期末复习不等式(1)
1.均值不等式(含答案)
②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n
≥
n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b
≥
≥
ab ≥
2；
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ；
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ；
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ； ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ；
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ； (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
高中数学经典题型-不等式第1专辑(含详细答案)
故：选项 A 排除
C、
2a+b a+2b
＞
a b 选项 D、
a+b 2
＞
2ab a+b
解
去分母，两边同时乘以 b（a+2b）得
2ab+b²＞a²+2ab
把右边的全部移到左边，得：
解
去分母，两边同时乘以 2（a+b）得 （a+b）²＞4ab 左边展开， a²+2ab+b²＞4ab 把左边的 2ab 移到右边，得 a²+b²＞4ab - 2ab 即 a²+b²＞ 2ab 这是不等式的基本公式，是成立的。
A
答案：选 A
第 8 题
设 a＞ b ＞0，那么 2a² A、2 B、4
8 b²-ab C、8
的最小值是（ D、16
）
A12
本题有一定的难度，请同学们自己先做一 遍，实在做不出来，再看后面的答案
题目：求 2a²
仔细观察 8 b²-ab
-
8 b²-ab
解
的最小值 a² 4
因为 a=（a-b）+b ≥2 即：a≥2
2ab +b²
- a² - 2ab＞ 0
化简得：
b²
- a²＞0，
即（b-a）（a+b）＞0------① a、b 是正数，则 a+b 为正。 a > b，所以 b-a 为负，故：①不成立
故：选项 C 排除
选D
经典结论：类似这种讨论 a 与 b 的关系，采取去分母的办法， 既简单，又快捷。
第 5 题
同理： 三式相加得， （ 1 a + 1 b +
1 b
不等式期末复习1
不等式期末复习例1、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都比1大；(3)有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;(4)至少有一个正根。
例2、若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1、解集非空变式2、解集为一切实数例3、如果不等式)1(12->-x m x 对于[]2,2-∈x 成立,求m 的取值范围变1：如果不等式)1(12->-x m x 对于[]2,2-∈m 成立,求x 的取值范围变2：如果不等式)1(122->-x m x 对于R x ∈成立,求m 的取值范围变3：如果不等式)1(122->-x m x 对于[]2,2-∈m 成立,求x 的取值范围例4、（1）已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值。
（2）当x ≥0时，求函数11)(22+++=x x x x f 的值域例5、已知正数b a ,满足3++=b a ab ，求b a +的最小值变1：若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41A B C++的最小值为 ． 变2：若bb a a b a )2(4,022-+>>求的最小值 .变3：已知1422=++xy y x ，求y x 2+的最值课后作业1、不等式022≥+--x x 的解集为 ( ) A.{}12≥-≤x x x 或 B.{}12<<-x x C.{}12≤≤-x x D. Φ2、若0<a <1，则不等式1()()0x a x a--<的解是（ ） A.1a x a << B.1x a a << C. 1x x a a ><或 D. 1x a x a ><或 3、知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．()24,7-B ．()7,24-C ．()(),724,-∞-+∞D ．()(),247,-∞-+∞4、有如下几个命题：①如果x 1, x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根且x 1<x 2，那么不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x ∣x 1＜x ＜x 2};②当Δ＝b 2－4ac <0时，二次不等式 ax 2+bx +c ＞0的解集为∅; ③0x a x b-≤-与不等式(x －a )(x －b )≤0的解集相同；④2231x x x -<-与x 2－2x ＜3(x －1)的解集相同. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．05、函数)0,(1)(≠∈+=x R x x x x f 的值域是( ) A.),2[+∞ B.),2(+∞ C.R D.),2[]2,(+∞--∞6、下列不等式中，与不等式x x --23≥0同解的是( )A.)2)(3(x x --≥0B.0)2)(3(>--x xC.32--x x ≥0D.)2lg(-x ≤0 7、已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是( )A.3-<x 或2->xB.21-<x 或31->xC.3121-<<-xD.23-<<-x8、下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．1y x x =+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．33x x y -=+ D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 9、不等式03221<-+-x x 的解集为( )A.)1,(--∞B.)0,1(-C.),1(+∞D.)1,0(10、α和β是关于x 的方程x 2－(k －2)x +k 2+3k +5=0的两个实根,则α2+β2的最大值为 .11、若实数0,0x y >>，且3412x y +=，则lg lg x y +的最大值是_______________．12、已知a 、b ∈R ,a+b+a 2+b 2＝24,则a+b 的取值范围是_________________.13、设x>y>z ,n ∈N,且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 . 14、若x ，y 满足约束条件03003x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤≤，则2z x y =-的最大值为 ．15、若关于x 的不等式22440x x m -+-≤在[－1，3]上恒成立，求实数m 的取值范围.16、（1）若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最大值 （2）求函数11)(22+++=x x x x f 的值域17、已知集合{}2230,A x x x x R =--≤∈，{}22240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈. （Ⅰ）若[]0,3AB =，求实数m 的值；（Ⅱ）若BC A R ⊆，求实数m 的取值范围.18、在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的一点，且x =||||CB y CA +y x 11+的最小值。
不等式概念及性质知识点详解与练习[1]
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不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥"及“≤"等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a —b 〉0a>b, a —b=0a=b, a-b 〈0a<b 。
（2）分类:①矛盾不等式:不等式只是表示了某种不等关系,它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式:它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞"读作“大于"，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”, 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数;⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意:要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
不等式的期末复习(关键知识点)
不等式的复习易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ． 不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ．一、不等式的基本概念【例1】 不等号的关键词．（1）正数 （2）非负数 （3）超过 （4）不超过 （5）最多 （6）至少 （7）不大于 （8）不小于【例2】 用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；【例3】 根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立 ( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ． 22a bc c>【例4】 若x y x y +>-，y x y ->，那么下列式子正确的是 ( )A ． 0x y +>B ． 0y x -<C ． 0xy <D ． 0yx>【例5】 如果0b a <<，则下列哪个不等式是正确的( )A ．2b ab <B ．2a ab >C ．22b a >D ．22b a ->-二、不等式的解集不等式的解集 在数轴上表示的示意图x a >xax a <xax a ≥xax a ≤a x【例1】 不等式215x +≥的解集在数轴上表示正确的是 ( )DCBA4204206420420-2【例2】 解不等式：3(2)61x x +<-【例3】 解不等式：342163x x --≤；【例4】 不等式132x x +>的负整数解是_______．【例5】 已知12(3)(21)3a a -<-，求关于x 的不等式(4)5a x x a ->-的解集．【例6】 已知m 、n 为实数，若不等式(2)340m n x m n -+-<的解集为49x >，求不等式(4)230m n x m n -+->的解集．【例7】 关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <-，则系数a （ ）A.是负数B.是大于1-的负数C.是小于1-的负数D.是不存在的【例8】 若不等式ax a <的解集是1x >，则a 的取值范围是______．三、不等式组的解集不等式 图示 解集 x ax b >⎧⎨>⎩b ax a >(同大取大数)x ax b <⎧⎨<⎩abx b <(同小取小数)x ax b<⎧⎨>⎩ abb x a <<(大小交叉中间找)x ax b >⎧⎨<⎩ab无解(大大小小没有解)【例1】 不等式组10,2x x ->⎧⎨<⎩的解集是A ．x ＞1B ．x ＜2C ．1＜x ＜2D ．0＜x ＜2【例2】 求不等式组2(2)43,251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．【例3】 不等式组331482x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1【例4】 不等式322x -<-<的正整数解为__________．1、讨论一次不等式组中的字母系数【例5】 不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，求m 的取值范围．【例6】 已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，求a 的取值范围．【例7】解下列不等式：53xx-<-；【例8】523xx-> -2、一元一次不等式组与方程的结合【例9】若方程组4143x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解满足条件01x y<+<，求k的取值范围．【例10】已知关于x、y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y>>，化简3a a+-．【例11】已知关于,x y的方程组2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解为正数．(1)求m的取值范围； (2)化简325m m+--．四、不等式组的解集【例1】某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？【例2】2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B，两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：(1)共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱？【例3】某饮料厂开发了A B，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B，两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：⑴有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；⑵如是A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称甲乙饮料名称Ａ20克40克Ｂ30克20克【例4】某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请选择最省钱的租车方案．。
不等式的性质(1)
针对练习
加上5 加上 (1)如果x 5>4， (1)如果x-5>4，那么两边都 如果 到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到 如果在 的两边都加上 (3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (3)如果在5>- 的两边都加上a+2可得到 如果在5> a+2 (4)如果在-3>- 的两边都乘以7 (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 如果在 (5)如果在8>0的两边都乘以8 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 如果在8>0的两边都乘以 可得
2、 判断 、
Q a < b∴ a − b < b − b
（√）
a b Q a < b∴ < （√） 3 3 Q a < b ∴ − 2 a < − 2 b （×）
Q −2a > 0 ∴ a > 0
Q −a < −3 ∴ a < 3
（×） （×）
我是最棒的 ☞
例１：利用不等式的性质解下 列不等式， 列不等式，并在数轴上表 示解集． 示解集．
2 ( 4 ) x > 50 3
2 解：为了使不等式 x > 50中不等号的一边变为 x，根据不等式 3 3 的性质 2，不等式两边都乘 ，不等号的方向不变， 得 2
x > 75
这个不等式的解集在数轴的表示是
０
75
5x +1 x−5 −2 > 6 4
解：不等式两边同时乘以12，得 不等式两边同时乘以12， 12 2(5x+1)2(5x+1)-2×12>3(x-5) 12>3(x去分母 10x+2-24>3x10x+2-24>3x-15 去括号 10x-3x>2410x-3x>24-2-15 7x>7 X>1
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
不等式知识点总结（精选5篇）
不等式知识点总结（精选5篇）不等式知识点总结篇11、不等式及其解集用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
2、不等式的性质不等式有以下性质：不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
3、实际问题与一元一次不等式解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。
4、一元一次不等式组把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。
解不等式就是求它的解集。
对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。
解一元一次不等式组时。
一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
不等式知识点总结篇2不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
11.8不等式复习(1)
不等式的解法
1、已知:关于x的不等式ax>2a下面给出四种说法: 甲:该不等式的解集为x>2 ( ) 乙:该不等式的解集为x<2 丙:该不等式无解 丁:该不等式的正确解法为:当a>0时，x>2, 当a<0时,x<2.
2、 若不等式mx-2x>m-2的解集是x<1,则 ( ) A.m＜0 B.m＞0 C.m＞2 D.m＜2
(3)李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷 (1)若租用水面n亩，则年租金共需 元； 不超过25000元的款。用于蟹虾混合养殖.已知银 (2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和 行贷款的年利率为8％，试问李大爷应该租多少亩 饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利 水面，并向银行贷款多少元．可使年利润超过 润：收益—成本)； 35000元?
x 2、不等式 1的非负整数解为 （ 3
）
A、1，2 C、0，1，2，3
B、1，2，3 D、3
不等式（组）的特殊解
2x 1 9 3 求不等式组 的所有整数解的和 x 1 2 2
不等式组中解的应用问题
a x 0 1.若不等式组 x 1 0 有解，则a的取值范围是（
A、a≤-1 B 、a≥-1 C、a＜-1 D、 a＞-1
）
2.已知:关于x的不等式组 m的取值范围是 .
2 x 1 x m 0 无解,则
不等式（组）的解的应用
1、x-a>0的解集是x>4,则a_________ x a 2、 的解集是1<x<2,则a____,b____ x b
苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户 李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下 信息：①每亩水面的年租金为500元，需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗； ③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年 可获1400元收益；
不等式的性质(1)
变式训练： 1.用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题 括号内填写理由. (1)∵a＞b (2)∵ a＞b ∴a-4 b-4( ) ∴ 4a 4b( ) (3)∵3m＞5n (4)∵4x＞5x 5n ∴ -m ( ) ∴ x 0( ) 3b a (5)∵ ＜ (6)∵a-1＜8 4 2 ∴ a 2b( ) ∴ a 9( )
例1 利用不等式的性质， 填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0.
例2.根据不等式的基本性质，把下列 不等式化成x＜a或x＞a的形式： (1) x-2＜ 3 (2) 6x＜ 5x-1 1 (3) 2x＞5 (4) -4x＞3
2.单项选择： (1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（ ） A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0 (2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ ） A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0 (3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ ） A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数 (4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（ ） 1 a A.4a＞4 B.a+5＞6 C. ＜ D.a-1＜0
解：(1)根据不等式基本性质1，两边都 加上2，得 x-2+2＜3+2 x＜ 5 (2)根据不等式基本性质1，两边都减去5x， 得 6x-5x＜5x-1-5x x＜-1
例3.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： a b (1)a-3 b-3 (2) (3) -4a -4b
不等式的性质(1)
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2：
等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍旧成立 如果a=b,那么ac=bc或 a b（c≠0），
cc
不等式是否具有类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3 那么 7+5 __＞__ 3+ 5 , 7 -5__＞__3-5 ➢如果-1< 3, 那么-1+2_<___3+2, -1- 4__<__3 - 4
今天学的是不等式的三个基本性质 ➢不等式的基：.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
➢不等式基本性质2： 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
a c
b c
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
(2)正确，根据不等式基本性质1．
(3)正确，根据不等式基本性质2． ． (4)正确，根据不等式基本性质1．
(5)不对，应分情况逐一讨论． 当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a． 当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)
例2：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并 口答是根据哪一条不等式基本性质。
如果a>b, 那么a±c>b±c
不等式基本性质1：不等式的 两边都加上（或减去）同一 个整式，_不__等__号__的__方__向__不__变__。
如果_a_>_b_,那么_a±__c_>_b_±__c_.
不等式还有什么类似的性质呢？
➢如果 7 ＞ 3 那么 7×5 _＞___ 3× 5 ,
不等式专题整理
不等式专题整理1. 一次不等式：- 加减法：- 如果 a>b，则 a+c > b+c （c为任意实数）- 如果 a>b，则 a-c > b-c （c为任意实数）- 乘法：- 如果 a>b 且 c>0，则 ac > bc- 如果 a>b 且 c<0，则 ac < bc- 除法：- 如果 a>b 且 c>0，则 a/c > b/c- 如果 a>b 且 c<0，则 a/c < b/c- 平方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则 a^2 > b^2- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则 a^2 > b^2- 开方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则√a > √b- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则√a < √b2. 二次不等式：- 求根：- 如果 ax^2+bx+c > 0 且 a>0，则该二次函数有两个实根。
可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。
- 如果 ax^2+bx+c < 0 且 a<0，则该二次函数有两个实根。
可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。
- 判别式：- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac > 0 时，该二次函数有两个不相等的实根。
- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac = 0 时，该二次函数有两个相等的实根。
- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac < 0 时，该二次函数无实根。
3. 绝对值不等式：- 绝对值大于等于某个数：- 如果|a| ≥ b，则a ≥ b 或a ≤ -b （b为非负实数）- 绝对值小于等于某个数：- 如果|a| ≤ b，则 -b ≤ a ≤ b （b为非负实数）4. 分式不等式：- 分式大于等于某个数：- 如果f(x) ≥ a，则分别对 f(x)-a ≥ 0 进行相应的不等式变形和求解。
高中数学不等式复习
高中数学不等式复习高中数学中的不等式是数学中非常重要的一章内容，它不仅在高考中占有重要的一席之地，而且在数学研究方面也有广泛的应用。
因此，对于不等式的复习和掌握非常重要。
在本文档中，我们将从基础知识、常见不等式和相关题型三个方面让大家进行深入的复习与学习，希望这篇文档能够对大家的学习有所帮助。
一、基础知识在学习不等式之前，必须先学习它的基础知识。
这里所说的基础知识包括数轴、绝对值、倒数、幂函数、指数函数、对数函数、同余、代数符号等内容。
这些知识内容的掌握对于不等式的学习非常重要，因为它们是解决不等式问题的基石。
特别是对于初学者而言，这些内容的理解能力对于不等式的后续学习有着举足轻重的作用。
因此，在学习不等式之前，首先要对这些基础知识进行系统性的学习和掌握。
二、常见不等式常见不等式是数学中最重要的内容之一，因为它们是解决不等式问题的重要工具。
在学习不等式时，我们应该先掌握一些常见的不等式，比如基本不等式、柯西不等式、均值不等式等。
在掌握好这些基本不等式后，我们还应该了解其它不等式，如向量不等式、三角形不等式等。
这些不等式的掌握对于高中数学中的不等式证明十分重要，能够帮助我们更好地解决复杂的不等式问题。
三、相关题型在学习不等式之后，我们需要练习不等式问题。
高中数学中，有很多关于不等式的题型，如直接求某一不等式的解集、证明某一不等式的成立等等。
当然，这些题型的难度也不同。
在练习这些题型的时候，我们应该先从基础题开始，逐渐提高难度，直到能够独立解决较难的不等式问题。
四、总结与展望总之，不等式作为数学重要的一部分，它在实际应用中也有着广泛的应用。
在学习不等式时，我们需要先掌握好基础知识，接着学习常见不等式，最后训练相关题型。
只有这样，我们才能真正掌握和熟练运用不等式，达到理论和实践相结合的目的。
因此，我们应该在学习不等式的过程中注重理论运用和实践训练，在以后的学习和工作中，充分运用不等式所提供的工具和技巧，去解决实际问题。
高一数学不等式复习1
高一数学不等式复习1 解不等式一．典型例题:例1:解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)例2:解下列关于的不等式(1)(2)例3:已知不等式的解集为且求不等式的解集.例4:方程的两个根都在区间内, 求实数的取值范围.二．巩固练习1．不等式的解集是( )A．RB．空集C.D.2．已知集合M=,N=,则为( )A．或B．或C．或D．或3．不等式的解集为( )A．或B．或C．或D.或4. 函数的定义域为( )A. B.C.D.5. 已知方程的两个根都是正实数,则实数的取值范围( )A．B.C. D.6. 不等式的解集是( )A．B．C．D．7. 已知集合,,则的取值范围是( )A． B. C. D.8．不等式的解是,则不等式的解为( ) A．_lt; B．－—C．－－D．9．函数的定义域.10 . 已知有意义,则实数的取值范围11. 若不等式对任意实数均成立,则实数的取值范围.12. 不等式的解集为或则实数的取值范围.13.下面4个关于不等式的命题:(1)若,则或;(2)若,则不等式的解集为空集;(3)任意,恒有(4) 若,则.其中正确的命题是.14．解关于的不等式:(1)(2)15.若关于的不等式的解为一切实数,求实数的取值范围16.方程的两个根,一个大于3,另一个小于3,求实数的取值范围.部分答案:例1:(1)(2)或(3)或(4)或(5)或 ,或例2(1)当当当,解集为空集.(2)当当当,解集为空集例3: 或例4:巩固练习: AADCBBAC 9．10.11.12.13. (2) 14．(1) (2)当当当时,解集为. 15．16．。
基本不等式(1)
1 1 例3.(1)若a , b R , 且 1, 求ab的最小值. a b
1 a ( 2)若a , b R , 且a 1, 求 的最大值. b b
2
1 9 练3.(1)若a , b R , 且ab 1, 求 的最小值. a b
( 2)若a , b R , 且a 2 b2 1 4, 求a b2 1的最大值 .
ab 叫做正数a、b的算数平均数， 2 ab 叫做正数a、b的几何平均数. 正数a, b的算术平均数不小于几 何平均数
基本不等式
ab ab (当且仅当a b时, 等号成立) 若a , b R , 则 2
几何诠释
D
AC a CB b
AC DC CD ab CD CB
A
a O
ab
C
ab
E
b
B
圆的半径不小于半弦
基本不等式
若a , b R , 则a b 2 ab (当且仅当a b时, 等号成立)
例1.(1)若x, y R , 且xy 100, 求x y的最小值. (2)若x, y R , 且x y 18, 求xy的最大值.
例2.(1)若x, y R , 且xy 100, 求x 2 y 2的最小值.
(2)若x, y R , 且x 2 y 4, 求xy的最大值.
练2.(1)若x, y R , 且x 2 4 y 2 1, 求xy的最大值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)若x, y R , 且xy 12, 求3 x 4 y的最小值.
3.4. 基本不等式 （1）
ab bR ， 试比较 与 ab的大小. 引例：如果 a ， 2 ab a 2 ab b ( a b )2 解： - ab = 0 2 2 2 ab ab . (且仅当 a b 时取“ ”). 2 基本不等式： ab 若 a， bR ， 则 ab（当且仅当a b时取“ ”） . 2
一元一次不等式(1)
x4 例：当x取何值时，代数式 与 3 的差大于1？ x 4 3x 1 1 解:根据题意，得 3 2
3x 1 的值 2
2(x＋4)－3(3x－1)>6， 2x＋8－9x＋3>6， －7x＋11>6， －7x>－5， 得
5 x 7
所以，当x取小于 x4 3x 1 与 的差大于1。
一元一次不等式
复习回顾
一、不等式的性质
不等式的两边加（或 减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
不等式的性质1
不等式的性质2 不等式的两边乘（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的性质 3 不等式的两边乘（或
除以）同一个负数，不等号的方向改变 注意： 必须把不等号的方向改变
① －x+2 = 4 ③ x－(－1) = 0 ⑤ x+2= 2x
两边同除以－1，得 x≥－5 这个不等式的解集表示在数轴上如图所示
∴不等式的最小负整数解为x=-5
-9 -8 -7 -6 -5
·
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 例 当x取什么值时，代数式 3 x+2的值大
于或等于0？先把它的解集在数轴上表示出 来，然后求出它的正整数解.
解
1 根据题意，得 3 x +2≥ 0 计算结果 解这个不等式，得 1 3x≤6 1 +2的值大于或等于0. 所以，当x≤6时，代数式 x 3
① ② ③
7 ④ x 4 请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。 两边同乘-6，不等号没有变号 在第 答：在第①步中_________________________, 移项没有变号 ， ②步中去分母时，应加括号 ________________,在第③步中 _____________ 正确 在第④步中_________ 。
不等式的性质(1)
a +c > b+d
a > b 且 c < d,那么 a c > b d
�
在两个不等式中,如果每个不等式的左边都大于(或 在两个不等式中,如果每个不等式的左边都大于( 小于)右边,这两个不等式就是同向不等式. 小于)右边,这两个不等式就是同向不等式. 异向不等式: 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于(或小于) 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于(或小于) 右边,另一个不等式的左边小于(或大于) 右边,另一个不等式的左边小于(或大于)右边这两个不等式 就是异向不等式. 就是异向不等式.
6.1不等式的性质( 6.1不等式的性质(1) 不等式的性质
1.不等式的定义: 不等式的定义: 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫不等式. 用不等号表示不等关系的式子叫不等式. 2.初中所学不等式的性质: 初中所学不等式的性质: 初中所学不等式的性质
①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等式的两边都加上( 减去)同一个数或同一个整式, 加上 整式 不等号的方向不变. 不等号的方向不变. 不等式的两边都乘以 乘以( 除以)同一个正数 正数, ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的 方向不变. 方向不变. 乘以 负数 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的 不等式的两边都乘以( 除以)同一个负数, 方向改变. 方向改变.
问:如果a>b,且c>d,则a+c与b+d有怎样的关系?并加以证明
推论: 推论:如果
a > b 且 c > d,那么
a > b a + c > b + c 证明: 证明: a+c >b+d c > d b + c > b + d
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期末复习---不等式（1） 班级 学号 姓名
一、复习目标：复习不等式的基本性质的应用，不等式的证明。
二、要点回顾：
1. 两个实数比较大小的作差法的依据
2、不等式的基本性质：
3、基本不等式ab b a 222≥+与ab b a 2≥+的条件有区别,前者 ,后者 .
4、.均值不等式链
(当 取等号). 5、.均值不等式的基本变形及推广 ；极值定理； 6、绝对值的性质 （1）222a a a ==，a a a ≤≤-
（2）⇔><)0(a a x （3）⇔>>)0(a a x
7、含有绝对值不等式的性质
三、目标训练：
1．已知0>>b a ，下列各数小于1的是 （ ）
A.b a -2
B. b a
C. b a b a -)(
D. b a a
b -)( 2．已知11,122++=
+-=x x Q x x P ，则P 与Q 的大小关系是 （ ） A.Q P > B. Q P < C. Q P ≥ D. 不确定
3．已知2
2πβαπ≤≤<-，则βα-的取值范围是 （ ） A.0<-≤-βαπ B. 0≤-<-βαπ C. πβαπ<-<- D. πβαπ≤-≤-
4．设1,0=+<<n m n m ，则下列各式中最大的一个是 （ ）
A.mn 2
B.m
C.2
1 D.22n m + 5．给出下列命题，其中正确的是 （ ） ①若11>x ，则1<x ②若y a x a 22>，则y x > ③011<<b
a ，则
2b ab < ④ ,0<<b a 则3322,b a b a <> A. ①② B. ②③ C. ②③④ D.①②③④
6．若4,0,0≤+>>y x y x ,则下列不等式恒成立的是 （ ） A.411≤+y x B.111≥+y
x C.2≥xy D. 11≥xy 7．已知0>ab ，四个命题①a b a >+ ②b b a <+ ③b a b a -<+④b a b a ->+ 其中正确命题的为 （ ）
A ．①和②
B ．③和①
C ．①和④
D ．②和④
8．在下列函数中,最小值是2的是 （ ） A. x x y 22+= B.21222++
+=x x y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=2,0,cot tan πx x x y D.x x y -+=77 9．（1）设实数y x b a ,,,满足1,12222=+=+y x b a 则≤+by ax .
（2）设实数y x ,是不等于1的正数,则x y z y x log log +=的取值范围是 .
10．已知实数b a b a >且,，则在“①
1<a b ：②33b a <：③()()a b b a ->-11：④b a 11<： ⑤()0lg >-b a ：⑥b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛4141”这六个式子中，恒成立的是 。
11．已知指数函数x
a y =在[]2,2-上的函数值小于3，则a 的取值范围是 。
12．已知()1,0,4log 2)(,3log 1)(≠>=+=x x x g x f x x ，试比较)(),(x g x f 的大小。
12．⑴已知1,0,0=+>>b a b a , .⑵已知12,0,0=+>>b a b a ,
求证:
411≥+b a 求证:22311+≥+b a
13．已知c x x x f +-=2)(，1<-a x ，R c a ∈,，求证：)1(2)()(+<-a a f x f。