2018年高中数学北师大版必修五：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大(小)值含解析

[A 基础达标]

1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1

x 最大值是( )

A ．3

B ．3－2 2

C ．3－2 3

D ．－1

解析：选C 。y ＝3－3x －1

x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1

x

＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝3

3

时取等号．

2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭

⎫x ＋1

x －1＋5(x >1)最小值为( )

A ．－3

B ．3

C ．4

D ．－4

解析：选B 。因为x ＋1

x －1＋5

＝(x －1)＋1

x －1＋6

≥2

（x －1）·1

x －1

＋6＝8。

所以log 2⎝⎛⎭

⎫x ＋1

x －1＋5≥3，所以y min ＝3。

当且仅当x －1＝1

x －1

，即x ＝2时，等号成立．

3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9

D ．36

解析：选B 。(1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤

（1＋x ）＋（1＋y ）22

＝⎣⎡⎦⎤2＋（x ＋y ）22

＝⎝⎛⎭⎫2＋822

＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B 。 4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3

D ．有最大值4

解析：选D 。因为x ＞1，y ＞1， 所以log 2x ＞0，log 2y ＞0。 所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎫log 2x ＋log 2y 22

＝⎣⎡⎦⎤log 2（xy ）22

＝4， 当且仅当x ＝y ＝4时取等号． 故选D 。

5．已知函数y ＝x －4＋9

x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )

A ．－3

B ．2

C ．3

D ．8

解析：选C 。y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9

x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2

（x ＋1）·9

x ＋1

－5＝2

×3－5＝1。当且仅当x ＋1＝

9

x ＋1

，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3。 6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1

y 最小值为________．

解析：x ＋1x ＋y ＋1

y

＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y

y

＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝1

2时等号成立． 答案：5

7．周长为2＋1直角三角形面积最大值为________．

解析：设直角三角形两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤1

2，当且

仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 最大值为14

。 答案：14

8．若直线x a ＋y

b

＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 最小值为________．

解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2

b )＝4＋

b a ＋4a

b ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a

b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 最小值为8。 答案：8

9．求下列函数最小值．

(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2

y ＝3，求2x ＋y 最小值；

(2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1最小值．

解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）

3

＝13⎝⎛⎭

⎫

1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83。 当且仅当y x ＝4x

y

时等号成立，即y 2＝4x 2。

所以y ＝2x 。

又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43

。

所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为8

3。

(2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0。 设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，

于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4

t

＝t ＋4

t

＋5≥2

t ·4

t

＋5＝9， 当且仅当t ＝4

t

，即t ＝2时取等号，此时x ＝1。

所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1取得最小值为9。

10。桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色农业生产形式，某研究单位打算开

发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围基围宽

均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2。 (1)试用x ，y 表示S ；

(2)若要使S 最大，则x ，y 值各为多少？

解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，

S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －16

3y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．

(2)法一：S ＝1 832－6x －16

3y ≤1 832－2

6x ×16

3

y ＝1 832－480＝1 352，

当且仅当6x ＝16

3

y ，xy ＝1 800，

即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352。 法二：S ＝1 832－6x －163×1 800

x

＝1 832－⎝⎛⎭⎫

6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x

＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝9 600

x

，

即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800

x

＝45。

[B 能力提升]

11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1

6，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 最大值为( )

A ．8

B ．7