20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题

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有关圆的最值问题几种类型及方法

圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。

问题类型

1. 半周长最大

问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。

解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。

2. 面积最大

问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。

解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。

3. 离心率最大

问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。

解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。

4. 切线长度最短

问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。

解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。

解决方法

方法1：运用几何知识

在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。例如，第一类问题可以通过找到两个相似

三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。

方法2：微积分方法

对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。

江苏省2020年中考数学选择填空压轴专题：《圆的综合问题》(含答案)

专题: 圆的综合问题

例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（）

A．2 B． 5 C． 3 ＋1 D．2 2

同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：

①若AD＝5，BD＝2，则DE＝2

；

②∠ACB＝∠DCF；

③△FDA∽△FCB；

④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝41

；

则正确的结论是（）

A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④

同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．

（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．

（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．

（4）连结AE、AF，如图（5）所示．

经过以上操作小芳得到了以下结论：

①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝3 3：4π，

以上结论正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以4 2 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．

同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM＝1

初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)

圆中最值域定值问题研究

类型一：

例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直

径AB上一动点，连接MP、NP。求MP+NP的最小值。

例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数

为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。

求PC+CD的最小值。

例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B

的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。求PE+PF的最小值。

类型二：折叠隐圆

基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接

AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.

例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD

边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直

线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。

例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直

角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上

的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？

例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在

直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？

类型三：随动位似隐圆

例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线

段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？

圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法

在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：

一、利用对称求最值

1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.

[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.

解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P

连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E

在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°

在Rt△ODE中 cos30°=

即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2

即PA+PC的最小值为2.

二、利用垂线段最短求最值

2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A

于点Q,则PQ长度的最小值为 .

[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。

解:连接PA、QA

因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ

在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2

即PQ=

又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2

所以PQ的最小值=

三、利用两点之间线段最短求最值

3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )

与圆有关的最值问题

圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．

【与圆有关的最值类型】

①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.

处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.

例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).

A.6；3.

B.6；4.

C.5；3.

D.5；4.

(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____．解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=

25√32+42

=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直

线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.

法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′，则 d ′=

|3cosθ+4sinθ−25|

与圆有关的最值问题,附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案

姓名

1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一

点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．

2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆

O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．

（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．

3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，

P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，

D．

则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C．

4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .

6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ．

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题

引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，

»AB

BC=，AC=，求的最大值.

a b a b

引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE

长度的最大值为( ).

A．3 B．6 C

D．

一、题目分析：

此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接

1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；

2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；

3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；

与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案

与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案

姓名

1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点

C 是第一象限内一

点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 ____

_____．

2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作

圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线

AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．

（ 1）求证： AE=b+ a ；

（ 2）求 a+b 的最大值；

（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+

ax=b 2+

ab 的一个根，

求 m 的取值范围．

3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，

P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、

AC 于 D 、 E 两点，连结

DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 6

3 3

C ．

D ．3 3

4.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．

5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个

动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.

6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形

与圆有关的最值问题,附详细答案

与圆有关的最值(取值范围)问题，附详细答案

姓名

1 .在坐标系中，点A 的坐标为(3,0),点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2.设tan/BOCm 则m 的取值范围是.

2 .如图，在边长为1的等边△OA 冲，以边AB 为直径作。D,以O 为圆心OA 长为半径作圆OC 为半圆AB 上不与AB 重合的一动点，射线AC 交OO 于点E,BC=a,AGb.

(1)求证：AE=b +a ；

(2)求a +b 的最大值；

(3)若m 是关于x 的方程：x 2+ax =b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围.

BAG 60。，半径长为1的圆O 与/BAC 勺两边相切,

P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半彳5的圆P 交射线ABAC 于HE 两点，连接DE 3. 则线段DEK 度的最大值为().A .3B.6C .越D ,343

4.如图，A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的。A切x轴于点B,P(mn)为。A上的一

个动点，请探索n+m的最大值.

5.如图，在RtAABC^,ZACB=90,AG=4,BG3,点D是平面内的一个动点，且AD=2,M

为BD的中点，在D点运动过程中，线段CMK度的取值范围是^

6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，OO的直径AB=5,AB的不同侧有定点C和

动点P,tan/CAB.其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q 11)当PG时，CQ^OO相切；此时CQ.

22)当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ勺长；

与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案

1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一

点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．

2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径

作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，

求m的取值范围．

3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，

P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、

AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).

A．3 B．6 C 33

D．33

D 4.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．

5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个

动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .

6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠

CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB

上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ．（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．

与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案

姓名

1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一

点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．

2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作

圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，

求m的取值范围．

3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，

P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、

AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).

A．3 B．6 C．33

D．33

D 4.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．

5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .

6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．

（1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ．（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．

与圆有关的最值问题

________________.
【答案】 6 2
2.3 利用基本不等式求解最值
如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如 a b 或者 a b 的表达式求最值，常常利用题设条
件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
例 8 设 m R ，过定点 A 的动直线 x my 0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P(x, y) ，则
| PA | | PB | 的最大值是
.
【答案】5
【迁移运用】 [来源:Zxxk.Com]
1．【2017 届高三七校联考期中考试】已知直线 l : x y 1 与圆 M： x2 y2 2x 2 y 1 0 相交于 A，
C 两点，点 B，D 分别在圆 M 上运动，且位于直线 AC 两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为
【答案】
0
,
4

3 4
,

【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数 y＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数 y＝tan x 的单调性求 k 的范围．
2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等

解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)

N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 2
2
.
6．(2019·鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、 B 在 x 轴上，且 OA ＝ OB . 点 P 为 ⊙C 上的动点， ∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 16 .
7．如图，已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3 的圆上的动点，经过点B(4，0)作直线l⊥x轴，点P 是直线l上的动点．若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为 2 2 .
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
1．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1， D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是( B ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．(2019·嘉兴中考)如图，在⊙O中，弦AB＝1，
点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交 1