高中数学人教a版选修2-1课时作业：第3章 习题课1 含解析

第三章 习题课(1) 一、选择题

1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(1

3

，1,1)

B ．(－1，－3,2)

C ．(－1

2，3

2

，－1)

D ．(2，－3，－22)

解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．

即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，

a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫

－12，32，－1，故选C.

答案：C

2．[2014·河南省固始一中期末考试]若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝

αPB

→＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：本题主要考查空间中三点共线的充要条件．若α＋β＝1，则PA →－PB →＝

β(PC

→－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB

→＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，即α＋β＝1，故选C.

答案：C

3．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )

A ．0

B ．－143

C ．－6

D ．±6

解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，所以x ＝－14

3

，故选B.

答案：B

4．已知a ·b ＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a ＋2b)·(λa －b)＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－3

2

C ．±32

D ．1

解析：由a ·b ＝0及(3a ＋2b)·(λa －b)＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a|＝2，|b|＝3，

所以λ＝3

2

，故选A.

答案：A

5．[2014·安徽省合肥一中期末考试]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1

→，则m ，n 的值分别为( ) A. 1

2，－1

2

B. －1

2，－1

2

C. －1

2，1

2

D. 1

2，1

2

解析：本题主要考查空间向量的线性表示．由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1

2(DC

→

＋DD 1→)＝AD →

＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－1

2

，故选A.

答案：A

6．[2014·清华附中月考]已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 45°

解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用．由于AB

→＝AC →＋CD →＋DB →，

则AB →＝AC →＋CD →＋DB →⇒AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD 2→＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝1

2

⇒〈AB →，CD →〉＝60°

，故选B. 答案：B 二、填空题

7．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为

__________．

解析：∵AB

→＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．

AC

→＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)， ∴cos 〈AB

→，AC →〉＝0－20＋042＋(－5)2

42＋(－3)2

＝－

205

41

，