第2章 随机信号分析复习_sxq
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《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
第二章 随机信号分析
SCUT DT&P Labs
5
2.2 随机过程的一般表述
自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]
x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。
Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞
R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
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17
课堂练习
例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。 思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函 数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。 其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间 间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
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SCUT DT&P Labs
16
可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x
复习：富里叶变换。
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随机信号分析第2章--随机信号
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
随机信号分析基础第二章习题 ppt课件
显然在2这一时刻的可能取值为3，4，6；
可得：
0, x 3
P(X
x, 2)
1
3
2
3
, ,
3 4
x x
4 6
1, x 6
2021/3/30
9
同理可得：
0, x 2
问题
FX
(x;
6)
P(
X
x,
6)
13 23
, ,
2 5
x x
5 7
1, x 7
F X(x;2)P X (2)x
3；
2021/3/30
CX (t1,t2)
15
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E [X (t)] E [A c o s (0 t) B s in (0 t)] E [A ]c o s (0 t) E [B ]s in (0 t)
0
（2）由自相关函数的定义：
R X (t1 ,t2 ) E [X (t1 )X (t2 )]
用表格来表示所求的联合分布：
x2
x1
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
x2 2
0
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x2 5 0
0
0
1/3
5 x2 7
0
1/3 1/3 2/3
x2 7
0
1/3 2/3 1
2021/3/30
11
问题
x2
x1
x2 2
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
所以：
E[X(2)]1(346)13;
3
3
E[X(6)]1(572)14;
3
可得：
0, x 3
P(X
x, 2)
1
3
2
3
, ,
3 4
x x
4 6
1, x 6
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同理可得：
0, x 2
问题
FX
(x;
6)
P(
X
x,
6)
13 23
, ,
2 5
x x
5 7
1, x 7
F X(x;2)P X (2)x
3；
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CX (t1,t2)
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2.9 解：（1）直接由定义可得：
E [X (t)] E [A c o s (0 t) B s in (0 t)] E [A ]c o s (0 t) E [B ]s in (0 t)
0
（2）由自相关函数的定义：
R X (t1 ,t2 ) E [X (t1 )X (t2 )]
用表格来表示所求的联合分布：
x2
x1
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
x2 2
0
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x2 5 0
0
0
1/3
5 x2 7
0
1/3 1/3 2/3
x2 7
0
1/3 2/3 1
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11
问题
x2
x1
x2 2
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
所以：
E[X(2)]1(346)13;
3
3
E[X(6)]1(572)14;
3
第2章-确知信号与随机信号分析基础
f
(t)
n
Fn e
jn 0 t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t )e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
2020/12/19
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f (t)
F( j)
1
F( j)ejtd
2
f (t)ejtdt
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F( j)
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
2020/12/19
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函(数 t)
E(t) E 或 (t) 1
物理意义 :变化快的信号如很脉窄冲的等 ,可近似用
数学模型(t)来表示 ,上式说明这类随时化间很变快
1
F ( ) 2 d
1
G ( )d
2
2
2
功率谱密度 P( )(或 P( j ))定义为单位频率上信号 的功率 ,
即S
Fn
n
2
1
2
P( )d
注意 ,由于周期信号的谱线 Fn为离散谱 , 而周期信号为功率
信号 , 在这种情况下 , 就只能用功率 , 而不能用能量 (因为此
时能量为无穷大 ). 因此 , 上面第二个式子中就只 能用功率
f
(t)
Fnejn0t
n
,式中 0
2
T0
,T0为周,期 则
S 1
T 2020/12/19 0
T0 T0
第二章 随机信号分析
第二章 随机信号分析2.1 确知信号的频谱分析 一．付立叶变换任一信号有两种表示方法：时域表示法)(t f ：信号的大小随时间的变化。
频域表示法)(w F ：信号的振幅和相位随频率成分的变化。
两种表示法互相对应，记做：)()(w F t f ↔。
变换式为：dw e w F t f jwt ⎰∞∞-=)(21)(πe w F dt e tf w F w j jwt )()()()(θ--∞∞-==⎰|)(|w F 为模，表示幅度谱；)(w θ为幅角，表示相位谱。
二．付氏变换的性质若)()(w F t f i i ↔注：抽样函数xx Sa )(=四．功率谱密度和能量谱密度1．功率信号：时间无限的信号，具有无限的能量，但平均功率有限。
2．能量信号：时间有限的信号，信号能量有限，在全部时间内的平均功率为0。
3．信号的功率（能量）：电压（电流）f (t) 加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。
信号的瞬时功率（能量）为)(2t f ，总功率（能量）为⎰∞∞-dt t f )(2。
4．能量信号的能量和能量谱密度⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-=-==dw w F dw w F w F dt t f E 22|)(|21)()(21)(ππ（实函数时，F(-w)=F *(w) ）定义：能量谱密度2|)(|)(w F w =ξ，能量⎰⎰∞∞-∞∞-==df f dw w E )()(21ξξπ5．无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 用f T (t)代表无限信号f (t)在(-T/2, T/2)上的截断函数，只要T 有限，f T (t)就有能量：⎰⎰∞∞-∞∞-==dw w F dt t f E T T 22|)(|21)(π当T ∞时，其平均功率为：dw Tw F dt t f TP T T TT T T 2222|)(|21)(1limlim⎰⎰∞∞-∞→-∞→==π定义：功率谱密度Tw F w S T T f 2|)(|)(lim∞→=平均功率⎰⎰∞∞-∞∞-==df f S dw w S P f f )()(21π5．无限周期信号的平均功率和功率谱密度 功率谱密度∑∞-∞=-=n T nf nw w Cw S )(||2)(2δπ， 平均功率∑∞-∞==n nCP 2||C n 为各个频率点的幅度，|C n |2为nw T 分量的平均功率五．信号通过线性系统1．系统的传递函数 以冲激函数δ(t)作为激励，通过系统后的响应h (t)为该系统的传递函数2．线性系统——满足叠加定理若激励f 1 (t)和f 2 (t)的响应分别是r 1 (t)和r 2 (t)，则激励af 1 (t)+bf 2 (t) 的响应是ar 1 (t)+br 2 (t)。
第2章 随机信号分析复习
如果将 F 看成是 F 经过一个网络的输出，则有
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2U
H e
j
/ 2 0 / 2 U /2 0
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2018/10/9 29
希尔伯特变换特例
ˆ (t ) sin t f (t ) cos t , f ˆ (t ) cos t f (t ) sin t , f
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
H 1
希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率 成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特 性的网络称之为希尔伯特滤波器。
2018/10/9 28
即：
/ 2 0 / 2 U /2 0
H 1
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
1
2018/10/9
信号和系统分类
一、信号的分类：
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
二、系统分类
线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统
2018/10/9
2
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
通常记做 f (t ) F
2018/10/9 7
特例：冲激函数δ (t)
F (t ) (t )e jt dt e j 0 1
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2U
H e
j
/ 2 0 / 2 U /2 0
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2018/10/9 29
希尔伯特变换特例
ˆ (t ) sin t f (t ) cos t , f ˆ (t ) cos t f (t ) sin t , f
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
H 1
希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率 成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特 性的网络称之为希尔伯特滤波器。
2018/10/9 28
即：
/ 2 0 / 2 U /2 0
H 1
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
1
2018/10/9
信号和系统分类
一、信号的分类：
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
二、系统分类
线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统
2018/10/9
2
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
通常记做 f (t ) F
2018/10/9 7
特例：冲激函数δ (t)
F (t ) (t )e jt dt e j 0 1
随机信号分析第二章new
fo 0
2 fot
fo=2;
N=1000;
t=[-4.995:0.01:4.995];
F=fo*rand(N,1);
x=cos(2*pi*F*t);
plot(t,x);
xlabel('time, t');
ylabel('X(t)');
求解
X (t)
6
5
4
3
2
1
0
t1
1
1
X(t1) X(t2) Pi
1
5
1/4
2 2
2
4
1/4
3
6
2
1/4
3 4
3
1
1/4
4
t2
t
求解
RX (t1,t2 )
k1 k2 P{X (t1 ) k1, X (t2 ) k2}
k1, k2 X
k1 k2 Pi
i
1 (1 5 2 4 6 2 31) 7 4
相互正交
1. 若两个过程X (t)和Y (t)之间的互相关函数等于零，
则称X(t)和Y(t)之间相互正交
2. 随机过程X (t)的一维特征函数
X(u,t)=
-
pX(x;t)ejuxdx
E[exp( juX (t))]
同理可得二维、三维以至n维特征函数
随机序列及其统计特性
一个N点的随机序列可以看成是一个N维
FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) =P{X(t1) x1,X(t2 ) x2,...,X(tn ) xn} pX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) = nFX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn )
随机信号分析与估计第2章
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
随机信号分析第二章
2
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
随机信号分析基础
1
x 2 (t )
0
t1
x 2 (t1 )
τ
x n (t ) x n (t1 )
x n (τ )
0
t1
τ
t
图 2.2.2 随机信号的 N 次记录 接下来考虑随机信号精确的数学描述。 如图 2.2.2 ， 对一个信号进行了 N 次记录 ( N 次 试 验 )， 得 到 N 个 随 时 间 变 化 的 函 数 (即 每 次 记 录 都 是 时 间 的 函 数 )， 记 为
第二章 随机信号分析基础 ........................................................................................... 25 § 2. 1 概述 ............................................................................................................. 25 § 2. 2 随机信号的概率结构 ................................................................................... 28 § 2. 2. 1 概率论基本概念 ............................................................................... 29 § 2. 2. 2 随机信号有限维概率密度及数字特征 ............................................. 32 § 2. 3 随机信号的平稳性 ...................................................................................... 34 § 2. 4 离散随机信号和复随机信号 ....................................................................... 37 § 2. 4. 1 离散时间随机信号及其数字特征 .................................................... 37 § 2. 4. 2 复随机信号 ...................................................................................... 39 § 2. 5 随机信号的遍历性 ...................................................................................... 40 § 2. 5. 1 总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征 .......................... 40 § 2. 5. 2 平稳随机信号的遍历性 .................................................................. 41 § 2. 6 平稳随机信号的功率谱密度 ....................................................................... 43 § 2. 6. 1 维纳 — 辛钦定理 ............................................................................... 44 § 2. 6. 2 功率谱密度的性质 ........................................................................... 45 § 2. 6. 2 离散随机序列的功率谱密度 ............................................................ 47 § 2. 7 几种常见的随机信号 ................................................................................... 49 思考题 .................................................................................................................... 52 习 题 .................................................................................................................... 53
随机信号分析(2-4章)
求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数
半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）
随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）
解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]
一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1
一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)
例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为
2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征
第2章 随机信号分析基础
若机变n 量= 。n0 为固定值， ζ为变量，则x(ζ, n0)}为一个随 若ζ = ζ0为固定值， n为变量，则x(ζ0, n)}为一个样
本序列。 若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。 若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章 随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章 随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)
H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)
H
N(z) D(z)
2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章 随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1
本序列。 若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。 若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章 随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章 随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)
H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)
H
N(z) D(z)
2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章 随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1
随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[自然科学]第2章随机信号分析
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1 T2 lim T xt dt a a x f x dx T T 2 2 1 T2 2 2 2 x a f x dx lim x t a dt T T T 2 T 1 2 R lim xt xt dt R T T T 2
t 所有样本函数在时刻t 的函数值的平均，
E t xf x, t dx at
也称集平均，以区别时间平均的概念。
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.2 随机过程的一般表达
方差定义 2 t ：（偏离均值的程度）
Dt Et E t
f n x1 , xn ; t1 , t 2 ,t n
对于一维的情况来说，一维概率密度函数 与时间无关。即 f x 二维概率密度函数只与时间间隔 有关， 即 f x1 x2 ,
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.3 平稳随机过程
平稳随机过程的统计特性： (1) 均值（数学期望）
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
高斯过程又称正态随机过程，是一种普遍 存在又十分重要的随机过程。通信信道中的噪 声，通常是一种高斯过程。 先看一维分布的情况。 高斯过程在给定任一时刻上，则是一高斯随 机变量 ，其概率密度函数为：
f x x a 2 1 exp 2 2 2
a ~ 均值 常量 2 ~ 方差 exp ~ 以e为底的指数函数
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
f x
1 2
a
x
高斯概率密度函数曲线
则 称服从高斯分布（也称正态分布）的 随机变量。
t 所有样本函数在时刻t 的函数值的平均，
E t xf x, t dx at
也称集平均，以区别时间平均的概念。
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.2 随机过程的一般表达
方差定义 2 t ：（偏离均值的程度）
Dt Et E t
f n x1 , xn ; t1 , t 2 ,t n
对于一维的情况来说，一维概率密度函数 与时间无关。即 f x 二维概率密度函数只与时间间隔 有关， 即 f x1 x2 ,
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.3 平稳随机过程
平稳随机过程的统计特性： (1) 均值（数学期望）
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
高斯过程又称正态随机过程，是一种普遍 存在又十分重要的随机过程。通信信道中的噪 声，通常是一种高斯过程。 先看一维分布的情况。 高斯过程在给定任一时刻上，则是一高斯随 机变量 ，其概率密度函数为：
f x x a 2 1 exp 2 2 2
a ~ 均值 常量 2 ~ 方差 exp ~ 以e为底的指数函数
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
f x
1 2
a
x
高斯概率密度函数曲线
则 称服从高斯分布（也称正态分布）的 随机变量。
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f t f t dt
T /2 T / 2
对于功率信号 R lim 1 / T
T
f t f t dt
2013-7-29
24
互相关函数的性质
1) 若对于所有的 , R12 0 说明两函数不相关； 2) 互相关函数不满足交换率 R12 R21( ) ； 3)
2
2
)
特例：余弦函数
cos 0t [ ( +0 )+ (-0 )] sin 0t j [ ( +0 )- (-0 )]
2013-7-29 11
特例：指数函数
1 右单边指数信号 e U (t ) a j
at
左边指数信号
1 e U (t ) a j
f 1 f 2 t d
为f1(t)和f2(t)的卷积
b、与冲击函数的卷积
f t * t f t d f t
f t * t T f t T
f t t1 * t t2 f t t1 t2
2013-7-29 19
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
2013-7-29
20
三、卷积与相关 1、卷积的定义与性质
a、卷积的定义
给定两函数f1(t)，f2(t)，则
f 1 t * f 2 t
7
傅里叶变换
非周期信号不能直接展开成傅里叶级数，但可以 把它看成是周期 T 的极限情况。
T
im fT t f t
于是可得傅里叶变换表达式
傅里叶正变换
傅里叶反变换
F ( ) f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
因果性： t 0, h(t ) 0
稳定性：输入有限时，输出亦为有限。
2013-7-29 33
2、线性系统的传输特性
单位冲激信号做为线性系统的激励信号时，系统 的响应称作单位冲激响应h(t)；
δ(t)
线性系统
h(t)
F1* ( ) F2 ( ) R12
=0时，两波形在时间上完全重和， 故相关性最好，R(0)为最大；
自相关函数的性质
1) R 0 R
2) R(t) =R(-t)
2013-7-29
自相关函数是一个实偶函数
25
3)
R0 f 2 d E
f (t )e f (t )e
F 0 F 0
j0t
2 f (t ) cos 0t F 0 F 0
2013-7-29
14
能量谱密度和功率谱密度 1、能量信号和功率信号
一个信号f(t)作用在1Ω电阻上， 其瞬时功率为：
如果将 F 看成是 F 经过一个网络的输出，则有
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2 U
H e
j
S 1/ T0
2013-7-29
T0 / 2
T0 / 2
f
2
t dt cn
2
能量和功 率计算的 二种计算 方法：通 过时域/ 频域函数
16
帕塞瓦尔定理的意义：
帕什瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱 函数或频谱联系起来了。 帕什瓦尔定理给出一个很重要的概念: 能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来 的能量的连续和；
R f
2) 功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换对。
R f ( )
2013-7-29
27
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
2013-7-29
28
希尔伯特变换的物理意义
且f (t ) m(t ) cos 0t，其中0 f
结论：
ˆ f (t ) m(t )sin 0t
1.余弦函数的希氏变换为正弦函数； 2.低通信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数 与正弦函数的乘积。
2013-7-29 31
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
2013-7-29
3
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
一个周期性信号f(t),只要它满足狄 里赫利条件，就可以用傅里叶级数表示， 并可以采用三角函数和指数函数两种不同 的表示方式。
2013-7-29
4
三角函数形式
实际情况
f (t ) a0 / 2 [an cos(2 nt / T0 ) bn sin(2 nt / T0 )]
n 1
其中： an (2 / T0 )
bn (2 / T0 )
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
f (t ) cos(2 nt / T0 ) dt
f (t ) sin(2 nt / T0 ) dt
n 0,1, 2
n 0,1, 2
T0 / 2
ω0=2π/T称为基波，nω0称为n次谐波。
2013-7-29 5
指数表示形式
理论分析
f (t )
其中： cn (1/ T0 )
T 0/2
n
C e
n
j 2 nt / T 0
T 0 / 2
f t e
j 2 nt / T 0
dt
n 0, 1, 2
2013-7-29
6
两种表达式特点
傅氏级数建立了周期信号f(t)时域和频域的相互关系。
2、相关的定义与性质
设 为时域内搜索f1(t)、f2(t)两波形相关程度 的独立参数，则 R12 记做两函数的互相关函数。 功率信号：R12 lim (1/ T )
T T /2
T / 2
f1 t f 2 t dt
周期为T的信号： R12 1 / T
设f()为功率谱密度，代表信号功率沿频 率轴的分布状况
S 1/ 2 f d f
2013-7-29
f df
18
注意：
功率谱密度和能量谱密度都与振幅-频率特性有关，而与相位--频率特性 无关。
因此，从功率谱密度和能量谱密度 中只能获得信号振幅的信息，而得不到 信号相位的信息。
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
2013-7-29
32
1. 线性时不变系统的基本特性
如果输入为f(t) ，输出为g(t)，那么线性时不变 系统有如下特性：
叠加性和均匀性： af1 (t ) bf 2 (t ) ag1 t bg 2 (t )
时不变性： f t t0 g t t0
1) 若f(t)是能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有
E
f t dt 1 / 2 | F | d
2 2
2) 若f(t)是周期性的功率信号，且其指数形式的傅 里傅叶级数为 ： f (t )
n
c e
n
j 2nt /T 0
,
则下述关系式成立
at
双边指数信号
2013-7-29
e
a t
2a 2 a 2
12
傅里叶变换性质
Kf (t ) KF
*
Kf (t t0 ) KF e Kf
(i ) i
jt0
(t )
频移特性
j0t
H 1
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2013-7-29 30
希尔伯特变换特例
ˆ f (t ) cos t , f (t ) sin t ˆ f (t ) sin t , f (t ) cos t
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
能量信号：
T /2
T / 2
f1 t f 2 t dt
R12
f1 t f 2 t dt
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23
如果两个信号的形式完全相同，即 f1(t)=f2(t)，则互相关函数就变成自相 关函数R()。
对于能量信号 R
f 2 (t )
消耗的能量为： E f 2 (t )dt
平 均 功 率 为： S lim 1 T T
T /2
T / 2
f 2 (t )dt
如果E存在，则f(t)为能量信号，此时平均功率为0。 如果E不存在，而S存在，则f(t)为功率信号。
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2.帕什瓦尔定理
第二章 随机信号分析复习
南京航空航天大学信息科学与技术学院 通信原理教研组
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
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2
信号和系统分类