2019年上海市中考数学模拟预测试卷(附答案)
【2019年中考数学】2019年上海松江区初三中考模拟数学试卷(含答案)
2019年上海松江区初三中考模拟数学试卷（含答案）数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知13a b =，那么a a b +的值为（ ） （A ）13； （B ）23； （C ）14； （D ）34． 2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）21y x =． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ）（A ）5sin α； （B ）5sin α； （C ）5cos α； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c r r r ，在下列条件中，不能判定∥a b r r 的是（ ） （A ）,∥∥a c b c r r r r ； （B ）2,3a c b c ==r r r r ； （C ）5a b =-r r ； （D ）2a b =r r ．5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（A ）3； （B ）2.5； （C ）2.4； （D ）2．6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分49分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】9．已知线段a ＝4，b =1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c = ▲ ．9．在比例尺是1:15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是 ▲ 千米．9．如果抛物线2(2)1y a x x =++-的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．10．如果一个斜坡的坡度i =，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度．11．已知线段AB =10，P 是AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么AP = ▲ ．12．已知等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，G 是△ABC 的重心，那么AG = ▲ ．13．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC =4，CE =6，BD =3，那么BF = ▲ ．14．已知平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点P 的坐标为（5,12），那么OP 与x 轴正半轴所夹角的余弦值为 ▲ ．15．已知抛物线y =f (x )开口向下，对称轴是直线x =1，那么f (2) ▲ f (4)．（填“>”或“<”）16．把抛物线2y x =向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2,3），那么平移后的抛物线的表达式是 ▲ ．19．我们定义：关于x 的函数22与y ax bx y bx ax =+=+（其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如223443与y x x y x x =+=+是互为交换函数．如果函数22y x bx =+与它的交换函数图像顶点关于x 轴对称，那么b = ▲ ．19．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，将△ABC 翻折，使得点A 落在BC 的中点A '处，折痕分别交边AB 、AC 于点D 、点E ，那么AD :AE 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共9题，满分99分）19．（本题满分10分，每题各5分）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM 的正切值.20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，2CF AD FA DB==． （1）设，AB a AC b ==uu u r r uu u r r ．试用、a b r r 表示AE uu u r ； （2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积．21．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =，BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ．（1）求线段BF 的长；（2）求AE ：EC 的值．22．（本题满分10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东95°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，≈）．1.7 1.423．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．（1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．参考答案：1、C ；2、C ；3、A ；4、D ；5、C ；6、B ；9、2；9、300；9、a <-2；10、30；11、5；12、83；13、152；14、513；15、>；16、21y x =-；19、-2；19。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷(解析版)
一、选择题
1.如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正 确的是（ ）
A.AC：AE＝1：3B.CE：EA＝1：3C.CD：EF＝1：2D.AB：CD＝1：2
【答案】A
【解析】
【分析】
由AB∥CD∥EF，BD：DF=1：2，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 ，又由AE=AC+CE，即可求得答案．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
13.Rt△ 中， ， ，那么 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2，且AB=2AC，利用勾股定理即可解答.
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，∵AB=2AC，
【详解】（1）∵ ，且∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ .
（2）∵AB＝9，AD＝2，AC＝6，AE＝3，
∴ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质和向量，熟练掌握有关知识点并灵活应用是解答的关键.
22.如图，已知： 中， ，点 为 上一点， ， ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，延长 交 于点 .
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线定理和三角形相似相关知识即可解答.
【详解】解：由题知 ∥ ，
可得∠ABE=∠DCB，∠ABD=∠BDC，
又因为 所以∠CEA=∠BDC，
根据∠CEA=∠BDC，∠ABE=∠DCB，可判定△AEB∽△BDC，
因为3AE=2BD，BE=1，
可得3BE=2DC，解得DC= .
2019届上海市中考数学模拟试卷(解析版)
2019年上海市中考数学模拟试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次数 2 3 4 5人数 2 2 10 6A．3次B．3.5次C．4次D．4.5次5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D 与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a=．8．函数y=的定义域是．9．方程=2的解是．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．不等式组的解集是．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．20．解方程：﹣=1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围．2019年上海市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab【考点】同类项．【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次数 2 3 4 5人数 2 2 10 6A．3次B．3.5次C．4次D．4.5次【考点】加权平均数．【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20=（4+6+40+30）÷2080÷20=4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D 与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a=a2．【考点】同底数幂的除法．【专题】计算题．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．函数y=的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．方程=2的解是x=5．【考点】无理方程．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，则x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2．【考点】代数式求值．【专题】计算题；实数．【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．不等式组的解集是x＜1．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【考点】根的判别式；解一元一次方程．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【考点】三角形中位线定理．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，难度不大．20．解方程：﹣=1．【考点】解分式方程．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE 中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．将（3，180）代入可求得y A关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得y A，y B的值，最后求得y A与y B的差即可．【解答】解：（1）设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以y B关于x的函数解析式为y B=90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以y A=60x．当x=5时，y A=60×5=300（千克）；x=6时，y B=90×6﹣90=450（千克）．450﹣300=150（千克）．答：若果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S=S△ABC+S△ACD=18．四边形ABCD（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2019年上海市黄浦区中考数学一模试卷(附解析)
2019年上海市黄浦区中考数学一模试卷（附解析）一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝42．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣13．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米4．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．下列判断错误的是（）A．0•＝B．如果，，其中，那么∥C．设为单位向量，那么||＝1D．如果|＝2||，那么＝2或＝﹣26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．1＜m≤2C．2＜m＜4D．0＜m＜4二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．已知，则xy＝．8．若点P是线段AB的黄金分割点，AB＝10cm，则较长线段AP的长是cm．9．计算：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝．10．如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A＝．13．如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m的结果为m＝．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，则用表示是：＝．15．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为．16．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．17．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，那么GE ＝．18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若＝，则＝．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+（﹣1）201920．已知：如图，在▱ABCD中，设＝，＝．（1）填空：＝（用、的式子表示）（2）在图中求作+．（不要求写出作法，只需写出结论即可）21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．22．2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC ＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．（1）求证：∠FAE＝∠EBA；（2）求证：AH＝BE；（3）若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．24．抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．25．小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°．（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．2019年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；B、2×5＝2×，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4＝2×2，能成比例．故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．3．【分析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．4．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似对①进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对②③进行判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5．【分析】轨迹平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、0•＝，正确，故本选项不符合题意．B、由，，得到：＝，＝﹣，故两向量方向相反，∥，正确，故本选项不符合题意．C、为单位向量，那么|＝1，正确，故本选项不符合题意．D、由|＝2||，只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【解答】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），∴x0＞4，∴对称轴为x＝m中2＜m＜4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：∵＝，∴xy＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．8．【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝AB，把AB＝10cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB，而AB＝10cm，∴AP＝＝；故答案为：﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．【分析】实数的运算法则同样适用于该题．【解答】解：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝3﹣3﹣2+3＝（3﹣2）+（﹣3+3）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．10．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．【分析】根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出＝，再结合EC＝CD﹣DE即可求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC＝AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴＝，∵＝＝＝3．故答案为：3：1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质求出DE、BA之间的关系是解题的关键．12．【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴cos A＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．13．【分析】如图，过A作AB⊥FG于B，根据相似三角形的性质得到＝2，设小正方形的边长为1，则答正方形的边长为m，求得BC＝2DE＝2，CD＝AB＝（m﹣1），列方程即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AB⊥FG于B，则△ABC∽△CDE，∴＝2，设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m，∴AB＝m﹣1，BF＝n，DE＝1，∴BC＝2DE＝2，CD＝AB＝（m﹣1），∴FG＝FB+BC+CD+DG＝n+2+（m﹣1）+1＝m，∴m＝2n+5，故答案为：2n+5．【点评】本题考查了列代数式，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．14．【分析】此题只需根据梯形的中位线定理得到EF和AD的关系即可．【解答】解：根据AD：BC＝1：3，则BC＝AD．根据梯形的中位线定理，得EF＝2AD．又∵＝，∴＝﹣2．【点评】考查了梯形的中位线定理．15．【分析】根据等腰三角形的三线合一，勾股定理求出AD的长，利用重心的性质即可求出DG的长，利用余切的定义解答即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BC＝4，由勾股定理得，AD＝＝3，∵G为△ABC的重心，∴DG＝AD＝1，∴cot∠GCB＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16．【分析】在Rt△ABC中，已知角的邻边求对边，可以用正切求BC，再加上CE即可．【解答】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．17．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．【解答】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG＝，∴，得BE＝，∴GF＝BE﹣BG＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．【分析】由中点定义可得DE＝CE，再由翻折的性质得出DE＝EF，BF＝BC，∠BFE＝∠D＝90°，从而得到DE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△EDG≌Rt△EFG，得出DG＝FG，设DG＝a，求出GA、AD，再由矩形的对边相等得出AD＝BC，求出BF，再求出BG，由勾股定理得出AB，再求比值即可．【解答】解：连接GE，∵点E是CD的中点，∴EC＝DE，∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF＝DE，∠BFE＝90°，在Rt△EDG和Rt△EFG中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG＝DG，∵＝，∴设DG＝FG＝a，则AG＝7a，故AD＝BC＝8a，则BG＝BF+FG＝9a，∴AB＝＝4a，故＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、以及翻折变换的性质；熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝+2﹣1﹣1＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．【分析】（1）根据三角形法则可知：＝+，延长即可解决问题；（2）连接BD．因为＝+，＝，即可推出＝+．【解答】解：（1）∵＝+，＝，＝．∴＝﹣．故答案为﹣．（2）连接BD．∵＝+，＝，∴＝+．∴即为所求；【点评】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．【解答】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得．解得，故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．y＝﹣2x2+3x+1＝﹣2（x2﹣x+）+1+＝﹣2（x﹣）2+．所以抛物线的顶点坐标是（，）．【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．22．【分析】（1）由AC⊥BC，得到∠C＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝800，在Rt△ABC中根据三角函数的定义得到AB＝＝≈1395 米；（2）求得该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．23．【分析】（1）由∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA证△AEF∽△BEA，据此可得；（2）根据菱形的性质得AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，利用“ASA”证△ABE≌△DAH可得答案；（3）连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，利用AE＝DH＝3、BH＝5，结合菱形的性质可得AC＝2AP＝8、PH＝1，由CG∥BD且P为AC中点知CG＝2，根据勾股定理知AG ＝14，BE＝AH＝AG＝7，利用△AEF∽△BEA知＝，据此求得AF＝，由FG＝AG﹣AF可得答案．【解答】解：（1）∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴∠FAE＝∠ABE；（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AH＝BE；（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，∵△ABE≌△DAH，∴AE＝DH＝3，则BD＝BH+DH＝8，∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，∵AB＝BD＝8，∴AP＝＝4，则AC＝2AP＝8，∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，∴AG＝＝14，BE＝AH＝AG＝7，∵△AEF∽△BEA，∴＝，即＝，解得：AF＝，∴FG＝AG﹣AF＝14﹣＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识点．24．【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，作CH⊥EF于H，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0∵∠MNC＝90°，∴∠CNH+∠MNF＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠NCH＝∠MNF，又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCH∽△MNF，∴，即解得：m＝n2+3n+1＝，∴当时，m最小值为；当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．∴m的取值范围是．（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，∴H（﹣x1，y1），∵y＝kx+2，y＝x2，消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，设直线HQ表达式为y＝ax+t，将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，x1）＝ka，∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1，∴a＝x2﹣∵＝（x2﹣x1）x2+t，∴t＝﹣2，∴直线HQ表达式为y＝（x2﹣x1）x﹣2，∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m与n的函数关系式是解题的关键．25．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE＝AC，即可得出OE＝BD，即可得出结论；（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝90°，（2）如图②，连接AC，BD，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝BD，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC，∴OE＝BD，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，由（2）知，∠BED＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，过点B作BF⊥AE于F，∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，∴AB＝2BF，AF＝BF，∴AE＝2BF，∴AE＝AB，∴BC＝AB．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B＝∠BAD，解（2）的关键是判断出OE＝AC，解（3）的关键是判断出△ABE是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．。
2019年上海市长宁区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.抛物线y=2(x+2)2−3的顶点坐标是()A. (2,−3)B. (−2,−3)C. (−2,3)D. (2,3)2.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中能够判定DE//BC的是()A. ADAB =DEBCB. ADBD =AEACC. BDAB =CEAED. ADAE =ABAC3.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=13，BC=a，那么AC的长是()A. 2√2aB. 3aC. √10aD. √24a4.如果|a⃗|=2，b⃗ =−12a⃗，那么下列说法正确的是()A. |b⃗ |=2|a⃗|B. b⃗ 是与a⃗方向相同的单位向量C. 2b⃗ −a⃗=0⃗D. b⃗ //a⃗5.在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是(3,2)，点B的坐标是(3,−4).如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O 内，另一点在圆O外，那么r的值可以取()A. 5B. 4C. 3D. 26.在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是()A. 如果∠BAC=90°，AB2=BD⋅BC，那么AD⊥BCB. 如果AD⊥BC，AD2=BD⋅CD，那么∠BAC=90°C. 如果AD⊥BC，AB2=BD⋅BC，那么∠BAC=90°D. 如果∠BAC=90°，AD2=BD⋅CD，那么AD⊥BC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若线段a、b、c、d满足ab =cd=45，则a+cb+d的值等于______．8.如果抛物线y=(3−m)x2−3有最高点，那么m的取值范围是______．9.如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于______．10.边长为6的正六边形的边心距为______．11.如图，已知AD//BE//CF，若AB=3，AC=7，EF=6，则DE的长为______．12.已知点P在线段AB上，满足AP：BP=BP：AB，若BP=2，则AB的长为______．13.若点A(−1,7)、B(5,7)、C(−2,−3)、D(k,−3)在同一条抛物线上，则k的值等于______．14.如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC=4千米．那么码头A、B之间的距离等于______千米．(结果保留根号)15.在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，若圆A的半径长为5，圆C的半径长为R，且圆A与圆C内切，则R的值等于______．16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE=6，FD=3，则△ABC的面积等于______．17.已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于______．18.如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好，那么BP的长落在边AD的垂直平分线MN上，如果AB=5，AD=8，tanB=43为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：√3cot260°+sin30°．cos45∘−cos30∘20. 如图，AB 与CD 相交于点E ，AC//BD ，点F 在DB 的延长线上，联结BC ，若BC平分∠ABF ，AE =2，BE =3． (1)求BD 的长； (2)设EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用含a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗．21. 如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC =AB ，OC =3，sinA =35． 求：(1)圆O 的半径长； (2)BC 的长．22. 如图，小明站在江边某瞭望台DE 的顶端D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°.若瞭望台DE 垂直于江面，它的高度为3米，CE =2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i =1：0.75，坡长BC =10米． (参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19)(1)求瞭望台DE 的顶端D 到江面AB 的距离；(2)求渔船A 到迎水坡BC 的底端B 的距离．(结果保留一位小数)23. 如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交于点F ，且AE ⋅AB =AD ⋅AC ．(1)求证：∠FEB =∠C ；(2)连接AF ，若FBAB =CD FD ，求证：EF ⋅AB =AC ⋅FB ．24.如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B(1,3)，又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO=45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM//OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．(1)求抛物线的表达式；(2)若∠BMP=∠AOB，求点P的坐标；(3)过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的值．的面积的2倍，求MNNC25.已知锐角∠MBN的余弦值为3，点C在射线BN上，BC=25，点A在∠MBN的内部，5且∠BAC=90°，∠BCA=∠MBN.过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E.点F在线段BE上(点F不与点B重合)，且∠EAF=∠MBN．(1)如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；(2)如图2，当点E在线段BC上时，设BF=x，BD=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0，且a，h，k是常数)，顶点坐标是(ℎ,k)进行解答．本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．【解答】解：∵y=2(x+2)2−3∴抛物线的顶点坐标是(−2,−3)故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【解答】解：A.由ADAB =DEBC，不能得到DE//BC，故本选项不合题意；B.由ADBD =AEAC，不能得到DE//BC，故本选项不合题意；C.由BDAB =CEAE，不能得到DE//BC，故本选项不合题意；D.由ADAE =ABAC，能得到DE//BC，故本选项符合题意；故选：D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．在直角三角形中，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．依据cosB=13，BC=a，即可得到AB=3a，再根据勾股定理，即可得到AC的长．【解答】解：∵cosB=13，BC=a，∴AB=3a，∵∠C=90°，∴Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√(3a)2−a2=2√2a，故选A．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．【解答】解：A.由b⃗ =−12a⃗得到|b⃗ |=12|a⃗|=1，故本选项说法错误．B.由b⃗ =−12a⃗得到b⃗ 是与a⃗的方向相反，故本选项说法错误．C.由b⃗ =−12a⃗得到2b⃗ +a⃗=0⃗，故本选项说法错误．D.由b⃗ =−12a⃗得到b⃗ //a⃗，故本选项说法正确．故选：D．5.【答案】B【解析】【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．【解答】解：∵点A的坐标是(3,2)，点B的坐标是(3,−4)，∴OA=√32+22=√13，OB=√32+42=5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴√13<r<5，∴r=4符合要求．故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】解：A、∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，又∠B=∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2=BD⋅CD，∴ADBD =CDAD，又∠ADC=∠BDA=90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD=∠C，∵∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，又∠B=∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC=∠BDA=90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC=90°，AD2=BD⋅CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．7.【答案】45【解析】【分析】本题考查了比例线段，关键是熟练掌握等比的性质．根据等比的性质即可求出a+cb+d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d满足ab =cd=45，∴a+cb+d =45．故答案为：45．8.【答案】m>3【解析】【分析】由于抛物线y=(3−m)x2−3有最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m 的范围．本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．【解答】解：∵抛物线y=(3−m)x2−3有最高点，∴3−m<0，即m>3．故答案为m>3．9.【答案】1：16【解析】【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．10.【答案】3√3【解析】【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．本题考查了等边三角形的判定与性质，正多边形和圆的计算问题，属于常规题．【解答】解：如图所示，此正六边形中AB=6，则∠AOB=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∴OG=OA⋅cos30°=6×√32=3√3，故答案为3√3．11.【答案】92【解析】【分析】根据AB=3，AC=7，可得BC=4，再根据AD//BE//CF，即可得出DEEF =ABBC，即DE6=34，进而得到DE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．【解答】解：∵AB=3，AC=7，∴BC=4，∵AD//BE//CF，∴DEEF =ABBC，即DE6=34，解得DE=92，故答案为：92．12.【答案】√5+1【解析】【分析】AB，代入数据即可得出AB 根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP=√5−12的长．本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个倍．点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12【解答】解：∵点P在线段AB上，满足AP：BP=BP：AB，∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段，AB，∴BP=√5−12AB=2，∴√5−12解得AB=√5+1．故答案为：√5+1．13.【答案】6【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到A和B点，C点和D点为抛物线上的两组对称点，由点A、B 的坐标得到抛物线的对称轴，然后利用对称轴求出k的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【解答】解：∵抛物线经过A(−1,7)、B(5,7)，∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线解析式为直线x=2，∵C(−2,−3)、D(k,−3)为抛物线上的对称点，即C(−2,−3)与D(k,−3)关于直线x=2对称，∴k−2=2−(−2)，∴k=6．故答案为6．14.【答案】(2√3+2)【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°−60°=30°，∴CD=AC⋅sin∠CAD=4×12=2(km)，AD=AC⋅cos30°=4×√32=2√3(km)，∵Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=2(km)，∴AB=AD+BD=2√3+2(km)，故答案是：(2√3+2)．15.【答案】5−2√5或5+2√5【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=2√5，讨论：当点C在⊙A内时，5−R=2√5；当点A在⊙C内时，R−5=2√5，然后分别解关于R的方程即可．本题考查了矩形的性质，圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d>R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R−r<d<R+ r(R≥r)；④两圆内切⇔d=R−r(R>r)；⑤两圆内含⇔d<R−r(R>r)．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，∴AC=√22+42=2√5，当点C在⊙A内时，∵圆A与圆C内切，∴5−R=2√5，即R=5−2√5；当点A在⊙C内时，∵圆A与圆C内切，∴R−5=2√5，即R=5+2√5；综上所述，R的值为5−2√5或5+2√5．故答案为5−2√5或5+2√5．16.【答案】9√7【解析】【分析】过E作EG⊥BC于G，根据已知条件得到点F是△ABC的重心，求得AD=3DF=9，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据平行线分线段成比例定理得到EG=12AD=92，CG=12CD，根据勾股定理得到BG=√BE2−EG2=3√72，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：过E作EG⊥BC于G，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AD=3DF=9，∵AB=AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵BE是边AC上的中线，∴AE=CE，∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG//AD，∴EG=12AD=92，CG=12CD，∵BE=6，∴BG=√BE2−EG2=3√72，∴BC=43BG=2√7，∴△ABC的面积=12×9×2√7=9√7，故答案为：9√7．17.【答案】125【解析】【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键．【解答】解：∵AC=12，BC=5，∴∠CAB<∠CBA，故可在∠CAB内作∠CBP=∠CAB，又∵点P为△ABC的自相似点，∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D，则△BPC∽△ACB，∴点P为△ABC的自相似点，∴∠BCP=∠CBA，∴∠ACP=∠BAC，∴∠ACP的余切=ACBC =125，故答案为：125．18.【答案】257或7【解析】【分析】①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设AH=4x，BH=3x，根据勾股定理得到AB=√AH2+BH2=5x=5，根据旋转的性质得到AB′=AB=5，AM=DM=12AD=4，∠AMN=∠HNM=90°，根据勾股定理得到MB′=√AB′2−AM2=3，求得HN=MN=4，根据正方形的性质即可得到结论；②如图2，由①知，MN=4，MB′=3，BN=7，求得NB=NB′，推出点P与N重合，得到BP =BN =7．本题考查了翻折变换(折叠问题)，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．【解答】解：①如图1，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接DB′，设BB′与AP 交于E ，AD 的垂直平分线交AD 于M ，BC 于N ，∵tanB =AH BH =43， ∴设AH =4x ，BH =3x ， ∴AB =√AH 2+BH 2=5x =5，∴x =1，∴AH =4，BH =3，∵将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线MN 上，∴AB′=AB =5，AM =DM =12AD =4，∠AMN =∠HNM =90°，∴四边形AHNM 是正方形，MB′=√AB′2−AM 2=3，∴HN =MN =4，∴BN =7，B′N =1，∴BB′=√BN 2+B′N 2=5√2，∴BE =12BB′=5√22， ∵∠BEP =∠BNB′=90°，∠PBE =∠B′BN ，∴△BPE∽△BB′N ，∴PBBB′=BE BN ， ∴PB5√2=5√227， ∴BP =257；②如图2，由①知，MN =4，MB′=3，BN =7，∴NB =NB′，∴点N 在BB′的垂直平分线上，∵将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，∴点P 也在BB′的垂直平分线上，∴点P 与N 重合，∴BP =BN =7，综上所述，BP 的长为257或7．故答案为：257或7． 19.【答案】解：原式=√3×(√33)2+12√22−√32=√3×13+1√2−√3=√33−(√2+√3)=−√2−2√33． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案． 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC =∠CBF ．∵AC//BD ，∴∠CBF =∠ACB ．∴∠ABC =∠ACB ．∴AC =AB ．∵AE =2，BE =3，∴AB =AC =5．∵AC//BD ，∴ACBD=AE BE ． ∴5BD =23．∴BD =152；(2)∵AC//BD ，∴EC ED =AE EB =23．∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23b ⃗ ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ −23b ⃗ ．【解析】(1)利用角平分线的性质和平行线的性质得到AB =AC =5，然后结合平行线截线段成比例求得BD 的长度．(2)由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．21.【答案】解：(1)过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，在 Rt △OAH 中中，∠OHA =90°，∴sinA =OH AO =35，设OH =3k ，AO =5k ，则AH =√AO 2−OH 2，∵OH ⊥AB ，∴AB =2AH =8k ，∴AC =AB =8k ，∴8k =5k +3，∴k =1，∴AO =5，即⊙O 的半径长为5；(2)过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，在 Rt △ACG 中，∠AGC =90°，∴sinA =CG AC =35， ∵AC =8， ∴CG =245，AG =√AC 2−CG 2=325，BG =85， 在Rt △CGB 中，∠CGB =90°，∴BC =√CG 2+BG 2=√(85)2+(245)2=8√105．【解析】(1)过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，设OH =3k ，AO =5k ，则AH =√AO 2−OH 2，得到AB =2AH =8k ，求得AC =AB =8k ，列方程即可得到结论；(2)过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，在 Rt △ACG 中，∠AGC =90°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：(1)延长DE 交AB 于点F ，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，由题意可知CE =GF =2，CG =EF在Rt △BCG 中，∠BGC =90°，∴i =CGBG =10.75=43， 设CG =4k ，BG =3k ，则BC =√CG 2+BG 2=5k =10，∴k =2，∴BG =6，∴CG =EF =8，∵DE =3，∴DF =DE +EF =3+8=11(米)，答：瞭望台DE 的顶端D 到江面AB 的距离为11米；(2)由题意得∠A =40°，在Rt △ADF 中，∠DFA =90°，∴cotA =AF DF ， ∴AF11≈1.19，∴AF ≈11×1.19=13.09(m)，∴AB =AF −BG −GF =5.09≈5.1(米)，答：渔船A 到迎水坡BC 的底端B 的距离为5.1米．【解析】(1)延长DE 交AB 于点F ，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，利用坡度表示出CG ，BG 的长，进而求出答案；(2)在Rt △ADF 中，利用cotA =AFDF ，得出AF 的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 23.【答案】证明：(1)∵AE ⋅AB =AD ⋅AC ．∴AE AC =AD AB ，又∵∠A =∠A ，∴△AED∽△ACB ，∴∠AED =∠C ，又∵∠AED=∠FEB，∴∠FEB=∠C．(2)∵∠FEB=∠C，∠EFB=∠CFD，∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE=∠FDC，∵FBAB =CDFD，∴FBCD =ABFD，∴△FBA∽△CDF，∴∠FEB=∠C ∴AF=AC，∵∠FEB=∠C，∴∠FEB=∠AFB，又∵∠FBE=∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴EFAF =FBAB，∵AF=AC，∴EF⋅AB=AC⋅FB．【解析】(1)证明△AED∽△ACB即可解决问题；(2)证明△EFB∽△FAB，可得EFAF =FBAB，由AF=AC，可得结论；本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，∵点B(1,3)∴BH=3，OH=1，∵∠BAO=45°，∠BHA=90°∴AH=BH=3，∴OA=4∴点A(4,0)∵抛物线过原点O、点A、B，∴设抛物线的表达式为y=ax2+bx(a≠0)∴{0=16a+4ba+b=3解得：a =−1，b =4∴抛物的线表达式为：y =−x 2+4x(2)如图，∵PM//OB∴∠PMB +∠OBM =180°，且∠BMP =∠AOB ，∴∠AOB +∠OBM =180°∴BM//OA ，设点M(m,3)，且点M 在抛物线y =−x 2+4x 上，∴3=−m 2+4m ，∴m =1(舍去)，m =3∴点M(3,3)，∵点O(0,0)，点A(4,0)，点B(1,3)∴直线OB 解析式为y =3x ，直线AB 解析式为y =−x +4，∵PM//OB ，∴设PM 解析式为y =3x +n ，且过点M(3,3)∴3=3×3+n ，∴n =−6∴PM 解析式为y =3x −6∴{y =3x −6y =−x +4解得：x =52，y =32∴点P(52,32)(3)如图，延长MP 交x 轴于点D ，作PG ⊥MN 于点G ，∵PG ⊥MN ，MC ⊥AD∴PG//AD∴∠MPG=∠MDC，∠GPN=∠BAO=45°，又∵∠PGC=90°，∠ACG=90°，∴AC=CN，PG=NG，∵PM//OB，∴∠BOA=∠MDC，∴∠MPG=∠BOA ∵点B坐标(1,3)∴tan∠BOA=3=tan∠MPG=MG PG∴MG=3PG=3NG，∴MN=4PG，∵△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，∴12×AC×NC=2×12×MN×PG，∴NC2=2×MN×14MN=12MN2，∴MNNC=√2【解析】(1)过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，根据等腰直角三角形的性质可求点A(4,0)，用待定系数法可求抛物线的表达式；(2)根据平行线的性质可得BM//OA，可求点M坐标，用待定系数法可求直线BO，直线AB，直线PM的解析式，即可求点P坐标；(3)延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AC=CN，PG=NG，根据锐角三角函数可得tan∠BOA=3=tan∠MPG=MGPG，可得MG=3PG=3NG，根据面积关系可求MNNC的值．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴cos∠BCA=cos∠MBN=ACBC =35=，∴AC25=35∴AC=15∴AB=√BC2−AC2=20∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF=cos∠MBN=35=AFAE∴AE=20∴EF=√AE2−AF2=16(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H，由(1)可知：AB=20，AH=12，AC=15，∴BH=√AB2−AH2=16，∵BF=x，∴FH=16−x，CF=25−x，∴AF2=AH2+FH2=144+(16−x)2=x2−32x+400，∵∠EAF=∠MBN，∠BCA=∠MBN∴∠EAF=∠BCA，且∠AFC=∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴AFFC =EFAF，∠AEF=∠FAC，∴AF2=FC×EF∴x2−32x+400=(25−x)×EF，∴EF=x2−32x+40025−x∴BE=BF+EF=400−7x 25−x∵∠MBN=∠ACB，∠AEF=∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴BDFC=BEAC∴y25−x=400−7x25−x15∴y=400−7x15(0<x≤252)(3)如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF=∠AEC，∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180°，∴∠DAF+∠MBN=180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠AEC=∠ABF，∴AB=AE，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，且∠ABF=∠AEC，∠ACB=∠MBN=∠EAF，∴∠AEC+∠EAF=90°，∠AEC+∠MBN=90°，∴∠BDE=90°=∠AFC，∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∴BF=√AB2−AF2=16，∵AB=AE，∠AFC=90°，∴BE=2BF=32，∴cos∠MBN=BDBE =35，∴BE=965，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF=∠CAE，∠AFD=∠AEC，∴AC//DF ∴∠DFB=∠ACB，且∠ACB=∠MBN，∴∠MBN=∠DFB，∴DF=BD，∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180°，∴∠DAF+∠MBN=180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF=∠ABF，∴∠CAE=∠ABF，且∠AEC=∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴ABAC=AECE=BEAE=2015=43设CE=3k，AE=4k，(k≠0)∴BE=163k，∵BC=BE−CE=25第21页，共21页 ∴k =757 ∴AE =3007，CE =2257，BE =4007∵∠ACB =∠FAE ，∠AFC =∠AFE ，∴△AFC∽△EFA ，∴AF EF =CF AF =AC AE =153007=720， 设AF =7a ，EF =20a ，∴CF =4920a ，∵CE =EF −CF =35120a =2257， ∴a =15007×117，∴EF =30000117×7， ∵AC//DF ，∴AC DF =CE EF ，∴15DF =2257300007×117， ∴DF =2000117，综上所述：当BD 为965或2000117时，△ADF 与△ACE 相似【解析】(1)由锐角三角函数可求AC =15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB ，AF 的长，即可求EF 的长；(2)通过证△FAE∽△FCA 和△BDE∽△CFA ，可得y 关于x 的函数解析式；(3)分△ADF∽△CEA ，△ADF∽△CAE 两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD 的长．本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。
2019年上海市中考数学黄金冲刺预测卷(附答案)
（A ） -3 ；（B ） 14．方程组 ⎨的解是………………………………………………………（ ▲ ）4 x - y = 13⎩ y = -1⎩ y = -1 ⎩ y = 3 ⎩ y = -35．如图，已知∠BDA ＝∠CDA ，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是………（▲ ）2019 上海市中考数学黄金冲刺预测卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）考生注意：1、本试卷含三个大题，共 25 题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无 效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算 的主要步骤．一．选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列代数式中，属于分式的是……………………………………………………（ ▲）1a -b ；（C ） ；（D ） -4a 3b ．2x2． 4 的值为…………………………………………………………………………（ ▲）（A ）2 ；（B ） -2 ； （C ） ±2 ；（D ）不存在．3．下列方程中，没有实数根的方程是………………………………………………（ ▲）（A ） x 2 + 2 x - 1 = 0 ；（C ） x 2 - x + 2 = 0 ；（B ） x 2 + 2 x + 1 = 0 ；（D ） x 2 - x - 2 = 0 ．⎧3x + 2 y = 7⎩⎧x = -1 ⎧ x = 3⎧x = -3⎧ x = -1（A ） ⎨ ； （B ） ⎨ ； （C ） ⎨ ；（D ） ⎨ ．．．．（A ）BD ＝DC（B ）AB ＝AC（C ）∠B ＝∠C（D ）∠BAD ＝∠CAD6．若 O 与 O 相交于两点，且圆心距 O O = 5 cm ，则下列 B121 2哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？…………………（ ▲ ）（A ）1cm 、2cm ； （B ）2cm 、3cm ；（C ）10cm 、 15cm ； （D ）2cm 、 5cm ．二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）ACD（第 5 题图）9．不等式组 ⎨的解集是 ▲ ． 2x < 6 C 不重合的点，给出如下定义：若点 P' 为射线 CP 上一点，满足4B【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算： a 5 ÷ a 2 =▲ ． 8．分解因式： 3x 2 - 6 x =▲．⎧ x + 1 > 2⎩10．函数 y = 1 - x 的定义域是▲．11．二次函数 y = x 2 - 2x + b 的对称轴是直线 x =▲．12．袋子里有 4 个黑球，m 个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球恰好是黑球的概率是12，则 m 的值是 ▲ ．13．某中学九（1）班 5 个同学在体育测试“1 分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是▲ ．14．某企业 2013 年的年利润为 100 万元，2014 年和 2015 年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计 2015 年的年利润为 125 万元.若设这个相同的增长率为 x ，那么可列出的方程是▲ ．15．如图，AB ∥△DE ， ACB 是等腰直角三角形，且∠C= 90°， CCB 的延长线交 DE 于点 G ，则∠CGE=▲ 度.△16．如图，在 ABC 中，点 D 在 AC 边上且 AD:DC=1:2，ADABGE若 AB = m ， BD = n ，那么 DC = ▲ （用向量 m 、 n 表示）.（第 15 题图）D17．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r ，点 P 是与圆心 BC．． （第 16 题图）CP ⋅ CP' = r 2 ，则称点 P' 为点 P 关于⊙C 的反演点．如图为点1P 及其关于⊙C 的反演点 P' 的示意图．写出点 M ( ，0)关于以原2yCP'P点 O 为圆心，1 为半径的⊙O 的反演点 M ' 的坐标 ▲． Ox18．如图，底角为α 的等腰△ABC 绕着点 B 顺时针旋转，使得点 A 与边 BC 上的点 D 重合，点 C 与点 E 重合，联结（第 17 题图）AAD 、CE ．已知 tan α = 3，AB=5，则 CE= ▲ ．αC三．解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分）（第 18 题图）计算： cos30 + + 1 - 3 - ⎪ ． 过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，且 sin ∠DAB= ，DB= 3 2 ．乙 y 甲 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不必注明自变量 x 的取值范围）；1 ⎛ 1 ⎫-13 -1 ⎝ 3 ⎭20．（本题满分 10 分）解方程：x - 5 3+ 1 = ．x 2 - 1 x + 121．（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 是 BC 边上的中线，35求：（1）AB 的长；（2）∠CAB 的余切值．BAED（第 21 题图）C22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图所示， y 、 y 分别表示甲、乙离开 A甲乙地 y (km )与已用时间 x (h )之间的关系，且直线 y 与直线 y 相甲 乙交于点 M ．7.5y (km)yMO 0.52x (h)甲（2）求 A 、B 两地之间距离．（第 22 题图）23．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）如图，直角梯形 ABCD 中，∠B=90°，AD ∥BC ，BC=2AD ，点 E 为边 BC 的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；A D（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG:EG的比值．FGB E（第23题图）C24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，O M=6，O N=3，反比例函数y 6的图像与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y x轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB//CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯yNCP形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．BG DO A M x（第24题图）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B 的半径为x．（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．ADB E C（第25题图）乙O 0.52参考答案与评分标准一．选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6． D ． 二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7． a 3 ； 8．3x （x －2）； 9．1＜x ＜3； 10．x ≤1； 11． 1；12．4；13．134； 14．100(1+ x )2 =125 ； 15．135； 16． 2m + 2n ；17．（2，0）； 18．三．解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）33 +1++ 3 - 1- 3 ……………………2 分×4＝8 分解：原式＝22 7＝ 2 3 - ………………………………………2 分220．（本题满分 10 分）解： x - 5 + x 2 - 1 = 3(x - 1) ………………………………3 分x 2 - 2 x - 3 = 0 ………………………………………3 分（x-3)(x+1)=0解得 x 1＝3，x 2＝－1 …………………………………2 分 经检验，x ＝－1 是增根，舍去， ……………………1 分 ∴原方程的解为 x ＝3 …………………………………1 分21．（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分） 8 10 5．解（1）在 △Rt BDE 中，DE ⊥AB ，BD ＝ 3 2 ，∠ABC ＝45°，∴BE ＝DE ＝3，……………………………………2 分3在 △Rt ADE 中，sin ∠DAB ＝ ，DE ＝3，5∴AE ＝4， …………………………………………2 分EH A∴AB ＝AE ＋BE ＝4＋3＝7 ………………………1 分 （2）作 CH ⊥AB ，垂足为 H …………………………1 分∵AD 是 BC 边上的中线，DB ＝ 3 2 ，∴BC ＝ 6 2 ， …………………………………1 分 ∵∠ABC ＝45°，∴BH ＝CH ＝6，…………………1 分 ∴AH ＝7－6＝1 ……………………………………1 分 AH 1即在 △Rt CHA 中， cot ? CAB=………1 分CH622．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 解：（1）设 y =kx (k ¹ 0) ………………………………1 分甲B D（第 21 题图）y (km)C则 0.5k ＝7.5，∴k ＝15， ………………………2 分∴ y =15x ．……………………………………1 分甲7.5yy 甲 M（2）解法一：设 y =kx +b (k ¹ 0) ……………………………1 分甲 把点（1.5，7.5）、（2，0）分别代入，得：x (h)ìï 7.5=0.5k + bí…………………………………2 分5（第22题图）∴ y = - 5x +10 ………………………………2 分 ，∴ DF = FG FC 4= =ìï k = - 5解得 íïî b =10 乙∴AB ＝5×2＝10km ． …………………………1 分解法二：设乙的速度为 v km/h ， ………………………1 分 则 2v ＝0.5v ＋7.5 ……………………………2 分 ∴v ＝5 …………………………………………1 分 ∴AB ＝5×2＝10km ． ………………………2 分23．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分） 解：（1）∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ，点 E 是 BC 上的中点，∴BC ＝2CE ………………1 分∴AD ＝CE ， ………………………………………2 分AD∴四边形 AECD 为平行四边形．……………………1 分（2）∵四边形 AECD 是平行四边形∴∠D ＝∠AEC ，………………………………………2 分又∠EAF ＝∠CAD ，∴∠EAC ＝∠DAF ， …………1 分 ∴△AEC ∽△ADF …………………………………1 分 （3）设 AD ＝ a ，则 BC ＝2 a ，又∵∠ECA ＝45°，∠B ＝90°，∴AB ＝BC ＝2 a ，AE ＝DC ＝ 5a∵△AEC ∽△ADFFGB E（第 23 题图）C∴ AE EC 5a a 5 = ，即 = a ，……………………1 分 AD DF a DF 55 4 5 ∴ CF = DC - DF = 5a -a = a ． ……………………1 分5 5∵AE ∥DC4 5a ∴ ＝ 5= ．……………………………………………2 分 EG AE 5a 524．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）解：∵矩形 OMPN ，OM ＝6，ON ＝3∴点 P （6，3）y∵点 C 、D 都在反比例函数 y = 6图像上，x且点 C 在 PN 上，点 D 在 PM 上， ∴点 C （2，3），点 D （6，1）………………2 分N C P又 DB ⊥y 轴，CA ⊥x 轴， ∴A （2，0），B （0，1）∵BG ＝2，GD ＝4，CG ＝2，AG ＝1AG 1 BG 2 1∴= ， = = …………………2 分 GC 2 GD 4 2BOGA（第 24 题图）DM xAG BG∴ …………………………………1 分 GC GD∴AB ∥CD ． …………………………………1 分又解：求直线 CD 的解析式为 y = - 1 ∴设点 E 2（x ， - x +1 ）∴ ( x - 6) 2 + ( x ) 2 = 8 ………………1 分 Mxx = ， x = 4 （舍去） 5∴E 2（ ， - ）； ………………2 分 状 =1x + 4 ，直线 AB 的解析式为 y = - x +1 ．2 2因为两直线的斜率相等，在 y 轴上的截距不等，所以两直线平行．（酌情给分）（2）①∵PN ∥DB∴当 DE 1＝BC 时，四边形 BCE 1D 是等腰梯形此时 △Rt CNB ≌ △Rt E 1PD ， ∴PE 1＝CN ＝2， ∴点 E 1（4，3） ………………………2 分 ②∵CD ∥AB ，yN CE 1P当 E 2 在直线 AB 上，DE 2＝BC ＝2 2 ， 四边形 BCDE 2 为等腰梯形，1直线 AB 的解析式为 y = - x +1 ……1 分21 2DE 2=BC= 2 2 ，1 2BOyNG DHA （第 24 题图）E 2C E 1 P1 2 28BGD28 9 5 5OAx（第 24 题图）25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分） E 2解：（1）作 AG ⊥BC 于 G ，BH ⊥AC 于 H ， ………………1 分∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝GC ＝2，…………1 分∴AG ＝ AC 2 - CG 2 = 62 - 22 = 4 2 …………1 分 又 AG ·BC ＝BH ·AC ，A∴ BH = AG BC4 2 4 8 2 = =AC 6 3………………1 分H∴当⊙B 与直线 AC 相切时． x = 8 32 ．BGC（2）作 DF ⊥BC 于 F ，BD DF则 DF ∥AG ，∴ ， AB AGAx DF 2 2即 = ，∴ DF =6 4 23x ………………1 分D1BF = BD ?sin Bx ， 31∴CF ＝4－ x ， …………………………1 分3在 △Rt CFD 中，CD 2＝DF 2＋CF 21 2 2∴ y = (4 -x )2 +(x )233BF GE C1B∴EG=8＝x2-x+16…………………………1分3（0<x≤4）．………………………………1分（3）解法一：①作PQ⊥BC于Q．……………………………1分∵EF是⊙B、⊙P的公共弦，∴BP⊥EF，且EG＝FG，∵⊙P经过点E，∴PA＝PE＝PC，∴AE⊥BC，又AC＝AB，∴BE＝EC＝2∵PQ∥AE，且P是AC的中点1∴PQ＝AE=22，CP＝3，2∴CQ＝1，BQ＝3，FDBHAPE Q C∴BP＝17…………………………………1分设BP交EF于点H设BH=m，由BE2-BH2=PE2-PH2，22-m2=32-(17-m)2………………………………………………1分解得m=41734，∴EF=2m=81734…………………………………………………………1分解法二：作PQ⊥BC于Q．…………………………………………………1分A ∵EF是⊙B、⊙P的公共弦，∴BP⊥EF，且EG＝FG，∵⊙P经过点E，∴PA＝PE＝PC，∴AE⊥BC，又AC＝AB，∴BE＝EC＝2∵PQ∥AE，且P是AC的中点，FDGP∴PQ＝AE=22，CP＝3，2∴CQ＝1，BQ＝3，∴BP＝17…………………………………………………………1分而△Rt BQP∽△Rt BGE，…………………………………………1分BE EG2434=，即，∴EG=PQ BP221717E Q C∴公共弦EF＝834 17………………………………………………1分②当点E和点C重合时，EF=161734……………………………2分。
上海市杨浦区2019年中考数学模拟(3月)试卷(含解析)
2019年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（满分24分，每小题4分）1．已知＝＝，且b+d≠0，则＝（）A．B．C．D．2．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.33．在△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值是（）A．B．C．D．4．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．已知，则的值是．8．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．9．当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形的面积比是1：2．10．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC长为．12．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么ac0．（填“＞”，“＝”，或“＜”）14．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为．15．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象不经过第象限．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AC、DE相交于点F．（1）求DF：EF的值；（2）如果，，试用、表示向量．20．（10分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．22．（10分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A 的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）23．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值．24．（12分）已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．25．（14分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．2019年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（满分24分，每小题4分）1．【分析】由＝＝，和比例的性质解答即可．【解答】解：∵＝＝，∴＝，故选：A．【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．2．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝300000cm＝3km．∴这条道路的实际长度为3km．故选：A．【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．3．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，解得sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝．故选：D．【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．4．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【解答】解：A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B、符合向量的长度及方向，故本选项正确；C、得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了向量的性质，属于基础题．5．【分析】①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当k＝0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断【解答】解：①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1＝0，解得：k＝0，此选项正确．②当k＝0时，y＝﹣x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；③y＝﹣x+1，经过3个象限，此选项错误；④当k＝0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最＝﹣，当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正；此选项正确．正确的是①②④．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．6．【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可；【解答】解：∵DE∥CF，∴△DEK∽△CFK，∴＝，∵EK∥AD，∴＝，∴＝，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，从而得到△A1B1C1是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．【解答】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，∴A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，∴△A1B1C1的周长＝△ABC的周长＝×3＝，依此类推，△A2B2C2的周长＝△A1B1C1的周长＝×＝，则△A5B5C5的周长为＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．9．【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．故答案为：1：．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键．10．【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：设△DEF的周长别为x，△ABC的三边长分别为4、5、6，∴△ABC的周长＝4+5+6＝15，∵△ABC∽△DEF，∴＝，解得，x＝45，故答案为：45．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．11．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查了抛物线的对称性，是比较灵活的题目．13．【分析】观察函数图象，由抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点位置，可得出a＜0，c＞0，进而可得出ac＜0，此题得解．【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，找出a＜0，c＞0是解题的关键．14．【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2＝﹣2，代入二次函数解析式即可得出结论．【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴2（x+1）2+3＝4，∴2x2+4x+1＝0，根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，故答案为5．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2＝﹣2是解本题的关键．15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．【解答】解：∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴该函数图象的顶点坐标为（，﹣）且经过点（0，2），函数图象开口向上，∴该函数图象不经过第三象限，故答案为：三．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】先根据旋转的性质得AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，∴AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′＝×4×4﹣×4×1＝6．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴，∵CE＝2BE，∴，∴．（2）∵CE＝2BE，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴＝．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．【分析】将（2，2）代入y＝（x﹣1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2，∴2＝（2﹣1）2+n，解得n＝1，∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1．列表得：如图：【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．21．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．22．【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB＝32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用三角形内角和定理可得出∠ADF＝∠C，结合＝，即可证出△ADF∽△ACG；（2）根据相似三角形的性质可得出＝，由＝可得出＝，再结合FG＝AG﹣AF即可求出的值．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C．又∵＝，∴△ADF∽△ACG．（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝．∵＝，∴＝，∴＝＝1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即可求解；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，即可求解；（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD 的最小值＝BQ，即可求解．【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：k＝，即直线l的表达式为：y＝x+…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+3，直线BD的表达式为：y＝…②，联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m＝（舍去负值），点C（1，2），将点C的坐标代入二次函数并解得：a＝﹣，故二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+；（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x轴交于点F，DF＝AD sin∠DAF＝4×＝2，∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，∴ED＝FD＝2，则QD＝4，BD＝4，∴BQ＝＝8，即CN+NM+MD的最小值为8．【点评】本题为二次函数综合运用，考查的是点的对称性、一次函数等知识点，其中（3）求CN+NM+MD 的最小值难度很大，主要是利用两次点的对称求解，本题难度较大．25．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝＝，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴m＝4（﹣1），∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题16 图形的变化之填空题(3)(23道题)(解析版)(1)
专题16 图形的变化之填空题（3）参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝16.8米．【答案】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．2．（2019•奉贤区一模）如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【答案】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．3．（2019•宝山区一模）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【答案】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．4．（2019•嘉定区一模）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．【答案】解：由题意可得，∠BAO＝42°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2019•崇明区一模）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．【答案】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα＝cos∠A，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．6．（2019•闵行区一模）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【答案】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．7．（2019•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．【答案】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD，BD＝2a，BC a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（2019•闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A，那么BC＝2．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．9．（2019•金山区一模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，那么GE＝．【答案】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG，∴，得BE，∴GE＝BE﹣BG，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2019•金山区一模）已知α是锐角，sinα ，那么cosα＝．【答案】解：∵α是锐角，sinα ，∴α＝30°，∴cosα ．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．11．（2019•黄浦区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cos C，那么tan A＝．【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，∵cos C，∴，，设CD＝x，BC＝4x，由于AB＝AC，∴CE＝2x，∴AC＝8x，∴AD＝AC﹣CD＝7x，∴由勾股定理可知：BD x，∴AB＝AC＝8x，∴tan∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理以及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．12．（2019•青浦区一模）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【答案】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点睛】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．13．（2019•浦东新区一模）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于30度．【答案】解：设该斜面坡角为α，∵某斜面的坡度为1：，∴tanα ，∴α＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．14．（2019•青浦区一模）如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为39米．【答案】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE＝15m，则，故EC＝2.4×15＝36（m），则在Rt△DEC中，DC39（m）．故答案为：39．【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．15．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A 的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝20米．【答案】解：由题意可得：tan30°，解得：AB＝20，答：铁塔的高度AB为20m．故答案为：20．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．16．（2019•辽阳模拟）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于（22）千米．（结果保留根号）【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝42（km），AD＝AC•cos30°＝42（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（22）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．17．（2019•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．18．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【答案】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2019•黄浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B，则BC的长为4．【答案】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cos B，∴cos B，解得：BC＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．20．（2019•虹口区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A，BC＝4，那么AB＝6．【答案】解：∵在Rt△ABC中，sin A，且BC＝4，∴AB6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．21．（2019•奉贤区一模）计算：sin30°tan60°＝．【答案】解：sin30°tan60°．故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2019•邹平县模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sin A，BC＝4，则AB值是10．【答案】解：∵sin A，即，∴AB＝10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．23．（2019•嘉定区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．【答案】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BD BC＝3，在Rt△ABD中，cos B．故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质.。
2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)
上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。
2019年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣34．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞05．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝．8．化简：（）＝．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而（填“增大”或“减小”）．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝厘米．（结果保留根号）12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为米．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（只需填写一个正确的答案）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．参考答案一、选择1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴tan B＝，故A选项成立；cos B＝，故B选项成立；sin A＝，故C选项成立；cot A＝，故D选项不成立；故选：D．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣3【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象的开口方向可知：a＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由图象可知：c＞0，故C正确；（D）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故D正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．5．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．【解答】解：∵AC＝2BC，∴BC＝AB，AC＝AB，∴AC+2BC＝AB，AC﹣2BC＝0，AC+BC＝AB，AC﹣BC＝BC，∴＝，﹣2＝4，||＝||，||＝3||．故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．故选：C．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的定义和线段间的数量关系是解题的关键，难度不大．6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得A正确．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故选：A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝7：5．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵x：y＝2：5，∴设x＝2a，则y＝5a，那么（x+y）：y＝7：5．故答案为：7：5．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．化简：（）＝．【分析】实数的运算法则同样适用于本题．【解答】解：（）＝﹣＝（﹣+）+（1﹣）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【分析】若求抛物线与y轴的交点坐标，只需令x＝0求得y值即可．【解答】解：令x＝0，y＝2，则抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x＝0或y＝0即可．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，∴该函数的开口向下，顶点坐标为（0，﹣3），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝2﹣2厘米．（结果保留根号）【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝10．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而分析得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，解得：BC＝10．故答案为10．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝2．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，可设BC＝a，AC＝3a，再根据勾股定理列方程求解，即可得到BC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【分析】已知斜坡的坡比就是告诉了两直角边的关系，设最高点离地面的高度为x，由勾股定理建立方程，解方程即可．【解答】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是∠B＝∠E（答案不唯一）（只需填写一个正确的答案）．【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（答案不唯一），故答案为：∠B＝∠E．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【分析】将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，由旋转的性质可得AF ＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，即可证△FCD≌△ECD，可得DE＝DF，根据勾股定理可求DE的长度．【解答】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠A BC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE＝故答案为【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE ∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，由折叠可得，CD垂直平分BE，∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∴AD＝BD，∴D是AB的中点，∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，∵DG⊥BC，∴BG＝1.5，∴Rt△BDG中，DG＝2，∵BC×DG＝CD×BF，∴BF＝＝，∴BE＝2BF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标和对称轴【解答】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），∴，解得，∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝﹣+；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝+，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【分析】（1）根据三角形法则计算即可．（2）根据三角形法则以及平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵＝，BE＝2AE，∴＝，∵＝+＝﹣+．故答案为﹣+．（2）∵＝+＝+，AF＝AC，∴＝+，∵＝+＝﹣++＝+．向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）故答案为＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得DE＝2，推出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF＝BC＝6，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠F，根据勾股定理得到AB＝＝＝10，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝2，∵DF∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC＝6，∴EF＝DF﹣DE＝4；（2）∵四边形BCFD是平行四边形，∴∠B＝∠F，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理，得AB＝＝＝10，∴sin B＝＝＝，∴sin∠CFE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°＝．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH＝，即得tan32°＝，解得：x＝≈32.99∴塔高AB约为32.99米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【分析】（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明；（2）由△EDF∽△ADC，推出＝（）2＝，推出＝，即ED＝AD，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，结合∠P AO＝∠BAO可得出m ﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠∠BAC＝＝＝2．∵∠P AO＝∠BAO，∴cot∠P AO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ． ∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝5，BC ＝15，∴BM ＝，在Rt △ABM 中，∠AMB ＝90°，∴． ∴AB ＝13．（2）∵， ∴．即得 ， ∵∠AFD ＝∠BEC ，∠ADF ＝∠C ．∴△ADF ∽△BCE ．∴，又∵CE ＝x ，FD ＝x ，AB ＝CD ＝13．即得 FC ＝． ∵AD ∥BC ，∴．∴．∴．∴所求函数的解析式为，函数定义域为．（3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得．∴． ∵，∴S 四边形ABEF ＝80．设S △ADF ＝S ．由△ADF ∽△BCE ，，得 S △AEC ＝9S ．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD ﹣S 四边形ABEF ＝8S ＝40．∴S ＝5．∴S △AEC ＝9S ＝45．∴．∴EH ＝6．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH ∥DN ． ∴．又 CD ＝AB ＝13，∴，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD +S 四边形ABEF +S △AEF ＝9S ． ∴8S ＝200．解得 S ＝25．∴S △BEC ＝9S ＝225．∴．解得 EH ＝30．∴． ∴， ∴． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．。
上海市浦东新区2019年中考预测数学试卷及答案
浦东新区2019年中考预测数学试卷 2019.4.15（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列代数式中，属于单项式的是（A ）1+a ；（B ）a 2；（C ）a2； （D ）2a ． 2．数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（A ）2，2；（B ）2，4； （C ）3，2；（D ）3，4．3．已知抛物线2)1(+-=x y 上的两点)()(2211y x B y x A ，和，，如果121-<<x x ，那么下列结论一定成立的是（A ）021<<y y ； （B ）210y y <<；（C ）120y y <<；（D ）012<<y y ．4. 某粮食公司2019年生产大米总量为a 万吨，比2019年大米生产总量增加了10%，那么2019年大米生产总量为（A ）%)101(+a 万吨；（B ）%)101(+a万吨；（C ）%)101(-a 万吨； （D ）%)101(-a万吨．5．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，CBD ADB ∠=∠，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （A ）CDB ABD ∠=∠；（B ）BCD DAB ∠=∠； （C ）CDA ABC ∠=∠；（D ）BCA DAC ∠=∠．6. 如果A 、B 分别是圆O 1、圆O 2上两个动点，当A 、B 两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O 1、圆O 2的“远距”．已知，圆O 1的半径为1，圆O 2的半径为2，当两圆相交时，圆O 1、圆O 2的“远距”可能是 （A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：π-3= ▲ ．8. 化简：23410ab b a = ▲ ．9．计算：xx x ---2111= ▲ ． 10．正八边形的中心角等于 ▲ 度.11．如果关于x 的方程0332=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值为 ▲ ．12．请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是 ▲ ．13．如果关于x 的方程1+=x bx 有解，那么b 的取值范围为 ▲ ． 14. 在□ABCD 中，已知AC a =，DB b =，那么用向量a 、b表示向量AB 为 ▲ ．15. 把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是 ▲ ．16．为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ▲ ． 17．如图，已知点A 在反比例函数xky =的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且△OAB 是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是 ▲ ．18．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，23cos =A ，如果将△ABC 绕着点C 旋转至△A'B'C 的位置，使点B' 落在∠ACB 的角平分线上，A'B' 与AC 相交于点H ，那么线段CH 的长等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：51555551212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--）（． 20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-，，x x x x 321334)1(372并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，∠P AQ =30°，在边AP 上顺次截取AB =3cm ，BC =10cm ，以BC 为直径作⊙O 交射线AQ 于E 、F 两点，求：（1）圆心O 到AQ 的距离； （2）线段EF 的长．22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题3分）甲、乙两车都从A 地前往B 地，如图分别表示甲、乙两车离A 地的距离S （千米）与时间t （分钟）的函数关系.已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B 地，最（第21题图） （第17题图）（每组可含最小值，不含最大值）（第16题图）（第20题图）（第22题图）终甲、乙两车同时到达B 地，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？ （2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？ （3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作BE AF ⊥,分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE =BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分） 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C (0，-3)，且OA =2OC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标； （2）求M AC ∠tan 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD =45º，求点D 的坐标.（第23题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，BC 比AB 大3，54sin =B ，点G 是△ABC 的重心，AG 的延长线交边BC 于点D .过点G 的直线分别交边AB 于点P 、交射线AC 于点Q . （1）求AG 的长；（2）当∠APQ=90º时，直线PG 与边BC 相交于点M .求MQAQ的值； （3）当点Q 在边AC 上时，设BP =x ，AQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域.浦东新区2019年中考预测数学试卷答案要点及评分标准一、选择题：1．D ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题： 7．3-π； 8．ba 252； 9．x1； 10．45； 11．6±； 12．圆等； 13．1≠b ；14．b a 2121+； 15．50%；16．0.62；17．xy 3-=； 18．13-． 三、解答题：19.解:原式5555555+=-+-……………………………………………………………（8分）5555155=-++-……………………………………………………………（1分）65=-…………………………………………………………………………（1分） 20.解:273(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，.由①得2733x x -<-…………………………………………………………………（1分）化简得105<x ,………………………………………………………………………（1分） 解得：2<x .…………………………………………………………………………（1分） 由②得4932x x +≥-,………………………………………………………………（1分）① ②（第24题图）（第25题图）化简得66x ≥-,………………………………………………………………………（1分） 解得：1-≥x .…………………………………………………………………………（1分） ∴原不等式组的解集为.21<≤-x …………………………………………………（2分）………………………………………………（2分）21.解：（1）过点O 做OH ⊥EF ,垂足为点H . ……………………………………………（1分） ∵OH ⊥EF ,∴∠AHO =90°,在Rt △AOH 中，∵∠AHO =90°，∠P AQ =30°，∴ OH =12AO ，…………………（2分） ∵BC =10cm ，∴ BO=5cm . ∵AO =AB +BO ，AB =3cm ，∴AO =3+5=8cm ，………………………………………………………………………（1分）∴OH =4cm ，即圆心O 到AQ 的距离为4cm ．………………………………………（1分） （2）联结OE ， 在Rt △EOH 中，∵ ∠EHO =90°，∴ 222EH HO EO +=，…………（1分）∵ EO =5cm ，OH =4cm ，∴ EH =3452222=-=-OH EO cm ，……………（2分） ∵ OH 过圆心O ,OH ⊥EF ，∴ EF =2EH =6cm ．………………………………………（2分） 22.解：（1）204153v ==甲（千米/分钟）， ∴ 甲车的速度是43千米每分钟．…………（2分） 6017010v ==-乙（千米/分钟），∴ 乙车的速度是1千米每分钟．………………（2分）（2）解法①20120==乙t （分钟），∴乙车出发20分钟后第一次与甲∵车相遇．……………（3分） 解法②设甲车离A 地的距离S 与时间t 的函数解析式为：S kt b =+（0k ≠） 将点（10,0）（70,60）代入得：100,7060.k b k b +=⎧⎨+=⎩………………………………………（1分）解得：1,10.k b ==-⎧⎨⎩，即10.S t =-…………………………………………………………（1分）当y =20时，解得t =30，∵ 甲车出发10分钟后乙车才出发，∴ 30-10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇．………………………（1分） （3）∵ 440303t =÷=（分钟），………………………………………………… （1分） ∵ 70-30-15=25（分钟），∴ 甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．…… （2分）23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =DA=BC=CD ， ∠BAD =∠ADF=∠BCF=90°,…………………………（1分） ∴∠BAH +∠HAE =90°，∵ AF ⊥BE ，∴ ∠AHB =90°即∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =∠HAE ，…………………………………………………………………（1分） 又∵∠BAE =∠ADF ,∴ △ABE ∽△DAF ，………………………………………………………………（1分）∴DFAE DA AB =，∴AE =DF ．…………………………………………………………………………（1分） ∵ 点E 是边AD 的中点，∴点F 是边DC 的中点，∴ CF =AE ，…………………………………………………………………………（1分） 在Rt △ABE 与Rt △CBF 中, ,.AB CB AE CF =⎧⎨=⎩∴ Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴BE =BF ．…………………………………………………………………………（1分）（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，…………………………………………（1分）在△DEO 与△DFO 中, ,,.ED FD ADB CDB DO DO ⎧⎪⎨⎪⎩=∠=∠= ∴△DEO ≌△DFO ，………………………………………………………………（2分）∴∠DEO =∠DFO ，………………………………………………………………（1分）∵△ABE ∽△DAF ，∴∠AEB =∠DF A ，……………………………………… （1分） ∴∠AEB =∠DEO ．………………………………………………………………（1分） 24.（1）解:∵C (0，-3)，∴OC =3.2134y x bx =+-……………………………………（1分） ∵OA =2OC ,∴OA =6. ∵041>=a ，点A 在点B 右侧，抛物线与y 轴交点C (0，-3). ∴)0,6(A .………………………………………………………………………（1分）∴2134y x x =--.……………………………………………………………（1分） ∴4)2(412--=x y ，∴)4,2(M . …………………………………………（1分）（2）过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，交AC 于点N ，过点N 作NE ⊥AM 于 点E ，垂足为点E . 在Rt△AHM中,HM =AH =4,42AM =,45AMH HAM ︒∠=∠=.求得直线AC 的表达式为132y x =-．………………（1分）∴N （2,-2）．∴MN =2.…………………………………（1分） 在Rt △MNE 中,∴2ME NE ==,∴32AE =.…………………………………………（1分） 在Rt △AEN 中,221tan 33NE MAC AE =∠==.………（1分） （3） 当D 点在AC 上方时，∵1145CAD D AH HAC ︒∠=∠+∠=, 又 ∵45HAM AC AM H C ︒∠=∠+∠=,∴1D AH CAM ∠=∠. ………………………………（1分） ∴1tan tan 13D AH AC M ∠=∠=. ∵点1D 在抛物线的对称轴直线x =2上, ∴1D H AH ⊥,∴4AH =.在Rt △AH 1D 中,1114tan 433D H AH D AH =⋅∠=⨯=. ∴14(2,)3D .……………………………………………（1分）当D 点在AC 下方时，∵2245D AC D AM MAC ∠=∠+∠=︒，又 ∵2245AMH D AM AD M ∠=∠+∠==︒，∴2MAC AD M ∠=∠.……………………………………（1分）∴2tan tan 13AD H MAC ∠=∠= 在Rt △2D AH 中，221412tan 3AHD H AD H==÷=∠.∴2(2,12)D -.……………………………………………（1分） 综上所述：14(2,)3D ，2(2,12)D -. 25.解：（1）在△ABC 中，∵AB =AC ，点G 是△ABC 的重心, ∴12BD DC BC ==，AD ⊥BC .……………………………………………………（1分）在Rt △ADB 中，∵4sin 5AD B AB ==,∴35BD AB =. ∵3BC AB -=, ∴AB =15，BC =18.∴AD =12.……………………………………………………………………………（1分） ∵G 是△ABC 的重心，∴283AG AD ==.………………………………………（1分）（2）在Rt △MDG ,∵∠GMD +∠MGD =90°， 同理:在Rt △MPB 中,∠GMD +∠B =90°,∴∠MGD =∠B .…………………………………（1分） ∴4sin sin 5MGD B ∠==, 在Rt △MDG 中,∵143DG AD ==， ∴163DM =，∴113CM CD DM =-=……（1分）在△ABC 中，∵AB =AC ，AD ⊥BC ,∴BAD CAD ∠=∠.∵90QCM CDA DAC DAC ︒∠=∠+∠∠=+, 又 ∵90QGA APQ BAD BAD ︒∠=∠+∠∠=+, ∴QCM QGA ∠=∠,………………………………（1分） 又 ∵CQM GQA ∠=∠,∴△QCM ∽△QGA .………………………………（1分）∴2411AQ AG MQ MC ==.……………………………（1分） （3）过点B 作BE AD ,过点C 作CF AD ,分别交直线PQ 于点E 、F ，则BEAD CF .…………………………………（1分）∵BE AD ,∴AP AG BP BE =,即158x x BE-=, ∴815xBE x=-.………………………………（1分）同理可得:AQ AG QC CF =,即815y y CF=-, ∴8(15)y CF y-=.……………………………（1分） ∵BEAD CF , BD CD =,∴EG FG =.∴2CF BE GD +=,即8(15)8815y xy x-+=-.（1分） ∴75510x y x-=-,15(0)2x ≤≤.…………………（2分）。
2019年上海市金山区中考数学模拟试卷 (含解析)
2019年上海市金山区中考数学模拟试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各式中，正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a3﹣a2＝aC．a2•a3＝a5D．（a+b）2＝a2+b22．下列各数中，是无理数的为（）A．B．C．π0D．cos60°3．关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（）A．对称轴为直线x＝1B．顶点坐标为（﹣2，1）C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降4．已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若△ABC和△DEF的周长分别为24、36，又∵BC＝8，则下列判断正确的（）A．DE＝12B．EF＝12C．DE＝18D．EF＝185．飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为α，且飞机与目标A相距12千米，那么这时飞机离地面的高度为（）A．12sinαB．12cosαC．12tanαD．12cotα6．下列关于向量的说法中，不正确的是（）A．B．C．若（k为实数），则∥D．若，则或二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3﹣2＝．8．已知向量、满足，则＝．（用向量表示）9．分解因式：x4+x2﹣2＝．10．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的顶点是它的最高点，则a的取值范围是．11．如图，已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点A（1，3），那么平移后的抛物线的表达式是．12．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2的顶点为A，与y轴交于点B，C是其对称轴上的一点，O为原点，若四边形ABOC是等腰梯形，则点C的坐标为．13．如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，连接AC、DE交于点O．则的值为．14．已知一个斜坡的坡角为α，坡度为1：3，则cotα的值为．15．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC，若BD：DC＝1：2，△ABC的面积为9cm2，则四边形AEDF的面积为cm2．16．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若AB＝3，CD＝1，那么∠A的正弦值为．17．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝2DB，AE＝EC．若设，，则＝．（用向量、表示）18．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，，把△ABC绕着点C旋转，使得点A 落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距离为．三、（本大题共6题，第19--22题，每题8分；第23、24题，每题10分．满分52分）19先化简，再求值：，其中．20．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．21．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1，（1）求这个函数的解析式；（2）指出该函数图象的开口方向和顶点坐标，并说明图象的变化情况．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF＝∠C，求证：BF•CE＝AB2．23．（如图，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，长方形DEFG内接于△ABC，点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．（1）设DG＝x，长方形DEFG的面积为y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）若长方形DEFG的面积为36，试求这时的值．24．据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10：00巡逻船在A处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C处有一个不明物体正在向正东方向移动，10：15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的D处．若巡逻船的速度是每小时36海里，（1）试在图中画出点D的大致位置，并求不明物体移动的速度；（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？[备用数据：sin53.1°＝0.8，cos53.1°＝0.6，cot53.1°＝0.75；sin18.4°＝0.32，cos18.4°＝0.95，cot18.4°＝3；]．四、（本大题共2题，第25题12分，第26题14分，满分26分）25．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．（1）如图2，已知斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，试在该坐标系中作出点A（﹣2，2），并求点O、A之间的距离；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、y 之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．26．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP 为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．参考答案一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，本选项错误；C、a2•a3＝a5，本选项正确；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，本选项错误；故选：C．2．【解答】解：A、为无理数，故本选项正确，B、，为有理数，故本选项错误，C、π0＝1，为有理数，故本选项错误，D、cos60，为有理数，故本选项错误，故选：A．3．【解答】解：A、由二次函数y＝﹣2x2+1得，对称轴为x＝0；故本项错误；B、由二次函数y＝﹣2x2+1得，顶点坐标为（0，1）；故本项错误；C、由二次函数y＝﹣2x2+1的图象可由二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得到；故本项错误；D、由二次函数y＝﹣2x2+1得，其开口向下，顶点为（0，1），则在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降；故本项正确；故选：D．4．【解答】解：∵△ABC和△DEF的周长分别为24、36，∴△ABC和△DEF的相似比为＝，∴＝，∵BC＝8，∴＝，解得EF＝12，∵AB的边长不知道，∴DE的长度无法求出．故选：B．5．【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在直角三角形ABC中，∠BAC＝α，AB＝12，则BC＝AB•sinα＝12sinα，故选：A．6．【解答】解：A、根据数与向量的乘积的模等于该数与向量的模的乘积，即，故本选项正确；B、根据数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，即，故本选项正确；C、若（k为实数），可得与的方向相同或相反，均有∥，故本选项正确；D、向量既有大小又有方向，假如且，则或且，故本选项错误；故选：D．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【解答】解：3﹣2＝．故答案为．8．【解答】解：由题意得，﹣＝+，移项得，＝﹣，∴＝﹣．故答案为：﹣．9．【解答】解：原式＝（x2+2）（x2﹣1），＝（x2+2）（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x2+2）（x+1）（x﹣1）．10．【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的顶点是它的最高点，∴1﹣a＜0，解得a＞1．故答案为：a＞1．11．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（1，3）在抛物线上，∴k＝2，∴y＝x2+2．故答案为：y＝x2+2．12．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2＝y＝﹣x2+2x﹣1+3＝﹣（x﹣1）2+3，∴A的坐标为（1，3），当x＝0时，y＝2，∴B的坐标为（0，2），而C是其对称轴上的一点，O为原点，过O作OC′∥BA，∴根据平移规律知道C′的坐标为（1，1）又四边形ABOC是等腰梯形，∴C和C关于x轴对称，∴C的坐标为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）．13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AOE∽△COD，∴AO：OC＝AE：CD，∵E是AB中点，∴AE＝AB，∴AE＝CD，∴AO：OC＝．故答案是．14．【解答】解：∵一个斜坡的坡角为α，坡度为1：3，∴tanα＝，∴cotα＝3．故答案为：3．15．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△BDE∽△BCA，△CDE∽△CBA，∴，．∵BD：DC＝1：2，∴BD：BC＝1：3，CD：BC＝2：3，∵S△ABC＝9cm2，∴，，∴S△BDE＝1，S△CDE＝4，∴四边形AEDF的面积＝9﹣1﹣4＝4．故答案为：416．【解答】解：设BD＝x，∵AB⊥BC，AD⊥BD，∴∠BCD＝∠ADB＝90°，又∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，∴△BCD∽△ADB，∴CD：BD＝BD：AB，∴1：x＝x：3，解得x＝，在Rt△ABD中，sin∠A＝＝．故答案是．17．【解答】解：∵AD＝2DB，AE＝EC，，，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣．故答案为：﹣+．18．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，∵在RT△ABC中，∠C＝90，cos A＝，∴AC＝AB cos A＝6，BC＝3，在RT△ACH中，AC＝6，cos A＝，∴AH＝AC cos A＝4，由旋转的性质得，AC＝A'C，BC＝B'C，∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点，∴AA'＝2AH＝8，又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角，∴∠ACA'＝∠BCB'，∴△ACA'∽△BCB'，∴＝，即＝，解得：BB'＝4．故答案为：4．三、（本大题共6题，第19--22题，每题8分；第23、24题，每题10分．满分52分）19．【解答】解：原式＝＝当时，原式＝．20．【解答】解由，设x＝2k，y＝3k，z＝4k，（1），（2）化为，∴2k+3＝k2，即k2﹣2k﹣3＝0，∴k＝3或k＝﹣1，经检验，k＝﹣1不符合题意，∴k＝3，从而x＝2k＝6，即x＝6．21．【解答】解（1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）由题意得，解得∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）∵函数解析式为y＝﹣x2+2x+3∴y＝﹣（x﹣1）2+4∵a＝﹣1＜0，∴函数图象开口向下，顶点为（1，4），∵直线的对称轴为x＝1，∴在对称轴的左侧，图象上升，y随x的增大而增大，在直线x＝1的右侧，图象下降，y 随x的增大而减小．22．【解答】证明：∵∠AFB＝∠C+∠F AC＝∠EAF+∠F AC＝∠EAC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，即∠ABF＝∠ECA，∴△ABF∽△ECA，∴，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．23．【解答】（1）解：设AH与DG交于点P，∵矩形DEFG，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，且AP⊥DG，∴，即，∴，从而∴，定义域为0＜x＜15；（2）由已知，，解得x＝6或x＝9，当x＝6时，；当x＝9时，．24．【解答】解：（1）作AE⊥AB，CF⊥AB于点F，BG⊥CD于点G，由题意，∠EAC＝53.1°，∠GBD＝18.4°，在△CAF中，CF⊥AB，∠ACF＝∠EAC＝53.1°∴AF＝AC•sin53.1°＝10×0.8＝8，CF＝AC•cos53.1°＝10×0.6＝6，∴BG＝CF＝6又，∴FB＝AB﹣AF＝9﹣8＝1，从而CG＝BF＝1在△BDG中，BG⊥CD，∠GBD＝18.4°∵cot18.4°＝3，∴tan18.4°＝∴GD＝BG•tan18.4°＝6×＝2，∴CD＝CG+GD＝1+2＝3，（海里/小时），（2）由题意，不明物体沿CD移动，我巡逻船沿AB运动，且CD∥AB，∴两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离．设又过了t分钟，不明物体移动到点P，我巡逻船到达点Q，这时PQ⊥AB，则，，∴，解得t＝5．∴10：20两者之间距离最近．四、（本大题共2题，第25题12分，第26题14分，满分26分）25．【解答】解：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，则四边形AMON为平行四边形，且OM＝ON，∴AMON是菱形，OM＝AM∴OA平分∠MON，又∵∠xOy＝60°，∴∠MOA＝60°，∴△MOA是等边三角形，∴OA＝OM＝2；（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则PN＝x，PM＝y，由PN∥OB，得，即；由PM∥OC，得，即；∴，即3x+4y＝12．（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时PN＝﹣x，PM＝y，与（2）类似，，．又∵．∴，即．26．【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，∴PC＝BC，∠CPD＝60°，∠DP A＝∠CBP＝60°，∴PD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠DCB＝∠PDC＝90°，∴∠DCP＝30°，∴tan∠DBC＝＝＝cos30°＝；（2）由已知，CD2＝DE•DB，即，又∵∠CDE＝∠CDE，∴△DCE∽△DBC，∴，又∵CP＝BC，，∵PD∥BC，∴，∴，∴CD＝BE，∴，即点E是线段BD的黄金分割点．∴，又∵PC∥AD，∴，（3）设AP＝a，PB＝b，∴，，因为AD∥PC，PD∥BC，∴，，∴，∴，∴，作DH⊥AB，则，，∴BD2＝DH2+BH2＝（a）2+（a+b）2＝a2+ab+b2，∴，∴S与BD2成正比例，比例系数为．。
2019年上海市中考数学模拟试题(解析版)
2019年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为()A. 34B. 43C. 35D. 45【答案】A【解析】解：∵AC=4，BC=3，∴tanA=BCAC =34，故选：A ．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．2.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是()A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=(x+1)2D. y=(x−1)2【答案】D【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，所以所得的抛物线的表达式为y=(x−1)2．故选：D．先得到抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，再得到点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3.下列各组图形中一定是相似形的是()A. 两个直角三角形B. 两个等边三角形C. 两个菱形D. 两个矩形【答案】B【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是()A. DEBC =23B. DEBC=25C. AEAC=23D. AEAC=25【答案】D【解析】解：当ADDB =AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，即AEEC =23或AEAC=25．故选：D．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当ADDB=AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，然后可对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5.已知e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗，那么下列结论中错误的是()A. a⃗//e⃗B. |a⃗|=3C. a⃗与e⃗方向相同D. a⃗与e⃗方向相反【答案】C【解析】解：A、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，相互平行，即a⃗//e⃗，故本选项错误．B、由a⃗=−3e⃗得到|a⃗|=3，故本选项错误．C、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．根据向量的定义，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．6.如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是()A. AFDF=DEBCB. DFDB=AFDFC. EFCD=DEBCD. AFBD=ADAB【答案】C【解析】解：∵DE//BC，EF//CD∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴DEBC=AEAC，EFDC=AEAC∴EFDC=DEBC故选：C．根据相似三角形的性质可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知ab=43，那么a−bb=______．【答案】13【解析】解：∵ab=43，∴a=43b，∴原式=43b−bb =13．故答案为13．因为ab =43，所以a=43b，代入求解即可．本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．【答案】6【解析】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，12x =150000，解得：x=600000cm=6km，故答案为：6．根据图上距离实际距离=比例尺列方程即可得到结论．本题考查了比例线段，熟练掌握图上距离实际距离=比例尺是解题的关键．9.在△ABC中，∠C=90∘，sinA=25，BC=4，则AB值是______．【答案】10【解析】解：∵sinA=BCAB ，即25=4AB，∴AB=10，故答案为：10．根据正弦函数的定义得出sinA=BCAB ，即25=4AB，即可得出AB的值．本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．10.已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，则AC的长______cm．【答案】√5−1【解析】解：∵AC2=BC⋅AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，∴AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为√5−12是解题的关键．11.已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：______．【答案】y=−x2【解析】解：∵二次函数的顶点是：(0,0)，∴设函数的解析式为：y=ax2，又∵点(0,0)是二次函数图象的最高点，∴抛物线开口方向向下，∴a<0，令a=−1，则函数解析式为：y=−x2．根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y=ax2，根据顶点是二次函数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a<0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．12.如果点A(−4,y1)、B(−3,y2)是二次函数y=2x2+k(k是常数)图象上的两点，那么y1______y2.(填“>”、“<”或“=”)【答案】>【解析】解：抛物线的对称轴为y轴，所以当x<0时，y随y的增大而减小，所以y1>y2．故答案为>．先根据二次函数的性质得到当x<0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大小得到函数值的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质．13.小明沿坡比为1：√3的山坡向上走了100米.那么他升高了______米.【答案】50【解析】解：∵坡比为1：√3，∴设BC=x米，则AC=√3x米，由勾股定理得，BC2+AC2=AB2，即x2+(√3x)2=1002，解得，x1=50，x2=−50(舍去)，∴BC=50米，故答案为：50．设BC=x米，根据坡度的概念得到AC=√3x米，根据勾股定理计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．14.如图，已知直线a//b//c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=3，CE=5，DF=4，那么BD=______．【答案】125【解析】解：∵a//b//c，∴ACCE=BDDF，即35=BD4，解得，BD=125，故答案为：125．利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15. 如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且ADAB =AEAC =13.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)【答案】a ⃗ +3b ⃗ 【解析】解：∵ADAB =AEAC =13，∠BAC =∠DAE ∴△ADE∽△ABC∴DE BC =AD AB =13 ∴BC =3DE ∵设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗故答案为：a ⃗ +3b ⃗由题意可得△ADE∽△ABC ，可得BC =3DE ，根据向量的加法可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．16. 如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边BA 、CA 延长线上的点，且DE//BC.如果DEBC =35，CE =4，那么AE 的长为______．【答案】32【解析】解：∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC∴DE BC =AE AC =35∴设AE =3k ，AC =5k(k ≠0))，∴CE =3k +5k =4 ∴k =12∴AE =3k =32故答案为：32根据相似三角形的性质可得DEBC =AEAC =35，即可求AE 的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．17. 如图，已知△ABC ，AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点，E 是边AC 上一点，∠ADE =∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ，那么AFAG 的值为______．【答案】35【解析】证明：∵AB =6，D 是边AB 的中点， ∴AD =3，∵AG 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAG =∠EAF ， ∵∠ADE =∠C ， ∴△ADF∽△ACG ； ∴AFAG =AD AC =35，故答案为：35．根据线段中点的定义得到AD =3，根据角平分线的定义得到∠BAG =∠EAF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18. 如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为(3,2)，∠AOB =90∘，∠OAB =30∘，AB 与x 轴交于点C ，那么AC ：BC 的值为______． 【答案】2√33【解析】解：如图所示：作AD ⊥x 轴，垂足为D ，作BE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A(3,2)，∴OA =√32+22=√13，∵∠OAB =30∘，∠AOB =90∘， ∴OAOB =√3，∵∠AOB =90∘，∠EOC =90∘， ∴∠EOB =∠AOD ， 又∵∠BEO =∠ADO ， ∴△OEB∽△ODA ， ∴OEOD =OBAO =√33，即OE 3=√33，解得：OE =√3，∵AC ：BC =S △AOC ：S △OBC =AD ：OE =2：√3=2√33，故答案为：2√33．作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到OEOD =OBAO=√33，最后依据AC：BC=S △AOC ：S △OBC=AD：OE求解即可．本题主要考查的是含30∘的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【答案】解：y=2(x2+2x)−1，y=2(x2+2x+1)−2−1，y=2(x+1)2−3，开口方向：向上，顶点坐标：(−1,−3)，对称轴：直线x=−1．【解析】利用配方法把将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．20.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，cosA=35.求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cosA=ADAB，∵cosA=35，AB=5，∴AD=AB⋅cosA=5×35=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∵AC=AB=5，∴DC=2，∴BC=√BD2+CD2=2√5．【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE//BC，点F在线段DE上，过点F作FG//AB、FH//AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC=2：4：3.求S△ADES△FGH 的值．【答案】解：∵BG：GH：HC=2：4：3，∴设BG=2k，GH=4k，HC=3k，(k≠0)∵DE//BC，FG//AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF=BG=2k，∵DE//BC，FH//AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF=HC=3k，∴DE=5k∵DE//BC∴∠ADE=∠B，∵FG//AB∴∠FGH=∠B，∴∠ADE=∠FGH，同理可得：∠AED=∠FHG∴△ADE∽△FGH∴S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516，【解析】设BG=2k，GH=4k，HC=3k，根据平行四边形的性质可得DF=BG=2k，EF=HC=3k，可得DE=5k，根据△ADE∽△FGH可得S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．22.某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)，直线MN垂直于地面，垂足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58∘、点N的仰角为45∘，在B处测得点M的仰角为31∘，AB=5米，且A、B、P三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60，sin31∘=0.52，cos31∘=0.86，tan31∘=0.60.)【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP=45∘，∴PA=PN，在Rt△APM中，tan∠MAP=MPAP，设PA=PN=x，∵∠MAP=58∘，∴MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP=MPBP，∵∠MBP=31∘，AB=5，∴0.6=1.6x5+x，∴x=3，∴MN=MP−NP=0.6x=1.8(米)，答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【解析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA=PN，设PA=PN=x，得到MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．23.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC⋅CE=AD⋅BC．(1)求证：∠DCA=∠EBC；(2)延长BE交AD于F，求证：AB2=AF⋅AD．【答案】证明：(1)∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA∵AC⋅CE=AD⋅BC，∴ACBC=ADCE∴△ACD∽△CBE∴∠DCA=∠EBC(2)∵AD//BC，∴∠AFB=∠EBC，且∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA ∵AD//BC，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ∴△ABF∽△DAC∴ABAD=AFCD且AB=DC，∴AB2=AF⋅AD 【解析】(1)通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA=∠EBC；(2)通过证明△ABF∽△DAC，可得ABAD =AFCD，可得AB2=AF⋅AD．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两个三角形相似是本题的关键．24.如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−2,0)，点B(0,4)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；(3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE//x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值．【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(−2,0)，点B(0,4)∴{c=4−2−2b+c=0，解得{c=4b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4，(2)y=−12x2+x+4=−12(x−1)2+92，∴对称轴为直线x=1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴PGBG=BOAO∴1BG=21，∴BG=12∴OG=72，∴P(1,72)，(3)如图2设新抛物线的表达式为y=−12x2+x+4−m 则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE=2过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE//FH ，EO=2OF∴DEFH =EOOF=DOOH=21，∴FH=1，①点D在y轴的正半轴上，则F(−1,52−m)，∴OH=m−5 2∴DOOH =4−mm−52=21，∴m=3，②点D在y轴的负半轴上，则F(1,92−m)，∴OH=m−92，∴DOOH =m−4m−92=21，∴m=5∴综上所述m的值为3或5．【解析】(1)把点A(−2,0)，点B(0,4)代入解析式求解即可；(2)先确定抛物线的对称轴，再过点P作PG⊥y轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关系，求解即可；(3)设新抛物线的表达式为y=−12x2+x+4−m，则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE=2，过点F作FH⊥y 轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可．此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键25.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．(1)如果BC=6，AC=8，且P为AC的中点，求线段BE的长；(2)联结PD，如果PD⊥AB，且CE=2，ED=3，求cosA的值；(3)联结PD，如果BP2=2CD2，且CE=2，ED=3，求线段PD的长．【答案】解：(1)∵P为AC的中点，AC=8，∴CP=4，∵∠ACB=90∘，BC=6，∴BP=2√13，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE=23BP=43√13；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，∴BDDA=FDDC=BFCA，∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC，∵CE=2，ED=3，则CD=5，∴EF=8，∴CPBF=CEEF=28=14，∴CPCA=14，∴CPPA=13，设CP=k，则PA=3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA=PB=3k∴BC=2√2k，∴AB=2√6k，∵AC=4k，∴cosA=√63；(3)∵∠ACB=90∘，D是边AB的中点，∴CD=BD=12AB，∵PB2=2CD2，∴BP2=2CD⋅CD=BD⋅AB，∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD=∠A，∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2=DE⋅DC，∵DE=3，DC=5，∴PD=√15．【解析】(1)根据已知条件得到CP=4，求得BP=2√13，根据三角形重心的性质即可得到结论；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到BDDA =FDDC=BFCA，求得CPPA =13，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论；(3)根据直角三角形的性质得到CD=BD=12AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
[试卷合集3套]上海市徐汇区2019届中考数学模拟联考试题
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中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若二元一次方程组3,354x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为,,x ay b=⎧⎨=⎩则-a b的值为（）A．1 B．3 C．1 4 -D．74【答案】D【解析】先解方程组求出74x y-=，再将,,x ay b=⎧⎨=⎩代入式中，可得解.【详解】解：3,354,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②+①②，得447x y-=，所以74x y-=，因为,,x ay b=⎧⎨=⎩所以74x y a b-=-=.故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC ．13cm ，12cm ，20cmD ．5cm ，5cm ，11cm 【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A 、3+4＜8，不能组成三角形； B 、8+7＝15，不能组成三角形； C 、13+12＞20，能够组成三角形； D 、5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.4．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=0 【答案】C【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac- ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中． 5．如图，已知11(,)3A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)3B ．4(,0)3C ．8(,0)3D ．10(,0)3【答案】D【解析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】把11(,)3A y ，2(3,)By 代入反比例函数1y x =，得：13y =，213y =， 11(,3),(3,)33A B ∴，在ABP ∆中，由三角形的三边关系定理得：AP BP AB -<，∴延长AB 交x 轴于P'，当P 在P'点时，PA PB AB -=，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y kx b =+，把A ，B 的坐标代入得：133133k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：101,3k b =-=， 1215x ->∴直线AB 的解析式是103y x =-+， 当0y =时，103x =，即10(,0)3P ，故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度．6．如图，某小区计划在一块长为31m ，宽为10m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 1．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（31﹣1x ）（10﹣x ）=570B ．31x+1×10x=31×10﹣570C ．（31﹣x ）（10﹣x ）=31×10﹣570D ．31x+1×10x ﹣1x 1=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570， 故选A.7．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3 B ．3C ．-13D ．13【答案】B【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】根据绝对值的性质得：|-1|=1． 故选B ． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.8．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折【答案】B【解析】设可打x 折，则有1200×10x-800≥800×5%， 解得x≥1． 即最多打1折． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．9．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a ，b ，c ，d 之间关系的式子中不正确的是( )A ．a ﹣d ＝b ﹣cB ．a+c+2＝b+dC ．a+b+14＝c+dD ．a+d ＝b+c【答案】A【解析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．10．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=【答案】D【解析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴AC ABAB AD=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．二、填空题（本题包括8个小题）11．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．【答案】②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A 种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键.12．已知关于x，y的二元一次方程组2321x y kx y+=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k的值是_________．【答案】－1【解析】∵关于x，y的二元一次方程组23{+2=1①②+=-x y kx y的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-113．⊙O的半径为10cm，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=16cm,CD=12cm．则AB与CD之间的距离是cm．【答案】2或14【解析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF−OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.故答案为：2或14.14．不等式组2012xxx-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩的最大整数解是__________.【答案】2【解析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．【详解】解：2012xxx-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，由不等式①得x≤1，由不等式②得x＞-1，其解集是-1＜x≤1，所以整数解为0，1，1，则该不等式组的最大整数解是x=1．故答案为：1．【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝kx的图象在第一象限交于点P.若OP＝10，则k的值为________．【答案】1【解析】设点P（m，m+2），∵10，∴()222m m++10，解得m1=1，m2=﹣1（不合题意舍去），∴点P（1，1），∴1=1k，解得k=1．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，仔细审题，能够求得点P的坐标是解题的关键．16．分解因式：a3－a=【答案】(1)(1)a a a-+【解析】a 3－a=a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+17．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=______．【答案】3﹣3【解析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.【详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a∵平行于x 轴的直线AC ∴()()220,,3,A aC a a又∵CD 平行于y 轴 ∴()23,3Da a又∵DE ∥AC ∴()23,3E a a∴()33,DE a AB a =-= ∴DEAB=3﹣3 【点睛】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质. 18．已知A （0,3），B （2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.【答案】（1,4）.【解析】试题分析：把A （0,3），B （2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.考点：抛物线的顶点.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某地方政府决定在相距50km 的A 、B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？【答案】20千米【解析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．【详解】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE=（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2∴302+x2=DE2在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+（50﹣x）2=CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE=CE∴DE2=CE2∴302+x2=202+（50﹣x）2解得x=20∴基地E应建在离A站20千米的地方．考点：勾股定理的应用．20．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部 a 85 b s初中2高中部85 c 100 160（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．【解析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分75808585100a855++++==，众数b=85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3）222222++++=5S初中（75-85）（80-85）（85-85）（85-85）（100-85）=70，∵22S S初中高中＜，∴初中代表队选手成绩比较稳定．【点睛】本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.21．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．【答案】这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米．【解析】分析：根据已知得出过F作FG⊥AB于G，交CE于H，利用相似三角形的判定得出△AGF∽△EHF，再利用相似三角形的性质得出即可．详解：这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．所以△AGF∽△EHF．因为FD=1.1，GF=27+3=30，HF=3，所以EH=3.1﹣1.1=2，AG=x﹣1.1．由△AGF∽△EHF，得AG GF EH HF=，即1.530 23x-=，所以x﹣1.1=20，解得x=21.1（米）答：旗杆的高为21.1米．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGF∽△EHF是解题关键．22．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝x﹣2，y=12-x2+32+1；（2）a＜12；（3）m＜﹣2或m＞1．【解析】（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；（2）点（2，1）代入一次函数解析式，得到n＝−2m，利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x＝1，由一次函数经过一、三象限可得m＞1，确定二次函数开口向上，此时当y1＞y2，只需让a到对称轴的距离比a＋1到对称轴的距离大即可求a的范围．（3）将A（h，k）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h＝n2m-，将得到的三个关系联立即可得到11hm=-+，再由题中已知−1＜h＜1，利用h的范围求出m的范围．【详解】（1）将点（2，1），（3，1），代入一次函数y＝mx+n中，0213m n m n=+⎧⎨=+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的解析式是y ＝x ﹣2，再将点（2，1），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx+1，04211931m n m n =++⎧⎨=++⎩， 解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴二次函数的解析式是213122y x =-++． （2）∵一次函数y ＝mx+n 经过点（2，1），∴n ＝﹣2m ，∵二次函数y ＝mx 2+nx+1的对称轴是x ＝n 2m -， ∴对称轴为x ＝1，又∵一次函数y ＝mx+n 图象经过第一、三象限，∴m ＞1，∵y 1＞y 2，∴1﹣a ＞1+a ﹣1，∴a ＜12． （3）∵y ＝mx 2+nx+1的顶点坐标为A （h ，k ），∴k ＝mh 2+nh+1，且h ＝n 2m-， 又∵二次函数y ＝x 2+x+1也经过A 点，∴k ＝h 2+h+1，∴mh 2+nh+1＝h 2+h+1， ∴11h m =-+， 又∵﹣1＜h ＜1，∴m ＜﹣2或m ＞1．【点睛】本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合思想是解决二次函数问题的有效方法．23．观察下列等式：第1个等式：a 1=，第2个等式：a 2=-第3个等式：a 3第4个等式：a 4=-2， … 按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.【答案】（1）n a = （21．【解析】（1）根据题意可知，1 1a ==，2a ==32a ==42a ==，…由此得出第n 个等式：a n = （2）将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：（1）∵第1个等式：11a ==，第2个等式：2a ==第3个等式：3 2a ==-第4个等式：4 2a ==，∴第n 个等式：a n= （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（)()(+++++n+1=11n +-． 故答案为11n n n n =+-++；11n +-．【点睛】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 24．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边AB 上，连接CF 交线段BE 于点G ，CG 2=GE•GD ．求证：∠ACF=∠ABD ；连接EF ，求证：EF•CG=EG•CB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据CG 2=GE•GD 得出CG GD GE CG=，再由∠CGD=∠EGC 可知△GCD ∽△GEC ，∠GDC=∠GCE ．根据AB ∥CD 得出∠ABD=∠BDC ，故可得出结论； （2）先根据∠ABD=∠ACF ，∠BGF=∠CGE 得出△BGF ∽△CGE ，故FG EG BG CG =．再由∠FGE=∠BGC 得出△FGE ∽△BGC ，进而可得出结论．试题解析：（1）∵CG 2=GE•GD ，∴CG GD GE CG=． 又∵∠CGD=∠EGC ，∴△GCD ∽△GEC ，∴∠GDC=∠GCE ．∵AB ∥CD ，∴∠ABD=∠BDC ，∴∠ACF=∠ABD ．（2）∵∠ABD=∠ACF ，∠BGF=∠CGE ，∴△BGF ∽△CGE ，∴FG EG BG CG =． 又∵∠FGE=∠BGC ，∴△FGE ∽△BGC ，∴FE EG BC CG=，∴FE•CG=EG•CB ． 考点：相似三角形的判定与性质． 25．解不等式组22(4)113x x x x -≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】﹣2，﹣1，0【解析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．本题解析：()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②，解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0，26．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为BC 边上一点，以OC 为半径的圆O ，交AB 于D 点，且AD=AC ，延长DO 交圆O 于E 点，连接AE.求证：DE ⊥AB ；若DB=4，BC=8，求AE 的长.【答案】（1）详见解析；（2）62【解析】（1）连接CD ，证明90ODC ADC ∠+∠=︒即可得到结论；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt △BDO 中，运用勾股定理即可求出结论.【详解】（1）证明：连接CD,∵OD OC =∴ODC OCD ∠=∠∵AD AC = ∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB ∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.（2）设圆O 的半径为r ，()2224+8,3r r r ∴=-∴=， 设()22222,84,6,6+662AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴.【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．2．若分式242xx-+的值为0，则x的值为（）A．-2 B．0 C．2 D．±2 【答案】C【解析】由题意可知：24020xx＝⎧-⎨+≠⎩，解得：x=2，故选C.3．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，故选B．【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。
2019年上海市中考数学预测试题(附答案)
上海市中考数学预测试题一、选择题1.下列等式成立的是（ ）（A ）24±= （B ）π=722（C ）2328= （D ）b a b a +=+|| 2.下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ） （A ）m x =2 （B ）m x =2（C ）m x =+11（D ）m x =+1 3.下列函数中，图像经过第二象限的是（ ） （A ）x y 2= （B ）xy 2=（C ）2-=x y （D ）22-=x y 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）（A ）正五边形 （B ）正六边形 （C ）等腰三角形 （D ）等腰梯形5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（ ）成绩（环） 6 789 10 次数14 2 6 3（A ）2（B ）3（C ）8（D ）96.已知圆O 是正n 边形n A A A 21的外接圆，半径长为18，如果弧21A A 的长为π，那么边数n 为（ ） （A ）5 （B ）10（C ）36（D ）72二、填空题 7.计算：=-+-ab a b a b . 8.写出b a -的一个有理化因式： .9.如果关于x 的方程012=+-mx mx 有两个相等的实数根，那么实数m 的值是 . 10.函数x xy +-=21的定义域是 . 11.如果函数m x y -=2的图像向左平移2个单位后经过原点，那么m = .12.在分别写有数字-1,0,2,3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为 . 13.在△ABC 中，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AM ：MB =CN ：NA =1:2，如果b AC a AB ==,，那么=MN （用b a ,表示）.14.某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i =1:m ，那么m = .15.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m 的值是 .16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，写出一个函数)0(≠=k xky ，使它的图像与正方形OABC 的边有公共点，这个函数的解析式可以是 .17.在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点O 为边AD 的中点，如果以点O 为圆心，r 为半径的圆与对角线BD 所在的直线相切，那么r 的值是 .18.如图，将平行四边形ABCD 绕点A 旋转到平行四边形AEFG 的位置，其中点B 、C 、D 分别落在点E 、F 、G 处，且点B 、E 、D 、F 在一直线上，如果点E 恰好是对角线BD 的中点，那么ADAB的值是.三、解答题19.计算：|273|30cos 6)31()23(2-︒-++--.20.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<-->-525)1(312x x x x ，并写出它的所有非负整数解.21.已知，在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30A ，点M 、N 分别是边AC 、AB 的中点，点D 是线段BM 的中点.(1)求证：MBCDAB CN =； (2)求NCD ∠的余切值.22.某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M 走到N ，停留后再原路返回，期间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分（x >0)之间的函数关系如图中折线OABCD 所示.(1)求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域：(2)已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2:3，试求点C 的纵坐标.23.已知：如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC ∥AB ，AB >CD >AD ，︒=∠90A ，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片. (1)求证：四边形ADEF 为正方形；(2)取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG =CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形.24.已知在直角坐标系中，抛物线)0(382<+-=a ax ax y 与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧. (1)当AB =BD 时（如图），求抛物线的表达式；(2)在第(1)小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标； (3)点G 在对称轴BD 上，且ABD AGB ∠=∠21，求△ABG 的面积.25.已知：半圆O 的直径AB =6，点C 在半圆O 上，且22tan =∠ABC ，点D 为弧AC 上一点，联结DC （如图）(1)求BC 的长；(2)若射线DC 交射线AB 于点M ，且△MBC 与△MOC 相似，求CD 的长；(3)联结OD ，当OD ∥BC 时，作DOB ∠的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长.参考答案1－6：CADBDC。
上海市中考数学模拟试卷(解析版)
2019年上海市中考数学模拟试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D 与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a=．8．函数y=的定义域是．9．方程=2的解是．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．不等式组的解集是．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．20．解方程：﹣=1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围．2019年上海市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab【考点】同类项．【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次【考点】加权平均数．【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20=（4+6+40+30）÷2080÷20=4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D 与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a=a2．【考点】同底数幂的除法．【专题】计算题．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．函数y=的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．方程=2的解是x=5．【考点】无理方程．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，则x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2．【考点】代数式求值．【专题】计算题；实数．【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．不等式组的解集是x＜1．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【考点】根的判别式；解一元一次方程．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【考点】三角形中位线定理．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，难度不大．20．解方程：﹣=1．【考点】解分式方程．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．将（3，180）代入可求得y A关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得y A，y B的值，最后求得y A与y B的差即可．【解答】解：（1）设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以y B关于x的函数解析式为y B=90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以y A=60x．当x=5时，y A=60×5=300（千克）；x=6时，y B=90×6﹣90=450（千克）．450﹣300=150（千克）．答：若果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，=S△ABC+S△ACD=18．∴S四边形ABCD（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．百度文库【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．百度文库。
2019年上海市中考数学模拟试题及参考答案
2019年上海市中考模拟试题数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．（4分）π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（4分）已知一次函数y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜24．（4分）2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（）A．10.06秒，10.06秒B．10.10秒，10.06秒C．10.06秒，10.10秒D．10.08秒，10.06秒5．（4分）下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．（4分）计算：x2y•（﹣3xy3）2=．8．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围是．9．（4分）解方程：．x=．10．（4分）如果反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么请你写出一个满足条件的反比例函数解析式（只需写一个）．11．（4分）观察算式：1+3=，1+3+5=，1+3+5+7=…按规律填空：1+3+5+7+…+99=．12．（4分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是．13．（4分）有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．14．（4分）一个扇形统计图，某一部分所对应扇形的圆心角为120°，则该部分在总体中所占有的百分比是%．15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=．16．（4分）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．（4分）对于平面图形A，若存在一个或一个以上的圆，使图形A上任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖，图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖，若长宽分别为2cm与1cm的矩形被两个半径均为r的圆覆盖，则r的最小值为cm．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）计算：（1）（）3﹣（3+2）÷（2）化简：（﹣a）÷．20．（10分）解方程：①的解x=．②的解x=．③的解x=．④的解x=．…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．21．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，≈1.414．22．（10分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是（填l1或l2）；甲的速度是km/h，乙的速度是km/h；（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．24．（12分在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．25．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．参考答案：一、1．B2．C3．D4．A5．B6．B7．（4分）计算：x2y•（﹣3xy3）2=9x4y7．【解答】解：x2y•（﹣3xy3）2，=x2y•（﹣3）2x2y6，=9x2+2y1+6，=9x4y7．8．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围是m＜．【解答】解：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．9．（4分）解方程：．x=．【解答】解：设=u≥0，则x=u2，代入原式得：u2+u++u=3，∴=﹣u，两边平方整理得：8u2+10u﹣7=0，解得：u=或u=﹣（舍去），∴x=u2=．故答案为：．10．（4分）如果反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么请你写出一个满足条件的反比例函数解析式y=（答案不唯一）（只需写一个）．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴满足条件的反比例函数解析式可以是y=．故答案为：y=（答案不唯一）．11．（4分）观察算式：1+3=，1+3+5=，1+3+5+7=…按规律填空：1+3+5+7+…+99=2500．【解答】解：1+3+5+7+…+99==2500．12．（4分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是．【解答】解：由树状图可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．13．（4分）有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式y=±（x+1）（x﹣5）答案不唯一．【解答】解：对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y=ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y=ax2﹣4ax+ac=a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c=0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c=﹣5，则y=ax2﹣4ax+ac=a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a=±．则函数是：y=±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．14．（4分）一个扇形统计图，某一部分所对应扇形的圆心角为120°，则该部分在总体中所占有的百分比是33.3%．【解答】解：该部分在总体中所占有的百分比=120°÷360°=33.3%．15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=﹣．【解答】解：∵AD=DE=EB，∴=3=3，=2=2，∴=+=2+，∴=﹣=﹣，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DF：BC=AD：AB=1：3，∴==﹣．故答案为：﹣．16．（4分）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为2+．【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴=，即=，解得BC=2+（负值已舍去），即BC的长为2+．故答案为：2+．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．18．（4分）对于平面图形A，若存在一个或一个以上的圆，使图形A上任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖，图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖，若长宽分别为2cm与1cm的矩形被两个半径均为r的圆覆盖，则r的最小值为cm．【解答】解：当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形，正方形的对角线长是，因而圆的半径是cm．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）解：（1）原式=3﹣﹣2=2﹣2；（2原式=÷=•=20．（10分）解：①x=0②x=1③x=2④x=3．（1）第⑤个方程：解为x=4．第⑥个方程：解为x=5．（2）第n个方程：解为x=n﹣1．方程两边都乘x+1，得n=2n﹣（x+1）．解得x=n﹣1．21．（10分）解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA=，cosA=，∴PC=PA•sinA=120•sin64°，AC=PA•cosA=120•cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°，∴PC=BC，∴PB==≈153．∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．22．（10分）解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是=30km/h，乙的速度是=20km/h．故答案为l2，30，20．（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km．由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60解得x=1.3或1.5，答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．23．（12分）（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．24．（12分）解：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，），∴c=，∵抛物线经过点B（2，﹣），∴﹣=4a+2b+，∴b=﹣2a﹣1，故答案为：﹣2a﹣1；②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+，令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+=0，∵△=（2a+1）2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4（a﹣）2+＞0，∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，∴x1+x2=，x1x2=，∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2==（﹣1）2+3，∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+；（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2+bx+，∴抛物线对称轴为x=﹣b，∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+=﹣b2+，①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在范围内，满足条件；②当|﹣b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，综上可知b的值为1或﹣5．25．（14分）证明：（1）连接OD，如图1，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，∵AB=AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，∵OD∥AC，∴∠E=∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，∴△AEF∽△ODF，∴，∴==，（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，在△BFD和△EFA中，∵，∴△BFD∽△EFA，∴，∴=，解得：r1=，r2=（舍），综上所述，⊙O的半径为．。
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B 2019上海市中考数学模拟预测试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2-的倒数是（ ）
A 、5-；
B 、2；
C 、12
-
； D 、
12
； 2、下列计算正确的是（ ）
A 、2a-a =1；
B 、2242a a a +=；
C 、235a a a ⋅=；
D 、()2
22a b a b -=-；
3、某地气象局预报称：明天A 地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A 、明天A 地区80%的时间都下雨；
B 、明天A 地区的降雨量是同期的80%；
C 、明天A 地区80%的地方都下雨；
D 、明天A 地区下雨的可能性是80%；
4、某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了。
这说明本次考试分数的众数是（ ）
A 、82；
B 、91；
C 、11；
D 、56；
5、如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是（ ）
A 、A
B ⊥B
C ； B 、AC ⊥B
D ； C 、AB=BC ； D 、AC=BD ；
6、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠DBC=45°， 点E 在BC 上，点F 在AB 上，将梯形ABCD 沿直线EF 翻折， 使得点B 与点D 重合。
如果
14AD BC =，那么
AF
BF
的值是（ ） A 、1
2
；
B 、35；
C 、23
；
D ；
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为______人次；
8、因式分解：228x -=_______________； 9、不等式组13
21x x x +<⎧⎨
->⎩
的解集是________________；
10、如果在组成反比例函数1k
y x
-=图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是________；
11、如果函数y =f (x )的图像沿x 轴的正方向平移1个单位后与抛物线2
23y x x =-+重合，那么函数y=f (x )的解析式是___________；
12、甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表。
如果从这四位同学中，选出一位成绩
图1
D
C
A
B
C
B
较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选_____同学；
标准差 6.5 6.5 7.6 7.6
13、方程1x +=___________；
14、已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，如果AB a =、AD b =，那么向量MN =_________(结果用a 、b 表示)；
15、以点A 、B 、C 为圆心的圆分别记作A 、B 、C ，其中A 的半径长为1，B 的半径长
为2，C 的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cos B 的值是__________； 16、如图2，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的 仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处(C 、D 、B 三点在同 一直线上)，此时测得大厦顶端A 的仰角为45°，那么大厦AB 的高度 为_______米(保留根号)；
17、对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n .如果关于x 的方程x*(a*x )=1
4
-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是_______；
18、如图3，点D 在边长为6的等边△ABC 的边AC 上，且AD =2， 将
△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°，若此时点
A 和点D 的对应点
分别记作点E 和点F ，联结BF 交边AC 与点G ，那么tan ∠
AEG =___________. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分
10分）化简求值：，其中x =2
20、（本题满分10分）解方程：2132021
x x x x --+=-；
图2
图3
x
y
D C
B
A
O 21、（本题满分10分）如图4，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A 、B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，相交于两点M 、N ；②联结MN ，直线MN 交△ABC 的边AC 与点D ，联结BD 。
如果此时测得∠A =34°，BC=CD .求∠ABC 与∠C 的度数。
22、（本题满分10分，每小题满分5分） 如图5，在平面直角坐标系xOy 中，过点A ()向x 轴作垂线，垂足为B ，联结AO 得到△AOB ，
过边AO 中点C 的反比例函数k
y x
的图像与边AB 交于点D .求： （1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD 与x 轴的交点坐标.
图4 图5
A G E
23、（本题满分12分，每小题满分6分）
如图6，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G .求证： （1）CD=BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项.
24、（本题满分12分，每小题满分4分） 在平面直角坐标系xOy (如图7)中，经过点A (-1,0)的抛物线2
3y x bx =-++与y 轴交于点C ，点B 与点A 、点D 与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称。
（1）求b 的值以及直线AB 与x 轴正方形的夹角；
（2）如果点E 是抛物线上一动点，过E 作EF 平行于x 轴交直线AD 于点F ，且F 在E 的右边，过点E 作EG ⊥AD 与点G ，设E 的横坐标为m ，△EFG 的周长为l ，试用m 表示l ；
（3）点M 是该抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，Q 是坐标平面内一点，如果以点A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q 的坐标.
图6 图7
C E
P
O
A B
D
25、（本题满分14分，每小题满分分别为4分、4分、6分）
如图8，O与过点O的P交于AB，D是P的劣弧OB上一点，射线OD交O于点E，交AB
延长线于点C。
如果AB=24，tan∠AOP=2 3 .
（1）求P的半径长；
（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；
（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域.
参考答案
图8。