22.2.2用二次函数的图像解一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
集是
.
-1<x<3
关闭
答案
6.利用二次函数的图象求方程-
1 2
x2+x+2=0的近似解(精确到0.1).
解: 函数 y=-12x2+x+2 的图象如图.
设-12x2+x+2=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
因为当 x=-1 时,y=-12×(-1)2-1+2=0.5>0,
解得 k=196.
(2)由题意,得 b2-4ac=b2-8=0,解得 b=±2 2.
∵x=-������>0,∴b<0,
关闭
(1)1∴96 b=(2-2)2-22.2
解析 答案
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,
若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解
-1.4 -0.38 3.2 0.08
-1.3 -0.145 3.3 -0.145
-1.2 0.08 3.4 -0.38
-1.1 0.295 3.5 -0.625
所以方程-12x2+x+2=0 的根 x1 的近似值为-1.2,x2 的近似值为 3.2.
当 x=-1.5 时,y=-12×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3 时,y=-12×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5
时,y=-12×3.52+3.5+2=-0.625<0,
九年级数学上册 22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程课后作业2 (新版)新人教版
利用函数的图象解一元二次方程一、教材题目：P47 T2（2）、T3、T52．用函数的图象求下列方程的解：(2)－x2－6x－9＝0.3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.(1)画出上述函数的图象；(2)观察图象，指出铅球推出的距离．(第3题）5．画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象回答：(1)方程x2－2x－3＝0的解是什么；(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.二.补充:来源于《点拨》3．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，当x≥3时，总有y≥0，那么c的取值范围是( )A．c＝3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤35．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m ＝0的根为________；不等式－x2＋2x＋m＞0的解集是__________；当x__________时，y 随x的增大而减小．(第5题)7．〈易错题〉二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．12. 已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．(1)如果a，b，c都是整数，且c<b<8a，求a，b，c的值；(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C.如果关于x 的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．答案教材2．解： (2)图象略．方程的解为x 1＝x 2＝－3.3．解：(1)函数图象如图．(第3题)(2)由图象可知，铅球推出的距离为10 m .5．解：图象如图．(第5题)(1)方程的解为x 1＝－1，x 2＝3.(2)当x ＜－1或x ＞3时，函数值大于0.(3)当－1＜x ＜3时，函数值小于0.点拨3.A5．x ＝－1或x ＝3；－1＜x ＜3；＞1点拨：由题意可知方程的一个根为3，设方程的另一个根为x ，则x ＋32＝1，∴x ＝－1，∴－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x ＝－1或x ＝3，∴不等式－x 2＋2x ＋m ＞0的解集是－1＜x ＜3，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．7．解：(1)观察图象，抛物线与x 轴交于两点(1，0)、(3，0)，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝3.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为1＜x ＜3.(3)因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，且开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，所以自变量x 的取值范围为x ＞2.(4)若使方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与直线y ＝k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k ＜2时才能满足条件． 方法规律：此题运用了数形结合思想，利用图象来解题．注意第一问中求的是根而不是点的坐标．对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)和方程ax 2＋bx ＋c ＝0及不等式ax 2＋bx ＋c ＞0之间的关系理解透彻是做此题的关键．12．解：因点P(1，a)、Q(2，10a)在二次函数y ＝x 2＋bx －c 的图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋b －c ＝a ，4＋2b －c ＝10a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝9a －3，c ＝8a －2. (1)由c ＜b ＜8a 知⎩⎪⎨⎪⎧8a －2＜9a －3，9a －3＜8a ， 解得1＜a ＜3.又a 为整数，所以a ＝2，所以b ＝9a －3＝15，c ＝8a －2＝14.(2)设m ，n 是方程的两个整数根，且m ≤n.由根与系数的关系可得m ＋n ＝－b ＝3－9a ，mn ＝－c ＝2－8a ，消去a ，得9mn －8(m ＋n)＝－6，两边同时乘9，得81mn －72(m ＋n)＝－54，分解因式，得(9m －8)(9n －8)＝10. 所以⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝1，9n －8＝10， 或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝2，9n －8＝5， 或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝－10，9n －8＝－1， 或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝－5，9n －8＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2， 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝109，n ＝139， 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－29，n ＝79，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝23，又m ，n 是整数，所以m ＝1，n ＝2. 因此，b ＝－(m ＋n)＝－3，c ＝－mn ＝－2，二次函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.易求得点A 、B 的坐标为(1，0)和(2，0)，点C 的坐标为(0，2)，所以△ABC 的面积为12×(2－1)×2＝1.。
22.2二次函数与一元二次方程
22.2二次函数与一元二次方程问题：二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：⑴ x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 你认为二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？请你谈一谈你的看法。
探究（一）二次函数与一元二次方程之间的关系如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？知识总结：一般地，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数_______________的值为______时自变量x 的值。
所以：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
⑵ 抛物线与x 轴的三种位置关系：相交，即有_____公共点；相切，即有______公共点；相离，即______公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：有 实数根；有________ 的实数根； ______的实数根。
（3）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）基础练习：1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4、抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点5、一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是4.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________;变式训练：1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根4、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 6、关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.7.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.8.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是 。
22.2二次函数与一元二次方程
是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-4x+3
(2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac > 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个相异的实数根
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
y ax2 bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
22.2.2二次函数与一元二次不等式--新人教版初中数学导学案九年级上册《二次函数》【一流精品】
课题： 22.2.2二次函数与一元二次不等式【学习目标】1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.【学习重点】从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式的解法.【学习难点】理解二次函数与一元二次不等式解集的关系.【课前预习案】复习1：解下列不等式：①112x>-；②112x->；③1102x-+>.探究一：一元二次不等式的定义制作一个高为2m的长方体容器，底面矩形的长比宽少1m，并且长方体的容积大于12m3,问底面矩形的宽取值范围？一元二次不等式的定义：只含未知数，并且未知数最高次数为的不等式，称为一元二次不等式.探究二：解一元二次不等式解一元二次不等式：①x2-x-6>0 ②x2-x-6<0第一步：解一元二次方程x2-x-6=0第二步：画出二次函数y= x2-x-6的草图第三步：写出不等式的解集：归纳：方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标，不等式的解集即函数图象在x轴上方或下方图象所对应x 的范围。
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .总结出：解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) （标准形）的步骤是：探究三.二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系例2：解不等式4x2+1>4x 例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0练习：解下列一元二次不等式：（1）3x2-7x+2<0 (2)-6x2-x+2≤0【课末达标案】1、不等式(3x+1)(2x-1)≤０的解集是（ ） Ａ．x ≤－31或x ≥21 Ｂ．－31＜x ＜21 Ｃ.x ＜－31或x ＞21 Ｄ－31≤x ≤21． 2、不等式(x+5)(3-2x)≥６的解集是（ ）A ．ｘ≤－１或ｘ≥29 B.－１≤ｘ≤29 C.x ≤-29或x ≥１ D.－29≤ｘ≤１ 3、不等式(21－x)(31 -x)＞0的解集为（ ）A.31＜x ＜21B.x ＞21C.x ＜31D.x ＜31或x ＞21 4、不等式3x ２-16x+16＞0的解集是 . 5、在下列不等式中,无解的是（ ）A.2x ２-3x+2＞０B.x ２+4x+4≤0C.4-4x-x ２＜0D.-2+3x-2x ２＞06、若函数y=ax ２+bx+c(a ≠０)图象的开口向下,且与x 轴的交点的坐标为x １,x ２（x １＜x ２),则不等式ax ２＋bx+c ＜0的解集为（ ）A.x 1＜x ＜x 2 B ．x ２＜x ＜x １ C ．x ＜x １或x ＞x ２ D ．x ＜x ２或x ＞x １7、已知二次方程ax ２＋bx+c=0的两个根是－2,3,a ＞0,那么ax ２+bx+c ＞0的解集是（ ） A.x ＜－2或x ＞3 B.x ＜－3或x ＞2 C.－2＜x ＜3 D ．－3＜x ＜2 8、解下列不等式（组）：(1) 0532>+-x x （2）0122<--x x （3）01272<++x x（4）0652≤--x x （5）5x+2≥3x 2 （6）（x-2）（3x-5）>0(7) 2245x x ≥+ (8) 3x-x 2<0 (9)2522<-）（x(10)212x x <+ (11)01242<--x x (12)012532>-+x x(13)0442>-+-x x (14)2230x x --+≥ (15)0232≥-+xx【课后拓展案】基础达标： 解下列一元二次不等式：1.0652>++x x2.0672≥+-x x3.0122>-+x x4.2230x x --+≥5.0262≤+--x x6.0142562≤++x x7.0941202≤+-x x 8.(2)(3)6x x +-<应用提高： 10.不等式组⎩⎨⎧+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )．(A)m≤2(B)m≥2(C)m≤1(D)m≥111.(1) 若不等式012>++mx x 的解集为全体实数，则m 的取值范围是_____________. (2) 不等式220mx mx +-<的解集为全体实数，则实数m 的取值范围为 .思维拓展：12、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．。
22.2用二次函数的图像解一元二次方程
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
D 3.25 <x< 3.26
综合提高
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图 象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3
8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方 程ax2+bx+c-3=0根的情况是( B ) y
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
22.2.2二次函数与一元一次不等式
B 4
x
五点法定位作图
函数图像的顶点、图像与x,y坐标轴的交点，以及图 像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
y X=-b/2a
2 y=ax +bx+c
b ( , c) a
(0,c)
o
x
1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4 a
x
2
x
课堂练习
练习1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 的公共点是(－2，0)， (4，0)，求
这条抛物线的对称轴．
2.如图22-2-4是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过
点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，则图象与
x轴的另一个交点坐标是
(-1，. 0)
利用五点法画二次函数y=x2-x-6的图象。
25 1 1 （—，-— ） 直线x=— 4 2 （1）顶点坐标是__________ 对称轴是_________ 2
x1 2, x2 （2)方程x2-x-6=0的两个根是_________
y 1 x=— 2
3
（3）函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0 时,y=0
(-2,0) 0 (0,-6)
x (3,0)
当 x=-2或x=3
当 -2<x<3
时,y<0
(1,-6) （4）求不等式 2 25 1 （—，-— x<-2或x>3 4） 2
[ 注意 ] 当二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图 象与 x 轴有交点时，其交点横坐标就是方程 ax2 ＋bx＋c＝0的根．
1.已知二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示, 则一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解 是 x1 1, x2 .4
人教版九年级数学上册《22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程》教学课件
知2－练
1 抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a<0)如图，则关于x的 不等式ax2＋bx ＋c>0的解集是( C ) A．x<2 B．x>－3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
知2－练
2 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋ bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的 是( C ) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n) 在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两 根为－5和－1
人教版九年级数学上册
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
第2课时 用函数的图象解一 元二次方程（不等式）
1 课堂讲解 用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
2 课时流程
逐点 导讲练
二次方程有着 紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象 求一元二次方程的根呢？
知2－讲
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5 ＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2. 令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0， ∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)． 令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5). 由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
如何利用函数图象解一元二次不等式呢？
归纳
知2－讲
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式 ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应 的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集 为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集 合.如下表：
部编人教版九上数学第22章 二次函数 22.2.2 用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)【习题课件】
第二十二章 二次函数
第2节 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元
二次方程（不等式）
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横坐标；－
b a
x－
c a
；
1 y＝x2 ；y＝－ b x－ c；3.3
答案显示
7D
8B
3D
6
x1 ＜ x ＜ x2 ； x<x1或x＞x2
看成抛物线y1＝mx2－4mx＋2n－1位于直线y＝－1上方部分的
点的横坐标，由图象可知，此时点的纵坐标有正有负，即对应
的函数值有正有负，故⑤错误． 【答案】B
课后训练
10．小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解” 总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根． (1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分
课后训练
12．(中考•滨州)根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函 数y＝－2x2－4x，并在下面的坐标系(如图①)中画出二 次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)；
略
课后训练
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－ 4x＝0的解为_x_1_＝__0_，__x_2＝__－__2___，并用锯齿线标示出 函数y＝－2x2－4x的图象中y≥0的部分；
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根：
___x_1＝__1_，__x_2_＝__3_______________________;
(2) 直 接 写 出 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0 的 解 集 ： ___1_＜__x_＜__3___________________________;
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课堂练习
1．已知二次函数 y x 2 3x 4 的图象如图， （1）则方程
x 3x 4 0
2
2
的解是 （2）不等式 的解集是 （3）不等式
2
，
x 3x 4 0
(3).确定方程x2-2x-2=0的解; 所以,方程x2-2x-2=0的近似根为:x1≈-0.7,x2≈2.7.
为求-1和0之间的根，可分别计算x=0,x=-1,x=0.5的函数值，列表如下： x -1 -0.5 0
y 1 -0.75 -2
所以方程的根在-1和-0.5之间，于是可再 将-1和-0.5之间分为5等分，每个分点作为x的 值，利用计数器求出对应的函数值
x y 2.6 -0.44 2.7 -0.11 2.75 2.8 2.9 0.61
0.0625 0.24
由于结果保留小数点后一位，所以方程 的另一近似根为2.7
你能利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x3=0的近似根（结果保留小数点后一位）吗？ 解： （1）在一直角坐标系中画 出函数 y x 2的图象； （2）在同一直角坐标系中画 出函数 y 2 x 3 的图象； （3）找到它们的交点 （-3，9）、（1，1）； （4）所以方程 x 2 x 3 0
x y -0.6 -0.44 -0.7 -0.11 -0.75 -0.8 -0.9 0.61
0.0625 0.24
由于结果保留小数点后一位，所以方程 的一近似根为-0.7
为求2和3之间的根，可分别计算x=2,x=2.5,x=3 的函数值，列表如下： x 2 2.5 3
y -2 -0.75 1
所以方程的根在2.5和3之间，于是可再将 2.5和3之间分为5等分，每个分点作为x的值， 利用计数器求出对应的函数值
你能利用二次函数的图象求一元二次方程x22x-2=0的近似根（结果保留小数点后一位）吗？
(1).用描点法作二次函数 y=x2-2x-2的图象； (2).观察估计二次函数y=x22x-2的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有 两个交点,其横坐标一个在-1 与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.7和2.7(可将单 位长再十等分,借助计算器确定其近似值，详见课本).
，
的解集是
x 3x 4 0
．
课堂练习
2、根据下列表格的对应值: x
y=ax2+bx+c
3.23
3.24
3.25
0.03
0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范 围是( C ) A 3< x < 3.23 B 3.23 < x < 3.24
2
的解为 x1= –3，x2=1．
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2+2x-10=x+3的近似根.
(1).用描点法作二次函数 y=x2+2x-10的图象 (2).用描点法作一次函 数y=x+3的图象 由图象可知,它们有两个 交点,其横坐标一个在-5与-4 之间,另一个在3与4之间,分 别约为-4.2和3.2.
22.2 二次函数与 一元二次方程
22.2.2用二次函数的图像解一元二次方程
复习引入
通过前面的学习，我们已经知道，对于 二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时， 函数即可化为一元二次方程ax2＋bx＋c=0， 这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标 因此，我们可以通过二次函数的图象来 求解一元二次方程
b c 2 x x 0 ，然后分别画出函数 y x a a b c 和 y x 的图象。得出交点，交点的横 a a
2
也可将方程
ax bx c 0
2
化为
坐标即为方程的解．
今日作业：
1、教材P47，复习巩固2、3、5题
2、完成教辅资料上的作业
2
b 8a 4ac
2
其中正确的有（B ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
1 0
1
x
课堂小结
一般地，求一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的近似解时，可先画出函数 y ax2 bx c(a 0)
的图象，找出图象与x轴的交点，交点的横坐 标就是方程的近似解；
A 有两个同号的实数根
B 有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D 没有实数根
.3
x1
. o 1.3x2 x=-1
x
5、如图所示，二次函数 y ax bx c(a 0)
2
的图象经过点（-1,2），且与x轴交点的横坐 标分别为 x1，x2 ，其中 2 x 1 ， 1 0 x2 1 。下列结论 y ① 4a 2b c 0 ② 2a b 0 ③ a 1 ④
C 3.24 <x< 3.25
D 3.25 <x< 3.26
课堂练习
3、如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3
4、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的 方程ax2+bx+c-3=0根的情况是 B( ) y