三角形的三线定义
利用三角形“三线”的性质解题
利用三角形“三线”的性质解题作者：吕绪东来源：《初中生(一年级)》2009年第03期三角形的高、角平分线和中线统称为三角形的“三线”.三角形的“三线”是三角形中的重要线段，它们在几何中有着广泛的应用.为了同学们更好地掌握“三线”，现举例说明.一、利用高解题例1 如图1，在△ABC中，O是高AD、BE的交点，观察图形，试猜想∠CAD和∠CBE 之间有怎样的数量关系，并说明你的结论的正确性.简析：∠CAD=∠CBE.这是因为AD、BE 分别是BC与AC边上的高，所以∠BDO=∠AEO=90°，又在△BDO和△AEO中，∠AOE=∠BOD，所以∠CAD=∠CBE.二、利用角平分线解题例2 如图2，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.简析：因为BP平分∠ABC，∠ABC=80°，所以∠PBC=∠ABP=40°，同理∠PCB=∠ACP=25°，所以∠BPC=180°-40°-25°=115°.三、利用中线解题例3 如图3，在△ABC中，已知点D、E、F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC =4cm2，试求图中阴影部分的面积.简析：点 D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC =4cm2.根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分的性质可知，S△ABD=S△ACD=2cm2，S△BDE=S△CDE=1cm2，S△BEF=S△BCF =1cm2，即图中阴影部分的面积为 1cm2.例4 已知等腰三角形一个腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.四、综合运用“三线”解题例5 如图5，在△ABC中，∠B=63°，∠C=51°， AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，求∠DAE的大小.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
三线共点的证法
三线共点的证法三线共点是数学领域中一个重要的几何概念。
它起源于射影几何学，并在较晚的时期得到进一步的研究和证明。
本文将介绍三线共点的定义、性质以及其证法。
一、定义在平面几何中，给定一个三角形ABC，如果存在三条直线分别通过三个顶点A、B、C的对边中点，并且这三条直线的交点在一条直线上，那么我们称这三条直线共点，且该点被称为三线共点。
二、性质1. 三线共点是三角形的一个重要特殊性质，它有着以下性质：a) 三角形的三条三线可以是三角形内部对边的中点连线；b) 三线共点的点是三角形的一个重要几何中心，称为重心；c) 三线共点的点和三角形的三个顶点连线的交点构成的三角形和原始三角形全等。
2. 三线共点的证法有多种，下面将介绍两种常见的证法。
三、证法一：向量法三线共点可以通过向量法来进行证明。
给定三角形ABC，以三边向量AB、AC和BC作为初始向量。
由向量的平行和共线性质可知，三条代表这个三边向量的线段必定共点。
设三线共点的交点为点P。
利用向量运算和向量共线性的定义，我们可以证明点P会同时出现在每条向量线段上，从而证明了三线共点。
四、证法二：重心法三线共点也可以通过三角形的重心进行证明。
首先，找到三角形ABC的三条中线，即通过三个顶点A、B、C的对边中点的直线。
根据中线的性质，它们互相平行并且与对边的长度成比例。
将这三条中线延长，它们将相交于一个点，即三线共点的点P。
通过重心的性质以及实际的角度和长度计算，我们可以证明这个点P确实是三线共点。
五、总结三线共点是一个重要的几何概念，它指的是三角形的三条特殊线段共同交于一点的现象。
它常常被用于证明三角形的一些性质和定理。
本文通过向量法和重心法两种常见的证明方法，说明了三线共点的证法。
我们应该通过学习和理解这些证法，加深对于三线共点的理解，为进一步研究和应用提供基础。
通过对三线共点的研究，我们可以进一步探索其在几何学、射影几何学以及其他数学领域中的应用和意义，同时也可以拓宽我们对几何学的认识和理解。
三角形三线课件
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
三线合一的判定方法
三线合一的判定方法
等腰三角形的“三线合一”是指其顶角的角平分线、底边的中线和底边的高互相重合。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
以上定理是“三线合一”的逆定理，也可用于判定等腰三角形。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线
《三角形的高、中线、角平分线及稳定性》教案1
教学流程安排
教学过程设计
三角形的高、中线与角平分线定义
．高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直
AD是△ABC的边 = °
的边BC上的中线，则有中∠BAC的角平
3．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝
3．下列图中具有稳定性的有（）
见导学案的课后作业
教学反思
本节设计中三角形三线定义及稳定性的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识．
本节教学可以让学生充分展示自己的见解，教师只是一个“旁观者”。
4.1.5.三角形的三线整理
一课时
执教人:李先贵
1
重要 线段
概念 三角形中,连结 一个顶点和它 对边中的线段 一个内角的平分 线与它的对边相 交,这个角顶点与 交点之间的线段
从三角形一个顶点 向它的对边所在的 直线作垂线,顶点和 垂足之间的线段
条数
位置
3条 均在 内部
交点
交于一点 交点在在内部 交点叫重心
5
例2.如图,已知△ABC中,AB=AC,周长为16,BD为中线, BD将△ABC分 A 成差为2两个三角形.求△ABC的各边长.
解：设腰为x，底为y，由题意得：
2 x y 16 x y 2
2 x y 16 或 y x 2
x
x D
x 6 解1得： y 4
连接AD
∵ DE⊥AB, DF⊥AC, AM⊥BC ∴ SΔ ABD= SΔ ABC= ∵ SΔ ABD +SΔ ACD = SΔ ABC
AB DE 2 BC AM 2
SΔ ACD=AC Fra bibliotek DF 2∴ AB DE + AC DF = BC AM 2 2 2 AB DE AC DF BC AM ∵AB=BC=AC ∴DE+DF=AM
14 x 3 解2得： 20 y 3
∵ 4 + 6＞ 6 ∴ 三边分别为:4，6，6; B
y
C
∵ 14/3 + 14/3 ＞ 20/3
∴ 三边分别为:14/3，14/3，20/3; A D B C
6
∴ 三角形三边分别为:4，6，6或14/3, 14/3, 20/3. 练习.在Δ ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, Δ DBC的周长为 25cm,求Δ ADC的周长.
三角形的三线
自学课本第4-5页的内容,完成下列问题：
1.三角形的高、中线、角平分线及重心是怎样 定义的 注意：①把定义中的关键词画出来；
②试用几何语言表述前三个定义. 2.怎样画三角形的高、中线、角平分线
如图,过△ABC的顶点
A
A,你能画出它对边BC上
的垂线段吗
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
•政府和行业对 技术的重视
•新技术的发明 和进展
•技术传播的速 度
•折旧和报废速 度
OT机会与威胁分析方法一：波特五力模型
行业内竞争者的均衡 程度、增长速度、固 定成本比例、本行业 产品或服务的差异化 程度、退出壁垒等,决 定了一个行业内的竞 争激烈程度
进入本行业有哪些壁垒它们阻碍 新进入者的作用有多大本企业怎 样确定自己的地位 自己进入或 者阻止对手进入
构造SWOT矩阵
在构造SWOT过程中,将那些对公司发展有直接的、重要的、大量的、迫切的、 久远的影响因素优先排列出来,而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、短 暂的影响因素排列在后面。
案例：1997年香港邮政对特快专递业务单元做的SWOT分析
根据SW分析,公司建立并维持自身的竞争优势
通过一定努力, 建立自身竞争 优势
竞争优势受到 削弱,寻找新的 策略增强自身 竞争优势
引起竞争者 注意,开始 作出反应
直接进攻企 业优势所在, 或采取更为 有力的策略
企业在维持竞争优势过 程中,必须深刻认识自 身的资源和能力,采取 适当的措施。因为一个
企业一旦在某一方面具 有了竞争优势,势必会 吸引到竞争对手的注意。
三角形的三线课件
巩固
如图，在△ABC中，∠1= ∠2 =300，则 ∠ACB= .
折叠 你会折叠出三角形的高、中线和角平分线吗？
高
中线
角平分线
三角板
刻度尺
量角器
一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
探究 画出不同类型的三角形的
三条高、三条中线、三条角平分线.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
观察所画线段有什么位置关系？
B
C
重要线段之三：
概念
三角形的角平分线 A
B
DC
定义：三角形一个内角的平分线与它
的对边相交，这个角的顶点与交点之
间的线段叫三角形的角平分线.
三角形的角平分线 用几何语言表示
A
板书
∵AD是△ABC中
∠BAC的平分线(已知)
∴∠BAD=∠CAD
=
1 2
B
∠BAC
D
C
(三角形角平分线的定义)
或∠BAC=2∠BAD=2∠CAD 反之也成立
探究 画出三角形三边上的高
A A
F ●E
B
C●
D
B
你有什么发现？
A
DD C
三角形的三条高所在直线交于一点
F
B
C
E
探究 画出三角形三边上的中线
你有什么发现？
三角形的三条中线在三角形的内部交于一点.
什么是三角形的重心？
探究 画出三角形三个内角角的平分线
你有什么发现？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
3. 在△ABC中，∠ACB=90°，CB=6， CA=8， AB=10，则AB边上的高CD是多少？
拓展延伸
等腰三角形三线合一(一)2024
等腰三角形三线合一（一）引言概述：等腰三角形是一种特殊的三角形，其两条边长度相等。
在等腰三角形中，有一条特殊的线称为三角形的三线合一。
本文将详细介绍等腰三角形三线合一的相关概念和性质，为读者提供更深入的了解。
正文：一、三线的定义1. 等腰三角形的三线包括：高线、中线和角平分线。
2. 高线：等腰三角形的高线是由顶点垂直于底边所构成的线段。
3. 中线：等腰三角形的中线是由底边上一点连结对边中点所构成的线段。
4. 角平分线：等腰三角形的角平分线是由顶点连结底边上一点与等边边长的一半所构成的线段。
二、性质及关系1. 高线和底边是垂直的，即高线与底边成直角。
2. 中线和底边是平行的，且中线长度为底边长度的一半。
3. 角平分线将顶角平分为两个相等角。
4. 三线合一的交点称为三角形的垂心，垂心在等腰三角形的内部。
5. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
三、应用案例1. 在构造等腰三角形时，可以利用三线合一的性质来确定高线、中线和角平分线。
2. 利用三线合一，可以求解等腰三角形的各个角度和边长。
3. 在三角形几何问题中，三线合一也为解题提供了重要的线索。
四、证明和推论1. 可以通过垂心和三角形顶点构造直角三角形，进而证明三线合一的性质。
2. 利用三线合一的性质，可以推论等腰三角形的其他性质，如内角和、内切圆等。
五、简化计算和简便构造1. 三线合一为等腰三角形的计算和构造提供了简化的方法。
2. 利用三线合一的性质，可以简化解题过程，减少复杂的计算。
总结：等腰三角形的三线合一是三角形几何中重要的概念之一。
通过了解三线的定义、性质和关系，我们可以更好地理解等腰三角形的特性，并应用于计算和构造问题中。
通过证明和推论，我们可以进一步深入了解三线合一的原理和应用。
最后，三线合一为解题提供了简化的方法，方便我们在求解问题时进行计算和构造。
等边三角形三线合一的用法
等边三角形三线合一的用法
等边三角形三线合一是指等边三角形的三个特殊线段（高线、中线、角平分线）交于同一点，即三线合一。
这个点称为等边三角形的重心。
使用等边三角形三线合一的概念可以解决一些等边三角形相关的几何问题，例如：
1. 求等边三角形的重心坐标：可以通过等边三角形的顶点坐标，利用重心的坐标公式计算出重心的坐标。
2. 求等边三角形的重心到顶点的距离比：由于重心是等边三角形三线合一的交点，所以重心到三个顶点的距离是相等的，可以利用这一性质求出它们的距离比。
3. 求等边三角形的重心到各边的距离比：重心到等边三角形的三条边的距离比为2:1，可以通过这一性质计算出重心到各边的距离比。
4. 判断一个点是否在等边三角形内部：可以通过计算该点到等边三角形三个顶点的距离和重心到三个顶点的距离的关系来判断。
等边三角形三线合一的概念在几何学中具有重要的应用价值，可以帮助解决等边三角形相关问题，并推广到其他几何形状的研究中。
三线合一是什么意思
三线合一是什么意思
答案：
三线合一，即在等腰三角形（包括等边三角形）中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，就叫三线合一（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
扩展：三线合一，指三角形顶角角平分线，底边上的高，以及底边上的中线重合，即三条线段合为一条。
三线合一的证明：
已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
等腰三角形ABC(AB=AC)
证明：
在△ABD和△ACD中：{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
AB=AC(等腰三角形的性质)
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
得证
三线合一应用：
①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形的三线(修改)
4.能把三角形的面积平分的是三角 形的______
5.如图AD是△ABC的BC边上的中线， DE是△ADC的AC边上的中线，若 △ABC面积等于4，则△ADE的面积 等于_________ 。
练一练
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG 交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说 法那些是正确的,哪些是错误的? ①AD是⊿ABE的角平分线 (× )
•锐角三角形
•直角三角形
1 相交 相交
•钝角三角形
1 不相交 相交
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交 •高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置
3 相交 相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线 段叫做这个三角形的中线
B
A
1 2 E D C
3.如图所示:△ABC中 ,AD⊥BC于D, BE⊥AC于 E, CF⊥AB于F,则△OBC的 高是 AD 。OF是哪些三角 形的高？
△ AOB, △ AOF, △ BOF
A
F O
E D
C
B
符号语言：
●
A O
●
∵AD是△ABC的中线 1 ∴BD=CD= 2BC
F
B
E C
D 三角形的三条中线相交于一点, 交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后画出这个三角形三条 边的中线,你发现了什么?
能力拓展
1.△ABC中，AB=AC,AD是中线， △ABC的周长为34cm,△ABD周长为 30cm,，求AD的长。
三角形 的中线
A
八年级几何三线合一知识点
八年级几何三线合一知识点几何三线合一，指的是平面几何中的三条直线：角平分线、中线、高线，若它们的三个交点重合，则称之为几何三线合一。
这一概念在中学数学教学中是一个非常重要的知识点，它不仅是求解相关问题的基础，同时也具有一定的美学价值。
下面将从几何三线的定义、性质、应用及相关习题等方面进行阐述。
一、几何三线的定义在任意三角形ABC中，连接角A的平分线AD，角A的高线AE，以及AB中点M的中线MC，并使它们相交于一点O。
若AD、AE和MC三条直线交于同一点O，则称几何三线合一。
二、几何三线的性质1. 几何三线合一的位置是固定的，不受三角形形状的影响。
2. 几何三线合一的交点O是三角形ABC内心的位置。
3. 连接三角形的顶点和内心的直线分别垂直于角平分线、中线、高线。
4. 在等边三角形中，几何三线合一的交点O就是三角形的重心和垂心。
5. 几何三线性质中最为著名和重要的是欧拉线，将中心线、中线和垂心连成一条直线，就是欧拉线。
欧拉线是几何三线的扩展，它将三角形的重心、外心、内心和垂心一起联系在了一起。
三、几何三线的应用1. 求解三角形内心：通过几何三线合一可以得出三角形内心在角平分线、中线、高线的交点O处。
2. 求解三角形面积：利用几何三线求解三角形的高，然后可以求出三角形的面积。
3. 求解三角形高线长度：利用几何三线合一可以得出三角形的高线长度h。
4. 求解三角形垂心或重心的位置：通过连立几何三线的垂足可以得出垂心的位置，而通过几何三线合一可以得出重心的位置。
四、相关习题1. 在三角形ABC中，已知AB=5，AC=12，BC=13，求三角形内心I的坐标。
2. 在三角形ABC中，已知边长为3、4、5，求此三角形的内切圆的半径。
3. 在三角形ABC中，垂线AD、BE、CF交于点H，求证：HO = R + r。
通过以上的介绍，我们可以看到几何三线合一是数学教育中非常重要的一个知识点，它涉及到诸多性质和应用，是我们学习数学的基础。
空间三线角定理
空间三线角定理一、概念空间三线角定理是指空间中一个三角形的三条边及其对应的夹角之间存在一个关系，该关系可以用数学形式表示。
具体来说，设PABC是空间中的一个三角形，其中A、B、C分别表示三个顶点，a、b、c表示对应的边长，α、β、γ表示对应的夹角，空间三线角定理可以表述为：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ其中a、b、c分别为三条边的长度，α、β、γ分别为三个夹角的度数。
该定理的含义是三角形的三个角及其对边之间存在一个相等的比例关系，这个比例关系对于解析几何中的计算具有重要意义。
二、证明下面我们来证明空间三线角定理。
为了证明空间三线角定理，我们可以先假设空间中存在一个三角形PABC，其三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为α、β、γ。
根据三角函数的定义，我们知道：sinα = AB/BCsinβ = AC/BCsinγ = AB/AC其中AB、AC、BC分别表示三角形的三个边长。
根据上述的三角函数关系，我们可以将等式a/sinα = b/sinβ = c/sinγ转换为：a/AB = b/AC = c/BC由此可以得出：a/sinα = a/(AB/BC) = (a*BC)/ABb/sinβ = b/(AC/BC) = (b*BC)/ACc/sinγ = c/(AB/AC) = (c*AC)/AB因此，上述三个比例公式可以化简为：a/sinα = (a*BC)/ABb/sinβ = (b*BC)/ACc/sinγ = (c*AC)/AB这样，我们就得出了空间三线角定理。
三、应用空间三线角定理是解析几何中的一个基本性质，对于计算三角形的各种性质具有重要的作用。
具体来说，空间三线角定理可以应用于以下方面：1. 计算三角形的面积：根据空间三线角定理，我们可以利用三角形的边长和夹角来计算其面积。
具体来说，设PABC是空间中的一个三角形，其三条边长度分别为a、b、c，对应的夹角分别为α、β、γ。
三线坐标与三角形特征点
三线坐标与三角形特征点三线坐标和三角形特征点是计算机图形学中重要的概念。
三线坐标是三维空间中一点的表示，而三角形特征点是三角形几何中的一些重要点。
本文将介绍三线坐标和三角形特征点的概念、计算方法和应用。
一、三线坐标三线坐标是三维空间中一点的表示方法。
它由三个值组成：x、y、z，分别表示点在x、y、z 三个方向上的位置。
例如，点 P 在三线坐标系中的表示为 (x,y,z)。
计算三线坐标通常需要用到几何变换和矩阵运算等知识。
例如，可以用矩阵乘法将一个点的坐标进行变换，将其旋转、平移等。
在计算机图形学中，三线坐标常用于表示物体、视点和光源等物体空间中的位置和方向。
三角形特征点是三角形几何中的一些重要点。
它们包括三个顶点、三条边的中点以及三角形的重心、外心、内心、垂心等。
这些特征点具有一些特殊的性质和应用，例如可以用于三角形的剖分、重心坐标插值、求解三角形的外接圆和内切圆等。
三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点到相对边中点的连线交点。
重心具有以下性质：1. 三角形各个角平分线的交点。
2. 三角形三个重心连线交于同一点，称为欧拉点。
3. 重心到各顶点的距离之和恒等于三角形的周长。
1. 三角形外接圆的圆心为外心。
2. 外心到各顶点的距离相等，且这个距离为外接圆的半径。
1. 垂心到相对边的距离相等。
2. 当垂心在三角形内部时，三角形三条高的垂足分别在对边上；当垂心在三角形外部时，三角形三条高的垂足在对边的延长线上。
三角形的各个特征点可以用几何运算和向量运算求解。
例如，可以通过向量平移和叉积运算求解三角形的重心；可以通过向量减法和叉积运算求解三角形的垂心。
三角形的特征点在计算机图形学中有广泛应用，例如用于三角形网格的剖分和变形。
在三角形网格上，可以通过计算三角形特征点的坐标和法向量等属性，实现曲面细分、变形等效果。
总之，三线坐标和三角形特征点是计算机图形学中重要的概念，对于建立三维场景、渲染图像等任务具有重要的意义。
三角形三线合一
三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。
比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。
应用三条线合一是等腰三角形。
分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。
一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。
这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。
三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。
3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
初中数学课件三角形的三线
例题讲解
如图，是△的高，是△的内角平分线，，相交于
点,已知∠＝40°，则∠＝
.
解题方法
∵是 △ 边上的高
∴ ∠ = 90°
又∵ ∠ = 40°∴在Rt △ 中，∠ + ∠ = 90°，∠ = 50°
1
2
又∵是△的角平分线 ∴ ∠= ∠ = 25°
在Rt △ 中，∠ + ∠ = 90°，∠ = 65°
应用练习
如图，已知：是△的角平分线，是△的高，∠＝60°，
∠＝40°，求∠的度数。
应用练习
已知，如图，在△中，，分别是△的高和角平分线，若
∠＝30°，高，是∠的平分线，∠＝42°，
∠＝18°，求∠的度数。
课堂小结
原题证明
下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
原题证明
如图，已知是△的中线，＝5，＝3，△和△的周长差是（
.2
.3
.6
.不能确定
）
课堂小结
知识讲解
三角形的中线
定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点，
所得线段叫做三角形的这条边上的中线。
几何语言：如图，是△的边上的中线，
点是边的中点，
==
小技巧：
△ 的周长-
1
2
△
.
的周长= −
例题讲解
如图，在△中，＝13，＝10，为中线，则△与△的
）
原题证明
如图，是△的高，是角平分线，∠＝26°，则∠＝
课堂大总结
三角形的高线、中线、角平分线
√
思维导图
确认预判Ⅰ
下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
确认预判Ⅱ
如图，已知是△的中线，＝5，＝3，△和△的周长差是（
初中数学-暑假第2讲-三线合一-学生版
三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
简言之：两线合一，必等腰。
（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。