【小初高学习]2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题11 数列求和及数列的简单应用 文

专题11 数列求和及数列的简单应用文

【考向解读】

数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题. 从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.

【命题热点突破一】分组转化法求和

例1、(2016·浙江卷)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*.

(1)求通项公式a n；

(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和．

【变式探究】等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.

【方法技巧】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是

否可以合并为一个公式.

【命题热点突破二】 裂项相消法求和

例2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n 都有6S n ＝1－2a n .求数列{a n }的通项公式；

【变式探究】【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）

已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线22

21n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121

433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.

【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .

【方法技巧】裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如

1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1

n （n ＋2）.

【命题热点突破三】 错位相减法求和

例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *

，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

3n S n －n ＋1

(n ∈N *

)的前n 项和为T n ，证明：T n ＜6.

【解析】(1)证明 因为S n ＝a n ＋1＋n －2， 当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3， 两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1. 设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n .又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.

所以c 1＝a 1－1，c 2＝a 2－1＝2，故c 2＝2c 1.

综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以

a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.

(2)解 由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，故S n －n ＋1＝2n

.所以b n ＝3n 2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋…

＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)

2

n ，①

2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)

2n －1，②

②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪

⎫12n

1－12

－3n

2n ＝6－3n ＋62

n .因为

3n ＋6

2

n ＞0， 所以T n ＝6－3n ＋6

2

n ＜6.

【方法技巧】近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前n 项和的基本要求，错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数.

【命题热点突破四】 利用数列单调性解决数列不等式问题 例4、首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *

.

(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N *

都有a n ＋1＞a n ，求a 1的取值范围

.

法二 由a 2＝

a 21＋3

4

＞a 1，得a 2

1－4a 1＋3＞0，

于是0＜a 1＜1或a 1＞3.

a n ＋1－a n ＞

a 2n ＋34－

a 2n －1＋3

4

＝

（a n ＋a n －1）（a n －a n －1）4

，

因为a 1＞0，a n ＋1＝

a 2n ＋3

4

，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号.