2020高考文科数学立体几何主观题专项练习

立体几何主观题专项练习

1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，CD ＝2AB ＝2CE ＝4，DE ＝25，点F 为棱DE 的中点．

(1)证明：AF ∥平面BCE ；

(2)若BC ＝4，∠BCE ＝120°，求三棱锥B －CEF 的体积． 解析：(1)取CE 中点M ，连接MF ，MB . 因为F 为DE 中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD .

因为AB ∥CD ，且AB ＝1

2CD ，所以AB ∥MF 且AB ＝MF ，

所以四边形ABMF 是平行四边形，所以AF ∥BM . 又BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE . (2)因为AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，所以CD ⊥BC .

因为CD ＝4，CE ＝2，DE ＝25，所以CD 2

＋CE 2

＝DE 2

，所以CD ⊥CE . 因为BC ∩CE ＝C ，BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以CD ⊥平面BCE ， 则易知点F 到平面BCE 的距离为2.

S △BCE ＝1

2BC ·CE sin∠BCE ＝12

×4×2sin 120°＝23，

所以三棱锥B －CEF 的体积V B －CEF ＝V F －BCE ＝13S △BCE ×2＝13×23×2＝43

3

.

2．[2019·清华自招]如图，EA ⊥平面ABC ，AE ∥CD ，AB ＝AC ＝CD ＝2AE ＝4，BC ＝23，

M 为BD 的中点．

(1)求证：平面AEM ⊥平面BCD ；

(2)求三棱锥E －ABM 的体积．

解析：(1)如图所示，取BC 的中点N ，连接MN ，AN ，

则MN ＝1

2DC ＝AE ，MN ∥CD ∥AE ，所以四边形AEMN 为平行四边形．

因为EA ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，

所以EA ⊥AN ，所以四边形AEMN 是矩形，所以EM ⊥MN . 由题意可得ED ＝EB ＝25，因为M 为BD 的中点，所以EM ⊥BD . 又EM ⊥MN ，BD ∩MN ＝M ，所以EM ⊥平面BCD . 因为EM ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面BCD .

(2)由题可知，V 三棱锥E －ABM ＝V 三棱锥M －ABE ，因为MN ∥AE ，AE ⊂平面ABE ，MN ⊄平面ABE ，所以

MN ∥平面ABE ，

连接NE ，则V 三棱锥M －ABE ＝V 三棱锥N －ABE ＝V 三棱锥E －ABN ＝1

3×S △ABN ×AE .

易得BN ＝3，AN ＝13，所以S △ABN ＝12×BN ×AN ＝39

2，

所以V 三棱锥E －ABM ＝13×392×2＝39

3

.

3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，

AB ∥CD ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝2，BD ＝23，AB ＝2CD ＝4.

(1)设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．

解析：(1)在△ABD 中，AD ＝2，BD ＝23，AB ＝4，所以AD 2

＋BD 2

＝AB 2

，所以AD ⊥BD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD ⊥平面PAD .

又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面PAD .

(2)如图所示，设AD 的中点为O ，则AO ＝1，连接PO ，易知PO 是四棱锥P －ABCD 的高，

PO ＝22－12＝ 3.

又易得S 梯形ABCD ＝33，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝1

3

×33×3＝3.

4．[2019·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝45°，AD ＝AP ＝2，AB ＝DP ＝22，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．

(1)求证：AD ⊥PC .

(2)当满足V 三棱锥B －EFC ＝16V 四棱锥P －ABCD 时，求PF

PB 的值．

解析：(1)连接AC .

在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝2，∠ABC ＝45°，

由余弦定理可得AC 2

＝8＋4－2×22×2×cos 45°＝4，所以AC ＝2. 易知∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AD ∥BC ，所以AD ⊥AC . 在△ADP 中，AD ＝AP ＝2，DP ＝22，易知PA ⊥AD . 又AP ∩AC ＝A ，所以AD ⊥平面PAC . 因为PC ⊂平面PAC ，所以AD ⊥PC . (2)因为E 为CD 的中点，所以

S △BEC ＝14

S 平行四边形ABCD ，

因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ， 所以PA ⊥底面ABCD ， 设F 到底面ABCD 的距离为h .

因为V 三棱锥F －BEC ＝V 三棱锥B －EFC ＝1

6

V 四棱锥P －ABCD ，

所以13×S △BEC ×h ＝16×13×S 平行四边形ABCD ×PA ，所以h ＝43，则易得PF PB ＝13

.

5．[2019·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD 中，M 为AB 边的中点，AD ∥BC ，

AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，现在沿AC 将△ABC 折起使点B 落到点P 处，得到如图2的三棱锥P

－ACD .

(1)在棱AD 上是否存在一点N ，使得PD 平行于平面MNC ？请证明你的结论； (2)当平面PAC ⊥平面ACD 时，求点A 到平面PCD 的距离． 解析：(1)当N 为AD 的中点时，满足题意，证明如下：

由M ，N 分别为AP ，AD 的中点，可得MN 为△APD 的中位线，所以MN ∥PD ，又MN ⊂平面

MNC ，PD ⊄平面MNC ，所以PD 平行于平面MNC .

(2)在等腰梯形ABCD 中，由AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，易得∠D ＝π

3

，AC ＝3，

AC ⊥CD .因为AC ⊥CD ，平面PAC ⊥平面ACD ，AC 为两平面交线，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平

面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥PC ，

所以S △PCD ＝12×PC ×CD ＝12×1×1＝1

2

.

方法一 取AC 的中点H ，连接PH .由AP ＝PC ，可知PH ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ACD ，AC 为平面PAC 与平面ACD 的交线，所以PH ⊥平面ACD .

由CH ＝12AC ＝32，PC ＝BC ＝1，利用勾股定理求得PH ＝1

2，所以V

三棱锥P －ACD

＝1

3

S △ACD ×PH ＝13×12×3×1×12＝3

12

. 设点A 到平面PCD 的距离为d ，由V 三棱锥A －PCD ＝V 三棱锥P －ACD 可知，d ＝3V 三棱锥P －ACD S △PCD ＝32.

所以点A 到平面PCD 的距离为

3

2

. 方法二 设点A 到平面PCD 的距离为d ，则由V 三棱锥D －PAC ＝V 三棱锥A －PCD ，可得1

3·S △PAC ·CD

＝1

3

·S △PCD ·d . 在等腰三角形PAC 中，S △PAC ＝12·AB ·BC ·sin 2π3＝3

4

，