(2b )2-4(2b 2-4)=0，解得b =±2,∴直线a 的方程为y =12x ±2. 所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y =12x +2的距离d == 8.[[解析]]（1）将（0，4）代入C 的方程得2161b =， ∴b =4.又c 3e a 5==，得222a b 9a 25-=，即21691a 25-=， ∴a =5，∴C 的方程为22x y 1.2516+= （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x -3). 设直线与C 的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将直线方程y =45(x -3)代入C 的方程，得()22x 3x 12525-+=，即x 2-3x -8=0，解得1233x x 22+==∴AB 的中点坐标()121212x x y y 326x y x x 622255++====+-=-，，即中点坐标为36(,).25-【另解】第（2）问另解：设直线与C 的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，其中点为(x 0,y 0). 将直线方程y =45(x -3)代入C 的方程，得()22x 3x 12525-+=，即x 2-3x -8=0，由根与系数的关系，得x 1+x 2=3，120x x 3x 22+∴==，将03x 2=代入直线y =45(x -3)，得06y 5=-，所以所求的中点坐标为36(,).25- 9[[解析]]以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.则A （-1，0），B （1，0）.（1）由题意可知，C ，D 两点在以A ，B 为焦点的一个椭圆上.∵□ABCD 的周长为8,∴2a =4,而2c =2,∴b 2=a 2-c 2=3. 故所求椭圆的标准方程为22x y 143+=(y ≠0),即为C ，D 两点的轨迹方程. （2）易知：当C ，D为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为2.（3）求l :y(x +1)被椭圆22x y 143+=截得的线段长.设线段端点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由)22y x 1,3x y 1,43⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得13x 2+8x -32=0,由根与系数的关系，得1212832x x ,x x ,1313+=-=-g4813=，∴暂不加固的部分为4813km.。

北师大版数学高二-选修1试题 2.1.2椭圆的简单性质

2.1.2椭圆的简单性质同步练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于( ) A.12 B.22C. 2D ．22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 3．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或 x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或 y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或 y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定4．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C.33D ．不能确定二、填空题(每小题5分，共10分)5．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率e ＝32，则其标准方程为________． 6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63.8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．9．(10分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．2.1.2椭圆的简单性质同步练习答案一、选择题1.解析：由2c＝2b得b＝ca2＝c2＋b2＝2c2所以e＝ca＝2 2答案： B2.解析：可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，2a ＝12，a ＝6，e ＝c a ＝13可得c ＝2，所以可求得b 2＝a 2－c 2＝32，选D. 答案： D3.解析：由题意，a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.答案： C4.解析：由题意知正三角形的边长为a ，c 为正三角形的高，故e ＝c a ＝32.答案： B二、填空题5.解析：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.答案： y 24＋x 2＝16.解析：设椭圆的长半轴为a ，由2a ＝12知a ＝6，又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案： x 236＋y 29＝1三、解答题7.解析： (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝3b 且椭圆过点(3，－1)， ∴323b2＋1b 2＝1或13b2＋32b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82，b 2＝829，故所求方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时， ∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∵椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.8.解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵PF 2∥AB ，且kPF 2＝b 2a －c －c ＝－b 22ac ，又k AB ＝－ba，∴由kPF 2＝k AB ，得－b 22ac ＝－ba .∴b ＝2c ，a ＝5c ，∴e ＝55. 9.解析：椭圆方程化为y 2m ＋x 2mm ＋3＝1，⎩⎨⎧m >0m m ＋3>0m ≠m m ＋3，∴m >0.∵m －m m ＋3＝m m ＋2m ＋3>0，∴m >m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m m ＋2m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1， ∴椭圆的标准方程为y 2＋x 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32，∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，⎝⎛⎭⎫0，－32，顶点坐标为A 1(0，－1)，A 2(0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫－12，0，B 2⎝⎛⎭⎫12，0.。

【精讲优练】高中数学北师大选修1-1课时练：2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用(含答案解析)

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课时提高作业十椭圆方程及性质的应用一、选择题 (每题 5 分，共1.直线 y=kx-k+1 与椭圆+25 分)=1 的地点关系是()A. 订交B. 相切C.相离D.不确立【分析】选 A. 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点 (1， 1)，且该点在椭圆内部，所以必与椭圆相交 .2.(2016 ·西安高二检测)椭圆+ =1 的右焦点到直线y=x 的距离是 ()A. B.C.1D.【分析】选 B. 椭圆右焦点坐标为(1， 0)，到直线x-y=0的距离为d== .3.直线y=1被椭圆+ =1截得的线段长为()A.4B.3C.2D.【分析】选 C.联立直线与椭圆的方程得x2=2，故x=±.故直线与椭圆的交点坐标为(-，1)，(， 1)，故截得的弦长为-(-)=2.4.(2016 ·宝鸡高二检测 )已知直线 l 经过点 P(3， -1)，且椭圆 C：+ =1，则直线 l 与椭圆C 的公共点的个数为 ()A.1B.1或2C.2D.0【分析】选 C.由于直线 l 过点 (3， -1) 且 +<1，所以点 (3， -1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有 2 个公共点.【赔偿训练】点A(a， 1)在椭圆+ =1 的内部，则 a 的取值范围是()A.-<a<B.a<-或a>C.-2<a<2D.-1<a<1【分析】选 A. 由于点A(a ， 1)在椭圆+ =1 的内部，所以+ <1，所以< ，则 a2<2，所以 -<a<.5.已知椭圆x2+2y 2=4，则以 (1， 1)为中点的弦的长度是()A.3B.2C. D.【解题指南】设弦的两头的端点为(a， b)和 (2-a， 2-b)，列方程组求得两头点的坐标从而求出弦长.【分析】选 C.设弦的两头的端点为(a，b)和 (2-a，2-b)，列方程组解得a=1+， b=1-或a=1-， b=1+，两头点的坐标为和，弦长为=.二、填空题 (每题 5 分，共 15 分 )6.直线 l： 2x+by+3=0 过椭圆 C： 10x 2+y 2=10 的一个焦点，则 b 的值为 ________.【分析】由10x 2+y 2=10 可得 x2+ =1，故椭圆焦点为F1(0， -3)， F2(0， 3)，所以 b=1 或 b=-1.答案： 1 或-17.(2016 ·广州高二检测 )已知 F1，F2是椭圆 C： +=1 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且∠ F1 PF2=30 °，则△ PF1F2的面积为 ________.【分析】由椭圆C：+ =1 的焦点三角形的面积公式，得=b 2tan=4tan15° =8-4.答案： 8-4【赔偿训练】 (2015·赣州高二检测 )已知以 F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.【分析】设椭圆方程为+=1(a>b>0) 与直线方程联立消去x 得2222222，(a +3b )y +8 b y+16b-a b =0由=0 及 c=2 得 a2=7，所以 2a=2.答案： 28.(2016 ·西安高二检测 )已知 F1， F2为椭圆+ =1(a>b>0) 的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB ，若△ AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 e=，则椭圆的方程是 ________.【解题指南】依据椭圆的定义及离心率公式求基本量的值即可.【分析】依题意，得4a=16，所以 a=4.又 =，所以 c=2222， b =a -c =4.所以椭圆的标准方程为+=1.答案：+=1三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )9.若直线y=kx+1(k∈ R)与椭圆+ =1恒有公共点，务实数m 的取值范围.【分析】方法一：直线恒过必定点(0， 1)，当 m<5 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长b=，要使直线与椭圆恒有交点，则≥ 1 即 1≤ m<5，当 m>5 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长a=可保证直线与椭圆恒有交点即m>5 ，综述： m≥ 1 且 m≠ 5.方法二：直线恒过必定点(0， 1)，要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点 (0，1)在椭圆内部+≤ 1，即m≥ 1，所以m≥ 1且 m≠ 5.【赔偿训练】若直线l：y=kx+1 与椭圆+ =1 交于 A ，B 两点，且 |AB|=，求直线l 的方程 .【分析】联立消去 y 得(1+2k 2)x2+4kx-2=0 ，设 A(x 1， y1)， B(x2，y2)，则 x1+x 2=-，x1x2=-，那么 |AB|==，整理得 4k4 -5k2+1=0 ，解得 k= ± 1， k=±，故直线 l 的方程为y=± x+1 或 y= ± x+1.10.(2016 ·榆林高二检测)如图，椭圆E：+=1(a>b>0) 经过点A(0 ， -1) ，且离心率为.(1) 求椭圆 E 的方程 .(2) 经过点 (1， 1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不一样两点P， Q(均异于点 A) ，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.222与 e= 求解 .【解题指南】 (1)利用 a =b+c(2) 设直线方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系化简计算即可.【分析】 (1)由题意知=，b=1，综合a2=b2+c2，解得a=，所以，椭圆的方程为+y 2=1.(2) 由题设知，直线PQ 的方程为 y=k(x-1)+1 ，代入2，+y =1得 (1+2k 2)x2 -4k(k-1)x+2k(k-2)=0 ，由已知>0，设 P(x1， y1)， Q(x 2， y2)， x1x2≠ 0，则 x1+x 2=，x1x2=，从而直线AP 与 AQ 的斜率之和k AP+k AQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1.(2016 ·西安高二检测 )已知 F1(-1， 0)， F2(1， 0)是椭圆 C 的两个焦点，过F2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A， B 两点，且 |AB|=3 ，则 C 的方程为 ()A.+y2=1B.+=1C.+ =1D.+=1【分析】选 C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且 c=1，可设 C 的方程为+=1(a>1)，由过 F2且垂直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长 |AB|=3 ，知点必在椭圆上，代入椭圆方程4222=1.化简得 4a -17a +4=0，所以 a =4 或 a = (舍去 ).故椭圆 C 的方程为 +【赔偿训练】已知椭圆+ =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1， F2，过 F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且 PF2⊥ x 轴，则此椭圆的离心率 e 为() A. B.C. D.【分析】选 A. 在 Rt△ PF2F1中，∠ PF1F2=30 °， |F1 F2 |=2c，|PF1|=2|PF2|，依据椭圆的定义得|PF2|= a， |PF1|= a，又 |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，即a2- a2=4c2，所以 e= = .22没有公共点，则过点P(a，b) 的直线与椭圆+ =1的公2.若直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4共点个数为 ()A.0B.1C.2D. 需依据 a， b 的取值来确立【解题指南】依据直线ax+by+4=022没有公共点，可推测点 (a， b)是以原点为圆和圆 x +y =4心， 2 为半径的圆内的点，依据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4 内切于椭圆，从而可知点 P 是椭圆内的点，从而判断可得答案.【分析】选 C.由于直线 ax+by+4=0和圆 x2+y 2=4 没有公共点，所以原点到直线ax+by+4=0的距离 d=>2，所以 a2+b2<4，所以点 P(a， b)是在以原点为圆心， 2 为半径的圆内的点，由于椭圆的长半轴为3，短半轴为 2，所以圆 x2+y 2=4 内切于椭圆，所以点P 是椭圆内的点，所以过点P(a，b) 的一条直线与椭圆的公共点数为 2.二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.直线 l： y=k(x-1) 与椭圆+ =1 的交点个数为 ________.【分析】由于直线l 恒过点 (1， 0)，而点 (1， 0)在椭圆的内部.所以直线l 与椭圆恒有两个交点 .答案： 24.(2016 ·南昌高二检测)若斜率为的直线l与椭圆+ =1(a>b>0) 有两个不一样的交点,且这两个交点在x 轴上的射影恰巧是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为.【分析】由题意易知两交点的横坐标为-c,c,纵坐标分别为- ,,所以由= ? 2b2=ac=2(a2-c2),即 2e2+ e-2=0,解得 e= (负根舍去 ).答案 :三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )5.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 订交于 A ， B 两点， C 是 AB 的中点，若 |AB|=2，OC 的斜率为，求椭圆的方程.【分析】设A(x 1， y1)， B(x 2，y2)，代入椭圆方程，得a+b=1，①a+b=1.②② -①，得a(x 2+x 1)(x2-x1 )+b(y 2+y 1)(y 2-y1)=0.而=k AB =-1 ，=k OC=，则 b= a.又由于 |AB|=|x2-x1 |=|x2-x1|=2，所以 |x2-x1|=2.又由得 (a+b)x 2-2bx+b-1=0 ，所以 x1+x 2=， x1x2=.所以 |x2-x1|2 =(x 1+x 2)2-4x 1x2=-4·=4 ，将 b= a 代入，得 a=， b=，所以所求的椭圆方程为+ y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立，得得 (a+b)x 2 -2bx+b-1=0.设 A(x 1， y1)， B(x2，y2)，则 |AB|==.由于 |AB|=2，所以=1.①设 C(x ， y)，则 x==， y=1-x=.由于 OC 的斜率为，所以=.代入①，得 a= ， b= .所以椭圆方程为+ y2 =1.6.(2015 ·浙江高考 )已知椭圆2上两个不一样+y =1的点 A ， B 对于直线 y=mx+对称 .(1)务实数 m 的取值范围 .(2)求△ AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 ).【分析】 (1) 由题意知m≠ 0 ，可设直线AB的方程为y=-x+b ，由消去 y 整理得，x2-x+b 2-1=0 ，由于直线y=- x+b 与椭圆+y 2=1 有两个不一样的交点，所以=-2b 2+2+>0①，设A，B，则 x1+x 2==，x1x2==，y1+y 2=-(x1+x 2)+2b=，所以线段AB 的中点 M，将点M 的坐标代入直线方程y=mx+ ，解得b=-②，由①②解得m<-或 m> .(2) 令 t=∈∪，则=·，且 O 到直线AB 的距离为d=，设△ AOB的面积为S(t)，所以S(t)=· d=≤，当且仅当t 2= 时，等号建立，故△ AOB 面积的最大值为.封闭 Word 文档返回原板块。

高中数学：2椭圆的简单性质课时训练北师大选修

第二章圆锥曲线与方程第1.2节椭圆的简单性质1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 2．常数a>0，椭圆x 2+a 2y 2=2a 的长轴长是短轴长的3倍，则a 的值为( ) A 、31 B 、3 C 、3或31 D 、3 3．中心在原点，焦点在x 轴的椭圆，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴分成三等分，则此椭圆方程是A 、172y 81x 22=+B 、19y 81x 22=+C 、145y 81x 22=+D 、136y 81x 22=+ 4．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是． 6.椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=34,,| P F 2|=314. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。

参考答案1.选B2.选 C 。

椭圆方程1a2y a 2x 22>+，当2a>a 2，a>1时，a 223a 22⋅=，a=3；当2a<a2时，0<a<1时，a 22a 223=⋅，∴a=31 3.选A 。

2a=18，a=9；2c=⋅312a ，∴c=3，b 2=72 4. 1208022=+y x 5.解析：已知222222242,161164(b a b c y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求； 6. 解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3.在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4, 所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,代入椭圆C 的方程得（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）.设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+y x ① ,1492222=+y x ② 由①－②得 .04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)。

高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1.2 椭圆的简单性质(二)

1.2椭圆的简单性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？知识点二直线与椭圆的位置关系思考1直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]；(2)|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判断例1直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是() A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．命题角度2距离的最值问题例2在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二弦长及中点弦问题例3已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k >0)，若O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最大值．1．经过椭圆x 216＋y 23＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为() A ．6B ．8C ．10D ．162．经过椭圆x 29＋y 26＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为() A ．1B ．2C ．3D ．43．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠34．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB 所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．答案精析问题导学知识点一思考1当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1. 知识点二思考1有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.知识点三思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．题型探究例1A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．] 跟踪训练1解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 例2解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 跟踪训练2解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－83，y ＝13，即P 点坐标为(－83，13)．例3解(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310.(2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得 (1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13， ∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1. 例4解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .引申探究解可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2，又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12·2510－8m 2·|m |2＝25(54－m 2)m 2≤25·(54－m 2)＋m 22＝14，当且仅当54－m 2＝m 2时，等号成立，此时m ＝±104∈[－52，52]． ∴所求直线的方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4解(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，即b ＝3t ，其中t >0，又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0.解得x 1＝0或x 2＝－83k 4k 2＋3. ∵k >0，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|－83k 4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k 4k 2＋3，原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k≤1243＝3，当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32时， △OAB 面积的最大值为 3.当堂训练1．B2.D3.B4.x －2y ＋3＝05．解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329，化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。

北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单性质同步练习.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作椭圆的简单性质同步练习一、选择题1．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1） 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566 C ．875 D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（） A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21二、填空题 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为___________ .12．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题15．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．16．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、 B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）17．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211ba +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.参考答案一、选择题1.D2.D3.D4.A5.A6.D7.B8.D9.C 10.D 二、填空题11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．54三、解答题15． [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．16．[解析]：（1）PB PA PB PA ⊥∴=⋅0 ∴OAPB的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x 0，y 0）即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||210000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|min 00==∆MON S y x 时. 17． [解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=112222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。

高中数学选修1-1课时作业10：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A.7,2，357B.14,4，357C.7,2，57D.14,4，572.已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是( ) A.4B.14C.4或14D.123.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 4.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD.－21－m m －15.设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上，若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 23＋y 24＝1 D.x 212＋y 216＝1 6.从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.327.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a二、填空题8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围是________. 9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为______________.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________.11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.三、解答题12.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质.13.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B (如图).(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.[[答案]]精析1.B2.B3.A4.C5.B6.C [由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，则k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a， ∵OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，即y 0＝bc a. 把P (－c ，bc a )代入椭圆方程，得(－c )2a 2＋(bc a )2b 2＝1， ∴(c a )2＝12，∴e ＝c a ＝22.] 7.D [由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，|F 1P 50|＝a,50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .]8.(2,4]9.x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1 10.5－12 [[解析]] ∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∴∠BAO ＝∠FBO ，∴tan ∠BAO ＝tan ∠FBO ，即b a ＝c b，得b 2＝ac ， ∴a 2－c 2＝ac ，即e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12. 11.6[[解析]] 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204). 因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6. 12.解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率e ＝35. 13.解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0).其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y ).由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2). 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2. ①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1. ② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。