排列组合题目精选(附答案)(1)

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小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)1、计算①4356C A -;②2265C A ÷。

解答:①4356C A -=5432⨯⨯⨯-654321⨯⨯⨯⨯=120-20=100。

②2265C A ÷5465321⨯=⨯÷=⨯ 2、某班要从30名同学中选出3名同学参加数学竞赛,有多少种选法?如果从30名同学中选出3名同学站成一排,又有多少种站法?解答: 参加竞赛的选法:330302928321C ⨯⨯⨯⨯==4060种 站成一排的站法:330A =30×29×28=24360种参加竞赛的选法有4060种,站成一排的站法有24360种3、7个不同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子只能放一个,一共有多少种情况? 解答:47A =7654⨯⨯⨯=840(种)一共有840种不同的情况。

4、7个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个,一共有多少种情况? 解答:1+1+1+0=3,1+2+0+0=3,3+0+0+0=3,分三种情况①选出一个盒子,不再放入球,其他三个盒子再各放入一个:14C ;②选出两个盒子,分别再放入一个球,两个球:24A③选出一个盒子,再放入三个球:14C总的放法:14C +24A +14C =20(种)5、从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?解答:第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数字,这是一个组合问题,有35C 种方法; 第二步,从2、4、6、8中任取两个数字,也是一个组合问题,有24C 种方法;第三步,用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数,有55A 种方法。

再由分步计数原理求总的个数。

325545A 7200C C ⨯⨯=(个) 一共能组成7200个没有重复数字的五位数。

6、在6名女同学,5名男同学中选出4名女同学,3名男同学站成一排,有多少种排法? 解答:437657A C C ⨯⨯=765000(种)有765000种排法。

高中数学-排列组合100题(附解答)

高中数学-排列组合100题(附解答)

高中数学-排列组合100题(附解答)高中数学_排列组合100题一、填充题1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒(2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒(2)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__·····__________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒(注意:外套可穿也可不穿﹒)9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数:(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒(2)每对夫妇相对而坐____________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式(最短路径)﹐则有____________种不同走法﹒14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒15. 10132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中﹐各实数项和为____________﹒16. 有一数列n a 满足11a =且1213n n a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑____________﹒ 17. 设{}2,4,1A a =+﹐{}24,2,23B a a a =----﹐已知A B ⋂{}2,5=﹐则()()A B A B ⋃-⋂=____________﹒ 18. 把1~4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____________种排法﹒(例如:2314及3421均为符合要求的排列)19. 从1到1000的自然数中﹐(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒(2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒(3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒20. 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒(2)不含1元硬币的换法有____________种﹒23. 求()21x -除1001x +的余式为____________﹒24. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中323x y z 的系数25. 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜;小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒26. 若{}|,,110000S x x x x =≤≤為正整數為正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=____________﹒27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(1)()n A B ⋂=____________﹒ (2)()n A B C ⋂⋂=____________﹒ (3)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒(4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为____________﹒ 30.如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒(圖固定不得旋轉)31. 如图﹐则(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒ (2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为____________﹒ 33. ()1001k k x =-∑展开式中5x 的系数为____________﹒34. 展开()200.990.abcd =……﹐则a b c ++=____________﹒35. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有____________种﹒36. 利用二项式定理求12323n nn n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为____________﹒ 37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有____________种﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有____________种﹒50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒二、计算题1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)推测n a 之值(以n 表示)﹒(3)401k k a =∑﹒2. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法?3. 试求()632x y -的展开式﹒4. 试求()421x -的展开式﹒5. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法?6. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2) (3)7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个?8. 设()n x y +展开式中依x 降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒(但x ﹑y 都是正数)9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种?(2)四球恰具两种颜色的情形有几种?10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法?11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集(宇集)﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3)A B - (4)B A - (5)'A (6)'B (7)()'⋃A B (8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (10)''A B ⋃﹒12. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖(1)43C ﹒ (2)44P ﹒ (3)44﹒ (4)44H ﹒ (5)4﹒→一笔划的方法数有几种﹖14. 如图﹐A A(1)(2)15. 如图﹐由A至B走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖0.998之近似值﹒(至小数点后第6位)16. 求()717. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ (2)设n 为自然数﹐且满足12031,2311n n n nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何?19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则(1)不小于60分的数有几个﹖(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午(即第四五节课不算连堂)﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A (B)∅⊂A (C)0A ∈ (D)0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F){}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒23.設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以24. 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a (以n 表示)﹒(3)20a ﹒25. 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解?26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖27. 求5678192023451617C C C C C C ++++++的值﹒28. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式?29. 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖30. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2)31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图(图形不能转动)﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ (1) (2)32. 平面上有n 个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n 个圆最多可将平面分割成n a 个区域﹐则(1)求1a ﹐2a ﹐3a ﹐4a ﹒(2)写出n a 的递归关系式﹒(3)求第n 项n a (以n 表示)﹒33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖(各图固定﹐不得旋转) (1) (2) (3)34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法:(1)休旅车及跑车相间排列﹒(2)休旅车及跑车各自排在一起﹒35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法?36. 将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种?(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒(2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒37. 学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参加的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参加象棋比赛?38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39. 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒41. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排?42. 某班举行数学测验﹐测验题分A﹐B﹐C三题﹒结果答对A题者有15人﹐答对B题者有19人﹐答对C题者有20人﹐其中A﹐B两题都答对者有10人﹐B﹐C两题都答对者有12人﹐C﹐A两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A﹐B﹐C三题中至少答对一题者有多少人?43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个?44.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形:設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒(1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒(2)求一般項n a ﹒(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒(1)若平均每班安排2人﹐共有几种分法?(2)若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排1人﹐共有几种分法?46. 求满足12320003000n n nnn C C C C <++++<的正整数n ﹒47. (1)方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(2)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有答 案一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)1-;(2)22. (1)112;(2)0;(3)403. (1)4480;(2)90-4. 485. 36. 4687. 568. 609. 9903 10. 44 11.(1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15. 12- 16. 6 17. {}4,4- 18. 8 19. (1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21.266 22. (1)37;(2)18 23. 10098x - 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33. 462- 34. 16 35. 144 36. 12n n -⋅ 37. 192 38. 21 39. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. (1)2112a =﹐37a =﹐4172a =﹐510a =;(2)3522n +;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6.(1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 1219,190a a =-= 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 0.986084 17. 101,4949,a b ==1c =- 18. (1)见解析;(2)4 19. (1)28;(2)14;(3)57 20. 52 21. 101,4949,a b ==156550c = 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =; (2)248n n -+;(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =;(2)12n n a a n +=+⨯;(3)22n n -+ 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 18000 36. (1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44.(1)15,2n n a a n -=+≥;(2)53n +;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49. 720 50.625解 析一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2)()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rrr r r rr Cx C xx x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C -=﹒ (2)设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭710333r r ⇒-=⇒=(不合)﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒3. (1)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒ (2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒ 4. 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]34!2484⨯=﹒ 5. {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共3个﹒ 6. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中15的倍数有30002000671515⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ ∴所求为33420167468+-=﹒ 7. 83563!P =﹒8. ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐∴210010010039903a =-+=﹒ 10. ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒11. (1)5!2485⨯=﹒ (2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部-(恰有一空箱)-(恰有二空箱)()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒ 14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=﹒ 15. 展开后各实数项和为 246810864210101010100246811313131322222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭101010132C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ [另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒132=-+﹐ ∴实数项和为12-﹒16. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 而11a =﹐2125133a a =+=﹐2123a a -=﹐表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒ 18. 1234 3214 2134 3241 2314 3421 2341 4321 共8种﹒19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐而7的倍數者所成的集合為B ﹐則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐ (1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒(2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒20.7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂ 5003332001661006633734=++---+=﹐故所求为()()'''10001000734266n A B C n A B C ⋂⋂=-⋃⋃=-=(个)﹒22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐x0 1 2 3 4 5 y 0~10 0~8 0~6 0~4 0~20 z 50~0 40~0 30~0 20~0 10~0共119753136+++++=种﹒ ②二个50⇒1种﹒ ∴所求为36137+=种﹒(2)设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++= 10220x y z ⇒++=﹐x0 1 2 y0~10 0~5 0 z20~010~0共116118++=种﹒23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒(2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐ 14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=為正整數S x x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐ 令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒ 27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (2)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ 5558332771111=+-=﹒ (4)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ 28.()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒29. ()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒30.①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=②B ﹑D 異﹐54333540,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒ 31.(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數(累加法)﹒如圖﹐走法有26種﹒(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ 所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒33.()()()()10121111kk x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +-()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐ ∴所求为()61161462C --=-﹒ 34. ()()20200.9910.01=⎡+-⎤⎣⎦()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐x1 3 5 7 9 11 y543216!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n nn n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n nn S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 37.()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A aBb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐y 0 1 2 3 x7531⇒6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ 39. (1)33311127C C C =﹒(2)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒40. 62163-=41. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log220log2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐ ②选二面4312⇒⨯=﹐ ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐ ④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒43. (1)8!565!3!=﹒(2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ 3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()5630241820=-+-=﹒44. (1)含中空:3342111172,C C C C ⨯⨯⨯=左 上 右 下不含中空:37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297=+++----= ∴所求为72297369.+=(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐ 不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 45. ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換③用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒46. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒47. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法 1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒48. ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ 49. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pm aa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时:aa 排法有3!6=种﹐再安插4个l :p m a a △△△△△方法有434C =种﹒↑ l②aa 不排在一起时:p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ 再安排4个l :p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ 由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒ [另解]llll 不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. ∵132n n a a +=+﹐∴132n n a a +-=﹐ 表示n a 为首项4﹐公差32的等差数列﹐(1)2133114222a a =+=+=﹐ 3231137222a a =+=+=﹐ 4333177222a a =+=+=﹐ 54317310222a a =+=+=﹒ (2)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒(3)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2. 从8名教师中选出4名教师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形: (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从8名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出4名教师后﹐分别安排到4个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3. ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+4. ()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SENSE 的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形:(1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐ 因此排法有333!6C ⨯=种﹒(2)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种(两个方向)﹐故所求为323!⨯48=种﹒(2)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 7286xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐∴14,,82x y n ===(取正值)﹒9. (1)红+白=41 1 剩223223H C ⇒==﹒[另解] 红 白 1322313.⇒共種 (2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=(种)﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒ (4){}7,9B A -=﹒ (5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒(6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒12. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐ ∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒ 故选(2)﹒ 14. (1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ ②先往左42232⨯=﹐ 共有323264+=﹒ 15.如图﹐共有27种方法﹒16. ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()10111c =-=-﹐∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C == ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18. (1)∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ (2)承(1)知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□:4728⨯=﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 20.上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ 國 國 體2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒21. ()()()()1011012211x xx x+-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐∴x 项的系数1011101,a C == 2x 项的系数10121014949,b C =-=3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒ 24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐ ()43233538a a =+⨯-=+=﹐ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒(3)20a =2204208328-⨯+=﹒25. x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====(组)﹒26. (1)3﹑4﹑5 1﹑3﹑5 →有363⨯⨯个 2 4﹑5 1﹑3﹑5 →有123⨯⨯个 2 3 1﹑3﹑5 →有113⨯⨯个∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于230的三位数奇数﹒(2) 个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为1﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有 ()331312⨯+⨯=个﹐故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑4﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27. 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111n n n m m m C C C ---=+﹐得 原式()66781920234516175C C C C C C =++++++-778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C C C C =++++-21175C =-5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ 根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====(组)﹐故共有45种不同的购买方式﹒29. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕(1)当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒ ②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ 因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒ 30.(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐ 完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B31. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ 5433180⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→ 54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C E G →→→→→→ 5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色;D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32.(1)12a = 24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n =4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ (3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1222n n a a n --=+⨯- ()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒ 33. (1)①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D⨯⨯⨯=②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D ⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(2)由(1)可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ (3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34.(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩種情形﹐如圖所示:3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐ 同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示:所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看 成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒35. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=(种)﹐将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=(种)﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種;再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種;剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=(種)﹒ (2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分法﹐但事實上袋子是相同的﹐因 此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==(種)﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得 2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=(種)﹒37.設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐ 集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒ 由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38. 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ 又B 部分的展开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部展开式中2x 的系数为6﹒39. 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得()()()()()()()()()()3321123232323232012322222A B x x C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+展开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式为()()()()320132320122C x x C x x -+- ()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+故4x 的系数为9﹒40. 将240作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒因为240的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒41. 依题意图示如下:其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ 因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类:(1)先电车再公交车:利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒(2)先公交车再电车:利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒42. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒故三题中至少答对一题者有27人﹒43.設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂()n A B C +⋂⋂﹐ 得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增加1个黑色地砖与5个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒(3)拼第95图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒45. (1)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆2人﹐再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ (2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将3人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒ 46. 因为01232n n nn n n n C C C C C +++++=﹐ 所以1230221n nn nn n n n C C C C C ++++=-=-﹒即原式可改写为2000213000n <-<﹐即200123001n <<﹐得11n =﹒ 47. (1)3119911!559!2!H C ===组﹒ (2)338936628H H C -===组﹒48. 因为去程有3个交通工具可以选择﹐住宿则有2个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒49. 10310!1098720 7!P==⨯⨯=种选法﹒50. 由题意知每个周末都有5种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。

排列组合题目精选(解析版)

排列组合题目精选(解析版)

排列组合题目精选(解析版)1. A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排,如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法种数有 A . 60种 B . 48种 C . 36种 D . 24种 解析:选D 。

A 、B 相邻且顺序一定,可把A 、B 捆绑看成一个整体与其他三人全排列,一共有24A 44=种方法。

2. 七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A . 1440种B . 3600种C . 4820种D . 4800种解析:选B 。

7个人全排列,有77A 种方法,其中甲乙相邻时,甲乙交换位置,有22A 种方法,再与其他5人全排列,有6622A A 种方法。

则甲乙不相邻的排法种数为3600A A A 662277=-。

3. 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A . 6种B . 9种C . 11种D . 23种解析:选B 。

先填数字1,有3种方法。

填数字2,有两种情况。

①填入方格1,有1种方法,剩下的3和4只有1种方法;②不填入1,有1种方法,剩下两个数字可以全排列。

有22A 种方法。

故由计数原理,一共有9)A 1(322=+种填法。

4. 将四封信投入5个信箱,共有多少种方法? 解析:分以下4种情况: (1)只投1个,有15C 种方法;(2)投2个,有25A 种投信方法。

分两种情况:①分为1+3式,有14C 种分法;②分为2+2式,有2224A C 种方法; (3)投3个,有221224A C C 种分法,35A 种投法; (4)投4个,有45A 种投法。

由计数原理,一共有625A A A C C )A C C (A C 45352212242224142515=++++种投信方法。

5. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有 种。

解析:填34650。

排列组合总结(含答案)

排列组合总结(含答案)

1.(站队模型)4男3女站成一排:①女生相邻;5353A A ⋅②女生不相邻;4345A A ⋅③女生从高到低排;47A④甲不在排头,乙不在排尾;解析:当甲在排尾时有66A ;当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2.(组数模型)由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数: ①奇数;末位有112588A A A②偶数;解析:末位为0,有39A ;末位不为0,有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数;解析:末位为0,有49A ;末位为5,有1288A A ⋅④比3257大的数; 解析:首位为4到9时有396A ;首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数.12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3.(分组分配问题)6个不同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:63②放入三个不同的盒子,每盒不空;解析:4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6=4+1+1:有C 6=3+2+1:有有③分三组(堆),每组至少一个;解析:41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6=4+1+1:有6=3+2+1:有有4.6个相同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:相当于分名额,盒子可空:插板法:28C ②放入三个不同的盒子,每盒不空;25C ③恰有一个空盒.解析:相当于两个盒子不空:1253C C ⋅5.6名同学报名三科竞赛:①每人限报一科;63②每科限报一人;366.(选派问题)5男3女:①选2人开会;28C②选正副班长,至少1女;2285A A - ③选4人开会,至多2男;解析:即至少2女,22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力,至少2女.解析:()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

高中数学选修2-3排列组合问题题目精选(附答案)

高中数学选修2-3排列组合问题题目精选(附答案)

高中数学选修2-3排列组合问题题目精选(附答案)1. 某班有20名学生,其中有5名男生和15名女生。

从中选出3名学生组成一个小组,求以下概率:- 小组中至少有1名男生的概率是多少?答案:小组中至少有1名男生的概率为1减去小组全为女生的概率。

全为女生的概率可以用排列组合来计算,即从15名女生中选出3名女生组成小组的概率。

因此,小组中至少有1名男生的概率为1减去(C(15, 3) / C(20, 3))。

2. 有6本不同的数学书和4本不同的物理书。

现从这些书中任选2本,求以下概率:- 所选的两本书中至少有1本是数学书的概率是多少?答案:所选的两本书中至少有1本是数学书的概率等于1减去两本书都是物理书的概率。

两本书都是物理书的概率可以用排列组合来计算,即从4本物理书中选出2本物理书的概率。

因此,所选的两本书中至少有1本是数学书的概率为1减去(C(4, 2) / C(10, 2))。

3. 某公司有8名员工,其中有3名男员工和5名女员工。

请问,从这8名员工中选出4名员工组成一个小组,使得小组中至少有1名男员工的概率是多少?答案:小组中至少有1名男员工的概率等于1减去小组全为女员工的概率。

全为女员工的概率可以用排列组合来计算,即从5名女员工中选出4名女员工组成小组的概率。

因此,小组中至少有1名男员工的概率为1减去(C(5, 4) / C(8, 4))。

4. 一批音乐CD包含5张古典音乐CD和7张摇滚音乐CD。

现从这批CD中随机选取3张,求以下概率:- 所选的3张CD中至少有2张是摇滚音乐CD的概率是多少?答案:所选的3张CD中至少有2张是摇滚音乐CD的概率等于1减去3张CD都是古典音乐CD的概率。

3张CD都是古典音乐CD的概率可以用排列组合来计算,即从5张古典音乐CD中选出3张古典音乐CD的概率。

因此,所选的3张CD中至少有2张是摇滚音乐CD的概率为1减去(C(5, 3) / C(12, 3))。

5. 一位学生参加了5项体育比赛,他能获得的奖牌有金牌、银牌和铜牌。

高中数学_排列组合100题(附解答)

高中数学_排列组合100题(附解答)

高中数学_排列组合100题一、填充题1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒(2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒(2)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒(注意:外套可穿也可不穿﹒) 9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数:(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒(2)每对夫妇相对而坐____________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有____________种﹒13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式(最短路径)﹐则有____________种不同走法﹒14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒1013⎛⎫16. 有一数列n a 满足11a =且1213n n a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑____________﹒ 17. 设{}2,4,1A a =+﹐{}24,2,23B a a a =----﹐已知A B ⋂{}2,5=﹐则()()A B A B ⋃-⋂=____________﹒18. 把1~4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____________种排法﹒(例如:2314及3421均为符合要求的排列) 19. 从1到1000的自然数中﹐(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒(2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒(3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒20. 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒(2)不含1元硬币的换法有____________种﹒23. 求()21x -除1001x +的余式为____________﹒24. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中323x y z 的系数为____________﹒25. 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜;小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒26. 若{}|,,110000S x x x x =≤≤為正整數為正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=____________﹒27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(1)()n A B ⋂=____________﹒ (2)()n A B C ⋂⋂=____________﹒ (3)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒(4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为____________﹒ 30.如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒(圖固定不得旋轉)(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为____________﹒ 33. ()1001k k x =-∑展开式中5x 的系数为____________﹒34. 展开()200.990.abcd =……﹐则a b c ++=____________﹒35. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有____________种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为____________﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有____________种﹒38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为1单位;黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为1单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有____________种方法﹒39.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則(1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.(一組對邊平行,另一組對邊不平行).40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层(可相同或不同)﹐请问电梯有____________种停靠方式﹒(假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层)41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为____________位数﹒(设log20.3010=)42. 4面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成____________种不同的讯号﹒43.如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒44.圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒(2)可決定____________個正方形﹒45. 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有____________种堆法﹒47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐(座位无编号)﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有____________种﹒48. 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有____________种方法﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有____________种﹒50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒二、计算题1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)推测n a 之值(以n 表示)﹒(3)401k k a =∑﹒2. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法?3. 试求()632x y -的展开式﹒4. 试求()421x -的展开式﹒6. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2) (3)7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个?8. 设()n x y +展开式中依x 降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒(但x ﹑y 都是正数)9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种?(2)四球恰具两种颜色的情形有几种?10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法?11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集(宇集)﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3)A B - (4)B A - (5)'A (6)'B (7)()'⋃A B (8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (10)''A B ⋃﹒12. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖(1)43C ﹒ (2)44P ﹒ (3)44﹒ (4)44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖ (1)(2)16. 求()70.998之近似值﹒(至小数点后第6位)17. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ (2)设n 为自然数﹐且满足12031,2311n n n nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何?19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则(1)不小于60分的数有几个﹖(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖20. 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午(即第四五节课不算连堂)﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A (B)∅⊂A (C)0A ∈ (D)0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F){}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒23.設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖24. 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a (以n 表示)﹒(3)20a ﹒25. 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解?26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖27. 求5678192023451617C C C C C C ++++++的值﹒28. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式?29. 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖30. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图(图形不能转动)﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ (1) (2)32. 平面上有n 个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n 个圆最多可将平面分割成n a 个区域﹐则(1)求1a ﹐2a ﹐3a ﹐4a ﹒(2)写出n a 的递归关系式﹒(3)求第n 项n a (以n 表示)﹒33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖(各图固定﹐不得旋转) (1) (2) (3)34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法:(1)休旅车及跑车相间排列﹒ (2)休旅车及跑车各自排在一起﹒35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法?36. 将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种?(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒(2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒37. 学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参加的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参加象棋比赛?38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39. 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒41. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排?42. 某班举行数学测验﹐测验题分A﹐B﹐C三题﹒结果答对A题者有15人﹐答对B题者有19人﹐答对C题者有20人﹐其中A﹐B两题都答对者有10人﹐B﹐C两题都答对者有12人﹐C﹐A两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A﹐B﹐C三题中至少答对一题者有多少人?43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个?44.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形:a是第n圖需用到的白色地磚塊數﹒設n(1)寫下數列n a的遞迴關係式﹒a﹒(2)求一般項n(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒(1)若平均每班安排2人﹐共有几种分法?(2)若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排1人﹐共有几种分法?46. 求满足12320003000n n n n n C C C C <++++<的正整数n ﹒47. (1)方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(2)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲安排呢﹖一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)1-;(2)22. (1)112;(2)0;(3)403. (1)4480;(2)90-4. 485. 36. 4687. 568. 609. 9903 10. 44 11.(1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15. 12- 16. 6 17. {}4,4- 18. 8 19. (1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21. 266 22. (1)37;(2)18 23. 10098x - 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33. 462- 34. 16 35. 144 36. 12n n -⋅ 37. 192 38. 2139. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. (1)2112a =﹐37a =﹐4172a =﹐510a =;(2)3522n +;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6. (1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 1219,190a a =-= 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 0.986084 17. 101,4949,a b ==1c =- 18. (1)见解析;(2)4 19. (1)28;(2)14;(3)5720. 52 21. 101,4949,a b ==156550c = 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =;(2)248n n -+;(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =;(2)12n n a a n +=+⨯;(3)22n n -+ 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 1800036. (1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44.(1)15,2n n a a n -=+≥;(2)53n +;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49. 720 50. 625一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2)()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rr r r r r r C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C -=﹒(2)设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rr r r r r r C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 710333r r ⇒-=⇒=(不合)﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rr r r r r r C x C x x x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭3. (1)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒ (2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒ 4. 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒[另解]34!2484⨯=﹒ 5. {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共3个﹒6. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中15的倍数有30002000671515⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ ∴所求为33420167468+-=﹒ 7. 83563!P =﹒ 8. ()542160⨯⨯+=﹒9. ∵12n n a a n +=+﹐∴2121a a =+⨯3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐ ∴210010010039903a =-+=﹒10. ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ 11. (1)5!2485⨯=﹒ (2)A a B b C c D d E e1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒[另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部-(恰有一空箱)-(恰有二空箱)()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=﹒ 15. 展开后各实数项和为24681086421010101010024681111122222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭100101012C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ [另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒122=-+﹐ ∴实数项和为12-﹒ 16. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ -()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 而11a =﹐2125133a a =+=﹐2123a a -=﹐ 表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐ ()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐ ∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐2134 32412314 34212341 4321共8种﹒19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒(2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒ (3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒20. 7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂ 5003332001661006633734=++---+=﹐故所求为()()'''10001000734266n A B C n A B C ⋂⋂=-⋃⋃=-=(个)﹒22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐x 0 1 2 3 4 5y 0~10 0~8 0~6 0~4 0~2 0z 50~0 40~0 30~0 20~0 10~0 0∴所求为36137+=种﹒(2)设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++= 10220x y z ⇒++=﹐共116118++=种﹒23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒ (2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐ 14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐ 令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐ 则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T ∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (2)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦5558332771111=+-=﹒(4)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂5558332771111=+-=﹒28.()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒29. ()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦ ()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦ 故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒ 30.①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E⨯⨯⨯⨯= ②B ﹑D 異﹐ 54333540,A B D C E⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒31.(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數(累加法)﹒如圖﹐走法有26種﹒(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ 所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数 ∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒ 33. ()()()()1001201111k k x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +- ()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐ 展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐∴所求为()61161462C --=-﹒()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 37.()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A aBb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ 39. (1)33311127C C C =﹒ (2)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒40. 62163-=41. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐ ②选二面4312⇒⨯=﹐ ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐ ④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. (1)8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()5630241820=-+-=﹒44. (1)含中空:3342111172,C C C C ⨯⨯⨯= 左 上 右 下不含中空:37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297=+++----= ∴所求为72297369.+=(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐ 不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 45. ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換③用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒46. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ 47. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒48. ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ 49. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时:aa 排法有3!6=种﹐再安插4个l :p m a a △△△△△方法有434C =种﹒↑ l②aa 不排在一起时:p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ 再安排4个l :p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ 由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒ [另解]llll 不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒ 50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. ∵132n n a a +=+﹐∴132n n a a +-=﹐ 表示n a 为首项4﹐公差32的等差数列﹐(1)2133114222a a =+=+=﹐ 3231137222a a =+=+=﹐ 4333177222a a =+=+=﹐ 54317310222a a =+=+=﹒ (2)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (3)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2. 从8名教师中选出4名教师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形: (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从8名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出4名教师后﹐分别安排到4个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3. ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+4. ()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SENSE 的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形:(1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐ 因此排法有333!6C ⨯=种﹒(2)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种(两个方向)﹐故所求为323!⨯48=种﹒(2)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 7286xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐∴14,,82x y n ===(取正值)﹒9. (1)红+白=41 1 剩223223H C ⇒==﹒[另解] 红 白1322313.⇒共種 (2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐ 可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=(种)﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒ (9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒12. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒故选(2)﹒ 14. (1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ ②先往左42232⨯=﹐ 共有323264+=﹒ 15.如图﹐共有27种方法﹒16. ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()10111c =-=-﹐∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C == ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18. (1)∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n kk n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐ ∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ (2)承(1)知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□:4728⨯=﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 20.上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒21. ()()()()1011012211x xx x+-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐∴x 项的系数1011101,a C == 2x 项的系数10121014949,b C =-=3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒ 24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐ ()43233538a a =+⨯-=+=﹐ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒(3)20a =2204208328-⨯+=﹒25. x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====(组)﹒26. (1)3﹑4﹑5 1﹑3﹑5 →有363⨯⨯个 2 4﹑5 1﹑3﹑5 →有123⨯⨯个 2 3 1﹑3﹑5 →有113⨯⨯个∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于230的三位数奇数﹒(2)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为1﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有 ()331312⨯+⨯=个﹐故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑4﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27. 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111n n n m m m C C C ---=+﹐得原式()66781920234516175C C C C C C =++++++-778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C C C C =++++-21175C =- 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ 根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====(组)﹐故共有45种不同的购买方式﹒29. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕(1)当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒ ②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ 因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒ 30.(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B31. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ 5433180⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C E G →→→→→→ 5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色;D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32.(1)12a = 24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ (3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1222n n a a n --=+⨯- ()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒ 33. (1)①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D ⨯⨯⨯=②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D ⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(2)由(1)可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ (3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒34.(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩種情形﹐如圖所示:3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示:所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒35. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=(种)﹐将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=(种)﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種;再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種;剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=(種)﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==(種)﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=(種)﹒37.設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒。

高中数学排列组合典型题大全含答案

高中数学排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)43(2)34(3)34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A 、38 B、83 C、38A D 、38C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法?2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?3、4个同学参加3项不同的比赛(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少?5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种?8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种?思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

排列与组合练习题及解析

排列与组合练习题及解析

排列与组合练习题及解析在数学中,排列和组合是组合数学中的基本概念。

排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列,而组合是指从给定的元素集合中选取一些元素并形成一个集合,不考虑顺序。

在此,我们提供一些排列与组合的练习题,并给出详细的解析过程。

1. 排列问题:(1) 从10个不同的球中,按照一定的顺序取出5个球,问共有多少种不同的结果?解析:排列问题要考虑元素的顺序,因此可以使用排列公式进行计算。

对于这个问题,可以使用10个不同的球中取出5个球的排列数公式:P(10, 5) = 10! / (10-5)! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30,240因此,共有30,240种不同的结果。

(2) 一个由字母组成的字符串,字母顺序可以重复,共有8个字母。

从中选取4个字母组成字符串,问共有多少种不同的结果?解析:同样地,对于这个问题,我们可以使用排列公式进行计算。

从8个字母中选取4个字母的排列数为:P(8, 4) = 8! / (8-4)! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1,680因此,共有1,680种不同的结果。

2. 组合问题:(1) 从10个不同的球中,按照任意顺序取出5个球,问共有多少种不同的结果?解析:与排列问题不同的是,组合问题不考虑元素的顺序。

那么我们可以使用组合公式进行计算。

对于这个问题,可以使用10个不同的球中取出5个球的组合数公式:C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252因此,共有252种不同的结果。

(2) 一个由字母组成的字符串,字母顺序可以重复,共有8个字母。

从中选取4个字母组成字符串,问共有多少种不同的结果?解析:同样地,对于这个问题,我们可以使用组合公式进行计算。

从8个字母中选取4个字母的组合数为:C(8, 4) = 8! / (4! * (8-4)!) = 8 * 7 * 6 * 5 / (4 * 3 * 2 * 1) = 70因此,共有70种不同的结果。

排列组合问题经典题型与通用方法 (1)

排列组合问题经典题型与通用方法 (1)

排列组合问题经典题型与通用方法(一)排序问题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有()A、60种B、48种C、36种D、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种B、60种C、90种D、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?解析:老师在中间三个位置上选一个有13A 种,4名同学在其余4个位置上有44A 种方法;所以共有143472A A =种。

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?解析:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共66720A =种,选C .(2)解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有1254455760A A A =种排法.16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分,下列n 个普通排列:12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?解析:首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有44A 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式5242768⨯=种不同站法.说明:从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m nA m种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有24C 种,再排:在四个盒中每次排3个有34A 种,故共有2344144C A =种.解析:先取男女运动员各2名,有2254C C 种,这四名运动员混和双打练习有22A 种排法,故共有222542120C C A =种.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封,a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。

排列组合练习题3套(含答案)

排列组合练习题3套(含答案)

排列练习【1】一、选择题1、将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有()A、81B、64C、12D、142、n∈N且n<55,则乘积(55-n)(56-n)……(69-n)等于()A、 B、 C、D、3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数()A、64B、60C、24D、2564、3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是()A、2160B、120C、240D、7205、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻,则不同排法的种数是()A、 B、 C、 D、6、5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有()A、B、C、 D、7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数有()A、24B、36C、46D、608、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中甲不能担任正班长,乙不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是()A、 B、C、D、二、填空题1、(1)(4P84+2P85)÷(P86-P95)×0!=___________(2)若P2n3=10Pn3,则n=___________2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中,取出三个不同元素的排列为__________________________________________________________________3、4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有_________种不同排法4、有一角的人民币3张,5角的人民币1张,1元的人民币4张,用这些人民币可以组成_________种不同币值。

三、解答题1、用0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的五位数,(1)在下列情况,各有多少个?①奇数②能被5整除③能被15整除④比35142小⑤比50000小且不是5的倍数2、7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头(2)甲不排头,也不排尾(3)甲、乙、丙三人必须在一起(4)甲、乙之间有且只有两人(5)甲、乙、丙三人两两不相邻(6)甲在乙的左边(不一定相邻)(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序(8)甲不排头,乙不排当中3、从2,3,4,7,9这五个数字任取3个,组成没有重复数字的三位数(1)这样的三位数一共有多少个?(2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少?(3)所有这些三位数的和是多少?排列与组合练习(1)一、填空题1、若,则n的值为()A、6B、7C、8D、92、某班有30名男生,20名女生,现要从中选出5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于2人的选法为()A、B、C、D、3、空间有10个点,其中5点在同一平面上,其余没有4点共面,则10个点可以确定不同平面的个数是()A、206B、205C、111D、1104、6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是()A、 B、 C、 D、5、由5个1,2个2排成含7项的数列,则构成不同的数列的个数是()A、21B、25C、32D、426、设P1、P2…,P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点,以这些点为顶点的直角三角形的个数为()A、360B、180C、90D、457、若,则k的取值范围是()A、[5,11]B、[4,11]C、[4,12]D、4,15]8、口袋里有4个不同的红球,6个不同的白球,每次取出4个球,取出一个线球记2分,取出一个白球记1分,则使总分不小于5分的取球方法种数是()A、 B、C、D、二、填空题1、计算:(1)=_______(2)=_______2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中,每个盒子中放球不超1个,则有_______种不同放法。

排列组合试题及答案

排列组合试题及答案

排列组合试题及答案一、选择题1. 有5个人站成一排,其中甲乙两人必须相邻,有多少种不同的排法?A. 120B. 240C. 480D. 720答案:B2. 从6个不同的球中选3个球排成一排,有多少种不同的排法?A. 20B. 30C. 60D. 120答案:C二、填空题1. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少有一个球,共有______种不同的放法。

答案:1502. 有4个不同的球和4个不同的盒子,每个盒子放一个球,共有______种不同的放法。

答案:4^4 = 256三、简答题1. 某班有50名学生,现在要选出5名学生代表参加学校活动,有多少种不同的选法?答案:从50名学生中选出5名学生代表,这是一个组合问题。

根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!],其中 n=50, m=5,计算得 C_50^5 = 50! / [5!(50-5)!]。

2. 某公司有10名员工,需要选出3名员工组成一个团队,有多少种不同的团队组合?答案:这是另一个组合问题,根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!],其中 n=10, m=3,计算得 C_10^3 = 10! / [3!(10-3)!]。

四、计算题1. 一个班级有30名学生,现在要选出一个由5名学生组成的委员会。

如果甲和乙两名学生必须同时被选中,那么有多少种不同的委员会组成方式?答案:首先,甲和乙两名学生已经被选中,剩下3个位置需要从28名学生中选出3名学生,这是一个组合问题。

根据组合公式,C_28^3 =28! / [3!(28-3)!]。

2. 有7个不同的字母,需要组成一个3个字母的单词,有多少种不同的单词可以组成?答案:组成一个3个字母的单词,这是一个排列问题。

根据排列公式P_n^m = n! / (n-m)!,其中 n=7, m=3,计算得 P_7^3 = 7! / (7-3)!。

五、应用题1. 某公司有5个部门,需要选出3个部门进行合作。

排列组合习题含详细包括答案.doc

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圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 ( 方法对比,二星 )题面: (1) 有 5 个插班生要分配给 3 所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法?(2)有 5 个数学竞赛名额要分配给 3 所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法?解析:“名额无差别”——相同元素问题( 法 1) 每所学校各分一个名额后,还有 2 个名额待分配,可将名额分给 2 所学校、1 所学校,共两类:C32C31(种)( 法 2——挡板法 )相邻名额间共 4 个空隙,插入 2 个挡板,共: C42 6 (种)注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题 .( 位置有差别,元素无差别)同类题一题面:有 10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个 , 有多少种分配方案?答案: C69详解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。

相邻名额之间形成9 个空隙。

在 9 个空档中选 6 个位置插个隔板,可把名额分成 7 份,对应地分给 7 个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。

同类题二题面:求方程 X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案: 36.详解:将 10 个球排成一排,球与球之间形成9 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值 ,故解的个数为C92=36(个)。

2.题 2 (插空法,三星 )题面:某展室有 9 个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台,并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______ 种;如果进一步要求台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有 ____种.3 件展品所选用的展答案: 60 , 48同类题一题面:6 男 4 女站成一排,任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?6 4答案: A6·A7种.详解:任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生6 4的空中,共有A6·A7种不同排法.同类题二题面:有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A.36 种B.48 种C.72种D.96 种答案: C.详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共 A 33A 24=72 种排法,故选C.3.题 3 ( 插空法,三星 )题面: 5 个男生到一排 12 个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.1] 没有坐人的 7 个位子先摆好,[2]( 法 1——插空 ) 每个男生占一个位子,插入 7 个位子所成的 8 个空当中,有:A85=6720种排法.( 法 2)[1]5个男生先排好:A55;[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉 9 个位置,当作 5 个排好的元素,共有 6 个空,剩下的 3 个元素往里插空,每个空可以插 1 个、2 个、 3 个元素,共有: C63 2C62 C61种,综上:有 A55( C63 2C62 C61)=6720种.同类题一题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?答案: 30。

排列组合练习题及答案精选

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排列组合习题精选一、纯排列与组合问题:1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( )A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C. 男同学5人,女同学3人D. 男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 ( )A.12个B.13个C.14个D.15个答案:1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人,则有2138390n n C C A -=。

4、2258m nm A A +-= 选C.二、相邻问题:1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法?2. 有8本不同的书, 其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题:1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法?2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个? 3.4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有( ) A.2880 B.1152 C.48 D.1444.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法?5.8张椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?7. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位,有多少种不同坐法?8. 在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共15只,以不同的点灯方式增加舞台效果,要求设计者按照每次点亮时,必须有6只灯是熄灭的,且相邻的灯不能同时熄灭,两端的灯必须点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式是 ( )A.28种B.84种C.180种D.360种答案:1.43451440A A = (2)3434144A A = (3)选B 444421152A A = (4)3424A = (5)4245480A A =(6)333424A C = (7)3334144A A = (8)选A 6828C = 四、定序问题:1. 有4名男生,3名女生。

排列组合典型例题(带详细答案)

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?例2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?例77名同学排队照相.(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?例8计算下列各题:(1) 215A ; (2) 66A ; (3) 1111------⋅n n m n mn m n A A A ;例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法.例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法?例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ).例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ).例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?1、解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个;当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ⋅⋅(个).∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A2、解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有33A 对种不同的排法,因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有66A 种排法,所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法.(4)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法.3、解:(1)先排歌唱节目有55A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46A =43200.(2)先排舞蹈节目有44A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入。

排列组合问题经典题型与通用方法解析版(1)

排列组合问题经典题型与通用方法解析版(1)

排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有()A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有()A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有2 4C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B .(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ,能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-?例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+?43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

排列组合测试题(含答案)

排列组合测试题(含答案)
排例组合专题训练
1. 将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有 A .81 2. 5 个人排成一排 ,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有
B .64
C.12
A . A33
B. 4 A33
C. A55 A32 A33
D . A22 A33 A21 A31 A33
D .14
3. a,b, c, d, e共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选法总数
25.解:( 1)甲固定不动,其余有 A66 720 ,即共有 A66 720 种;
( 2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A51 ,其余有 A66 720 ,即共有 A51 A66 3600 种;
( 3)先排甲、乙、丙三人,有 A33 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当
于 5 人的全排列,即 A55 ,则共有 A55 A33 720种;
种不同排法 .
16.在 (1 x2 )20 展开式中,如果第 4r 项和第 r 2 项的二项式系数相等,则 r

T4r
.
17.在 1,2,3,...,9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这
样的四位数有 _________________个 .
18 .用 1, 4, 5,x 四个不同数字组成四位数
11040
三、解答题
1.解:(1)①是排列问题,共通了 A121 110 封信;②是组合问题,共握手
C121 55 次。
( 2)①是排列问题,共有 A120 90种选法;②是组合问题,共有 C120 45 种选法。
( 3)①是排列问题,共有 A82 56 个商;②是组合问题,共有 C82 28 个积。

排列组合习题_(含详细答案)

排列组合习题_(含详细答案)

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比,二星)题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法?(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法?解析:“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配,可将名额分给2所学校、1所学校,共两类:2133C C(种) (法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共:246C(种)注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)同类题一题面:有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?答案:69C详解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。

同类题二题面:求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案:36.详解:将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为C92=36(个)。

2.题2 (插空法,三星)题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种.答案:60,48同类题一题面:6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法?答案:A66·A47种.详解:任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A66·A47种不同排法.同类题二题面:有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种答案:C.详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选 C.3.题3 (插空法,三星)题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.1]没有坐人的7个位子先摆好,[2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有:58A=6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好:55A;[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,共有6个空,剩下的3个元素往里插空,每个空可以插1个、2个、3个元素,共有:3216662C CC种,综上:有55A (3216662CCC )=6720种.同类题一题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?答案:30。

排列组合典型例题(带详细答案)

排列组合典型例题(带详细答案)

用0到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?三个女生和五个男生排成一排 如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? 如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? 如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? 如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

(1 )任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节 不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配 1位司机和1位售票员.问车 辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4所重点院校,每所院校有 3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话, 你将有多少种不同的填表方法?例7 7名同学排队照相.(1)若分成两排照,前排 3人,后排4人,有多少种不同的排法?例2(1) (2)(3) (4)(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?⑷若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?例8计算下列各题:⑴ AIS ;.ml ⑵A6 ;(3)逬廿例9 a,b,c,d ,e, f六人排一列纵队,限定a要排在b的前面(a与b可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法.例10八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法?例11计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端, 4幅油画、5幅国画,排成一行那么不同陈列方式有例12由数字0,1,2,3, 4,5组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数的个数共有().例13用1,2,3,4,5,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有().例14用0、1、2、3、4、5共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?学习好资料 欢迎下载原理得不同的填表方法有:A :、A •A I =5184种.1、解法1当个位数上排“ 0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选 来排列,故有 A ;个;当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个 非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有A i ”A 木;(个).•••没有重复数字的四位偶数有 A ; +人”A 8 ”A 2=504 + 1792 =22962、解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样 同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有A 种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有 A 对种不同的排法,因此共有 A 6 ^AI = 4320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开, 可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个 空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女 生插入这六个位置中, 只要保证每个位置至多插入一个女生, 就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中O53选出三个来让三个女生插入都有A ;种方法,因此共有 A -As =14400种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选 有A 2种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有A •A =14400种不同的排法.(4)3个女生和5个男生排成一排有 A 种排法,从中扣去两端都是女生排法 A 2"A ;种,3、解:(1)先排歌唱节目有 A 5种,歌唱节目之间以及两端共有 6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有 A 4中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:(2)先排舞蹈节目有 A :中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有 5个空位,恰好供5个歌唱 节目放入。

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排列组合方法汇总与习题精选
捆绑法、插空法、隔板法、分类法、集合法、枚举法、圆排列、可重复排列
1、A, B,C,D,E五人并排站成一排,如果代B必须相邻且B在A的右边,那么
不同的排法种数有()
A、60 种
B、48 种
C、36 种
D、24 种
2、七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
()
A、1440 种
B、3600 种
C、4820 种
D、4800 种
3、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6 种
B、9 种
C、11 种
D、23 种
4、将四封信投入5个信箱,共有多少种方法?
5、12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,贝U不同的分配方案有()
& 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
()
A、36 种
B、120 种
C、720 种
D、1440 种
7、8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
8、7人排成一排照相,若要求甲、乙、丙三人不相邻,有多少种不同的排法?
9、10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分
配方案?
10、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部
经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
11、由数字0, 1,2,3, 4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小
于十位数字的共有()
A、210 种
B、300 种
C、464 种
D、600 种
12、从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
13、从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
14、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()
A、140 种
B、80 种
C、70 种
D、35 种
15、9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要选出4人进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
16、以正方体的顶点为顶点的四面体共有()
A、70 种
B、64 种
C、58 种
D、52 种
17、四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(

A、150 种
B、147 种
C、144 种
D、141 种
18、5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
19、设有编号为1,2,3,4, 5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将
这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
20、三边长均为整数,最长边为8的三角形有多少个?
21、由1,2,3,4,5,6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数?
22、7个节目,甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现,有多少种排法?
23、5名运动员争夺3个项目的冠军(没有并列),所以可能的结果有多少种?
24、有3个男生,3个女生,排成一列,高矮互不相等。

要求从前到后,女生从高到矮排列,有多少种不同的排法?
25、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法?
26、五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法?
27、有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是?
28、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有3面红旗、2面白
旗,把5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是________________
29、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位的数字的共有()
A) 210 个B) 300 个C) 464 个D) 600 个
30、设集合I二”23,4,5几选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数
大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()
A. 50种
B. 49种
C. 48种
D. 47种
31、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程,且上午安排四节课,下午安排两节课。

(1)若第一节不排体育,下午第一节不排数学,一共有多少种不同的排课方法?(2)若要求数学、物理、化学任何两门不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排),一共有多少种不同的排课方法?
32、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2 名,则不同的分配方案有
(A)3 0 种(B)9 0 种(C)18 0 种(D) 2 7 0 种
33、有9个不同的文具盒:(1)将其平均分成三组;(2)将其分成三组,每组个数2,3,4。

上述问题各有多少种不同的分法?
34、3名教师分配到6个班里,各人教不同的班级,若每人教2个班,有多少种分配方法?
35、将10本不同的专著分成3本,3本,3本和1本,分别交给4位学者阅读,问有多少种不同的分法?
36、有9本不同的书:(1)分给甲2本,乙3本,丙4本;(2)分给三个人,分别得2本,3本,4本。

上述问题各有多少种不同的分法?
37、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为
止,若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,则这样的测试方法有
多少种可能?
38、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的
项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()
A.16 种
B.36 种
C.42 种
D.60 种
39、 求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。

40、 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个 盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数。

41、一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果 保持这些节目的相对顺序不变,拟再添2个小品节目,则不同的排列方法有多 少种?
42、 圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个
? 43、 正方体8个顶点可连成多少队异面直线?
44、某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A 到B 的最 短路径有多少种?
45、马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关 掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少 种? 分球入盒问题
问题:将5个小球放到3个盒子中,在下列条件下,各有多少种投放方法? ① 小球不同,盒子不同,盒子不空
② 小球不同,盒子不同,盒子可空
③ 小球不同,盒子相同,盒子不空
④ 小球不同,盒子相同,盒子可空
B
⑤小球相同,盒子不同,盒子不空
⑥小球相同,盒子不同,盒子可空
⑦小球相同,盒子相同,盒子不空
⑧小球相同,盒子相同,盒子可空答案
1、D
2、B
3、B
4、625
5、A
6、C
7、5760
8、A44A53
6
9、C9 =84
10、A84 3A3 3A3 7A2 =4088
11、B
G4 ■: C14C 86 —1295 C 25 C 25C 25 C 25 C
2 2 2 C 5C 4A 2 -120 4 C 8 -12 =58 C
4 4 Go -4C 6 -3-6 =141 D
5 24 2 =768
2C 2 =20 8+6+4+2=20 120个
A 77 /33=840 种 125种
120种
A ;A :种
A ? - A ;A 3 - A ;A ;或 3A ;A ;A 2 二 72
(1) 504 (2) 216
B
12、
13、
14、 15、 16、 17、 18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、 28、 29、
30、 31、 32、 192+32+12+110=346 种或 A^ -2(11 6) =346 种
3 3 3
C 9 C 6C 3 A 3
c ;c ;c
2 2 2
C 6 C 4 C 2 = 90
3! C 2C 3C 4 ; C 2 C 3 C 4 A 3 974 ; 9 27 4 3
576
D
G : =66
G ; =286
c ;c 6 = 30
C o
4
C 8 -12 =58 , 3 X 58=174 对 C ;种
10种
33、 34、
35、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 42、 43、 44、 45、 cQcjc ;
4!。

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