2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数1变化的快慢与变化率课后演练提升北师大版选修1-1资料

2016-2017学年高中数学 第3章 变化率与导数 1 变化的快慢与变

化率课后演练提升 北师大版选修1-1

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx 满足( )

A ．Δx ＞0

B ．Δx ＜0

C ．Δx ≠0

D ．Δx ＝0

解析： 当Δx ＞0时，是从右端逼近，

Δx ＜0时，是从左端逼近，但Δx ≠0，故选C.

答案： C

2．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx

为( ) A ．Δx ＋1Δx

＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx 解析： ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，

∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)

＝2Δx ＋(Δx )2，

∴Δy Δx ＝2Δx ＋ Δx 2Δx

＝2＋Δx . 答案： C

3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )

A ．0.41

B ．3

C ．4

D ．4.1 解析： Δs Δt ＝3＋2.12－ 3＋22 2.1－2

＝4.1. 答案： D

4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )

A ．－0.88 m/s

B ．0.88 m/s

C ．－4.8 m/s

D ．4.8 m/s

解析： Δs ＝s (1.2＋Δt )－s (1.2)

＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)＝－2(Δt )2－4.8Δt ，

∴Δs Δt ＝－2 Δt 2－4.8Δt Δt

＝－2Δt －4.8.

∴当Δt →0时，Δs Δt

→－4.8. 答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．

解析： 当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝ －2＋Δx 2－2 －2＋Δx ＋1－ 4＋4＋1

Δx ＝Δx －6.

答案： Δx －6

6．质点的运动方程是s (t )＝1

t 2，则质点在t ＝2时的速度为______．

解析： Δs Δt ＝s 2＋Δt

－s 2

Δt

＝1 2＋Δt 2－14Δt ＝－4＋Δ

t

4 2＋Δt 2，

Δt →0，Δs

Δt →－14.

答案： －14

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.

(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy

Δx ；

(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy

Δx .

解析： f (x )＝2x 2＋3x －5，

∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)

＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 2

1＋3×x 1－5)

＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx

＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .

(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，

∴Δy

Δx ＝211＝21.

(2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，

Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，

∴Δy

Δx ＝1.920.1＝19.2.

8．求函数y ＝x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解析： 设函数值变化量为Δy ，

∵Δy ＝ x 0＋Δx ＋1－x 0＋1＝ x 0＋Δx ＋1－ x 0＋1

x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1

＝Δx

x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1，

∴Δy

Δx ＝1

x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1

.

即y ＝x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为1

x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1.

尖子生题库 ☆☆☆

9．(10分)若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)

s ＝⎩⎪⎨⎪⎧

3t 2

＋2 t ≥3 ①29＋3 t －3 2 0≤t <3 ②.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；

(2)物体的初速度v 0；

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

解析： (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为

Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，

∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝48

2＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度．

∵物体在t ＝0附近的平均变化率为

Δs Δt ＝f 0＋Δt －f

Δt

＝29＋3[ 0＋Δt －3]2－29－3 0－3

2

Δt ＝3Δt －18，

∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为

lim Δt →0Δs

Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，

即物体的初速度为－18 m/s.

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为