均值不等式学案
学案2：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式知识点一 重要不等式对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立． 体验1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数 称为a ，b 的算术平均值；数ab 称为a ，b 的几何平均值． 知识点三 均值不等式1．均值不等式：如果a ，b 都是正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时，等号成立．2．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大． 思考1．均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？思考2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？3．均值不等式的常见变形(1)当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ； (2)若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( )体验3.已知x ＞0，则y ＝x ＋3x ＋2的最小值是________． 体验4.当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是______．(填序号)①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③规律方法均值不等式使用的条件是什么？[提示] 利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． 跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 类型2 利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________． 规律方法1．在理解均值不等式时，从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞P类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 当堂达标1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b 2≥abB ．a ＋1a ≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2 2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<a b<1C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 24．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－55．若a ＞0，b ＞0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________．课堂小结回顾本节知识，自我完成以下问题：1．试比较不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 的区别与联系．[提示] (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ＞0，b ＞0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b 时，等号成立”．2．使用均值不等式应注意哪几点？[提示] (1)均值不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0. (2)常见的变形：a ＋b ≥2ab ，ab ≤a 2＋b 22，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (3)“当且仅当a ＝b 时，取等号”的含义： a ＝b ⇔a ＋b2＝ab .(4)a ，b 可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a ＞0，b ＞0.参考答案知识点梳理知识点一 重要不等式 a ＝b体验1．【答案】C【解析】xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．知识点二 算术平均值与几何平均值 a ＋b2知识点三 均值不等式 1．a ＝b 2．正方形思考1．[提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2. [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． 3．均值不等式的常见变形 (2)≤.体验2.【答案】(1)× (2)× (3)√【解析】(1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验3.【答案】23＋2【解析】∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立．体验4.【答案】③【解析】根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】【答案】B【解析】①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 跟踪训练1．【答案】②【解析】①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2 利用均值不等式比较大小 【例2】【答案】(1)D (2)p ＞q【解析】(1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立；∵b a ＋a b≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q . 跟踪训练2．【答案】B【解析】显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛ 由a ＋b ＞(a ＋b )24⎭⎫也就是a ＋b 4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q . 类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c >9.当堂达标 1．【答案】D【解析】A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D ． 2．【答案】C【解析】∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b 2一定成立．3．【答案】B【解析】∵ab ＜⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12， ∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2 ＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大． 4．【答案】C【解析】由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．5．【答案】98【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34，b ＝23时，等号成立，所以a b ≤98.。
数学新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第1课时 均值不等式 学案
2.2.4 均值不等式及其应用素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b >0)求最值的常用方法及需注意的问题.1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用．2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解．3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆.必备知识·探新知基础知识1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值.前提 给定两个正数a ，b 结论数a ＋b2称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值(2)前提 __a ，b __都是正数结论 a ＋b2≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0.(2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．基础自测1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的条件为( B )A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ．3．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是__4__.解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1a，即a ＝1(－1舍)时取等号．4．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为__14__，此时x ＝__12__.解析：因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝(12)2＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.5．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是__2__.解析：xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．关键能力·攻重难类型 对均值不等式的理解 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2(2)不等式a ＋1≥2a (a >0)中等号成立的条件是( C ) A ．a ＝0 B ．a ＝12C ．a ＝1D ．a ＝2思路探究：(1)使用均值不等式的前提条件是a >0，b >0；(2)均值不等式中，等号成立的条件是a ＝b .解析：(1)对于A 项，当a ＝b 时，应有a 2＋b 2＝2ab ，所以A 项错；对于B ，C ，条件ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D 项，因为ab >0，所以b a ，a b >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. (2)因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2a 中等号成立当且仅当a ＝1.归纳提升：在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等” 一正，a ，b 均为正数； 二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a ＝b 有解． ┃┃对点训练__■1．若a ，b ∈R ，则下列不等式恒成立的是( C ) A ．|a ＋b |2≥|ab |B ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2D ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4解析：令a ＝－2，b ＝2，则A 错误，B 也错误，D 也错误．对于C ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2a 2＋2b 2≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，故C 正确．类型 利用均值不等式求最值 ┃┃典例剖析__■ 1．和为定值求积的最值典例2 已知0<x <13，求代数式x (1－3x )的最大值．思路探究：由题可知1－3x >0，配凑x 的系数，易知3x ＋(1－3x )为定值1，则可以利用均值不等式求解．解析：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112.归纳提升：求两数积的最值时，一般需要已知这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用均值不等式求最值，变形后仍要求满足“一正、二定、三相等”．2．积为定值求和的最值典例3 (1)已知x >54，求代数式4x －2＋14x －5的最小值；(2)已知x <54，求代数式4x －2＋14x －5的最大值．思路探究：(1)由x >54，得4x －5>0，且(4x －5)·14x －5为定值1，故把4x －2＋14x －5改写成4x －5＋14x －5＋3即可．(2)由于x <54，得4x －5<0，故求的不是最小值，而是最大值，故要做两方面的转化，一是将负数转化为正数，另一方面需要将两式变形，使两数积为定值，再利用均值不等式解答．解析：(1)∵x >54，∴4x －5>0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5，当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，4x －2＋14x －5取得最小值5.(2)∵x <54，∴4x －5<0，∴5－4x >0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x )＋15－4x ]＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时取等号．故当x ＝1时，4x －2＋14x －5取得最大值1.归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．3．变换技巧“1”的代换典例4 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．思路探究：要求x ＋y 的最小值，根据均值不等式，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，可进行“1”的代换，也可以“消元”等．解析：方法一：(“1”的代换)： ∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy .∵x >0，y >0，∴y x ＋9xy ≥2y x ·9xy＝6， 则x ＋y ≥16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 方法二：(消元法)： 由1x ＋9y ＝1，得x ＝y y －9. ∵x >0，y >0，∴y －9>0.∴x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y －9>0，∴y －9＋9y －9≥2(y －9)·9y －9＝6，则x ＋y ≥16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号，此时x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用均值不等式求最值． ┃┃对点训练__■2．(1)已知x >0，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11(2)当x >1时，x 2＋8x －1的最小值为__8__；(3)已知0<x <12，求12x (1－2x )的最大值．解析：(1)因为x >0，y >0且x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(x ＋4y )＝1＋4y x ＋xy ＋4≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当x ＝13，y ＝16时取等号．(2)令t ＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2，因为x －1>0，所以t ≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，t 的最小值为8.(3)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x (1－2x )≤14(2x ＋1－2x 2)2＝116，所以当且仅当2x ＝1－2x (0<x <12)，即x ＝14时，12x (1－2x )的最大值为116.课堂检测·固双基1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －b <0 B ．0<a b <1C ．ab <a ＋b 2D ．ab >a ＋b解析：因为a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．2．已知当x ＝a 时，代数式x －4＋9x ＋1(x >－1)取得最小值b ，则a ＋b ＝( C ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x >－1，得x ＋1>0，9x ＋1>0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2(x ＋1)×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.3．已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为__3__，取得最大值时y 的值为__2__.解析：因为x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，所以xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．4．已知x >0，y >0，且xy ＝100，则x ＋y 的最小值为__20__. 解析：x ＋y ≥2xy ＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取“＝”． 5．求t ＝x ＋1x 的取值范围.解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x 即x ＝1时，“＝”成立，所以x ＋1x≥2.当x <0时，x ＋1x ＝－(－x ＋1－x )≤－2－x ·1－x＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时“＝”成立．所以x ＋1x ≤－2故t ＝x ＋1x 的取值范围为{t |t ≤－2或t ≥2}．。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式学案
均值不等式学习目标：1、了解基本不等式的证明过程；2、会用基本不等式解决简单的最值问题；3、认识到数学是从实际中来，体会探索与发现的过程.重点：理解均值不等式.难点：均值不等式的应用.一、 引入新知：均值不等式思考1、已知长宽为,a b 的矩形，分别做与其等周长和等面积的两个正方形， 哪个正方形用料最省？边长: 边长:比较过程：两个正数,a b 的算术平均数： 几何平均数： 均值定理：若 则2a b +≥， 时，等号成立. 二、 合作探究：均值不等式的几何解释AB 为直径,D 为AB 上一点, ,AD a BD b ==,过D 做垂直于AB 的半弦BC,O 为圆心， 连接AC,BC,OC 利用图形探究几何解释几何解释：三、 精讲点拨、展示分享：由例2求解过程总结利用均值不等式求最值的条件：12x x +≥=例1、下列说法是否正确(1)0,b a ab a b >+≥(2)若则222244sin 4sin 4sin sin x x x x+≥∴+(3)的最小值为22100,m 例、(1)用篱笆围成面积为 的矩形菜园矩形长、宽各为多少时所用篱笆最短? 最短是多少？36,m (2)一段长为 的篱笆围成矩形菜园矩形长、宽各为多少时菜园面积最大？ 最大面积是多少?四、 变式训练五、 归纳总结本节课所学主要知识：六、 作业：A 班：课本习题3-2A(T 1-5)，校本均值不等式第一课时巩固提升T1-T 10.B 班：课本习题3-2A(T 1-5)，校本均值不等式第一课时巩固提升T1-T 7.,3,a b ab a b ab a b =+++思考：正数 满足求 和 的取值范围36,m 一长为 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园墙长20米,矩形长、宽各为多少时菜园面积最大？最大面积是多少?。
均值不等式学案
§ 均值不等式（1）学习目标：1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。
重点难点：重点：理解均值不等式; 难点：均值不等式的应用。
一、 探求新知如何用代数法证明均值定理：,,2a b a b R ++∈≥如果那么a b =时，等号成立。
二、深度研究：（1）均值定理内容：________________________________________________________.对任意两个正实数,a b ，数2a b +叫做,a b 的__________叫做,a b 的__________ 均值定理的文字表述：___________________________________________________________. 均值不等式中等号成立条件是： _______________________.（2）均值不等式与不等式222a b ab +≥的关系如何（3）均值定理的几何解释：做线段AD=a ，延长AD 至点B ，使DB=b （,0a b >）以AB 为直径做半圆O ，过D 点做CD AB ⊥于D ，交半圆于点C ，连接AC ，BC ，OC 。
当点D 在线段AB （端点除外）上运动时，试探讨OC 与CD 的大小关系。
三、学以致用：探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：例1：已知0,ab >求证：2,b a a b +≥并推导出式中等号成立的条件．跟踪练习1：（1）求函数1y x x=+（0x >）的值域。
（2）已知,,a b R +∈求证：11()() 4.a b a b++≥探究二、利用均值不等式求最值：m，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最例2 ：（1）一个矩形的面积为1002短最短周长是多少（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大最大面积是多少由例2的求解过程，可以总结出以下规律：【结论】跟踪练习2：（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大跟踪练习3：一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大求出这个最大值。
学案1：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式知识点 均值不等式1.给定两个正数a ，b ，数a ＋b 2称为a ，b 的算术平均值，数ab 称为a ，b 的几何平均值． 2．如果a ，b ，当且仅当 时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大．自主检测1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2＞2|ab | 2．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b≥2 3．若x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1x ＋y ＞14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1 题型探究探究一 用均值不等式判断不等式的成立例1.有下列式子：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 方法提升利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0.跟踪训练1.设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜433，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N 探究二 用均值不等式证明不等式例2.(1)证明不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .方法提升利用均值不等式证明不等式的注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用. 知识拓展一、千变万化，不离其宗►逻辑推理均值不等式的几种常见变形及结论(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)；(2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b ≥2(ab ＞0)； (5)a ＋k a≥2k (a ＞0，k ＞0)； (6)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b 都是正实数)．[典例] 已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋ac ＋bc ≤1.二、忽视均值不等式的条件►逻辑推理[典例] 设y ＝x ＋1x，求y 的取值范围．参考答案知识点梳理知识点 均值不等式2．≥ a ＝b3．正方形自主检测1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B题型探究探究一 用均值不等式判断不等式的成立例1.【解析】∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故①不正确；对于②，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋b ab＝－2＜2，故③不正确；对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.【答案】C跟踪训练1.【解析】M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝x (43－3x )＝13×3x (43－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43－3x 22＝4. ∴M ＞N .【答案】A探究二 用均值不等式证明不等式例2.(1)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ac .∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )(当且仅当a ＝b ＝c 取等号)∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＞0，ac b ＞0，ab c ＞0. 则bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋ab c≥2a . 由不等式的性质知，2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . [典例] 证明：∵ab ≤a ＋b 2，bc ≤b ＋c 2，ac ≤a ＋c 2，∴ab ＋ac ＋bc ≤2(a ＋b ＋c )2＝1. 故原不等式成立．[典例]解：当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”． 当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1－x], ∵(－x )＋1－x ≥2,∴－[(－x )＋1－x]≤－2. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝－1时取“＝”． ∴y 的取值范围为{y |y ≤－2或y ≥2}.。
学案4：§3.2 均值不等式
§3.2 均值不等式自主学习 知识梳理1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2______2ab (当且仅当________时取“＝”号)．2．若a ，b 都为________数，那么a ＋b2________ab (当且仅当a ________b 时，等号成立)，称上述不等式为________不等式，其中________称为a ，b 的算术平均值，________称为a ，b 的几何平均值． 3．均值不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22 (a ，b ∈R )； (2)当x >0时，x ＋1x ≥________；当x <0时，x ＋1x ≤________.(3)当ab >0时，b a ＋ab ≥________；当ab <0时，b a ＋ab≤________.(4)a 2＋b 2＋c 2________ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )． 自主探究1.下面是均值不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ，连结AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝__________，而OD ＝__________，因为OD ________CD ，所以a ＋b 2________ab ，当且仅当C 与O ________，即________时，等号成立．2．当a >0，b >0时，21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明．例题解析例1．已知ab >0，求证：2b aa b+≥，并推导出式中等号成立的条件.例2．（1）一个矩形的面积为100m 2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？例3．求函数223()(0)x x f x x x-+-=>的最大值，及此时x 的值. 课堂练习 一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b 中最小的是( ) A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2ab a ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <14．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0B ．－2C ．－52D ．－35．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________． 8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 三、解答题 9．已知a 、b 、c都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥a ＋b ＋c23.10．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2.参考答案自主学习 知识梳理 1．≥ a ＝b2．正 ≥ ＝ 均值a ＋b2ab3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥ 自主探究 1.aba ＋b2≥ ≥ 重合 a ＝b 2.证明 由于ab ≤a ＋b 2成立，只须证明ab ≥21a ＋1b 和a 2＋b 22≥a ＋b2成立即可． ∵ab －21a ＋1b ＝ab －2ab a ＋b ＝(a ＋b )ab －2aba ＋b＝ab (a ＋b －2ab )a ＋b ＝ab (a －b )2a ＋b ≥0∴ab ≥21a ＋1b ，即21a ＋1b≤ab .∵⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋b 22－(a ＋b )24 ＝2(a 2＋b 2)－(a ＋b )24＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a ＋b )24≥0.∴a 2＋b 22≥a ＋b 2，即a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 所以21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22. 给出证明． 例题解析例1．证明：因为ab >0，所以0,0b aa b>>， 根据均值不等式得22b a b aa b a b +⋅=≥，即2b a a b+≥ 当且仅当b aa b=时，即a 2=b 2时式中等号成立， 因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a =b .例2．【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值. 解：（1）设矩形的长、宽分别为x (m)，y (m)，依题意有xy =100(m 2)，因为x >0，y >0，所以2x yxy +≥因此，即2(x +y )≥40.当且仅当x =y 时，式中等号成立， 此时x =y =10.因此，当这个矩形的长与宽都是10m 时，它的周长最短，最短周长是40m. （2）设矩形的长、宽分别为x (m)，y (m)， 依题意有2(x +y )=36，即x +y =18， 因为x >0，y >0，所以2x yxy +≤因此xy ≤9将这个正值不等式的两边平方，得xy ≤81, 当且仅当x =y 时，式中等号成立， 此时x =y =9，因此，当这个矩形的长与宽都是9m 时，它的面积最大，最大值是81m 2. 例3．解：3()1(2)f x x x=-+，因为x >0， 所以3322226x x x x+⋅=≥ 得3(226x x-+)≤- 因此f (x )≤ 126- 当且仅当 32x x =，即 232x =时，式中等号成立. 由于x >0，所以 62x =，式中等号成立， 因此 max ()126f x =-，此时62x = . 课堂练习 1．【答案】D【解析】2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.可知2aba ＋b最小． 2．【答案】A【解析】∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2×1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .3．【答案】B【解析】∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2＝1，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22. 4．【答案】B【解析】x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立 ⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 5．【答案】A【解析】∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．c ＋d ≥2cd ，∴c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时取等号． 故c ＋d ≥ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时取等号． 6．【答案】2【解析】∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2.7．【答案】大 －1【解析】∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8.【答案】2 【解析】由已知a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y max ，∵x ＋y2≤ x ＋y2成立， ∴x ＋y ≤2·x ＋y ∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y max ＝2，∴a ≥ 2.9．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ①b 2＋c 2≥2bc ②c 2＋a 2≥2ac ③a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2④ 由①＋②＋③＋④得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23. 10．证明 ∵xy ＝1∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．。
均值不等式学案
均值不等式一．考纲要求基本不等式：,0)2a b a b +≥≥1、了解基本不等式的证明过程。
2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二．命题规律常以选择题、填空题的形式出现，难度通常为中低档。
由于应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，所以经常与其他内容综合出题。
在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等，难度一般不会太高。
三．知识梳理 1.基本不等式2a b +≥① ；②当且仅当，2a b +≥2. 利用基本不等式求最大（小）值问题时，要注意以下三点：①2a b+≥中 ，即各项均为正数。
②只有和a+b 为 时，积ab 才 有最 值；只有积ab 为定值时，和a+b 才有最 值。
③只有时，2a b +≥a=b 时，2a b +才能取得最小值a=b2a b +。
以上三条可以总结为一 二 三3．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
此外还要掌握如下常用不等式 （1）、2,0,0a R a a ∈≥≥; （2）222()22a b a b ++≥，（3）、222a b c ab bc ac ++≥++（4）、 若a>b>0,m>0,则 b b m aa m+<+；（5）、若a,b 同号且a>b 则11a b<；（6）、不等式链：20,0112a b a b a b+>>≥≥≥+，a=b 时取“=” 四．基础巩固1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18B ．36C ．81D ．2433．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.234．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．五．考点突破考点一：利用均值不等式求最值[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________．(2)设x,y R +∈,且满足440x y +=，lg lg x y +的最大值是 (3)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(4)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6变式训练1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．（3）已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n + 的最小值是 .（4）函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．考点二 解决恒成立问题例2.（1）若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．（2）已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 变式训练2、（1）若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)1（2）、已知不等式1()()9ax y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8考点三 由等式求取值范围问题 例3.已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.4.1 均值不等式 (含答案)
2．2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值．前提给定两个正数a，b结论数a＋b2称为a，b的算术平均值数ab 称为a，b的几何平均值(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论a＋b2≥ab ，等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．(3)本质：算数平均值的本质就是数a ，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a ，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值．(1)均值不等式中的a ，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：Xa ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．(2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2 ≥（－3）×（－4） 是不成立的． 2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( )提示：×．不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2 ≥ab成立的条件是a >0，b >0.(2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( ) 提示：√．均值不等式的变形公式．(3)当a >0，b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2.( ) 提示：√．均值不等式的变形公式． (4)函数y ＝x －1＋1x －1的最小值是2.( )提示：×．当x －1<0，即x ＜1时，x －1＋1x －1 是负数．2．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．4【解析】选A.当a ，b 为正实数时，由ab ≤a ＋b 2 ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为1. 3．(教材例题改编)已知x >1，y ＝x ＋1x －1 ，则y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.因为x >1，则x －1>0，由基本不等式得y ＝x －1＋1x －1＋1≥2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时，等号成立，因此，y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0.其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”，即当ba ，ab 均为正数时，可得b a ＋ab ≥2，此时只需a ，b 同号即可，所以①③④均满足要求．2．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝12 C ．a ＝1 D ．a ＝2【解析】选C.因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a 中等号成立当且仅当a ＝1. 3．若a >0，b >0，且M ＝a ＋b2 ，G ＝ab ，H ＝a 2＋b 22 ，则M ，G ，H 的大小关系为________．【解析】因为a >0，b >0，所以有a ＋b2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，因此有M ≥G .a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2＋a 2＋b 2≥2ab ＋a 2＋b 2⇒a 2＋b 2≥（a ＋b ）22 ⇒a 2＋b 22 ≥（a ＋b ）24(当且仅当a ＝b 时取等号)，因为a >0，b >0，所以有a 2＋b 22 ≥a ＋b2 ，因此有H ≥M . 答案：H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab <a ＋b 2 B ．a<ab <a ＋b2 <b C ．a<ab <b<a ＋b 2 D ．ab <a<a ＋b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ，所以0< a < b ，所以a<ab ，同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ，所以a ＋b 2 <b ，由均值不等式可得，ab <a ＋b 2 ，综上，a<ab <a ＋b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时，求x 2＋8x －1 的最小值．探求解书写表达令t＝x2＋8x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2，①因为x－1＞0，所以t≥2（x－1）·9x－1＋2＝8，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时，t的最小值为8.②注意书写的规范性：①为了表达式的完整性，可以将表达式记为t＝x2＋8x－1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键，ax2＋bx＋cdx＋e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m(dx＋e)2＋n(dx＋e)＋q的形式(m，n，q为常数)并展开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必须一正、二定、三相等，三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型：①若a＋b＝p(两个正数a，b的和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab ≤a＋b2求得．②若ab＝S(两个正数的积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S ，可以用均值不等式a＋b≥2ab 求得．(2)一个关注点：不论哪种情况都要注意等号取得的条件．(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝ab ＋a ＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝k⊙xx的最小值为________．【解析】由题意得1⊙k＝k ＋1＋k＝3，即k＋k －2＝0，所以k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k＝1.y＝k⊙xx ＝x＋x＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2x×1x＝3，当且仅当x ＝1x，即x＝1时，等号成立．答案：1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式．(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．2．利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负．(2)直接使用均值不等式求解，特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验．【拓展训练】对任意x>0，xx 2＋3x ＋1的最大值为________．【解析】由题意，对任意x>0，有x x 2＋3x ＋1 ＝1x 2＋3x ＋1x ＝1x ＋1x ＋3≤12x·1x ＋3 ＝15 ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立， 即x x 2＋3x ＋1 的最大值为15 . 答案：15总结：本题主要考查了均值不等式的应用，解答中对xx 2＋3x ＋1 进行等价转化求得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0，则3x ＋12x 的最大值为________． 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值． 【解析】因为x<0，所以－x>0.则3x ＋12x ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－x ＋（－3x ） ≤－212（－x ）·（－3x ） ＝－12，当且仅当12－x＝－3x ，即x ＝－2时，3x ＋12x 取得最大值为－12. 答案：－12若条件改为“x<1”，结论改为“则3(x －1)＋12x －1 的最大值为________．”如何求解？【解析】因为x<1，所以x －1<0，故－(x －1)>0，所以3(x －1)＋12x －1 ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3（x －1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ≤ －2－3（x －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ＝－12，当且仅当－3(x －1)＝－12x －1 ，即x ＝－1时，3(x －1)＋12x －1 取得最大值－12.答案：－12“不定”问题【典例】(1)已知x>2，求x ＋1x －2的最小值．【思路导引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值． 【解析】(1)因为x>2，所以x －2>0，所以x ＋1x －2 ＝x －2＋1x －2 ＋2≥2（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2 ＋2＝4，所以当且仅当x －2＝1x －2 (x>2)，即x ＝3时，x ＋1x －2 的最小值为4.(2)已知0<x<4，求x(8－2x)的最大值．【解析】因为0<x<4，所以8－2x>0，所以x(8－2x)＝12 ×2x(8－2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋8－2x 2 2 ＝8， 所以当且仅当2x ＝8－2x ()0<x<4 ， 即x ＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.若把本例(1)改为：已知x<54 ， 试求4x －2＋14x －5的最大值．【解析】因为x<54 ，所以4x －5<0，5－4x>0. 所以4x －5＋3＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x ＝1，x ＝1时，4x －2＋14x －5的最大值是1.1．负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1，则3a ＋2b 的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．26【解析】选C .根据题意，正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1， 则3a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝15 时等号成立． 即3a ＋2b 的最小值是25.2．不等式9x －2 ＋(x －2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x －2 ＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).3．已知x<0，则x ＋94x 的最大值是________．【解析】已知x<0，则x ＋94x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋9－4x ≤－294 ＝－3，当－x ＝9－4x，即x ＝－32 时，等号成立．答案：－3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D .因为a>b>0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a(a －b)＋1a （a －b ） ≥2＋2＝4，(当且仅当ab ＝1且a(a －b)＝1即a ＝ 2 ，b ＝22 时，取“＝”号)，故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中，正确的是( ) A ．x ＋4x 的最小值是4B ．x 2＋4 ＋1x 2＋4的最小值是2C ．如果a>b ，c>d ，那么a －c>b －dD ．如果ac 2>bc 2，那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案．【解析】选D .选项A 中，若x<0，则无最小值，所以错误；选项B 中，t ＝x 2＋4 ≥2，则函数y ＝x 2＋4 ＋1x 2＋4转化为函数y ＝t ＋1t ，在[2，＋∞)上单调递增，所以最小值为52 ，所以错误； 选项C 中，若a ＝c ，b ＝d ，则a －c ＝b －d ，所以错误； 选项D 中，如果ac 2>bc 2，则c≠0，所以c 2>0，所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定； (2)使用均值不等式，检验等号是否成立，成立即运用均值不等式，否则结合单调性加以求解．下列各式中，最小值是2的为( )A ．(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1B ．(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2C ．(x 2＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1 D ．x 2＋3 ＋1x 2＋3【解析】选C .选项A ，只有当x ＋1>0，即x ＞－1时，才有(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1≥2（x ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)成立，此时(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 的最小值为2，当x ＋1<0，即x<－1时，(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 没有最小值，因此选项A 是错误的；选项B ，只有当x ＋2>0，即x ＞－2时，才有(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 ≥2（x ＋2）·1（x ＋2）＝2(当且仅当x ＝－1时取等号)成立，此时(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 的最小值为2，当x ＋2<0，即x ＜－2时，(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 没有最小值，因此选项B 是错误的；选项C ，因为x 2＋1>0，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)，因此⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 的最小值为2，所以本选项是正确的； 选项D ，因为x 2＋3 >0，所以x 2＋3 ＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，x 2＋3 ＝1x 2＋3⇒x 2＋3＝1⇒x 2＝－2方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的．1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【解析】选C.xy ≤x 2＋y 22 ＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．2．(2021·烟台高一检测)已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．10B ．12C ．16D ．9【解析】选D.由已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )恒成立，转化成求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )的最小值，y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋ab ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝2b 时等号成立，所以m ≤9.3．(教材练习改编)已知x>3，y ＝x 2－3x ＋1x －3 ，则y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选D .因为x>3，所以x －3>0，则y ＝x 2－3x ＋1x －3＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时取等号． 4．已知0<x<4，则4x ＋14－x 的最小值为________，此时x ＝________．【解析】因为x ＋4－x4 ＝1，且0<x<4，所以4x ＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋14－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4＋4－x 4 ＝54 ＋x 4（4－x ） ＋4－x x ≥54 ＋2x 4（4－x ）·4－x x ＝94 ，当且仅当x ＝83 时等号成立．答案：94 835．若a>0，b>0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________． 【解析】因为a>0，b>0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34 ，b ＝23 时，等号成立，所以a b ≤98 . 答案：98。
学案3：3.2 均值不等式
3.2 均值不等式学习目标：1.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.利用均值定理求极值.3.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用学习过程：知识梳理：1．一个常用的均值不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．均值不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．方法突破：一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． 例1：函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a >f (x )恒成立⇔a >[f (x )]max ，a <f (x )恒成立⇔a <[f (x )]min .例2：已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m 2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m 2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m 2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m 2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．52．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．143．求f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x(0<x <1)的最值．4．已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．5．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．6．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案方法突破：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.证明 因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1.所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1. 例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A ＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．【解析】∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 【答案】C2．【解析】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】B3．解：∵0<x <1，∴(－log 2x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0.∴(－log 2x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2 (－log 2x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x≤2－2 5. 当且仅当log 2x ＝5log 2x时，即x ＝2－5时取等号． ∴f (x )max ＝2－2 5.4．解：利用三角代换可避免上述问题．∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α(α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π)) ∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．5．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.6．解：方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1. ∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3，b ＝3时，取“＝”． 方法二 利用均值不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1·x 2＝ab >0x 1＋x 2＝ab －3>0Δ＝(3－ab )2－4ab ≥0其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1.∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a ＝b ＝3时取“＝”．。
均值不等式教、学案doc
第四届学生教学技能竞赛教学设计学院：数学与计算机科学学院班级：数计（1）班课程名称：均值不等式参赛组别：高中理科组参赛组员：刘恺孟天碧张明雪李红简浩淼贵州师范大学教务处制2013年5月18 日目录1.教案………………………………………………….1~5页2.学案………………………………………………….6~8页3.选用教材封面复印件……………………………..9页教材分析教学内容地位与作用《均值不等式》教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究公式的推导过程及公式的简单应用。
本节课《均值不等式》是《数学必修五（人B教版）》第三章第二节的内容。
均值不等式是高中数学的重要内容，是不等式的补充，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和根据。
就应用价值来看均值不等式在求最值问题中起到了工具性作用,是研究数量大小关系的必备知识。
就内容的人文价值上来看，均值不等式探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体，是学生以后学习工作中必备的数学素养。
学情分析1.认知方面：学生已掌握不等式的定义及运用，在此基础上学习均值不等式，学生就容易掌握均值等不等式。
2认知水平与能力：高二学生已经初步具有解决问题和合作探究的能力，能在教师的引导下独立和合作地解决一些问题，但在对知识的思维严密性和整合能力还需要加强。
3.情感方面：通过对公式的推导和探索，激发学的求知欲，带来自信和成就感，建立学生对数学学习的信心，并感受公式的简洁美和严谨美。
通过均值不等式的情景引入增加了学生的学科综合的能力。
<<均值不等式>>教案（教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）教 学 目 标1、知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解它的几何意义，并掌握定理使用的限制和等号取到的条件。
均值不等式 学案 能力维度
均值不等式学案能力维度标题：均值不等式学案学案目标：通过学习均值不等式，提升学生的问题解决能力和数学思维能力。
学案步骤：1. 引入：通过一个简单的例子引入均值不等式的概念。
例如：小明考试中有5门科目的成绩，分别为70、75、80、85、90。
我们想知道这5门科目的平均成绩和总成绩之间的关系。
2. 学习均值不等式：解释什么是均值不等式，以及其数学表达式。
均值不等式指出，对于任意一组正数，算术平均数大于等于几何平均数，而几何平均数又大于等于调和平均数。
写出均值不等式的数学表达式为：(a+b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab/(a+b)，其中a和b为任意正数。
3. 探索应用：让学生通过对不同数值的比较和运算，探索均值不等式在实际问题中的应用。
例如，比较4和9的平方根与它们的平均数，验证均值不等式的成立。
4. 阐述证明思路：讲解均值不等式的证明思路，如何通过数学推理和逻辑来证明均值不等式的有效性。
鼓励学生思考并尝试自己推导证明均值不等式。
5. 拓展应用：给出更复杂的实际问题，让学生运用均值不等式解决。
例如，小明和小红一起打篮球，小明每次投篮命中率为70%，小红每次投篮命中率为80%，他们两人一起投篮的命中率是否一定高于80%？6. 总结与归纳：总结学习内容，让学生用自己的话归纳均值不等式的概念和应用方法，并反思学习过程中遇到的困难和收获。
7. 练习与巩固：布置一些均值不等式相关的练习题，让学生巩固所学知识。
学案评价方式：通过学生在探索应用和拓展应用环节的表现来评价学生的问题解决能力和数学思维能力。
同时，对学生在总结与归纳环节的归纳总结和思考能力进行评价。
3.2均值不等式学案
§3.2均值不等式一．重要不等式：如果R b a ∈,，那么”）时，取“（当且仅当==≥+b a ab 2b a 22 <注>①a 和b 代表的是实数，既可以是具体的数字，也可以是代数式.②”当且仅当”的含义是等价。
即当a=b 时,取”=”，反之取”=”时，必有a=b.③结论的形式可以是ab 2b a 22≥+，也可以是222b a ab +≤。
二．均值定理如果____,∈b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当_______时，式中等号成立。
通常这个定理称为均值不等式三．对均值定理的理解对任意两个正实数a ，b ， 2b a +叫做a ，b 的__________ab 叫做ab 的__________ 所以均值定理可以表述为：___________________________________________例1：已知ab>0，求证2≥+ba ab ，并推导出式子中等号成立的条件例2：（1）一个矩形的面积为100㎡.问这个矩形的长宽各为多少时， 矩形的周长最短，最短周长是多少？（2）已知矩形的周长伟36m ，问这个矩形的长宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？四．最值定理已知x ，y 都是正数，则①如果x+y 是定值S ，那么当x=y 时，xy 有最大值______②如果xy 是定值P ， 那么当x=y 时，x+y 有最小值__________ 即两个正数______________,__________________<注>利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件①各项均为正数 ②和或积为定值 ③等号必须成立即_________________例3：若a>0，b>0，则ba D ab C ba Bb a A 112,,2,222+==+=+=按从大到小的顺序排列为____________________________________五．均值不等式的几种特殊变形（1）()+∈≥+R a a a 21（2）()021<-≤+a a a（3）()+∈≥+R b a b aa b ,2。
文科一轮学案7.2 均值不等式
第七章 不等式学案7.2 均值不等式自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b2，几何平均值为ab ，均值定理可以表述为 . 4.利用均值不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件.( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( )第七章 不等式考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 利用均值不等式求最值 命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________. (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________.变式训练： (1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y (m >0)的最小值为3，则m 等于( )A.2B.2 2C.3D.4(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.第六章 数列考点二 均值不等式与学科知识的综合命题点1 用均值不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A.9B.12C.18D.24变式训练：(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________.考点三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.第七章 不等式变式训练：某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元).当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？当堂达标：1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.822.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥83.若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3第六章 数列C.3D.44.(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.5.(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________.巩固提高案 日积月累 提高自我1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.54.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 35.已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.06.(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )第七章 不等式A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q7.已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B.2 2C. 2D.2 8.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A.1B.6C.9D.169.若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________.10.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________. 11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值.学案7.2 均值不等式自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.均值不等式ab ≤a ＋b2第六章 数列(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b 2，几何平均值为ab ，均值定理可以表述为两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值. 4.利用均值不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件.( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 利用均值不等式求最值第七章 不等式命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立.(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________. (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时，a 的值为________.第六章 数列答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立.又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值.第七章 不等式变式训练： (1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y (m >0)的最小值为3，则m 等于( )A.2B.2 2C.3D.4(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 (1)D (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.故选D. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立. 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.考点二 均值不等式与学科知识的综合命题点1 用均值不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6 答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立.由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为( )A.9B.12C.18D.24答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.变式训练：(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 (1)A (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去). 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32.(2)对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).考点三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]，即y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100].(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.变式训练：某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元).当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x).∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元).当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100千件时，年获利最大.当堂达标：1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 3.若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.4.(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5.(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 答案116∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.巩固提高案 日积月累 提高自我1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用均值不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由均值不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.2.设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， 即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”的必要不充分条件，故选B.3.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3 D.7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba时取等号.故选D.5.已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.0 答案 A解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8.6.(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜q D.p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.7.已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B.2 2C. 2D.2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A.1B.6C.9D.16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋最小值为6.故选B.9.若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3].10.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值.解 (1)∵x >0，y >0，∴由均值不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.。
2.2.4(第1课时)均值不等式 学案(含答案)
2.2.4（第1课时）均值不等式学案（含答案）22..2.42.4均值不等式及其应用均值不等式及其应用第第11课时课时均值不等式均值不等式学习目标1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值知识点一算术平均值与几何平均值两个正数的算术平均值.几何平均值定义给定两个正数a，b，数ab2称为a，b的算术平均值；数ab称为a，b的几何平均值知识点二均值不等式1均值不等式如果a，b都是正数，那么ab2ab，当且仅当ab时，等号成立2几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大思考均值不等式可以有哪些变形答案当a0，b0，则ab2ab；当a0，b0，则abab22.1对任意a，bR，a2b22ab均成立2若a0，b0且ab，则ab2ab.3a，b同号时，baab2.4函数yx1x的最小值为2.一.对均值不等式的理解例1下列命题中正确的是A当a，bR 时，abba2abba2B若a0，b0，b0的两个注意点1不等式成立的条件a，b都是正数2“当且仅当”的含义当ab时，ab2ab的等号成立，即abab2ab；仅当ab时，ab2ab的等号成立，即ab2abab.跟踪训练1多选下列结论不正确的是A若xR，且x0，则4xx4B当x0时，x1x2C当x2时，x1x的最小值为2D当0x2时，2x1x的最小值为22答案AC解析对于选项A，当x0时，求12x4x的最小值；3当x0的最小值是2.2x0，12x0,4x0.12x4x212x4x83.当且仅当12x4x，即x3时，等号成立，取得最小值83，当x0时，12x4x的最小值为83.3x0.则12x4x212x4x83，当且仅当12x4x时，即x3时取等号12x4x83.当x0，y0，且xy8，则1x1y的最大值为A16B25C9D36答案B解析因为x0，y0，且xy8，所以1x1y1xyxy9xy9xy2294225，当且仅当xy4时，等号成立，1x1y取得最大值25.2若x0，则12x13x的最小值为________，若x0，所以12x13x212x13x4，当且仅当12x13x，即x16时等号成立所以x0时，12x13x的最小值为4.当x0，所以12x13x12x13x212x13x4.当且仅当x16时，等号成立所以x2，则yx4x2的最小值为________答案6解析因为x2，所以x20，所以yx4x2x24x222x24x226，当且仅当x24x2，即x4时，等号成立所以yx4x2的最小值为6.延伸探究若把本例中的条件“x2”改为“x2”，求yx4x2的最大值解因为x0，所以yx4x22x42x222x42x22，当且仅当2x42x，得x0或x4舍去，即x0时，等号成立故yx4x2的最大值为2.反思感悟通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略1拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标3拆项.添项应注意检验利用均值不等式的前提.跟踪训练31已知0x13，求yx13x的最大值；2已知x1，求yx23x4x1的最小值解10x0，yx13x133x13x133x13x22112.当且仅当3x13x，即x16时，取等号，当x16时，函数取得最大值112.2x1，x10，yx23x4x1x12x12x1x12x11221，当且仅当x12x1，即x21时，等号成立，函数y取得最小值221.三.利用均值不等式证明例4设a，b，c都是正数，求证bcacababcabc.证明a，b，c都是正数，bca，cab，abc也都是正数，bcacab2c，cababc2a，bcaabc2b，2bcacababc2abc，即bcacababcabc，当且仅当abc时，等号成立反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项1策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”2注意事项多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法；对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型跟踪训练4已知a，b，c都是正实数，求证abbcca8abc.证明a，b，c都是正实数，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0.abbcca2ab2bc2ca8abc.即abbcca8abc，当且仅当abc时，等号成立1设ta2b，sab21，则t 与s的大小关系是AstBstCstDs0，b0Dab2ab答案AC解析a2b22abab20，a2b22ab，aba2b22，故选A，由均值不等式可知C 是其变形，C正确4若x0，则x5x______25，若x”“0时，x5x2x5x25，当且仅当x5x，即x5时取等号当x0时，x5xx5x25.当且仅当x5时取等号5已知x54，则y4x214x5的最大值为________，此时x的值是______答案11解析x0.y4x214x554x154x3254x154x3231，当且仅当54x154x，即x1时，等号成立故当x1时，y的最大值为1.1知识清单1ab2aba，b都是正数2利用均值不等式求最值3利用均值不等式证明2方法归纳拼凑法3常见误区忽视等号成立的条件；多次使用均值不等式忽略等号同时成立的条件。
均值不等式学案---教师版
均值不等式学案—教师版一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222ba ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．解题策略： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
《均值不等式》学案
3．2 均值不等式学案【预习达标】⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。
其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a2+b2 ( ) （2）（）（3）＋（）（4）x＋ (x>0)（5）x＋ (x<0) （6）ab≤（）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。
【典例解析】例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（）Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（）Ａ．＋≥2 Ｂ．a2+b2≥2abＣ．＋≥a＋b Ｄ．2+⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（）Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题：⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．⒏已知a、b为常数且0<x<1，则的最小值是_________________________．三．解答题：⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
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日照实验高中2014级数学导学案
3.2均值不等式学案（1）
【编写人】孙丽君 【审核人】张茂花
【学习目标】
1．通过本节探究，学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义；
2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力；
3．通过本节学习，养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
【学习重点和难点】
学习重点：均值不等式的推导和理解.
学习难点：均值不等式成立的条件和等号成立条件的认识.
【定理探究】
1.探讨2
a b +
.
2.均值定理：
3.文字表述：
（1）,,,______;,a b a b a b +∈R 的算数平均值是的几何平均值是_____.
（2）结论：两个___数的____平均值_____它们的_______平均值.
4.几何解释：____________
5.公式变形及推广：
（1）a b +≥_______.
（2≤________,
即ab ≤___________.
思考：均值不等式与不等式22
2a b ab +≥的关系如何?
【定理理解和应用】
判断正误：
1(1)0,2;lg lg (2)0,0,2
π9(3)0,sin 6;2s 1,,1,in .4
x x x y x x a b a b x y y x x x +≠+≥=+>>≥⎛⎤∈+ ⎥⎝+⎦∈=R 若则若则当时，(4)已知且则的最大值值是为的最小
练一练
下列函数最小值是2的是（ ）
1.A y x x =+ 1.sin (0)sin 2
B y x x x π=+<<
.C y = 1.tan (0)tan 2D y x x x π=+<< 例1已知0ab >，求证：
2b a a b
+≥并推导出式中等号成立的条件.
练习1已知11,,()() 4.a b a b a b +∈++≥R 求证：
【课堂小结】
【课后作业】
1.课本 练习A 组2、3、4
2.练习册 均值不等式（1）。