三角形的三线定义
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。
1．三角形的“三线”
是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理的证明
在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为“三线合一”。（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）
（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，B
D=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD
总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴∠BDA=∠CDA，BD=CD
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC，BD=CD
总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SSS）
人教版初二数学上册三角形的三线
1.AD是
A
△ABC的
12
∠BAC的平分
D C 线.
1
2.∠1=∠2= 2
∠BAC.
做一做 1. 在练习本上画出三角形,并在这个三
角形中画出它的三条高. 2. 在练习本上画三角形,并在这个三角形
中画出它的三条中线.
3. 在练习本上画一个三角形,并在这三角 形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平 分线的位置有何关系?
三角形的中线是连结一个顶点和它对边 的中点的线段, 而与过两点的直线有着本质 的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.
三角形的重 要线段
三角形的中线
意义
图形
表示法
三角形 三角形Baidu Nhomakorabea,连结 一个顶点和它
的中线 对边中的线段 B
1.AE是
A
△ABC的BC
上的中线.
E C 2.BE=EC
1 = BC.
2
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
绥江县凤池中学 王国武
复习： 1.垂线： 2.角平分线：
阅读课本P1-3的课文.
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线 有何区别和联系?
三角形的高是从三角形的一个顶点向它对 边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段, 而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂 线,这条垂线是直线.
三角形的三线整理
A
B
D
E
C
例3、 如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE,DE交 AB于E，DF∥AB,DF 交AC 于F，图中∠1与∠2有 什么关系？为什么？
A E 1 2 B D F C
拓展& 提高 ☞
3、在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
你还记得 “过一点画已知 直线的垂线” 吗?
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
0
1
2
3
4
5
6
A
B
C
0 7 8 9 10
1
2 0 3 14 2 5 3 0 1
∴ AB DE AC DF BC AM
∵ ΔABC为等边三角形 ∴DE+DF=AM ∴AB=BC=AC
AC DF BC AM AB DE ∴ = + 2 2 2
1理解三角形的三线的定义，会画一个 三角形的三线 2理解并掌握三角形的三线的性质，并 会加以应用 3.提高学生动手操作及解决问题的能力。
相关知识回顾
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个
9.1.2三角形的三线
A
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
1
2
3
4
5
0 1 4 5 6 7 8
9
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
B
A
F E O C
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
A D
B
C
三角形的角平分线
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相 交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形 ●A 的角平分线 1 2 ∵AD是 △ ABC的角平分线 ︶ ● ∴∠BAD = ∠CAD = １∠BAC ２ C B D
三角形的三条角平分线相交于一点, 交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个 角的角平分线,你发现了什么?
• P75 • 做一做 和下面的填空 写在作业本上
一天一点进步，一天一点成长 祝同学们学业精进
D
B C
(C)
D
(D)
A
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的 一个顶点,那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角三角形
三角形三线定理
A
D
C
任意画一个锐角△ABC,
A
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
B
D
C
三角形的高
(2)怎样画下面三角形的高线？（画法）
A
A
A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD
E
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
∵AD是△ ABC的中线
F
∴BD=CD= 12BC（中线的定义）B
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形 的内部。
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴ ∠ABE=__∠_C_B_E= 1__∠_A__BC
F
E
O
2wk.baidu.com
∵CF是△ABC的角平分线
B
∴∠ACB=2____∠_A_C=F2____∠_B_CF
D
C
三角形的角平分线与角的
思
平分线有什么区别？
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平 分线是一条射线.
∴∠ BA=D∠
DA=C ∠ 1 2
B。AC
(2) ∵AM是△ABC的中线，
∴ BM= CM= 1 B。C
三角形三线
三角形三线
一、情景创设，引入新课
二、自主学习（阅读课本） 活动1 预备知识
1．在△ABC 中，请指出与顶点A 相对的边．
2．请作P 点到直线l 的距离．
活动2 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线（angular bisector of a triangle ）．
如图，△ABC 的平分线交AC 于D ，线段BD 是三角形的角平分线．
我们可以用折叠的方法折出角平分线．请同学们按照课本P136图11-11所示的步骤，折出三角形的角平分线．
一个三角形，可以折出几条角平分线？请你折出一个三角形的所有的角平分线．
你发现三角形的角平分线相交于一点吗？和其他同学交流，你们有什么发现？
三角形的三条角平分线相交于一点．
三角形三条角平分线的交点在三角形 部．
活动3 三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点与它对边的 点的线段，叫做三角形的中线（median of triangle ）．
如右图，D 是BC 的中点，线段AD 就是三角形的中线．
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出每个三角形的三条中线． 你发现什么规律？
P
l
A B C D A B C D
三角形的三条中线相交于一点．这个交点叫做三角形的 .
三角形三条中线的交点在三角形 部．
活动4 三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和
垂足之间的线段叫做三角形的高线（height of
triangle ），简称三角形的高．
如右图，AD 就是三角形的一条高．
三角形的三线是什么
三⾓形的三线是什么
三⾓形的三线是底边上的⾼，底边上的中线，顶⾓的⾓平分线。三线合⼀，即在等腰三⾓形中（前提）顶⾓的⾓平分线，底边的中线，底边的⾼线，三条线互相重合。
三线合⼀的证明
已知：△ABC为等腰三⾓形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
等腰三⾓形ABC(AB=AC)
在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三⾓形的中线平分对应的边）
AB=AC(等腰三⾓形的性质)
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三⾓形对应⾓相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平⾓定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC得证
三线合⼀的逆命题
①如果三⾓形中有⼀⾓的⾓平分线和它所对边的⾼重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。
②如果三⾓形中有⼀边的中线和这条边上的⾼重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。
③如果三⾓形中有⼀⾓的⾓平分线和它所对边的中线重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：
三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:
1. 角平分线
1.1 定义
角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质
三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法
通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线
2.1 定义
中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质
三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法
同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线
3.1 定义
垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质
三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法
在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
三角形的三线定义
1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）
3、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高。
三角形的三线及面积(讲义及答案)
三角形的三线及面积（讲义）
一、知识点睛：
1. 三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
如图，在△ABC 中，作出AC 边上的高线．
C
B
A
________即为所求． 2. 面积问题：
（1）处理面积问题的思路
①_____________________________； ②_____________________________； ③_____________________________．
（2）处理面积问题方法举例 ①利用平行转移面积
l 2
C
B
A
l 1
h h
如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ②利用等分点转移面积
两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．
三角形的三线
B C
(C)
D
(D)
A
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的 一个顶点,那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角三角形
练习拓展
3.填空：
（1）如图1，AD，BE，CF是ΔABC的三条中 1 线，则AB=2 AF ,BD= CD ,AE= AC 。 （2）如图2， AD，BE，CF是ΔABC的三 条角平分线，则∠1= ∠2 , ∠3= 1 ∠ABC, 2 ∠ACB=2 ∠4 。 A
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高， B 简称三角形的高。 如图，线段AD是BC边上的高. 三角形高的符号语言： ∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
F
B
●
A O
●
E C
D 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角 形的内部.这个点叫做三角形的重心。
任意画一个三角形,然后画出这个三角形三条 边的中线,你发现了什么?
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
42 5 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
A
浅谈解三角形三线
浅谈解三角形三线
三角形高、角平分线、中线是最常见、最重要的三线。下面，笔者以例题形式对它们进行讨论。
一、直角三角形
1、求直角三角形斜边上的高
使用三角形面积相等求解，不需要辍述。
2、求直角三角形平分线
⑴锐角平分线
解法一：设AD=x，则DE=x
∵△ABC∽△EDC ∴CE=x
由勾股定理得：x2+（x）2=（8-x）2
解得x1=3，x2=-12（舍）
∴BD===3
解法二：利用角平分线的性质
∵= ∴AD=3
∴BD=3
⑵直角的平分线
解法一：设DE=x，则AE=x，CE=4-x
∵△ABC∽△EDC ∴CE=x
由勾股定理得：x2+（4-x）2=（x）2
解得x1=，x2=-12（舍）
解法二：利用角平分线的性质
= ∴CD=
∴DE= ∴AD=
3、求直角三角形中线
⑴斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半⑵直角边上的中线
使用勾股定理求解。
二、一般三角形
1、求三角形一边上的高
解：设BD=x，则CD=4-x
∴22-x2=32―（4-x）2
解得：x=
由勾股定理得AD=
2、求三角形一边上的角平分线
解：设DE=x，AE=y，则DF=x，AF=y ∴BF=2-y，CE=4-y
∵AD是角平分线
∴= ∴BD=1，CD=2
由勾股定理得
变形得x2+y2=6 ∴AD=
3、求三角形一边上的中线
解：设AD=x
在△ABC中，由余弦定理得：cosB==
在△ABD中，由余弦定理得：cosB==
解得x1=，x2=-（舍）
∴AD=
实际上，在△ABC中，设三边长分别为a，b，c，过顶点A的中线、高线、角平分线分别为ma，ha，ta，令△ABC半周长s=（a+b+c），则
三角形的三线四心及口诀
三角形的三线、四心及口诀内心是三条角平分线的交点;它到三边的距离相等..
外心是三条边垂直平分线的交点;它到三个顶点的距离相等.. 是充要条件
重心是三条中线的交点;它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍..
垂心是三条高的交点;它能构成很多直角三角形相似..
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点;它到三边的距离相等..
重心
三条中线定相交;交点位置真奇巧; 交点命名为重心;重心性质要明了;
重心分割中线段;数段之比听分晓; 长短之比二比一;灵活运用掌握好..
垂心
三角形上作三高;三高必于垂心交; 高线分割三角形;出现直角三对整;
直角三角形有十二;构成六对相似形; 四点共圆图中有;细心分析可找清..
内心
三角对应三顶点;角角都有平分线; 三线相交定共点;叫做内心有根源;
点至三边均等距;可作三角形内切圆; 此圆圆心称内心;如此定义理当然..
外心
三角形有六元素;三个内角有三边; 作三边的中垂线;三线相交共一点;
此点定义为外心;用它可作外接圆; 内心、外心莫记混;内切、外接是关键..
分别化出锐角、直角、钝角三角形的三线、四心
重心...中线交点... 3个定点的坐标为x1;y1 x2;y2 x3;y3
重心坐标就是x1+x2+x3/3;y1+y2+y3/3
第五个心：旁心
三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心叫做旁心..旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点;它到三角形三边
的距离相等..一个三角形有三个旁心;而且一定在三角形外..
三角形的三线
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 角平分线的定义
这条射线叫做这个角的平分线。 这条射线叫做这个角的平分线。
过一点画已知直线的垂线” 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
42 5 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗? 对边的垂线吗?
任意画一个三角形, 任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个 角的角平分线,你发现了什么? 角的角平分线,你发现了什么?
三角形的三条角平分线相交于一点, 三角形的三条角平分线相交于一点, 交点在三角形的内部
A
角平分线的符号语言 角平分线的符号语言
∵BE是△ABC的角平分线 是 的角平分线 1
F
O
E
C
E D F
B
拓展练习
5.如图 所示, 5.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把 如图1 ABC中 ACB=90° ABC沿直线 翻折180° 使点B 落在点B′ 沿直线AC翻折180 △ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′ 的位置,则线段AC具有性质 具有性质( 的位置,则线段AC具有性质( ) D A.是边BB′上的中线 A.是边BB′上的中线 是边BB′ B.是边BB′上的高 B.是边BB′上的高 是边BB′ C.是 BAB′的角平分线 D.以上三种性质合 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合 一
三角形三线定理
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
D
C
任意画一个锐角△ABC,
A
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
B
D
C
三角形的高
(2)怎样画下面三角形的高线？（画法）
∴线段AD是△ABC的____角_ 平分线
∵∠ADC=90°， ∴线段AD是△ABC的___高
2、如图，AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中线、高。
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠ BA=D∠
DA=C ∠ 1 2
B。AC
(2) ∵AM是△ABC的中线，
∴ BM= CM= 1 B。C
A
A
A
A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD
E
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的百度文库线.
∵AD是△ ABC的中线
F
∴BD=CD= 12BC（中线的定义）B
A 重心
●
E O
●
C
D
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
人教版八年级数学上册 三角形的三线 讲义
三角形的三线
总结：
1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线
2、三角形中，其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
3、三角形中，从一个顶点向它的对边作一条垂线段，这条线段叫做三角形的高
注意：钝角三角形的高是一个难点，很多可爱的男孩子经常画错！
例1、请画出下列三角形的三条中线、三条角平分线、三条高
（1）三条中线
（2）三条角平分线
（3）三条高
总结：
1、三角形的三线都是_______
2、三角形的三条中线交于三角形的__________
3、三角形的三条角平分线交于三角形的__________
4、（1）锐角三角形的三条高交于三角形的_______________
（2）直角三角形的三条高交于三角形的_______________
（3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形的_______________
例2、在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则①AD是△ABC的边______上的高，也是______的边BD上的高，
还是△ABE的边______上的高
②AD既是_______的边_______上的中线，又是边________上的高，还是________的角平分线
例3、如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________
（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________
1、如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=60°，
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1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）
3、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高。