最新中考数学第一轮复习-第24讲 相似三角形
相似三角形完整版PPT课件
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相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
相似三角形的性质ppt课件
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(原卷版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD ，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:32．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．124．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若DE =4，求BC 的长．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∥CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．24．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．。
2024相似三角形课件初中数学PPT课件
相似三角形课件初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何变换中应用•代数法证明三角形相似•几何法证明三角形相似•相似三角形在解题中应用•总结回顾与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质相似三角形定义及表示方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法通常用符号“∽”来表示两个三角形相似，记作△ABC∽△DEF，其中顶点A与D，B与E，C与F分别对应。
相似三角形对应角、对应边关系对应角关系相似三角形的对应角相等，即如果△ABC∽△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边关系相似三角形的对应边成比例，即如果△ABC∽△DEF，且他们的对应边长之比为k，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
01020304预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形判定定理如果两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似比概念及应用相似比定义01相似三角形对应边的比值叫做相似比。
相似比性质02相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用03在几何证明、测量、建筑设计等领域中，相似三角形及相似比的概念有着广泛的应用。
例如，利用相似三角形原理可以测量高度、宽度等难以直接测量的距离。
02相似三角形在几何变换中应用放大、缩小与位似变换放大与缩小相似三角形在放大或缩小时，其对应角不变，对应边成比例变化。
位似变换位似变换是一种特殊的相似变换，其中两个相似图形不仅对应边成比例，而且对应点连线相交于一点。
应用实例在建筑设计中，利用相似三角形的放大或缩小原理，可以制作出不同比例的建筑模型。
80%80%100%平移、旋转与对称变换中保持相似性平移变换不改变图形的形状和大小，因此平移前后的两个相似三角形仍然保持相似性。
相似三角形ppt课件免费
构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
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建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
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04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
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方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
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不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
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艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现
江苏省2020年中考数学复习课件--第二十四讲 相似图形2
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．2∶1
当堂过关
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中 线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是 ( C)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
当堂过关
3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且
课后精练（A组）
1．(2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点， ∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )
A．1
B．2 C．3 D．4
课后精练（A组）
2．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D )
两个位似图形的位置可以在位似中心的同侧，也可以在位 似中心的异侧(位似图形是位置特殊的相似图形，具有相似图 形的所有性质)．
2．性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的_距__离____ 之比等于位似
课堂精讲
考点1 相似三角形的性质 例1 (2019·常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则
∴△ACD∽△BCE.∴ABDE＝ABCC＝ 33.
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°.
又 AB＝2AC＝4，AE＝4 3，
∴BE＝ AB2＋AE2＝8.∴AD＝ 33BE＝833.
当堂过关
1.(2019·西藏)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点， 则△ADE与△ABC的面积之比是( A )
AC＝2，AE＝4，求AD的长．
课堂精练
【分析】(1)连接 BE，证明△ACD≌△BCE，得到 AD＝BE； 在 Rt△BAE 中，AB＝4 2，AE＝2，求出 BE，得到答案；(2)连 接 BE，证明△ACD∽△BCE，得到ABDE＝ABCC＝ 33，求出 BE 的 长，得到 AD 的长．
相似三角形PPT课件
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
平行线截割定理
定理内容
两条平行线被一组横截线所截， 则对应线段成比例。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三 角形的性质证明。
应用举例
证明线段成比例、求解线段长度等 。
射影定理
定理内容
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中
性质
相似三角形的对应角相等 ，即如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则∠C = ∠C'。
判定方法
可以通过测量两个三角形 的对应角来判断它们是否 相似。
对应边成比例
定义
如果两个三角形的对应边 成比例，则称这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应边成比 例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则 △ABC ∽ △A'B'C'。
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
直角三角形中特殊角性质
30°角所对直角边等于斜边一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
45°角所对直角边等于斜边一半乘以√2
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
专题4.4 相似三角形中考数学第一轮总复习课件
= 2,
h2 BC
A
h1
P h2 F
h3
E
C
中考数学第一轮总复习
专题4.4 相似三角形
知识梳理
典例精讲
考点聚焦
查漏补缺
提升能力
01 比 例 线 段
02 相 似 三 角 形 的 判 定
03 相 似 三 角 形 的 性 质
04 相 似 三 角 形 的 应 用
精讲精练
考点聚焦
比例线段
知识点一
线段的比 在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比。
4
9
或
部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF:S△CBF25
=_______.
25
B(1,0)
x
强化训练
相似三角形
提升能力
3.如图,在△ABC中,点G为△ABC的重心,过点G作DE∥BC,分别交AB,AC于
4:5
点D,E,则△ADE与四边形DBCE的面积比为_____.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,点D,E,F,分别在边AC,AB,BC上,且四边形
A
2
1
D
B.AB:AD=AC:AE
D.AB:AD=BC:DE
B
E
C
01
比例线段
02
相似三角形的判定
考点聚焦
03
相似三角形的性质
04
相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
定义
相似三角形的性质
知识点三
相等
成比例
如果两个三角形的各角对应____各边对应______,那么这两个三角形
相似.
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成比例
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
2024年九年级数学中考专题：二次函数相似三角形问题 课件
04
方法归纳
四、方法归纳
在平面直角坐标系中，二次函数背景下 当两个三角形相似，求点的坐标，一般 情况下，相似的两个三角形都是特殊的 三角形（常见直角三角形），且有一条 直角边在坐标轴上，或者垂直平行坐标 轴，结合相似三角形模型，对应边成比 例，求出点的坐标即可
05
学以致用
五、学以致用
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点。 (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以 A，P，M为顶点的三角形与ΔOAC相似?若存在，请求出符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由
一、相似三角形
相似三角形判定：(1)两角对应分别相等的两个三角形相似。 (2)三边对应成比例的两个三角形相似。 (3)两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形 相似。
02
相似三角形模型
(1) A字型(反A型)
二、相似三角形模型
(2)8字型(反8型)
(3)一线三垂直
二
例题讲解
三、例题讲解
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-3,0)，顶点D 的坐标为(-1,4) (1)求抛物线的表达式和B、C两点的坐标 (2)连接AD 、 AC 、 CD 、 BC，在y轴上是否存在点M，使得以M 、B 、 C 为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由
中考专题： 二次函数三角形相似问题
目录
01
02
03
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相
相
例
方
学
似
似
题
法
以
三
三
讲
归
2024年中考第一轮复习相似三角形 课件
么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段
（续表）
如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB(AP>BP),使
黄金分割
④ PA2=PB·AB ,那么称线段 AB 被点 P 黄金分割,点 P 叫做线段 AB
的黄金分割点,线段 AP 与 AB 的比叫做黄金比,黄金比
AP
=⑤
①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③
=
;④AC2=AD·AB.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
图20-7
10.如图20-8,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在
不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有 2
图20-8
个.
■ 知识梳理
与△ OCD 的面积分别是 S1 和 S2,△ OAB 和△ OCD 的周长分别是 C1 和 C2,则下列等式一
定成立的是
3
A. =
2
3
C. 1 =
2
2
(
)
3
B. =
2
3
D. 1 =
2
2
图20-9
【方法点析】相似三角形主要应用在以下几方面:①求角的度数;②求或证明比
值关系;③证线段等积式;④求面积或面积比.相似三角形的对应边成比例是求线
■ 知识梳理
1.比例的性质
(1)基本性质:
=
⇒ad=①
bc
.
(2)比例中项:如果三个数 a,b,c 满足比例式 = ⇔② b2=ac ,则 b 就叫做 a,c 的比例
2024版相似三角形ppt初中数学PPT课件
相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相等角两个相似三角形的对应角相等。
补角两个相似三角形的非对应角互为补角。
两个相似三角形的对应边之间的比值相等。
对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。
周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。
平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。
角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。
角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。
直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。
直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。
2024版年度《相似三角形》完整版教学课件
版教学课件•相似三角形基本概念•相似三角形判定方法•相似三角形性质探究•相似三角形在几何证明中应用目录•相似三角形在实际问题中应用•相似三角形知识点总结与拓展相似三角形基本概念定义与性质定义性质判定条件01020304相似比概念相似比性质相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
应用举例利用相似三角形测量高度01利用相似三角形证明几何题02利用相似三角形解决生活问题03相似三角形判定方法定义定理推论030201三角形边长成比例判定三角形角度相等判定定义定理注意事项综合判定方法边角边判定如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
角边角判定如果两个三角形有两组对应角相等，且夹边成比例，则这两个三角形相似。
边边边判定如果两个三角形的三边对应成比例，则可以通过计算得出它们的对应角是否相等，从而判定它们是否相似。
判定方法选择策略根据已知条件选择判定方法综合运用多种判定方法相似三角形性质探究对应角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。
这是相似三角形最基本的性质，也是判断三角形相似的重要条件之一。
对应角与相似比关系在相似三角形中，对应角的大小与相似比无关，但对应角的度数可以用来计算相似比。
对应边成比例对应边与相似比关系面积比与相似比关系面积比等于相似比的平方利用面积比求相似比性质应用举例地图绘制测量高度在地图绘制中，相似三角形的性质被广泛应用于比例尺的计算和地图的缩放。
几何证明相似三角形在几何证明中应用1 2 3利用相似三角形的性质应用比例线段定理应用平行线分线段成比例定理证明线段成比例证明角度相等或互补利用相似三角形的对应角相等性质01应用角的平分线性质02应用平行线的性质03证明图形相似或全等利用相似三角形的判定定理应用全等三角形的判定定理综合运用相似和全等的性质检查解题完成后，仔细检查解题过程是否正确，结论是否准确。
在解题过程中，灵活运用所学的几何定理和性质，进行推理和证明。
中考数学一轮复习 第24课 相似三角形导学案
第24课 相似三角形【考点梳理】： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C29.位似三角形：两个三角形对应顶点的连线相交于一点且到各对应点成比例的两个相似三角形，且两个三角形的各边分别平行，这样的两个三角形即为位似三角形。
上文所提的“相交于一点”即为位似中心！条件：① 必须两个三角形相似。
②两个三角形对应点的连线在一点。
③ 位似中心到各点的长度对应成比例。
注意：三条件缺一不可，否则不是位似三角形。
【思想方法】1. 常用解题方法——设k法2. 常用基本图形——A形、X形……【考点一】：平行线分线段成比例【例题赏析】（2015•宁德第8题 4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5考点：平行线分线段成比例．分析：直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．解答：解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选B．点评：本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，线段成比例是解答此题的关键．【考点二】：相似三角形的判定【例题赏析】（2015，广西钦州，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC ：AC分析：先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．解答：解：如图过点B作BE ∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB ：AC=BD ：CD ．点评： 此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．【考点三】：相似三角形的性质 【例题赏析】（1）（2015•黔西南州）（第5题）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且，则S △ABC ：S △A'B'C ′为（ ）A ． 1：2B ． 2：1C ． 1：4D ． 4：1考点： 相似三角形的性质．分析： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可． 解答： 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，，∴=（）2=14， 故选C ．点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．（2）（2015，广西柳州，12，3分）如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG=CE ，AE ⊥EF ，AE=EF ，现有如下结论：①BE=GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD=45°；④△GBE ∽△ECH 其中，正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE ≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．解答：解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B ．点评： 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．【考点四】：相似三角形的应用【例题赏析】（2015•黔西南州）（第10题）在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m=时，n 的值为（ ）A ． 4﹣2B ． 2﹣4 C ． ﹣D ．考点： 相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质． 分析： 先根据已知条件得出△PDE 的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE ，DF=EF ，锐角三角函数的定义求出PF 的长，由m=求出MF 的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM ∽△PON ，利用相似三角形的性质即可得出结论． 解答： 解：∵AB=3，△PDE 是等边三角形， ∴PD=PE=DE=1，以DE 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， ∵△PDE 关于y 轴对称， ∴PF ⊥DE ，DF=EF ，DE ∥x 轴， ∴PF=，∴△PFM ∽△PON ， ∵m=，∴FM=﹣，∴=，即=，解得：ON=4﹣2．故选A．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM 的长是解答此题的关键．【考点五】：位似的应用【例题赏析】（2015•湖北十堰，第6题3分）.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C.（﹣8，4）或（8，﹣4）D.（﹣2，1）或（2，﹣1）考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．解答：解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．点评：此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．【真题专练】1.（2015•黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H结论错误的是（）A．= B．= C．= D．=2.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似3.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A ．﹣1 B．C．1 D．4．（2015•青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．13B．14C．12D．235.（2015•贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．：C．4：9 D．8：276.（2015•辽宁省朝阳,第题3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A 的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）7.（2015•辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知△ABC 中，AB=5，AC=3，点D 在边AB 上，且∠ACD=∠B ，则线段AD 的长为 ．8. （2015•辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC 的边OB 在x 轴上，OB=CB ，OB 边上的高CA 与OC 边上的高BE 相交于点D ，连接OD ，AB=，∠CBO=45°，在直线BE 上求点M，使△BMC 与△ODC 相似，则点M 的坐标是 （1，﹣1）或（﹣，） ．9. （2015•齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中： （1）画出△ABC 向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A 1B 1C 1．（2）以点B 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在网格中画出△A 2B 2C 2（3）求△CC 1C 2的面积．10.（2015•广东茂名24，8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M 从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．【真题演练参考答案】1.（2015•黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．= B．= C．= D．=考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，∴，，，故选C．点评：此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．2.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似考点：几何变换的类型．分析：开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．解答：解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D．点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．3.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1 B．C．1 D．考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质．专题：压轴题．分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．解答：解：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵AB=∴A′B=1∴AA′=AB﹣A′B=﹣1故选A．点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．4．（2015•青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．13B．14C．12D．23考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．解答：解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；∴== 13，故选A．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．5.（2015•贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．：C．4：9 D．8：27考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．解答：解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9．故选C．点评：本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.（2015•辽宁省朝阳,第题3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A 的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）考点：位似变换；坐标与图形变化-平移．专题：几何变换．分析：先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．解答：解：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．点评：本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移．7.（2015•辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值．解答：解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴=，∵AB=5，AC=3，∴35=，∴AD=95．故答案为95．点评：本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值．8.（2015•辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x 轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．考点：相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得△ODC是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到BM的长度，进一步得到点M的坐标．解答：解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°，∴AB=AC=，OD=CD，在Rt△BAC中，BC==2，∴OB=2，∴OA=OB﹣AB=2﹣，在Rt△OAC中，OC==2，在Rt△OAD中，OA2+AD2=OD2，（2﹣）2+AD2=（﹣AD）2，解得AD=2﹣，∴OD=CD=2﹣2，在Rt△BAD中，BD==2，①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，=，即=，解得BM=，∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，∴MF∥DA，∴△BMF∽△BDA，∴==，即==，解得BF=1，MF=﹣1，∴OF=OB﹣BF=1，∴点M的坐标是（1，﹣1）；②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，=，即=，解得BM=2，∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，∴MF∥DA，∴△BMF∽△BDA，∴==，即==，解得BF=2+，MF=，∴OF=BF﹣OB=，∴点M的坐标是（﹣，）．综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．故答案为：（1，﹣1）或（﹣，）．点评：考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到BM的长度，注意分类思想的应用．9.（2015•齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．（3）求△CC1C2的面积．考点：作图-位似变换；作图-平移变换．分析：（1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据位似的性质画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式求出即可．解答：解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）如图所示：△CC1C2的面积为×3×6=9．点评：本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力．10.（2015•广东茂名24，8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M 从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：动点型．分析：（1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN 与△ABC相似，得t的值；（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．解答：解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴=，解得t=．点评：本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．。
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直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
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(1)(2011·深圳)如图所示，小正方形的边长均为1， 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
(2)(2011·铜仁)已知：如图所示，在△ABC中， ∠AED＝∠B，则下列等式成立的是(
A. DE AD ＝ BC DB AE AD B. ＝ BC BD AD AE D. ＝ AB AC
相似比 ，面积之比等于
. 相似比的平方
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考点三
相似三角形的判定 成比例 ，且夹角 相等 的两个三角形相似．
1．两边对应
2．两角对应相等的两个三角形相似．
3．三边对应 温馨提示： 直角三角形相似的条件：（1）两直角边对应成比例的两个直角三角 形相似.（2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（3）有斜边和一 成比例 的两个三角形相似．
)
DE AE C. ＝ CB AB
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(3)(2011·重庆)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边 AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积
比为________．
【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定．
【解答】(1)B B 项中的三角形与△ABC 的三边对应成比例，故这两
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第24讲 相似三角形
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点一
相似三角形的定义 相等 ，各边对应 成比例 ，那
定义：如果两个三角形的各角对应
么这两个三角形相似
考点二 相似三角形的性质 相等 ，对应边 成比例 .
1．相似三角形的对应角
2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 相似比 等于________. 3.相似三角形的周长之比等于
分值：100分
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一、选择题(每小题4分，共48分) 1．(2010中考变式题)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的
三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(
)
【解析】观察△ACB得∠ACB＝135°，被选项中只有A项图中三角形
含135°角．
【答案】A
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AD 2．(2012 中考预测题)如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，DB＝ 1 ，DE＝4 cm，则 BC 的长为( 2 A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm )
180 360 720 )°、( )°、( )°. 7 7 7
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1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥ BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( )
A ．3
C．6 答案：D
B ．4
D ．8
2．如图所示，Rt△ABC ∽Rt△DEF，则cosE的值等于(
A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3
个三角形相似．故选 B. (2)C (3) 1 9 DE AE ∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB,∴ ＝ ，故选 C. CB AB S△ADE AD 2 1 2 1 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝( ) ＝( ) ＝ . S△ABC AB 3 9
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(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在 △PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P
为△ABC的自相似点．
(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的 中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点．
(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC的相似点P(写出作法并保留作图痕迹).
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②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度 数．
)
形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE 交 BD BE 2 BF 3 于点 F，如果 ＝ ，那么 ＝_____. BC 3 FD 4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得 △ABC∽△ADE.
2
AB AC 答案：答案不唯一，如∠B＝∠D 或∠C＝∠AED 或 ＝ 等． AD AE
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(2)①作图略．作法如下：(ⅰ)在∠ABC 内，作∠CBD＝∠A； (ⅱ)在∠ACB 内，作∠BCE＝∠ABC，BD 交 CE 于点 P.则 P 为△ABC 的自 1 相似点． ②如图， 连接 PB、 PC.∵P 是△ABC 的内心， ∴∠PBC＝ ∠ABC， ∠PCB 2 1 ＝ ∠ACB.∵P 为△ABC 的自相似点， 2 ∴△BCP∽△ABC.∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ＝ 2∠PBC ＝ 2∠A ， ∠ACB＝2∠BCP＝4∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A ＋ 4∠A ＝ 180°.∴∠A ＝ ( ( 180 )° ， ∴ 该 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 分 别 为 7
5．已知△ABC，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，取 AB 的中点 F，连接 FD 交 AC 于点 E. AE (1)求 的值；(2)若 AB＝a，FB＝EC，求 AC 的长． AC
答案：(1)
AE 2 ＝ AC 3
3 (2)AC＝ a 2
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6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高， AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你
的结论．
答案：△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中 ∵AE是 ⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC＝90° ，∴∠ABE＝∠ADC.又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA＝ ∠DCA.∴△ABE∽△ADC.
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相似三角形
训练时间：60分钟
【点拨】正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本
题的关键．
【解答】(1)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 上的中线，∴CD 1 ＝ AB ，∴CD＝BD.∴∠BCE＝∠ABC.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°.∴∠BEC 2 ＝∠ACB.∴△BCE∽△ABC.∴E 是△ABC 的自相似点．