【全国市级联考】辽宁省锦州市2017届高三质量检测(二)数学(理)试题(解析版)
2017年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共6页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.3i 1i +=+ （ ）A .12i +B .12i -C .2i +D .2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若{}1AB =，则B =（ ）A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A .90πB .63πC .42πD .36π5.设x ，y 满足约束条件2330,2330,30.x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩≤≥≥则2z x y =+的最小值是（ ）A .15-B .9-C .1D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A .12种B .18种C .24种D .36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A .2B .3C .4D .59.若双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A .2B .3C .2D .23310.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A .32B .155C .105D .3311.若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 （ ） A .1-B .32e --C .35e -D .112.已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________最小是（ ） A .2-B .32-C . 43-D .1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX = .14.函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是 . 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑. 16.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN = .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知2sin()8sin 2B AC +=. （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b .18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）.其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点.（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值.20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12xC y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21.（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --＜＜.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，332a b +=.证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：3i (3i)(1i)2i 1i 2++-==-+，故选D . 名师点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若1z ，2z 互为共轭复数，则221212||||z z z z ⋅=⋅，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.【考点】复数的除法 2.【答案】C【解析】试题分析：由{1}AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140m -+=，3m =，{1,3}B =，故选C ．名师点睛：集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 【考点】交集运算，元素与集合的关系 3.【答案】B【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B .名师点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论.【考点】等比数列的应用，等比数列的求和公式4.【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．名师点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．【考点】三视图，组合体的体积 5.【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2(6)(3)15Z =⨯-+-=-，故选A .名师点睛：求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值，当0b ＞时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b ＜时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.【考点】应用线性规划求最值 6.【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选D ．名师点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 【考点】排列与组合，分步乘法计数原理 7.【答案】D【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D .名师点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下） 【考点】合情推理 8.【答案】B【解析】试题分析：阅读程序框图，初始化数值1a =-，1K =，0S =. 循环结果执行如下：第一次：011S =-=-，1a =，2K =； 第二次：121S =-+=，1a =-，3K =； 第三次：132S =-=-，1a =，4K =；第四次：242S =-+=，1a =-，5K =； 第五次：253S =-=-，1a =，6K =； 第六次：363S =-+=，1a =-，7K =. 结束循环，输出3S =.故选B .名师点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：①要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；③按照题目的要求完成解答并验证. 【考点】程序框图 9.【答案】A【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线距离为d ==则点(2,0)到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e =．故选A ． 名师点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a ＝－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．【考点】双曲线的离心率，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 10.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1BC D ∠，1=2BC 60=3BD，11=C D AB易得22211=C D BD BC +，因此111cos =5BC BC D C D ∠，故选C .名师点睛：平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π(0]2，，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考点】异面直线所成的角，余弦定理，补形的应用 11.【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)ex f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．名师点睛：（1）可导函数()y f x ＝在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '＝，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不相同；（2）若()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．【考点】函数的极值，函数的单调性 12.【答案】B【解析】试题分析：如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+--≥，当(0P 时，所求最小值为32-，故选B .【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值二、填空题 13.【答案】1.96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得(1)1000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()C 1n kkk n p X k p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．【考点】二项分布的期望与方差14.【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式，则22231()1cos cos(cos144f x x x x x x=--=-+=-+由π[0,]2x∈可得cos[0,1]x∈，当cos x=()f x取得最大值1.名师点睛：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析.【考点】三角变换，复合型二次函数的最值15.【答案】21nn+【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有113,4102432,adda+⨯=+=⎧⎪⎨⎪⎩解得11,1,da=⎧⎨=⎩数列的前n项和1(1)(1)(1)11222nn n n n nSnn da n--+++⨯==⨯=，裂项可得12112()(1)1kS k k k k==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n==-+-++-=-=+++∑.名师点睛：等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1a，n a，d，n，n S，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.【考点】等差数列前n项和公式，裂项求和.16.【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MB l⊥与点B，NA l⊥与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x=-，则2AN=，4FF'=在直角梯形ANFF'中，中位线32AN FFBM'+==，由抛物线的定义有：3MF MB==，结合题意，有3MN MF==，故336FN FM NM=+=+=．【考点】抛物线的定义，梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．三、解答题17.【答案】（1）15cos17B=；（2）2b=．【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知A B C+=，再利用诱导公式化简sin()A C+，利用降幂公式化简21cossin22B B-=，结合22sin cos1B B+=即可求出cos B；（2）利用（1）中结论15cos17B=，结合三角形面积公式可求出ac的值，根据6a c+=，进而利用余弦定理可求出b的值.试题解析：（1）由题设及πA B C ++=，可得2sin 8sin 2BB =，故sin 4(1cos B B =-. 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217ABC S ac B ac =△.又=2ABC S △，则172ac =.由余弦定理及6a c +=得：222217152cos ()2(1cos )362(1)4217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=，所以2b =.【考点】余弦定理，三角形面积公式【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a c +，ac ，22a c +三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐． 18.【答案】（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）52.35 kg ．【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A 的概率估计值； （2）写出列联表计算的2K 观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35 kg .试题解析：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为0.0120.0140.0240.0340.0()4050.62⨯++++=， 故()P B 的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为0.0680.0460.0100.00850.6)6(+++=⨯， 故()P C 的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=. （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：2K 的观测值22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈. 由于15.705 6.635＞，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为0.0040.0200.04450(.)340.5++⨯=＜，箱产量低于55 kg 的直方图面积为0.0040.0200.0440.0685(0.680.)5+++⨯=＞， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.38(kg)0.068-+≈.名师点睛：（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． （2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．【考点】独立事件概率公式，独立性检验原理，频率分布直方图估计中位数 19.【答案】（1）证明：取PA 的中点F ，连结EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF AD ∥，1=2EF AD ，由=90BAD ABC =∠∠得BC AD ∥, 又1=2BC AD ，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平行四边形，CE BF ∥. 又BF ⊂平面PAD ,BCE ∉平面PAB ，故CE ∥平面PAB .（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C，P，(1,0,PC ，(1,0,0)AB ， 设(,,)M x y z ，则(1,,)BM x y z =-，(,1,PM x y z =-，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而=(0,0,1)n 是底面ABCD 的法向量， 所以cos ,sin 45BM 〈〉=n2=，即222(1)0x y z -+-=.① 又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则x λ=，1y =，z =.②由①②解得，11,x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），11,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以(1M -，从而(1AM =. 设000(,,)x y z =m 是平面ABM 的法向量，则0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0000(220,0,x y x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩所以可取(0,m .于是cos ,||||⋅〈〉==m n m n m n ，因此二面角M AB D --. 【解析】试题分析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ,由题意证得CE BF ∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,m ，(0,0,1)n ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --. 名师点睛：（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,〈〉m n 互补或相等，故有|cos ,|||o |s |c θ⋅〈〉=＝m nm n m n ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【考点】判定线面平行，面面角的向量求法20.【答案】（1）设(,)P x y =，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y -，0(0,)NM y .由2NP NM =得0x x =，0y y . 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知(1,0)F =-.设(3,)Q t =-，(,)P m n =，则，(3,)OQ t =-，(1,)PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(,)OP m n =，(3,)PQ m t n =---.由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】试题分析：（1）设出点P 、M 的坐标，利用2NP NM =得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222xy +=；（2）利用1OP PQ ⋅=可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥，据此即可得出结论. 名师点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(,)0F x y ==． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入（相关点）法：动点(,)P x y =依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(,)P x y =的轨迹方程． 【考点】轨迹方程的求解，直线过定点问题 21.【答案】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥. 因为(1)=0g ，()0g x ≥，故(1)=0g '，而1()g x a x'=-，(1)1g a '=-，得1a -. 若1a -，则1()1g x x'=-.当01x ＜＜时，()0g x '＜，()g x 单调递咸； 当1x ＞时，()0g x '＞，()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g =≥. 综上，1a =.（2）由（1）知2()ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x ＜；当1(,)2x ∈+∞时，()0h'x ＞，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2(e )0h -＞，1()02h ＜，(1)0h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x ＞；当0(,1)x x ∈时，()0h x ＜，当(1,)x ∈+∞时，()0h x ＞． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-． 由0(0,1)x ∈得01()4f x ＜． 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1(1)e 0,-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=． 所以220e ()2f x --＜＜．【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立.名师点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 22.【答案】（1）()()22240x y x -+=≠ （2）2【解析】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值.理科数学试卷 第21页（共22页） 理科数学试卷 第22页（共22页） 试题解析：（1）设P 的极坐标为()()0ρθρ,＞，M 的极坐标为11()()0ρθρ,＞. 由题设知OP ρ=，14cos OM ρθ==. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程为0)4cos (ρθρ=＞，因此2C 的直角坐标方程为22(240)()x y x -+=≠.（2）设点B 的极坐标为()(0)B B ραρ,＞，由题设知2OA =，4cos B ρα=，于是OAB △的面积1ππsin 4cos sin 2sin 22233B S OA AOB ρααα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅∠=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当π12α=-时，S取得最大值2+OAB △面积的最大值为2.名师点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用。
2017年辽宁省锦州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5} 2．（5分）已知复数（其中a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣23．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（10，6）的定直线上，则数列{a n}的前19项和S19的值为（）A．190B．114C．60D．1204．（5分）直线m：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线n，则直线n被圆C所截得的弦长为（）A．B．C．D．25．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．7．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种8．（5分）设方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0B．x1x2＝1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．1006B．1007C．1008D．100910．（5分）已知三棱锥A﹣BCO，OA，OB，OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在底面BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．3+π11．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）已知函数f（x）＝，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，，BC的中点为F，，则＝．14．（5分）设a＝cos xdx，则（2x﹣）6展开式的常数项为．15．（5分）实数x，y满足约束条件，则2x+的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}各项均为正数，a1＝，对任意的n∈N*，有a n+1＝a n+a n2，若a n＞1，则n的最小值为．三、解答题（共5小题，满分58分）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2＝ab+bc+ca．（1）证明△ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC＝2CD，AD＝，求sin∠BAD的值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC ＝AD＝1，CD＝．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，问：是否存在直线AB，使得S1＝S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2，求证：+＞2ae．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（I）若对x∈[0，4]不等式f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围；（II）当a＝2时，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2017年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4，5}．故选：D．2．（5分）已知复数（其中a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵＝为纯虚数，∴，解得a＝．故选：B．3．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（10，6）的定直线上，则数列{a n}的前19项和S19的值为（）A．190B．114C．60D．120【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（10，6）的定直线上，∴a n﹣6＝k（n﹣10），可得a10＝6，且数列{a n}为等差数列．则数列{a n}的前19项和S19＝＝19a10＝114．故选：B．4．（5分）直线m：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线n，则直线n被圆C所截得的弦长为（）A．B．C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：∵直线m：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，∴直线m：kx+y+4＝0（k∈R）经过圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的圆心C（﹣2，2），∴﹣2k+2+4＝0，解得k＝3，∴A（0，3），∵过点A（0，k）作斜率为1的直线n，∴直线n的方程为：y﹣3＝x，即x﹣y+3＝0，圆心C（﹣2，2）直线n的距离d＝＝，圆C的半径r＝＝，∴直线n被圆C所截得的弦长：|AB|＝2＝2＝．故选：C．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，该几何体的体积是V组合体＝V正方体﹣V四棱锥＝23﹣×22×1＝．故选：A．6．（5分）函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x+）cos（﹣x）＝﹣（x﹣）cos x＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x＝π时，f（π）＝（π﹣）cosπ＝﹣π＜0，故排除C，故选：D．7．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44＝192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44＝144种情况，则不同的发言顺序种数192+144＝336种，故选：A．8．（5分）设方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0B．x1x2＝1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，即为y＝|lnx|和y＝（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）＝lnx1+lnx2＝﹣+＝，由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．1006B．1007C．1008D．1009【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，由正弦函数，余弦函数的取值规律可得：当n＝1，满足条件r+s＝1，i＝1n＝2，不满足条件r+s＝1，n＝3，不满足条件r+s＝1，n＝4，满足条件r+s＝1，i＝2n＝5，不满足条件r+s＝1，…观察规律可得，当n＝4k（k为整数）时，i的值为2k，由于2017＝504×4+1，可得：当n＝2016时，i的值为504×2＝1008，满足条件n＜2017，满足条件r+s＝1，i＝1009，此时，不满足条件n＜2017，退出循环，输出i的值为1009．故选：D．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCO，OA，OB，OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在底面BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．3+π【考点】L3：棱锥的结构特征．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO 内运动（含边界），由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体为该球体的，即：S＝+π×12×3＝．故选：B．11．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y＝﹣x，则F1到渐近线的距离为＝b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|＝2b，A为F1M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：由题意，f′（x）＝，∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则t+﹣λ＝0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴，∴λ＞e+，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，，BC的中点为F，，则＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则B（1，0），D（0，1），E（，0），F（1，），设G（a，b），由，得（）＝2（a﹣1，b﹣），解得G（）．∴，．则＝﹣1．故答案为：．14．（5分）设a＝cos xdx，则（2x﹣）6展开式的常数项为﹣160．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：a＝cos xdx＝sin xdx＝1，则（2x﹣）6＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴（2x﹣）6展开式的常数项为﹣8×＝﹣160，故答案为：﹣160．15．（5分）实数x，y满足约束条件，则2x+的最小值为2．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：实数x、y满足约束条件的可行域如图：可得A（，3），B（，），C（，），目标函数在线段BA上取得最小值．2x+≥y+≥2，当且仅当y＝1，x＝时取等号．故答案为：2．16．（5分）已知数列{a n}各项均为正数，a1＝，对任意的n∈N*，有a n+1＝a n+a n2，若a n＞1，则n的最小值为2018．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵a n+1＝a n+a n2，a1＝，∴a n+1＞a n＞0．∴＝﹣，∴++…+＝+﹣+…+﹣＝2﹣，∴2﹣＜．当n＝2016时，2﹣＜＜1，得a2017＜1．2﹣＞．当n＝2017时，2﹣＞＞1，得a2018＞1．因此存在n，使得a n＞1，且n的最小值为2018．故答案为：2018．三、解答题（共5小题，满分58分）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2＝ab+bc+ca．（1）证明△ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC＝2CD，AD＝，求sin∠BAD的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：（1）证明：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c∴△ABC为等边三角形（2）∵△ABC是等边三角形，BC＝2CD，∴AC＝2CD，∠ACD＝120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos∠ACD，可得：7＝4CD2+CD2﹣4CD•CD cos120°，解得CD＝1，在△ABC中，BD＝3CD＝3，由正弦定理可得sin∠BAD＝＝＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC ＝AD＝1，CD＝．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．【考点】L Y：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．又∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面P AD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面P AD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°．∵P A＝PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面P AD，∴平面PQB⊥平面P AD．…（9分）解：（Ⅱ）∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为＝（0，0，1）；Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0）．设M（x，y，z），则＝（x，y，z﹣），＝（﹣1﹣x，﹣y，﹣z），∵＝t，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，＝（0，，0），＝（﹣，，），∴平面MBQ法向量为＝（，0，t）．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴cos30°＝＝＝，∴t＝3．…（15分）19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200＜x≤400时，y＝0.5×200+0.8×（x﹣200）＝0.8x﹣60，当x＞400时，y＝0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）＝x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y＝．（2）由（1）可知：当y＝260时，x＝400，则P（x≤400）＝0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3＝0.8，100a+0.05＝0.2，∴a＝0.0015，b＝0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x＝50时，y＝0.5×50＝25，∴P（y＝25）＝0.1，当x＝150时，y＝0.5×150＝75，∴P（y＝75）＝0.2，当x＝250时，y＝0.5×200+0.8×50＝140，∴P（y＝140）＝0.3，当x＝350时，y＝0.5×200+0.8×150＝220，∴P（y＝220）＝0.2，当x＝450时，y＝0.5×200+0.8×200+1.0×50＝310，∴P（y＝310）＝0.15，当x＝550时，y＝0.5×200×0.8×200+1.0×150＝410，∴P（y＝410）＝0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY＝25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05＝170.5．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，问：是否存在直线AB，使得S1＝S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由题意，知：c＝1，e＝＝即＝，∴a＝2，b＝1，∴该椭圆C的方程为：+＝1；（2）结论：不存在直线AB，使得S1＝S2．理由如下：假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x、y轴垂直．所以直线AB的斜率存在，设其方程为：y＝k（x+1）（k≠0），联立直线AB与椭圆C方程，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝，所以G（，），由DG⊥AB，得：×k＝﹣1，解得：x D＝，即D（，0），因为△GFD～△OED，所以＝，所以•＝，即＝，又因为S1＝S2，所以|GD|＝|OD|，所以＝||，整理得：8k2+9＝0，由于此方程无解，故不存在直线AB，使得S1＝S2．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2，求证：+＞2ae．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）x＞0，恒有f（x）≤x成立，∴xlnx﹣x2≤x恒成立，∴≥，设g（x）＝，∴g′（x）＝，当g′（x）＞0时，即0＜x＜e2，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0时，即x＞e2，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e2）＝，∴≥，∴a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞）；（2）g′（x）＝f（x）′﹣1＝lnx﹣ax，函数g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）＝lnx﹣ax＝0有两个不同的实根，当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）＝0不可能有两个不同的实根；当a＞0时，设h（x）＝lnx﹣ax，∴h′（x）＝，若0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，若x＞时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（）＝﹣lna﹣1＞0，∴0＜a＜．不妨设x2＞x1＞0，∵g′（x1）＝g′（x2）＝0，∴lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），先证+＞2，即证＜，即证ln＜＝（﹣）令＝t，即证lnt＜（t﹣）设φ（t）＝lnt﹣（t﹣），则φ′（t）＝﹣＜0，函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）＝0，∴+＞2，又∵0＜a＜，∴ae＜1，∴+＞2ae．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为：ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，∴（x﹣2）2+y2＝4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2＝4得：（t cosα﹣1）2+（t sinα）2＝4，化简得t2﹣2t cosα﹣3＝0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝，∵|AB|＝，∴＝．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（I）若对x∈[0，4]不等式f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围；（II）当a＝2时，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，∴不等式f（x）≤3的解集M＝[a﹣3，a+3]．由题意可得[0，4]⊆M，∴，求得1≤a≤3．（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|，设g（x）＝f（x）+f（x+5）＝|x﹣2|+|x+3|．由|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5（当且仅当﹣3≤x≤2时等号成立），可得g（x）的最小值为5．因此，若g（x）＝f（x）+f（x+5）≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是（﹣∞，5]．。
辽宁省锦州市2017-2018学年高三下学期第二次质量检测理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(U R R =是实数集), {}{}2|11,|20A x x B x x x =-≤≤=-<,则()U AC B = （ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2C ．[]0,1D ．(][),12,-∞+∞【答案】D考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知()()12a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位), 则a bi +等于（ ）A ．2B ．1 D ．1【答案】B 【解析】 试题分析：()()2212(1)20,12,11a i bi i a b ab i i a b ab a b ab a b +-=⇒++-=⇒+=-=⇒=-=-⇒==a bi +== B.考点：复数相等及模概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =,则1x =” 的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“1m =” 是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直” 的充要条件C ．命题“0x R ∃∈,使得20010x x ++<” 的否定是﹕“x R ∀∈,均有210x x ++<” D ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角, 若A B =,则sin sin A B =” 的否命题为真命题 【答案】D 考点：命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的各个面中, 最大的面积是（ ）A ．2．1 C ．2 D ．4【答案】A考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 5.如图是秦九韶算法一个程序框图, 则输出的S 为（ ）A ．()()1030020a x a x a a x +++的值B ．()()3020100a x a x a a x +++的值 C ．()()0010230a x a x a a x +++的值 D ．()()2000310a x a x a a x +++的值 【答案】C考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最大值为 （ ）A ．3-B ．0C ．1D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，因此直线2z x y =-过C 点时取最大值1，选C.考点：线性规划求最值【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.把A 、B 、C 、D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具, 且A 、B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24 种D ．18种 【答案】B 【解析】试题分析：由题意A 、B 两件玩具不能分给同一个人，因此分法为122342(1)35230C C A -=⨯⨯=考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8.已知22cos a xdx ππ-=⎰,则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A ．20B ．20-C ．160D ．160- 【答案】C考点：定积分，二项式定理9.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点在同一球面上, 底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内, 当四棱锥体积取得最大值时, 其面积等于16+则球O 的体积等于（ ）A ．3 B ．3 C ．3D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：当四棱锥体积取得最大值时, SO ABCD ⊥面，因此224164R +⨯=+=球O 的体积等于3433R π=,选D. 考点：球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10.已知顶点为坐标原点O 的抛物线1C 与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>都过点23M ⎛ ⎝⎭,且它 们有共同的一个焦点F ,则双曲线2C 的离心率是（ ）A ．3B ．2 C【答案】A考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根, 则a 的取值范围是（ ） A．)2 B．)2 C．)D．)2【答案】B 【解析】试题分析：作出()f x 在区间(]2,6-图像，可知()()log 223,log 6232a a a +<+>⇒<<，选B.考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.12.不等式xe x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(),1e -∞+D ．()1,e ++∞ 【答案】A考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()02,11,0x f f x x x x ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩,则()2log 9f = ．【答案】5516-考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14.若ABC ∆的三边,,a b c 及面积S 满足()22S a b c =--,则sin A = ．【答案】817【解析】试题分析：由余弦定理得()22122cos sin 2S a b c bc bc A bc A =--=-=，所以sin 4cos 4A A +=，由22sin cos 1A A +=，解得22sin sin (1)14A A +-=，sin A =817（0舍去） 考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.15.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒,且3,2AB AC ==,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ= ．【答案】712考点：向量数量积16.在ABC ∆中, 内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,有如下列命题： ①若A B C >>,则sin sin sin A B C >>； ②若cos cos cos A B Ca b c==,则ABC ∆为等边三角形； ③若sin 2sin 2A B =,则ABC ∆为等腰三角形；④若()()1tan 1tan 2A B ++=,则ABC ∆为钝角三角形； ⑤存在,,A B C 使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立. 其中正确的命题为 ．(写出所有正确命题的序号). 【答案】①②④ 【解析】试题分析：若A B C >>,则sin sin sin a b c A B C >>⇒>>；若cos cos cos A B Ca b c==,则cos cos sin()0sin sin A BA B A B a b A B=⇒-=⇒=⇒=，同理可得a c =，所以ABC ∆为等边三角形；若sin 2sin 2A B =,则222+2A B A B π==或，因此ABC ∆为等腰或直角三角形；若()()1tan 1tan 2A B ++=,则tan tan 1tan tan A B A B +=-，因此3tan()14A B C π+=⇒=,ABC ∆为钝角三角形；斜在ABC ∆中,tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++恒成立，因此正确的命题为①②④考点：解三角形三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1n S n n n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足31223 (31313131)n n n b b b ba =++++++++,求数列{}nb 的通项公式； (3) 令()4n nn a b c n N *=∈,数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2n a n =（2）()()231nn b n N*=+∈ (3) ()()12133142n nn n n T+-⨯++=+(3)()3134n n n nn a b c n n n ==+=+,()()23123...132333...312...n n n T c c c c n n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++⨯++++,令23132333...3nn H n =⨯+⨯+⨯++⨯,①则2134132333...33n n H n +⨯=+⨯+⨯++⨯②①-②得：()()211132333 (331321333)3,134n n n n nn n n n n H H +++--⨯+-⨯-=++++=-⨯∴=-考点：由和项求通项，错位相减法求和【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18.（本小题满分12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内, 发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表, 规定：A 、B 、C三级为合格等级,D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况, 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计, 按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,8080,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示, 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人, 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3) 在选取的样本中, 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研, 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数, 求随机变量ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）50n ==0.004,0.018x y =（2）9991000(3)详见解析(3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18509⨯=人,A 等级的学生人数为3人, 故ξ的取值为0,1,2,3,()()()3322139393333121212127108270,1,2,22022022055C C C C C P P P C C C ξξξ==========()393128421322055C P C ξ====,所以ξ的分布列为：012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：频率分布直方图，数学期望，古典概型概率【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.（本小题满分12分）如图, 多面体ABCDEF 中,DE ⊥ 平面ABCD ,底面ABCD 是菱 形,2,60AB BAD =∠=︒, 四边形BDEF 是正方形. （1）求证：CF 平面AED ；（2）求直线AF 与平面ECF 所成角的正弦值；(3) 在线段EC 上是否存在点P ,使得AP ⊥平面CEF ,若存在, 求出EPPC的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）详见解析（2）7(3) 不存在 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平面几何知识，本题寻找线线平行比较困难，因此利用面面平行进行论证线面平行，由于有两组线线平行BCAD 及BF DE ，可转化为线面平行BC 平面,ADE 及BF 平面,ADE 再转化为面面平行：平面BCF 平面AED ，（2）由菱形对角相互垂直及DE ⊥ 平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解(3)利用空间向量研究线面垂直，即转为研究直线与法向量是否平行，而存在性问题转化为对应方程是否有解（2）因为四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，所以BCD ∆为等边三角形,取BD 的中点O ，所以CO BD ⊥，取EF 的中点G ，连结OG ，则OG DE , 因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD .以OB 为x 轴、OC 为y 轴、OG 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =． 所以()()()()()()0,0,0,0,,1,0,0,,1,0,2,1,0,2O A B C E F - 所以()()()1,3,2,2,0,0,1,3,2.AF FE FC ==---设平面CEF 法向量为n x y z =（，，），则有00n FE nFC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,0x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令1y =．则2n=（0，1，.设AF 与平面ECF 所成的角为θ，考点：面面平行性质定理，线面平行判定定理，利用空间向量求线面角，利用空间向量研究存在性问题【方法点睛】(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.20.（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 的一个动点, 直线:l y x =与椭圆C 交于,A B 两点, 求PAB ∆面积的最大值.【答案】（1）221164x y +=（2）(107（2）联立直线直线l x +与椭圆C 的方程，得22421164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理可得2712520x x +-=，即()()72620x x +-=，解得2x =或267x =-，所以不妨设(26,,7A B ⎛- ⎝⎭，则AB ==， 设过P 点且与直线l 平行的直线L的方程为：y x C =+，L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离，即PAB ∆的边AB 边上的高，只要L 与椭圆相切，就有L 与的AB 最大距离，即得最大面积，将y x C =+代入221164x y +=，消元、整理，可得：22716640x c ++-= 令判别式考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 10f x x ax a =++≤.（1）若()f x 在0x =处取得极值, 求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；(3)证明：211111...1,9813n n N e *⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然数的底数). 【答案】（1）0a =（2）详见解析(3)详见解析 【解析】试题分析：（1）先求函数导数()22',1xf x a x =++再根据极值定义有()'00,f =从而可得0a =（2）要讨论函数单调性，先讨论导函数()22222'11x ax x af x a x x ++=+=++，也即函数22ax x a ++零点情况：0a =时，一个零点，两个单调区间；1a ≤-时，无零点，一个单调区间；10a -<< 时，两个零点，三个单调区间(3)证明不等式，先分析结构：积，两边取对数，转化为和；211111...19813n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⇔ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111ln 11...198132n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111ln 1ln 1......ln 198132n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用()2ln 1x x +<放缩得2111ln 1ln 1......ln 19813n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111111133 (1133323213)n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭-若10a -<< 时, ()f x在⎝⎭上单调递增，⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.若0a =时, ()f x 在()0,+∞上单调递增, 在(),0-∞上单调递减，(3) 由(2) 知1a =-时, ()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当()0,x ∈+∞时, 由()()00f x f <=()2ln 1x x ∴+<,22111111ln 11...1ln 1ln 1......ln 198139813n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211111111133......133323213n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭-, 12211111...19813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：利用导数研究函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式 【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ,过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F .（1）求证：BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆, 且AC BC =,求BAC ∠.【答案】（1）详见解析（2）27π7CFA ACF CAF CAF π=∠+∠+∠=∠，即277CAF BAC ππ∠=∠=，考点：四点共圆，弦切角定理23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12(12x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数), 曲线C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数). （1）已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为及轴) 中, 点P 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点, 求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值.【答案】（1）P 不在直线l 上（2）最小值为12 ，最大值为52． 【解析】试题分析：（1）利用代入消元法得直线l的直角坐标方程为：1y =-，利用cos sin x y ρθρθ==，将点P极坐标化为直角坐标()2P ，易得点P 坐标不满足直线l 的方程（2）根据点到直线距离公式得点Q 到直线l的距离为32cos 62d πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==，再根据三角函数有界性得最值考点：参数方程化为普通方程，点到直线距离公式24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.【答案】（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()|2||2|y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y |22||22|ax a ax a ≥-+-=-，再根据2a >，易得()()2f ax af x +>考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2017年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析
2017年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i2.(5分)设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1},则B＝( )A.{1,－3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}3.(5分)在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔(古称浮屠),本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯？你算出的结果是( )A.6B.5C.4D.34.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π5.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最小值是( )A.－15B.－9C.1D.96.(5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种7.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝( )A.2B.3C.4D.59.(5分)若双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.10.(5分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.11.(5分)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.－1B.－2e－3C.5e－3D.112.(5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(＋)的最小值是( )A.－2B.－C.－D.－1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合{-2-1012}{|22}A B x x A B ==-<≤= ，，，，，，则A ．{-1012}，，，B ．{-101}，， C ．{-2-101}，，， D ．{-2-1012}，，，，2.复数ii+1-2对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(2,1),(3,)a b x =-=，若3a b ⋅= ，则x =A ．3B ．4C ．5D ．64.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．43B ．54 C ．53 D5.已知条件p ：46x -≤；条件q ：1x m ≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ． (]1,-∞-B ．(]9,∞-C ． []9,1D ．[)∞+，9 6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S =A ．14B ．30C ．62D ．1267.1()nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．56B ．35C ．－56D ．－358.已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥9.已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的 值可以是A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π10.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A ．2人B ．3人C ．2人或3人D ．4人11.已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B (点A 在x 轴下方)，点1A 与 点A 关于x 轴对称，若直线AB 斜率为1，则直线1A B 的斜率为A ．3 B C ．2D 12.下列结论中，正确的有①不存在实数k ,使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根； ②已知△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222a b c +=， 则角C 的最大值为6π； ③函数y=ln与ln tan2xy =是同一函数； ④在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同于,A B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值．A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则6S = __________． 14.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为______ ．15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________ ．16.下列命题正确是 ． (写出所有正确命题的序号) ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称； ②若(0,1)a ∈，则111aaa a++<；③函数1()ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()12lg 2++=x ax x f 为奇函数．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，4b =，2B A π=+．（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且AB AA =1，F E ,分别是BC CC ,1的中点．（1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ； （2）求二面角F AE B --1的余弦值．19.（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]1000，，样本数据分组为第一组[)200，，第二组[)4020，，第 三组[)6040，，第四组[)8060，，第五组[]10080，． （1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200家，试估计 有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选4家，这4家企业年上缴税收少于20万元的家数记为X ，求X 的 分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点P ，离心率2e = ，直线l 的方程为4=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与 l 相交于点M ，记PM PB PA ,,的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得 321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）设),()(x xf x g =若0,a >对于任意的两个正实数1212,()x x x x ≠， 证明：12122()()()2x x g g x g x +<+． 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253 (t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin a =． （1）若2=a ，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数5212)(++-=x x x f ，且m x f ≥)(恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：8223-≤--m x x ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15．61 16．①③ 17．解： （1）∵2B A π=+， ∴2π-=B A ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又3,4a b ==，所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =，又22sin cos 1B B +=，所以3cos 5B =±，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分而2B π>，所以3cos 5B =-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）∵3cos 5B =-，∴4sin 5B =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∵2B A π=+，∴22A B π=-， ∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分432sin cos 2()55B B =-=-⨯⨯-=分又A B C π++=，∴322C B π=-， ∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=． (12)分18．解答： （1）证明：∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点， ∴AF BC ⊥．又∵侧棱ABC AA 平面⊥1，∴面ABC ⊥面11BB C C ...........2分 ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥．…3分 设11AB AA ==，则，EF=，．∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．...........4分 又AF EF F ⋂=，∴1B F ⊥平面AEF ．…而1B F ⊂面1AB F ，故：平面1AB F ⊥平面AEF ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）解：以F 为坐标原点，FA ，FB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图， 设11AB AA ==，则(0,0,0)F ，(2A ，1(0,2B -，1(0,)22E -，1()2AE = ,1(AB = ．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，取平面AEF 的法向量：1(0,,1)2m FB == ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由,取3x =，得(3,1,n =- (10)分设二面角1B AE F --的大小为θ，则cos θ=|cos ＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角1B AE F --的余弦值为．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．解答： 解：（I ）由直方图可得：20(x 0.0250.00650.0032)1⨯+++⨯=解得0.0125x =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 （II ）企业缴税收不少于60万元的频率0.0032200.12=⨯⨯=， ∴12000.12144⨯=．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （III ）X 的可能取值为0,1,2,3,4．由（I ）可得：某个企业缴税少于20万元的概率10.0125200.254=⨯== .............5分25681)43()41()0(4004===C X P 6427)43()41()1(3114===C X P6427)43()41()2(2224===C X P 643)43()41()3(1334===C X P2561)43()41()4(0444===C X P .......................................10分..............11分∴12561464336427264271256810)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ....12分 20．解：（1）由点P 在椭圆上得，22421a b +=①22c e a ==又所以② 由 ①②得2224,8,4c a b ===，故椭圆C 的方程为22184x y +=……………………..4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(2)y k x =-③代入椭圆方程22184x y +=并整理得2222(12)8880k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22121222888,1212k k x x x x k k -+==++④ ……………6分在方程③中，令4x =得，(4,2)M k，从而2121k k ==32422k k k ==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有121222y yk x x ==--……………8分 所以=+21kk 121222y y x x +=--121212112()2222y y x x x x ++----=2k 12121242()4x x x x x x +--++⑤ ……………10分将④代入⑤得=+21kk 2k22222284122888241212k k k k k k k -+=--+++32k k =-， 所以=+21k k 32k . 故存在常数2=λ符合题意…………12分 21.【解答】解：（1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，'11()1x f x x x-=-+=， 令'()0f x =，得1x =．当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <． ................2分∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．max ()(1)1f x f ==-．∴函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为1-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）∵'111(),(0,],[,)f x a x e x x e=+∈∈+∞． ①若1a e≥-，则'()0f x ≥，从而()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴max ()()10f x f e ae ==+≥，不合题意．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分②若1a e <-，则由'1()00f x a x>⇒+>，即10x a <<-由'1()00f x a x <⇒+<，即1x e a-<≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分从而()f x 在1(0,)a -上增函数，在1(,)e a-为减函数 ∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+- 令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=- ∴21e a --=，即2a e =-．∵21e e -<-，∴2a e =-为所求⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （3）法一：即证221212*********()2()ln()ln ln 222x x x x x x a ax ax x x x x ++++≤+++ 22222212121212()2()[]22x x x x a ax ax a x x ++--=⋅-- 212()02x x a -=-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 另一方面，不妨设12x x <，构造函数11111()()ln()ln ln ()2x x k x x x x x x x x x +=+--> 则1()0k x =，而'1()ln ln 2x x k x x +=-=分 由10x x <<易知1012x x x+<< , 即'()0k x <，()k x 在1(,)x +∞上为单调递减且连续， 故()0k x <，即1111()ln()ln ln 2x x x x x x x x ++<+ 相加即得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分法二：'''1()21ln ,()20g x ax x g x a x =++=+> ..........9分 故'()g x 为增函数，不妨令21x x >令111()()()2()()2x x h x g x g x g x x +=+-> ''1()'()()2x x h x g x g +=-..........10分 易知12x x x +>，故''1()'()()02x x h x g x g +=-> .........11分而1()0h x =，知1x x >时，()0h x >故2()0h x >，即12122()()()2x x g g x g x +<+ .........12分22.解 (1)2a =时，圆C 的直角坐标方程为22(y 1)1x +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)圆C ：42222a a y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，直线:4380l x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴圆心C 到直线的距离3812522aad -==⨯，得32a =或3211a =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23.解 (1)544,251(x)6,22144,2x x f x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 当5122x -≤≤时，函数有最小值6，所以6m ≤.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 另解：∵2125(2x 1)(2x 5)66x x -++≥--+=-=.∴6m ≤.(2)当m 取最大值6时，原不等式等价于324x x --≤， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 等价于3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 可得3x ≥或133x -≤<. 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。
2017年高考理科数学全国II卷(含详解)
2017年高考理科数学全国II卷(含详解)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选 D．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96 ．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 1 ．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则= ．【解答】解：等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB ﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y），由题意可得N（x，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y），可得x﹣x0=0，y=y，即有x0=x，y=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由kOQ=﹣，kPF=，由kOQ •kPF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x﹣2﹣lnx=0，所以f（x0）=﹣x﹣xlnx=﹣x+2x﹣2=x﹣，由x0＜可知f（x）＜（x﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x，）上单调递减，所以f（x）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年6月12日。
辽宁省锦州市高三数学下学期质量检测试题(二)理(扫描版)
辽宁省锦州市2016届高三数学下学期质量检测试题（二）理（扫描版）2016年高三质量检测（二）数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）-（12）DBDAC CBCDA BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）-（14）（15）712（16）①②④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．-------------------------------------------（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴② --------------------------------（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．----------------------------------------------------（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n） ----------------（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，--------------------------------------------------------------（10分）∴数列{c n}的前n项和. -------------------------（12分）(18)(本小题满分12分)(19)(本小题满分12分)证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以BC∥AD．又BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE..…又因为BDEF是正方形，所以BF∥DE．因为BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE…因为BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF=B，所以平面BCF∥平面AED，因为CF⊂平面BCF，所以CF∥平面AED． ------------------------------（4分）（Ⅱ）因为四边形A BCD为菱形，且∠BAD=60°，所以△BCD为等边三角形…取BD的中点O，所以CO⊥BD，取EF的中点G，连结OG，则OG∥DE因为DE⊥平面ABCD，所以OG⊥平面ABCD.以OB为x轴、OC为y轴、OG为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2．OGxy z所以…所以，，．设平面CEF法向量为=（x，y，z），则有得，令y=1．则…设AF与平面ECF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为． ------------------（8分）（Ⅲ）不存在…，设P（x，y，z），，由，得…因为平面CEF的法向量为．若AP⊥平面CEF，则，即，..…得方程组无解，不符合题意．综上，不存在λ使得AP⊥平面CEF． -------------------（12分）（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴，即4c2=3a2，又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，∴，∴，即b2=4，又a2﹣b2=c2，所以a2=b2+c2=4+，即a2=16，所以椭圆C的方程为：. ------------------（4分）（Ⅱ）联立直线直线l：y=x+与椭圆C的方程，得，消去y，整理可得7x2+12x﹣52=0，即（7x+26）（x﹣2）=0，解得x=2或，所以不妨设A（2，），B（，），则AB==，设过P点且与直线l平行的直线L的方程为：，L与l的距离就是P点到AB的距离，即△PAB的边AB边上的高，只要L与椭圆相切，就有L与AB的最大距离，即得最大面积，将代入，消元、整理，可得：，令判别式△==﹣256c2+28×64=0，解得c==±，∴L与AB的最大距离为=，∴△PAB面积的最大值为：×=．------（12分）（21） （本小题满分12分）解：（Ⅰ）()0,122=++='x a x x x f 是)(x f 的一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a =0符合条件…………………….（2分）（Ⅱ）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a =0时，()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减；2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………（4分）3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由 aa x a a 221111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f aa x a a x 221111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a -------（6分） 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+- 上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a 。
辽宁省锦州市高考数学一模试卷 理(含解析)
2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．2606．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1349．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g （α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= ．15．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V= ．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M【考点】15：集合的表示法．【分析】利用子集的定义判断两个集合间的包含关系，从而确定集合间的关系．【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知中等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，我们易求出a3=0，结合a1+a13=a3+a11即可得到S13的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．6．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】7D：简单线性规划的应用；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，可知该程序是计算并输出A的值，总结规律即可得出结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，否；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i＞2017，否；i=4，A=1﹣=，…；i=2017=3×672+1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2018=3×672+2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A=﹣1．故选：C．8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【考点】CF：几何概型．【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g （α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g（α+）+g（）的值．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]﹣=sin2x﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x﹣+2=sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，∴2α=kπ+，求得α=+，k∈z，故可取α=，∴g（α+）+g（）=sin（+）++sin+=4，故选：A．10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．【考点】7F：基本不等式．【分析】=（）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不等式即可求出【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的渐近线方程，设P点坐标，根据直线的斜率公式，求得直线PF1的斜率及直线PF2的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=﹣x，则设P点坐标（x， x），则直线PF1的斜率k==，直线PF2的斜率k==，由l2⊥PF1，则×（﹣）=﹣1， =1，①l2∥PF2，则=﹣，解得：x=，②由①②整理得： =3，由双曲线的离心率e===2，∴双曲线的离心率2，故选A．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；66：简单复合函数的导数．【分析】利用构造法g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m ﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，即可求得（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）=﹣12．故答案为：﹣12．14．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= 7 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标和准线方程，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，利用抛物线的定义得到|AM|+|BN|=2|PR|，求得结果．【解答】解：抛物线 x2=2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y=﹣0，5，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3﹣（﹣0.5）|=7，故答案为：715．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V= ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角内角定理可得A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=，即B=∴A+C=，即那么：，故得．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用组中值代替本组数据计算平均值，和168比较得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）利用正态分布得出全市前130名的成绩，得出50名社区居民中符合条件的人数，使用超几何分布的概率公式得出分布列．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．（2）∵P=0.9974，∴P（ξ≥180）=（1﹣0.9974）=0.0013，∵0.0013×100 000=130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴E（ξ）=0×+1×+2×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）m=1时，化简函数f（x）=e x﹣lnx﹣2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f′（）＜0，f′（1）＞0，利用零点判定定理证明即可；（2）求出函数f（x）的导函数，再求出导函数的导数，判断f′（x）在（0，+∞）上为增函数，结合（1）可求f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2，进一步得到f（x0）=．设h（t）=，利用导数求其在（）上的值域（lnm，lnm+）．由f（x）＞0恒成立可得lnm+＞0成立，从而得到．【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣2，f′（x）=e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）=0；（2）f′（x）=me mx﹣，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）=m（），由（1）得，存在唯一实数mx0=t∈（），使得f（x0）=0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t=﹣lnt，∴f（x0）=．设h（t）=，当t∈（）时，h′（t）=＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）=h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．（2）联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），射线OT与直线l 的交点B的极坐标为（6，），由此能求出|AB|．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．。
2017年辽宁省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅱ)
2017年辽宁省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届辽宁省锦州市高三质量检测(二)理科数学试题及答案
辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学（理）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分， 共150分， 考试时间120分钟。
答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。
4.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、 选择题： 本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.（1） 已知全集U=R ， 集合A= {}1|0,|1x x B x x x-⎧⎫<=≥⎨⎬⎩⎭， 则{ x|x≤0 }等于（A ） A∩B （B ） A∪B （C ）∁U （A∩B） （D ）∁U （A∪B） （2） 复数z 满足.(12)43z i i +=+， 则z 等于（A ） 2-i （B ） 2+i （C ） 1+2i （D ） 1-2i（3） 下列说法不正确的是（A ） 若 “p 且q” 为假， 则p 、 q 至少有一个是假命题（B ） 命题 “∃x0 ∈ R，x 20- x 0 - < 0” 的否定是 “∀x ∈R ，x 2- x - 1≥0”（C ）“ 2πϕ=” 是 “y=sin （2x+ϕ） 为偶函数” 的充要条件（D ） α<0时， 幂函数y=x a在 （0， +∞） 上单调递减 （4） 某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为 （A ） 200+9π （B ） 200+18π （C ） 140+9π （D ） 140+18π （5） 已知x 、 y满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为 （A ） -2 （B ） -1 （C ） 1 （D ） 2（6） 若如图所示的程序框图输出的S 是30， 则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是 （A ） n≥3 （B ） n≥4 （C ） n≥5 （D ） n≥6（7） 已知向量AB与AC 的夹角为120°， 且 |AB| = 2， |AC | =3，若AP AB AC λ=+ 且AP BC ⊥， 则实数λ的值为（A ）37（B ） 13 （C ）6（D ）127（8） 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道， 要求4名水暖工都分配出去， 并每名水暖工只去一个居民家， 且每个居民家都要有人去检查， 那么分配的方案共有 （A ）34A 种（B ） 3133.A A 种 （C ）113433.C C A 种 （D ）2343.C A 种 （9） △ABC 各角的对应边分别为a ， b ， c ， 满足1b ca c a b+≥++， 则角A 的范围是 （A ）(0,]6π（B ）(0,]3π（C ）[,)3ππ （D ）[,)6ππ（10） 函数 f (x)= sin(2x + ϕ) ( |ϕ| < 2π)的图象向左平移6π个单位后关于原点对称， 则函数 f (x)在[0, 2π]上的最小值为（A ）－2（B ）－12（C ）12（D ）2（11） 过双曲线 2222x y a b-= 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点F 向其一条渐近线作垂线l ， 垂足为A ，l 与 另一条渐近线交于B 点， 若2FB FA =， 则双曲线的离心率为（A ） 2（B（C（D（12） 设函数 f (x)的导函数为 f ′(x)， 对任意x∈R 都有 f(x)> f ′ (x)成立， 则（A ） 3f （ln2）＜2f （ln3） （B ） 3f （ln2）＝2f （ln3） （C ） 3f （ln2）＞2f （ln3） （D ） 3f （ln2）与2f （ln3） 的大小不确定第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 （13） 题~第 （21） 题为必考题， 每个试题考生必须做答.第 （22） 题~第 （24） 题为选考题， 考生根据要求做答. 二、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分. （13） 设函数 f (x)=(x + a)n， 其中20'(0)6cos ,3(0)n f n xdx f ==-⎰， 则 f (x)的展开式中的x 4系数为_______.（14） 已知x>0， y>0， 且 34x y +=， 则41x y+的最小值为_____________. （15） 已知函数220()10xx f x og xx ⎧≤=⎨>⎩， 且函数()()g x f x x a =+-只有一个零点， 则实数a 的取值范围是_____________.（16） 已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ， 过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、 四象限分别交于A 、 B 两点， 则AFBF的值等于_____________.三、 解答题： 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ， 且满足a 1 = 2， na n + 1 = S n + n(n+ 1) .（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ） 设T n 为数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭}的前n 项和， 求T n ；（Ⅲ） 设121n n n n b a a a ++=， 证明：123132n b b b b ++++<（18）（本小题满分12分）如图， 在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， D 、 E 分别是BC 和CC 1的中点， 已知AB=AC=AA 1=4， ∠BAC=90°.（Ⅰ） 求证： B 1D⊥平面AED ； （Ⅱ） 求二面角B 1-AE-D 的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥A-B1DE的体积.（19）（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E （X）．附表及公式（20） （本小题满分12分） 已知F1F2是椭圆2222x y a b+= 1 (a > b > 0)的两个焦点， O 为坐标原点， 点在椭圆上， 且112.0,PF F F O =是以F 1F 2为直径的圆， 直线l ： y=kx+m 与⊙O相切， 并且与椭圆交于 不同的两点A 、 B.（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；（Ⅱ） 当 .OAOB λ=，且满足2334λ≤≤时， 求弦长|AB|的取值范围. （21）（本小题满分12分） 己知函数32()1(1)f x n ax x x ax =++--．（Ⅰ） 若 x = 23为 f (x)的极值点， 求实数a 的值；（Ⅱ） 若 y = f (x)在[l ， +∞） 上为增函数， 求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 若a=-1时， 方程 3(1)(1)b f x x x---=有实根， 求实数b 的取值范围．请考生在第 （22） ~ （24） 三题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分.做答时， 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中.（22）（本小题满分10分） 选修4-1： 几何证明选讲． 如图， 圆M 与圆N 交于A ， B 两点， 以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C ， D两点，延长DB 交圆M 于点E ， 延长CB 交圆N 于点F.已知BC=5，DB=10． （Ⅰ） 求AB 的长；（Ⅱ） 求.CF DE（23）（本小题满分10分） 选修4-4： 坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知圆C 的圆心C(4π)， 半径（Ⅰ） 求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ） 若 α ∈ 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 直线l 的参数方程为2cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）， 直线l 交圆C 于A 、 B 两点， 求弦长|AB|的取值范围．（24）（本小题满分10分） 选修4-5： 不等式选讲 已知函数 f (x)= |x - 2|，g(x)= -|x + 3| +m ．（Ⅰ） 若关于x 的不等式 g(x)≥0的解集为 ［-5， -1］， 求实数m 的值；（Ⅱ） 若 f (x)的图象恒在 g(x)图象的上方， 求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）-（12）DBCAD BDDBA AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）60（14）12 （15）()1,+∞（16）3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）-----------------（4分）(Ⅱ)由（Ⅰ）所以n n n n T 221121121---=，故1242n n n T -+=------------------------ （8分） （Ⅲ）由（Ⅰ），得])2)(1(1)1(1[161)2(2)1(221++-+=+⋅+⋅=n n n n n n n b n))2)(1(1)1(1431321321211(161321++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=++++n n n n b b b b n ))2)(1(121(161++-=n n 321)2)(1(161321<++-=n n .--------------------------（12分）(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为1AB AC AA ==＝4，所以A （0，0，0），B （4，0，0），E （0，4，2），D （2，2，0），B 1（4，0，4）.)4,2,2(1--=B ，)0,2,2(=，)2,4,0(=. 因为00441=++-=⋅B ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥.因为08801=-+=⋅B ，所以B ⊥1，即AE D B ⊥1. 又AD 、AE ⊂平面AED ，且AD∩AE=A ，故1B D⊥平面AED.---------------------（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知)4,2,2(1--=D B 为平面AED 的一个法向量.（6分）设平面 B 1AE 的法向量为),,(z y x n =，因为)2,4,0(=AE ，)4,0,4(1=AB ，所以由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AB ，得⎩⎨⎧=+=+044024z x z y ，令y=1，得x=2，z=-2.即)2,1,2(-=n . ∴662496,cos 111=⨯=>=<D B n ， ∴二面角1B AE D--的余弦值为6.---------------------------------（8分） （Ⅲ）------------------------（12分）(19)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ (2)分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.----------（4分）(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) 设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18.---------(8分)(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取yx11O方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种………8分X∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X ==X 的分布列为：………11分151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.-----------------------------(12分)（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，可知211F F PF ⊥， ∴ 22222,1211,1c b a b a c +==+= ，解得1,1,2222===c b a∴椭圆的方程为 ------------------（4分）（Ⅱ）直线l ：m kx y +=与⊙221O x y +=：相切，则112=+k m，即122+=k m，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222，得()022421222=-+++m km x x k ， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点.,B A 设()().y ,x B ,y ,x A 2211∴0002≠⇒>⇒>k k ,∆，.y x 1222=+,k m x x ,k km x x 22212212122214+-=+-=+()()22222121212122221+()1212m k k y y kx m kx m k x x km x x m k k --=++=++==++，∴λ=++=+=⋅222121211k k y y x x∴432113222≤++≤k k ∴1212≤≤k ，∴AB ==设4221(1)2u k k k =+≤≤，则243≤≤u，3||,24AB u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增∴ .---------------（12分）（21） （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 222[3(32)(2)]()3211a x ax a x a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ 23x =为f(x)的极值点, 2()03f '∴= 22223+3-2)(2)033a a a ∴-+=（）（且21003a a +≠∴=又当a=0时,()(32)f x x x '=-,从而23x =为f(x)的极值点成立.--------------------（4分）(Ⅱ)因为f(x)在[1,)+∞上为增函数,所以22[3(32)(2)]01x ax a x a ax +--+≥+在[1,)+∞上恒成立.若a=0,则()(32)f x x x '=-,)f x ∴（在[1,)+∞上为增函数4||3AB ≤≤不成立;若0a ≠,由10ax +>对1x>恒成立知0a >.所以223(32)(2)0ax a x a +--+≥对[1,)x ∈+∞上恒成立. 令()g x =223(32)(2)ax a x a +--+,其对称轴为1132x a=-, 因为0a >,所以111323a -<,从而g(x)在[1,)+∞上为增函数,所以只要g(1) 0≥即可,即210a a -++≥,所以a ≤≤,又因为a >,所以102a <≤.------（8分）(Ⅲ)若1a =-时,方程3(1)(1)b fx x x---=可得2ln (1)(1)b x x x x--+-=即223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在0x >上有解即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域.2(ln )b x x x x =+-令2()ln h x x x x =+-,由1(21)(1)()12x x h x x x x+-'=+-= 0x >∴ 当01x <<时, h '（x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数;当1x>时,()0h x '<,从而h(x)在(1,)+∞上为减函数.()(1)0h x h ∴≤=,而h(x)可以无穷小,b∴的取值范围为(,0]-∞.------------（12分）（22）（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲． 解：（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠， ∴△ABC ∽△DBA ，则AB BC DBBA=，故250,AB BC BD AB =⋅==（5分） （Ⅱ）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅， 2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅（*）.由△ABC ∽△DBA ，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*） 得1CF DE=． --------------------（10分）（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由)4C π得，C 直角坐标(1,1),所以圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=,由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得，圆C 的极坐标方程为 22cos 2sin 10ρρθρθ---=.------------------（5分）（Ⅱ）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，代入C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=,得22(cos sin )10t t αα++-= ，则0∆>, 设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，则122(cos sin )t t αα+=-+，121t t =-,12||||AB t t =-==因为[0,)4πα∈，所以sin 2[0,1)α∈所以84sin 2[8,12)α+∈, 所以||AB 的取值范围为. ------------------------（10分）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）由题意可得﹣|x+3|+m≥0的解集为[﹣5，﹣1]．由﹣|x+3|+m≥0，可得﹣m﹣3≤x≤m﹣3，∴，求得m=2．-------------（5分）（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|≥﹣|x+3|+m 恒成立，即m≤|x﹣2|+|x+3|．而|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，∴m≤5．-----------------------（10分）。
辽宁省锦州市数学高三理数教学质量检测试卷(二)
辽宁省锦州市数学高三理数教学质量检测试卷（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={1，x}，B={1，y}，且A∪B={1，2，3}，则x+y=（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）已知是虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·深圳期中) 已知，则与垂直的单位向量的坐标是（）A . 或B . 或C . 或D . 或4. （2分）设等差数列的前n项和为,若,,,则当取最小值时,n等于（）A . 8B . 7C . 6D . 95. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知函数在处取得最大值，则函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称6. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A . 10B . 17C . 19D . 367. （2分）已知圆C:,从动圆M:上的动点P向圆C引切线，切点分别是E,F，则的最小值（）A .B .C .D .8. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面A1B1C1D1内任取一点S，作四棱锥S﹣ABCD，在正方体内随机取一点M，那么点M落在S﹣ABCD内部的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）已知 ,且在区间有最大值,无最小值,则＝（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·西湖开学考) 矩形ABCD中，AB＜BC，将△ABC沿着对角线AC所在的直线进行翻折，记BD中点为M，则在翻折过程中，下列说法错误的是（）A . 存在使得AB⊥DC的位置B . 存在使得AB⊥BD的位置C . 存在使得AM⊥DC的位置D . 存在使得AM⊥AC的位置11. （2分）如图所示，A,B,C分别为的顶点与焦点，若∠ ABC=90°，则该椭圆的离心率为（）A .B . 1－C . －1D .12. （2分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，4）D . （4，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·银川模拟) 设的展开式的常数项是________．14. （1分）已知函数，则的值是________．15. （1分） (2015高二上·常州期末) 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；若，则a=________．16. （1分）(2016·北区模拟) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a= ，b=3，sinB+sinA=2 ，则cosB的值为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2018高一下·通辽期末) 已知等差数列的首项，公差，前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求 .18. （5分）一袋中有3个白球，3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球，假定取得一个白球得1分，取得一个红球扣1分，取得一个黑球既不得分也不扣分，求所得分数的概率分布．19. （10分）(2020·安阳模拟) 在如图所示的几何体中，底面是矩形，平面平面，平面平面，是边长为4的等边三角形， .（1）求证：；（2）求二面角的余弦值20. （10分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求M的方程（2） C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21. （5分）(2020·大连模拟) 已知函数 .（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求整数a的最大值.22. （10分） (2017高三上·荆州期末) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+ ）=3 ，射线OM：θ= 与圆C的交点为O、P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．23. （5分）已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
数学---辽宁省锦州市2017届高三上学期期末考试试卷(理)
辽宁省锦州市2017届高三上学期期末考试试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）CAA CAACC BD二、填空题（每小题5分，共20分）(13) （14）3 （15）14（16）20172018三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得122a d +=， 1329322a d ⨯+=. …………………2分 解得111 , d=2a =， …………………4分 故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=. …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11b =，41515182b a +===， 设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =， ……………8分 故{}n b 的前项和()11211n n n b q T q -==--. ……………10分(18) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）△ABC 中， ∵，由正弦定理得 ∴sinAcosB+sinBsinA=sinC ， ………2分又 ∵C=π－（A+B ） ∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB∴sinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB整理得 sinA=cosA ，即tanA=， ………4分∵,A ∈(0，π) ∴A=． ………6分（Ⅱ）AB•AC•cosA=|•|=3， ∴bc•=3，即bc=2，………8分∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=b 2+c 2﹣2•2•， ∴b 2+c 2=1+6=7， ………10分∴b+c=== 2+ ………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）矩形的面积等于频率， 5(0.01+0.02+0.04+x+0.07)=1,解得x=0.06，年龄在[3540)，岁的人数为500人； …………4分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0123，，，． ()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===．…………8分 故X 的分布列为所以1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （20）（本小题满分12分）解:（1）取BE 的三等分点K （靠近点B ），在△BDF 中作KM ∥DE ，KM 交BD 于M ， 则123kM DE ==，由//AF DE ，可得AF ∥KM, AF=KM …………………3分 四边形FAMK 为平行四边形，FK 平面BEF所以AM ∥平面BEF ， ……………………5分（2）如图建立空间直角坐标系：则(3,0,0),(3,3,0),(0,0,6),(0,3,0)A B E C ，(3,3,6),(0,3,0),(3,0,0)EB AB BC =-==- ，设平面AEB 的法向量为111(,,)n x y z = ，由1111336030x y z y +-=⎧⎨=⎩，可得(2,0,1)n = ．…7分 平面BCE 的法向量为222(,,)m x y z = ，由2222336030x y z x +-=⎧⎨=⎩可得(0,2,1)m = ，…9分因为二面角A BE C --为钝二面角，可得1cos ||5θ=-=-， 所以二面角的A BE C --余弦值为15-． …………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设11()A x y ，，22()B x y ，，则221135x y +=，222235x y +=， 两式相减，得12121212()()3()()0x x x x y y y y -++-+=，线段AB 的中点为1()2n -，，121x x ∴+=-，122y y n +=-，……………3分 又1212021(1)2y y n n x x --==----，从而(1)32(2)0n n -+⨯⨯-=，解得6n =±，故k的值3± ……………5分 另解：由题，直线AB 的方程为(1)y k x =+，代入223155x y +=， 得2222(31)6350k x k x k +++-=，24(125)0k ∆=+>恒成立，设11()A x y ，，22()B x y ，，则2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+， ……………3分 ∴2122132231x x k k +-==-+，解之得k =.……………5分 （2）假设在x 轴上存在一个定点0(0)M x ，满足题意，∵101()MA x x y =- ，，202()MB x x y =- ，∴102012()()MA MB x x x x y y ∙∙=--+ 2212012012()(1)(1)x x x x x x k x x =-+++++2222120120(1)()()k x x k x x x x k =++-+++2222220022356(1)()3131k k k k x x k k k --=++-++++ 2220002(361)531x x k x k +-+-=+， ……………10分 ∴， 解得073x =-， ∴存在7(0)3M -，，满足题意. ……………12分 (22) （本小题满分12分）解：依题意(x)=，则，x ∈（0，+∞），（I ）当a=0时，，，令(x)=0，解得． ……………3分当0＜x ＜ 时，(x)）＜0，∴f （x ）的单调递减区间为，当 时，(x)＞0．∴单调递增区间为．∴时，f （x ）取得极小值，无极大值； ……………5分（II ）=，x ∈[1，3]．当﹣8＜a ＜﹣2，即＜＜时，恒有 (x)＜0成立，∴f （x ）在[1，3]上是单调递减．∴f （x ）max = f （1）=1+2a ，，∴|f （x 1）﹣f （x 2）|max = f （1）﹣f （3）= 4a+(a-2)ln3 ，∵x 1 , x 2∈[1，3]，使得恒成立，∴4a+(a-2)ln3＞，整理得，又a＜0，∴，……………8分令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．……………12分。
2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)
说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因
为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲
是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
属于中档题． 8．B
2x + 3y − 3 ≤ 0 作出 2x − 3y + 3 ≥ 0 表示的可行域，如图，
y + 3 ≥ 0
2x + 3y − 3 =0 x = −6
由
可得
，
2x − 3y + 3 =0 y = −3
将=z 2x + y 变形为 y =−2x + z ， 平移直线 y =−2x + z ，
由图可知当直 y =−2x + z 经过点 (−6, −3) 时，
4 − 2i
＝2－i.
2
参考答案
故选 D. 【点睛】 这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上
uuur 的点 Z(a，b)、平面向量 OZ 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实
轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭
a2 b2
截
得的弦长为 2，则 C 的离心率为
（）
A．2
B． 3
C． 2
D． 2 3 3
10．已知直三棱柱 ΑΒC − Α1Β1C1 中， ∠ΑΒC = 120o， ΑΒ = 2 ， ΒC= CC=1 1，则
(完整版)2017年高考理科数学全国卷2试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅱ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A．2 B．5 C．5D．3 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） A.2- B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017年高三质量检测（二）数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由,得:, 解得:,因为集合，故选D.考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集.2. 已知复数（其中，是虚数单位）是纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,是纯虚数,所以，解得，经检验满足，故选B.3. 已知数列，若点（）在经过点的定直线上，则数列的前19项和的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵点(n∈N∗)在经过点(10,6)的定直线上，∴a n−6=k(n−10),可得a10=6,且数列为等差数列。
则数列的前19项和.故答案为：114.4. 直线：（）是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆：整理得：.直线：（）是圆的一条对称轴,所以直线经过圆心.，解得.过点作斜率为1的直线.圆心到直线的距离为.圆的半径为....所以直线被圆所截得的弦长为,故选C.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，主视图和左视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是，选A.6. 函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，为奇函数，所以排除A、B，当时，，排除C,故选D.考点：1.函数的奇偶性；2.函数与函数的图象.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的图象；属中档题；解答本题时要根据给定函数的解析式先判断函数的奇偶性，由奇偶性排除一部分选项，再根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.7. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A. 336种B. 320种C. 192种D. 144种【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加,有种情况；若甲乙两人都参加,有种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A.8. 设方程有两个不相等的实根和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有两个不等的实根和，即为y=|ln x|和y=的图象有两个交点，...如图可得设0<<1,>1，由由0<<1,>1,可得<0,>0，即为<0,即有.故选：D.9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图:;;;;……;上述循环为一个周期，且表示出现的次数，一个周期出现2次.当时结束循环，所有.故选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 已知三棱锥，，，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在底面内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动,另一个端点N在△BCO内运动(含边界)，可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的.表面积为个球面和3个圆面的和：，故选B.点睛：求组合体的表面积时要注意“面面俱到”，即必须将所有“露在外面”的面的面积加起来，还需注意重叠部分不再计入表面积.牢记球的表面积公式：,其中为球半径.11. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）...A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，设一条渐近线方程为y=−x,则F1到渐近线的距离为.设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,A为F1M的中点，又0是F1F2的中点,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2.故选：C.点睛：平面解析几何小题常用的处理方法为数形结合，根据题中的条件在图中找到相应的几何关系，一般有：中位线定理，相似比，直角三角形的勾股定理，切线长定理，平行四边形等，根据几何关系建立代数式即可求解.12. 已知函数，，为自然对数的底数，关于的方程有四个相异实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，令得：，易知时，时，时，所以在递减，在递增，在递减，大致图象如图所示，当时，令，根据图象，若方程有四根，则方程必须有一根小于，一根大于，当时，，而由的图象知，只须时，方程必有一根小于，一根大于，故选C．点睛：本题综合考查函数与方程，函数的零点、极值、单调性，属于难题．解决此类问题的关键是方程有什么样的根，原方程才有四个根，通过对的单调性性研究，做出大致图象，结合图象可知方程必有一根小于，一根大于，然后结合对号函数图像分析，当时，能使程有一根小于，一根大于．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在边长为1的正方形中，，的中点为，，则__________．【答案】【解析】如下图，建立坐标系，,,,,则,,则.【点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，1.一般求向量数量积可用定义法求解，，一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角；2.还可利用坐标法表示数量积，需建立坐标系解决问题，比如本题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量.14. 设，则展开式中常数项为__________（用数字作答）．【答案】【解析】.的展开式的通项公式为....令，得常数项：.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15. 设实数，满足约束条件则的最小值为__________．【答案】【解析】实数x、y满足约束条件的可行域如图：可得A(,3),B(,),C(,)，目标函数在线段AB处取得最小值。
,当且仅当时，的最小值为2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知数列各项均为正数，，对任意的，有，若则的最小值为__________．【答案】【解析】∵,,∴>0.∴，∴，∴.当n=2016时,,得<1..当n=2017时,,得>1.因此存在n,使得>1，且n的最小值为2018.故答案为：2018.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角，，对边分别为，，，．（Ⅰ）证明是正三角形；（Ⅱ）如图，点在边的延长线上，且，，求的值．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）利用配方法，可得，即三边长相等，得证正三角形；（2）首先在中应用余弦定理求出边长，从而得长，再在中应用正弦定理可得．解析：（1）由,得,所以，所以,即是正三角形....（2）因为是等边三角形，，所以，,所以在中，由余弦定理可得：，可得，解得,在中，，由正弦定理可得.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若二面角大小为，设，试确定的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面，可证得平面，进而平面平面；（Ⅱ）先证明，，两两垂直，再以为原点建立空间直角坐标系，利用向量列方程求解即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，即．又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：∵，为的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则平面的法向量为，，，，，设，则，，∵，∴∴在平面中，．∴平面法向量为．∵二面角为，∴，∴．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（Ⅰ）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求，的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将代入（1）中函数解析式可得，即，根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;（3）取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:（1）当时，；当当时，；当当时，，所以与之间的函数解析式为.（2）由（1）可知，当时，，则，结合频率分布直方图可知，∴，（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，故的概率分布列为所以随机变量的数学期望20. 已知椭圆：（）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点．记的面积为，的面积为．问：是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得，，由此得椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意直线AB不能与x，y轴垂直，设直线AB的方程为（）代入整理得，由此利用韦达定理、直线垂直、三角形相似等知识，结合已知条件能求出结果．试题解析：（Ⅰ）由题意，得，，即，∴，∴所求椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在直线使，显然直线不能与，轴垂直．∴直线的斜率存在，设其方程为（），将其代入整理得，设，，，，∴，∵，∴，解得，即，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，整理得因为此方程无解，故不存在直线满足．21. 已知函数（）．（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个相异极值点，，求证：．...【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，（2）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．试题解析：（Ⅰ）由，恒有，即，对任意成立，记，，当，，单调递增；当，，单调递减，最大值为，∴，．（Ⅱ）函数有两个相异的极值点，，即有两个不同的实数根．①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；②当时，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，∴，不妨设，∵，∴，，，先证，即证，即证，令，即证，设，则，函数在单调递减，∴，∴，又，∴，∴．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，且，求直线的倾斜角的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或....【解析】试题分析：（Ⅰ）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线的参数方程是，（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数，的关系式，利用，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．试题解析：（Ⅰ）有得，∵，，，∴曲线的直角坐标方程为，即．（Ⅱ）将代入圆的方程得，化简得，设，两点对应的参数分别为，，则∴．∴，，或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若对不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）先求得不等式的解集为M，根据题意，，由此求得实数的取值范围．（II）利用绝对值三角不等式求得的最小值，可得的范围．试题解析：（Ⅰ）由，得，解得，∴不等式的解集，根据题意知，∴∴．（Ⅱ）当时，，设．由（当且仅当时等号成立），∴的最小值5，因此，若对恒成立，知实数的取值范围是．。