2020高考文科数学立体几何主观题专项练习

立体几何主观题专项练习
1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，CD ＝2AB ＝2CE ＝4，DE ＝25，点F 为棱DE 的中点．
(1)证明：AF ∥平面BCE ；
(2)若BC ＝4，∠BCE ＝120°，求三棱锥B －CEF 的体积． 解析：(1)取CE 中点M ，连接MF ，MB . 因为F 为DE 中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD .
因为AB ∥CD ，且AB ＝1
2CD ，所以AB ∥MF 且AB ＝MF ，
所以四边形ABMF 是平行四边形，所以AF ∥BM . 又BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE . (2)因为AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，所以CD ⊥BC .
因为CD ＝4，CE ＝2，DE ＝25，所以CD 2
＋CE 2
＝DE 2
，所以CD ⊥CE . 因为BC ∩CE ＝C ，BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以CD ⊥平面BCE ， 则易知点F 到平面BCE 的距离为2.
S △BCE ＝1
2BC ·CE sin∠BCE ＝12
×4×2sin 120°＝23，
所以三棱锥B －CEF 的体积V B －CEF ＝V F －BCE ＝13S △BCE ×2＝13×23×2＝43
3
.
2．[2019·清华自招]如图，EA ⊥平面ABC ，AE ∥CD ，AB ＝AC ＝CD ＝2AE ＝4，BC ＝23，
M 为BD 的中点．
(1)求证：平面AEM ⊥平面BCD ；
(2)求三棱锥E －ABM 的体积．
解析：(1)如图所示，取BC 的中点N ，连接MN ，AN ，
则MN ＝1
2DC ＝AE ，MN ∥CD ∥AE ，所以四边形AEMN 为平行四边形．
因为EA ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，
所以EA ⊥AN ，所以四边形AEMN 是矩形，所以EM ⊥MN . 由题意可得ED ＝EB ＝25，因为M 为BD 的中点，所以EM ⊥BD . 又EM ⊥MN ，BD ∩MN ＝M ，所以EM ⊥平面BCD . 因为EM ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面BCD .
(2)由题可知，V 三棱锥E －ABM ＝V 三棱锥M －ABE ，因为MN ∥AE ，AE ⊂平面ABE ，MN ⊄平面ABE ，所以
MN ∥平面ABE ，
连接NE ，则V 三棱锥M －ABE ＝V 三棱锥N －ABE ＝V 三棱锥E －ABN ＝1
3×S △ABN ×AE .
易得BN ＝3，AN ＝13，所以S △ABN ＝12×BN ×AN ＝39
2，
所以V 三棱锥E －ABM ＝13×392×2＝39
3
.
3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB ∥CD ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝2，BD ＝23，AB ＝2CD ＝4.
(1)设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．
解析：(1)在△ABD 中，AD ＝2，BD ＝23，AB ＝4，所以AD 2
＋BD 2
＝AB 2
，所以AD ⊥BD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD ⊥平面PAD .
又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面PAD .
(2)如图所示，设AD 的中点为O ，则AO ＝1，连接PO ，易知PO 是四棱锥P －ABCD 的高，
PO ＝22－12＝ 3.
又易得S 梯形ABCD ＝33，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝1
3
×33×3＝3.
4．[2019·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝45°，AD ＝AP ＝2，AB ＝DP ＝22，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．
(1)求证：AD ⊥PC .
(2)当满足V 三棱锥B －EFC ＝16V 四棱锥P －ABCD 时，求PF
PB 的值．
解析：(1)连接AC .
在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝2，∠ABC ＝45°，
由余弦定理可得AC 2
＝8＋4－2×22×2×cos 45°＝4，所以AC ＝2. 易知∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AD ∥BC ，所以AD ⊥AC . 在△ADP 中，AD ＝AP ＝2，DP ＝22，易知PA ⊥AD . 又AP ∩AC ＝A ，所以AD ⊥平面PAC . 因为PC ⊂平面PAC ，所以AD ⊥PC . (2)因为E 为CD 的中点，所以
S △BEC ＝14
S 平行四边形ABCD ，
因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ， 所以PA ⊥底面ABCD ， 设F 到底面ABCD 的距离为h .
因为V 三棱锥F －BEC ＝V 三棱锥B －EFC ＝1
6
V 四棱锥P －ABCD ，
所以13×S △BEC ×h ＝16×13×S 平行四边形ABCD ×PA ，所以h ＝43，则易得PF PB ＝13
.
5．[2019·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD 中，M 为AB 边的中点，AD ∥BC ，
AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，现在沿AC 将△ABC 折起使点B 落到点P 处，得到如图2的三棱锥P
－ACD .
(1)在棱AD 上是否存在一点N ，使得PD 平行于平面MNC ？请证明你的结论； (2)当平面PAC ⊥平面ACD 时，求点A 到平面PCD 的距离． 解析：(1)当N 为AD 的中点时，满足题意，证明如下：
由M ，N 分别为AP ，AD 的中点，可得MN 为△APD 的中位线，所以MN ∥PD ，又MN ⊂平面
MNC ，PD ⊄平面MNC ，所以PD 平行于平面MNC .
(2)在等腰梯形ABCD 中，由AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，易得∠D ＝π
3
，AC ＝3，
AC ⊥CD .因为AC ⊥CD ，平面PAC ⊥平面ACD ，AC 为两平面交线，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平
面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥PC ，
所以S △PCD ＝12×PC ×CD ＝12×1×1＝1
2
.
方法一 取AC 的中点H ，连接PH .由AP ＝PC ，可知PH ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ACD ，AC 为平面PAC 与平面ACD 的交线，所以PH ⊥平面ACD .
由CH ＝12AC ＝32，PC ＝BC ＝1，利用勾股定理求得PH ＝1
2，所以V
三棱锥P －ACD
＝1
3
S △ACD ×PH ＝13×12×3×1×12＝3
12
. 设点A 到平面PCD 的距离为d ，由V 三棱锥A －PCD ＝V 三棱锥P －ACD 可知，d ＝3V 三棱锥P －ACD S △PCD ＝32.
所以点A 到平面PCD 的距离为
3
2
. 方法二 设点A 到平面PCD 的距离为d ，则由V 三棱锥D －PAC ＝V 三棱锥A －PCD ，可得1
3·S △PAC ·CD
＝1
3
·S △PCD ·d . 在等腰三角形PAC 中，S △PAC ＝12·AB ·BC ·sin 2π3＝3
4
，
所以d ＝
32，所以点A 到平面PCD 的距离为32
. 6．[2019·安徽合肥六中二模]
《九章算术》是我国古代数学专著，它在几何方面的研究比较深入．例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC .
(1)求证：四棱锥B －A 1ACC 1为阳马．并判断三棱锥A 1－CBC 1是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)．
(2)若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1的体积最大时， ①求堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积； ②求点C 到平面A 1BC 1的距离．
解析：(1)由堑堵的定义知，A 1A ⊥底面ABC ，所以BC ⊥A 1A ， 又BC ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面A 1ACC 1.
由堑堵的定义知，四边形A 1ACC 1为矩形． 综上，可知四棱锥B －A 1ACC 1为阳马．
三棱锥A 1－CBC 1为鳖臑，四个面中的直角分别是∠A 1CB ，∠A 1C 1C ，∠BCC 1，∠A 1C 1B . (2)A 1A ＝AB ＝2，由(1)易知阳马B －A 1ACC 1的体积V 阳马B －A 1ACC 1＝1
3S 矩形A 1ACC 1×BC
＝13×A 1A ×AC ×BC ＝23AC ×BC ≤13(AC 2＋BC 2)＝13×AB 2
＝43，当且仅当AC ＝BC ＝2时，阳马B －A 1ACC 1的体积最大，最大值为43
.
①堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积V ′＝S △ABC ×AA 1＝1
2
×2×2×2＝2.
②由题意知，V 三棱锥C －A 1BC 1＝V 三棱锥B －A 1C 1C ＝12V 阳马B －A 1ACC 1＝2
3.
设点C 到平面A 1BC 1的距离为d ，则13S △A 1BC 1×d ＝2
3
，
又A 1C 1＝2，BC 1＝BC 2＋C 1C 2
＝6，所以13×12×2×6×d ＝23，解得d ＝233
.
23 3.
故点C到平面A1BC1的距离为。