【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题

合集下载

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二(下)4月月考数学试卷(文科)

2
处的线方程
y=2x+1，
3．设直线 l y=kx+m m≠0 ，曲线线l 曲线 C 恰一个共点“的 A．充必要条 B．必要充条 C．充条 D．既充也必要条
，则“
”是“直
4．设 l，m，n 表示条的直线，α，β，γ 表示个的面，给出列四个命题 ①若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则 α⊥β ②若 m⊂β，n 是 l 在 m⊥l 内的射影，m⊥l，则 m⊥l ③若 m 是面 α 的一条斜线，A∉α，l 过 A 的一条直线，则可能 l⊥m l⊥α ④若 α⊥β，α⊥γ，则 γ∥β 中真命题的个数 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 5．若某几何体的视图如图所示，则几何体的直图是
f′ x ，满足关系式 f x =x +3xf′ 2 +lnx，则 f′ 2
2
8．若函数 y=x +log2x+e ，则 y′= A． x+
2 4
3
﹣x
+e
﹣x
B．
x+
2
4
﹣e +e
﹣x
C． 3x +
﹣e
﹣x
D． 3x +
﹣x
9．已知直线 y=x﹣2 圆 x +y ﹣4x+3=0 及抛物线 y =8x 的四个交点从到依次 C、D 四点，则|AB|+|CD|= A． 12 B． 14 C． 16 D． 18 10．一个四棱锥的视图如图所示，那对于这个四棱锥，列说法中确的是 A．最长棱的棱长
2
20． 12 m 0
2015 春•哈尔滨校级考已知极大值，

黑龙江省哈尔滨市六中高三下册第二学期第四次模拟考试数学(理)试题含答案【精校】.doc

由
①
②
可
知
或 ∴
或
解
得
，
∴
， ∴
的
普
通
方
程
为
. ------------------------------10
分
23
．
（
1
）
∵
，
即
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
.
综
上
所
述
，
不
等
式
的
解
集
为
. --------------5
，
，
时
，
，
所
以
在
区
间
上单调递减，在区间
和
上单调递增；
⑥
当
，
即
时
，
，
所
以
在
定
义
域
上单调递增；
综上：①当
时，
在
区
间
上单调递增，在区间
上单调递减；
②
当
时
，
在
区
间
上单调递减，在区间
和
上单调递增；
③
当
时
，
在
定
义
域
上单调递增；
④
当
时
，
在
区
间
上单调递减，在区间和
上单调递增；
⑤
当
时
，

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）3．（5分）若向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，则与+2的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3＝（）A．﹣10B．﹣6C．﹣8D．﹣45．（5分）先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．37．（5分）如图所示程序框图中，输出S＝（）A．45B．﹣55C．﹣66D．668．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．29．（5分）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．10．（5分）哈六中高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为（）A．484B．472C．252D．23211．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ln+，g（x）＝e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）＝f（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．e2﹣3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．14．（5分）下列四个结论中，①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③若命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•＝||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是．15．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n＝lga n，则S99＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B ＝（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．（12分）若函数f（x）＝．（1）讨论函数f（x）＝的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝3，EC＝6时，求AD的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}＝[﹣1，1）．故选：C．2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【解答】解：复数z满足iz＝2+4i，则有z＝＝＝4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选：C．3．（5分）若向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，则与+2的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，∴＝＝＝1．∴＝＝22+2×1＝6，＝＝．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴＝＝＝，∴与+2的夹角为．故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3＝（）A．﹣10B．﹣6C．﹣8D．﹣4【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，∴a32＝a1a4，∴a32＝（a3﹣4）（a3+2），解得a3＝﹣4故选：D．5．（5分）先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3＝18个基本事件，∴事件A的概率为P（A）＝而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P（AB）＝因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）＝．故选：A．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝＝3⇒x＝3．故选：D．7．（5分）如图所示程序框图中，输出S＝（）A．45B．﹣55C．﹣66D．66【解答】解：由程序框图知，第一次运行T＝（﹣1）2•12＝1，S＝0+1＝1，n＝1+1＝2；第二次运行T＝（﹣1）3•22＝﹣4，S＝1﹣4＝﹣3，n＝2+1＝3；第三次运行T＝（﹣1）4•32＝9，S＝1﹣4+9＝6，n＝3+1＝4；…直到n＝9+1＝10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T＝（﹣1）10•92，S＝1﹣4+9﹣16+…+92﹣102＝1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100＝×9﹣100＝﹣55．故选：B．8．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．2【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z＝2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z＝2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选：D．9．（5分）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由球的体积公式，得πR3＝，∴R＝1．∴正三棱柱的高h＝2R＝2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a＝1，∴a＝2．∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×＝18．故选：C．10．（5分）哈六中高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为（）A．484B．472C．252D．232【解答】解：分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件的选择3人，再排除3个同学来自同一班，有﹣3＝208选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有＝264种，根据分类计数原理，得208+264＝472，故选：B．11．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1＝r1，PF2＝r2．由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴＝；＝．∴，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝ln+，g（x）＝e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）＝f（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（a）＝f（b）＝m，∴e a﹣2＝ln+＝m，∴a﹣2＝lnm，b＝2•，故b﹣a＝2•﹣lnm﹣2，（m＞0）令h（m）＝2•﹣lnm﹣2，h′（m）＝2•﹣，易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）＝0，故h（m）＝2•﹣lnm﹣2在m＝处有最小值，即b﹣a的最小值为ln2；故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1＝•（2x2）5﹣r•＝（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r＝1，解得r＝3；∴T3+1＝（﹣1）3••22••x；∴x的系数是﹣•22•＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）下列四个结论中，①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③若命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•＝||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是①③．【解答】解：对于①，命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”，故①对对于②，p∧q的真假与p，q真假的关系为p，q中有假则假，故②错对于③，若命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0，故③对对于④，“•＝||•||”表示，同向，故“•＝||•||”是“a与b共线”的充分不必要条件，故④不对故答案为：①③．15．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为．【解答】解：设∠AFx＝θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3∴2+3cosθ＝3∴cosθ＝，∵m＝2+m cos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n＝lga n，则S99＝2．【解答】解：∵a n＝2﹣，∴，∴＝1+，化为﹣＝1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，∴，解得a n＝．∴b n＝lga n═lg（n+1）﹣lgn，∴S n＝[lg（n+1）﹣lgn]+[lgn﹣lg（n﹣1）]+…+（lg3﹣lg2）+（lg2﹣lg1）＝lg（n+1）．∴S99＝lg100＝2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B ＝（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B＝＝2（cos A+sin A）（cos A﹣sin A）＝2（cos2A﹣sin2A）＝cos2A﹣sin2A＝﹣2sin2A．又因为cos2A﹣cos2B＝1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）＝2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B＝﹣2sin2A，∴cos2B＝，∴cos B＝±，∴B＝或．（2）∵b＝≤a，∴B＝，由正弦＝＝＝＝2，得a＝2sin A，c＝2sin C，故a﹣c＝2sin A﹣sin C＝2sin A﹣sin（﹣A）＝sin A﹣cos A＝sin（A ﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c＝sin（A﹣）∈[，）．18．（12分）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为＝19．从8个球中摸出2个小球的种数为．故所求概率为．（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有＝12种．一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有＝24种，一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝．由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：Eξ＝＝．19．（12分）如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．【解答】解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A1O，OC．∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∵四边形A 1OBB1为平行四边形，∴∵，∴又由CC1⊥面ABC知CC1⊥CO，∴四边形A1OCC1为矩形，∴A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB…（4分）又∵A1O∩AB＝C，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（6分）（2）解：作BD⊥直线AA1于D，连接C1D．由（1）知平面AA1C1⊥平面ABB1A1，从而BD⊥平面AA1C1，∴∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角．…（8分）∵，∴，于是，∴∴，∴直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值为．…（12分）解法2：CA，CB，CC1两两垂直，且CA＝CB＝CC1＝1，以C为原点，以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系如图，则，所以，，，．…（2分）（1）证明：∵，，∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB，又∵AA1∩AB＝A，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（6分）（2）设面A 1C1C的法向量为，由，可得，令x＝1，则…（8分）又，设直线BC1与平面AA1C1所成的角为θ，则．…（12分）20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．【解答】解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c＝2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即＝，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．21．（12分）若函数f（x）＝．（1）讨论函数f（x）＝的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．【解答】解：（1）f′（x）＝＝由f′（x）＞0，得1﹣e x＞0，解得x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得1﹣e x＜0，解得x＞0，此时函数单调递减，即当x＝0时，函数取得极大值，同时也是最大值f（0）＝1，∴函数f（x）的增区间（﹣∞，0]，减区间[0，+∞），最大值1．（2）当a＝0时，，不等式不成立；当a＜0时，ax2+1＜1，，不等式不成立；当a＞0时，，等价于（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0，设h（x）＝（ax2﹣x+1）e x﹣1，h′（x）＝x（ax+2a﹣1）e x，若，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，不合题意．综上，a的取值范围是．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝3，EC＝6时，求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB＝2AC，∴BE＝2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，∴BE＝2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB＝2AC＝6，设AD＝t，则BE＝2t，BC＝2t+6，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC，即（6﹣t）×6＝2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18＝0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ，可得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2＝0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）＝0 （*）△＝8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2＝|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1+t2＝2（4+a），t1t2＝8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）＝0，得a＝1，或a＝﹣4．因为a＞0，所以a＝1．10分选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，，当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈φ；当时，5﹣3x＞0，即，解得；当时，x﹣1＞0，即x＞1，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0，⇔2﹣x＜|2x ﹣a|恒成立，⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立，或x＜a﹣2恒成立．∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①，或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．第21页（共21页）。

黑龙江省哈尔滨六中2015年高考数学适应性试卷(理科)(一)【解析】

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣4 B． C．4 D．2．设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=（）A．3 B．4 C．5 D．64．函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B． C． D．5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A．4，8 B．4，C．4（+1），D．8，86．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．37．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．19．在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．9910．已知实数x，y满足，则2x+y的取值范围是（）A．[1，2] B．[1，+∞）C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（）A．B．C．D．12．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．16．已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．18．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．（1）完成下列2×2列联表：（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K，其中n=a+b+c+d．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：平面PAC⊥平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．20．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=2，记点P的轨迹为曲线M．点O为坐标原点，点A、B、C是曲线M上的不同三点，且++=（Ⅰ）求直线AB与OC的斜率之积；（Ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．21．已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．二.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1几何证明选讲] 22．如图，圆O的直径AB、BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=2a，求ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣4 B． C．4 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知等式两边同时乘以，然后利用复数模的公式及除法运算化简，则答案可求．解答：解：∵（3﹣4i）z=|4+3i|，∴=．∴z的虚部为．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．2．设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：通过解方程分别求得集合A、B，根据A∪B中所有元素之和为8，可得a的可能取值．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．点评：本题考查了元素与集合的关系，利用了分类讨论思想．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输出i值，模拟程序的运行过程可得答案．解答：解：当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；当a=4时，满足退出循环的条件，故输出结果为：5故选C点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序运行结果时，模拟程序运行结果是最常用的方法，一定要熟练掌握．4．函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B． C． D．[来源:学科网ZXXK]考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得出y的最大值．解答：解：y=sin（x+）+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函数y的最大值为．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A．4，8 B．4，C．4（+1），D．8，8考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其表面积和体积可求．解答：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥表面积S=4+4××2×=4（），体积V==．故选C．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．7．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．解答：解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=故选D点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题．8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：以为基底，把用表示，代入•=1，结合数量积运算可求得答案．解答：解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，属中档题．9．在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意数列各项以3为周期呈周期变化，所以a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，进而S100=33×（a1+a2+a3）+a1．由此能够求出S100．[来源:学科网ZXXK]解答：解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选B点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．10．已知实数x，y满足，则2x+y的取值范围是（）A．[1，2] B．[1，+∞）C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．解答：解：设2x+y=b，则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围．画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为，当直线过点（0，1）时截距最小，且为1，所以2x+y的取值范围是[1，]．故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣cosx为偶函数，∴f（﹣0.5）=f（0.5），f′（x）=2x+sinx，当0＜x＜时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数在（0，）上递增，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6），故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键．12．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为﹣15 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x 项的系数．解答：解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，∴n=5．故展开式的通项公式为T r+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．解答：解：四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R==1，所以球的体积为：．故答案为：．点评：本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为 4 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由a﹣2csinA=0及正弦定理，可得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），可得C=．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴C=．∵c=2，C=，由余弦定理，，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4．点评：本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n= ．考点：函数最值的应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，确定m=n，利用基本不等式求最值，确定m的值，即可得到结论．解答：解：由题意，h（x）=mf（x）+ng（x）=m4x+m+n4﹣x，h（﹣x）=mf（﹣x）+ng（﹣x）=m4﹣x+m+n4x，∵h（x）为偶函数，∴h（x）=h（﹣x），∴m=n∵h（x）=m（4x+4﹣x）+m，4x+4﹣x≥2∴h（x）min=3m=1∴m=∴m+n=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意可得，令n=1可求a1，n≥2时，，，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得a n；（Ⅱ）表示出b n，进而可得，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；解答：解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴，当n=1时，，解得；当n≥2时，，，两式相减得：a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，∴，所以数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，．（Ⅱ）b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=×=（2n﹣1）（2n+1），，则==．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查裂项相消法对数列求和，考查等比数列的通项公式，属中档题．18．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．（1）完成下列2×2列联表：被调查的人数至少有多少？（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K ，其中n=a+b+c+d ．考点：独立性检验；独立性检验的基本思想．专题：计算题．分析：（1）依据某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．即可完成表格；[来源:学科网]（2）将表格中的数据代入，得到K 2≥K 0=3.841，解出n 即可；（3）由（2）知，即为所求．解答：解：（1）2×2列联表：运动非运动总计男性女性总计n（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则K 2≥K 0=3.841由于==，故，即n≥138.276，又由，故n≥140，则若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人；（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有人的休闲方式是运动．点评：本题主要考查独立性检验，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：平面PAC⊥平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF；（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG 与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．解答：（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，∵BE⊂平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF．同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．∵PB⊥底面ABC，CM⊂平面ABC∴CM⊥PB，∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB，∵GM⊂平面PAB，∴CM⊥GM，而CM为平面CMG与平面ABC的交线，又AM⊂底面ABC，GM⊂平面CMG，∴∠AMG为二面角G﹣CM﹣A的平面角根据条件可知AM=，AG=，在△PAB中，cos∠GAM=，在△AGM中，由余弦定理求得MG=，∴cos∠AMG=，故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=2，记点P的轨迹为曲线M．点O为坐标原点，点A、B、C是曲线M上的不同三点，且++=（Ⅰ）求直线AB与OC的斜率之积；（Ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由椭圆的定义可知：点P的轨迹是以F1（﹣1，0）F2（1，0）为焦点的椭圆．可得椭圆方程为x2+2y2=2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于点A，B在椭圆上，可得，上面两式相减，化为•=﹣．设C（x3，y3）由得x1+x2=﹣x3，y1+y2=﹣y3．利用斜率计算公式即可得出．（Ⅱ）当直线AB⊥x轴时，此时不妨设，B，又++=，可得点C不在椭圆上，此时不符合合题意．当直线AB的斜率存在，直线AB过点F1（﹣1，0），设直线AB的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系斜率坐标运算可得：点C（，），代入椭圆方程可得，分别讨论利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2，点P到两定点F1（﹣1，0）F2（1，0）的距离之和为定值，∴点P的轨迹是以F1（﹣1，0）F2（1，0）为焦点的椭圆．则，∴，∴曲线M的方程为．方程可化为x2+2y2=2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵点A，B在椭圆上，∴，上面两式相减，得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，整理得•=﹣．设C（x3，y3）由得x1+x2=﹣x3，y1+y2=﹣y3．又k OC==．∴[来源:]∴直线AB与OC的斜率之积是定值．（Ⅱ）当直线AB⊥x轴时，此时不妨设，B，又++=，∴=﹣﹣=（2，0），∴点C（2，0），则点C不在椭圆上，此时不符合合题意．当直线AB的斜率存在，直线AB过点F1（﹣1，0），设直线AB的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则，．∴x3=﹣（x1+x2）=，点C（，）在椭圆上，代入椭圆方程+=1，整理得，（1）当时，由（I）知，∴．则AB，OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为l，且底边上的高，此时AB，OC及x轴所围成三角形的面积．（2）当时，同理可得AB，OC及x轴所围成三角形的面积．综上所得，直线AB，OC与x轴所围成的三角形的面积为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0．从而有f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∴，分别讨论①当t≥1时，②当t≤0时，③当0＜t＜1时的情况，从而求出t的范围．解答：解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∵，∴φ′（x）==﹣，①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即；②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即﹣﹣（*）由（Ⅰ）知，在[0，1]上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在，使得命题成立．点评：本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题．二.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1几何证明选讲] 22．如图，圆O的直径AB、BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=2a，求ED．考点：圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：计算题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知得∠BAD=∠CAD=∠DBC，∠DBE=∠BAE，由此能证明∠DBE=∠DBC．（Ⅱ）由⊙O的直径AB，∠ADB=90°，由此能求出ED．解答：（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB∴∠DBE=∠DBC…（5分）（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB∴∠ADB=90°，又由（1）得∠DBE=∠DBH，∵HE=2a，∴ED=a．点评：本题考查两角相等的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，通过消去参数将直线l参数方程化成直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，利用圆心到直线l的距离列出关于m的方程即可求得实数m值．解答：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0直线l的直角坐标方程为：y=x﹣m（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，∴圆心到直线l的距离，∴、∴m=1或m=3．点评：[来源:学|科|网Z|X|X|K]本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆相交的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．极坐标方程化成直角坐标方程关键是利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．考点：全称命题；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项解答：（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2﹣2x），∴g（x）=﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）=2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）点评：本题考查二次函数图象与性质．。

哈尔滨市第六中学高三第四次模拟考试

哈尔滨市第六中学2014届高三第四次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}M x N x x +=∈--<，i 为虚数单位，复数21z i=+的实部，虚部，模分别为a ，b ，t ，则下列选项正确的是 ( )A ．a b M +∈B ．t M ∈C ．b M ∈D ．a M ∈ 2．如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y ，则输入值∈x ( ) A ．)3,1[]1,3log (2⋃-- B ．)2,1[]2log ,1(3⋃-- C ．]2,1()2log ,1[3⋃-- D ．]3,1()1,3log [2⋃-- 3．已知命题p ：∃x ∈[0,]2π，cos2x ＋cos x －m ＝0的否定为假命题，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．[－98，－1] B ．[－98，2] C ．[－1,2] D ．[－98，＋∞) 4．关于统计数据的分析，以下几个叙述中，正确的个数为 ( )① 利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；② 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③ 调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④ 已知随机变量X 服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7 ⑤ 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人；A ．2B ．3C ．4D ．55．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上除顶点外的任意一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，△12PF F 的内切圆与边12F F 相切于点M ，则12F M MF ⋅= ( )A ．2aB ．2bC ．22a b +D ．212b6．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如右图所示，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点，下列结论中正确的个数．．有 ( ) ① 直线MN 与1A C 相交； ② MN BC ⊥；③ MN //平面11ACC A ；④三棱锥1N A BC -的体积为3611a V BC A N =-。

黑龙江省哈尔滨市第六中学校第四次模拟考试数学(文科)试卷有答案

)()U C B =（．{0,3,4,5,6}55553．设)(x f 是定义在R 上的函数,则“)(x f 不是奇函数”的充要条件是（） A ．R,()()x f x f x ∀∈-≠- B ．R,()()x f x f x ∀∈-≠ 5．若实数,x y 满足不等式组40300x y x y y --⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，则2z x y =-的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3753516,20a a a a a =+=，则（） A ．B ．C ．D ．128．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n =（）4?i ≤10．如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则输出的S=（）C ．48πD ．192π12．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ,P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系式如图，那么点P 所走的图形是（）．已知向量OA AB ⊥，3OA =，则OA OB =________15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A EC；（1）证明：AD⊥平面1（Ⅲ）假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师，分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师？（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分． ||||MB AB 的值．2)||x 恒成立，求实数黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届校第四次模拟考试数学（文科）试卷答案一、选择题： 1~5．CACBD6~10．AABDC11~12．CC二、填空题 13．1614．9 15．64316．28y x = 三、解答题：17、（Ⅰ）2,3==c a （Ⅱ）27210 18．（1）证明：1,AA ABC CE ABC ⊥⊂平面平面Q 1AA CE ∴⊥1,,AB BC CE AB AB AA A =∴⊥=又I 1111,CE A ABB AD A ABB ∴⊥⊂平面平面 111,CE AD A ABB AD A E ⊥⊥又在正方形中， 11,A E CE E AD A EC =∴⊥平面I111B B H A E H⊥(2)过作于 11111,CE A ABB B H A ABB ⊥⊂平面平面Q 11,CE B H A E CE E ∴⊥=I11111,B H A EC B H B A EC ∴⊥平面故为点到平面的距离1B H =19．解：（Ⅰ）当19x ≤时，；当19x ＞时，38000050000(19)50000570000y x x =+-=-，所以y 与x 的函数解析式为380000,19,()50000570000,19,x y x x x ⎧=∈⎨-⎩N ≤＞．（Ⅱ）由柱状图知，流失的教师数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19．（Ⅲ）若每所乡村中学在今年都招聘19名教师，则未来四年内这100所乡村中学中有70所在招聘教师上费用为38万元，20所的费用为43万元，10所的费用为48万元，因此这100所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为1(387043204810)40100创+??万元．若每所乡村中学在今年都招聘20名教师，则这100所乡村中学中有90所在招聘教师上的费用为40万元，10所的费用为45万元，因此未来四年内这100所乡村中学在招聘教师上所需费用的平均数为1(40904510)40.5100⨯⨯+⨯=万元．比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘19名教师．20．（Ⅰ）12622=+y x （Ⅱ）)2(-±=x y21．解：（Ⅰ）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x----+'=---==．当0a ≤时，()0f x '＞在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞，此时()f x 无单调减区间．当0a ＞时，由()0f x '＞，得2a x ＞，()0f x '＜，得02a x ＜＜，所以函数()f x 的单调增区间为(,)2a +∞，单调减区间为(0,)2a ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 有两个零点，所以0a ＞，()f x 的最小值()02a f ＜，即244l n 02a a a a -+-＜．因为0a >，所以44ln 02aa -+>．令()44l n 2a ha a =-+，显然()h a 在(0,)+∞上为增函数，且3(2)20,(3)4ln 102h h =-=-＜＞0(2,3)a ∴∈存在， 0()0h a =．00()00()03a a h a a a h a a =当＞时，＞；当＜＜时，＜，所以满足条件的最小正整数． 3(3)3(23)0(1)03()a F ln F a f x ==-==又当时，＞，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．22．（Ⅰ）01:1=--y x C 12:222=+y x C （Ⅱ）42 23．（Ⅰ）[1,3]- （Ⅱ）01m ≤≤黑龙江省哈尔滨市2017届第六中学校第四次模拟考试数学（文科）试卷解析无。

2015届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第四次模拟考试理科综合试题

哈尔滨市第六中学校2015届第四次模拟考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷第33－41题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：C:12 H:1 O:16 N:14 Si:28 Na:23 S:32 Fe:56 Cu:64 Ca:40 Al:27 Cl:35.5 Mg:24 F:19 Sn:119 Zn:65第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列关于生命活动变化关系的描述，正确的是A.细胞体积减小，与外界物质交换效率降低B.细胞液浓度减小，植物细胞吸水能力增强C.生长素浓度降低，植物细胞生长速度减慢D.体内血浆渗透压升高，抗利尿激素释放增多2. 下列有关实验操作的描述，正确的是A.取口腔上皮细胞观察DNA和RNA分布时，需先在载玻片上滴一滴生理盐水B.取口腔上皮细胞观察细胞中的线粒体时，需先在载玻片上滴一滴生理盐水C.低温诱导染色体加倍实验中，将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理D.探究温度对酶活性的影响时，将酶与底物溶液在室温下混合后于不同温度下保温3.下列能导致ATP分解的生理过程是：A.氧气进入组织细胞B.葡萄糖和果糖生成蔗糖C.甘油通过细胞膜进入细胞D.[H]和氧气反应生成水4.进行有性生殖的生物后代具有更大的变异性，是因为①减数分裂时发生了交叉互换②减数分裂时发生了自由组合③配子的结合具有随机性④通过有丝分裂的方式产生生殖细胞A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④5.下列物质，不可能存在于正常人体内环境中的是A.有氧呼吸酶B.抗体C.递质D.Na+6.右图为农业生态系统示意图，下列分析不正确的是A．该生态系统中，处于第二营养级的生物有人和家禽家畜B．该生态系统的建立，实现了物质和能量的多级利用C．该生态系统的建立，提高了各营养级间的能量传递效率D．该生态系统中，人处在第二营养级和第三营养级7．如图所示是四种常见有机物的比例模型示意图。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第四次模拟考试数学(理)试题

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知复数*()()n f n i n =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数2. 函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[)1,+∞ 单调递减，(0)0f =，则(1)0f x +>的解集为 A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．29B ．31C ．33D ．354. 已知平面,,m n αβαββ⊥⋂=⊂，则“n m ⊥”是“n α⊥”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为A ．43 B ．83C ．4D ．1636. 直线:8630l x y --=被圆22:20O x y x a +-+=所截得弦的长度为3，则实数a 的值是否开始结束1a = 21a a =+30?a > 输出a是正视图侧视图俯视图A ．1-B ．0C ．1D ．1312- 7．5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是A ．南岗校区B ．群力校区C ．南岗、群力两个校区相等D ．无法确定8. 三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A. 48πB.12πC. 43πD. 323π9．用数学归纳法证明不等式“()2,12131211*≥∈<-++++n N n n n ”时，由 ()2≥=k k n 不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是A. 12-k B.12-kC.k2 D.12+k10．双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为2，双曲线C 与抛物线24y x =的准线交于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为A. 2 B ．3 C ．4 D ．2311. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13lo g (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为 A ．31a - B ．13a - C ．31a -- D ．13a--12．已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则南岗校区群力校区2 0.04 1 23 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 64 0.08 77 0.09 2 4 6201521111a a a m +++=的整数部分是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有种．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A )4,3(-，且法向量为)2,1(-=n 的直线（点法式）方程为0)4()2()3(1=-⨯-++⨯y x ，化简得0112=+-y x ．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A )3,2,1(，且法向量为)1,2,1(--=n 的平面（点法式）方程为．16. 向量(1,1)AB =，(1,3)CD x x =-+，()f x AB CD =⋅，函数()f x 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．18.（本小题满分12分）某企业有100位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为6000元，共提出两种方案.方案一：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为10元，另外两个标的面值为50元；方案二：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为20元，另外两个标的面值为40元．（Ⅰ）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；（Ⅱ）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，面11A ABB 为矩形，1=AB ，21=AA ，D 为1AA 的中点，BD与1AB 交于点O ，⊥CO 面11A ABB ．（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求二面角1A BC B --的余弦值．1B1CCBA1ADO20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan 43F PF ∠=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数21()(0)2f x ax bx a =+≠，()1ln g x x =+．（Ⅰ）若1b =，且()()()F x g x f x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()g x 的图象1C 与函数()f x 的图象2C 交于点M 、N ，过线段MN 的中点T 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点P 、Q ，是否存在点T ，使1C 在点P 处的切线与2C 在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T 的横坐标，如果不存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（Ⅱ）若30DOT ∠=，求BMC ∠．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求PQ 的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数a ，b 满足：2=+b a . （Ⅰ）求ba 11+的最小值m ；（Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使得mx f =)(成立，若存在，求出x 的取值范围，若不存在，说明理由．哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABBAACACCDDC二、填空题： 13.18 14. 14 15. 220x y z +--= 16. 22三、解答题：17. ()2sin(2)16f x x π=++，[0,]2x π∈，72[,]666x πππ+∈ ()f x 的最大值为3--------------6分（2）()2cos 22g x x =+,对称轴为直线2k x π=,()k Z ∈对称中心为(,2)42k ππ+，()k Z ∈--------12分 18. (1) 设方案一某员工获奖金额为X ，则X 的可能取值为20,60,1002411(20)6P X C === 24222(60)3P X C ⋅===,2411(100)6P X C === 则X 的分布列为X 20 60 100P 16 23 16--------------------4分设方案二某员工获奖金额为Y ，则Y 的可能取值为40,60,802411(40)6P Y C === 24222(60)3P Y C ⋅===,2411(80)6P Y C === 则Y 的分布列为Y 40 60 80P 16 23 16--------------------8分(2)60EX EY ==,1600400,33DX DY ==若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以应该选择方案二 ----------------------12分若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 ----------------------12分19．（1）由B AB 1∆与DBA ∆相似，知1AB DB ⊥，又⊥CD 平面11A ABB ，∴1AB CD ⊥，∴⊥1AB 平面BDC ，∴BC AB ⊥1；---------------6分（2）以O 为坐标原点OA 、OD 、OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,33(A ，)0,36,0(-B ，)33,0,0(C ，)0,0,332(1-B ， )33,36,0(=BC ，)0,36,33(--=AB ， )0,36,332(1-=BB ，设平面ABC ，平面1BCB 的法向量分别为),,(1111z y x n =，),,(2222z y x n =，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅0363303336111111y x n AB z y n BC ，∴)2,1,2(1-=n ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅036332033362221222y x n BB z y n BC ，∴)2,2,1(2-=n ， ∴121212270cos ,35n n n n n n ⋅-<>==⋅，∴二面角的余弦值为35702-．-----12分 20.(1) 221341,3c a b+==,2a ∴=∴所求C 的方程为2214x y +=.------4分（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=， ----------------------------6分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+设,D E 中点为00(,)M x y ，22243(,)1414km m k m M k k --++ 1AM k k =-，得②2143k m k+=---------------------10分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得55k >或55k <- 所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为55(,)(,)55-∞-⋃+∞．-------12分 21. 解：（1）1b =时，设函数21()()()ln 1(0)2h x g x f x x ax x x =-=--+> 则211()1ax x h x ax x x+-'=--=-因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解，即210ax x +->，有0x >的解。

黑龙江省哈六中高三数学第四次模拟考试理【会员独享】1

哈尔滨市第六中学2012届高三第四次模拟考试数学试题(理工类)一、选择题：（本大题共12小题，每题5分） 1、在复平面内，复数201211i i i++-对应的点位于复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()a b c ab +-=，则C 等于（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π3、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）4、已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=则tan()4πα-等于（）A ．3 B.3- C.13 D. 13- 5、已知平面向量,m n 的夹角为,6π2,3==，在ABC ∆中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 中点，则AD = ( )A.2B.4C.6D.86、在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，同时从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差绝对值为2或4的概率是（） A.101 B.103 C.52 D.41 7、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（） A.43 B.45 C.47D.438、34)1()1(x x --的展开式2x 的系数是（） A.6- B.3- C.0 D.3 9、已知数列}{n a 的通项公式为)(1log 3*∈+=N n n na n ，设其前n 项和为n S ，则使 A. B. C. D. 左视 ABC1A1B1CD4-<n S 成立的最小自然数n 等于（） A.83 B.82 C.81 D.8010、已知点F 为抛物线x y 82-=的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为（） A.6 B.242+ C.132 D.524+ 11、若正实数,a b 满足1a b +=，则( )A.11a b+有最大值4B ．ab 有最小值14C.D ．22a b +有最小值212、已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个不同的交点，则实数a =（） A ．2()k k Z ∈B ．122()4k k k Z +∈或 C ．0 D ．122()4k k k Z -∈或二、填空题：（本大题共4个小题，每题5分）13、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________14、已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点),(y x M 为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是_______15、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且4,AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为____________16、下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________（1）直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c 。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题含解析

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U R =，设集合{|lg(1)}A x y x ==-，集合{}2,1,x B y y x ==≥则()U A C B =( ).A []1,2 .B [)1,2 .C ()1,2 .D (]1,2【答案】C【解析】试题分析：∵{|lg(1)}A x y x ==-{|1}x x =>,{}2,1,xB y y x ==≥{|2}y y =≥， ∴(){|12}U AC B x x =<<.考点：集合的交集、补集运算.2.已知复数2101z i ii =++++，则复数z 在复平面内对应的点为（ ) .A (1,1) .B (1,1)- .C (0,1).D (1,0) 【答案】C考点：复数除法的计算.3。

若2πθπ<<,且cos 3P θ=,()3cos Q θ=，()13cos R θ=，则,,P Q R 大小关系为（） .A R Q P << .B Q R P << .C P Q R << .D R P Q <<【答案】A【解析】试题分析:∵2πθπ<<， ∴1cos 0θ-<<，∴cos 1313θ<<，31(cos )0θ-<<，13(cos )1θ<-， ∴R Q P <<。

考点：指数函数的图象与性质。

4。

下列说法正确的是（）.A 命题“若x y =，则sin sin x y =”的否命题为真命题.B “直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充分条件是“1=a ”.C 命题“2,10x R x x ∃∈++<"的否定是“2,10x R x x ∀∈++>”.D 命题:若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则21x ≠ 【答案】B考点：命题的真假、充分条件、逆否命题、否命题。

黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第四次模拟考试数学(理)答案

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D CB B DCD B B D A B 13. 02016,12≤+->∀x x x 14.175 15.32 16. 317．（Ⅰ）2n n a =； …5分（Ⅱ）()122n n T n +=-4+…5分18.（1）7,6==y x ；…2分（2）024.5109.62>≈K ,…7分（3）)52,3(~B X ,分12 (5)6=EX19.法一（Ⅰ）取1BC 的中点为R ，连接RF RE ,，则1//CC RF ，1//CC AE ，且RF AE =，…3分则四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，即//AF 平面1REC ．…6分（Ⅱ）延长E C 1交CA 延长线于点Q ，连接QB ,则QB 即为平面1BEC 与平面ABC 的交线，且BQ B C BQ BC ⊥⊥1,，则BC C 1∠为平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角．……8分在1BCC ∆中，55522cos 1==∠BC C ．…………………………12分法二取11C B 中点为S ，连接FS ，以点F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴，FS 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),0,0,3(-C F B A ，)2,0,3(),4,1,0(),4,1,0(),4,0,3(11E C B A -，…2分（Ⅰ）则)0,0,3(-=AF ，)4,2,0(),2,1,3(1-=-=BC BE ，设平面1BEC 的法向量为),,(111z y x m =，则0,01=⋅=⋅BC m BE m ，即⎩⎨⎧=+-=+-04202311111z y z y x …4分令21=y ，则1,011==z x ，即)1,2,0(=m ，所以0=⋅m AF ，故直线//AF 平面1BEC ．…6分（Ⅱ）设平面ABC 的法向量)1,0,0(=n ，则55cos =⋅=n m n m θ．…12分 20. （Ⅰ）24y x = ；4分（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222121,4,,4,1:y y B y y A my x l AB 则联立: ⎩⎨⎧+==142my x x y ⎩⎨⎧-==+442121y y m y y …6分 8<BA 可得12<m …8分,又可得12222+=m m t …10分,所以∈t 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ …12分21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+1=∴a ，1-=b ． …4分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1l n ()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)( (())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴2)(x x f ≥．…8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(， ∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立． ②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m e x ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴ 在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立．综上，23≤m ．…12分 22. 证明：连接OF ,则BF OF ⊥,又OCF OFC ∠=∠,所以DEF EFD OEC ∠=∠=∠ 所以DF DE =，又BA DB DF ⋅=2,所以BA DB DE ⋅=2…10分23.解:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB … 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ，中点M 对应参数为2221-=+t t ，由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分24. （Ⅰ）[]8,2…4分（Ⅱ）当1=a 时, 1)(-=x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<+≤+-=-+-=)2(33)221(1)21(33122)(x x x x x x x x x g …6分所以21=x ,)(x g 最小值23,…8分所以41,2123-≤-≤m m …10分。

黑龙江哈三中2015高三第四次模拟考试数学【理】试卷及答案

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知复数*()()nf n i n =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数 2. 函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[1,单调递减，(0)0f =，则(1)0f x +>的解集为 A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．29B ．31C ．33D ．354. 已知平面,,m n αβαββ⊥⋂=⊂，则“n m ⊥”是“n α⊥”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为A ．43 B ．83C ．4D ．1636. 直线:8630l x y --=被圆22:20O x y x a +-+=a 的值是 A ．1- B ．0 C ．1 D ．1 7．5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是 A ．南岗校区 B ．群力校区C ．南岗、群力两个校区相等D ．无法确定8. 三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A. 48π B.12πC. D.9．用数学归纳法证明不等式“()2,12131211*≥∈<-++++n N n n n ”时，由 ()2≥=k k n 不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是A. 12-k B.12-kC.k 2D.12+k10．双曲线C 的中心在原点，焦点在y C 与抛物线正视图侧视图俯视图24y x =的准线交于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为A. 2 B．4 D．11. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A ．31a -B ．13a -C ．31a-- D ．13a --12．已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则 201521111a a a m +++=的整数部分是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有种．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A )4,3(-，且法向量为)2,1(-=n 的直线（点法式）方程为0)4()2()3(1=-⨯-++⨯y x ，化简得0112=+-y x ．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A )3,2,1(，且法向量为)1,2,1(--=n 的平面（点法式）方程为．16. 向量(1,1)AB = ，CD = ，()f x AB CD =⋅ ，函数()f x 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．18.（本小题满分12分）某企业有100位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为6000元，共提出两种方案.方案一：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为10元，另外两个标的面值为50元；方案二：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为20元，另外两个标的面值为40元．（Ⅰ）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；（Ⅱ）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，面11A ABB 为矩形，1=AB ，21=AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 面11A ABB ．（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求二面角1A BC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F、2F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan F PF ∠= （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.1B1CCBA1ADO21.（本小题满分12分）已知函数21()(0)2f x ax bx a =+≠，()1ln g x x =+．（Ⅰ）若1b =，且()()()F x g x f x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()g x 的图象1C 与函数()f x 的图象2C 交于点M 、N ，过线段MN 的中点T 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点P 、Q ，是否存在点T ，使1C 在点P 处的切线与2C 在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T 的横坐标，如果不存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（Ⅱ）若30DOT ∠= ，求BMC ∠．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求PQ 的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数a ，b 满足：2=+b a . （Ⅰ）求ba 11+的最小值m ；（Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使得m x f =)(成立，若存在，求出x 的取值范围，若不存在，说明理由．哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.18 14. 14 15. 220x y z +--=16. 三、解答题：17. ()2sin(2)16f x x π=++，[0,]2x π∈，72[,]666x πππ+∈ ()f x 的最大值为3--------------6分（2）()2cos22g x x =+,对称轴为直线2k x π=,()k Z ∈对称中心为(,2)42k ππ+，()k Z ∈--------12分 18. (1) 设方案一某员工获奖金额为X ，则X 的可能取值为20,60,1002411(20)6P X C === 24222(60)3P X C ⋅===,2411(100)6P X C === 则X 的分布列为--------------------4分设方案二某员工获奖金额为Y ，则Y 的可能取值为40,60,802411(40)6P Y C === 24222(60)3P Y C ⋅===,2411(80)6P Y C === 则Y--------------------8分(2)60EX EY == ,1600400,33DX DY == 若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以应该选择方案二 ----------------------12分若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 ----------------------12分19．（1）由B AB 1∆与DBA ∆相似，知1AB DB ⊥，又⊥CD 平面11A ABB ，∴1AB CD ⊥，∴⊥1AB 平面BDC ，∴BC AB ⊥1；---------------6分（2）以O 为坐标原点OA 、OD 、OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,33(A ，)0,36,0(-B ，)33,0,0(C ，)0,0,332(1-B ， )33,36,0(=，)0,36,33(--=， )0,36,332(1-=BB ，设平面ABC ，平面1BCB 的法向量分别为),,(1111z y x n =，),,(2222z y x n =，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅0363303336111111y x n z y n ，∴)2,1,2(1-=n ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅036332033362221222y x n BB z y n ，∴)2,2,1(2-=n ，∴121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅∴二面角的余弦值为35702-．-----12分 20.(1)221341,c a b+==2a ∴=∴所求C 的方程为2214x y +=.------4分（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=， ----------------------------6分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+设,D E 中点为00(,)M x y ，22243(,)1414km m k m M k k --++ 1AM k k =-，得②2143k m k+=---------------------10分将②代入①得2221441()3k k k++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k < 所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------12分 21. 解：（1）1b =时，设函数21()()()ln 1(0)2h x g x f x x ax x x =-=--+> 则211()1ax x h x ax x x+-'=--=-因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解，即210ax x +->，有0x >的解。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三数学第四次模拟考试试题文(扫描版)

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015届高三数学第四次模拟考试试题文（扫描版）2015年高三第四次联合模拟考试文科数学答案一．选择题二．填空题 13．1 14．33 15． 3516．{}5,4,3,2,117．(Ⅰ)证明：2n ≥时，133n n S +=-，133n n S -=-，两式相减得133n nn a +=-即23n n a =⨯ ……3分当1n =时，211336a S ==-=，而11236a =⨯=符合上式．综上，对*n N ∀∈，23n n a =⨯． ……4分1123*,323n n nn a n N a ++⨯∀∈==⨯Q 为常数，故数列{}n a 是以６为首项，３公比的等比数列． ……6分 (Ⅱ) 3log 2n n n a b a =⋅Q323log 323n n nn =⨯⨯=⨯ ……8分设1231132333(1)33n n t n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L23413132333(1)33n n t n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L两式相减1231233333nn t n +-=++++-⨯L ，132(31)32n n t n +-=--⨯，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACACABDBCCBD132(13)32n n n T t n +==-+⨯即131()322n n T n +=+-⨯(*n N ∈) ……12分18．(Ⅰ)解：第一组频数为0.006101006⨯⨯=（人），第四组频数为0.0301010030⨯⨯=（人） ∴第二组频数为30624-=（人）Q 第二组、第三组、第五组的频率之比为3:4:1∴设第二组、第三组、第五组的频率分别为3x 、4x 、x 由第二组频数243100x =⨯得0.08x =第二组、第三组、第五组的频率分别为0.24、0.32、0.08． ……3分……5分(Ⅱ)平均数0.00610250.02410350.03210450.03010550.0081065x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯46x =∴（岁） ……7分0.006100.024100.03210(40)0.5n ⨯+⨯+⨯-=，40.625n =∴∴中位数40.625（岁） ……9分(Ⅲ) 设３名男士为１，２，３，２名女士为,a b从中任选２人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,),(1,),(2,3),(2,),(2,),(3,),(3,),(,)a b a b a b a b 共10种，其中事件Ａ“选出的两人都是男士”的基本事件为(1,2),(1,3),(2,3)共３种．年龄（岁）3()10P A =∴ ……12分 19．（Ⅰ）证明：连接AC ,在ABC ∆中，45,ABC ∠=o:AB BC = 设1,AB BC = 则由余弦定理得：1AC ===222AB AC BC +=Q 2BAC AB AC ∠=⊥∴∴π (2)分//AB CD CD AC ⊥∴QPA ⊥Q 面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，CD PA ⊥∴又PA AC A =I ，CD ⊥∴面PAC (4)分AE ⊂Q 面PAC ∴CD AE ⊥． (6)分（Ⅱ）PA ⊥Q 面ABCD ，PA ∴为四棱锥P ABCD -的高1221sin 4512ABC ABCD S S ⨯⨯︒===1111333P ABCD ABCD V PA S PA -=⋅=⨯⨯=1PA =∴连AC ,BD 交于O ，连EOQ 四边形ABCD 为平行四边形O ∴为AC 的中点，又Q E 为PC 的中点//PA EO ∴，1122EO PA ==PA ⊥Q 面ABCD EO ∴⊥面ABCD∴EBO ∠为直线BE 与平面ABCD 所成角 ……9分BCD ∆中，135,1BCD BC CD ∠=︒==，BD ∴=25=BO BEO ∆∴中，190,tan 5EO EOB EBO BO ∠=︒∠=== 即直线PC 与平面BDE所成角的正弦值为5． ……12PAB DC EO分20.解：(Ⅰ) 焦点)2,0(p F ，当直线l 经过抛物线的焦点时，p AB pp B p p A 2),2,(),2,(=- 2222121=⨯⨯=⋅=∆pp OF AB S AOB ，24,202p p p p ==±>=∴∴∴Q ……3分∴抛物线C 的方程y x 42= ……4分(Ⅱ) (0,2)M ，设)4,(200x x N ，直线l ：m y =，线段MN 的中点)18,2(220+x x Q ……5分圆的半径6412140x MN r +==，圆心Q 到直线l 的距离m x d -+=1820 ……7分224022)18(64122m x x d r PQ -+-+=-=∴2202412m m x m -+-=为定值 ……10分101m m -==∴∴此时2=PQ ，直线l ：1=y ……12分21．(Ⅰ)解：))(sin cos cos sin ()(/R x x b x a x b x a e x f x∈-++= ……1分由已知得⎩⎨⎧==2)0(1)0(/f f 解得⎩⎨⎧==11b a ……3分 ()(sin cos )x f x e x x =+∴，/()2cos ()x f x e x x R =∈令/()0f x >得2,2()22x k k k Z ππ⎡⎤∈π-π+∈⎢⎥⎣⎦，令/()0f x <得32,2()22x k k k Z ππ⎡⎤∈π+π+∈⎢⎥⎣⎦，所以单调递增区间为2,2()22k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为32,2()22k k k Z ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦……5分 (Ⅱ)证明：要证当0>x 时)1()(2x x e x f x-+>成立，即证当0>x 时21cos sin x x x x -+>+成立，设2()sin cos 1(0)h x x x x x x =++-->/()cos sin 21(0)h x x x x x =-+->， ……7分设)()(/x h x g =，2cos sin )(/+--=x x x g ，/()sin cos 20g x x x =--+>Q()g x ∴在()+∞,0上单调递增，且0)0(=g ，()0(0)g x x >>∴即当0>x 时0)(/>x h()h x ∴在()+∞,0上单调递增，又0)0(=h Θ),0(+∞∈∴x 时，0)0()(=>h x h ……10分即当(0,)x ∈+∞时21cos sin x x x x -+>+成立即当>x 时)1()(2x x e x f x -+>成立． ……12分22．证明：（Ⅰ）连结OC ,,DAC FAC FAC ACO DAC ACO ∠=∠∠=∠∠=∠∴, //AD OC ∴90ADC ∠=o Q ,90OCD ∴∠=oDC ∴为圆O 的切线 (5)分（Ⅱ）AC AC AFC ADC BAC DAC =︒=∠=∠∠=∠,90,ΘADC ∆∴与AFC ∆全等， DC CF =∴,22,CF AF FB DC DE DA =⋅=⋅AF FB DE DA ⋅=⋅∴ ……10分23．解：（Ⅰ）222:56C x y x ++=，即222:(3)4C x y -+= ……4分（Ⅱ）/1/12:12x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（/t 为参数） ……5分直线经过(1,1)-倾斜角为4π，即2y x =- 射线4πθ=-，0ρ≥即为(0)y x x =-≥，所以(1,1)P - ……6分将//12`12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)4x y -+=，得/2/22)1)4-+-=，即/2/()10t -+=014>=∆Θ∴方程有两个实根/2/1,t t 分别对应点M,N//12////1212//120,01t t t t PM PN t t t t ⎧+=⎪>>+=+=⎨=⎪⎩∴ ……10分24．（Ⅰ）解：当1=a 时，1211x x +>-+等价于⎩⎨⎧>-+---<1)12(11x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤≤-1)12(1211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>--+>1)12(121x x x 解得无解或2131≤<x 或121<<x 综上，原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<131x x ． ……5分（Ⅱ）证明：11(),()36f xg x <<Q 12()(2)3a x a x a =+--∴11 )22(31a x a x -++≤（当且仅当0)2()(2≤-⋅+a x a x 时取等） )]()(2[31x g x f += )61312(31+⨯< 185= 即5||18a <成立． ……10分。

高三第四次模拟考试 (2).docx

否1,0==n S 开始结束① 输出S是n S S += n n 2=高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作哈尔滨市第六中学2015届高三第四次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U R =，设集合{|lg(1)}A x y x ==-，集合{}2,1,xB y y x ==≥则()U AC B =（）.A []1,2 .B [)1,2.C ()1,2 .D (]1,2 2.已知复数2101z i i i =++++，则复数z 在复平面内对应的点为（）.A (1,1) .B (1,1)- .C (0,1) .D (1,0)3. 若2πθπ<<，且cos 3P θ=，()3cos Q θ=，()13cos R θ=，则,,P Q R 大小关系为（）.A R Q P << .B Q R P << .C P Q R << .D R P Q <<4.下列说法正确的是（）.A 命题“若x y =，则sin sin x y =”的否命题为真命题.B “直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充分条件是“1=a ” .C 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>”.D 命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则21x ≠5. 设X 为随机变量，若~X 1(6,)2N ,当(2)(5)P X a P X <-=>时，a 的值为（）.A 3 .B 5 .C 7 .D 96. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（）.A 4?n ≥ .B 8?n ≥ .C 16?n ≥ .D 16?n <7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ).A 12 .B 4 .C 563.D 8338.将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（）.A sin 4y x = .B sin y x = .C sin(4)6y x π=- .D sin()6y x π=-9. 设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则ba 11+的最小值是（）.A 223+ .B 24 .C 6 .D 9210. 已知数列{}n a 为等比数列，且222013201504a a x dx +=-⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为( ).A π .B 2π .C 2π .D 24π11．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) .A 4 .B 7 .C 332.D 312. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）.A [)2,1 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积为 14．已知,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()a b R λλ+∈取最小值时，λ=15．在平面直角坐标系中，实数,x y 满足101010x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，若2z x y =-+，则z 的取值范围是16.若关于x 的函数()2222sin 4(0)2cos tx t x xf x t x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=≠+的最大值为a ，最小值为b ，且2a b += ，则实数t 的值为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证数列}{n d 是等比数列（2）求数列}{n a 的通项公式；18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。

黑龙江省哈尔滨三中高三数学下学期第四次模拟试卷文(

黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．无数2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．执行如图程序框图其输出结果是( )A．29 B．31 C．33 D．354．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为( )A．B．C．4 D．6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )A．南岗校区B．群力校区C．南岗、群力两个校区相等D．无法确定8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( ) A．B．C．D．9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为( )A．48πB．12πC．4πD．32π10．若，则cosα+sinα的值为( )A．B．C．D．11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )A．2 B．C．4 D．12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( ) A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=__________．14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为__________．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=__________．16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=上．（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：（2）求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．无数考点：虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的幂运算，化简求解即可．解答：解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．点评：本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由对称性可得f（2）=0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，讨论x+1≥1，x+1＜1，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．解答：解：由f（x）的图象关于x=1对称，f（0）=0，可得f（2）=f（0）=0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．点评：本题考查函数的单调性和对称性的运用：解不等式，主要考查单调性的定义的运用和不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．3．执行如图程序框图其输出结果是( )A．29 B．31 C．33 D．35考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，a=3，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=7，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=15，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=31，满足输出条件，故输出结果为31，故选：B．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用面面垂直线面垂直判定和性质和充要条件的定义即可判断．解答：解：由于α⊥β，α∩β=m，n⊂β，若n⊥m，根据线面垂直的判断定理，则n⊥α，若n⊥α，根据线面垂直的性质定理，则n⊥m，故平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立充要条件．故选：A．点评：本题以线面垂直面面垂直为载体，考查了充分条件和必要的条件的判断，属于基础题．5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为( )A．B．C．4 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故几何体的体积V==，故选：A．点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．解答：解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2 +a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )A．南岗校区B．群力校区C．南岗、群力两个校区相等 D．无法确定考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据分布，即可得到两地浓度的方差的大小关系．解答：解：根据茎叶图中的数据可知，南岗校区的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，而群力校区的数据分布比较分散，不如南岗校区数据集中，∴南岗校区的方差较小．故选：A点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( )A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为( )A．48πB．12πC．4πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．解答：解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△BAB≌△PAC≈△PBC∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π故选：B．点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．10．若，则cosα+sinα的值为( )A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，故选C点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )A．2 B．C．4 D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4求得一交点坐标，代入双曲线方程求得λ，则双曲线C的实轴长可求．解答：解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，设等轴双曲线C的方程为y2﹣x2=λ，（1）抛物线y2=4x，则2p=4，p=2，∴，∴抛物线的准线方程为x=﹣1．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣1，y=2代入（1），得22﹣（﹣1）2=λ，∴λ=3，∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=3，即，∴C的实轴长为．故选：D．点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( ) A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B点评：本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3•a5，∴8q3=8q2•8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=4且y=2时z取得最大值10．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（0，1），B（3，1），C（4，2），D（0，6）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察l在y轴上的截距变化，可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，2）=2×4+2=10故答案为：10点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=30°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1），可得y2=4+，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1）∴y2=4+≤4+2=6，当x=﹣1时取等号，∴≤y，∴函数f（x）的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，根据x的范围和正弦函数的极值性即可得解；（Ⅱ）由三角函数图形变换规律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴，由2x=k，（k∈Z）可得对称中心．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x=sin2x+1+cos2x，∴，∵，∴，∴f（x）的最大值为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵，将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，∴g（x）=2cos2x+2，∴由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴为直线，（k∈Z）由2x=k，（k∈Z）可得对称中心为，（k∈Z）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数图形变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出从5个球中随机抽取两个球的所有方法种数，再求出两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．（Ⅱ）先求出有放回的从袋子中取出两个球的所有方法种数，再求出y＞|x﹣4|的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：（Ⅰ）从5个球中随机抽取两个球共有=10种不同的情况，而且这些情况都是等可能发生的，其中满足取出的小球编号之和大于5的情况有：（1，5）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共6种，故取出的小球编号之和大于5的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）有放回的从袋子中取出两个球共有5×5=25种不同的情况，而且这些情况都是等可能发生的，其中符合题意的情况有：x=1，y＞3，y=4，5，x=2，y＞2，y=3，4，5，x=3，5，y＞1，y=2，3，4，5x=4，y＞0，y=1，2，3，4，5，x=5，y＞1，y=2，3，4，5，共18种情况，故y＞|x﹣4|的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．解答：（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D （，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CO与平面ABC所成角为α，则sinα==．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由tan∠F1PF2=4．可得cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|=7|PF2|，可得m=7n．利用椭圆的定义及其余弦定理可得，解得即可得出．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由于△＞0，可得4k2+1＞m2，设D，E中点为M（x0，y0），利用根与系数的关系可得：，利用k AM k=﹣1，得，代入△＞0解出即可．解答：解：（I）∵tan∠F1PF2=4．∴cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．联立，解得a=2，m=，n=．∴b2=a2﹣c2=1，故所求C的方程为．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2，①又，设D，E中点为M（x0，y0），，∵k AM k=﹣1，得②，将②代入①得，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或∴存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、余弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（2）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证解答：解：（1）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；（2）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则①令．则因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0则．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO，由切割线定理可得DN2=DT•DM，即可得证；（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．解答：（Ⅰ）证明：连接ON，∠OND=90°，，△OBN为等边三角形，则CN⊥OB，可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO；又DN2=DT•DM，则DT•DM=DO•DC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，且∠TDO=∠CDM，所以△DTO与△DBM相似，则∠DOT=∠DMC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为，所以∠BMC=15°点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=上．（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：（2）求|PQ|的最大值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用消参法，可得P的轨迹方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线的直角坐标方；（2）求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的最大值．解答：解：（1）令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，π]，则点P的轨迹是上半圆：（x﹣1）2+y2=1（y≥0）．曲线C：ρ=，即ρcosθ﹣ρsinθ=10，∴曲线C的直角坐标方程：x﹣y=10…（2）圆心到直线的距离为=，∴|PQ|的最大值为+1．…点评：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得=（）（a+b）=（2++），由基本不等式可得；（2）由不等式的性质可得f（x）≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2，由基本不等式和不等式的性质可得．解答：解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．∴=（）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当=即a=b=1时取等号，∴的最小值m=2；（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．点评：本题考查基本不等式，属基础题．。

高三数学月考试题及答案-哈尔滨第六中学2015届高三第四次模拟考试 (文)

哈尔滨第六中学2015届高三第四次模拟考试数学试卷（文科）参考公式：柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高，球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径，第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 若全集}4|{2≤∈=x R x U ，}02|{≤≤-∈=x R x A ，则=A C U ( ) A.)2,0( B.)2,0[ C.]2,0( D.]2,0[2. 已知复数2101z i i i =+++，则复数z 在复平面内对应的点为（）.A (1,1) .B (1,1)- .C (0,1) .D (1,0)3. 已知角α终边与单位圆122=+y x 的交点为),21(y P ，则=+)22sin(απ（）A.21-B.21 C.23- D.14. 将函数)62sin(π+=x y 的图象向右平移6π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是( )A.x y 4sin =B.x y sin =C.)64sin(π-=x y D. )6sin(π-=x y 5. 设0<x ，且x x a b <<1，则（）A. 10<<<a bB. 10<<<b aC. a b <<1D. b a <<16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 12B. 4C.356 D. 338 7. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（） A.52B. 158C. 53D.109 8. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（）.A 4?n ≥ .B 8?n ≥.C 16?n ≥ .D 16?n < 9. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）A.2B.22C.32D.410. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,, 若,24,1==c a 且ABC ∆的面积为2，则=C sin （） A.414 B.54 C.254 D.4141411. 设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （）A.41 B.31C. 32D.43 12. 已知两条直线m y l =:1和)0(4:2>=m my l ，1l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点B A ,,2l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点D C ,,记线段AC 和BD 在轴上的投影长度分别为b a ,，当m 变化时，ab的最小值是（） A.2 B.4 C.8 D.16 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

黑龙江省哈六中高三数学第四次模拟考试文

是否数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合}1,1{-=M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则=N M （） A.}1,1{- B.}1{-C.}1{D.∅2.如果复数21ai i--是实数，（i 为虚数单位，R a ∈），则实数a 的值是（） A.-4B.2C.-2D.43.若数列{}n a 满足212*()n na p p n N a +=∈为正常数，，则称{}n a 为等方比数列。

甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列。

则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即非充分又非必要条件 4.平面α//平面β，直线a //β，直线b 垂直于a 在β内的射影，那么下列位置关系一定正确的为（） A.a ∥α B.b ⊥α C. b a ⊥ D. b ⊂α 5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）6.在等差数列{}n a 中，9a =12162a +，则数列{}n a 的前11项和11S 等于（）A.24B.48C.132D.66 7．圆0622=-+x y x 过点()2,4的最短弦所在直线的斜率为（）A.2B.-2C. 21-D. 218．执行前面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为（）A ．3B ．4C ．5D ．69.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则等于（）A.3B.-3C. 31D. 31- 10.已知平面向量n m ,的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=， A B C Dn m AC 62-=，D 为BC =AD （）A.2B.4C.6D.811.已知函数2()f x x bx c =++，其中04b ≤≤，04c ≤≤，记函数()f x 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件A ，则事件A 发生的概率为（） A.14 B. 58 C. 38 D. 1212．设集合{}{}|01,|12A x x B x x =≤<=≤≤，函数2,()(),42,()x x A f x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩ 若当0x A ∈时，0[()]f f x A ∈，则0x 的取值范围是（）A ．(1,23log 2)B ．(1,2log 3)C ．(1,32)D ．[0，43]第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在ml mg 100/8020-(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在ml mg 100/80(含80)以上时，属醉酒驾车．据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共300人．如图是对这300人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 .14.已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点2F 作与x 轴垂直的直线，且这条直线与双曲线的一个交点为P ，已知621π=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为______ .15．ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等比数列，且2c a =，则cos B = . 16.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且4,23AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填写在答题纸相应位置上． 17.（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。