2014年天津市高考数学试卷(理科)

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2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC 于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④A F•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.【解答】解:复数==,故选:A.【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=1+2×1=3,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,∵跳出循环的i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=log t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得x>2,或x<﹣2,故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=log t随t的减小而增大,所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.6.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC 于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.正确结论有①②④.故选:D.【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于基础题.7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b >0,所以a﹣b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b <0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选:C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故选:C.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.【分析】由条件求得,S n=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,由此求得a1的值.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=的值.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得cosA===﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为3.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,求出B的坐标是解题的关键,属于基础题.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x ﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则|g(x)|的图象如图:若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的周期公式应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC 的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,x i∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由于a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,可得a n﹣b n≤﹣1.由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(a n﹣1﹣b n﹣1)q n﹣2+(a n﹣b n)q n﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,∴s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(a n﹣1﹣b n﹣1)q n﹣2+(a n﹣b n)q n﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)q n﹣2﹣q n﹣1=(q﹣1)(1+q+…+q n﹣2)﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1<0.∴s<t.【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.【解答】解:(Ⅰ)∵f (x )=x ﹣ae x ,∴f′(x )=1﹣ae x ;下面分两种情况讨论:①a ≤0时,f′(x )>0在R 上恒成立,∴f (x )在R 上是增函数,不合题意; ②a >0时,由f′(x )=0,得x=﹣lna ,当x 变化时,f′(x )、f (x )的变化情况如下表:∴f (x )的单调增区间是(﹣∞,﹣lna ),减区间是(﹣lna ,+∞);∴函数y=f (x )有两个零点等价于如下条件同时成立:①f (﹣lna )>0;②存在s 1∈(﹣∞,﹣lna ),满足f (s 1)<0;③存在s 2∈(﹣lna ,+∞),满足f (s 2)<0;由f (﹣lna )>0,即﹣lna ﹣1>0,解得0<a <e ﹣1;取s 1=0,满足s 1∈(﹣∞,﹣lna ),且f (s 1)=﹣a <0,取s 2=+ln ,满足s 2∈(﹣lna ,+∞),且f (s 2)=(﹣)+(ln ﹣)<0;∴a 的取值范围是(0,e ﹣1).(Ⅱ)证明:由f (x )=x ﹣ae x =0,得a=, 设g (x )=,由g′(x )=,得g (x )在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x ∈(﹣∞,0)时,g (x )≤0,当x ∈(0,+∞)时,g (x )≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题,也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力,是综合型题目.。

2014年高考真题——理数(天津卷)试题及答案

2014年高考真题——理数(天津卷)试题及答案

2014年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=()+i D+2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一.﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=16.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,BE=λBC,DF=μDC,若•=1,•=﹣,则λ+μ=().C D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_________名学生.10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_________m3.11.(5分)(2014•天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为_________.12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为_________.13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为_________.14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为_________.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=()+i D+解:复数=2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()﹣3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()t=log t5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一.﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标,利用双曲线﹣,可得=2∵双曲线=1∴双曲线的方程为=16.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,BE=λBC,DF=μDC,若•=1,•=﹣,则λ+μ=().C D.两个向量的数量积的定义由•=1•=,求得﹣﹣解:由题意可得若=()()++λ•μ=﹣(﹣)))﹣,故答案为:二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为,×=6010.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.×π×+=故答案为:11.(5分)(2014•天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.==﹣.12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.,再由余弦定理求得cosA=ab=cosA==﹣.13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为3.(,可得(14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).,三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.再由复合三角函数的周期公式的范围,求出sinx))的最小正周期=,],],则[,]=时,即=)取到最小值是:时,即时,)取到最大值是:,,最小值为应用,16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,(名同学是来自互不相同学院的概率为的数学期望17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.的方向向量,根据•,求出向量的坐标,进而求出平面=•(Ⅱ)∵=的法向量,得,则=,所成角的正弦值为(Ⅲ)∵=,上,设λ===,得=2,,,)=,得,则的法向量=18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.|F.可得.可设椭圆方程为,.利用圆的性质可得,于是.联立可得.设圆心为,利用两点间的距离公式可得圆的半径,化为.因此椭圆方程为.,可得,在椭圆上,∴.,化为=0,∴,,可得.=,=.,r==,解得的斜率为19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.A={x|,+A={x|,+20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.=a=a,则=ln,令=,+ln,满足﹣)ln﹣,设,由=,得<;∴随着=a=a=ln,设=t,解得,…①;﹣。

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 8小题,每小题5分)1.( 5分)(2014 ?天津)i 是虚数单位,复数 -------- =( )3+41 A . 1-i B . - 1+iC .丄+」D_ +_i25 2^77考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数.分析:将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3 -4i ,即求出值.解答:解:复数 7+1. (7+1) (3-41)|25 - 25! “.34-41 (3+蚯)(3-4i)=251故选A .点评:本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.最小值为( )A . 2B . 3考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 解答:解:作出不等式对应的平面区域,由 z=x+2y ,得 y=-丄-*盂4违的截距最小,此时z 最小. 此时z 的最小值为z=1+2 xi=3, 故选:B .平移直线y=- ,由图象可知当直线 y=- 经过点B (1, 1)时,直线y=2. ( 5分)(2014?天津)设变量 z=x+2y 的z 的最大值. x ,则目标函数ic/Il-1-1■J/\点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.(5分)(2014?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A . 15 B. 105 C. 245 D. 945考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:算法的功能是求S=1 >3>5X-(2i+1 )的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求S=1 X3>5X->>2i+1 )的值,•/跳出循环的i值为4,•••输出S=1 X3X5XM05 .故选:B.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4. > 5分)> 2014?天津)函数f >x)=log >x2_4)的单调递增区间为> )~2A . > 0, +7 B. (— a, 0)C. > 2, +呵D. > — a,—2)考点:复合函数的单调性.专题:函数的性质及应用.分析:令t=x2- 4 >0,求得函数f (x)的定义域为(-汽-2) U (2, + 8),且函数f ( x) =g (t) =log ]t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(-8, - 2) U (2, + ^) 2上的减区间•再利用二次函数的性质可得,函数t在(-8,- 2) U (2, + 8)上的减区间.解答:解:令t=x2- 4 > 0,可得x > 2,或X V- 2,故函数f (x)的定义域为(- 8,- 2) U (2, + 8),当x€(-8,- 2)时,t随x的增大而减小,y=log 11随t的减小而增大,~2所以y=log ] (x2- 4)随x的增大而增大,即f (乂)在(-8,- 2)上单调递增.故选:D.点评:本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.2 2岂-耳=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a2b23• • 2 2 .2-c =a +b ,2 2--a =5, b =20,5. ( 5分)(2014?天津)已知双曲线y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线I上,则双曲线的方程为(=1[Too考点:双曲线的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先求出焦点坐标,利用双曲线£-£=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a21/, 2 2 2y=2x+10,可得=2,结合c =a +b,求出aa, b,即可求出双曲线的方程.解答:解:•••双曲线的一个焦点在直线I 上,令y=0,可得x= - 5,即焦点坐标为(-5, 0), ••• c=5,-=1 (a> 0, b > 0)的一条渐近线平行于直线I: y=2x+10 ,C.=1故选:A .点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.6. (5分)(2014?天津)如图,△ ABC是圆的内接三角形,/ BAC的平分线交圆于点D ,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分/ CBF;②FB2=FD?FA;③AE?CE=BE ?DE;④AF?BD=AB ?BF .所有正确结论的序号是()A .①②B .③④C .①②③D .①②④考点:与圆有关的比例线段;命题的真假判断与应用.专题:直线与圆.分析:本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.解答:解:•••圆周角/ DBC对应劣弧CD,圆周角/ DAC对应劣弧CD,••• / DBC= / DAC .•••弦切角/ FBD对应劣弧BD,圆周角/ BAD对应劣弧BD ,•/ FBD= / BAF .•/ AD是/ BAC的平分线,•/ BAF= / DAC .•/ DBC= / FBD .即BD平分/ CBF .即结论①正确. 又由 / FBD= / FAB , / BFD= /AFB,得△ FBD 〜△ FAB .由,FB2=FD?FA .即结论②成立.r A rb由—-得AF?BD=AB ?BF .即结论④成立.AF _AB正确结论有①②④ .故答案为D点评:本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度 不大,属于基础题.7. ( 5 分)(2014?天津)设 a , b€R ,贝U a >b”是 a|a|>b|b|”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑.分析:根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答:解:若a >b ,① a > b%,不等式a|a|> b|b 等价为a?a > b?b ,此时成立.② 0>a > b ,不等式a|a >b|b|等价为-a?a >- b?b , 即卩a 2< b 2,此时成立.③ a^0 > b ,不等式a|a|> b|b 等价为a?a >- b?b ,即a >- b ,此时成立,即充分性 成立. 若 a|a|> b|b|,① 当 a >0, b > 0 时,a|a |>b|b|去掉绝对值得,(a - b ) (a+b )> 0,因为 a+b >0,所 以 a -b >0,即 a >b .② 当 a > 0, b < 0 时,a > b .③ 当 a < 0, b < 0 时,a|a |>b|b|去掉绝对值得,(a - b ) (a+b )< 0,因为 a+b < 0,所 以a -b >0,即a >b .即必要性成立,综上a >b"是a|a |>b|b|”的充要条件, 故选:C .点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.& ( 5分)(2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点 _ _.=入L-, I =』:’,若(_-?,* =1,-'上?-.1 =考点: 专题: 分析: 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由AL ? AF 1,求得4 A+4卩-2入=:3①;再由JE ?L,F --;,求得-入-入甘-下②.纟口 合①②求得入+卩的值.解答:解:由题意可得若 AE ?AT = ( A5+BE ) ?(应5+DF )=阴存 AD +址■ AD +BI!・ DFE 、F 分别在边BC 、DC 上, 1B. 2C. 5D . 2 36?12A .=4 V4 p- 2 入—2=1 ,4 V+4 p- 2 入=3 ①.西?斎-EC ?(-氏)版呢=(1 -入)厩?(1 - P)瓦=(1- V)而? (1 -2=(1 - V (1-p) »>DOS120 = (1 -入—p+ 入)(-2)=-二,即-V p+ V =,-二②.3由①②求得V+尸二,6点评:本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义, 属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9. (5分)(2014?天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取60 名学生.考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计.分析:先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.解答:解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为丄4+5+B+6 5故应从一年级本科生中抽取名学生数为300 >=60,故答案为:60.=2 >2 >Cos120°【-■ i' '■+ 入「,i?「i+ V I?『,'= -2+4 p+4 廿入卩2滋Xdos120°点评:本题主要考查分层抽样的定义和方法, 应各层的样本数之比,属于基础题.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对故答案为:上.10.(5分)(2014?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为侧视图考点:由三视图求面积、体积. 专题:立体几何.分析:几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的 体积公式计算. 解答:解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,几何体的体积V n点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11. (5分)(2014?天津)设{a n }是首项为a i ,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,若 S i , S 2, S 4成等比数列,则 a 1的值为 -丄.考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:n ( 2ai+l - n )由条件求得,S n = -------------- ----------- ,再根据S 1,S 2, S 4成等比数列,可得% Z=S 1?S 4, 由此求得a 1的值.m .正视图 傭观圏兀.故答案为:再根据若S i, S2, S4成等比数列,可得S 2 2=S1?S4,即(施]-1) 2=a i? (4a i -6),解得a i=-—,1故答案为:-一.2点评:本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题.12. (5分)(2014?天津)在△ ABC中,内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知b-c4a,2sinB=3sinC,则cosA的值为一丄—考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:由条件利用正弦定理求得a=2c, ,再由余弦定理求得cosA= * 的值.2 2bc解答:解:在△ ABC中,故答案为:-一.4点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.13. (5分)(2014?天津)在以0为极点的极坐标系中,圆p=4sin B和直线p in 9=a相交于A、B两点,若△ AOB是等边三角形,则a的值为3 .考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+ (y- 2) 2=4,可得a 的值.解答:解:直线psin 0=a 即y=a, (a>0),曲线p=4sin 0,2 2 2即p =4 psin0,即x + (y - 2) =4,表示以C (0, 2)为圆心,以2为半径的圆,解答:解:由题意可得, a n=a i+( n —1)( —1 )=a i+1 -■/ b- c」a ①,2sinB=3sinC ,4••• 2b=3c ②,•/ △ AOB 是等边三角形,••• B (二a , a ),3直线和圆的位置关系, 求出B 的坐214. ( 5 分)(2014?天津)已知函数 f ( x ) =|x +3x|, 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 (0, 1)考点:专题:分析:根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 由 y=f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,作出函数 y=f (x ), y=a|x - 1|的图象利用 数形结合即可得到结论.解答:解:由 y=f (x ) - a|x — 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|, 作出函数y=f (x ), y=g (x ) =a|x - 1|的图象, 当a 切,不满足条件,f a ts - 1)玄>1则 a > 0,此时 g (x ) =a|x - 1|=, _ ,L _ a (i _ PY 1当—3v x v 0 时,f (x ) = - x 2- 3x , g (x ) = - a (x - 1), 当直线和抛物线相切时,有三个零点, 此时-x 2 - 3x= - a (x - 1),即 x + (3 - a ) x+a=0, 则由△ = (3- a ) 2 - 4a=0,即 a 2- 10a+9=0,解得 a=1 或 a=9, 当a=9 时,g (x ) = - 9 (x - 1), g (0) =9,此时不成立,•此时 a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0v a v 1,若a > 1,此时g (x ) = - a (x - 1 )与f (x ),有两个交点, 此时只需要当x > 1时,f (x ) =g (x )有两个不同的零点即可, 即 x +3x=a (x - 1),整理得 x + ( 3 - a ) x+a=0 ,则由△ = (3- a ) 2 - 4a > 0, 即卩 a 2 - 10a+9>0,解得 a v 1 (舍去)或 a > 9, 综上a 的取值范围是(0, 1) U (9, + s),方法 2:由 f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,x €R ,若方程 f (x )- a|x- 1|=0 恰有 4 U (9, +s).代入 x 2+ ( y - 2)2=4,可得(2+ (a -2) 2 =4,a > 0, - - a=3.点评:本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 标是解题的关键,属于基础题.若x=1,则4=0不成立, 故x 力,f (J=1x 沖1 =1、丘 - 1 ) 2+5 (K- 1)|K -I || lx-11x-1+5|, 设 g (x ) =x — 1+'!当 x > 1 时,g (x ) =x — 1+,:Z-1+5 ■1—-— - ■■ I ",当且仅当 X _ 1口 号,+5,则方程等价为|=|x - 1+1X-1仁1,即x=3时取等当X V 1时,=5 — 4=1,当且仅当—(x — 1)=—」L ,即卩x= — 1时取等号,Z- 1则|g ( X )I 的图象如图:若方程f (x )— a|x — 1|=0恰有4个互异的实数根, 则满足a > 9或0 V a v 1,故答案为:点评:本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强, 难度较大.三、解答题(共6小题,共80分)I 7115. (13 分)(2014?天津)已知函数 f (x ) =cosx?sin (x+—)(I )求f (x )的最小正周期;jr| jr(n )求f (x )在闭区间[-——,——]上的最大值和最小值.4 4考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:(i )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的,x €R .(n )由(i )化简的函数解析式和条件中x 的范围,求出2x- —的范围,再利用3正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.解答: 解答解:(i )由题意得,1 . . V3 2=-=.i ;■: ' ■ ■q q=*「」「.I-:.」.(2工-中Vs qL ・2Sin所以, 由(I )得 f (x )|一 ,周期公式 求出此函数的最小正周期;cosx )f (x ) =cosx? (—sinx2f (x )的最小正周期=n.16. ( 13分)(2014?天津)某大学志愿者协会有 6名男同学,4名女同学,在这10名同学中, 3名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这 10名同学中随机选取 3名同学,到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同) (I )求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;f n )设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.考点:古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. (I )利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;兀 口],则 2疋一 "€[— 5717T ? -------------2 23 6 6,即吕口(2丈一芈)=- 乂时,_ 1~2f ( x ) 函数f (x )取到最小值是:取到最大值是:丄,最小值为4点评:本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.分析: 3名同学是来自互不相同学院的(n )随机变量X 的所有可能值为0, 1, 2,3, P (X=k)3-k---- --- (k=0 , 1, 2,解答:3)列出随机变量 X 的分布列求出期望值.f I )解:设 选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A ,点评: _C 扣*弼49c10,=60所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为(n )解:随机变量X 的所有可能值为2, 3)所以随机变量的分布列是2 3 lb随机变量0, 1, 2,4960(k=0, 1,31] 30 X 的数学期望 E47+3X7^^.5210 30 5本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力. 由 x€[- 所以,所求的最大值为丄,_]得,2x €[-sin 〔2蛊 - ¥ 1时, ],周期公式17. ( 13 分)(2014?天津)如图,在四棱锥 P- ABCD 中,PA 丄底面 ABCD ,AD 丄 AB ,AB // DC , AD=DC=AP=2 , AB=1,点 E 为棱 PC 的中点.(I )证明:BE 丄DC ;(II )求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(川)若F 为棱PC 上一点,满足 BF 丄AC ,求二面角F -AB - P 的余弦值.考点: 专题: 分析: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何.(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 求出BE , DC 的方向向量,根据二了? |-0 ,可得BE 丄DC ;(II )求出平面PBD 的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线 BE 与平面PBD所成角的正弦值;(川)根据BF 丄AC ,求出向量IT 的坐标,进而求出平面 FAB 和平面ABP 的法向量, 代入向量夹角公式,可得二面角 F - AB - P 的余弦值. 解答: 证明:(1) •/ PA 丄底面ABCD , AD 丄AB ,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,••• AD=DC=AP=2 , AB=1,点 E 为棱 PC 的中点.••• B ( 1, 0 , 0), C (2 , 2 , 0), D ( 0 , 2 , 0),P(0 , 0 , 2), E (1 , 1 , 1)-- ■- - N=(0 , 1 , 1), 1'= (2 , 0 , 0) I '=0 ,• BE 丄 DC ;(n ) v | i= ( - 1, 2, 0),可;=(1, 0, - 2),设平面PBD 的法向量| = (x , y , z ),令 y=1,则 >■= ( 2, 1, 1), 则直线BE 与平面PBD 所成角B 满足:(出)V|,■-= (1 , 2, 0),心(-2,- 2, 2), i= (2, 2, 0),由F 点在棱PC 上,设CF =疋P = (- 2入,-2入2 X) (0三入1) 故E?=^+EF = (1 - 2 人 2 - 2X, 2X (0W 入1 炙, 由 BF 丄 AC ,得 BF ?AC =2 (1 - 2 X +2 (2- 2 X =0,设平面FBA 的法向量为ii= (a , b , c ),令 c=1,则「i= ( 0,- 3, 1), 取平面ABP 的法向量| i = (0, 1, 0), 则二面角F - AB - P 的平面角 a 满足:故二面角F - AB - P 的余弦值为:— 10点评:本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向 量夹角问题,是解答的关键.ID 尸 BD-m*PB=0,得-s+2y=0 x - 2 z=0sin 0=in故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为Vsn * AB = 0 n*BF=0COS a == 3I i | ■|n | 7103v'TC i10 即芋=(-,得18. (13分)(2oi4?天津)设椭圆亠+ 二=1 (a > b > o )的左、右焦点分别为 F i 、F 2,右顶a 2b 2点为A ,上顶点为B ,已知|AB|=丄丄|F i F 2|.2(I )求椭圆的离心率;(n )设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点 F 1,经过原点O 的直线I 与该圆相切,求直线I 的斜率.考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(I )设椭圆的右焦点为F 2 ( c , o ),由|AB|=V3|F 1F 2|.可得Qj + b 巫容x 2c , 再利用b 2=a 2 - c 2, e=即可得出.aj - ] ■ 1 . - =c (x o +c ) +cy o =0,(n )由(i )可得b 2=c 2 •可设椭圆方程为? 2亠;亡二1 ,设 P (x o , y o ),由 F i (-c , o ) , B( o , c ),可^得卩利用圆的性质可得-,于是I卜=。

2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)

2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)

则该几何体的体积 _______ m . 其前 n 和.若 S1 , S 2 , S 4 成等比数列 则 a1 的
3
11 设 { an }是首 值 __________.
a1 公差 -1 的等差数列 Sn
12 在 D ABC 中 内角 A, B, C 所对的边 别是 a, b, c . 知 b - c = 的值 _______. 13 在
数 a 的取值范围 __________. 解答题 15 本题共 6 道大题 13 满 80 .解答 写出文 说明 证明过程或演算 骤.
本小题满
知函数 f ( x ) = cos x ⋅ sin x + 求 f ( x ) 的最小 周期 求 f ( x) 在 16 本小题满 区间 − 13 男
0,1,2,L, q - 1} 集合 知 q 和 n 均 给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {
D
-
17 25 + i 7 7
2 设变
x y 满足 束条
x + y − 2 ≥ 0, x − y − 2 ≤ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值 y ≥ 1,
C 4 D 5
A 2
B
3
3 阅读右边的程序框
行相 的程序 输出的 S 的值
A 15
B 105
1
C 245

π
3 2 − 3 cos x + 3 4
x∈R .
π π , 4 4
学 4
的最大值和最小值.
某大学志愿者协会有 6
女 学. 在这 10
学中 3
学来自数学学院 其余 7 学 到希望小学
学来自物理 化学等其他互 相 的七个学院. 现从这 10 进行支教活动 求选出的 3 设X 17 如 位 学被选到的可能性相 .

2014年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)

2014年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷共20题,共150分。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n ﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学(参考答案)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.【解答】解:复数==,故选A.2.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=1+2×1=3,故选:B.3.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,∵跳出循环的i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.4.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得 x>2,或 x<﹣2,故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=log t随t的减小而增大,所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.5.【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1.故选:A.6.【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.正确结论有①②④.故答案为D7.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a﹣b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选:C.8.【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.9.【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.10.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.11.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得 a1=﹣,故答案为:﹣.12.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得 cosA===﹣,故答案为:﹣.13.【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.14.【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则|g(x)|的图象如图:若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)三、解答题(共6小题,共80分)15.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.16.【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)随机变量X的数学期望.17.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:18.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.19.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,∴a n﹣b n≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=<0.∴s<t.20.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣ae x,∴f′(x)=1﹣ae x;下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;x)的变化情况如下表:∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:①f(﹣lna)>0;②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;∴a的取值范围是(0,e﹣1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣ae x=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.。

2014年天津市高考数学试卷(理科)附送答案

2014年天津市高考数学试卷(理科)附送答案

2014年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC 于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.【解答】解:复数==,故选A.2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=1+2×1=3,故选:B.3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,∵跳出循环的i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=log t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得x>2,或x<﹣2,故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=log t随t的减小而增大,所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1.故选:A.6.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.正确结论有①②④.故答案为D7.(5分)(2014•天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b >0,所以a﹣b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b <0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选:C.8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.11.(5分)(2014•天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.【分析】由条件求得,S n=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,由此求得a1的值.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=的值.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得cosA===﹣,故答案为:﹣.13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a 相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为3.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则|g(x)|的图象如图:若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x ∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望.17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC 的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由于a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,可得a n﹣b n≤﹣1.由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1],再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i ∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,∴a n﹣b n≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=<0.∴s<t.20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣ae x,∴f′(x)=1﹣ae x;下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,﹣lna)﹣lna(﹣lna,+∞)f′(x)+0﹣f (x)递增极大值﹣lna﹣1递减∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:①f(﹣lna)>0;②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln ﹣)<0;∴a的取值范围是(0,e﹣1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣ae x=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.。

2014天津市高考理科数学试卷(含答案)

2014天津市高考理科数学试卷(含答案)

2014天津市高考理科数学试卷(含答案)绝密★ 启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件,互斥,那么•如果事件,相互独立,那么. •圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式 . 其中表示圆柱的底面面积,其中表示圆锥的底面面积,表示圆柱的高. 表示圆锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. (1)是虚数单位,复数()(A)(B)(C)(D)(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为()(A)15 (B)105 (C)245 (D)945 (4)函数的单调递增区间是()(A)(B)(C)(D)(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为()(A)(B)(C)(D)(6)如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点 .在上述条件下,给出下列四个结论:① 平分;② ;③ ;④ . 则所有正确结论的序号是()(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②④ (7)设,则|“ ”是“ ”的()(A)充要不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充要也不必要条件(8)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,, .若,,则()(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷注意事项: 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

【天津数学】2014高考数学(理科)答案与解析

【天津数学】2014高考数学(理科)答案与解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷注意事项:1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2、本卷共8小题,每小题5分,共40分。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)i 是虚数单位,复数7i34i+=+()A .1i -B .1i -+C .1731i 2525+D .1725i 77-+【解析】A7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25++--===-++-(2)设变量x ,y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩,,,≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为()A .2B .3C .4D .5【解析】B画出可行域,易知目标函数2z x y =+在1,1x y ==时取得最小值3(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为()(第3题图)i ≥4?输出S 否是i =i +1S =S ×T T =2i +1S =1,i =1结束开始A .15B .105C .245D .945【解析】B该框图意在计算连续正奇数乘积,当4i ≥输出时,实际计算的乘积为1357105S =⨯⨯⨯=(4)函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为()A .(0),+∞B .(0)-∞,C .(2,)+∞D .(,2)-∞-【解析】D函数的单调增区间是函数24y x =-的单调减区间与不等式240x ->的解集的交集,因此 函数的单调递增区间是(,2)-∞-(5)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>,>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .221520x y -=B .221205x y -=C .2233125100x y -=D .2233110025x y -=【解析】A由渐近线斜率为2知2b a =,因此5c a =,又∵左焦点坐标为(5,0)-,即5c =,a =故双曲线方程为221520x y -=(6)如图ABC △是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②2FB FD FA =⋅;③AE CE BE DE ⋅=⋅;④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是()F DCEBA(第6题图)A .①②B .③④C .①②③D .①②④【解析】D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=,由弦切角以及圆周角关系可知:FBD CBD DCB DAB ∠=∠=∠=∠,因此①正确;由切割线定理可直接得出②正确; 由相交弦定理可知③错误由上述结论可推知FDB ∆与FBA 相似,即FB DBFA BA=,因此④正确(7)设a b ∈R ,,则“a b >”是“a a b b >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .即不充分又不必要条件【解析】C由a b >,可分三种情况:①0a b >≥,则22a a a b b b =>=②0a b >>,则0a a b b >>;③0a b ≥>,则22a a a b b b =->-=, 综上可知,a a b b > 由a a b b >,亦可分三种情况①0a a b b >≥,由绝对值的非负性知此时a b 、非负,因此22a b >,两边开方得a b > ②0a a b b ≥>,此时显然0a b ≥>③0a a b b >>,同理可知a b 、同负,∴2222,a b a b ->-<,即a b <,∴a b > 综上可知,a b >因此a b >是a a b b >的充要条件(8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E F ,分别在边BC DC ,上,BE BC DF DC =λ=μ,.若213AE AF CE CF ⋅=⋅=-,,则λ+μ=( ) A .12B .23C .56D .712【解析】C,AE AB AD AF AB AD λμ=+=+,代入已知得442(1)1AE AF μλλμ⋅=+-+=(1),(1)CE CB CF CD λμ=-=-,代入已知得22(1)(1)3CE CF μλ⋅=---=-两式联立消去λμ可得56λμ+=第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、 四年级的本科生人数之比为4556∶∶∶,则应从一年级本科生中抽取_____________名学生.【解析】60由分层抽样方法知抽取人数应为4300604556⨯=+++人(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为___________3m .侧视图主视图俯视图(第10题图)【解析】20π3该几何体上半部分为圆锥,下半部分为圆柱,因此其体积为22120ππ22π1433V=⨯⨯⨯+⨯⨯=(11)设{}n a是首项为1a,公差为1-的等差数列,n S为其前n项和.若124S S S,,成等比数列,则1a的值为__________.【解析】12-由于该数列为等差数列,因此112141,2,46S a S a d S a d==+=+,由于124S S S、、等比且1d=-知2111(21)(46)a a a-=-,解得112a=-(12)在ABC△中,内角A B C,,所对的边分别是a b c,,.已知12sin3sin4b c a B C-==,,则cos A的值为_______.【解析】14-由2sin3sinB C=可得23b c=,代入14b c a-=可得2a c=,由余弦定理知2222229414cos32422c c cb c aAbc c c+-+-===-⋅⋅(13)在以O为极点的极坐标系中,圆4sinρθ=和直线sin aρθ=相交于A B,两点.若AOB△是等边三角形,则a的值为_______.【解析】3以极点为平面直角坐标系原点,极轴作为x轴正半轴建立平面直角坐标系,则4sinρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y+-=,而sin aρθ=则表示直线y a=由已知,直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形,则弦AB所对圆心角为120︒,该弦到圆心距离等于半径的一半,因此易知213a=+=取值范围为______________. 【解析】(0,1)(9,)+∞方程()10f x a x --=的实根与()y f x =图象和1y a x =-图象交点一一对应由函数图像变换可知,()f x 图象为将23y x x =+沿x 轴向上翻折得到,而1y a x =-图象则由y a x =图象沿x 轴向右平移一个单位得到。

2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

xy 2O -221E DC BA2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2014年天津,理1,5分】i 是虚数单位,复数7i34i+=+( )(A )1i - (B )1i -+ (C )1731i 2525+ (D )1725i 77-+ 【答案】A【解析】()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-,故选A . 【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.(2)【2014年天津,理2,5分】设变量x ,y 满足约束条件02012x y x y y ≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数2z x y=+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 【答案】B【解析】作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,故选B .【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. (3)【2014年天津,理3,5分】阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值为( )(A )15 (B )105 (C )245 (D )945 【答案】B【解析】1i =时,3T =,3S =;2i =时,5T =,15S =;3i =时,7T =,105S =,4i =输出105S =,故选B .【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键. (4)【2014年天津,理4,5分】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( )(A )()0,+¥ (B )(),0-¥ (C )()2,+¥ (D )(),2-?【答案】D【解析】240x ->,解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?,故选D . 【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.(5)【2014年天津,理5,5分】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -=【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî,所以25a =,220b =,双曲线的方程为221520x y -=,故选A . 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. (6)【2014年天津,理6,5分】如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分CBF Ð;②2FB FD FA =?;③AE CE BE DE ??;④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ 【答案】D【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ,圆周角DAC ∠对应劣弧CD ,∴DBC DAC ∠=∠.∵弦切角FBD ∠对应劣弧BD ,圆周角BAD ∠对应劣弧BD ,∴FBD BAF ∠=∠.∵BD 是BAC ∠的平分线,∴BAF DAC ∠=∠. ∴DBC FBD ∠=∠.即BD 平分CBF ∠.即结论①正确.又由FBD FAB ∠=∠,BFD AFB ∠=∠,得FBD FAB ∆∆:.由FB FD FA FB =,2FB FD FA =⋅.即结论②成立.由BF BDAF AB=,得AF BD AB BF ⋅=⋅.即结论④成立.正确结论有①②④,故选D .【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于基础题. (7)【2014年天津,理7,5分】设,a b R Î,则|“a b >”是“a a b b >”的( ) (A )充要不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一:设()f x x x =,则()220,0,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî,所以()f x 是R 上的增函数,“a b >”是“a a b b >”的充要条件,故选C . 解法二:若0a b >≥,则不等式a a b b >等价为a a b b ??此时成立.若0a b >>,则不等式a a b b >等价为a ab b -⋅>-⋅,即22a b <,此时成立.若0a b ≥>,不等式a a b b >等价为a a b b ⋅>-⋅,即22a b >-,此时成立,综上则“a b >”是“a a b b >”的充要条件,故选C .【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键. (8)【2014年天津,理8,5分】已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD o ?,点,E F 分别在边,BC DC 上,BE BC l =,DF DC m =.若1AE AF u u u r u u u r ?,23CE CF u u u r u u u r ?-,则l m +=( )(A )12 (B )23 (C )56 (D )712【答案】C【解析】因为120BAD o ?,所以cos1202AB AD AB AD o u u u r u u u r u u u r u u u r?鬃=-.因为BE BC l =,所以AE AB AD u u u r u u u r u u u r l =+,AF AB AD u u u r u u u r u u u r m =+.因为1AE AF u u u r u u u r ?,所以()()1AB AD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r l m +?=,即3222l m l m +-= ①同理可得23l m l m --=- ②,①+②得56l m +=,故选C .【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.第II 卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)【2014年天津,理9,5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名.【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.(10)【2014年天津,理10,5分】已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m . 【答案】203p【解析】由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高侧视图正视图为2,底面直径为4,∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.(11)【2014年天津,理11,5分】设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为 .【答案】12-【解析】依题意得2214S S S =,所以()()21112146a a a -=-,解得112a =-. 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题. (12)【2014年天津,理12,5分】在ABC D 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,abc .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为 .【答案】14-【解析】因为2sin 3sin B C =,所以23b c =,解得32cb =,2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题. (13)【2014年天津,理13,5分】在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形,则a 的值为 .【答案】3【解析】圆的方程为()2224x y +-=,直线为y a =.因为AOB D 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为a 骣÷÷÷,代入圆的方程可得3a =. 【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,求出B 的坐标是解题的关键,属于基础题.(14)【2014年天津,理14,5分】已知函数()23f x x x =+,x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 . 【答案】()()0,19,+∞U【解析】解法一:(ⅰ)当()1y a x =--与23y x x =--相切时,1a =,此时()10f x a x --=恰有3个互异的实数根.(ⅱ)当直线()1y a x =-与函数23y x x =+相切时,9a =,此时()10f x a x --=恰 有2个互异的实数根. 结合图象可知01a <<或9a >. 解法二:显然1a ¹,所以231x x a x +=-.令1t x =-,则45a t t=++.因为(][),444,t t U ??++?,所以(][)45,19,t tU ??+++?. 结合图象可得01a <<或9a >.【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)【2014年天津,理15,13分】已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭,x R ∈.(1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有()2133cos sin cos 3cos 2f x x x x x 骣÷ç÷ç=?-+÷ç÷ç桫2133sin cos cos 2x x x =?+()133sin 21cos24x x =-++13sin 2cos 24x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以,()f x 的最小正周期22T pp ==.(2)因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数,在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数.144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫, 144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫.所以,函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14,最小值为12-. 【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.(16)【2014年天津,理16,13分】某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.解:(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ,则()120337373104960C C C C P A C ??==. 所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.所以,()f x 的最小正周期22T pp ==.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.()346310k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. X X0 1 2 3 P16 12 310 130 随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??. 【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力.(17)【2014年天津,理17,13分】如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ^底面ABCD ,AD AB ^,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点. (1)证明 BE DC ^;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ^,求二面角F AB P --的余弦值. 解:解法一:依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得()1,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D , ()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点,得()1,1,1E .(1)向量()0,1,1BE u u u r =,()2,0,0DC u u u r=,故0BE DC u u u r u u u r ?.所以,BE DC ^.(2)向量()1,2,0BD u u u r =-,()1,0,2PB u u u r =-.设(),,n x y z r=为平面PBD 的法向量,则00n BD n PB u u u r r u u ur r ìï?ïíï?ïî,即2020x y x z ì-+=ïïíï-=ïî,不妨令1y =,可得()2,1,1n r =为平面PBD 的一个 zy xP E DBA法向量,23cos ,6n BE n BE n BEu u u r r u u u r ru u u r r ´×\===×.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. (3)向量()1,2,0BC u u u r =,()2,2,2CP u u u r =--,()2,2,0AC u u u r =,()1,0,0AB u u u r=.由点F 在棱PC 上,设CF CP u u u r u u u r l =,01l #.故()12,22,2BF BC CF BC CP u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rl l l l =+=+=--.由BF AC ^,得0BF AC u u u r u u u r ?,因此,()()2122220l l -+-=,解得34l =.即113,,222BF u u u r 骣÷ç=-÷ç÷ç桫.设()1,,n x y z u u r =为平面FAB 的法向量,则1100n ABn BFu u r u u u ruu r u u u r ìï?ïíï?ïî,即01130222x x y z ì=ïïïíï-++=ïïî.不妨令1z =,可得()10,3,1n u u r =-为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量()20,1,0n u u r =,则121211310cos ,101n n n n n n u u r u u ru u r u u r u u r u u r ×=-´==×. 易知,二面角F AB P --是锐角,所以其余弦值为310. 解法二:(1)如图,取PD 中点M ,连接EM ,AM .由于,E M 分别为,PC PD 的中点,故//EM DC ,且12EM DC =,又由已知,可得//EM AB 且EM AB =,故四边形ABEM 为平行四边形,所以//BE AM .因为PA ^底面ABCD ,故PA CD ^,而 CD DA ^,从而CD ^平面PAD ,因为AM Ì平面PAD ,于是CD AM ^,又 //BE AM ,所以BE CD ^.(2)连接BM ,由(1)有CD ^平面PAD ,得CD PD ^,而//EM CD ,故PD EM ^.又因为AD AP =,M 为PD 的中点,故PD AM ^,可得PD BE ^,所以PD ^平面BEM ,故平面BEM ^平面PBD . 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ,而BE EM ^,可得EBM Ð为锐角,故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意,有22PD =,而M 为PD 中点,可得2AM =,进而2BE =.故在直角三角形BEM 中,tan 2EM AB EBM BE BE ?==,因此3in s EMB ?. 所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. (3)如图,在PAC D 中,过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ^底面ABCD ,故FH ^底面ABCD ,从而FH AC ^.又BF AC ^,得AC ^平面FHB ,因此AC BH ^. 在底面ABCD 内,可得3CH HA =,从而3CF FP =.在平面PDC 内,作//FG DC 交PD 于点G ,于是3DG GP =.由于//DC AB ,故//GF AB ,所以,,,A B F G 四点共面.由AB PA ^,AB AD ^,得AB ^平面PAD ,故AB AG ^.所以PAG Ð为二面角F AB P --的平面角.在PAG D 中,2PA =,1242PG PD ==,45APG o ?,由余弦定理可得10AG =,3os 10c PAG ?. 所以,二面角F AB P --的斜率值为310.【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.(18)【2014年天津,理18,13分】设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知1232AB F F =.(1)求椭圆的离心率; (2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.解:(1)设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =,可得2223a b c +=,又222b ac =-,则2212c a =.所以,椭圆的离心率e =,所以22223a c c -=,解得a =,e =.(2)由(1)知222a c =,22b c =.故椭圆方程为222212x y c c +=.设()00,P x y .由()1,0F c -,()0,B c ,有()100,F P x c y u u u r =+,()1,F B c c u u u r=.由已知,有110F P F B u u u r u u u r ?,即()000x c c y c ++=.又0c ¹,故有000x y c ++=. ① 又因为点P 在椭圆上,故22002212x y c c+=. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点,故043c x =-,代入①得03cy =,即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫.设圆的圆心为 ()11,T x y ,则142323c x c -+==-,12323c c y c +==,进而圆的半径r =. 设直线l 的斜率为k ,直线l 的方程为y kx =.由l 与圆相切,r =,=, 整理得2810k k-+=,解得4k=?l的斜率为4+4-【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.(19)【2014年天津,理19,14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,M q L =-,集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x x q x M i n q L L -+?===++. (1)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ;(2)设,s t A Î,112n n s a a q a q L -=+++,112n n t b b q b q L -=+++,其中,i i a b M Î,1,2,,n i L =.证明:若n n a b <,则s t <.解:(1)当2q =,3n =时,{}0,1M =,{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i==+?+.可得,{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)由,s t A Î,112n n s a a q a q L -=+++,112n n t b b q b q L -=+++,,i i a b M Î,1,2,,n i L =及n n a b <,可得()()()()21111122n n n n n n s t a b a b q a b q a b q L -----=-+-++-+-()()()21111n n q q q q q q L --?+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以,s t <.【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.(20)【2014年天津,理20,14分】已知函数()x f x x ae =-()a R Î,x R Î.已知函数()y f x = 有两个零点12,x x ,且12x x <.(1)求a 的取值范围;(2)证明21xx 随着a 的减小而增大;(3)证明12x x +随着a 的减小而增大.解:(1)由()x f x x ae =-,可得()1x f x ae ¢=-.下面分两种情况讨论:1)0a £时,()0f x ¢>在R 上恒成立,可得()f x 在R 上单调递增,不合题意.2)0a >时,由()0f x ¢=,得ln x a =-.当x 变化时,()f x ¢,()f x 的变化情况如下表:这时,()f x 的单调递增区间是(),ln a -?;单调递减区间是()ln ,a -+¥.于是,“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立:(1)()ln 0f a ->;(2)存在()1,ln a s ??,满足()10f s <; 3)存在()2ln ,a s ?+?,满足()20f s <.由()ln 0f a ->,即ln 10a -->,解得10a e -<<,而此 时,取10s =,满足()1,ln a s ??,且()10f s a =-<;取222ln s a a=+,满足()2ln ,a s ?+?,且()22222ln 0a af s e e a a 骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫.所以,a 的取值范围是()10,e -. (2)由()0x f x x ae =-=,有xx a e=.设()x x g x e =,由()1x xg x e -¢=,知()g x 在(),1-¥上单调递增,在 ()1,+¥上单调递减. 并且,当(],0x ??时,()0g x £;当()0,x ??时,()0g x >.由已知,12,x x满足()1a g x =,()2a g x =.由()10,a e -Î,及()g x 的单调性,可得()10,1x Î,()21,x ??.对于任意的()1120,,a a e -Î,设12a a >,()()121g g a x x ==,其中1201x x <<<;()()122g g a h h ==,其中1201h h <<<.因为()g x 在()0,1上单调递增,故由12a a >,即()()11g g x h >,可得11x h >;类似 可得22x h <.又由11,0x h >,得222111x h h x x h <<.所以,21xx 随着a 的减小而增大. (3)由11x x ae =,22x x ae =,可得11ln ln x a x =+,22ln ln x a x =+.故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =,则1t >,且2121ln x tx x x t ì=ïïíï-=ïî,解得1ln 1t x t =-,2ln 1t tx t =-.所以,()121ln 1t t x x t ++=-. ① 令()()1ln 1x x h x x +=-,()1,x ??,则()()212ln 1x x x h x x -+-¢=-.令()12ln u x x x x =-+-, 得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫.当()1,x ??时,()0u x ¢>.因此,()u x 在()1,+¥上单调递增,故对于任意的 ()1,x ??,()()10u x u >=,由此可得()0h x ¢>,故()h x 在()1,+¥上单调递增.因此,由①可得12x x + 随着t 的增大而增大.而由(2),t 随着a 的减小而增大,所以12x x +随着a 的减小而增大.【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题,也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力,是综合型题目.。

[精品]2014年全国高考天津省高中数学理科试卷和答案

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绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A,B互斥,那么•如果事件A,B相互独立,那么()()()P A B P A P B=+()()()P AB P A P B=.•圆柱的体积公式V Sh=. •圆锥的体积公式13V Sh =.其中S表示圆柱的底面面积,其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.ED CBA 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)i 是虚数单位,复数734ii+=+( ) (A )1i - (B )1i -+ (C )17312525i + (D )172577i -+ (2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值为( )(A )15 (B )105 (C )245 (D )945(4)函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( )(A )()0,+¥ (B )(),0-¥ (C )()2,+¥ (D )(),2-?(5)已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -= (6)如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF Ð;②2FB FD FA =?;③AE CEBE DE ??;④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ (7)设,a b R Î,则|“a b >”是“a a b b >”的( ) (A )充要不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充要也不必要条件(8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ?,点,E F 分别在边,BC DC上,BE BC l =,DF DC m =.若1AE AF ?,23CE CF ?-,则l m +=( ) (A )12 (B )23 (C )56 (D )712第Ⅱ卷 注意事项:1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2014年高考真题(理科数学)天津卷 纯Word版解析可编辑

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2014·天津卷(理科数学)1.[2014·天津卷] i 是虚数单位,复数7+i3+4i =( )A .1-iB .-1+i C.1725+3125i D .-177+257i 1.A [解析]7+i 3+4i =(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-25i32+42=1-i. 2.[2014·天津卷] 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≥0,x -y -2≤0,y ≥1,则目标函数z =x +2y 的最小值为( )A .2B .3C .4D .52.B [解析] 画出可行域,如图所示.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,y =1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,即点A (1,1).当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值,即z min =1×1+2×1=3.图1-13.[2014·天津卷] 阅读如图1­1所示的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( ) A .15 B .105 C .245 D .9453.B [解析] 第1次循环,i =1,T =3,S =1×3; 第2次循环,i =2,T =5,S =1×3×5; 第3次循环,i =3,T =7,S =1×3×5×7.执行完后,这时i 变为4,退出循环,故输出S =1×3×5×7=105. 4.[2014·天津卷] 函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)4.D [解析] 要使f (x )单调递增,需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4>0,x <0,解得x <-2.5.[2014·天津卷] 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 25-y 220=1B.x 220-y 25=1 C.3x 225-3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1 5.A [解析] 由题意知,双曲线的渐近线为y =±b a x ,∴ba =2.∵双曲线的左焦点(-c ,0)在直线l 上,∴0=-2c +10,∴c =5.又∵a 2+b 2=c 2,∴a 2=5,b 2=20,∴双曲线的方程为x 25-y 220=1. 6.[2014·天津卷]图1-2 如图1­2所示,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·F A ; ③AE ·CE =BE ·DE ; ④AF ·BD =AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A .①② B .③④ C .①②③ D .①②④6.D [解析] 如图所示,∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴BD 平分∠CBF ,∴△ABF ∽△BDF .∵AB BD =AF BF ,∴AB ·BF =AF ·BD .∵AF BF =BF DF,∴BF 2=AF ·DF .故①②④正确. 7.[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .8.[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE =λBC ,DF =μDC .若AE →·AF →=1,CE →·CF →=-23,则λ+μ=( )A.12B.23C.56D.7128.C [解析] 建立如图所示的坐标系,则A (-1,0),B (0,-3),C (1,0),D (0,3).设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2).由BE =λBC 得(x 1,y 1+3)=λ(1,3),解得⎩⎨⎧x 1=λ,y 1=3(λ-1),即点E (λ,3(λ-1)).由DF →=μDC →得(x 2,y 2-3)=μ(1,-3),解得⎩⎨⎧x 2=μ,y 2=3(1-μ),即点F (μ,3(1-μ)).又∵AE ·AF =(λ+1,3(λ-1))·(μ+1,3(1-μ))=1,① CE →·CF →=(λ-1, 3(λ-1))·(μ-1, 3(1-μ))=-23.②①-②得λ+μ=56.9.[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.9.60 [解析] 由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为300×44+5+5+6=60.10.[2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图1-3所示(单位:m),则该几何体的体积为________m 3.图1-310.20π3 [解析] 由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V =π×12×4+13π×22×2=20π3.11.、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.11.-12 [解析] ∵S 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,S 1,S 2,S 4成等比数列,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12.12.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b -c =14a ,2sin B =3sin C ,则cos A 的值为________.12.-14[解析] ∵2sin B =3sin C ,∴2b =3c .又∵b -c =a 4,∴a =2c ,b =32c ,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =94c 2+c 2-4c 22×32c ×c =-14.13.[2014·天津卷] 在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为________.13.3 [解析] 将ρ=4sin θ与ρsin θ=a 转化为直角坐标方程分别为x 2+(y -2)2=4与y =a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y =a ,x 2+(y -2)2=4,得x 2=-a 2+4a ,且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形,∴a 2=3(-a 2+4a ),解得a =3或a =0(舍).14.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x -1|的图像如图所示.当y =a |x -1|与y =f (x )的图像相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧-ax +a =-x 2-3x ,a >0,整理得x 2+(3-a )x+a =0,则Δ=(3-a )2-4a =a 2-10a +9=0,解得a =1或a =9.故当y =a |x -1|与y =f (x )的图像有四个交点时,0<a <1或a>9.15.、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x=12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.16.、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 16.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13·C 27+C 03·C 37C 310=4960,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X =k )=C k 4·C 3-k6C 310(k =0,1,2,3), 所以随机变量X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 1612310130随机变量X 的数学期望E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.17.、[2014·天津卷] 如图1-4所示,在四棱锥P - ABCD 中,P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F - AB - P 的余弦值.图1-417.解:方法一:依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).C 由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1).(1)证明:向量BE =(0,1,1),DC =(2,0,0), 故BE ·DC =0, 所以BE ⊥DC .(2)向量BD =(-1,2,0),PB =(1,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD =0,n ·PB =0,即⎩⎪⎨⎪⎧-x +2y =0,x -2z =0. 不妨令y =1,可得n =(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量.于是有 cos 〈n ,BE 〉=n ·BE |n |·|BE |=26×2=33,所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC =(1,2,0),CP =(-2,-2,2),AC =(2,2,0),AB =(1,0,0).由点F 在棱PC 上,设CF =λCP →,0≤λ≤1.故BF =BC +CF =BC +λCP →=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF ⊥AC ,得BF ·AC =0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34,即BF =⎝⎛⎭⎫-12,12,32.设n 1=(x ,y ,z )为平面F AB 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB =0,n 1·BF =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =0,-12x +12y +32z =0.不妨令z =1,可得n 1=(0,-3,1)为平面F AB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0),则cos 〈,〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-310×1=-31010.易知二面角F - AB - P 是锐角,所以其余弦值为31010.方法二:(1)证明:如图所示,取PD 中点M ,连接EM ,AM .由于E ,M 分别为PC ,PD 的中点,故EM ∥DC ,且EM =12DC .又由已知,可得EM ∥AB 且EM =AB ,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ,故P A ⊥CD ,而CD ⊥DA ,从而CD ⊥平面P AD .因为AM ⊂平面P AD ,所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ,所以BE ⊥CD .(2)连接BM ,由(1)有CD ⊥平面P AD ,得CD ⊥PD .而EM ∥CD ,故PD ⊥EM .又因为AD =AP ,M 为PD 的中点,所以PD ⊥AM ,可得PD ⊥BE ,所以PD ⊥平面BEM ,故平面BEM ⊥平面PBD ,所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ,可得∠EBM 为锐角,故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意,有PD =22,而M 为PD 中点,可得AM =2,进而BE = 2.故在直角三角形BEM 中,tan ∠EBM =EM BE =AB BE =12,因此sin ∠EBM =33,所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示,在△P AC 中,过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ,所以FH ⊥底面ABCD ,从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ,得AC ⊥平面FHB ,因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内,可得CH =3HA ,从而CF =3FP .在平面PDC 内,作FG ∥DC 交PD 于点G ,于是DG =3GP .由于DC ∥AB ,故GF ∥AB ,所以A ,B ,F ,G 四点共面.由AB ⊥P A ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,故AB ⊥AG ,所以∠P AG 为二面角F - AB - P 的平面角.在△P AG 中,P A =2,PG =14PD =22,∠APG =45°.由余弦定理可得AG =102,cos∠P AG =31010,所以二面角F - AB - P 的余弦值为31010.18.、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B .已知|AB |=32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过原点O 的直线l 与该圆相切,求直线l 的斜率.18.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB |=32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2. 又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12,所以椭圆的离心率e =22. (2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2. 故椭圆方程为x 22c 2+y 2c2=1.设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ), 有F 1P →=(x 0+c ,y 0),F 1B →=(c ,c ).由已知,有F 1P →·F 1B →=0,即(x 0+c )c +y 0c =0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c =0.① 又因为点P 在椭圆上, 所以x 202c 2+y 20c2=1.②由①和②可得3x 20+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c .代入①得y 0=c 3,即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-4c 3,c3. 设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c +02=-23c ,y 1=c3+c 2=23c ,进而圆的半径r =(x 1-0)2+(y 1-c )2=53c . 设直线l 的斜率为k ,依题意,直线l 的方程为y =kx .由l 与圆相切,可得|kx 1-y 1|k 2+1=r ,即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫-2c 3-2c 3k 2+1=53c ,整理得k 2-8k +1=0,解得k =4±15, 所以直线l 的斜率为4+15或4-15. 19.、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n q n -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n }. (1)当q =2,n =3时,用列举法表示集合A .(2)设s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,其中a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n .证明:若a n <b n ,则s <t .19.解:(1)当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i =1,2,3},可得A ={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n 及a n <b n ,可得s -t =(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q +…+(a n -1-b n -1)q n -2+(a n -b n )q n -1≤(q -1)+(q -1)q +…+(q -1)q n -2-q n -1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n -1=-1<0,所以s <t . 20.、[2014·天津卷] 设f (x )=x -a e x (a ∈R ),x ∈R .已知函数y =f (x )有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2.(1)求a 的取值范围;(2)证明:x 2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明:x 1+x 2随着a 的减小而增大.20.解:(1)由f (x )=x -a e x ,可得f ′(x )=1-a e x . 下面分两种情况讨论:(i)a ≤0时,f ′(x )>0在R 上恒成立,可得f (x )在R 上单调递增,不合题意. (ii)a >0时,由f ′(x )=0,得x =-ln a .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:x (-∞,-ln a )-ln a (-ln a ,+∞)f ′(x ) + 0 - f (x )-ln a -1这时,f (x )的单调递增区间是(-∞,-ln a );单调递减区间是(-ln a ,+∞).于是,“函数y =f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立:①f (-ln a )>0;②存在s 1∈(-∞,-ln a ),满足f (s 1)<0;③存在s 2∈(-ln a ,+∞),满足f (s 2)<0.由f (-ln a )>0,即-ln a -1>0,解得0<a <e -1.而此时,取s 1=0,满足s 1∈(-∞,-ln a ),且f (s 1)=-a <0;取s 2=2a +ln 2a,满足s 2∈(-ln a ,+∞),且f (s 2)=⎝⎛⎭⎫2a -e 2a +⎝⎛⎭⎫ln 2a -e 2a <0. 故a 的取值范围是(0,e -1).(2)证明:由f (x )=x -a e x =0,有a =x e x .设g (x )=xe x ,由g ′(x )=1-x e x ,知g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当x ∈(-∞,0]时,g (x )≤0; 当x ∈(0,+∞)时,g (x )>0.由已知,x 1,x 2满足a =g (x 1),a =g (x 2).由a ∈(0,e -1)及g (x )的单调性,可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).对于任意的a 1,a 2∈(0,e -1),设a 1>a 2,g (ξ1)=g (ξ2)=a 1,其中0<ξ1<1<ξ2;g (η1)=g (η2)=a 2,其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0,1)上单调递增,所以由a 1>a 2,即g (ξ1)>g (η1),可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1,η1>0,得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1,所以x 2x 1随着a 的减小而增大.(3)证明:由x 1=a e x 1,x 2=a e x 2,可得ln x 1=ln a +x 1,ln x 2=ln a +x 2.故x 2-x 1=ln x 2-ln x 1=ln x 2x 1.设x 2x 1=t ,则t >1,且⎩⎪⎨⎪⎧x 2=tx 1,x 2-x 1=ln t ,解得x 1=ln t t -1,x 2=t ln tt -1,所以x 1+x 2=(t +1)ln t t -1.①令h (x )=(x +1)ln x x -1,x ∈(1,+∞),则h ′(x )=-2ln x +x -1x (x -1)2. 令u (x )=-2ln x +x -1x ,得u ′(x )=⎝⎛⎭⎫x -1x 2.当x ∈(1,+∞)时,u ′(x )>0.因此,u (x )在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x ∈(1,+∞),u (x )>u (1)=0,由此可得h ′(x )>0,故h (x )在(1,+∞)上单调递增.因此,由①可得x 1+x 2随着t 的增大而增大.而由(2),t 随着a 的减小而增大,所以x 1+x 2随着a 的减小而增大.。

2014年高考天津卷理科数学试题(Word版含答案)

2014年高考天津卷理科数学试题(Word版含答案)

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么 •如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积, 其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)i 是虚数单位,复数734ii+=+( )(A )1i - (B )1i -+ (C )17312525i + (D )172577i -+ (2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值为( )(A )15 (B )105ED CBA (C )245 (D )945(4)函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( )(A )()0,+¥ (B )(),0-¥ (C )()2,+¥(D )(),2-?(5)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -= (6)如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF Ð;②2FB FD FA = ;③AE CEBE DE ? ;④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ (7)设,a b R Î,则|“a b >”是“a a b b >”的( ) (A )充要不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充要也不必要条件 (8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD?,点,E F 分别在边,BC DC 上,BE BC l =,DF DC m =.若1AE AF?,23CE CF?-,则l m +=( ) (A )12 (B )23 (C )56 (D )712第Ⅱ卷注意事项: 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014•天津)i 是虚数单位,复数=()+i +解:复数==2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()﹣3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()=logy=log ty=log(5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标,利用双曲线=1=2∵双曲线﹣=1∴∴双曲线的方程为﹣=16.(5分)(2014•天津)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB 2=FD•FA ; ③AE•CE=BE•DE; ④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是( )7.(5分)(2014•天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E 、F 分别在边BC 、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=( )•=3 ①;再由=﹣ 解:由题意可得若•(+)•(+)++•+•=••(﹣))=•(,﹣,故答案为:.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生. 解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为==6010.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 m 3.×ππ故答案为:11.(5分)(2014•天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.==S==,故答案为:﹣.12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.,再由余弦定理求得cosA=c= a ①,b=cosA==,故答案为:﹣.13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB 是等边三角形,则a的值为 3 .是等边三角形,∴B(,可得(14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).1|=a==1++5|1++5≥1=+5﹣三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.求的范围,求出)=cosx•(sinx====)的最小正周期=,]﹣]∈,]∴当﹣时,即)取到最小值是:当=时,即时,)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的周期公式16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.(则名同学是来自互不相同学院的概率为(的数学期望17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.的方向向量,根据=0 BF⊥AC,求出向量∴),=∵=0(Ⅱ)∵=),=的法向量=由,得====所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=),),上,设=故=+•=,即,,),=由,得,则的法向量==的余弦值为:18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.|AB|=|F.可得,再利用e=.可设椭圆方程为,可得.利用圆的性质可得,于是=0在椭圆上,可得.联立可得PT,利用两点间的距离公式可得圆的半径|AB|=,可得∴e=.因此椭圆方程为.),可得=),∵∴.联立,化为=0≠0,∴,,可得∴P=﹣=∴T,r==∴,解得的斜率为19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.A={x|+≤﹣A={x|)q+…++=20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.a==,=a,则=ln,令,令,=+ln,满足(﹣﹣)<,,由=<<;∴=a=a,∴lnx=ln,设∴,,…①;==﹣=。

2014年高考理科数学天津卷-答案

2014年高考理科数学天津卷-答案

34i,即求出值【解析】作出可行域,如图:【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ,又AF BD AB BF =,排除A 、C. DBC ,排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,【考点】圆的内接三角形和圆的基本性质,弦切角定理,所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-,所以AE AB AD λ=+,AF AB AD μ=+.因为1AE AF =,所以()()1AB AD AB AD λμ++=,即22λμλμ+-同理可得23λμλ---②,①+②得56λμ+=,故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义求得【考点】平面向量数量积的运算2120ππ4π2233+=m 几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+,所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -3(14x -+3cos24x -π3x 的范围,再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法名同学来自互不相同的学院”为事件A ,则120337373104960C C C C +=. 346310k k C C -(k =310130346310k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点,得(1,1,1)E.证明:向量(0,1,1)BE=,(2,0,0)DC=,故0BE DC=.所以,)向量(1,2,0)BD=-,(1,0,PB=设(,,)n x y z=为平面的法向量,则0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即x-⎧⎨⎩不妨令1y=,可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量2cos,||||6n BEn BEn BE==⨯所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33)向量(1,2,0)BC=,(2,CP=-,(2,2,0)AC=,(1,0,0)AB=由点F在棱PC上,设CF CPλ=,01≤.故()12,2,2BF BC CF BC CPλλλλ=+=+=-.BF AC⊥,得0BF AC=,因此,2(12)2(20λ+-=,解得即12BF⎛=-⎝设()1,,n x y z=为平面FAB的法向量,则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即不妨令z=,可得1(0,3,1)n=-FAB的一个法向量取平面ABP的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==AB P-是锐角,所以其余弦值为31010.【提示】(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE ,DC 的方向向量,根据0BE DC =,可得BE DC ⊥;(2)求出平面PBD 的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值; (3)根据BFAC ,求出向量BF 的坐标,进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F ABP 的余弦值,有10(F P x =+,1(,)F B c c =由已知,有110F P F B =,即00y c +=.又,故有0x +在椭圆上,故1.②由①和②可得20034x cx +不是椭圆的顶点,故4c x =-的坐标为4,c c ⎛⎫- ⎪可得1F P ,1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥,于是110F B F P =,得到040cx =,解得,利用两点间的距离公式可得圆的半径1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a ()11n n n a b b q --++--()211n n q q --++--1n q -。

2014年高考理数真题试卷(天津卷)及解析

2014年高考理数真题试卷(天津卷)及解析

○…………外…………○…………装…学校:___________姓名:_○…………内…………○…………装…2014年高考理数真题试卷(天津卷)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题1.i 是虚数单位,复数 7+i3+4i =( ) A.1﹣i B.﹣1+i C.1725+ 3125 I D.﹣ 177 + 257 i2.设变量x ,y 满足约束条件 {x +y −2≥2x −y −2≤0y ≥1,则目标函数z=x+2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.53.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )A.15答案第2页,总15页…外…………○…………装…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…内…………○…………装…………○………C.245 D.9454.函数f (x )= log 12(x 2﹣4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 25﹣ y 220 =1 B.x 220﹣ y 25 =1 C.3x 225﹣ 3y 2100 =1 D.3x 2100﹣ 3y 225 =16.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB 2=FD•FA; ③AE•CE=BE•DE; ④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④7.设a ,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件…○…………装…………○…学校:___________姓名:___________班级:…○…………装…………○…第II 卷(非选择题)二、填空题(题型注释)该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知b ﹣c= 14 a ,2sinB=3sinC ,则cosA 的值为 .10.已知函数f (x )=|x 2+3x|,x∈R,若方程f (x )﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根,的取值范围为 .三、解答题(题型注释)11.已知函数f (x )=cosx•sin(x+ π3 )﹣ √3 cos 2x+ √34 ,x∈R. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间[﹣ π4 , π4 ]上的最大值和最小值.12.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA⊥底面ABCD ,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF⊥AC,求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值.13.设椭圆 x 2a 2 + y 2b2 =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2 , 右顶点为A ,上顶点为B ,已知|AB|= √32 |F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1 , 经过原点O 的直线l 与该圆相切,求直线l 的斜率.14.已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q ﹣1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n ﹣1 , x i ∈M,i=1,2,…n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;答案第4页,总15页(2)设s ,t∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1 , t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1 , 其中a i , b i ∈M,i=1,2,…,n .证明:若a n <b n , 则s <t .15.设f (x )=x ﹣ae x (a∈R),x∈R,已知函数y=f (x )有两个零点x 1 , x 2 , 且x 1<x 2 .(1)求a 的取值范围;(2)证明: x2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明x 1+x 2随着a 的减小而增大.……装…………○…………订……………………线……_______姓名:___________班级:___________考号:_________……装…………○…………订……………………线……参数答案1.A【解析】1.解:复数 7+i3+4i = (7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i) =25−25i 25=1−i ,故选A .【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案,需要熟知设则;.2.B【解析】2.解:作出不等式对应的平面区域, 由z=x+2y ,得y=﹣ 12x +z2 ,平移直线y=﹣ 12x +z2 ,由图象可知当直线y=﹣ 12x +z2 经过点B (1,1)时,直线y=﹣12x +z2 的截距最小,此时z 最小.此时z 的最小值为z=1+2×1=3, 故选:B .3.B【解析】3.解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值, ∵跳出循环的i 值为4, ∴输出S=1×3×5×7=105. 故选:B .【考点精析】根据题目的已知条件,利用程序框图的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明. 4.D【解析】4.解:令t=x 2﹣4>0,可得 x >2,或 x <﹣2, 故函数f (x )的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),答案第6页,总15页当x∈(﹣∞,﹣2)时,t 随x 的增大而减小,y= log 12t 随t 的减小而增大,所以y= log 12(x 2﹣4)随x 的增大而增大,即f (x )在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D .【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案,需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”. 5.A【解析】5.解:∵双曲线的一个焦点在直线l 上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,∴ ba =2, ∵c 2=a 2+b 2 , ∴a 2=5,b 2=20,∴双曲线的方程为 x 25 ﹣ y 220 =1.故选:A . 6.D【解析】6.解:∵圆周角∠DBC 对应劣弧CD ,圆周角∠DAC 对应劣弧CD , ∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD 对应劣弧BD ,圆周角∠BAD 对应劣弧BD , ∴∠FBD=∠BAF.∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD 平分∠CBF.即结论①正确. 又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB. 由 FBFA =FDFB ,FB 2=FD•FA.即结论②成立. 由 BFAF =BDAB,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.正确结论有①②④. 所以答案是D【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系即可以解答此题. 7.C【解析】7.解:若a >b ,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a >b ,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a 2<b 2 , 此时成立. ③a≥0>b ,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a 2>﹣b 2 , 此时成立,即充分性成…外…………○…………装………学校:___________姓名:_______…内…………○…………装………立.若a|a|>b|b|,①当a >0,b >0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a ﹣b )(a+b )>0,因为a+b >0,所以a ﹣b >0,即a >b .②当a >0,b <0时,a >b .③当a <0,b <0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a ﹣b )(a+b )<0,因为a+b <0,所以a ﹣b >0,即a >b .即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件, 故选:C . 8.60【解析】8.解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为 44+5+5+6 =15, 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× 15 =60,所以答案是:60. 【考点精析】通过灵活运用分层抽样,掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题. 9.﹣ 14【解析】9.解:在△ABC 中, ∵b﹣c= 14 a ①,2sinB=3sinC , ∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c ,b= 3c2 . 再由余弦定理可得 cosA= b 2+c 2−a 22bc=9c 24+c 2−4c 23c⋅c=﹣ 14 ,所以答案是:﹣ 14 .【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:;余弦定理:;;.10.(0,1)∪(9,+∞)【解析】10.解:由y=f (x )﹣a|x ﹣1|=0得f (x )=a|x ﹣1|, 作出函数y=f (x ),y=g (x )=a|x ﹣1|的图象,答案第8页,总15页则a >0,此时g (x )=a|x ﹣1|= {a(x −1),x ≥1−a(x −1),x <1,当﹣3<x <0时,f (x )=﹣x 2﹣3x ,g (x )=﹣a (x ﹣1), 当直线和抛物线相切时,有三个零点, 此时﹣x 2﹣3x=﹣a (x ﹣1), 即x 2+(3﹣a )x+a=0,则由△=(3﹣a )2﹣4a=0,即a 2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g (x )=﹣9(x ﹣1),g (0)=9,此时不成立,∴此时a=1, 要使两个函数有四个零点,则此时0<a <1,若a >1,此时g (x )=﹣a (x ﹣1)与f (x ),有两个交点, 此时只需要当x >1时,f (x )=g (x )有两个不同的零点即可, 即x 2+3x=a (x ﹣1),整理得x 2+(3﹣a )x+a=0,则由△=(3﹣a )2﹣4a >0,即a 2﹣10a+9>0,解得a <1(舍去)或a >9, 综上a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f (x )﹣a|x ﹣1|=0得f (x )=a|x ﹣1|, 若x=1,则4=0不成立, 故x≠1,则方程等价为a= f(x)|x−1| = |x 2+3x||x−1| =| (x−1)2+5(x−1)+4x−1 |=|x ﹣1+ 4x−1+5|,设g (x )=x ﹣1+ 4x−1 +5,当x >1时,g (x )=x ﹣1+ 4x−1 +5≥ 2√(x −1)4x−1+5=4+5=9 ,当且仅当x ﹣1=4x−1,即x=3时取等号,当x <1时,g (x )=x ﹣1+ 4x−1 +5 ≤5−2√[−(x −1)⋅−4x−1] =5﹣4=1,当且仅当﹣(x ﹣1)=﹣ 4x−1 ,即x=﹣1时取等号,则|g (x )|的图象如图:若方程f (x )﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根, 则满足a >9或0<a <1,所以答案是:(0,1)∪(9,+∞)…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…11.(1)解:由题意得,f (x )=cosx•( 12 sinx+ √32 cosx ) −√3cos 2x +√34= 12sinx ⋅cosx −√32cos 2x +√34= 14sin2x −√34(1+cos2x)+√34= 14sin2x −√34cos2x= 1sin(2x −π)答案第10页,总15页○…………装………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………所以,f (x )的最小正周期 T =2π2=π.(2)解:由(1)得f (x )= 12sin(2x −π3) ,由x∈[﹣ π4 , π4 ]得,2x∈[﹣ π2 , π2 ],则 2x −π3∈[ −5π6, π6 ],∴当 2x −π3=﹣ π2 时,即 sin(2x −π3) =﹣1时,函数f (x )取到最小值是: −12, 当 2x −π3= π6 时,即 sin(2x −π3) = 12 时,f (x )取到最大值是: 14 ,所以,所求的最大值为 14 ,最小值为- 12【解析】11.(1)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式 T =2π|ω|求出此函数的最小正周期;(2)由(1)化简的函数解析式和条件中x 的范围,求出 2x −π3的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值. 12.(1)证明:∵PA⊥底面ABCD ,AD⊥AB,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点.∴B(1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (1,1,1) ∴ BE →=(0,1,1), DC →=(2,0,0) ∵ BE →• DC →=0, ∴BE⊥DC;(2)解:∵ BD →=(﹣1,2,0), PB →=(1,0,﹣2), 设平面PBD 的法向量 m →=(x ,y ,z ),由 {Bd →⋅m →=0PB →⋅m →=0,得 {−x +2y =0x −2z =0 , 令y=1,则 m →=(2,1,1), 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足: sinθ=BE →⋅m→|BE →|⋅|m →|=√6⋅√2= √33 ,故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为 √33 .(3)解:∵ BC →=(1,2,0), CP →=(﹣2,﹣2,2), AC →=(2,2,0), 由F 点在棱PC 上,设 CF →=λ CP →=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1), 故 BF →= BC →+ CF →=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1), 由BF⊥AC,得 BF →• AC →=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0, 解得λ= 34 ,即 BF →=(﹣ 12 , 12 , 32 ),设平面FBA 的法向量为 n →=(a ,b ,c ),由 {AB →⋅n →=0BF →⋅n →=0,得 {a =0−12a +12b +32c =0 令c=1,则 n →=(0,﹣3,1), 取平面ABP 的法向量 i →=(0,1,0), 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足: cosα= |n →⋅i →||n →|⋅|i →|=√10= 3√1010 ,故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为:3√1010【解析】12.(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE ,DC 的方向向量,根据 BE →• DC →=0,可得BE⊥DC;(2)求出平面PBD 的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)根据BF⊥AC,求出向量 BF →的坐答案第12页,总15页………线…………○………线…………○标,进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值.【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识,掌握已知为两异面直线,A ,C 与B ,D 分别是上的任意两点,所成的角为,则.13.(1)解:设椭圆的右焦点为F 2(c ,0), 由|AB|= √32 |F 1F 2|,可得 √a 2+b 2=√32×2c ,化为a 2+b 2=3c 2.又b 2=a 2﹣c 2,∴a 2=2c 2. ∴e= c a =√22.(2)解:由(1)可得b 2=c2.因此椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 .设P (x 0,y 0),由F 1(﹣c ,0),B (0,c ),可得 F 1P →=(x 0+c ,y 0), F 1B →=(c ,c ). ∵ F 1B →⊥F 1P →,∴ F 1B →⋅F 1P →=c (x 0+c )+cy 0=0, ∴x 0+y 0+c=0, ∵点P在椭圆上,∴ x 022c 2+y 02c 2=1 .联立 {x 0+y 0+c =0x 02+2y 02=2c 2,化为 3x 02+4cx 0 =0,∵x 0≠0,∴ x 0=−43c , 代入x 0+y 0+c=0,可得 y 0=c3 . ∴P (−43c,c3) .设圆心为T (x 1,y 1),则 x 1=−43c+02=﹣ 23c , y 1=c 3+c 2= 23c .∴T (−23c,23c) ,∴圆的半径r= √(−23c)2+(23c −c)2= √53c .设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为:y=kx . ∵直线l 与圆相切,…………○…………线:___________…………○…………线∴|−23ck−23c|√1+k 2=√53c ,整理得k 2﹣8k+1=0,解得 4±√15 . ∴直线l 的斜率为 4±√15 .【解析】13.(1)设椭圆的右焦点为F 2(c ,0),由|AB|= √32 |F 1F 2|.可得 √a 2+b 2=√32×2c ,再利用b 2=a 2﹣c2, e= ca 即可得出.(2)由(1)可得b 2=c2. 可设椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ,设P (x 0 , y 0),由F 1(﹣c ,0),B (0,c ),可得 F 1P →, F 1B →.利用圆的性质可得F 1B →⊥F 1P → ,于是 F 1B →⋅F 1P →=0,得到x 0+y 0+c=0,由于点P 在椭圆上,可得 x 022c 2+y 02c 2=1 .联立可得 3x 02+4cx 0 =0,解得P (−43c,c 3) .设圆心为T (x 1 , y 1),利用中点坐标公式可得T (−23c,23c) ,利用两点间的距离公式可得圆的半径r .设直线l 的方程为:y=kx .利用直线与圆相切的性质即可得出.14.(1)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ,x i ∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由设s ,t∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1,t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n .a n <b n ,∴a n ﹣b n ≤﹣1.可得s ﹣t=(a 1﹣b 1)+(a 2﹣b 2)q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1] = −q n −1q−1<0.∴s<t .答案第14页,总15页……○…………线………题※※……○…………线………【解析】14.(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ,x i ∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A .(2)由于a i , b i ∈M,i=1,2,…,n .a n <b n , 可得a n ﹣b n ≤﹣1.由题意可得s ﹣t=(a 1﹣b 1)+(a 2﹣b 2)q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1],再利用等比数列的前n 项和公式即可得出.【考点精析】关于本题考查的数列的前n 项和,需要了解数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n的关系才能得出正确答案.15.(1)解:∵f(x )=x ﹣ae x ,∴f′(x )=1﹣ae x ; 下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x )>0在R 上恒成立,∴f(x )在R 上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x )=0,得x=﹣lna ,当x 变化时,f′(x )、f (x )的变化情况如下,+∞); ∴函数y=f (x )有两个零点等价于如下条件同时成立: ①f(﹣lna )>0;②存在s 1∈(﹣∞,﹣lna ),满足f (s 1)<0; ③存在s 2∈(﹣lna ,+∞),满足f (s 2)<0;由f (﹣lna )>0,即﹣lna ﹣1>0,解得0<a <e ﹣1; 取s 1=0,满足s 1∈(﹣∞,﹣lna ),且f (s 1)=﹣a <0, 取s 2= 2a +ln 2a ,满足s 2∈(﹣lna ,+∞),且f (s 2)=( 2a ﹣ e 2a )+(ln 2a ﹣ e 2a )<0;∴a 的取值范围是(0,e ﹣1).(2)证明:由f (x )=x ﹣ae x =0,得a= xe x , 设g (x )= xe x ,由g′(x )=1−xe x,得g (x )在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g (x )≤0,当x∈(0,+∞)时,g (x )≥0,x 1、x 2满足a=g (x 1),a=g (x 2),a∈(0,e ﹣1)及g (x )的单调性,可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞);对于任意的a 1、a 2∈(0,e ﹣1),设a 1>a 2,g (X 1)=g (X 2)=a 1,其中0<X 1<1<X 2; g (Y 1)=g (Y 2)=a 2,其中0<Y 1<1<Y 2;………○…………装…………○学校:___________姓名:___________班………○…………装…………○∵g(x )在(0,1)上是增函数,∴由a 1>a 2,得g (X i )>g (Y i ),可得X 1>Y 1;类似可得X 2<Y 2;又由X 、Y >0,得 X 2X 1< Y 2X 1< Y 2Y 1;∴ x2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明:∵x 1=a e x 1 ,x 2=a e x 2 ,∴lnx 1=lna+x 1,lnx 2=lna+x 2; ∴x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1,设 x2x 1=t ,则t >1,∴ {x 2−x 1=lnt x 2=x 1t,解得x 1= lnt t−1 ,x 2= tlntt−1 ,∴x 1+x 2= (t+1)lntt−1…①; 令h (x )= (x+1)lnxx−1 ,x∈(1,+∞),则h′(x )=−2lnx+x−1x (x−1)2;令u (x )=﹣2lnx+x ﹣ 1x ,得u′(x )= (x−1x )2,当x∈(1,+∞)时,u′(x )>0,∴u(x )在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u (x )>u (1)=0, ∴h′(x )>0,∴h(x )在(1,+∞)上是增函数; ∴由①得x 1+x 2随着t 的增大而增大. 由(2)知,t 随着a 的减小而增大, ∴x 1+x 2随着a 的减小而增大.【解析】15.(1)对f (x )求导,讨论f′(x )的正负以及对应f (x )的单调性,得出函数y=f (x )有两个零点的等价条件,从而求出a 的取值范围;(2)由f (x )=0,得a= xe x ,设g (x )= xe x ,判定g (x )的单调性即得证;(Ⅲ)由于x 1=a e x 1 ,x 2=a e x 2 ,则x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1,令 x2x 1=t ,整理得到x 1+x 2=(t+1)lntt−1,令h (x )=(x+1)lnxx−1,x∈(1,+∞),得到h (x )在(1,+∞)上是增函数,故得到x 1+x 2随着t 的减小而增大.再由(2)知,t 随着a 的减小而增大,即得证.【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.。

2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解

2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)一、选择题,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数7+i 3+4i= ().A.1- iB.-1+iC.1725+3125i D.-177+257i【答案】A 【解析】7+i 3+4i=(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-25i 25=1- i,故选A .2.设变量x , y 满足约束条件{x +y -2≥0,x -y -2≤0,y ≥1,则目标函数z=x+2y 的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5 【答案】B【解析】画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分). 由z=x+2y ,得y=-12x+12z ,作直线l :y= - 12x ,平移l ,由图形可知当l 经过可行域中的点A (1,1)时, z 取最小值, 且z min =1+2×1=3,故选B .3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( ). A.15 B.105 C.245 D.945 【答案】B【解析】第一次执行循环体T=2×1+1=3,S=1×3=3,i=2;第二次执行循环体T=2×2+1=5,S=3×5=15,i=3; 第三次执行循环体T=2×3+1=7,S=15×7=105,i=4. 这时满足i ≥4,跳出循环,输出S=105,故选B . 4.函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为( ).A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 【答案】D【解析】由x 2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x 2-4,当x ∈(-∞,-2)时, t 随x 的增大而减小, y=lo g 12t 随t 的减小而增大,所以y=lo g 12(x 2-4)随x 的增大而增大,即f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D .5.已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l 平行,因此ba = 2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1,故选A .6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF ; ②FB 2=FD ·FA ; ③AE ·CE=BE ·DE ; ④AF ·BD=AB ·BF. 则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 【答案】D【解析】由弦切角定理知∠FBD=∠BAD ,∵AD 平分∠BAC ,∠CBD=∠CAD ,∴∠BAD=∠DBC. ∴∠FBD=∠CBD ,即BD 平分∠CBF ,∴①正确; 由切割线定理知,∴②正确;由相交弦定理知,AE ·ED=BE ·EC ,∴③不正确; ∵△ABF ∽△BDF ,∴AB BD=AF BF.∴AF ·BD=AB ·BF ,∴④正确.故选D .7.设a ,b ∈R ,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】令f (x )=x|x|,则f (x )={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,画出f (x )的图象(如图),易知f (x )在R 上为单调递增函数,因此a>b ⇔f (a )>f (b ), 故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C .8.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC , DC , BE=λBC , DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ = - 23,则 λ+μ=( ). A. 12B. 23C. 56D. 712【答案】C【解析】由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3.由CE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ = - 23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)= - 23,所以 λμ=λ+μ - 23, 因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43= 3,解得 λ+μ= 56,故选C .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6×300=60(名).10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3. 【答案】20π3【解析】由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2; 下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4, 故该几何体的体积 V=13·π·22·2+π·12·4=8π3+4π = 20π3.。

2014年高考数学真题(天津卷)理科精编解析word版

2014年高考数学真题(天津卷)理科精编解析word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)选择题:共40分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014天津,理1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=().A.1-iB.-1+iC.17 25+3125i D.-177+257i答案:A解析:7+i3+4i =(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选A.2.(2014天津,理2)设变量x,y满足约束条件{x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为().A.2B.3C.4D.5 答案:B解析:画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).由z=x+2y,得y=-12x+12z,作直线l:y=-12x,平移l,由图形可知当l经过可行域中的点A(1,1)时,z取最小值,且z min=1+2×1=3,故选B.3.(2014天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为().A.15B.105C.245D.945答案:B解析:第一次执行循环体T=2×1+1=3,S=1×3=3,i=2;第二次执行循环体T=2×2+1=5,S=3×5=15,i=3;第三次执行循环体T=2×3+1=7,S=15×7=105,i=4.这时满足i≥4,跳出循环,输出S=105,故选B.4.(2014天津,理4)函数f(x)=lo g12(x2-4)的单调递增区间为().A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)答案:D解析:由x 2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x 2-4,当x ∈(-∞,-2)时,t 随x 的增大而减小,y=lo g 12t 随t 的减小而增大,所以y=lo g 12(x 2-4)随x 的增大而增大,即f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D . 5.(2014天津,理5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 答案:A解析:由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l 平行,因此ba=2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1,故选A .6.(2014天津,理6)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE=BE ·DE ;④AF ·BD=AB ·BF.则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案:D解析:由弦切角定理知∠FBD=∠BAD ,∵AD 平分∠BAC ,∠CBD=∠CAD , ∴∠BAD=∠DBC.∴∠FBD=∠CBD ,即BD 平分∠CBF ,∴①正确; 由切割线定理知,∴②正确;由相交弦定理知,AE ·ED=BE ·EC ,∴③不正确; ∵△ABF ∽△BDF ,∴AB BD=AF BF. ∴AF ·BD=AB ·BF ,∴④正确.故选D .7.(2014天津,理7)设a ,b ∈R ,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案:C解析:令f (x )=x|x|,则f (x )={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,画出f (x )的图象(如图),易知f (x )在R 上为单调递增函数,因此a>b ⇔f (a )>f (b ),故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C .8.(2014天津,理8)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE=λBC ,DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,则λ+μ=( ). A.12B.23C.56D.712答案:C解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3. 由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)=-23,所以λμ=λ+μ-23, 因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43=3,解得λ+μ=56,故选C .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014天津,理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案:60解析:依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6×300=60(名).10.(2014天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.答案:20π3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2;下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4,故该几何体的体积V=13·π·22·2+π·12·4=8π3+4π=20π3. 11.(2014天津,理11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 答案:-12解析:由已知得S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,而S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),整理得2a 1+1=0,解得a 1=-12.12.(2014天津,理12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为 . 答案:-14解析:由2sin B=3sin C ,结合正弦定理得2b=3c ,又b-c=14a ,所以b=32c ,a=2c. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=(32c )2+c 2-(2c )22·32c ·c=-14. 13.(2014天津,理13)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点,若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案:3解析:由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y.所以圆的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,其圆心为C (0,2),半径r=2;由ρsin θ=a ,得直线的直角坐标方程为y=a ,由于△AOB 是等边三角形,所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心,若设AB 的中点为D (如图).则CD=CB ·sin 30°=2×12=1,即a-2=1,所以a=3.14.(2014天津,理14)已知函数f (x )=|x 2+3x|,x ∈R .若方程f (x )-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 . 答案:(0,1)∪(9,+∞)解析:在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y=a|x-1|的图象,由图知,当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故必有a>0.若曲线y=-x 2-3x (-3≤x ≤0)与直线y=-a (x-1)(x ≤1)相切,联立方程得x 2+(3-a )x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),因此当0<a<1时,f (x )的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点;若曲线y=x 2+3x (x>0)与直线y=a (x-1)(x>1)相切,联立方程得x 2+(3-a )x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去), 因此当a>9时,f (x )的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点,故当方程有4个互异实数根时,实数a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)(2014天津,理15)已知函数f (x )=cos x ·sin (x +π3)−√3cos 2x+√34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期.(2)可利用函数f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性求最值. 解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·(12sinx +√32cosx)−√3cos 2x+√34=12sin x ·cos x-√32cos 2x+√34=14sin 2x-√34(1+cos2x )+√34=14sin 2x-√34cos 2x=12sin (2x -π3).所以,f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f (x )在区间[-π4,-π12]上是减函数,在区间[-π12,π4]上是增函数,f (-π4)=-14,f (-π12)=-12,f (π4)=14, 所以,函数f (x )在闭区间[-π4,π4]上的最大值为14,最小值为-12.16.(本小题满分13分)(2014天津,理16)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.分析:(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解.(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列,再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 31·C 72+C 30·C 73C 103=4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X=k )=C 4k ·C 63-kC 103(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.17.(本小题满分13分)(2014天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F-AB-P 的余弦值.分析:方法一:用向量方法解.通过建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标.(1)用向量积为0,证线线垂直.(2)设平面PBD 的一个法向量.利用垂直关系确定法向量坐标,再由向量夹角公式求线面角.(3)确定出二面角的两个面的一个法向量,由向量夹角公式求二面角余弦值.注意共线向量定理的应用.方法二:几何证明法:(1)取PD 中点M.通过证明ABEM 为平行四边形来证明线线平行.由已知线面垂直证线线垂直,再证线面垂直.由此证得CD ⊥AM ,故可得结论.(2)由线与面、线与线、面与面的垂直,寻找并证明线面角,再通过解三角形,求出线面角的正弦值.(3)利用垂直关系寻找并证明二面角的平面角为∠PAG ,再通过解三角形,利用余弦定理,求出二面角的余弦值.方法一:依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1). (1)证明:向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),故BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以BE ⊥DC. (2)解:向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的法向量, 则{n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,x -2z =0.不妨令y=1,可得n =(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量. 于是有cos <n ,BE⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√2=√33.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33.(3)解:向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).由点F 在棱PC 上,设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤λ≤1. 故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-2λ,2-2λ,2λ). 由BF ⊥AC ,得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34. 即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,32).设n 1=(x ,y ,z )为平面FAB 的法向量,则{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·BF ⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,-12x +12y +32z =0. 不妨令z=1,可得n 1=(0,-3,1)为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0). 则cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√10×1=-3√1010.易知,二面角F-AB-P 是锐角,所以其余弦值为3√1010. 方法二:(1)证明:如图,取PD 中点M ,连接EM ,AM.由于E ,M 分别为PC ,PD 的中点,故EM ∥DC ,且EM=12DC ,又由已知,可得EM ∥AB 且EM=AB ,故四边形ABEM 为平行四边形,所以BE ∥AM. 因为PA ⊥底面ABCD ,故PA ⊥CD ,而CD ⊥DA ,从而CD ⊥平面PAD , 因为AM ⊂平面PAD ,于是CD ⊥AM , 又BE ∥AM ,所以BE ⊥CD.(2)解:连接BM.由(1)知CD ⊥平面PAD ,得CD ⊥PD ,而EM ∥CD ,故PD ⊥EM. 又因为AD=AP ,M 为PD 的中点,故PD ⊥AM ,可得PD ⊥BE , 所以PD ⊥平面BEM ,故平面BEM ⊥平面PBD.所以,直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ,而BE ⊥EM , 可得∠EBM 为锐角,故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角. 依题意,有PD=2√2,而M 为PD 中点,可得AM=√2,进而BE=√2. 故在直角三角形BEM 中,tan ∠EBM=EM BE=AB BE=√2,sin ∠EBM=√33.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33.(3)解:如图.在△PAC 中,过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H.因为PA ⊥底面ABCD ,故FH ⊥底面ABCD ,从而FH ⊥AC.又BF ⊥AC ,得AC ⊥平面FHB ,因此AC ⊥BH.在底面ABCD 内,可得CH=3HA ,从而CF=3FP.在平面PDC 内,作FG ∥DC 交PD 于点G ,于是DG=3GP. 由于DC ∥AB ,故GF ∥AB ,所以A ,B ,F ,G 四点共面. 由AB ⊥PA ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面PAD ,故AB ⊥AG. 所以∠PAG 为二面角F-AB-P 的平面角.在△PAG 中,PA=2,PG=14PD=√22,∠APG=45°,由余弦定理可得AG=√102,cos ∠PAG=3√1010. 所以二面角F-AB-P 的余弦值为3√1010.18.(本小题满分13分)(2014天津,理18)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B.已知|AB|=√32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过原点O 的直线l 与该圆相切,求直线l 的斜率.分析:(1)由题知A (a ,0),B (0,b ),|F 1F 2|=2c ,因此可由已知条件结合b 2=a 2-c 2,求出离心率.(2)由(1)可设出只含一个参数c 的椭圆标准方程,设出P 点坐标.由以PB 为直径的圆过F 1知PF 1⊥BF 1,得P 点坐标关系.由P 点在椭圆上,得P 点坐标另一关系,由此确定P 点坐标.再根据过原点的直线l 与圆相切,列出斜率k 的方程,即可求出k 值.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB|=√32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2,又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12.所以椭圆的离心率e=√22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1. 设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ), 有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,y 0),F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,c ).由已知,有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x 0+c )c+y 0c=0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0.① 又因为点P 在椭圆上,故x 022c 2+y 02c 2=1.② 由①和②可得3x 02+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c , 代入①得y 0=c 3,即点P 的坐标为(-4c 3,c 3). 设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c+02=-23c ,y 1=c 3+c 2=23c ,进而圆的半径r=√(x 1-0)2+(y 1-c )2=√53c.设直线l 的斜率为k ,依题意,直线l 的方程为y=kx.由l 与圆相切,可得11√k +1=r ,即|k (-2c 3)-2c3|√k +1√53c ,整理得k 2-8k+1=0,解得k=4±√15.所以,直线l 的斜率为4+√15或4-√15.19.(本小题满分14分)(2014天津,理19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M ,i=1,2,…,n }. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2)设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t.分析:在第(1)问中,由于q 和n 的值已给出,因此集合M 确定,从而x i 的取值确定.只需列出x 的所有可能的取值,即得集合A.在第(2)问中,考虑到s 和t 表达式的结构特点,应采用作差法证明它们的大小关系.在s-t 的表达式中,由于a i 与b i (i=1,2,3,…,n-1)的大小关系不确定,因此可将a i -b i (i=1,2,…,n-1)统一放大为其最大值q-1,而a n <b n ,可将a n -b n 放大为其最大值-1,然后将s-t 的表达式用等比数列求和公式化简,即可证得s-t<0. (1)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1 =(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.20.(本小题满分14分)(2014天津,理20)设f (x )=x-a e x (a ∈R ),x ∈R .已知函数y=f (x )有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围;(2)证明x2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明x 1+x 2随着a 的减小而增大.分析:在第(1)问中,由f (x )有两个零点知f (x )图象与x 轴有两个不同交点,因此可通过用导数研究f (x )的单调性与极值情况,结合图象分析,建立关于参数a 的不等条件求得其取值范围;在第(2)问中,首先应结合图象确定零点x 1,x 2的所在区间,然后针对a 的两个不同值a 1,a 2,考察它们对应零点ξ1,ξ2与η1,η2的大小关系,结合f (x )的单调性确定ξ2ξ1与η2η1的大小关系,证得结论;在第(3)问中,可结合(2)问的结论,只需证明x 1+x 2的值随x 2x 1的增大而增大即可.这时可通过对已知式子两边取对数,将x 1+x 2表示为关于x 2x 1的函数h (x ),然后用导数证明h (x )单调递增即可证得结论.(1)解:由f (x )=x-a e x ,可得f'(x )=1-a e x .下面分两种情况讨论:①a ≤0时,f'(x )>0在R 上恒成立,可得f (x )在R 上单调递增,不合题意. ②a>0时,由f'(x )=0,得x=-ln a.当x 变化时,f'(x ),f (x )这时,f (x )的单调递增区间是(-∞,-ln a );单调递减区间是(-ln a ,+∞). 于是,“函数y=f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立: 1° f (-ln a )>0; 2° 存在s 1∈(-∞,-ln a ),满足f (s 1)<0; 3° 存在s 2∈(-ln a ,+∞),满足f (s 2)<0. 由f (-ln a )>0,即-ln a-1>0,解得0<a<e -1.而此时,取s 1=0,满足s 1∈(-∞,-ln a ),且f (s 1)=-a<0;取s 2=2a+ln 2a,满足s 2∈(-ln a ,+∞),且f (s 2)=(2a-e 2a )+(ln 2a-e 2a )<0. 所以,a 的取值范围是(0,e -1).(2)证明:由f (x )=x-a e x =0,有a=xe x .设g (x )=xex ,由g'(x )=1-xex ,知g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当x ∈(-∞,0]时,g (x )≤0; 当x ∈(0,+∞)时,g (x )>0.由已知,x 1,x 2满足a=g (x 1),a=g (x 2).由a ∈(0,e -1),及g (x )的单调性,可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).对于任意的a 1,a 2∈(0,e -1),设a 1>a 2,g (ξ1)=g (ξ2)=a 1,其中0<ξ1<1<ξ2; g (η1)=g (η2)=a 2,其中0<η1<1<η2. 因为g (x )在(0,1)上单调递增,故由a 1>a 2, 即g (ξ1)>g (η1),可得ξ1>η1; 类似可得ξ2<η2. 又由ξ1,η1>0,得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1. 所以x 2x 1随着a 的减小而增大. (3)证明:由x 1=a e x 1,x 2=a e x 2,可得ln x 1=ln a+x 1,ln x 2=ln a+x 2.故x 2-x 1=ln x 2-ln x 1=ln x2x 1.设x2x 1=t ,则t>1, 且{x 2=tx 1,x 2-x 1=lnt ,解得x 1=lnt t -1,x 2=tlnt t -1.所以x 1+x 2=(t+1)lntt -1.① 令h (x )=(x+1)lnx x -1,x ∈(1,+∞),则h'(x )=-2lnx+x -1x(x -1)2.令u (x )=-2ln x+x-1x,得u'(x )=(x -1x)2.当x ∈(1,+∞)时,u'(x )>0.因此,u (x )在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x ∈(1,+∞),u (x )>u (1)=0. 由此可得h'(x )>0,故h (x )在(1,+∞)上单调递增. 因此,由①可得x 1+x 2随着t 的增大而增大.而由(2),t 随着a 的减小而增大,所以x 1+x 2随着a 的减小而增大.。

天津市高考数学试卷 理科

天津市高考数学试卷 理科

2014年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014?天津)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i2.(5分)(2014?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(5分)(2014?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.9454.(5分)(2014?天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)(2014?天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)(2014?天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD?FA;③AE?CE=BE?DE;④AF?BD=AB?BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③ D.①②④7.(5分)(2014?天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.(5分)(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014?天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)(2014?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)(2014?天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.(5分)(2014?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.13.(5分)(2014?天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.14.(5分)(2014?天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014?天津)已知函数f(x)=cosx?sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)(2014?天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)(2014?天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)(2014?天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)(2014?天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)(2014?天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)(2014?天津)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.【解答】解:复数==,故选A.【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.2.(5分)(2014?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=1+2×1=3,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.(5分)(2014?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,∵跳出循环的i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4.(5分)(2014?天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)【考点】复合函数的单调性.【专题】函数的性质及应用.【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f (x)=g(t)=log t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得x>2,或x<﹣2,故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=log t随t的减小而增大,所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.5.(5分)(2014?天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1【考点】双曲线的标准方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.6.(5分)(2014?天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD?FA;③AE?CE=BE?DE;④AF?BD=AB?BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③ D.①②④【考点】与圆有关的比例线段;命题的真假判断与应用.【专题】直线与圆.【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD?FA.即结论②成立.由,得AF?BD=AB?BF.即结论④成立.正确结论有①②④.故答案为D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于基础题.7.(5分)(2014?天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a?a>b?b,此时成立.②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a?a>﹣b?b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a﹣b >0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a﹣b >0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选:C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.8.(5分)(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用.【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由?=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由?=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.【解答】解:由题意可得若?=(+)?(+)=+++=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.?=﹣?(﹣)==(1﹣λ)?(1﹣μ)=(1﹣λ)?(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014?天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.【考点】分层抽样方法.【专题】概率与统计.【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.10.(5分)(2014?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】立体几何.【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11.(5分)(2014?天津)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.【考点】等比数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由条件求得,S n=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得=S1?S4,由此求得a1的值.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1?S4,即=a1?(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题.12.(5分)(2014?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】解三角形.【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=的值.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得cosA===﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.13.(5分)(2014?天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为3.【考点】简单曲线的极坐标方程.【专题】坐标系和参数方程.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,求出B 的坐标是解题的关键,属于基础题.14.(5分)(2014?天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】函数的性质及应用.【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x ﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则|g(x)|的图象如图:若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2014?天津)已知函数f(x)=cosx?sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx?(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的周期公式应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.16.(13分)(2014?天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【考点】古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)所以随机变量X的分布列是X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力.17.(13分)(2014?天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.【专题】空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何.【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据?=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵?=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得?=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.18.(13分)(2014?天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.19.(14分)(2014?天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.【考点】数列与不等式的综合;数列的求和.【专题】等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由于a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,可得a n﹣b n≤﹣1.由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1],再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,∴a n﹣b n≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=<0.∴s<t.【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.20.(14分)(2014?天津)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f (x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣ae x,∴f′(x)=1﹣ae x;下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x (﹣∞,﹣lna)﹣lna (﹣lna,+∞)f′(x)+0 ﹣f(x)递增极大值﹣lna﹣1 递减∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:①f(﹣lna)>0;②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;∴a的取值范围是(0,e﹣1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣ae x=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题,也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力,是综合型题目.参与本试卷答题和审题的老师有:wdnah;maths;清风慕竹;caoqz;刘长柏;王老师;gongjy;翔宇老师;沂蒙松;szjzl(排名不分先后)菁优网2016年6月8日考点卡片1.命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假,首先要明确p、q及非p的真假,然后由真值表判断复合命题的真假.注意:“非p”的正确写法,本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”,因为“都是”的反面是“不都是”,而不是“都不是”,要认真区分.【解题方法点拨】1.判断复合命题的真假,常分三步:先确定复合命题的构成形式,再指出其中简单命题的真假,最后由真值表得出复合命题的真假.2.判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假,不能用真值表时,可用下列方法:若“p q”,则“若p则q”为真;而要确定“若p则q”为假,只需举出一个反例说明即可.3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假,有时可利用原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断.【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容,几乎年年都考,涉及知识点多而且全,多以小题形式出现.2.必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念本质的把握是本节的难点.1.充分条件:对于命题“若p则q”为真时,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p?q”,称p为q的充分条件.意义是说条件p充分保证了结论q的成立,换句话说要使结论q成立,具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件.如p:x≥6,q:x>2,p是q成立的充分条件,而r:x>3,也是q成立的充分条件.必要条件:如果q成立,那么p成立,即“q?p”,或者如果p不成立,那么q一定不成立,也就是“若非p则非q”,记作“¬p?¬q”,这是就说条件p是q的必要条件,意思是说条件p 是q成立的必须具备的条件.充要条件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,则称条件p是q成立的充要条件,或称条件q是p 成立的充要条件,记作“p?q”.2.从集合角度看概念:如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示,那么①“p?q”,相当于“P?Q”.即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行.②“q?p”,相当于“P?Q”,即:为使x∈Q成立,必须要使x∈P﹣﹣缺它不行.③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物.3.当命题“若p则q”为真时,可表示为,则我们称p为q的充分条件,q是p的必要条件.这里由,得出p为q的充分条件是容易理解的.但为什么说q是p的必要条件呢?事实上,与“”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若q不成立,则p一定不成立.这就是说,q对于p 是必不可少的,所以说q是p的必要条件.4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命题p等价于命题q,那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立;同时有命题q成立的充要条件是命题p成立.【解题方法点拨】1.借助于集合知识加以判断,若P?Q,则P是Q的充分条件,Q是的P的必要条件;若P=Q,则P与Q互为充要条件.2.等价法:“P?Q”?“¬Q?¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接.【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的数学概念之一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题.3.复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成,这种函数先要考虑基本函数的单调性,然后再考虑整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.【解题方法点拨】求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤:(1)确定定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.【命题方向】理解复合函数的概念,会求复合函数的区间并判断函数的单调性.4.函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理:一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)?f (b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x)=x2﹣3x+2有f(0)?f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有唯一的零点.。

【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理

【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理一、选择题(共8小题,每小题5分)1.i是虚数单位,复数=( )A. 1-iB. -1+iC. +iD. -+i解析:复数== .答案:A.2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5解析:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-,平移直线y=-,由图象可知当直线y=-经过点B(1,1)时,直线y=-的截距最小,此时z 最小.此时z 的最小值为z=1+2×1=3, 答案:B.3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )A. 15B. 105C. 245D.945解析:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值, ∵跳出循环的i 值为4,∴输出S=1×3×5×7=105. 答案:B.4.函数f(x)=212log (4)x 的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. (2,+∞)D.(-∞,-2)解析:令t=x 2-4>0,可得 x >2,或 x <-2,故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=12log t .根据复合函数的单调性,本题即求函数t 在(-∞,-2)∪(2,+∞) 上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(-∞,-2)∪(2,+∞) 上的减区间为(-∞,-2),答案:D.5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1解析:令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),∴c=5,∵双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为-=1.答案:A.6.如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④解析:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵BD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD·FA.即结论②成立.由,得AF·BD=AB·BF.即结论④成立.正确结论有①②④.答案:D7.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a>b≥0,则不等式a|a|>b|b|等价为a·a>b·b此时成立.若0>a>b,则不等式a|a|>b|b|等价为-a·a>-b·b,即a2<b2,此时成立. 若a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立,综上则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.答案:C8.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,BE=λBC,DF=μDC,若•=1,•=-,则λ+μ=( )A.B.C.D.解析:由题意可得若•=(+)·(+)=+++=2×2×cos120°+++λ·μ=-2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ-2λμ-2=1,∴4λ+4μ-2λμ=3 ①.·=-·(-)==(1-λ)·(1-μ)=(1-λ)·(1-μ)=(1-λ)(1-μ)×2×2×cos120°=(1-λ-μ+λμ)(-2)=-,即-λ-μ+λμ=-②.由①②求得λ+μ=,答案:.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.解析:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,答案:60.10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.解析:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.答案:.11.设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 .解析:由题意可得,a n=a1+(n-1)(-1)=a1+1-n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1-6),解得 a1=-,答案:-.12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .解析:在△ABC中,∵b-c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得 cosA===-,答案:-.13.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.解析:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y-2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y-2)2=4,可得(a)2+(a-2)2=4,∵a>0,∴a=3.答案:3.14.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.解析:由y=f(x)-a|x-1|=0得f(x)=a|x-1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x-1|的图象,当a≤0,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x-1|=,当-3<x<0时,f(x)=-x2-3x,g(x)=-a(x-1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时-x2-3x=-a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0,则由△=(3-a)2-4a=0,即a2-10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=-9(x-1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=-a(x-1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x-1),整理得x2+(3-a)x+a=0,则由△=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),答案:(0,1)∪(9,+∞)三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx·sin(x+)-cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[-,]上的最大值和最小值.解析:(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.答案:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[-,]得,2x∈[-,],则∈[,],∴当=-时,即=-1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析:(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.答案:(Ⅰ)设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3) 所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望.17.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.解析:(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值.答案:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(-1,2,0),=(1,0,-2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1-2λ,2-2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即=(-,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,-3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F-AB-P的平面角α满足:cosα===,故二面角F-AB-P的余弦值为:18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.解析:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2-c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.答案:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2-c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=-,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2-8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.解析:(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由题意可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…++≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2+(q-1)q n-1再利用等比数列的前n项和公式即可得出.答案:(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…++≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2+(q-1)q n-1==-1<0.∴s<t.20.(14分)设f(x)=x-ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2. (Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.解析:(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2-x1=lnx2-lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.答案:(Ⅰ)∵f(x)=x-ae x,∴f′(x)=1-ae x;下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:∴f(x)的单调增区间是(-∞,-lna),减区间是(-lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:(i)f(-lna)>0,(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0,(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1;取s1=0,满足s1∈(-∞,-lna),且f(s1)=-a<0,取s2=+ln,满足s2∈(-lna,+∞),且f(s2)=(-)+(ln-)<0;∴a的取值范围是(0,e-1).(Ⅱ)由f(x)=x-ae x=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且,当x∈(-∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e-1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e-1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a i,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=-2lnx+x-,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的减小而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.考试高分秘诀是什么?试试这四个方法,特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩,但要想取得优异的成绩,除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外,更要学会一些考试技巧。

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2014年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC 于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.2014年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.【解答】解:复数==,故选:A.【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=1+2×1=3,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,∵跳出循环的i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=log t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上的减区间.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得x>2,或x<﹣2,故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=log t随t的减小而增大,所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.6.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC 于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.正确结论有①②④.故选:D.【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于基础题.7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b >0,所以a﹣b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b <0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选:C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC 上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故选:C.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11.(5分)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为﹣.【分析】由条件求得,S n=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,由此求得a1的值.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为﹣.【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=的值.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,∴2b=3c ②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得cosA===﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为3.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,求出B的坐标是解题的关键,属于基础题.14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为(0,1)∪(9,+∞).【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则|g(x)|的图象如图:若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinx cosx)====所以,f(x)的最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,所以,所求的最大值为,最小值为.【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数的周期公式应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,则,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC 的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD的法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP的法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆的半径r==.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整理得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l的斜率为.【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,x i∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由于a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,可得a n﹣b n≤﹣1.由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(a n﹣1﹣b n﹣1)q n﹣2+(a n﹣b n)q n﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,x i∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.a n<b n,∴s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(a n﹣1﹣b n﹣1)q n﹣2+(a n﹣b n)q n﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)q n﹣2﹣q n﹣1=(q﹣1)(1+q+…+q n﹣2)﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1<0.∴s<t.【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.20.(14分)设f(x)=x﹣ae x(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣ae x,∴f′(x)=1﹣ae x;下面分两种情况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:①f(﹣lna)>0;②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;∴a的取值范围是(0,e﹣1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣ae x=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(X i)>g(Y i),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,∴x1+x2随着a的减小而增大.【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题,也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力,是综合型题目.。

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