2016石景山一模数学文

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2016年北京市石景山区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣D．y＝x|x|3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣15．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线y2＝4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．128．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48B．47，49C．49，50D．50，49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a＝．12．（5分）设，b＝1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）13．（5分）已知函数若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣D．y＝x|x|【解答】解：在A中，y＝x+1是非奇非偶函数，是增函数，故A错误；在B中，y＝﹣x2是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故B错误；在C中，y＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数，在x≠0时不是增函数，故C错误；在D中，y＝x|x|既是奇函数又增函数，故D正确．故选：D．3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若已知a1＜a2，则设数列{a n}的公比为q，因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以a1＜a2是数列{a n}是递增数列的充分必要条件．故选：C．4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣1【解答】解：以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），当E在DA上，设E（x，1），其中0≤x≤1∵＝（x﹣1，0），＝（0，1），∴＝0，当E在AB上，设E（0，y），其中0≤y≤1∵＝（﹣1，y﹣1），＝（0，1），∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，当E在BC上，设E（x，0），其中0≤x≤1∵＝（x﹣1，﹣1），＝（0，1），∴＝﹣1，当E在CD上，设E（1，y），其中0≤y≤1∵＝（0，y﹣1），＝（0，1），∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，综上所述的最大值是0，故选：A．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可得函数的周期T满足T＝﹣（﹣）＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），∴2sin（+φ）＝2，∴+φ＝2kπ+，∴φ＝2kπ﹣，k∈Z∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．12【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4，令直线AB的方程为y＝kx+b，代入抛物线y2＝4x得k2x2+2（kb﹣2）x+b2＝0，故有x1+x2＝，x1x2＝，故有4＝，解得b＝，即x1x2＝，又|AB|＝|x1﹣x2|＝，＝4＝4≤4×＝6．故|AB|的最大值为6，故选：C．8．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48B．47，49C．49，50D．50，49【解答】解：图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5＝47；图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6＝48，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z＝2×4+2＝10．故答案为：10．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a＝2．【解答】解：当a＝14，b＝20时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a 后，a＝14，b＝6，当a＝14，b＝6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a＝a﹣b后，a＝8，b＝6，当a＝8，b＝6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a＝a﹣b后，a＝2，b＝6，当a＝2，b＝6时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a后，a＝2，b＝4，当a＝2，b＝4时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a后，a＝2，b＝2，当a＝2，b＝2时，不满足a≠b，故输出的a值为2，故答案为：212．（5分）设，b＝1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b．（从小到大排列）【解答】解：∵＝sin62°，b＝1﹣2sin213°＝cos26°＝sin64°，＝sin60°，则c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．（5分）已知函数若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是m≥2或m＝0．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图则当x＜1时，f（x）∈（0，2），当x≥1时，f（x）≥0，则若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则m≥2或m＝0，故答案为：m≥2或m＝014．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了6分．【解答】解：因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1＝1，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴＝2，∴＝2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n＝2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝+＝n2+2n﹣1．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵b sin A＝a•cos B，由正弦定理可得：sin B sin A＝sin A cos B，∵sin A≠0，∴sin B＝cos B，B∈（0，π），可知：cos B≠0，否则矛盾．∴tan B＝，∴B＝．（2）∵sin C＝2sin A，∴c＝2a，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴9＝a2+c2﹣ac，把c＝2a代入上式化为：a2＝3，解得a＝，∴．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．【解答】解：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20＝9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D 是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＝0，得x＝ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以当x＝ln2时，f（x）有极小值，且极小值为f（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣ln4，f（x）无极大值…（6分）（Ⅱ）证：令g（x）＝e x﹣x2，则g′（x）＝e x﹣2x由（Ⅰ）得，g'（x）＝f（x）≥f（ln2）＝2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0所以g（x）在R上单调递增，又g（0）＝1＞0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x…12分20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）故曲线C的方程为．…（5分）（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x＝my﹣1或y＝0（舍）．则整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3＝0．…（7分）由△＝（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，．则．因为＝．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m＝0时取等号，即．的最大值为．…（13分）所以S△AOB。

2016石景山一模数学理科

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( ) A ．[]01，B ．()01，C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i >B ．5i < C ．6i >D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8B ．62 C ．10D ．82 6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x =B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．13．已知函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲 × × √ × × √ × √ 5 乙 × √ × × √ × √ × 5 丙 √ × √ √ √ × × × 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos b A a B =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；k（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}na 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．石景山区2015—2016学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBDACBCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(第9题第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ） sin 3cos b A a B =，……………2分由正弦定理得sin sin 3sin cos B A A B =，在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan 3B =，(0)B π∈，，……………4分 3πB ∴=．……………6分（Ⅱ） sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos3πa a a a =+-⋅⋅，……………10分解得3a =，∴223c a ==．……………13分题号 91011121314答案23，22y x =±10 32(1)+∞，616．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得0.15100a=，所以15a =，又352510100a b ++++=，所以15b =．……………3分（Ⅱ）设事件A 为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，……………4分由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，……………5分所以123()0.10.90.243P A C =⨯⨯=．……………7分（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，因为X 可能取得值为1000元，1500元，2000元，……………8分并且易知(1000)(1)0.35P X P ξ====，……………9分(1500)(2)(3)0.4P X P ξP ξ===+==，……………10分 (2000)(4)(5)0.25P X P ξP ξ===+==，……………11分所以X 的分布列为X1000 1500 2000 P0.350.40.25所以X 的数学期望10000.3515000.420000.251450EX =⨯+⨯+⨯=．…13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：连接1B C ，与1BC 相交于O ，连接OD ．∵11BCC B 是矩形，∴O 是1B C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥1AB ．………2分 ∵1AB ⊄平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ，………3分∴1AB ∥平面1BDC ．………4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则1(000)C ，，，(032)B ，，，(030)C ，，，(230)A ，，，(130)D ，，，………5分设111()n x y z =，，是平面1BDC 的一个法向量，则1100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，，令11x =，则11(1)32n =- ，，，………7分易知1(030)C C =，，是平面ABC 的一个法向量，………8分∴11112cos 7736n C C n C C n C C ⋅-<>===-⋅⨯，，………9分由题意知二面角1C BD C --为锐角，∴二面角1C BD C --的余弦值为27．………10分（Ⅲ）假设侧棱1AA 上存在一点(2,0)P y ，， (03y ≤≤)，使得CP ⊥平面1BDC ．则1100CP C B CP C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，，即3(3)023(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩，，∴373y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．………12分∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱1AA 上不存在点P ，使CP ⊥平面1BDC ．………14分 18．（本小题共13分）解：()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=………1分（Ⅰ）()0f π'=，()f ππ=．所以切线方程为y π=．………3分（Ⅱ）令31()()3g x f x x =-，则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-，………4分当(0)2x ∈，π时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-<所以()t x 在(0)2x ∈，π单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<=即sin x x <，所以()0g x '<………6分所以()g x 在(0)2，π上单调递减，所以()(0)0g x g <=，………7分所以31()3f x x <．………8分（Ⅲ）原题等价于sin x kx >对(0)2x ∈，π恒成立，即sin x k x <对(0)2x ∈，π恒成立，………9分令sin ()x h x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-．………10分易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0,)2π单调递增，所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<，………11分故()h x 在(0)2，π单调递减，所以2()2k h ππ≤=．综上所述，k 的最大值为2π．………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知可得2222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，，解得2221a b ==，，………2分故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．………3分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-=．………4分当228(21)0k m ∆=-+>，即2221k m >-时，………5分122412km x x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+．………6分所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k +=+．当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点1(0)2-， 21122122AOB S AB m m m ∆=⋅=⋅⋅⋅- 222(1)m m =⋅-⋅因为(1,0)(0,1)m ∈-⋃,所以2(0,1)m ∈ 1122(1)222AOB S ∆≤⋅-⋅=，当212m =时，取到等号.………8分当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点1(0)2-，，所以12121()12202y y x x k +--=-+-，化简整理得2212k m +=．………9分由22221221k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩，，得02m <<．………10分又原点O 到直线AB 的距离为21md k =+．222212242212112k m AB k x x k k -+=+-=++ 所以2224221212AOB m k m S AB d k∆-+=⋅=+………11分而2212k m +=且02m <<，则2142,022AOB S m m m ∆=-<<．………12分所以当1m =，即212k =时，AOB S ∆取得最大值22．………13分综上，AOB S ∆最大值为22．………14分20．（本小题共13分）解:（Ⅰ）①∵2n n S =，作差法可得112n n n n a S S --=-=(2)n ≥，当1n =时，11S a =；当2n ≥时，1n n S a +=，存在1m n =+，使得n m S a =∴数列{}n a 是“回归数列”．………2分②∵2n b n =，∴前n 项和2n T n n =+，根据题意22n n m += ∵(1)n n +一定是偶数，∴存在(1)2n n m +=，使得n m T b = ∴数列{}n b 是“回归数列”．………4分（Ⅱ）(1)2n n n S n d -=+，根据题意，存在正整数m ，使得2m S a =成立即21(1)d m d +=+-，102d m =<-，2m <，*m N ∈ ∴1m =，即1d =-．………8分（Ⅲ）设等差数列1(1)n a a n d =+-总存在两个回归数列11(1)n b a n a =--，1(1)()n c n a d =-+ 使得n n n a b c =+………9分证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=数列{}n b 前n 项和11(1)2n n n B na a -=-， 1n =时，1m =；2n =时，1m =；3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n n m -=+时，m n b B =. ∴存在正整数(3)22n n m -=+，使得n m B b =，∴{}n b 是“回归数列”……11分数列{}n c 前n 项和1(1)()2n n n C a d -=+存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，∴{}n c 是“回归数列”，所以结论成立．………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析

2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．D．y=x｜x|3．设｛a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列｛a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1,点E从D点出发,按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0 B． C．1 D．﹣15．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（)A．8 B．C．10 D．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ｜＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是（)A．B．C．D．7．已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1 B．3 C．6 D．128．将数字1，2，3,4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体,则柱体A和B 的表面(不含地面）数字之和分别是（）A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50,49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．若变量x，y满足约束条件,则z=2x+y的最大值．11．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,20，则输出的a= ．12．设，b=1﹣2sin213°,，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）。

石景山一模试题及答案.docx

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试语文试卷学校__________________ 姓名______________ 准考证号一、基础？运用（共20分）1.阅读下面的文字，完成第⑴—⑸题。

（共10分）古时的旅者和今日的游人都喜欢在景点题字。

古代旅者大多是寄情山水的文人墨客，他们尊重自然和历史景观的美，注重文字与自然之间的和谐关系。

无论是匾额还是石刻，都是精雕细琢，这样的文字也提升了景观自身的审美价值。

古人题字，留下的既是自己的情感，也是一种美的表达。

比如泰山沿途题字随处可见，这些文字内容丰富，形态各异，无不传达出旅人的心绪。

“①”背后是题字者渴望被重用的理想抱负，而“②”则借杜少陵的名句赞美壮丽景色，一抒心中情怀。

沿路品读这些文字，也是一种享受。

对于题字，古人有着严苛的标准，他们将胸无点墨又偏好在墙上乱刻乱画的行为，视之为“疥壁”。

“疥”即疥疮，厌恶之情不言而喻。

今天的一些游客，③，题字多是书法拙劣、内容单调的涂鸦之物。

他们不在意山水如何，以刻上“到此一游”为自得。

调查发现，在北京的景山公园、中山公园、天坛、颐和园等多个热门景区中，大片竹林成了游客刻字的“重灾区”，甚至有的竹林被刻得体无完肤，惨不忍睹。

据景区管理人员介绍，竹林一旦被刻字将永不可能再修复。

有网友总结出景点题字的三个特点：第一，能写就写，绝不放过；第二，只要一个人写，就有人跟风写；第三，下手狠，写了就难擦掉。

这种“中国式留名”引发了国人的热议和反思。

⑴对文中加点字的注音和笔顺的判断，全都正确的一项是（2分）A.琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是一弋弋弋式式B. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是丸丸式式C. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是_ T 壬工式貞*D. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是一才产彳式式A •①【甲】 ②【丙】B •①【乙】 ②【丙】C .①【甲】②【丁】D .①【乙】②【丁】⑶根据语意，横线③处填入语句恰当的一项是（2分）A •虽有在历史上留名的美好梦想，却不具备古代文人的审美情趣和书法功底B •既不具备古代文人的审美情趣和书法功底，又有在历史上留名的美好梦想C .既有在历史上留名的美好梦想，又不具备古代文人的审美情趣和书法功底D •虽不具备古代文人的审美情趣和书法功底，却有在历史上留名的美好梦想 ⑷文中引号所引词语都含有比喻义的一项是（2分）A •“疥壁” “到此一游”B •“到此一游”“中国式留名”C . “疥壁”“重灾区”D •“重灾区”“中国式留名”⑸下列宣传语中能明确表达“禁止乱刻乱画”的意思，且语气亲切友善的一项是（2分）A •用文明书写国人形象B •除了脚印，什么都别留下C .乱刻乱画，“臭”名远扬D •请不要给我上“彩妆”2 •班委会计划以“自主拼团”的方式组织同学们参观首都博物馆，本次参观的目的是通过深入了解北京历史传承北京文化。

2016北京市石景山区初三(一模)数学

2016北京市石景山区初三（一模）数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28000000元．将28000000用科学记数法表示应为（）A．0.28×108 B．2.8×108C．2.8×107D．28×1062．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7则本组数据的众数与中位数分别为（）A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，55．（3分）脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°7．（3分）在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°9．（3分）王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．如表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：加油时间油箱加油量（升）加油时的累计里程（公里）2016年3月31日30 870062016年4月3日48 87606注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是（）A．7升B．8升C．9升D．10升10．（3分）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：am2﹣4an2=．12．（3分）在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．13．（3分）反比例函数y=的图象上有两个点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1y2（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（3分）如图，AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB．15．（3分）某市2012～2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为万箱，你的预估理由是．16．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|1﹣|+（π﹣3.14）0﹣2sin60°+（）﹣2．18．（5分）已知m﹣n=，求（）÷的值．19．（5分）求不等式组的整数解．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．求证：∠AED=∠DCB．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．22．（5分）某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫成本（元） 6 8售价（元）20 25假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？23．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．24．（5分）阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（1）2016年春运40天全国民航客运量比2014年多万人次；（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．25．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若∠C=30°，EF=，求EB的长．26．（5分）阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1=x2﹣2x﹣1，y2=a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x的方程x﹣4=在0＜a＜4范围内有两个解，求a的取值范围．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；（3）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围．28．（7分）在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE＜DE，请写出求cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l1=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4﹣0|=4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x，l y．（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】将28000000用科学记数法表示为2.8×107．故选C2．【解答】点A，B，C，D表示的数分别是﹣2，﹣0.5，2，3，其绝对值分别为2，0.5，2，3，故选B．3．【解答】A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．4．【解答】∵5出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是5；把这组数据从小到大排列为：4，5，5，5，6，6，7，最中间的数是5；故中位数为5，故选D．5．【解答】∵八张脸谱图片中，为的有3个，∴在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是：．故选D．6．【解答】∵m∥n，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°．∵∠ACB=90°，∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°，∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．故选B．7．【解答】A、三视图都为正方形，故A选项不符合题意；B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意；C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意；D、三视图都为圆，故D选项不符合题意；故选C．8．【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°．∴∠D=180°﹣135°=45°．∴∠AOC=90°．故选；B．9．【解答】设这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是x升，根据题意得：x=48，解得：x=8．故选B．10．【解答】由题意和图象，可得由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大；由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大；由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小；由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小；故选C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】am2﹣4an2=a（m2﹣4n2）=a（m+2n）（m﹣2n），故答案为：a（m+2n）（m﹣2n）．12．【解答】读图可知，AC=4，BD=6，则该菱形的面积为4×6×=12．故答案为12．13．【解答】∵反比例函数y=的图象上有两个点A（﹣2，y1），B（1，y2），∴，，解得y1=﹣3，y2=6，∵﹣3＜﹣6，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．【解答】∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD；15．【解答】∵由折线统计图可知，2012﹣2013年销售量减少41﹣26=15（万箱），2013﹣2014年销售量减少26﹣12.6=13.4（万箱），2014﹣2015年销售量减少12.6﹣8.3=4.3（万箱），2015﹣2016年销售量减少8.3﹣8.1=0.2（万箱），由以上预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为8万箱，理由：2012到2015年销售量下降明显，但2015到2016年下降趋势明显变缓；故答案为：8，2012到2015年销售量下降明显，但2015到2016年下降趋势变缓．16．【解答】证明：作PD⊥BC，∵BF平分∠ABC，∠A=90°∴PA=PD，∴PD是⊙P的半径，∴D在⊙P上，∴BC是⊙P的切线．故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【解答】原式=﹣1+1﹣2×+4=4．18．【解答】原式=•mn=n﹣m，∵m﹣n=，∴原式=﹣．19．【解答】解不等式①得：x＞﹣2；解不等式②得：x≤；所以不等式组的解集为﹣2＜x≤．整数解为：﹣1，0，1．20．【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=DB，∴∠B=∠DCB．∵DE⊥AB于点D，∴∠A+∠AED=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠B=∠AED，∴∠AED=∠DCB．21．【解答】（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，解得k＞﹣；（2）若k为负整数，则k=﹣1，此时原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2．22．【解答】设购进白色文化衫x件，购进黑色文化衫y件，根据题意可得：，解得：，答：购进白色文化衫120件，购进黑色文化衫80件．23．【解答】（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD，∴四边形ABDE是菱形；（2）解：∵∠ABC=90°，∴∠GBH+∠ABG=90°，∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG=90°，∴∠GAB=∠GBH，∵cos∠GBH=，∴cos∠GAB=，∴==，∵四边形ABDE是菱形，BD=14，∴AB=BD=14，∴AH=16，AG=，∴GH=AH﹣AG=．24．【解答】（1）5140﹣4407=733万人，故答案为：733；（2）2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量统计表（单位：亿人次）公共交通铁路公路客运量年份2014 2.66 32.62015 2.95 24.222016 3.25 24.9525．【解答】（1）证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴CD=DB，又CO=AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠F=30°，∴OA=OD=OF，∵∠AEF=90°EF=，∴AE=，∵OD∥AB，OA=OC=AF，∴OD=2AE=2，AB=2OD=4，∴EB=3．26．【解答】请结合小捷的思路回答：由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．故答案为：a＜﹣2．解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3=a，设y1=x2﹣4x+3，y2=a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．27．【解答】（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（﹣5，6），∴6=25m﹣20+1，解得m=1，∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）∵直线y=﹣x+1与直线y=x+3的交点为（﹣1，2），∴两直线的对称轴为直线x=﹣1．∵直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，∴﹣=﹣1，解得m=2；（3）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，∴当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，即，解得3＜m≤4．28．【解答】（1）补全图形，如图1所示，∠ABF与∠CBE的数量关系为：∠ABF+CBE=45°，证明：如图2，连接BF，EF，延长DC到G，使CG=AF，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∴△BAF≌△BCG，∴BF=BG，∠ABF=∠CBG，∵AF+CE=EF，∴EF=GE，∴△BEF≌△BEG，∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE，∴∠ABF+∠CBE=45°．（3）解：设正方形的边长为3a，AF=x，∵点E是CD三等分点∴EF=CG+CE=x+a，DE=2a，DF=3a﹣x，在Rt△DEF中，EF2=DF2+DE2，∴（x+a）2=（3a﹣x）2+（2a）2，∴x=a，∴EF=x+a=a+a=，∴cos∠FED===．29．【解答】（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度l y=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度l x=4．故答案为：4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4﹣x．∵l x=l y，∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．∴D（﹣，）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4﹣x．∵l x=l y，∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．∴D（﹣10，﹣14）．综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣10，﹣14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．∵l x=l y，∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜．。

2016年北京石景山区初三一模数学试卷答案

∴四边形ABDE是菱形．
（2）若BD = 14，cos ∠GBH
jia
答案解析
GH =
15 4
∵∠ABC ∴∠GBH
= 90
os h
=
7 8
∘
，
∘
i.i
，求GH 的长．
+ ∠ABG = 90
∵AD⊥BE， ∴∠GAB + ∠ABG = 90∘ ． ∴∠GAB = ∠GBH ． ∵cos ∠GBH
于点F ，连接BE，交AD于点G．
目录
选择题（本题共30分，每小题3分）填空题（本题共18分，每小题3分）解答题（本题共72分，第17-26题，每小…
（1）求证：四边形ABDE是菱形．
∴四边形ABDE是平行四边形． ∵AD平分∠C AB， ∴∠C AD = ∠BAD ． ∵AC //BD， ∴∠C AD = ∠ADB ． ∴∠BAD = ∠ADB ． ∴AB = BD ．
hi
D
.iz hi
的概率= ．
8 3
由概率公式知，随机抽取一张为
6. 如图，直线m//n，△ABC 的顶点B，C 分别在直线n，m上，且∠AC B = 90∘，若∠1 = 40∘，则∠2的度数为（）．
A.
140
∘
B.
130
∘
C.
120
∘
D.
110
∘
答案解析
B ∵m//n， ∴∠3 = ∠1 = 40∘ ， ∵∠AC B = 90∘ ， ∴∠4 = ∠AC B − ∠3 = 50∘ ， ∴∠2 = 180∘ − ∠4 = 130∘ ．
7. 在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）．

2016年北京市石景山区高三理科数学一模试卷

2015-2016学年石景山区第一次模拟考试试卷（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D.4. 下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A. B. C. D.5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A. B. C. D.6. 在数列中，“”是“数列为递增数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为A. B.C. D.8. 德国数学家科拉茨年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半即；如果是奇数，则将它乘加即，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为注可以多次出现，则的所有不同值的个数为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 双曲线的焦距是，渐近线方程是．10. 若变量，满足约束条件则的最大值等于11. 如图，是半圆的直径，，为半圆的切线，且，则点到的距离12. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，若直线与曲线交于、两点，则13. 已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是14. 某次考试的第二大题由道判断题构成，要求考生用画“”和画“”表示对各题的正误判断，每题判断正确得分，判断错误不得分，请根据如下甲，乙，丙名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了三、解答题（共6小题；共78分）15. 设的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，求，的值16. 我市某苹果手机专卖店针对苹果手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果手机的人进行统计注每人仅购买一部手机，统计结果如下表所示：已知分（1）求，的值；（2）求“购买手机的名顾客中每人仅购买一部手机，恰好有名顾客分期付款”的概率；（3）若专卖店销售一部苹果手机，顾客分期付款即全款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元．用表示销售一部苹果手机的利润，求的分布列及数学期望．17. 如图，三棱柱中，平面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在侧棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．18. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）若对恒成立，求实数的最大值．19. 已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线通过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求为坐标原点面积的最大值．20. 若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．（1）前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．答案第一部分1. D2. B3. D4. A5. C6. D7. C8. B第二部分9. ；10.11.12.13.14.第三部分15. （1）因为，由正弦定理得，在中，，即，，所以．（2）因为，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，所以．16. （1）由题意得，所以，又，所以．（2）设事件为“购买一部手机的名顾客中，恰好有名顾客分期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，所以．（3）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，因为可能取得值为元，元，元，并且易知，，，所以的分布列为所以的数学期望．17. （1）连接，与相交于，连接．因为是矩形，所以是的中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的一个法向量，则即令，则，易知是平面的一个法向量，所以，由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）假设侧棱上存在一点，使得平面．则即所以所以方程组无解，所以假设不成立．所以侧棱上不存在点，使平面．18. （1），，，所以切线方程为．（2）令，则，当时，设，则，所以在单调递减，，即，所以，所以在上单调递减，所以，所以．（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则，易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以，综上所述，的最大值为．19. （1）由已知可得解得，，故椭圆的标准方程为．（2）设，，联立方程消去得，当，即时，，，所以，，当时，线段的垂直平分线显然过点，，因为，所以．，当时，取到等号，当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得，由得，又原点到直线的距离为，，所以，而且，则，，所以当，即时，取得最大值，综上，最大值为．20. （1）因为，作差法可得，当时，，当时，，存在，使得，所以数列是“回归数列”．因为，所以前项和，根据题意，因为一定是偶数，所以存在，使得，所以数列是“回归数列”．（2），根据题意，存在正整数，使得成立，即，，，所以，即．（3）设等差数列，总存在两个回归数列，，使得，证明如下：，数列前项和，时，，时，，时，为正整数，当时，，所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，数列前项和，存在正整数，使得，所以是“回归数列”，所以结论成立．。

北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷理(含解析)

石景山区—第一次模拟考试试卷.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( )A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x =D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．62 C ．10 D ．82 6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x = B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s =+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．13．已知函数2log 0()30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲××√××√×√ 5 乙×√××√×√× 5 丙√×√√√××× 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△ABC的内角A B C，，，且sin3cos，，的对边分别为a b c=．b A a B（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3sin2sinb C A，，求a c，的值．==16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a10 b已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：a，b的值；（Ⅰ）求（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111A B C A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三文科数学期末试卷附参考答案

北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷数学（文）第一部分（选择题共40 分）、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一6 .一个四棱锥的三视图如右图所示, 这个四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.12D. 24项• b5E2RGbCAP1 •已知集合 A 二{-1,1,2, 3} , B 二{x|x 》2},那么 A 「|B 等于（）A . {3}B . {2,3}C. {-1,2,3}D . {-1,1,2,3}2 .复数 i(3 4i) 二（)A . -4 3iB . 4 3iC. 3 — 4i D . 3 4iA . 3B . 5 C. 7 D . 94•下列函数中既是奇函数又在区间（0, •：：）上单调递减的是（x3A . y = eB . y = In( -x) C. y = x1D . y 二x5 .已知关于的一次函数y 二mx • n ，设m •{ -1,1,2} , n { -2, 2}，则函数y =mx • n 是增函数的概率是（）A .B .C.3 10D .3 •执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（）2 2 27. 已知抛物线y =2px(p .0)的准线与圆(x_3) y =16相切，则p 的值为()1A .B . 1C 2D . 48.六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局.第一天，A 、B 各参加了 3局比赛，C 、D 各参加了 4局比赛，E 参加了 2局比赛，且A 与C 没有比赛过， B 与D 也没有比赛过.那么 F 在第一天参加的比赛局数为() P^anqFDPwA . 1B . 2C. 3 D . 4第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 向量a = (J3,1), b=(J3,-1), a 与b 夹角的大小为 _____________________ .2x10. 函数f (x) = -------- (x 33)的最大值为 __________________ .x -111.已知△ ABC 中，AB=. 3 , BC=1 , sinC=,3cosC ，则△ ABC 的面积为.［八0,13. ___________________________________________________________________ 设变量x , y 满足约束条件＜x — y +1色0,则z = x + y 的最大值为 ________________________________________ .2+ y -3兰0,14. 甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名.今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为 18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有 12 件、14 件、16 件.DXDiTa9E3d① 产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件； ② 这批产品的总数最多有件.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知等比数列 a?的公比为q ，且q =1, 4=2, 3a 「2a 2,a 3成等差数列. (I)求数列(a n /的通项公式；x 212若双曲线- 4 2-1的渐近线方程为m则双曲线的焦点坐标是.(H)设数列(b n ?是一个首项为-6，公差为2的等差数列，求数列:a n 'b n?的前n项和.16.(本小题共13分)已知函数f(x) =2sin(n x) sinx ,3cos2x .(I)求f (x)的最小正周期；(n)求f (x)在［,］上的最大值.12 617.(本小题共13分)30新高考政策已经在上海和浙江试验实施.为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：RTCrpUDGiT(I)若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，3位同学选择了“物理、政治、历史”组合•求a、b、c的值；(n)在(I)的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为心X2,选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y2、y3.现从这5位同学中任取2位(假定每位同学被抽中的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率.5PCzVD7HxA20.(本小题共13分)18. (本小题共14分)如图 1，等腰梯形 BCDP 中，BC // PD , BA_PD 于点 A , PD =3BC ，且 AB 二BC=1. 沿AB 把A PAB 折起到A PAB 的位置(如图(I)求证：CD 丄平面PAC ; (H)求三棱锥 A 一 P BC 的体积； (川)线段PA 上是否存在点 M ，使得BM 请说明理由.19.(本小题共14分)2 2已知椭圆C :笃•占=1(a b 0)的离心率为 ' ，点(2,0)在椭圆C 上.a b 2(I)求椭圆C 的标准方程；(H)过点P(1,0)的直线(不与坐标轴垂直)与椭圆交于A 、B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为 B .直线AB 与X 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由.jLBHrnAlLg.丿1 3 2已知函数 f x x • ax • (2 a -1)x (a •二 R).3(i)若f (x)在点(0,0)处的切线方程为y = x ，求a 的值；2),使 N PAD =90* .//平面PCD .若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在,DA D图1(n)求f (x)的单调区间；(川)当a = 一1 时，设f (x)在x1,x2(x1：：：X2)处取到极值，记Mg’fX)).A(0, f(0)) , B(1,f (1)) , C(2, f(2)),判断直线AM、BM、CM与函数f (x)的图象各有几个交点(只需写出结论).石景山区2016—2017学年第一学期期末考试高三数学(文)参考答案•选择题共8小题，每小题5分，共40分.•填空题共6小题，每小题5分，共30 分.三.解答题共6小题，共80分.15.(本小题共13分)解：(i)因为3a1.2a2.a3成等差数列，所以4a? — 3a1 a3. ....... 2 分所以4&q =3a1• a1q2.所以q2-4q 3=0 .所以q =3或q =1(舍) 4分设事件A 表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”所以a . = 2 3“亠 (6)(n) b n = -6 (n 「1)2=2n -8 . ••…8 分所以 a n b n =2n -8 2 3n - . ••…9 分所以 S n = (a i a^ .............. a n ) (bi b^ .................. b n )16.(本小题共13分)解：(I) f(x)=2cosxsinx 「/3cos2x ........................ 1 分=sin 2x “3 cos2x (2)分n=2sin(2 x 川一),3因此f (x)的最小正周期为 n .因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以有3位同学选择了理政史组合，所以 b 二丄，从而c = 110 3所以a =2 , b 二丄,.30 ' 10 ' 3(n)从5位同学x n x 2, y 1, y 2, y 3中任取2位，所有可能的结果为:{X 1,X 2} , {X 1,yd , {^，丫?} , {*,『3} , {X 2, %},{X 2,y 2} , {x 2, y a }, {y 1,y 2} , {y 1, y a } , {y 2, y a } (8)....................................................... 分n(-6 2n -8) 2 .2(1-3n )1-3=n 2 -7n 3n -1 .13分17. 解: (n)当n n nn 2 nx —,—］时，_ *2x12 6 6 33n n2x32 n，sin(2x+n 有最大值1.10分n「2时，(本小题共13 分) (I)由频率分布表得f (x)的最大值为2 .13分1 12 a b c =1,5 6 151 * 一15，令 f'(x) =0，贝y x —1 或 x =1 -2a , 4分则 A 包含的基本事件为：{x i ,x 2}, {%,y 2}, {y i ,y 3}, {y 2,y 3}共4个,18.（本小题共14分）解：（I ）因为.PAD =90’，所以PA 丄AD .因为在等腰梯形中， AB 丄AP ，所以在四棱锥中， AB 丄AP '. 又AD 一 AB =A ，所以PA 丄面ABCD .因为CD 二面ABCD ，所以PA 丄CD . ，八...... 3分因为等腰梯形 BCDE 中，AB _ BC , PD =3BC ，且 AB =BC =1 . 所以 AC = . 2 ,CD = . 2 , AD =2 •所以 AC 2 CD 2 = AD 2 .所以AC 丄CD .因为PA ' AC = A ,所以CD 丄平面PAC .……5分1 1(U) S A ABCBC AB , ............. 7分 2 2因为PA 丄面ABCD .所以V A -P BC -V P -ABC1 S A ABC3（川）存在一点M , M 为PA 的中点，使得BM //面PCD ,10分证明：取PA 中点M , PD 中点N ，连结因为所以因为所以所以四边形 M , MN BC DMN // BM , MN , NC ,所以 BM // CN .因为 BM 二面 P C D , CN 二面 P C D .所以BM //平面P CD .... .......................................14分又基本事件的总数为 10，故所求的概率42 咻）甘513分19.(本小题共14分)解：(I)因为点(2,0)在椭圆C 上，所以a = 2 .又因为e，所以c=、.3.a 2所以 b = - a 2 _c 2 =1.2所以椭圆C 的标准方程为：xy 2 .4(n)设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2),B(X 2,-y 2),Q(n,0).设直线 AB : y =k(x _1)(k =0) . (6)分2 2 2 2 2 2y=k(x-1)和x 4y -4 =0，得：(1 4k )x -8k x 4k -4 = 0.又 % =k(x -1),y^k(x 2 -1),联立所以1X 2心，住十1 4k2 1 4k 2直线 AB •的方程为y 一％ =亠匹(X 一洛),X t _x 2%(X 1 - X 2) _ X 1 y 2 X2 %x 1 -y 「y 211分* y 2所以n=込a 尬=4.x<^ x 2 - 213分所以直线AB ■与x轴的交点Q是定点，坐标为Q(4,0).14分20.(本小题共13分)解：(I)由题意f (x) =x2 2ax 2a -1,因为f (x)在(0,0)点处切线方程为y = x ,所以f (0) =2a -1 =1，解得a =1,经检验a =1时满足条件. ............ 3分(叮由(I) f '(x)二x2 2ax 2a -1 = (x 1)(x 2a-1)①当a 1 时，1 _2a ：：：一1,令f '(x) .0，解得x ：：：1 _2a 或x . 一1；令f '(x) ：：：0 ,解得1 -2a ：：：x ：：：-1 .所以函数f (x)的单调增区间为(_：：,1_2a)和(-1,：：),单调减区间为(1-2a, _1). ...................... 分②当a =1时，1 — 2a - -1，此时，f'(x)_0恒成立，且仅在x = -1处f '(x) =0 ,故函数f (x)的单调增区间为(_：：,•：：). ................. 7分③当a ：：：1 时，1 _2a • -1,同理可得函数f (x)的单调增区间为(-：：，-1)和(1 -2a,：：), 单调减区间为(_1,1-2a) ..................... .............. 分(川)直线AM与f(x)的图象的交点个数是3个； ............. 1分直线BM与f (x)的图象的交点个数是3个；分直线CM与f (x)的图象的交点个数是2 个.令f'(x) =0，贝y x —1 或x=1 -2a, 4分。

2016北京市石景山区高三(一模)数学(文)

2016北京市石景山区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．D．y=x|x|3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0 B．C．1 D．﹣15．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1 B．3 C．6 D．128．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50，49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a= ．12．（5分）设，b=1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）13．（5分）已知函数若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲××√××√×√ 5乙×√××√×√× 5丙√×√√√××× 6丁√×××√×××？丁得了分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）=e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．【解答】y=x+1不是奇函数，y=﹣x3在R上是减函数，y=在定义域上不是增函数，y=x|x|=，故y=x|x|是增函数且为奇函数．故选：D．3．【解答】若已知a1＜a2，则设数列{a n}的公比为q，因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以a1＜a2是数列{a n}是递增数列的充分必要条件．故选C4．【解答】以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），当E在DA上，设E（x，1），其中0≤x≤1∵=（x﹣1，0），=（0，1），∴=0，当E在AB上，设E（0，y），其中0≤y≤1∵=（﹣1，y﹣1），=（0，1），∴=y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，当E在BC上，设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x﹣1，﹣1），=（0，1），∴=﹣1，当E在CD上，设E（1，y），其中0≤y≤1∵=（0，y﹣1），=（0，1），∴=y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，综上所述的最大值是0，故选：A．5．【解答】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．6．【解答】由图象可得函数的周期T满足T=﹣（﹣）=，∴T=π，∴ω==2，∴f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），∴2sin（+φ）=2，∴+φ=2kπ+，∴φ=2kπ﹣，k∈Z∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=﹣故选：A．7．【解答】设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x得k2x2+2（kb﹣2）x+b2=0，故有x1+x2=，x1x2=，故有4=，解得b=，即x1x2=，又|AB|=|x1﹣x2|=，=4=4≤4×=6．故|AB|的最大值为6，故选C．8．【解答】图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5=47；图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z=2×4+2=10．故答案为：10．11．【解答】当a=14，b=20时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=14，b=6，当a=14，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=8，b=6，当a=8，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=2，b=6，当a=2，b=6时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=4，当a=2，b=4时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=2，当a=2，b=2时，不满足a≠b，故输出的a值为2，故答案为：212．【解答】∵=sin62°，b=1﹣2sin213°=cos26°=sin64°，=sin60°，则c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．【解答】作出函数f（x）的图象如图则当x＜1时，f（x）∈（0，2），当x≥1时，f（x）≥0，则若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则m≥2或m=0，故答案为：m≥2或m=014．【解答】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．16．【解答】（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．17．【解答】（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20=9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．【解答】（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以当x=ln2时，f（x）有极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值…（6分）（Ⅱ）证：令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0所以g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x…12分20．【解答】（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）故曲线C的方程为．…（5分）（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1或y=0（舍）．则整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．…（7分）由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，．则．因为=．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m=0时取等号，即．所以S△AOB的最大值为．…（13分）。

北京市石景山区2016年中考一模数学试题(含答案)

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校姓名准考证号下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为A．0.28×108 B．2.8×108 C．2.8×107 D．28×1062．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是A．点AB．点BC．点C D．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不．属于．．中心对称图形的是A B C D4．某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：则本组数据的众数与中位数分别为A．5，4 B．6，5C．7，6D．5，55．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是DB CA–1–2123A ．31 B ．85 C ．53 D ．83 6．如图，直线m ∥n ，△ABC 的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且∠ACB = 90°，若∠1= 40°，则∠2的度数为 A ．140° B ．130°C ．120°D ．110°7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势” 分别穿过这两个空洞，则该几何体为A B C D8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B =135°，则∠AOC 的度数为A ． 45°B ．90°C ．100°D ．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百．．公里．．的平均耗油量大约是 A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是图1图212nm CAA ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：224am an -=_______________．12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为． 13．反比例函数6y x=的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y 2y （用“>”，“<”或“=”连接）．14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．第14题图第15题图15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是__________________________________________________． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是____________________________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．E DCBA17．计算：()211 3.142sin 602π-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭．18．已知m n -=求111m n mn ⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值．19．求不等式组3(1)1,23 2.3x x x +>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．．．． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．求证：∠AED =∠DCB ．21．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根． 22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：售价（元）假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？ 23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长．24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．EDCBAHGF E DC B A2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF =EB 的长． 26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．xEA CD B27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，E 为边CD（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称；（2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最AC DB大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。

2015-2016学年北京市石景山区初三一模数学试卷(WORD版含答案)讲解

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校 __________________ 姓名 _______________ 准考证号_ -、选择题（本题共 30分，每小题3分） 1 .据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元.将28 000 000用科学记数法表示应为 8 A . 0.28 10 2. 如图，数轴上有 A .点A C .点C 8 7 B . 2.8 X 0 C . 2.8 X 0 A , B , C , D 四个点，其中绝对值小于 B .点B D .点DA B4 ---------- 1__L -2 -1 03. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于的是 A C 5. 6. 7. 6 D . 28 X10 2的数对应的点是C D■J ------- * -----------；__1 2 3 中心对称图形 D第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7 则本组数据的众数与中位数分别为 4.某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：A . 5, 4B . 6, 5C . 7, 6D . 5, 5 脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征•在 F 列八张脸谱图片中，随机抽取一张为 1 A .- 3 如图，直线的度数为 A . 140 ° 在娱乐节目丿的概率是 5 3 3 B . C . D . 8 5 8m // n ,A ABC 的顶点 B , C 分别在直线 n , m 上，且/ ACB= 90°若/ 1= 40 ° 则/ 2 B . 130 ° C . 120 ° D . 110 ° “墙来了！ ”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙物造型的空洞. 推入水池.类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势” 过这两个空洞，则该几何体为分别穿 CD&如图，四边形 ABCD 是O O 的内接四边形，/ B=135 °则/ AOC 的度数为A . 45 °B . 90 °C . 100 °D . 135 °9.王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满.下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：A . 7 升B . 8 升C . 9 升D . 10 升10 .为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛.路线图如图 1所示，点E为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 P 从点B 出发，沿着B-E-D 的路线匀速行进，到达点 D .设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为 y .现有y 与t 的函数关系的图象大致如图则这一信息的来源是A .监测点A 二、填空题（本题共 11 .分解因式：12 .如图，方格纸中有一四边形ABCD （A , B , C , D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 ___________________ .13 .反比例函数 y =6的图象上有两个点 A （—2$ ）, B （1,y 2），则 y, —（用“ >”，“<”或“=”加油时间油箱加油量（升）加油时的累计里程（公里） 2016年3月31日 30 870062016年4月3日 48876062所示,B .监测点B18分，每小题3分）-4an 2=2am A的平均耗油量大约是注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里 Dx第14题图15 .某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估年该市春节期间烟花爆竹销售量约为 ___________ 万箱，你的预估理由是 ___________________ 16 .阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在厶ABC 中，/ A=90° .求作：O P ,使得点P 在边AC 上，且O P 与AB , BC 都相切2016石景山一模连接）. 14 .如图，AD=AE ,请你添加一个条件2017，使得△ ADC ◎△ AEB .小轩的主要作法如下: 如图，(1) 作/ ABC 的平分线BF ，与AC 交于点P ; (2) 以点P 为圆心，AP 长为半径作O P . 老师说：所以小轩的作法所求.”请回答：O P 与BC 相切的依据是 ___________________________________________ .解答题(本题共 72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7 分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.计算：1 — J 3 +(江—3.14)—2sin 60°+ — I .' 丿 12丿18.已知,求丄的值.\m n 丿 mn3(x 1) x -1, 19•求不等式组2的整数解.x 3_2. ...320.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 是AB 边上的中线，DE 丄AB 于点D ,交AC 于点E .求证：/ AED= / DCB .21.已知关于x 的一元二次方程 x 2 -3x • 1 - k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若k 为负整数，求此时方程的根. 22.某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”•每种文化衫的17.C成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫成本(元) 68售价(元) 2025假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件?23. 如图，在△ ABC中，/ ABC=90 °过点B作AC的平行线交/ CAB的平分线于点D，过点D作AB 的平行线交AC于点E,交BC于点F，连接BE，交AD于点G.(1)求证：四边形ABDE是菱形；(2)若BD=14, cos/ GBH = 7，求GH 的长.8D24. 阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为人类规模最大的周期性迁徙”.2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2% ;全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%;水路客运量4260万人次，同比下降0.6% ;民航客运量5140万人次，同比增长4.7% .今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次.2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4% .全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次.2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12% .其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次.根据以上材料解答下列冋题：(1) 2016年春运40天全国民航客运量比2014年多万人次：(2)请你选择统计表或统计图，将2014〜2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来.25. 如图，在△ ABC中，AB=AC,以AC为直径作O O交BC于点D，过点D作O O的切线，交AB于点E,交CA的延长线于点F . ( 1)求证：EF丄AB;(2)若/ C=30° EF =J6，求EB 的长.B26. 阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式2 _ _x -2x-1-a 9恒成立，求a的取值范围.小捷的思路是：原不等式等价于X2-2X-1 a ,设函数y^i = x2-2x-1 ,y2二a ,画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y i的图象在y 的图象上方时a的取值范围.请结合小捷的思路回答：对于任意实数X，关于X的不等式x2-2x-1-a・0恒成立，则a的取值范围是 ___________ .参考小捷思考问题的方法，解决问题：a _3关于X的方程X -4 在0 ：：：x ：：：4范围内有两个解，求a 的取227.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C: y = mx 4x 1.(1)当抛物线C经过点A -5,6时，求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)当直线y = -x • 1与直线x 3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；(3)若抛物线C：^mx2 4x 1 (m . 0)与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间(不包括-1和0)，结合函数的图象，求m的取值范围.y*28.在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图1画出△ BEM，使得△ BEM与厶BEC关于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究/ ABF与 / CBE的数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求cos/ FED的思路.(可以不写出计算结果 ).备用图29.在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x1, y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点•若洛-x2的最大值为m，贝U图形W在x轴上的投影长度J = m ；若％ _ y2的最大值为n ,则图形W在y轴上的投影长度l y= n •如右图，图形W在x轴上的投影长度1=3 —1=2 ；在y轴上的投影长度| y = 4 — 0 = 4.(1)已知点A(3,3), B(4,1).如图1所示，若图形WOAB，则|x二____ , l y二(2)已知点C(4,0)，点D在直线y- -2x 6上，若图形W为△ OCD •当l x = ly时，求点D的坐标.(3)若图形W为函数y=x2( a^x^b)的图象，其中0 _ a ：：： b .当该图形满足l x = l y乞1时，请直接写出a的取值范围.石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试、选择题（本题共 30分，每小题3 分）题号 1 23 4 5 67 8 9 10 答案C B A DDBCBBC二、填空题（本题共 18分，每小题3分）11. a m 2n m -2n ； 12. 12 ； 13. yi ：： y2; 14.如一C = B 或 AC 二 AB 等；15•预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据•如： 8万，预估理由是下降趋势变缓. 16•角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线.三、解答题（本题共 72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）即：9-4 1 -k 0 . 解得 k ...................................................................................................... 2分4（2）若k 为负整数，贝y k _ -1, ........................................... 3分原方程为x 2 -3x ■ 2 = 0 , 解得％ =1,X 2 =2 . ••…2016 石景山一模17.解：原式=-1 • 1 -2 4218. 1 111解：原式=()mn =mnmn = n-m . m nm n(或原式=-—m mn = n-m ....... .....................mn分）19.20.解：解不等式3x1・x-1，得x • -2 ............. .............................2 3解不等式 x ，3_2，得x .............................. ..............................................................-2-2 ：： x _ 3 ...........................2•原不等式组的整数解为-1, 0, 1. ..........................证明：••• Rt A ABC 中，.ACB =90 , CD 是AB 边上的中线,•••原不等式组的解集为• CD —二 AB —DB (2).......... 1分• Z B _NDCB ..... .................................... 2 ............... 分 ••• DE 丄AB 于点D ,• Z A+NAED=90®.…… (3)................. 分••• N A+NB=90 °,• N B =NAED .. ................... . (4)............... 分 • N AED — ZDCB . ............. ................... 5 ................. 分21.22.解: 设购进白色文化衫 x 件，黑色文化衫y 件. ....................... 1 分根据题意，得x y 200, x=120,i……分解得彳......... 4分14x 17y =3040. y =80. 答: 购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件. (5)分23. (1)证明：T AC //BD , AB //ED ,•••四边形ABDE 是平行四边形. (1)分•/ AD 平分乙CAB , •••乙 CADZBAD .15 •- GH = AH - AG =——24. （ 1）733 (1)分（2）例如：统计表如下：2014〜2016年春运40天全国铁路、公路客运量统计表（单位：亿人次）公共交通客运量年份铁路公路2014 年 2.66 32.6 2015 年 2.95 24.22 2016 年3.2524.955分25. (1)证明：连接 OD , AD ,•/ AC 为O O 的直径，• / ADC=90° .又••• AB=AC ,•/ AC // BD ，•乙CADZADB .••• E BAD ZADB••• AB =BD .(2)解:•••四边形ABDE 是菱形.••• cos GBH =8，AB AG AH AB•••四边形 ABDE 是菱形，BD =14, /. AB = BD =14 • AH =16,AG 』42 分•.•乙ABC =90 ,• E GBH ZABGB •CD = DB.又CO=AO ,OEA••• OD // AB. ........................... 1 分•/ FD是O O的切线，• OD 丄DF . • FE丄AB. ........ 2 分(2)解：T " =30 £AOD =60在Rt^ODF 中，.ODF =90 , • . F = 30 .• OA=OD=1oF 在Rt A AEF 中，.AEF =90 ,•/ OD // AB, OA =OC = AF • OD =2AE =2 一◎AB =2OD =4,2 . • EB =3、2 . ...... 5 分26. ............................................................................................................. 解：a ：：: —2; 2分解决问题：将原方程转化为x2-4x • 3 = a •设函数y<j = x2 - 4x 3, y^ a , ................................................ 3 分记函数y1在0：：：x：：：4内的图象为G,于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时/. 6 = 25m -20 1 • m =1 ...............• y = x2 +4x+1 • y = (x+2 2 _3•抛物线的顶点坐标是-2,-3 . .................................. 3分(2)•••直线y - -x • 1与直线、二*3相交于点-1,2•两直线的对称轴为直线x - -1 . ...................................... 4分T直线y = -x • 1与直线y = x • 3关于抛物线C : y = mx2 4x1的对称轴对称4 ’••…-1 • m = 2 . ........................................... 5 分2m a的取值范围，结合图象可知5分27.(3) 3 ：： m _4 . ................................................. 7 分28. (1)补全图形，如图1所示.(2) . ABF 与.CBE 的数量关系：.ABF • . CBE = 45 ......... 2 分证明：连接BF , EF ，延长DC 到G ，使得CG 二AF ，连接BG--3分 AB = BC , A - . BCD = . ABC = 90 ••• △BAF 心 BCG .BF = BG ，/ABF = . CBG .•/ AF CE =EF ,• EF -GE . .............. 4 分 ••• △BEF 也厶 BEG ../ABF ./CBE . ................................ 5 分AF 为 x ，贝U EF = x a ,b. 在 Rt △ EFD 中，由 EF 2 二 DF 2 DE 2 ,2 2 2 可得 x a 3a - x j 亠〔2a从而得到x 与a 的关系2x =3a ；c. ................................................................................................ 根据 cos / FED = DE =2a ，可求得结果. .................................... 7 分EF x+a29. ................................................................ 解：(1) 4, 3. 2 分(2)设点 D x, -2x 6 .①当 x 一 0 时，I = 4 一 x,l y - -2x 6 .•-〔x "y ,• 4 - x = -2x 6,•••四边形ABCD 为正方形,• . ABF . CBE =45 .(3)求解思路如下：a .设正方形的边长为 3a , DF = 3a - x ；•x =2 .0 (舍去).②当0 ：： x ：：： 4时，J =4,l y = _2x 6 .••• l^ l y ,4= -2x + 6 ,x =1 或x = 5 (舍去).••• D 1,4 .③当x_4时,l x=x,l y=2x—6 .••• l^ l y ,•x = 2x -6 ,•• x = 6 .• D 6, -6 .综上满足条件的D点的坐标为1,4或6,-6 .(3)1 八0 _ a . ...................... 8 分2。

【试题】北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷理含解析

【关键字】试题石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则＝( )A． B． C． D．2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A． B． C． D．4．下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A． B．C． D．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．B．C．D．6．在数列中，“”是“数列为递增数列”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为( )A． B． C． D．8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半 (即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为( )A．4 B．6 C．32 D．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量满足约束条件则的最大值等于_____．11．如图，是半圆的直径，，为半圆的切线，且，则点到的距离＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，若直线与曲线相交于两点，则＝____．13．已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△的内角的对边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数352510已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S 手机的利润，求的分布列及数学期望． 17．（本小题共14分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，直线 :l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}na 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B 【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A ．不是奇函数，B ．不是增函数，C ．不是增函数，只有 D ．既是奇函数又是增函数故答案为：D 【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A 【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

北京市石景山区2016年九年级数学统一练习暨毕业考试

石景山区2016年九年级统一练习暨毕业考试数学试卷学校姓名准考证号下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为 A ．0.28×108B ．2.8×108C ．2.8×107D ．28×1062．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是 A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于．．．中心对称图形的是A B C D4．某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：则本组数据的众数与中位数分别为A ．5，4B ．6，5C ．7，6D ．5，55．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是A ．31B ．85 C ．53 D ．83 AD B C A–1–21236．如图，直线m ∥n ，△ABC 的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且∠ACB = 90°，若∠1= 40°，则∠2的度数为A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势” 分别穿过这两个空洞，则该几何体为A B C D8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B =135°，则∠AOC 的度数为 A ． 45° B ．90° C ．100° D ．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：87006 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是 A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是图1 图2A ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224am an =_______________．12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为． 13．反比例函数6y x=的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y 2y （用“>”，“<”或“=”连接）．14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．第14题图第15题图15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是__________________________________________________． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：请回答：⊙P 与BC 相切的依据是____________________________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()211 3.142sin 602π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭．18．已知m n -=111m n mn⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值．E DCBA销售量/万箱19．求不等式组3(1)1,23 2.3x x x +>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．．．． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．求证：∠AED =∠DCB ．21．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根． 22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？ 23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长． 24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．E DCAHGF E DC B A25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF =EB 的长． 26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．xEA CD B28．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称；（2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形AC DB满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．石景山区2016年九年级统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。

2016年北京市石景山区高三第一次模拟考试理科数学试卷

石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页， 150 分．考试时长 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M{ x | x 0 ，x R } ，N { x | x 2， R } ，则 MN ＝()1 xA ． 0，1B ． 0，1C ． 0，1D ． 0，12．设 i 是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于 ()1 iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A ． y x 1B ． yx 3C ． y1 D ． y x xx4．下图给出的是计算1 1 11的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件2 4 610是( )A ．i5B ．i5C．i6 D ．i65．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面中最大的是A．8B． 62C．10D． 826．在数列a n中，“ a n 1 a n”是“数列a n为递增数列”的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．函数f ( x) A sin( x) ( A 0 ，0 ，) 的部分2图象如图所示，则将y f ( x) 的图象向右平移个单位6后，得到的函数图象的解析式为()A ． y sin 2 x B．y sin(2 x 2)C．y sin(2 x)D． y cos 2 x 368．德国数学家科拉茨1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果 n是偶数，就将它减半 (即 n)；如果n 是奇数，则将它乘3 加 1(即 3n 1 )，不断重复这样的运算，2经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项 )按照上述规则施行变换后的第8 项为 1（注： 1 可以多次出现 )，则n 的所有不同值的个数为 ()A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．x 2 y 2 的焦距是 ________，渐近线方程是 ________． 9．双曲线12x 2 y 8 ，10．若变量 x ，y 满足约束条件0 x4，则 z 2x y 的最大值等于 _____．0 y3，11．如图， AB 是半圆 O 的直径，BAC30， BC 为半圆的切线，且 BC4 3 ，则点 O 到 AC 的距离 OD ＝ ________．12．在平面直角坐标系中，x 1 s ，已知直线 l 的参数方程为 1 ( s 为参数 )，曲线 C 的参数ysx t 2 ，，若直线 l 与曲线 C 相交于AB ＝．方程为t( t 为参数) A ，B 两点，则y 2____， 0 ，13．已知函数 f ( x) log 2 x x x a 0 有且只有一个实根，则实x，0 ，关于 x 的方程 f ( x)3 x数 a 的取值范围是 ________．14．某次考试的第二大题由8 道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得 1 分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了 _______________分．三、解答题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13 分）设△ ABC 的内角A ，，的对边分别为，，，且b sin A3a cos B．B C a b c（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 b 3 ，sin C2sin A ，求a，c的值．16．（本小题共13 分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期频数3525a10b已知分 3 期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求 a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的 3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分 1 期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或 3 期付款，其利润为1500 元；分 4 期或5 期付款，其利润为2000 元．用X表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共 14 分）如图，三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，AA 1 ⊥平面 ABC ，BC AC ，BC AC 2 ，AA 13，D 为 AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB 1∥平面 BDC 1；（Ⅱ）求二面角 C 1 BD C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1 上是否存在点P，使得CP ⊥平面BDC1 ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共 13 分）已知函数 f ( x ) sin x x cos x ．（Ⅰ）求曲线 y f ( x) 在点 (π，f (π)) 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当 x(0 ， ) 时， f ( x ) 1 x 3 ；2 3（Ⅲ）若 f ( x )kxx cos x 对 x (0 ， ) 恒成立，求实数k 的最大值．219．（本小题共 14 分）x 2 y 21(a b 0)的短轴长为 2，离心率为2kx m 与已知椭圆 C: 2b 2，直线 l : y a2椭圆 C 交于 A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点 (0 ， 1) ．2（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）求△ AOB （ O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共 13 分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{ a n }的前 n 项和 S n a m，则称{ a n }是“回归数列” ．（Ⅰ）①前 n 项和为 S n2n 的数列 { a n } 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为 b n2 n 的数列 { b n } 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设 { a n } 是等差数列，首项 a 1 1 ，公差 d 0 ，若 { a n } 是“回归数列” ，求 d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{ a n } ，总存在两个“回归数列”{ b n } 和 { c n }，使得a nb nc n (n N * ) 成立，请给出你的结论，并说明理由．石景山区 2015— 2016 学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案DBDACBCB二、填空题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分．题号9 101112 13 14答案2 3 ， y2 1032(1， )6x2(第 9 题第一空 2 分，第二空3 分 )三、解答题共 6 小题，共 80 分．15．（本小题共 13 分）解：（Ⅰ）b sin A 3a cosB ，,,,,, 2 分由正弦定理得 sin B sin A 3sin A cosB ，在△ ABC 中， sin A 0 ，即 tan B 3 ， B (0 ，π) ，,,,,, 4 分πB．,,,,, 6 分3（Ⅱ） sin C2sin A ，由正弦定理得 c2a ，,,,,,8分由余弦定理b2a2c22ac cos B ，得 9a24a22a(2a)cos π,,,,,10分，3解得 a 3 ，∴ c2a 2 3．,,,,,13 分16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意得a0.15 ，100所以 a15，又 3525a10 b100，所以 b 15 ．,,,,, 3 分（Ⅱ）设事件 A 为“购买一部手机的 3 名顾客中，恰好有 1 名顾客分4 期付款”，,,,,, 4 分由题意得：随机抽取一位购买者，分 4 期付款的概率为 0.1 ，,,,,, 5 分所以 P( A)C310.1 0.920.243．,,,,,7 分（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P(ξ1)0.35 ， P(ξ 2)0.25 ，P(ξ 3)0.15， P(ξ 4)0.1 ， P( ξ 5) 0.15，因为 X 可能取得值为1000 元， 1500 元， 2000 元，,,,,,8 分并且易知 P(X1000)P(ξ 1)0.35 ，,,,,,9 分P( X1500)P(ξ 2)P(ξ 3) 0.4 ，,,,,,10 分P( X 2000)P(ξ 4)P(ξ 5)0.25 ，,,,,,11 分所以 X 的分布列为X100015002000P0.350.40.25所以 X 的数学期望EX10000.351500 0.42000 0.251450．,13分17．（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）证明：连接 B1C ，与 BC1相交于 O ，连接 OD ．∵ BCC1 B1是矩形，∴ O 是 B1C 的中点．又 D是AC的中点，∴OD∥AB1．,,, 2 分∵ AB1平面 BDC1， OD 平面 BDC1，,,, 3 分∴ AB1∥平面 BDC1．,,, 4 分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则C1 (0 ，0，0) ，B(0，3，2) ， C(0，3，0)，A(2，3，0)，D(1，3，0) ，,,, 5 分设n，，是平面BDC1的一个法向量，(x1y1z1 )n C1B0 ，11，则即3y2zx13y10，n C1D 0，令 x1 1 ，则 n(1，11,,,7 分3， )，2易知C1C，，是平面 ABC 的一个法向量，,,,8分(0 30)∴ cos n，C1Cn C1C12,,,9 分n C1C7，376由题意知二面角 C1BD C 为锐角，∴二面角 C1（Ⅲ）假设侧棱BD C 的余弦值为2．,,,10 分7AA1上存在一点P(2,，y，0)(0y 3 )，使得CP平面 BDC1．y3，则CP C1BCP C1D 0 ，3(y3)0，7．,,,12 分，即2 3( y3)∴0 ，0，y3∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱 AA 上不存在点P，使CP⊥平面 BDC ．,,,14分1118．（本小题共 13 分）解： f ( x) cos x (cos x x sin x)x sin x,,,1分（Ⅰ） f ( ) 0 ， f ( )．所以切线方程为y ．,,,3 分（Ⅱ）令 g( x) f ( x)1 x 3 ，3则 g ( x) x sin xx 2x(sin x x) ，,,, 4 分当 x(0 ， ) 时，设 t ( x) sin x x ，则 t ( x) cos x 1 02所以 t (x) 在 x(0 ， ) 单调递减， t (x) sin x xt (0)2即 sin x x ，所以 g ( x) 0 ,,,6 分所以 g( x) 在 (0 ， ) 上单调递减，所以g ( x)g (0) 0，,,,7 分2所以 f ( x)1 x 3 ． ,,, 8 分3（Ⅲ）原题等价于sin x kx 对 x(0 ， ) 恒成立，2sin xx (0 ， ) 恒成立， ,,,9 分即 k 对x 2令 h(x) sin x x cos x sin x f ( x)． ,,,10 分x ，则 h (x) x 2x 2易知 f ( x) x sin x0 ，即 f ( x) 在 (0, ) 单调递增，2所以 f ( x)f (0) 0 ，所以 h ( x) 0 ，,,,11 分故 h(x) 在 (0 ， ) 单调递减，所以kh( ) 2．22综上所述， k 的最大值为 2．,,, 13 分19．（本小题共 14 分）ec 2 ， a 2解：（Ⅰ）由已知可得 2b2，解得 a 22 ，b 2 1 ，,,,2分a 2b 2c 2 ，2 故椭圆 C 的标准方程为xy 2 1．,,, 3 分2（Ⅱ）设 A( x 1 ，y 1 ) ， B(x 2 ，y 2 ) ，y kx m ，联立方程x 2y 2 1，2消去 y 得 (1 2k 2 ) x 24kmx 2m 22 0 ．当8(2k 2 m 2 1) 0 ，即 2k 2 m 2 1时，x 1x 21 4km， x 1 x 2 2m 2 2 ．2k 2 1 2k 2所以x1x 2 1 2km ，y1y 2 1 m ．22k 222k 2当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线显然过点(0， 1)2SAOB1AB m 1 m 2 21 m 2222 (1 m 2 ) m 2因为 m( 1,0)(0,1) ,所以 m 2(0,1)SAOB2(1 1 ) 1 2 ，当 m 21 时，取到等号 .2 222当 k0 时，因为线段 AB 的垂直平分线过点 (0， 1) ，2y 1 y 2( 12)1 ，所以x 2 2x 1 0k2化简整理得 2k21 2m ．由2k 2 1 2m ，m 2 ．2k 2得 01 m2 ，又原点 O 到直线 AB 的距离为 dm ．1 k2,,, 4 分,,, 5 分,,, 6 分,,, 8 分,,, 9 分,,,10 分AB 1 k2 x1x2 2 1 k 24k22m2212k2所以 S AOB 1AB d m4k22m22,,,11 分12k22而 2k2 1 2m 且 0m 2 ，则S AOB14m2m2 ,0m2．,,,12 分2所以当 m 1，即 k21时， S AOB取得最大值 2 ．,,,13 分22综上， S AOB最大值为 2 ．,,,14 分220．（本小题共 13 分）解: （Ⅰ）①∵S n2n，作差法可得a n S n S n1 2n 1 (n2) ，当 n 1时， S1a1；当 n2时， S n a n 1，存在m n 1，使得 S n a m∴数列 {a n } 是“回归数列”．,,, 2 分②∵b n2n ，∴前n项和 T n n2n ，根据题意 n2n 2m∵ n(n1) 一定是偶数，∴存在m n(n 1)，使得 T n b m 2∴数列 { b n } 是“回归数列”．,,, 4 分（Ⅱ） S n n n(n1)d ，根据题意，存在正整数m ，使得S2a m成立2即 2 d 1 (m 1)d ， d10 ，m 2， m N *m 2∴ m1，即 d 1 ．,,,8分（Ⅲ）设等差数列a n a1(n1)d总存在两个回归数列b n a1(n1)a1， c n(n1)(a1 d )使得a n b n c n,,,9 分证明如下：b nc n a1 (n 1)a1(n 1)a1(n 1)d a n 数列 {b n } 前n项和 B n na1n( n 1) a1，2n 1时， m 1； n 2 时， m1；n 3 时，2(n3)n为正整数，当 m2(n 3)n 时，b m B n.22∴存在正整数 m2(n 3)n，使得 B n b m，∴ { b n } 是“回归数列”,,11 分2数列 { c n} 前n项和 C n n(n 1)(a1d) 存在正整数 m n( n 1)1，使得 C n c m，∴22 { c n } 是“回归数列” ，所以结论成立．,,,13 分。