初中数学试题解析中考试题解析--中考数学第26题

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2024年广东省中考数学真题卷含答案解析

机密★启用前2024年广东省初中学业水平考试数学满分120分考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算－5＋3的结果是（）A. 2B. －2C. 8D. －82. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（）A. 43.8410⨯B. 53.8410⨯C. 63.8410⨯D.538.410⨯4. 如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（）A. 120︒B. 90︒C. 60︒D. 30︒5. 下列计算正确的是（）A. 2510a a a ⋅=B. 824a a a ÷=C. 257a a a -+=D. ()5210a a =6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（）A 14 B. 13 C. 12 D. 347. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（）A. 2B. 5C. 10D. 208. 若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（）A. 321y y y >>B. 213y y y >>C. 132y y y >>D. 312y y y >>9. 方程233x x=-的解为（）A. 3x = B. 9x =- C. 9x = D. 3x =-10. 已知不等式0kx b +<的解集是2x <，则一次函数y kx b =+的图象大致是（）.A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11. 数据2，3，5，5，4的众数是____．12. 关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．13. 若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =_______．14. 计算：333a a a -=--_______．15. 如图，菱形ABCD 的面积为24，点E 是AB 的中点，点F 是BC 上的动点．若BEF △的面积为4，则图中阴影部分的面积为______．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16. 计算：011233-⨯-+-．17. 如图，ABC 中，90C ∠=︒．（1）实践与操作：用尺规作图法作A ∠的平分线AD 交BC 于点D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D 为圆心，DC 长为半径作D ．求证：AB 与D 相切．18. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位．经测量，60ABQ ∠=︒， 5.4m AB =， 1.6m CE =，GH CD ⊥，GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m1.73≈）（1）求PQ 的长；（2）该充电站有20个停车位，求PN 的长．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19. 端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A 、B 、C 三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：景区特色美食自然风光乡村民宿科普基地A 6879在B7787C 8866（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．20. 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）21. 综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm 圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】的步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22. 【知识技能】（1）如图1，在ABC 中，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ．当点E 的对应点E '与点A 重合时，求证：AB BC =．【数学理解】（2）如图2，在ABC 中()AB BC <，DE 是ABC 中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ，连接A B '，C C '，作A BD ' 的中线DF ．求证：2DF CD BD CC ⋅='⋅．拓展探索】（3）如图3，在ABC 中，4tan 3B =，点D 在AB 上，325AD =．过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，3BE =，323CE =．在四边形ADEC 内是否存在点G ，使得180AGD CGE ∠+∠=︒？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．的【23. 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B ，D 是直线()0y ax a =>上第一象限内的两个动点()OD OB >，以线段BD 为对角线作矩形ABCD ，AD x ∥轴．反比例函数k y x =的图象经过点A ．【构建联系】（1）求证：函数k y x=的图象必经过点C ．（2）如图2，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E 落在y 轴上，且点B 的坐标为()1,2时，求k 的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E ，A 重合时，连接AC交BD 于点P ．以点O 为圆心，AC 长为半径作O ．若OP =O 与ABC 的边有交点时，求k 的取值范围．机密★启用前2024年广东省初中学业水平考试数学满分120分考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算－5＋3的结果是（）A. 2B. －2C. 8D. －8【答案】B【解析】【分析】根据有理数的加法法则，即可求解.【详解】∵－5＋3=-(5-3)=-2，故答案是：B.【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键.2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（）A. 43.8410⨯B. 53.8410⨯C. 63.8410⨯D. 538.410⨯【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定a n ，的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 的值为整数位数少1．【详解】解：384000大于1，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中 3.84a =，5n =， ∴384000用科学记数法表示为53.8410⨯，故选：B ．4. 如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（）A. 120︒B. 90︒C. 60︒D. 30︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意知，AC DE ∥，根据ACE E ∠=∠，求解作答即可．【详解】解：由题意知，AC DE ∥，∴60ACE E ∠=∠=︒，故选：C ．5. 下列计算正确的是（）A. 2510a a a ⋅=B. 824a a a ÷=C. 257a a a -+=D. ()5210a a =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、257a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；B 、826a a a ÷=，原式计算错误，不符合题意；C 、253a a a -+=，原式计算错误，不符合题意；D 、()5210a a =，原式计算正确，符合题意；故选：D ．6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（）A. 14 B. 13 C. 12 D. 34【答案】A【解析】【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是14，故选：A ．7. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（）A. 2B. 5C. 10D. 20【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，∴一个正方形的面积为100425÷=，∴5=，故选：B ．8. 若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（）A. 321y y y >>B. 213y y y >>C. 132y y y >>D. 312y y y >>【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线0x =），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶ 二次函数2y x =的对称轴为y 轴，开口向上，∴当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，且012<<，∴321y y y >>，故选∶A ．9. 方程233x x=-的解为（）A. 3x = B. 9x =- C. 9x = D. 3x =-【答案】C【解析】【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：233x x=-去分母得：23(3)x x =-，去括号得：239x x =-，移项、合并同类项得：9x -=-，解得：x =9，经检验：x =9是原分式方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．10. 已知不等式0kx b +<的解集是2x <，则一次函数y kx b =+的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围．找到当2x <函数图象位于x 轴的下方的图象即可．【详解】解∶∵不等式0kx b +<的解集是2x <，∴当2x <时，0y <，观察各个选项，只有选项B 符合题意，故选：B ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11. 数据2，3，5，5，4的众数是____．【答案】5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．12. 关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．【答案】3x ≥##3x≤【解析】【分析】本题主要考查了求不等式组解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为3x ≥，2x >，∴不等式组的解集为3x ≥，故答案为：3x ≥．13. 若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =_______．【答案】1【解析】【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．14. 计算：333a a a -=--_______．【答案】1【解析】的【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．【详解】解：331333a a a a a --==---，故答案为：1．15. 如图，菱形ABCD 的面积为24，点E 是AB 的中点，点F 是BC 上的动点．若BEF △的面积为4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】10【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出6ADE S = ，8ABF S = ，根据ABF △和菱形的面积求出23BF BC =，2BF CF=，则可求出CDF 的面积，然后利用ADE BEF CDF ABCD S S S S S =---阴影菱形求解即可．【详解】解：连接AF BD 、，∵菱形ABCD 的面积为24，点E 是AB 的中点，BEF △的面积为4，∴1116222ADE ABD ABCD S S S ==⨯=菱形，28ABF BEF S S == ，设菱形ABCD 中BC 边上的高为h ，则12ABFABCD BF h S S BC h ⋅=⋅菱形，即18224BF BC=，∴23BF BC =，∴2BF CF=，∴12212ABF CDF BF h S BF S CFCF h ⋅===⋅ ，∴4CDF S =△，∴10ADE BEF CDF ABCD S S S S S =---=阴影菱形，故答案为：10．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16.计算：011233-⨯-+-．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：011233-⨯-+-111233⨯+-=11233=+-2=．17. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）实践与操作：用尺规作图法作A ∠的平分线AD 交BC 于点D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D 为圆心，DC 长为半径作D ．求证：AB 与D 相切．【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；（2）如图2，作DE AB ⊥于E ，由角平分线性质定理可得DE DC =，由DE 是半径，DE AB ⊥，可证AB 与D 相切．【小问1详解】解：如图1，AD 即为所作；【小问2详解】证明：如图2，作DE AB ⊥于E ，∵AD 是CAD ∠的平分线，DC AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DC =，∵DE 是半径，DE AB ⊥，∴AB 与D 相切．18. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位．经测量，60ABQ ∠=︒， 5.4m AB =， 1.6m CE =，的GH CD ⊥，GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m 1.73≈）（1）求PQ 的长；（2）该充电站有20个停车位，求PN 的长．【答案】（1）6.1m（2）66.7m【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：（1）先由矩形的性质得到90Q P ∠=∠=︒，再解Rt ABQ 得到AQ =，接着解直角三角形得到BC =，进而求出AP =，据此可得答案；（2）解Rt BCE 得到 3.2m BE =，解Rt ABQ 得到 2.7m BQ =，再根据有20个停车位计算出QM 的长即可得到答案．【小问1详解】解：∵四边形PQMN 是矩形，∴90Q P ∠=∠=︒，在Rt ABQ 中，60ABQ ∠=︒， 5.4m AB =，∴sin AQ AB ABQ =⋅=∠，30QAB ∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC BAD BCD ABC BCE =====︒，∠∠∠∠，∴30CBE ∠=︒，∴tan CE BC CBE ==∠，∴AD =；∵180309060PAD =︒-︒-︒=︒∠，∴cos AP AD PAD =⋅=∠，∴ 6.1m PQ AP AQ =+=≈【小问2详解】解：在Rt BCE 中， 3.2m sin CE BE CBE==∠，在Rt ABQ 中，cos 2.7m BQ AB ABQ =⋅=∠，∵该充电站有20个停车位，∴2066.7m QM QB BE =+=，∵四边形ABCD 是矩形，∴66.7m PN QM ==．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19. 端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A 、B 、C 三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：景区特色美食自然风光乡村民宿科普基地A 6879B7787C 8866（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．【答案】（1）王先生会选择B 景区去游玩（2）王先生会选择A 景区去游玩（3）最合适的景区是B 景区，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数：（1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；（2）根据平均数计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；（3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可．小问1详解】解：A 景区得分为630%815%740%915%7.15⨯+⨯+⨯+⨯=分，B 景区得分为730%715%840%715%7.4⨯+⨯+⨯+⨯=分，C 景区得分为830%815%640%615%6.9⨯+⨯+⨯+⨯=分，∵6.97.157.4<<，∴王先生会选择B 景区去游玩；【小问2详解】的【解：A 景区得分67897.54+++=分，B 景区得分77877.254+++=分，C 景区得分668874+++=分，∵77.257.5<<，∴王先生会选择A 景区去游玩；【小问3详解】解：最合适的景区是B 景区，理由如下：设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为30%20%40%10%，，，，A 景区得分为630%820%740%910%7.1⨯+⨯+⨯+⨯=分，B 景区得分为730%720%840%710%7.4⨯+⨯+⨯+⨯=分，C 景区得分为830%820%640%610%7⨯+⨯+⨯+⨯=分，∵77.17.4<<，∴王先生会选择B 景区去游玩．20. 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，根据利润=每吨的利润⨯销售量列出w 关于x 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，由题意得，()()5210050w x x =--+的25050300x x =-++2150312.52x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵500-<，∴当12x =时，w 有最大值，最大值为312.5，∴5 4.5x -=，答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元．21. 综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm 的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）【答案】（1）能，见解析（23cm 【解析】【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．【小问1详解】解：能，理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为n ︒，根据题意，得77180n ππ⋅=，解得180n =°，∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；【小问2详解】解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为cm r ，高为cm h ，根据题意，得18052180ππr ⨯=，解得52r =，∴h ==，∴圆锥的体积为223115332r h ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22. 【知识技能】（1）如图1，在ABC 中，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ．当点E 的对应点E '与点A 重合时，求证：AB BC =．【数学理解】（2）如图2，在ABC 中()AB BC <，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ，连接A B '，C C '，作A BD ' 的中线DF ．求证：2DF CD BD CC ⋅='⋅．【拓展探索】（3）如图3，在ABC 中，4tan 3B =，点D 在AB 上，325AD =．过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，3BE =，323CE =．在四边形ADEC 内是否存在点G ，使得180AGD CGE ∠+∠=︒？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数，圆内接四边形的对角互补熟练．掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明A FD DGC ''△∽△后即可证明；（3）当两圆相交，连接交点与两圆心所构成的四边形为圆内接四边形，其中一组对角互补，即两角之和为180︒．根据圆内接四边形的对角互补，将问题转化为求出两圆的位置关系即可证明．【详解】证明：（1） DE 是ABC 的中位线，∴12DE BC =且12AD DB AB ==．又 ADC △绕点D 按逆时针方向旋转得到A DC ''∴DE AD=∴AB BC =．（2）由题意可知：DC DC '=，DA DA '=，CDC ADA ''∠=∠．作DG CC '⊥，则12CG C G CC ''==且12CDG C DG CDC ''∠=∠=∠，又 BD DA DA '==，∴A BD BA D ''∠=∠．根据外角定理A DA A BD BA D '''∠=∠-∠，∴12BA D A DA ''∠=∠，∴BA D C CG ''∠=∠．又 DB DA '=，DF 是A BD ' 的中位线，∴'DF A B ⊥，∴90A FD '∠=︒，∴A FD DGC ''△∽△，∴DF A DC G CD '=''，∴12DF BDCD C C ='，∴2DF CD BD CC ⋅='⋅．（3）假设存在点G 使得180AGD CGE ∠+∠=︒，如图分别以AD ，CE 为直径画圆，圆心分别为1O ，2O ，半径分别为r ，R ，则165r =，163R =．过点1O 作1O H BC ⊥于点H ，过点D 作1DF O H ⊥于点F ，则有DF BC ∥，四边形DEHF 为长方形，∴190O FD FHB DEB ∠=∠=∠=︒，1O DF DBE ∠=∠，∴1O FD DEB △∽△，∴11O DO F DF DB DE BE ==，11O DDBDE O F =．又在BDE 中，4·tan 343DE BE B ==⨯=，5BD ===，1516r O D ==，根据勾股定理可得：4DE FH ==，5DB =，∴16425O F =，4825DF EH ==．∴111644 6.5625O H O F =+==，216482563.4132575O H R EH =-=-=≈．在12Rt O HO △中，127.39O O =≈．又 16168.553r R +=+≈，∴12O O r R <+，∴两圆有交点，满足180AGD CGE ∠+∠=︒．23. 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B ，D 是直线()0y ax a =>上第一象限内的两个动点()OD OB >，以线段BD 为对角线作矩形ABCD ，AD x ∥轴．反比例函数k y x =的图象经过点A ．【构建联系】（1）求证：函数k y x=的图象必经过点C ．（2）如图2，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E 落在y 轴上，且点B 的坐标为()1,2时，求k 的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E ，A 重合时，连接AC交BD 于点P ．以点O 为圆心，AC 长为半径作O ．若OP =O 与ABC 的边有交点时，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）163k =；（3）68k ≤≤【解析】【分析】（1）设(),B m ma ，则,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，用含,m k 的代数式表示出,k C am am ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再代入k y x=验证即可得解；（2）先由点B 的坐标和k 表示出2DC k =-，再由折叠性质得出2DE BE=，如图，过点D 作DH y ⊥轴，过点B 作BF y ⊥轴，证出DHE EFB ∽，由比值关系可求出24k HF =+，最后由HF DC =即可得解；（3）当O 过点B 时，如图所示，过点D 作DH x 轴交y 轴于点H ，求出k 的值，当O 过点A 时，根据A ，C 关于直线OD 对轴知，O 必过点C ，如图所示，连AO ，CO ，过点D 作DH x 轴交y 轴于点H ，求出k 的值，进而即可求出k 的取值范围．【详解】（1）设(),B m ma ，则,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵AD x 轴，∴D 点的纵坐标为k m ， ∴将k y m =代入y ax =中得：k m ax =得，∴k x am=，∴,k k D am m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴,k C am am ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴将k x am =代入k y x=中得出y am =，∴函数k y x =的图象必经过点C ；（2）∵点()1,2B 在直线y ax =上，∴2a =，∴2y x =，∴A 点的横坐标为1，C 点的纵坐标为2，∵函数ky x =的图象经过点A ，C ，∴22k C ⎛⎫⎪⎝⎭，，()1,A k ，∴2k D k ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2DC k =-，∵把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ，∴12kBE BC ==-，90BED BCD ∠=∠=︒，∴2212DC k DEk BC BE -===-，如图，过点D 作DH y ⊥轴，过点B 作BF y ⊥轴，∵AD x 轴，∴H ，A ，D 三点共线，∴90HED BEF ∠+∠=︒，90BEF EBF ∠+∠=︒，∴HED EBF ∠=∠，∵90DHE EFB ∠=∠=︒，∴DHE EFB ∽，∴2DHHEDEEF BF BE ===,∵1BF =，2kDH =∴2HE =，4kEF =，∴24kHF =+，由图知，HF DC =，∴224kk +=-，∴163k =；（3）∵把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ，当点E ，A 重合，∴AC BD ⊥，∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，45ABP DBC ∠=∠=︒，∴sin 45APAB BC CD DA =====︒，12AP PC BP AC ===，BP AC ⊥，∵BC x ∥轴，∴直线y ax =为一，三象限的夹角平分线，∴y x =，当O 过点B 时，如图所示，过点D 作DH x ∥轴交y 轴于点H ，∵AD x ∥轴，∴H ，A ，D 三点共线，∵以点O 为圆心，AC 长为半径作O ，OP =，∴23OP OB BP AC BP AP AP AP =+=+=+==∴AP =，∴2AB AD ===，2BD AP ==，2BO AC AP ===，∵AB y ∥轴，∴DHO DAB ∽，∴HO DH DO AB AD BD==，∴22HO DH ==，∴4HO HD ==，∴422HA HD DA =-=-=，∴()2,4A ，∴248k =⨯=，当O 过点A 时，根据A ，C 关于直线OD 对轴知，O 必过点C ，如图所示，连AO ，CO ，过点D 作DH x ∥轴交y 轴于点H ，∵AO OC AC ==,∴AOC 为等边三角形，∵OP AC ⊥，∴160302AOP ∠=⨯︒=︒，∴tan 30AP OP PD =︒⨯===，2AC BD AP ===，∴AB AD ===，OD BP PD =+=+， ∵AB y ∥轴，∴DHO DAB ∽，∴HO DH DO AB AD BD==，==∴3HO HD ==+，∴33HA HD DA =-=+-=，∴(3A +，∴((336k =⨯+=,∴当O 与ABC 的边有交点时，k 的取值范围为68k ≤≤．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．。

2023年湖南省湘潭市中考数学真题(原卷与解析)

2023年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷考试时量：120分钟满分：120分考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A .爱B.我C.中D.华2.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x <1B.x ≤1C.x >1D.x ≥13.下列计算正确的是（）A.824a a a÷= B.23a a a+= C.()325a a = D.235a a a ⋅=4.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（）A.95分B.94分C.92.5分D.91分5.如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A.20︒B.60︒C.70︒D.80︒6.如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A.2B.2- C.1 D.1-7.如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA '的长为（）A.4πB.6πC.8πD.16π8.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为（）A.505011.26x x =+ B.505010 1.2x x+= C.5050101.2x x=+ D.501506 1.2x x+=二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.下列选项中正确的是（）A.081= B.88-= C.()88--= D.822=±10.2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩67x ≤<78x ≤<89x ≤<910x ≤<1011x ≤<频数2625125则下列说法正确的是（）A.样本容量为50B.成绩在910x ≤<米的人数最多C.扇形图中C 类对应的圆心角为180︒D.成绩在78x ≤<米的频率为0.111.如图，AC 是O 的直径，CD 为弦，过点A 的切线与CD 延长线相交于点B ，若AB AC =，则下列说法正确的是（）A.AD BC ⊥B.90CAB ∠=︒C.DB AB= D.12AD BC =12.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A.0a > B.0c > C.240b ac -< D.930a b c ++=三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.__________．（写出一个即可）14.已知实数a ，b 满足()2210a b -++=，则b a =_________．15.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作弧，分别交,AC AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，在BAC ∠内两弧交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则CD 的长为__________．16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.解不等式组：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．18.先化简，再求值：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭，其中6x =．19.在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC上的高．（1）证明：C ABD BA ∽△△；（2）若610AB BC ==，，求BD 的长．20.为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A （合唱社团）、B （硬笔书法社团）、C （街舞社团）、D （面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C （街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．21.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1541a32b34整理数据：时间段03x ≤<36x <≤69x ≤<人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m =__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a b <，则=a __________，b =__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．22.我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x 元，全部售完的利润为y 元．求利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？23.如图，点A 的坐标是()3,0-，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90︒得到A BC ''△．（1）反比例函数ky x=的图像经过点C '，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A '两点，求该一次函数的表达式．24.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=︒，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考数据，1.414 1.732≈≈）问题解决：（1）求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；（2）求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）25.问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．26.如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．2023年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.【答案】C【解析】解：将选项A ，B ，D 中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C 中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C ．2.【答案】D【解析】解：由题意得，x －1≥0，解得x ≥1．故选：D ．3.【答案】D【解析】解：A 选项，826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a +≠，故该选项不正确，不符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．4.【答案】B【解析】解：依题意，她的最后得分为9020%9580%94⨯+⨯=分，故选：B ．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形∴,BD AC AB CD ⊥∥，∴1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒，∵120∠=︒，∴2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．6.【答案】A【解析】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．7.【答案】C【解析】解：依题意， AA '的长2π48π=⨯=，故选：C ．8.【答案】A【解析】解：设大巴车的平均速度为x 千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时，根据题意列方程为：505011.26x x =+，故答案为：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.【答案】ABC【解析】解：081=，故A 符合题意，88-=，故B 符合题意；()88--=，故C 符合题意；=D 不符合题意；故选ABC 10.【答案】AC【解析】解：样本容量为262512550++++=，故A 正确；根据统计表，可得成绩在89x ≤<米的人数最多，故B 错误；扇形图中C 类对应的圆心角为2536018050⨯︒=︒，故C 正确；根据统计表，可得成绩在78x ≤<米的频率为6500.12÷=，故D 错误，故选：AC ．11.【答案】C【解析】解：∵AC 是O 的直径，∴AD BC ⊥，故A 选项正确，∵AB 是O 的切线，∴AC AB ⊥，∴90CAB ∠=︒，故B 选项正确，∵AB AC=∴ABC 是等腰直角三角形，∵AD BC ⊥，∴CD DB =，∴12AD BC =，故D 选项正确∵ADB 是直角三角形，AB 是斜边，则AB DB >，故C 选项错误，故选：C ．12.【答案】BD【解析】解：A 选项，由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A 错误；B 选项，图象与y 轴的交点在原点上方，故0c >，故B 正确；C 选项，因为抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac ->，故C 错误．D 选项，当3x =时，930y a b c =++=，故D 正确；故选：BD ．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：设所求数为a ，则a <则a <<，<<，即23<<，∴a 可以是2±或1±或0．故答案为：2（答案不唯一）．14.【答案】12【解析】解：∵()2210a b -++=，∴20a -=且10b +=，解得：2a =，1b =-；∴1122b a -==；故答案为：12．15.【答案】1【解析】解：如图所示，过点D 作DE AB ⊥于点E ，依题意1DE =，根据作图可知AD 为CAB ∠的角平分线，∵,DC AC DE AB⊥⊥∴1CD DE ==，故答案为：1．16.【答案】2【解析】解：如图所示，依题意，2OD AD ==12OE OD ==∴图中阴影部分的面积为222OE ==故答案为：2．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.【答案】不等式组的解集为：22x -<≤．画图见解析【解析】解：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，由①得：2x ≤，由②得：26>4x x ++，∴>2x -，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：22x -<≤．18.【答案】3x x -；2【解析】解：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭2212119x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭，()()()33131x x x x x x ++=++-⋅，3x x =-，当6x =时，原式2=．19.【答案】（1）见解析（2）185BD =【解析】（1）证明：∵90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．∴90ADB ∠=︒，90B C ∠+∠=︒∴90B BAD ∠+∠=︒，∴BAD C∠=∠又∵B B∠=∠∴C ABD BA ∽△△，（2）∵C ABD BA ∽△△∴AB BD CB AB=，又610AB BC ==，∴23618105AB BD CB ===．20.【答案】（1）,,,,,AB AC AD BC BD CD（2）13【解析】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为,,,,,AB AC AD BC BD CD ；（2）解：列表如下，AB D AAA AB AD B BA BB BD DDA DB DD 共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，∴他俩选到相同社团的概率为3193=．21.【答案】（1）1；频数直方图见解析（2）4；7（3）1400人【解析】（1）解：根据题意，可得10361m =--=，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示：（2）解：在家做家务时间段为69x ≤<有1人，且a b <，6b ∴≥，观察数据，可得在家做家务时间段为36x <≤的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故36a ≤<，众数为4，在已知数据中在家做家务时间为4和3的各有2人，4a ∴=，根据平均数，可得方程()15414323410 3.4b +++++++++÷=，解得7b =，故答案为：4；7；（3）解：612000140010+⨯=（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．22.【答案】（1）100050000y x =-；（2）该商店继续购进了4000件航天模型玩具．【解析】（1）解：因每件玩具售价为x 元，依题意得()100050100050000y x x =-=-；（2）解：设商店继续购进了m 件航天模型玩具，则总共有()1000m +件航天模型玩具，依题意得：()()1000605020%10000m +-⨯=，解得4000m =，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．23.【答案】（1）8y x=（2）1377y x =+【解析】（1）解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴()0,2C ，2OC BC ==，由旋转可得：2BC BC '==，90CBC '∠=︒，∴()2,4C '，∴248k =⨯=，∴反比例函数的表达式为8y x=；（2）如图，过A '作A H BC '⊥于H ，则90AOB A HB '∠=∠=︒，而90ABA '∠=︒，AB A B '=，∴90ABO BAO ABO A BO '∠+∠=︒=∠+∠，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∴ABO BA H ' ≌，∴3AO BH ==，4OB A H '==，∴431OH =-=，∴()4,1A '，设直线AA '为y mx n =+，∴3041m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AA '为1377y x =+．24.【答案】（1）45BOM ∠=︒；（2）该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．【解析】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转3603120=︒︒，当经过95秒后该盛水筒运动到点B 处时，36039575AOB ∠=︒-︒⨯=︒，∵30AOM ∠=︒，∴753045BOM ∠=︒-︒=︒；（2）解：作BC OM ⊥于点C ，设OM 与水平面交于点D ，则OD AD ⊥，在Rt OAD △中，30AOD ∠=︒，2OA =，∴112AD OA ==，22213OD =-=，在Rt OBC △中，45BOC ∠=︒，2OB =，∴222BC OC ===，∴320.3CD OD OC =-=≈(米)，答：该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．25.【答案】（1）见解析；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）APE V 的形状不改变，见解析【解析】（1）证明：连接BD ，BF ，BP ，如图，∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CBD FBG ∠=︒=∠，∴90DBF ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，又∵AP AP =，∴()SAS APD APB ≌，∴BP DP =，∴PDB PBD ∠=∠，∵90PDB PFB PBD PBF ∠+∠=︒=∠+∠，∴PBF PFB ∠=∠，∴PB PF =，∴PD PF =，即点P 恰为DF 的中点；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CAE PEA ∠=∠=︒∴,90AP EP APE =∠=︒，∴APE V 是等腰直角三角形；（3）APE V 的形状不改变，延长EP 至点M ，使PMEP =，连接,MA MD ，∵点P 为DF 的中点，∴PD PF =，∵DPM EPF ∠=∠，∴()SAS E MPD PF ≌，∴,DM EF DMP PEF =∠=∠，∴BE DM =，DM EF ∥，∴BG DM ∥，设DF 交BC 于点H ，交BG 于点N ，∴MDN DNB ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADN BHN ∠=∠，∵180BHN BNH HBN ∠+∠+∠=︒，∴180ADM BHN BNH HBN ∠=∠+∠=︒-∠，∵180ABE HBN ∠=︒-∠，∴ADM ABE ∠=∠，又∵AD AB =，∴()SAS A ADM BE ≌，∴AM AE =，DAM BAE ∠=∠，∵PM EP =，∴AP ME ⊥，即90APE ∠=︒，∵90DAM MAB ∠+∠=︒，∴90BAE MAB ∠+∠=︒，即90MAE ∠=︒，∴45MAP PAE ∠=∠=︒，∴45PEA PAE ∠=︒=∠，∴AP EP =，∴APE V 是等腰直角三角形．26.【答案】（1）243y x x =-+（2）()2,1P -或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+（3）352a <<或321a <-<．【解析】（1）解：将点()10B ,，()0,3C 代入2y x bx c =++，得103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：43b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为243y xx =-+；（2）∵243y x x =-+()221x =--，顶点坐标为()2,1，当0y =时，2430x x -+=解得：121,3x x ==∴()3,0A ，则3OA =∵()0,3C ，则3OC =∴AOC 是等腰直角三角形，∵PAC ABCS S =△△∴P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，∵()3,0A ，()0,3C ，设直线AC 的解析式为3y kx =+∴330k +=解得：1k =-∴直线AC 的解析式为3y x =-+，如图所示，过点B 作AC 的平行线，交抛物线于点P ，设BP 的解析式为y x d =-+，将点()10B ,代入得，10d -+=解得：1d =∴直线BP 的解析式为1y x =-+，2143y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩∴()2,1P -，∵312PA PB AB =====-=∴222PA PB AB +=∴ABP 是等腰直角三角形，且90APB ∠=︒，如图所示，延长PA 至D ，使得AD PA =，过点D 作AC 的平行线DE ，交x 轴于点E ，则DA PA =，则符合题意的点P 在直线DE 上，∵APB △是等腰直角三角形，,DE AC AC PD ⊥∥∴45DAE BAP ∠=∠=︒PD DE⊥∴ADE V是等腰直角三角形，∴2AE ===∴()5,0E 设直线DE 的解析式为y x e=-+∴50e -+=解得：5e =∴直线DE 的解析式为5y x =-+联立2543y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：31727172x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31727172x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴31771722P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+-综上所述，()2,1P -或37,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或37,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+-；（3）①当0a >时，如图所示，过点C 作CG AC ⊥交2x =于点G ，当点Q 与点G 重合时，ACQ 是直角三角形，当90AQC ∠=︒时，ACQ是直角三角形，设AC 交2x =于点H ，∵直线AC 的解析式为3y x =-+，则()2,1H ，∴CH ==,∵45CHG OCH ∠=∠=︒，∴CHG△是等腰直角三角形，∴HG=4==∴()2,5G ，设()2,Q q ，则()22222221,23613AQ q CQ q q q =+=+-=-+∵2223318AC =+=∴222186131q q q =-+++解得：32q-=（舍去）或32q =∴3172,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∵QAC △是锐角三角形∴31752a +<<；当a<0时，如图所示，同理可得222AQ QC AC +=即∴222186131q q q =-+++解得：3172q -=或3172q +=（舍去）由（2）可得AM AC ⊥时，()2,1M -∴31721a <-<综上所述，当QAC △是锐角三角形时，31752a +<<或31721a <--<．。

2024年吉林省中考数学真题卷含答案解析

吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2 B.1 C.0 D.1-2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,26.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．11.正六边形的每个内角等于______________°．12.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中3a =．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．（2）在图②中，画出经过点E的O20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21.中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多（1）20192023少元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：x16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发，/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时，求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．（1）直接写出k ，a ，b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2B.1C.0D.1-【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==，故本选项不符合题意．故选：B ．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．【答案】a （a ﹣3）【解析】【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．【答案】23x <<##32x >>【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．【答案】两点之间，线段最短【解析】【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．【答案】()22220.5x x +=+【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．【答案】11π【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360Sππ-==阴影，故答案为：11π．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中3a =．【答案】22a ，6【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当3a =原式223=⨯6=．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．【答案】13【解析】【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．（2）在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；、，作直线GH，则直线GH即为所求．（2）如图所示，取格点G H【小问1详解】解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD【小问2详解】、，作直线GH，则直线GH即为所求；解：如图所示，取格点G H．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）．（2）当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】（1）36I R=（2）12A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R =≠，把()94，代入()0U I U R =≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；【小问2详解】解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21.中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多（1）20192023少元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5②20192023年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【小问1详解】-=元，解：39218307338485-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485答：20192023元．【小问2详解】-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128解：20192023元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；【小问3详解】解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）【答案】218.3m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DG AG DG EAD===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DG AG DG EAD===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmx 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mmy 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+（2）36mm【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【小问1详解】，解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；【小问2详解】解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．【答案】（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题。

2024年云南省中考真题数学试卷含答案解析

2024年云南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作（）A ．100米B ．100-米C ．200米D ．200-米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．【详解】解：若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作100-米，故选：B ．2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A ．45.7810⨯B ．357.810⨯C ．257810⨯D ．578010⨯【答案】A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：457800 5.7810=⨯，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．33456x x x +=B ．635x x x ÷=C ．()327a a =D ．()333ab a b =【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A 、33356x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项计算错误，不符合题意；C 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；D 、()333ab a b =，选项计算正确，符合题意；故选：D ．4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．长方体【答案】D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D ．6．一个七边形的内角和等于（）A ．540︒B ．900︒C ．980︒D ．1080︒【答案】B【分析】本题考查多边形的内角和，根据n 边形的内角和为()2180n -⋅︒求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒，故选：B ．7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数x 环）和方差2s 如下表所示：甲乙丙丁x9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A ．8．已知AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，若点F 到直线AB 的距离为3，则点F 到直线AC 的距离为（）A ．32B ．2C ．3D ．72【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF 平分BAC ∠，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，∴AF 平分BAC ∠，∴点F 到直线AB ，AC 的距离相等，∵点F 到直线AB 的距离为3，∴点F 到直线AC 的距离为3．故选：C ．9．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年⨯（1-平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x -=，故选：B ．10．按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2nx B ．()1nn x-C ．1n nx +D ．()1nn x+【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，∴第n 个代数式是()1nn x +，11．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A ．爱B ．国C ．敬D ．业【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A 、图形不是轴对称图形，不符合题意；B 、图形不是轴对称图形，不符合题意；C 、图形不是轴对称图形，不符合题意；D 、图形是轴对称图形，符合题意；故选：D ．12．在Rt ABC △中，90B Ð=°，已知34AB BC ==，，则tan A 的值为（）A ．45B ．35C ．43D ．3413．如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若 AC BC=，36AOC ∠= ，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4514．分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将39a a -先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()329933a a a a a a a -=-=+-，故选：A ．15．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公二、填空题16．若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根，则c 的取值范围是．【答案】1c >/1c<【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c ＜0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4c ＜0，解得c ＞1．故答案为：c ＞1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n =．18．如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD=．19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．【答案】120【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用1000乘以12%即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人，故答案为：120．三、解答题20．计算：12117sin3062-⎛⎫++---⎪⎝⎭．21．如图，在ABC 和AED △中，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，AC AD =．求证：ABC AED ≌△△．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明ABC AED ≌△△，即可解决问题．【详解】证明： BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，在ABC 和AED △中，AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC AED ≌．22．某旅行社组织游客从A 地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C 型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．【答案】D 型车的平均速度为100km /h【分析】本题考查分式方程的应用，设D 型车的平均速度为km /h x ，则C 型车的平均速度23．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(),x y所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，且AB CD ∥，AD BC ∥，四边形EFGH 是矩形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若矩形EFGH 的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB 的长． ∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 中，点E 、25．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求a、b的值；(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26．已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线2x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标，记533109m M -=．(1)求b 的值；(2)比较M27．如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH 的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)90︒(2)见解析(3)CE EB CB +=，理由见解析∴点O在线段AD的中垂线上，=，∵CA CD∴点C在线段AD的中垂线上，⊥，∴OC AD。

2024年山东省滨州市中考数学真题卷及答案解析

滨州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.12-的绝对值是（）A. 2B.12C. 12-D. 2-2. 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A. B.C. D.3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）AB.C. D.4. 下列运算正确的是（）A. ()336n n = B. 22(2)4a a -=- C. 824x x x ÷= D. 23m m m ⋅=5. 若点()12,N a a -在第二象限，那么a 的取值范围是（）A. 12a >B. 12a <C. 102a <<D. 102a ≤<6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数232341某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（）A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③7. 点()11,M x y 和点()22,N x y 在反比例函数223k k y x-+=（k 为常数）的图象上，若120x x <<，则120y y ，，的大小关系为（）A. 120y y << B. 120y y >> C. 120y y << D. 120y y >>8. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt ABC△中，90C ∠=︒，,,AB BC CA 的长分别为,,c a b ．则可以用含,,c a b 的式子表示出ABC 的内切圆直径d ，下列表达.式错误的是（）A. d a b c =+-B. 2ab d a b c=++C. d =D. |()()|d a b c b =--第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9. 若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．10.小的整数是___________．11. 将抛物线2y x =-先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．12. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB 绕公共顶点O 顺时针旋转至图2，即AB OD ∥时，1∠大小为____________︒．13. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边,AB AC 上．添加一个条件使ADE ACB ∽，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形AOCD 是菱形，∠B 度数是______．的的15. 如图，四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是(1,3)A -，(0,0)O ，(3,1)B -，(5,4)C ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和PA PO PB PC +++最小，则P 点坐标为____________．16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B 均在格点上．（1）AB 的长为____________；（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB 为边的矩形ABCD ，使其面积为263，并简要说明点C ，D 的位置是如何找到的（不用证明）：____________．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17. 计算：()11222-⎫⎛+-⨯- ⎪⎝⎭．18. 解方程：（1）21132x x -+=；（2）240x x -=．19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称()()()()()()()0,1,2,3n n nn a b c P n a b a c b c b a c a c b =++=------为欧拉分式．（1）写出0P 对应的表达式；（2）化简1P 对应的表达式．20. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A ：床铺整理，B ：衣物清洗，C ：手工制作、D ：简单烹饪、E ：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B ，C ，D 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C ，D ，E 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．21. 【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在ABC 中，若AD BC ⊥，BD CD =，则有B C ∠=∠；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB AC =，即知AB BD AC CD +=+，若把①中BD CD =替换为AB BD AC CD +=+，还能推出B C ∠=∠吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出B C ∠=∠，并分别提供了不同的证明方法．小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，的使得……小民证明：∵AD BC ⊥．∴ADB 与ADC △均为直角三角形、根据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x （元/张）4050售出电影票数量y （张）164124（1）请求出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？如图1，ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边BC CA AB ，，上，且满足DF AC DE AB ，∥∥．23. ①求证：四边形AFDE 为平行四边形；②若AB BDAC DC=，求证：四边形AFDE 为菱形；24. 把一块三角形余料MNH （如图2所示）加工成菱形零件，使它一个顶点与MNH △的顶点M 重合，另外三个顶点分别在三边MN NH HM ，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）25. 【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：14．如图，在锐角ABC 中，探究sin aA ，sin bB ，sin c C之间的关系．（提示：分别作AB 和BC 边上的高．）【得出结论】sin sin sin a b c A B C==．【基础应用】在ABC 中，75B ∠=︒，45C ∠=︒，2BC =，利用以上结论求AB 的长；【推广证明】进一步研究发现，sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC 外接圆的半径）．请利用图1证明：2sin sin sin a b c R A B C===．【拓展应用】的如图2，四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，4CD =，90B C ∠=∠=︒．求过A ，B ，D 三点的圆的半径．滨州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.12-的绝对值是（）A. 2B. 12C.12- D. 2-【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：∵11 22 -=，∴12-的绝对值是12，故选：B．2. 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了物体的三视图，根据三棱柱的表面由2个三角形，1个正方形，2个矩形构成即可判断求解，掌握三棱柱的结构特点是解题的关键．【详解】解：∵三棱柱的表面由2个三角形，1个正方形，2个矩形构成，∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是圆，故选：A ．3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．【详解】解：A ，C ，D 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B 选项中图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．的故选：B ．4. 下列运算正确的是（）A. ()336n n = B. 22(2)4a a -=- C. 824x x x ÷= D. 23m m m ⋅=【答案】D 【解析】【分析】本题考查了幂的运算．根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算逐项验证即可得到答案．详解】解：A 、()3396n n n =≠，本选项不符合题意；B 、222(2)44a a a -=≠-，本选项不符合题意；C 、8264x x x x ÷=≠，本选项不符合题意；D 、23m m m ⋅=，本选项符合题意；故选：D ．5. 若点()12,N a a -在第二象限，那么a 的取值范围是（）A. 12a >B. 12a <C. 102a <<D. 102a ≤<【答案】A 【解析】【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据点()12,N a a -在第二象限可得不等式组1200a a -<⎧⎨>⎩，求解即可．【详解】解：∵点()12,N a a -在第二象限，∴1200a a -<⎧⎨>⎩，解得：12a >．故选：A ．6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：【成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数232341某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（）A. ②③ B. ①③C. ①②D. ①②③【答案】A 【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、众数．根据平均数、中位数、众数的意义求解即可．【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是()12 1.53 1.62 1.653 1.74 1.751 1.8 1.615⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，原说法不正确；②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确；③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确．故选：A ．7. 点()11,M x y 和点()22,N x y 在反比例函数223k k y x-+=（k 为常数）的图象上，若120x x <<，则120y y ，，的大小关系为（）A. 120y y << B. 120y y >> C. 120y y << D. 120y y >>【答案】C 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用配方法可得()2223120k k k -+=-+>，进而得到反比例函数的图象分布在一、三象限，0x >时，0y >，0x <时，0y <，据此即可求解，利用配方法得到()2223120k k k -+=-+>是解题的关键．【详解】解：∵()2223120k k k -+=-+>，∴反比例函数的图象分布在一、三象限，0x >时，0y >，0x <时，0y <，∵120x x <<，∴120y y <<，故选：C ．8. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，,,AB BC CA 的长分别为,,c a b ．则可以用含,,c a b 的式子表示出ABC 的内切圆直径d ，下列表达式错误的是（）A. d a b c =+-B. 2abd a b c=++C. d =D. |()()|d a b c b =--【答案】D 【解析】【分析】如图，设E F G 、、为切点，连接OC OD OE OF 、、、，则OEAC ⊥，再结合切线长定理可判定A ，再结合三角形的面积可判定B ，再由d a b c =+-，结合完全平方公式与勾股定理可判断C ，通过举反例可得D 错误.【详解】解：如图，设E F G 、、切点，连接OC OD OE OF 、、、，则OEAC ⊥，OD BC ⊥，OF AB ⊥，2d OD OE OF ===，为由切线长定理得，AE AF =，CE CD =，BD BF =，∵90ACB OEC ODC ∠=∠=∠=︒，CE CD =，∴四边形ODCE 是正方形，∴2d CE CD OD ===，∴2d AE b =-，2d BD a =-，∴2dBF a =-，∴22d d AF c a c a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，∵AE AF =，∴22d db c a -=-+，∴d a b c =+-，故A 正确，不合题意；∵ABC BOC AOC AOB S S S S =++△△△△，∴11112222222d d d ab a b c =⨯+⨯+⨯，∴2ab ad bd cd =++∴2abd a b c=++，故B 正确，不合题意；∵d a b c =+-，∴()22d a b c =+-222222a b c ab ac bc =+++--，∵222+=a b c ，222222d c ab ac bc∴=+--()()22c c a b c a =---()()2c a c b =--，∵0d >，d ∴=C 正确；令3a =，4b =，5c =，3452d a b c ∴=+-=+-=，而()()()()34541a b c b --=-⨯-=，|()()|d a b c b ∴≠--，故D 错误；故选D【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，勾股定理的应用，分解因式的应用，举反例的应用，切线长定理的应用，掌握基础知识并灵活应用是解本题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9. 若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．【答案】x ≠1【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】∵分式11x -在实数范围内有意义，∴x −1≠0，解得：x ≠1故答案为x ≠1．【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义．10.小的整数是___________．【答案】2或3【解析】大小，然后确定范围在其中的整数即可．2<，3<的23<<<小的整数为2或3，故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．11. 将抛物线2y x =-先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．【答案】()1,2【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换和二次函数的性质．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．【详解】解：由抛物线2y x =-先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是()212y x =--+，∴顶点坐标是()1,2故答案为：()1,2．12. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB 绕公共顶点O 顺时针旋转至图2，即AB OD ∥时，1∠的大小为____________︒．【答案】75【解析】【分析】本题考查了的平行线的性质，三角形的外角性质．由AB OD ∥，推出45BOD B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵AB OD ∥，∴45BOD B ∠=∠=︒，∴1453075BOD D ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：75．13. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边,AB AC 上．添加一个条件使ADE ACB ∽，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）【答案】ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AEAC AB=【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【详解】解：DAE CAB ∠=∠ ，∴当ADE C ∠=∠时，ADE ACB ∽．当AED B ∠=∠时，ADE ACB ∽．当AD AEAC AB=时，ADE ACB ∽．故答案为：ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AEAC AB=．14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形AOCD 是菱形，∠B 的度数是______．【答案】60°##60度【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B +∠D =180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B +∠D =180°，∵四边形OACD 是菱形，∴∠AOC =∠D ，由圆周角定理得，∠B =12∠AOC ，∴∠B +2∠B =180°，解得，∠B =60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15. 如图，四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是(1,3)A -，(0,0)O ，(3,1)B -，(5,4)C ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和PA PO PB PC +++最小，则P 点坐标为____________．【答案】108,99⎛⎫ ⎪⎝⎭##181,99⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，两点之间线段最短．连接AB OC 、相交于点P ，根据“两点之间线段最短”知PA PO PB PC +++最小，利用待定系数法求得直线AB 和OC 的解析式，联立即可求解．【详解】解：连接AB OC 、相交于点P ，根据“两点之间线段最短”知PA PO PB PC +++最小，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有331k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为2y x =-+，设直线OC 的解析式为y mx =，则有45m =，解得45m =，∴直线OC 的解析式为45y x =，联立得425x x =-+，解得109x =，则4108599y =⨯=，∴P 点坐标为108,99⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：108,99⎛⎫⎪⎝⎭．16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B 均在格点上．（1）AB 的长为____________；（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB 为边的矩形ABCD ，使其面积为263，并简要说明点C ，D 的位置是如何找到的（不用证明）：____________．【答案】①.②. 取点,E F ，得到正方形ABEF ，AF 交格线于点C ，BE 交格线于点D ，连接DC ，得到矩形ABCD ，即为所求．【解析】【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理直接计算即可求解；（2）取点,E F ，得到正方形ABEF ，AF 交格线于点D ，BE 交格线于点C ，连接DC ，得到矩形ABCD ，即为所求．【详解】（1）AB ==（2）取点,E F ，则AF AB ===，得到正方形ABEF ，∴正方形ABEF 13=，AF 交格线于点D ，BE 交格线于点C ，连接DC ，得到矩形ABCD ，∵DG FH ，∴23AD AG AF AH ==，∴23AD AF BC ===，∴矩形ABCD 263=，如图，矩形ABCD ，即为所求．．故答案为：取点,E F ，得到正方形ABEF ，AF 交格线于点D ，BE 交格线于点C ，连接DC ，得到矩形ABCD ，即为所求．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17. 计算：()11222-⎫⎛+-⨯-⎪⎝⎭．【答案】0【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据实数的运算法则和运算律即可求解，掌握据实数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】解：原式13122=+-，13122=-+，=11-+，0=．18. 解方程：（1）21132x x -+=；（2）240x x -=．【答案】（1）5x =（2）10x =，24x =．【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤，准确计算．（1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；（2）用因式分解法，解一元二次方程即可．【小问1详解】解：21132x x -+=，去括号得：()()22131x x -=+，去括号得：4233x x -=+，移项合并同类项得：5x =；【小问2详解】解：240x x -=，分解因式得：()40x x -=，∴0x =或40x -=，解得：10x =，24x =．19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a ，b ，c 为两两不同的数，称()()()()()()()0,1,2,3n n nn a b c P n a b a c b c b a c a c b =++=------为欧拉分式．（1）写出0P 对应的表达式；（2）化简1P 对应的表达式．【答案】（1）()()()()()()0111P a b a c b c b a c a c b =++------（2）10P =【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题的关键．（1）将0n =代入欧拉公式即可；（2）将1n =代入欧拉公式化简计算即可．【小问1详解】解：当0n =时，()()()()()()0000a b c P a b a c b c b a c a c b =++------()()()()()()111a b a c b c b a c a c b =++------【小问2详解】()()()()()()1a b c P a b a c b c b a c a c b =++------()()()()()()a b a c b c a b a c b c a b c =-+------()())()()()(a b c b a c c a b a b a c b c =------+-()()()ab ac ab bc ca b c b c bca a =------++()()()ab ac ab bc ca b c b c bca a =------++0=．20. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A ：床铺整理，B ：衣物清洗，C ：手工制作、D ：简单烹饪、E ：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B ，C ，D 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C ，D ，E 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．【答案】（1）补充条形统计图见解析；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72︒；（2）估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；（3）甲乙两位同学选择相同课程的概率为：29．【解析】【分析】（1）根据选择“E ”的人数及比例求出总人数，总人数乘以D 占的比例求得“D ”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“A ”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用360度乘以“C ”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）利用样本估计总体思想求解；（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．【小问1详解】解：参与调查的总人数为：3030%100÷=（人），“D ”的人数10025%25⨯=（人），“A ”的人数1001020253015----=（人），“手工制作”对应的扇形圆心角度数2036072100⨯︒=︒，补充条形统计图如图：【小问2详解】解：180030%540⨯=（人），因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；【小问3详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种，因此甲乙两位同学选择相同课程的概率为：29．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．21. 【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在ABC 中，若AD BC ⊥，BD CD =，则有B C ∠=∠；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB AC =，即知AB BD AC CD +=+，若把①中的BD CD =替换为AB BD AC CD +=+，还能推出B C ∠=∠吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出B C ∠=∠，并分别提供了不同的证明方法．小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，使得……小民证明：∵AD BC ⊥．∴ADB 与ADC △均为直角三角形、根据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据题意利用全等三角形的判定和性质即可证明；（2）小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，使得,BE AB CF AC ==，根据全等三角形的判定和性质得出E F ∠∠=，再由等边对等角及三角形的外角性质即可证明；小民证明：利用勾股定理得出AD ==，AD ==再由等式的性质确定AB BD AC CD -=-，然后求和得出AB AC =，即可证明．【小问1详解】证明：∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠∠==︒，在Rt ADB 与Rt ADC 中，90AD ADADB ADC BD CD∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴()SAS Rt ADB Rt ADC ≌，∴B C ∠=∠；【小问2详解】小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，使得,BE AB CF AC ==，如图所示：∵AB BD AC CD +=+，∴BE BD CF CD +=+即DE DF =，∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠∠==︒，在Rt ADE 与Rt ADF 中，90AD ADADB ADC ED FD∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴()SAS Rt ADE Rt ADF ≌，∴E F ∠∠=，∵,BE AB CF AC ==，∴E EAB F FAC ∠∠∠∠===，∴,E EAB ABC F FAC ACB ∠∠∠∠∠∠+=+=，∴ABC ACB ∠∠=；小民：证明：∵AD BC ⊥．∴ADB 与ADC △均为直角三角形，根据勾股定理，AD ==，AD ==∵AB BD AC CD +=+①，∴AB BD AC CD -=-②，+①②得：AB AC =，∴B C ∠=∠．22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x （元/张）4050售出电影票数量y （张）164124（1）请求出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）()43243080y x x =-+≤≤（2）()2432420003080w x x x =-+-≤≤ （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元【解析】【分析】本题是一次函数与二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质．（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，根据待定系数法代入求解即可；（2）“利润=票房收入-运营成本”可得函数解析式；（2）将函数解析式配方成顶点式，由3080x ≤≤，且x 是整数，结合二次函数的性质求解可得．【小问1详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则1644012450k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得4324k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式()43243080y x x =-+≤≤；【小问2详解】由题意得：22000(4324)200043242000w xy x x x x =-=-+-=-+-，即w 与x 之间的函数关系式为：()2432420003080w x x x =-+-≤≤.【小问3详解】()2281432420004(456130802w x x x x =-+-=--+≤≤， x 是整数，且 3080x ≤≤，∴ 当40x =或41时，w 取得最大值，最大值为4560.价格低更能吸引顾客，定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元．如图1，ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边BC CA AB ，，上，且满足DF AC DE AB ，∥∥．23. ①求证：四边形AFDE 为平行四边形；②若AB BD AC DC=，求证：四边形AFDE 为菱形；24. 把一块三角形余料MNH （如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与MNH △的顶点M 重合，另外三个顶点分别在三边MN NH HM ，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【答案】23. ①见解析；②见解析24. 见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、尺规作图，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．（1）①DF AC DE AB ，∥∥，即可证明四边形AFDE 为平行四边形；②由DF AC DE AB ，∥∥，可得DF BD AC BC=，DE CD AB BC =，即DF BC AC BD ⋅=⋅，DE BC AB CD ⋅=⋅，再由AB BD AC DC=，得AB DC AC BD ⋅=⋅，因此DF DE =，进而即可证明四边形AFDE 为菱形；（2）作NMH ∠的角平分线，交NH 于点P ，作MP 的垂直平分线，交MN 于点D ，交MH 于点E ，则四边形MDPE 是菱形．【23题详解】①证明：DF AC DE AB ∥，∥，∴四边形AFDE 为平行四边形；②DF AC ∥，DFBDAC BC ∴=，即DF BC AC BD⋅=⋅DE AB ∥，DE CDAB BC ∴=，即DE BC AB CD ⋅=⋅，又ABBDAC DC = ，AB DC AC BD ∴⋅=⋅，DF DE ∴=，由①知四边形AFDE 平行四边形，∴四边形AFDE 为菱形；【24题详解】如图，菱形MDPE 即为所求．为∵MP 平分NMH ∠，∴DMP EMP ∠=∠，∵DE 是MP 的垂直平分线，∴DM DP =，EM EP =，∴DMP DPM ∠=∠，=EMP EPM ∠∠，∴DPM EMP ∠=∠，EPM DMP ∠=∠，∴DP ME ∥，EP DM ∥，∴四边形MDPE 是平行四边形，∵DM DP =，∴平行四边形MDPE 是菱形．25. 【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：14．如图，在锐角ABC 中，探究sin aA ，sin bB ，sin cC 之间的关系．（提示：分别作AB和BC 边上的高．）【得出结论】。

(中考精品卷)湖南省永州市中考数学真题(解析版)

永州市2022年初中学业水平考试数学试卷温馨提示：1、本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．3、本试题卷共6页，如有缺页，请申明．4、本试题卷共三道大题，26个小题.满分150分，考试时量120分钟．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. 如图，数轴上点E对应的实数是（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据数轴上点E所在位置，判断出点E所对应的值即可；【详解】解：根据数轴上点E所在位置可知，点E在-1到-3之间，符合题意的只有-2；故选：A．【点睛】本题主要考查数轴上的点的位置问题，根据数轴上点所在位置对点的数值进行判断是解题的关键．2. 下列多边形具有稳定性的是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）① ② ③ ④A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；∴是中心对称图形的是：①②③；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 4. 水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（）A. 3779110⨯B. 577.9110⨯C. 67.79110⨯D. 70.779110⨯【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，确定a 、n 的值即可．【详解】解：由题意知：7791000=67.79110⨯，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解题的关键．5. 下列各式正确的是（）= B. 020= C. 321a a -= D. ()224--=【答案】D【解析】【分析】利用二次根式性质化简、零指数幂、合并同类项、有理数减法运算即可判断。

精品解析：2023年山东省枣庄市中考数学真题(解析版)

2023年枣庄市初中学业水平考试数学注意事项：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号，考试结束，将试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1. 下列各数中比1大的数是（）A. 2B. 0C. -1D. -3【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可得题目选项中的各数中比1大的数是2，故选A.考点：有理数的大小比较.2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．3. 随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长26.2%，其中159万用科学记数法表示为（）A. 61.5910×B. 515910×.C. 415910×D. 215910×. 【答案】A【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．【详解】解：159万61590000 1.5910=×；故选A ．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：()11100≤×<n a a ，n 为整数，是解题的关键．4. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A. 24015015012x x +=×B. 24015024012x x −=×C. 24015024012x x +=×D. 24015015012x x −=× 【答案】D【解析】【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，依题意，得： 240x -150x =150×12．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5. 下列运算结果正确的是（）A. 4482x x x +=B. ()32626x x −=−C. 633x x x ÷=D. 236x x x ⋅=【答案】C【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．详解】解：A 、4442x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、()32628x x −=−，选项计算错误，不符合题意；C 、633x x x ÷=，选项计算正确，符合题意；D 、235x x x ⋅=，选项计算错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．6. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：人数 6 7 10 7课外书数量（本） 6 7 912 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（）A. 8，9B. 10，9C. 7，12D. 9，9 【答案】D【解析】【分析】利用中位数，众数定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：9992+=，众数为9．故选：D ．【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．7. 如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ∠=°∠=°，，则B ∠的度数为（）【的A. 32°B. 42°C. 48°D. 52°【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理，可以得到D ∠的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出B ∠的度数．【详解】解：48A D A ∠=∠∠=° ，，48D ∴∠=°，80APD APD B D ∠=°∠=∠+∠ ，，804832B APD D ∴∠=∠−∠=°−°=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出D ∠的度数．8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若144∠=°，则2∠的度数为（）A. 14°B. 16°C. 24°D. 26°【答案】B【解析】【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到460,25120∠=°∠+∠=°，平行线的性质，得到3144∠=∠=°，三角形的外角的性质，得到534104∠=∠+∠=°，进而求出2∠的度数．【详解】解：如图：∵正六边形的一个外角的度数为：360606°=°， ∴正六边形的一个内角的度数为：18060120°−°=°，即：460,25120∠=°∠+∠=°， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，144∠=°，∴3144∠=∠=°，∴2120516∠=°−∠=°；故选B ．【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是360°，是解题的关键．9. 如图，在ABC 中，9030ABC C ∠=°∠=°，，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是（）A. BE DE =B. AE CE =C. 2CE BE =D. EDC ABC S S =△△【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．【详解】解：由题意得：AB AD =，AP 为BAC ∠的平分线，90ABC ∠=° ，30C ∠=°， 60BAC ∴∠=°，ABD ∴ 为等边三角形，AP ∴为BD 的垂直平分线，BE DE ∴=，故A 的结论正确；ABD 为等边三角形，60ABD ∴∠=°，60ADB ∠=°，30DBE ∴∠=°，BE DE = ，90ADE ADB EDB ∴∠=∠+∠=°，DE AC ∴⊥．90ABC ∠=° ，30C ∠=°， 2AC AB ∴=，AB AD = ，AD CD ∴=， DE ∴垂直平分线段AC ，AE CE ∴=，故B 的结论正确；Rt CDE 中，30C ∠=°，2CE DE ∴=，BE DE = ，2CE BE ∴=，故C 的结论正确．90EDC ABC ∠=∠=° ，C C ∠=∠， CDE CBA ∴ ∽， ∴2()CDE CBA S DE S AB∆∆=， = AD AB ，∴tan tan 30DE DE DAE AB AD ==∠=°= ∴21()3CDE CBA S DE S AB∆∆==，故D 的结论错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．10. 二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0abc <；②方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3；③若()1230,,,2y y是抛物线上的两点，那么12y y <；④1120a c +>；⑤对于任意实数m ，都有()m am b a b +≥+，其中正确结论的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴直线12b x a=−=，与y 轴交于负半轴， ∴0,20,0a b a c >=−<<， ∴0abc >；故①错误；由图可知，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：10x −<<，∵抛物线关于直线1x =对称，∴抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：23x <<，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3；故②正确；∵0a >，∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，∵()1230,,,2y y 是抛物线上的两点，且30112−>−， ∴12y y >；故③错误；∵0,2a b a >=− ∴()112522252a c a a b c a a b c +=+−+=+−+，由图象知：=1x −，0y a b c =−+>，∴()112520a c a a b c ++−+>；故④正确；为∵0a >，对称轴为直线1x =，∴当1x =时，函数值最小为：a b c ++，∴对于任意实数m ，都有2am bm c a b c ++≥++，即：2am bm a b +≥+，∴()m am b a b +≥+；故⑤正确；综上：正确的有3个；故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题，大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．11. 计算)10112− += _________．【答案】3【解析】【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：)10112− −+ 12=+3=故答案为：3．【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1．12. 若3x =是关x 的方程26ax bx −=的解，则202362a b −+的值为___________．【答案】2019【解析】【分析】将3x =代入方程，得到32a b −=，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵3x =是关x 的方程26ax bx −=的解，∴2336a b ⋅−=，即：32a b −=， ∴202362a b −+()202323a b =−−202322=−×20234−2019=；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．13. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B ，C 的坐标分别为(3,2),(4,3)−，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A 对应点的坐标为___________．【答案】()3,1−【解析】【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．【详解】解：∵B ，C 的坐标分别为(3,2),(4,3)−，∴坐标系的位置如图所示：∴点A 的坐标为：()1,3−−，连接OA ，将OA 绕点O 顺时针旋转90°后，如图，叶柄上点A 对应点的坐标为()3,1−；故答案为：()3,1−【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．14. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆6AB =米，:2:1AO OB =，支架3OM EF OM ⊥=，米，AB 可以绕着点O 自由旋转，当点A 旋转到如图所示位置时45AOM ∠=°，此时点B 到水平地面EF 的距离为___________米．（结果保留根号）【答案】(3+##)3+ 【解析】【分析】过点B 作BD EF ⊥于点D ，过点A 作AC BD ⊥交BD 于点C ，交OM 于点N ，易得四边形MDCN 为矩形，分别解Rt ，Rt ACB △，求出,,ON BC CD 的长，利用BDBC CD =+进行求解即可．【详解】解：过点B 作BD EF ⊥于点D ，过点A 作AC BD ⊥交BD 于点C ，交OM 于点N ，∵OM EF ⊥，∴OM BC ∥，∴AN OM ⊥，∴四边形MDCN 为矩形，∴MN CD =，∵6AB =，:2:1AO OB =，∴243AO AB ==，在Rt ANO 中，4AO =，45AOM ∠=°，∴cos 454ON OA =⋅°==∴3CD MN OM ON ==−=− 在Rt ACB △中，6AB =，45AOM ∠=°，∴cos 456BC AB ⋅°；∴33BD BC CD =+=+−=；故答案为：3+．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．15. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，7CE =，F 为DE 的中点，若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．【答案】172【解析】【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和CEF △的周长，求出,CF EF 的长，进而求出DE 的长，勾股定理求出CD 的长，进而求出BE 的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．【详解】解：7,CE CEF = 的周长为32，32725CF EF ∴+=−=．F 为DE 的中点，DF EF ∴=．90BCD ∠=° ，12CF DE ∴=，112.52EF CF DE ∴===， 225DE EF ∴，24CD ∴=．四边形ABCD 是正方形，24BC CD ∴==，O 为BD 的中点，OF ∴是BDE 的中位线，1117()(247)222OF BC CE ∴=−=−=．故答案为：172．【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 16. 如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S +++= ___________．【答案】2023253【解析】【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标，从而可计算出1234,,,S S S S …的高，进而求出1234,,,S S S S …，从而得出123n S S S S +++…+的值．【详解】当1x =时，1P 的纵坐标为8，当2x =时，2P 的纵坐标为4，当3x =时，3P 的纵坐标为83，当4x =时，4P 的纵坐标为2，当5x =时，5P 的纵坐标为85， …则11(84)84S =×−=−； 2881(4)433S =×−=−；3881(2)233S =×−=−；481(2)2558S =×−=−； …881n S n n =−+； 1238888888844228335111n nS S S S n n n n +++…+=−+−+−+−++−=−=+++ ，∴12320232532023S S S S +++…+=．故答案为：2023253．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出881nS n n =−+．三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 先化简，再求值：222211a a a a a −÷ −−，其中a 的值从不等式组1a −<<的整数．【答案】21a a a−−，12 【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a=−÷ −−−− ()2222111a a a a a a ⋅−−−− 21a aa =−−； ∵220,10a a ≠−≠， ∴0,1a a ≠≠±，23=<<=，∴1a −<<的整数解有：0,1,2， ∵0,1a a ≠≠±， ∴2a =，原式2122221−−=．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．18. （1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【解析】【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）如图：【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．19. 对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：()26(2)a b a b a b a b a b −≥= +−<※，例如：31312=−=※，545463=+−=※．根据上面的材料，请完成下列问题：（1）43=※___________，(1)(3)−−=※___________；（2）若(32)(1)5x x +−=※，求x 的值．【答案】（1）1；2；（2）1x =，【解析】【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x 的值即可．【小问1详解】4× ＜32，434361∴=+−=※， ()132−−× ＞(1)(3)1(3)2∴−−=−−−=※；故答案为：1；2；【小问2详解】若322(1)x x +≥−时，即4x ≥−时，则(32)(1)5x x +−−=，解得：1x =，若322(1)x x +−＜时，即4x −＜时，则(32)(1)65x x ++−−=，解得：52x =，不合题意，舍去， 1x ∴=，【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A 清洁与卫生，B 整理与收纳，C 家用器具使用与维护，D 烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C 家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D 烹饪与营养”的男生有___________名．（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C ”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20,2,1 （2）图见解析（3）35【解析】【分析】（1）利用A 组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以C 组的百分比，求出C 组人数，进而求出C 组女生人数，总数乘以D 组的百分比，求出D 组的人数，进而求出D 组男生人数；（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；（3）利用列表法求出概率即可．【小问1详解】解：()1215%20+÷=（人）， ∴一共调查了20人；∴C 组人数为：2025%5×=（人），∴C 组女生有：532−=（人）；由扇形统计图可知：D 组的百分比为115%25%50%10%−−−=， ∴D 组人数为：2010%2×=（人）， ∴D 组男生有：211−=（人）；故答案为：20,2,1 【小问2详解】补全图形如下：【小问3详解】用,,A B C 表示3名男生，用,D E 表示两名女生，列表如下：共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，∴123205P ==．【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．21. 如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象交于(,1),(2,)A m B n −两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x+<的解集；（3）设直线AB 与x 轴交于点C ，若(0,)P a 为y 轴上的一动点，连接,AP CP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．【答案】（1）112y x =−，图见解析（2）<2x −或04x << （3）30,2P或70,2P −【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出,A B 的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接AB ，画出一次函数的图象即可；（2）图象法求出不等式的解集即可；（3）分点P 在y 轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．【小问1详解】解：∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象交于(,1),(2,)A m B n −两点， ∴24m n =−=， ∴4,2m n ==−， ∴(4,1),(2,2)A B −−，∴4122k b k b += −+=− ，解得：121k b==− ，∴112y x =−，图象如图所示：【小问2详解】解：由图象可知：不等式4kx b x+<的解集为<2x −或04x <<；【小问3详解】解：当点P 在y 轴正半轴上时：设直线AB 与y 轴交于点D ，∵112y x =−，当0x =时，1y =−，当0y =时，2x =，∴()()2,0,0,1C D −，∴1PD a =+，∴()()1151412222APC APD PCD S S S a a =−=×+×−×+×= ，解得：32a =； ∴30,2P；当点P 在y 轴负半轴上时：1PD a =−−，∴115112222APC APD PCD S S S a =−=×−−×−−×=解得：72a =−或32a =（不合题意，舍去）； ∴70,2P−．综上：30,2P或70,2P −．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．22. 如图，AB 为O 的直径，点C 是 AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．的（1）求证：CE 是O 切线；（2）若34BE AB ==，，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）BC =；（3）23π 【解析】【分析】（1）连接OC ，证明OC BE ∥，即可得到结论；（2）连接AC ，证明ACB CEB ∽，从而可得AB BC BC BE=，再代入求值即可；（2）连接OD CD ，，证明CD AB ∥，从而可得COD CBD S S = ，，求出扇形COD 的面积即可得到阴影部分的面积．【小问1详解】证明：连接OC ，∵点C 是 AD 的中点，， ∴ AC DC=， ∴ABC EBC ∠=∠，∵OC OB =，∴ABC OCB ∠=∠，∴EBC OCB ∠=∠，∴OC BE ∥，∵BE CE ⊥，∴半径OC CE ⊥，∴CE 是O 切线；【小问2详解】连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=°，∴90ACB CEB ∠=∠=°，∵ABC EBC ∠=∠，∴ACB CEB ∽， ∴AB BCBC BE =， ∴43BCBC =，∴BC =；【小问3详解】连接OD CD ，，∵4AB =，∴2OC OB ==，∵在Rt BCE △中，3BC BE =，∴cos BE CBE BC ∠=， ∴30CBE ∠=°，∴60COD ∠=°，∴60AOC ∠=°，∵OC OD =，∴COD △是等边三角形，∴60CDO ∠=°， ∴CDO AOC ∠=∠，∴CD AB ∥，∴COD CBD S S = ，∴COD S S =阴扇形260223603ππ×=，【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．23. 如图，抛物线2y x bx =−++经过(1,0),(0,3)A C −两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−++（2（3）存在，()1,3Q 或()1,1Q 或()1,5Q【解析】【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接D M ′，D M ′与x 轴的交点即为点H ，进而得到MH DH +的最小值为D M ′的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分DM ，DP ，MP 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =−++经过(1,0),(0,3)A C −两点，∴103b c c −−+= = ，解得：23b c = = ， ∴223y x x =−++；【小问2详解】∵()222314y x x x =−++=−−+，∴()1,4M ，设直线)0:(A y k M x m k =+≠，则：04k m k m −+= +=，解得：22k m = = ， ∴22:A y M x =+，当0x =时，2y =，∴()0,2D ；作点D 关于x 轴的对称点D '，连接D M ′，则：()0,2D ′−，MH DH MH D H D M ′′+=+≥，∴当,,M H D ′三点共线时，MH DH +有最小值为D M ′长，的∵()0,2D ′−，()1,4M ，∴D M ′，即：MH DH +；【小问3详解】解：存在；∵()222314y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线1x =，设(),P p t ，()1,Q n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时： ①DM 为对角线时：1042p t n +=+ +=+，∴06p t n = +=，当0p =时，3t =， ∴3n =，∴()1,3Q ；②当DP 为对角线时：01124p t n +=+ +=+ ，∴224p t n = +=+，当2p =时，222233t =−+×+=，∴1n =，∴()1,1Q ；③当MP 为对角线时：10142p t n +=+ +=+ ，∴02p n t = −= ，当0p =时，3t =，∴3n =，∴()1,5Q ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，()1,3Q 或()1,1Q 或()1,5Q ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．24. 问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．【答案】（1）四边形AEDG（2）30【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到AE DE DG AG ===，即可得出结论．（2）先证明四边形AMKG 为平行四边形，过点H 作HE CG ⊥于点E ，等积法得到CG HE ⋅的积，推出四边形MKGA 的面积CG HE ⋅，即可得解．【小问1详解】解：四边形AEDG 是菱形，理由如下：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线， ∴1,2AD BC BD CD BC ⊥==， ∵将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合， ∴11,,,,,22EF BC GH BC BE DE CG CD BF FD BD CH DH CD ⊥⊥======， ∴EF AD ∥，∴1BFBE FD AE==， ∴12BE AE AB ==，同法可得：12CGAG AC ==， ∴,AE DEAG DG ==， ∵AB AC =，∴AE DE DG AG ===，∴四边形AEDG 是菱形；【小问2详解】解：∵折叠，∴,GDC C MHB B ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴,GDC B MHB C ∠=∠∠=∠， ∴,MH AC DG AB ∥∥，∴四边形AMKG 为平行四边形，∵1730ABAC BC ===，，由（1）知：1151522BDCD BC DH CH =====，，11722DG AG AB ===，∴4GH =，过点H 作HE CG ⊥于点E ，∵1122CHG S CH HG CG HE =⋅=⋅ ， ∴154302CG HE ⋅×， ∵四边形MKGA 的面积AG HE ⋅，AG CG =，∴四边形MKGA 的面积30CG HE =⋅=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．。

2024年江西省中考数学真题卷含答案解析

江西省2024年初中学业水平考试数学试题卷说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟．2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1.实数5-的相反数是（）A.5B.5- C.15D.15-2.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（）A.60.2510⨯ B.52.510⨯ C.42.510⨯ D.32510⨯3.如图所示的几何体，其主视图为（）A. B. C. D.4.将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数()y ℃与时间()min x 的关系用图象可近似表示为（）A. B. C. D.5.如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误．．的是（）A.五月份空气质量为优的天数是16天B.这组数据的众数是15天C.这组数据的中位数是15天D.这组数据的平均数是15天6.如图是43⨯的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.计算：()21-=____．8.因式分解：22a a +=_________．9.在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为______．10.观察a ，2a ，3a ，4a ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．11.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD ，连接AC ，则tan CAB ∠=______．12.如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将 DBE沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为______．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x ---．14.如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图（保留作图痕迹）（1）如图1，过点B 作AC 的垂线；（2）如图2，点E 为线段AB 的中点，过点B 作AC 的平行线．15.某校一年级开设人数相同的A ，B ，C 三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到A 班”的概率是______；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．16.如图，AOB 是等腰直角三角形，90∠=︒ABO ，双曲线()0,0ky k x x=>>经过点B ，过点()4,0A 作x 轴的垂线交双曲线于点C ，连接BC ．（1）点B 的坐标为______；（2）求BC 所在直线的解析式．17.如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．（1）求证：BD 是半圆O 的切线；（2）当3BC =时，求 AC 的长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？19.图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD 和矩形碗底BEFC 组成，已知AD EF ∥，AM ，DN 是太阳光线，AMMN ⊥，DN MN ⊥，点M ，E ，F ，N 在同一条直线上，经测量20.0m ME FN ==，40.0m EF =， 2.4m BE =，152ABE ∠=︒．（结果精确到0.1m ）（1）求“大碗”的口径AD 的长；（2）求“大碗”的高度AM 的长．（参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，tan62 1.88︒≈）20.追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．（1）如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作BC 的平行线，交AB 于点E ，请判断BDE 的形状，并说明理由．方法应用：（2）如图2，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠，交边AD 于点E ，过点A 作AF BE ⊥交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．①图中一定是等腰三角形的有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个②已知3AB =，5BC =，求CF 的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是22)kg (()m BMI =体重单位：身高单位：．中国人的BMI 数值标准为：18.5BMI <为偏瘦；18.524BMI ≤<为正常；2428BMI ≤<为偏胖；28BMI ≥为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI 数值，再参照BMI 数值标准分成四组：A ．1620BMI ≤<；B ．2024BMI ≤<；C ．2428BMI ≤<；D ．2832BMI ≤<．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m ） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.421.591.72体重52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5（kg ）BMI 21.6s 16.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m ） 1.461.621.551.651.581.671.551.461.531.62体重（kg ）46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8BMI21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI 频数分布表组别BMI男生频数女生频数A 1620BMI ≤<32B 2024BMI ≤<46C 2428BMI ≤<t 2D2832BMI ≤<1应用数据（1）s =______，t =______α=______；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生24BMI ≥的人数（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．22.如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m4567…y7261528152n72…（1）①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．（2）小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践如图，在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 上的动点（点D 与点A 不重合），连接CD ，以CD 为直角边在CD 的右侧构造Rt CDE △，90DCE ∠=︒，连接BE ，CE CBm CD CA==．特例感知m=时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；（1）如图1，当1类比迁移m≠时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．（2）如图2，当1拓展应用AC=，（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知6 =，四边形CDFE的面积为y．设AD x①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；BF=时，请直接写出AD的长度．②当2江西省2024年初中学业水平考试数学试题卷说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟．2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1.实数5-的相反数是（）A.5 B.5- C.15D.15-【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．【详解】5-的相反数是5．故选：A ．2.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（）A.60.2510⨯B.52.510⨯ C.42.510⨯ D.32510⨯【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数．【详解】解：将25000用科学记数法可表示为42.510⨯，故选：C ．3.如图所示的几何体，其主视图为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形．【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的，故选：B ．4.将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数()y ℃与时间()min x 的关系用图象可近似表示为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到60℃时温度不变．【详解】解：将常温中的温度计插入一杯60℃（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到60℃时温度不变，故C 选项图象符合条件，故选：C ．5.如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误．．的是（）A.五月份空气质量为优的天数是16天B.这组数据的众数是15天C.这组数据的中位数是15天D.这组数据的平均数是15天【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意；15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意；把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意；这组数据的平均数为：1(121415316)14.56⨯++⨯+=，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键.6.如图是43⨯的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．【详解】解：如图所示：共有2种方法，故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.计算：()21-=____．【答案】1【解析】【分析】根据乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()()21111-=-⨯-=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键．8.因式分解：22a a +=_________．【答案】(2)a a +【解析】【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a 2+2a 提取公因式为a （a+2）．故a 2+2a=a （a+2）．故答案是a （a+2）．9.在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为______．【答案】()3,4【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标．【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．10.观察a ，2a ，3a ，4a ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．【答案】100a 【解析】【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n 个式子是多少即可．【详解】解：∵a ，2a ，3a ，4a ，…，∴第n 个单项式的系数是1；∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，∴第n 个式子是n a ．∴第100个式子是100a ．故答案为：100a ．11.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD ，连接AC ，则tan CAB ∠=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1，设等腰直角MNQ △的直角边为a ，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．【详解】解：如图1，设等腰直角MNQ △的直角边为a ，则MQ =，小正方形的边长为a ，∴2MP a =，∴EM ==，∴MT EM ==，∴QT =-=，如图2，过点C 作CH AB ⊥的延长线于点H ，则CH BD =，BH CD =，由图（1）可得，AB BD ==，CD ==，∴CH =，BH =，∴AH =+=，∴1tan2CH CAB AH ∠===，故答案为：12．12.如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将 DBE沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为______．【答案】2或2或2【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE AB ≤，可得1DE =或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．【详解】解：AB 为直径，DE 为弦，∴DE AB ≤，∴当DE 的长为正整数时，1DE =或2，当2DE =时，即DE 为直径，DE AB∵⊥∴将 DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ，此时F 与点A 重合，故2FB =；当1DE =时，且在点C 在线段OB 之间，如图，连接OD ，此时112OD AB ==，DE AB ∵⊥，1122DC DE ∴==，32OC ∴==，22BC OB OC -∴=-=，22BF BC ∴==当1DE =时，且点C 在线段OA 之间，连接OD ，同理可得232BC +=，22BF BC ∴==+综上，可得线段FB 的长为2或2或2，故答案为：2或2+或2．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x ---．【答案】（1）6；（2）1【解析】【分析】题目主要考查零次幂、绝对值的化简，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算零次幂及绝对值化简，然后计算加减法即可；（2）直接进行分式的减法运算即可．【详解】解：（1）0π5+-=1+5=6；（2）888x x x ---88x x -=-1=．14.如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图（保留作图痕迹）（1）如图1，过点B 作AC 的垂线；（2）如图2，点E 为线段AB 的中点，过点B 作AC 的平行线．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】【分析】（1）作直线BD ，由菱形的性质可得BD AC ⊥，即BD 为AC 的垂线；（2）连接CE 并延长，与DA 的延长线相交于点M ，作直线BM ，因为点E 为线段AB 的中点，所以AE BE =，因为AM BC ∥，所以EAM EBC ∠=∠，EMA ECB ∠=∠，故可得AEM BEC ≌△△，得到ME CE =，所以四边形ACBM 为平行四边形，即BM AC ∥；本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．【小问1详解】解：如图，BD即为AC所求；【小问2详解】解：如图，BM即为所求．15.某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到A班”的概率是______；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．【答案】（1）1 3（2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为1 3．【解析】【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键．（1）根据概率公式计算可得；（2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得．【小问1详解】解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况，则“学生甲分到A班”的概率是1 3，故答案为：1 3；【小问2详解】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况，∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为3193=．16.如图，AOB 是等腰直角三角形，90∠=︒ABO ，双曲线()0,0k y k x x=>>经过点B ，过点()4,0A 作x 轴的垂线交双曲线于点C ，连接BC ．（1）点B 的坐标为______；（2）求BC 所在直线的解析式．【答案】（1）()2,2（2）132y x =-+【解析】【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．（1）过点B 作BD x ⊥轴，根据等腰直角三角形的性质得出2BD OD ==，即可确定点B 的坐标；（2）根据点()2,2B 确定反比例函数解析式，然后即可得出()4,1C ，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．【小问1详解】解：过点B 作BD x ⊥轴于D ，如图所示：∵AOB 是等腰直角三角形，90∠=︒ABO ，()4,0A ，∴4OA =，∴2BD OD AD ===，∴()2,2B ，故答案为：()2,2；【小问2详解】由（1）得()2,2B ，代入()0,0ky k x x =>>，得4k =，∴4y x =，∵过点()4,0A 作x 轴的垂线交双曲线于点C ，∴当4x =时，1y =，∴()4,1C ，设直线BC 的解析式为1y k x b =+，将点B 、C 代入得：12214k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-+．17.如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．（1）求证：BD 是半圆O 的切线；（2）当3BC =时，求 AC 的长．【答案】（1）见解析（2）2π【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得30CAB ∠=︒，即可得90ABD Ð=°，进而可证得结论；（2）连接OC ，证明OBC △为等边三角形，求得120AOC ∠=︒，利用弧长公式即可解答．【小问1详解】证明： AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60D ABC ∠=∠=︒ ，9030CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，18090ABD CAB D ∴∠=︒-∠-∠=︒，BD ∴是半圆O 的切线；【小问2详解】解：如图，连接OC ，,60OC OB CBA =∠=︒ ，OCB ∴ 为等边三角形，60COB ∴∠=︒，3OC CB ==，180120AOC COB ∴∠=︒-∠=︒，120232360AC l ππ∴=⨯⨯= ．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本．（2）数学书最多还可以摆90本【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．（1）首先设这层书架上数学书有x 本，则语文书有(90)x -本，根据题意可得等量关系：x 本数学书的厚度(90)x +-本语文书的厚度84=，根据等量关系列出方程求解即可；（2）设数学书还可以摆m 本，根据题意列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设书架上数学书有x 本，由题意得：0.8 1.2(90)84x x +-=，解得：60x =，9030x -=．∴书架上有数学书60本，语文书30本．【小问2详解】设数学书还可以摆m 本，根据题意得：1.2100.884m ⨯+≤，解得：90m ≤，∴数学书最多还可以摆90本．19.图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD 和矩形碗底BEFC 组成，已知AD EF ∥，AM ，DN 是太阳光线，AM MN ⊥，DN MN ⊥，点M ，E ，F ，N 在同一条直线上，经测量20.0m ME FN ==，40.0m EF =， 2.4m BE =，152ABE ∠=︒．（结果精确到0.1m ）（1）求“大碗”的口径AD 的长；（2）求“大碗”的高度AM 的长．（参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，tan62 1.88︒≈）【答案】（1）“大碗”的口径AD 的长为80.0m ；（2）“大碗”的高度AM 的长为40.0m ．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．（1）证明四边形AMND 是矩形，利用AD ME EF FD =++，代入数据计算即可求解；（2）延长EB 交AD 于点H ，求得62HAB ∠=︒，利用正切函数的定义得到8tan 6.218BH AH =≈︒，求得BH 的长，据此求解即可．【小问1详解】解：∵AD EF ∥，AM MN ⊥，DN MN ⊥，∴四边形AMND 是矩形，∴()20.040.020.080.0m AD ME EF FD =++=++=，答：“大碗”的口径AD 的长为80.0m ；【小问2详解】解：延长EB 交AD 于点H ，如图，∵矩形碗底BEFC ，∴EH AD ⊥，∴四边形AMEH 是矩形，∵152ABE ∠=︒，∴18028ABH ABE ∠︒=︒-∠=，902862HAB ∠︒=︒-=，∴8tan 6.218BH AH=≈︒，∴()20.0 1.8837.6m BH =⨯≈，∴()37.6 2.440.0m AM EH BH BE ==+=+=，答：“大碗”的高度AM 的长为40.0m ．20.追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．（1）如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作BC 的平行线，交AB 于点E ，请判断BDE 的形状，并说明理由．方法应用：（2）如图2，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠，交边AD 于点E ，过点A 作AF BE ⊥交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．①图中一定是等腰三角形的有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个②已知3AB =，5BC =，求CF 的长．【答案】（1）BDE 是等腰三角形；理由见解析；（2）①B ；②2CF =．【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键；（1）利用角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，利用平行线的性质得到BDE CBD ∠=∠，推出BDE ABD ∠=∠，再等角对等边即可证明BDE 是等腰三角形；（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；②由①得DA DF =，利用平行四边形的性质即可求解．【详解】解：（1）BDE 是等腰三角形；理由如下：∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴BDE CBD ∠=∠，∴BDE ABD ∠=∠，∴EB ED =，∴BDE 是等腰三角形；（2）①∵ABCD Y 中，∴AE BC ∥，AB CD ∥，同（1）ABE CBE AEB ∠=∠=∠，∴AB AE =，∵AF BE ⊥，∴BAF EAF ∠=∠，∵AE BC ∥，AB CD ∥，∴BGA EAF ∠=∠，BAF F ∠=∠，∵BGA CGF ∠=∠，∴BGA BAG ∠=∠，DAF F ∠=∠，CGF F ∠=∠，∴AB AG =，DA DF =，CG CF =，即ABE 、ABG 、ADF △、CGF △是等腰三角形；共有四个，故选：B ．②∵ABCD Y 中，3AB =，5BC =，∴3AB CD ==，5BC AD ==，由①得DA DF =，∴532CF DF CD =-=-=．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是22)kg (()m BMI =体重单位：身高单位：．中国人的BMI 数值标准为：18.5BMI <为偏瘦；18.524BMI ≤<为正常；2428BMI ≤<为偏胖；28BMI ≥为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI 数值，再参照BMI 数值标准分成四组：A ．1620BMI ≤<；B ．2024BMI ≤<；C ．2428BMI ≤<；D ．2832BMI ≤<．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m）1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72体重（kg）52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5BMI 21.6s 16.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m）1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62体重46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8（kg）BMI 21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI 频数分布表组别BMI 男生频数女生频数A1620BMI ≤<32B2024BMI ≤<46C2428BMI ≤<t 2D 2832BMI ≤<10应用数据（1）s =______，t =______α=______；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生24BMI ≥的人数（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．【答案】（1）22；2；72︒；（2）①52人；②126人（3）见解析【解析】【分析】题目主要考查统计调查表及扇形统计图，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键．（1）根据题中公式直接计算即可得s ；结合统计表确定t ；结合扇形统计图用360度乘以男女生所占比例即可；（2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可；（3）合理即可．【小问1详解】解：根据题意：249.5221.5s ==，由统计表得：2428BMI ≤<内，2t =；∴223607220α+=︒⨯=︒，故答案为：22；2；72︒；【小问2详解】①男生偏胖的人数为：22605210⨯=（人）；②七年级学生24BMI ≥的人数为：2122602401261010+⨯+⨯=（人）；【小问3详解】对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．22.如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m 4567…y 07261528152n 72…（1）①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．（2）小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．【答案】（1）①3，6；②1515,28⎛⎫⎪⎝⎭；（2）①8，②v =【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，（1）①由抛物线的顶点坐标为()48，可建立过于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A 的坐标；（2）①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值．【小问1详解】解：①根据小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为()4,8，∴24284b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：124a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数解析式为2142y x x =-+，当152y =时，2115422x x -+=，解得：3x =或5x =（舍去），∴3m =，当6x =时，2164662n y ==-⨯+⨯=，故答案为：3，6．②联立得：214214y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩或152158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点A 的坐标是1515,28⎛⎫⎪⎝⎭，【小问2详解】①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②222551020v v y t vt t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则2820v =，解得v =．六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践如图，在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 上的动点（点D 与点A 不重合），连接CD ，以CD 为直角边在CD 的右侧构造Rt CDE △，90DCE ∠=︒，连接BE ，CE CB m CD CA==．特例感知（1）如图1，当1m =时，BE 与AD 之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当1m ≠时，猜想BE 与AD 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于DE 对称，连接DF ，EF ，BF ，如图3．已知6AC =，设AD x =，四边形CDFE 的面积为y ．①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；②当2BF =时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）AD BE ⊥，AD BE =（2）BE 与AD 之间的位置关系是AD BE ⊥，数量关系是BE mAD =；（3）①y 与x 的函数表达式((2180y x x =-+<≤，当x =y 的最小值为18；②当2BF =时，AD 为.【解析】【分析】（1）先证明ACD BCE ∠=∠，CD CE =，CB CA =，可得≌ACD BCE V V ；再结合全等三角形的性质可得结论；（2）先证明ACD BCE ∠=∠，90A ABC ∠+∠=︒，结合CE CB m CD CA==，可得ACD BCE ∽△△；再结合相似三角形的性质可得结论；（3）①先证明四边形CDFE 为正方形，如图，过C 作CH AB ⊥于H ，可得AB ==，CH AH BH ===，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接OC ，OB ，OF ，证明OC OD OF OE OB ====，可得,,,,D C E B F 在O 上，且CF 为直径，则90CBF ∠=︒，过O 作OK BC ⊥于K ，过O 作OG BF ⊥于G ，求解正方形面积为(21202⨯=,结合(221820y CD x ==-+=，再解方程可得答案.【详解】解：（1）∵90DCE ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCE ∠=∠，90A ABC ∠+∠=︒，∵1CE CB m CD CA===，∴CD CE =，CB CA =，∴≌ACD BCE V V ；∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠，∴90ABE ABC CBE ABC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴AD BE ⊥，∴BE 与AD 之间的位置关系是AD BE ⊥，数量关系是AD BE =；（2）BE 与AD 之间的位置关系是AD BE ⊥，数量关系是BE m AD =；理由如下：∵90DCE ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCE ∠=∠，90A ABC ∠+∠=︒，∵CE CBm CD CA ==，∴ACD BCE ∽△△；∴BE BCm AD AC ==，CAD CBE ∠=∠，∴90ABE ABC CBE ABC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴AD BE ⊥，∴BE 与AD 之间的位置关系是AD BE ⊥，数量关系是BE m AD =；（3）由（1）得：CD CE =，CB CA =，90DCE ACB ∠=︒=∠，∴ABC ，CDE 都为等腰直角三角形；∵点F 与点C 关于DE 对称，∴DFE △为等腰直角三角形；CE CD EF DF ===，∴四边形CDFE 为正方形，如图，过C 作CH AB ⊥于H ，∵6AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴AB ==CH AH BH ===，当0x <≤时，∴DH x =，∴(()(222218y CD x x ==+-=-+，如图，当x <≤此时32DH x =-同理可得：(223218y CD x ==-+，∴y 与x 的函数表达式为((23218062y x x =-+<≤，当32x =y 的最小值为18；②如图，∵AD BE ⊥，正方形CDFE ，记正方形的中心为O ，∴90DBE DFE CDF ∠=∠=∠=︒，连接OC ，OB ，OF ，∴OC OD OF OE OB ====，∴,,,,D C E B F 在O 上，且CF 为直径，∴90CBF ∠=︒，过O 作OK BC ⊥于K ，过O 作OG BF ⊥于G ，∴132BK BC ==，112BG BF ==，∴223110OB =+=，∴2210DE OB ==，∴正方形面积为(21110402022⨯=⨯=,∴(221820y CD x ==-+=，解得：1x =2x =，经检验都符合题意，如图，综上：当2BF =时，AD 为或.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.。

中考数学复习专题27 平行四边形试题(B卷,含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

专题27 平行四边形一、选择题1.（某某某某，8，3分）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )【答案】A【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称．由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【详细解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1），故选择A .【解后反思】点的坐标在变换中的规律：（1）平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上加下减，横坐标不变；（2）关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数；（3）关于原点对称，其坐标互为相反数.【关键词】平行四边形的性质；平面直角坐标系；中心对称；2.（某某省，6，3分）关于□ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则□ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则□ABCD是正方形C．若AC=BD，则□ABCD是矩形 D．若AB=AD，则□ABCD是正方形【答案】C【逐步提示】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.【详细解答】解：当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项A不正确；∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项B不正确；∵AC=BD，∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项C正确；∵AB=AD，∴□ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确.【解后反思】1.矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.2.菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形.：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【关键词】菱形的判定；矩形的判定3.（某某湘西，11，4分）下列说法错误的是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【逐步提示】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断．【详细解答】解：选项A、B、C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D .【解后反思】平行四边形的判定有4个，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．另外还有如下结论是正确的：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．但如下说法是错误的：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．【关键词】平行四边形的判定二、填空题1.（某某省，10，3分）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.【答案】110°【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.【详细解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案为110°.【解后反思】本题重点是平行四边形和三角形外角的性质，难点是借助桥梁（第三个角）构建未知角与已知角之间的联系.思维模式是探索要求的未知角所在三角形，确定已知角与未知角在图形中结构联系，利用平行四边形与角有关的性质转化已知角，利用三角形的内角和或者三角形外角的性质等有关知识求出角的大小.【关键词】平行四边形的性质；三角形的外角；垂直的定义.2.（某某省某某市，14，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长__________cm.【答案】4 【逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出△DBC 的周长与△ABC 的周长，找出BD-AC 的值即可.【详细解答】解：如图，设AC 与BD 交于点F,因为AB=213cm,AD=4cm,AC ⊥BC ，所以AC=6364)132(2222==-=-BC AB ;因为平行四边形ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=5342222=+=+CF BC , BD=10;因为△DBC 的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC 的周长=AB+BC+6,所以△DBC 比△ABC 的周长长4.【解后反思】平行四边形的对边相等和对角线互相平分、勾股定理是初中数学中的重点，但是，求出△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC ，却是一个难点，需要应用整体的数学思想进行处理.解法拓展：本题也可以过点D 作DE ⊥BC 于E ，用勾股定理计算后完成.【关键词】勾股定理; 平行四边形的性质;3. （某某省某某市，17，2分）如图，已知□OABC 的顶点A 、C 分别在直线x ＝1和x ＝4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_______．【答案】5．【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点B 到直线x ＝4的距离等于点O 到B AO Cx ＝1 x ＝4 xyF直线x ＝1的距离．本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点O 与点A ，点C 与点B 之间的水平距离相等，可求得点B 的横坐标，也就是说点B 在一条垂直于x 轴的直线上运动，我们只需寻找出点B 在什么位置时，OB 最短即可．【详细解答】解：∵顶点A 、C 分别在直线x ＝1和x ＝4上，O 是坐标原点，∴点B 在x ＝5上，当点B 在x 轴上时，即OB 的最小值为5，故答案为5.【解后反思】要求线段OB 的最小值，点O 是定点，点B 是动点，要求OB 的最小值，可先确定点B 的运动轨迹．这一规律适用于大多数求最值的线段长．【关键词】平行四边形的性质；最值问题；三、解答题1. （某某省某某市、某某市、某某市、某某市、某某市、某某州、某某市等9市，26，10分）如图，已知EC ∥AB ，∠EDA =∠ABF（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）求证：OA 2=OE ·OF ．FE CABD O 第26题图【逐步提示】本题考查平行四边形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键第（1）小题是熟知平行四边形的判定方法，第（2）小题是找到一个中间量架起两个比例式；（1）要证四边形ABCD 为平行四边形，由已知条件EC ∥AB ，所以只要证AD ∥CF 即可，利用∠ABF 作为中间量（桥梁）架起∠C 与∠EDA 即可证明AD ∥BC ，从而证得四边形ABCD 为平行四边形；（2）要证OA2=OE·OF，此为乘积式，考虑将其改为比例式OA OFOE OA=，结合第（1）小题的结论EC∥AB可得OA OBOE OD=；由AD∥BC可得OF OBOA OD=，通过等量代换得到：OA OFOE OA=即OA2=OE·OF．【详细解答】（1）证明：∵ EC∥AB，∴ ∠C=∠ABF． 1分又∵ ∠EDA=∠ABF，∴ ∠C=∠EDA． 2分∴ AD∥BC， 3分∴ 四边形ABCD是平行四边形． 4分（2）证明：∵ EC∥AB，∴ OA OBOE OD=.5分又∵ AD∥BC，∴ OF OBOA OD=, 6分∴ OA OFOE OA=, 7分∴ 2OA OE OF=⋅． 8分【解后反思】平行四边形的判定方法有多种，究竟选用哪一个判定方法，这得依据已知条件来进行判断，这需要我们对所有的判定定理有深入了解，例如这道题已知一组对边平行，则考虑选用两组对边分别平行的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对于待证明的乘积式，应该考虑将其改为比例式，然后利用相似三角形或者平行线分线段成比例定理进行证明，另外，此类几何问题需要对题目图形进行整体观察、局部分析，找到起桥梁作用的中间量，例如这道题中的∠ABF和．【关键词】平行四边形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；平行线分线段成比例定理；等量代换；2.（某某某某，18，7分）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD，.（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程.证明：【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定方法与性质，解题的关键是添设辅助线，构造一组全等三角形.（1）平行四边形的对边有2组，除了AB=CD，还有另一组BC=DA；（2）连接AC，利用ASA证△ABC≌△CDA，从而得出BC=DA.【详细解答】解：（1）BC=DA（2）如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC∥DA，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA.∴AB=CD，BC=DA.【解后反思】（1）本题也可以连接BD，证明△ABD≌△CDB，得出结论；（2）本题证明过程，要防止出现直接利用“平行四边形的对边相等”得出结论的错误证法.【关键词】平行四边形的性质；三角形全等的判定与性质17.3.（某某省黄冈市，17，7分）如图，在□ABCD中，E,F分别边AD,BC的中点，对角线AC分别交BE,DF于点G,H。

初中数学-试题解析中考数学试题解析

中考数学试题解析中考试卷上最后一题都是以二次函数为载体，以探求函数的解析式、字母取值范围，线段的长度、角度、面积的最大（最小）值，特殊点的坐标为考查形式，其综合性强，难度较大.为帮助同学们掌握此类问题的解题思路，下面以中考数学26题为例，进行分析.原题再现26.如图1，在平面直角坐标系中，直线y =-43x +49与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ;抛物线y =a x 2+bx +49(a ≠0)过A ，B 两点,与x轴交于另一个点C （-1，0），抛物线的顶点为D .（1）求出A ，B 两点的坐标.（2）求出抛物线的解析式及顶点D 的坐标.（3）在直线A B 的上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线A B 的距离最大值.（4）如图2，直线AB 与抛物线的对称轴相交于点F ，点P 在坐标轴上，且点P 到直线BD ，D F 的距离相等，请直接写出点P 的坐标.解题策略1.（1）问中求A ，B 两点的坐标就是求一次函数与两坐标轴的交点问题，分别x =0,y =0从而易得A ，B 两点. 在八年级材中有这类习题，详见后面答案.2.（2）问试求二次函数的表达式，这是每年各地中考的必考内容之一，求此类问题时，若能根据题中已知条件灵活选择合适的方法，则可以达到快速求解的目的.二次函数解析式的求法有五种：A.已知三点坐标可用一般式y=ax 2+bx +c （图象过三个已知点或变相已知三个点的坐标），B.已知定点坐标或对称轴与最值可用顶点式y=a(x-h)2+k ，C.已知图象与x 轴的两个焦点坐标可用交点式y=a(x-x 1)(x-x 2),D.根据平移规律求解析式，方法是左加右减，E.根据旋转或沿x 轴翻折的规律求解析式.本题中一般式a,b 即可,利用两个条件A ，B 两点坐标代入一般式中，可列方程组求另两个字母的值，用交点式也能求出a,b.求顶点的坐标可用公式法或配方法，九年级教材有很多这种习题，这类题重点考查学生能否灵活，准确的求出表达式，更考验学生的计算能力..详见后面的答案.3.(3)在直线A B 的上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线A B 的距离最大值.点到线的距离图中并没有给出，这就需要学生首先要能够明确点E 的位置并正确的作出垂线段，对于初三学省来说这不是难点．(过点E 作EQ ⊥AB ，垂足为Q )如图3，明确了求E Q 的最大值后，我们讨论如何E Q 的最值：这个公式就形成了d 和x 0的二次函数，求最值即可，但对于初中生来说没有学过这个公式，而且计算量较大．我们还可以通过转化的思想来解决问题.B 、如图3，点E 在弧线AB 上，首先把这条垂线段EQ 作出来，随着点E 的移动EF 的长度也有所变化，但EQ 始终是△AB E 的边A B 上的高，A B 长度一定，求E Q 的最大值就转化为求ABE S ∆的最大值.在直角坐标系中求ABE S ∆的方法有:①如图4间接求法，ABE S ∆=OBEG S 四边形+AGE S ∆-AOB S ∆，其实是把求ABE S ∆的最大值转化为求OBEG S 四边形的最大值②直接求法，首先构造一个平行于x 轴或y 轴的的线段作为•AO，这样把求三角形的面积最值转化为求线段EH的最值，捷，详见答案．C、如图5，随着点E的移动，E Q的长度也有所变化，E H的长度也有变化，但不变的是∠FE H=∠O A B=定值，所以s in∠F EH=方法小结１. 在函数中，求线段的最值问题可以转化为二次函数问题，求二次函数的最值即可．①将线段的和差用一个变量表示出来：一般设特殊点的坐标，然后找到几个相关点的联系（如：横坐标相同、纵坐标相同）从而用这个变量表示其他几点的坐标，例如本题中求E H的最值，②将求线段最值转化成求三角形的面积的最值或转化成求另一条线段的最值（三角函数，三角形面积，四边形面积）例如本题中求E Q的最值２. 在平面直角坐标系中求几何图形的面积常用的方法有:①直接法,②补形法,③分割法,④等积法.4.（4）直线A B与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标.因为点P到直线BD和DF的距离相等，所以点P在∠B D F的平分线上或∠BD F的外角平分线上．∴分两种情况讨论．①当点P在∠BD F的平分线上时，要作出∠BD F的平分线，如图６，两个点分别为P1，P2，∵DF∥ｙ轴∴∠BP1D＝∠P1D F∴∠BＤP1＝∠ＢP1D，∴ＢD＝ＢP1，因为B D的长度可求则ＢP1可求，易得P1，P2的坐标，所以求点坐标就通过两个角相等角转化为求两条线段相等．②当P在∠BD F的外角平分线上时，如图７，求ｐ3Ｄ就是角分线，求ｐ3坐标就转化为求ｐ3B＝BD，在通过直线P3D求出点P4．综上共有四个点．考点延伸近几年来本题的情景比较多见，如图8，抛物线ｙ＝－43ｘ2＋23ｘ＋49与直线ｙ＝－43ｘ＋49交于A ，B 两点，E 点在AB 上方的抛物线上的动点，DH ∥ｙ轴交AB 于H ，DQ ⊥AB 于Q ，求EQ 的最大值，求EQH S 的最大值，求Q H 的最大值，求△E Q H 的周长的最值，本质都是求E H 的最大值，当点H 是A B 的中点时，HE 最大.试题答案26. （1.(2) 把点C （-1，0），A （3，0）分别代入y=ax 2+b x +49得，解得：a=-3,b=3点G ，交A B 于点H ，连接B E ，EA.∵A(3,0),∴OA =3.设点E又∵B （0，49）∴AB =41549322=+）（,∴点E 到直线(4）总结：在平时学习的过程中，同学们要特别重视基本功的训练，重视数学思想的渗透，以及数学解题方法的积累，以训练促进方法的掌握，以思想引领方法的运用，才能激发学习兴趣，进而提升分析问题、解决问题的能力.。

中考数学第26题试题解析

中考数学第26题试题解析二次函数、一次函数与简单的几何图形相结合的问题是沈阳市中考的必考题.这种类型题的核心就是点坐标与线段长的转化.数学中考试卷的26题灵活的考查了这一内容.下面，我们通过分析这道题，总结出解解决这类题的策略和方法.26.如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当＝时，求t 的值；（3）如图（2），连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【试题解析】（1）求抛物线的解析式；分析：第一问属于“双基”的考查，考查的是：已知函数关系式求与坐标轴的交点、用待定系数法求函数关系式.求函数与坐标轴的交点坐标可化归为两个函数求交点的问题，即：把两个函数关系式联立起来求方程组的解.x 轴直线关系式为y ＝0；y 轴直线关系式为x ＝0.解：（1）由⎩⎨⎧=+-=04x x y ，得：⎩⎨⎧==40y x ∴C （0，4）由⎩⎨⎧=+-=04y x y ，得：⎩⎨⎧==04y x ∴B （4，0） ∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点∴ 解得：∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）如图（1），过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当＝时，求t 的值；分析：第二问灵活地考查了点坐标与线段长的转化.它需要学生理解函数图形定义，掌握平行于坐标轴的线段长的表示方法、三角形相似、转化的数学思想.解题的基本方法是：已知点在函数图象上，常设出这个点的横坐标，用函数关系式表示出这个点的纵坐标；平行于坐标轴的线段长表示方法：若A （A x ，A y ）,B （B x ，B y ），当AB 平行于x 轴时，A B x x AB -=,当AB 平行于y 轴时，A B y y AB -=；对于不平行坐标轴的线段关系通常转化为平行于坐标轴的线段关系.解（2）如图（3）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90°∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°∵ME ⊥x 轴于点E ，PB ＝t∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，sin ∠PBE ＝∴BE ＝PE ＝PB ＝t∴x M ＝x P ＝OE ＝OB ﹣BE ＝4﹣t ，y P ＝PE ＝t∵点M 在抛物线上∴y M ＝﹣（4﹣t ）2+3（4﹣t ）+4＝﹣t 2+5t∴MP ＝y M ﹣y P ＝﹣t 2+4t∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON ＝PE ＝t∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t∵MP ∥CN∴△MPQ ∽△NCQ∴∴解得：t 1＝，t 2＝4（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为（3）如图（2），连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．分析：第三问在第二问考查方法的基础上，融入了分类讨论的思想.等腰三角形没明确谁是腰谁是底的情况下，让三条边两两相等分三种情况讨论.解（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾②若DM ＝DP ，如图（4），则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝M y ＝5t +t ﹣2∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM解法一：如图（5），记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m∴解得：∴直线AM ：y ＝tx +t∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：x ＝∴DG ＝x D ＝ ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°∴CD ＝DG ＝∴4﹣t ＝解得：451>=t （舍），122-=t综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ＝﹣1．解法二：如图（6），过点A 作AH ⊥x 轴交直线BC 于点H ，则AH ∥ ME.∴∠HAD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠HDA∴AH ＝HD∵A （﹣1，0），B （4，0）∴AB =5∵∠HAB ＝90°，∠HBA ＝45°∴AH ＝HD=AB=5,HB=2522=+HB AH由（2）得，PB ＝t ，MP ＝y M ﹣y P ＝﹣t 2+4t∴DP=HB-HD-BP=t 2525--∵MP ＝DP∴t t t 425252+-=--解得：451>=t （舍），122-=t综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ＝﹣1．【反思与总结】本题在考查坐标系中线段关系方面比较灵活，对于不平行坐标轴的线段关系，需要根据具体情况转化到适当的位置。

2024年陕西省中考数学试题(解析版)

2024年陕西省初中学业水平考试数学试卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A 或B ）3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 3−倒数是（）A. 3B. 13C. 13−D. 3−【答案】C【解析】【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【详解】解：∵1313 −×−=， ∴3−的倒数是13−. 故选C2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．的【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C ．3. 如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=°，则D ∠的度数为（）A. 25°B. 35°C. 45°D. 55°【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到35C ∠=°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】AB DC ∥，180B C∠+∠=°∴， 145B ∠=°，18035C B ∴∠=°−∠=°，∥ BC DE ，35D C ∴∠=∠=°．故选B ．4. 不等式()216x −≥的解集是（）A. 2x ≤B. 2x ≥C. 4x ≤D. 4x ≥【答案】D【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】解：()216x −≥，去括号得：226x −≥，移项合并得：28x ≥，解得：4x ≥，故选：D ．5. 如图，在ABC 中，90BAC ∠=°，AD 是BC 边上的高，E 是DC 的中点，连接AE ，则图中的直角三角形有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得ABD △，ABC ，ADC △，ADE 为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C ．6. 一个正比例函数图象经过点()2,A m 和点(),6B n −，若点A 与点B 关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A. 3y x =B. 3y x =−C. 13y x =D. 13y x =− 【答案】A【解析】【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出,A B 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：∵点A 与点B 关于原点对称，∴6,2m n ==−，∴()2,6A ，()2,6B −−，设正比例函数的解析式为：()0y kx k =≠，把()2,6A 代入，得：3k =， ∴3y x =；故选A ．7. 如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）的A. 2B. 3C. 52D. 83【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明ADH FGH ∽△△，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD ，6AB =，∴6AB AD CD ===，∵正方形CEFG ，2CE =，∴2CE GF CG ===，∴4DG CD CG =−=，由题意得AD GF ∥，∴ADH FGH ∽△△， ∴AD DH GF GH=，即624DH DH =−，解得3DH =，故选：B ．8. 已知一个二次函数2y ax bx c ++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表， x …4− 2− 0 3 5 …y … 24− 8− 0 3− 15− …则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A. 图象的开口向上B. 当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C. 图象经过第二、三、四象限D. 图象对称轴是直线1x =【答案】D【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．的【详解】解：由题意得4280933a b c c a b c −+=− = ++=− ，解得102a c b =− = =，∴二次函数的解析式为()22211y x x x =−+=−−+，∵10a =−<，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线1x =，故选项D 符合题意；当01x <<时，y 的值随x 的值增大而增大，当1x >时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为()1,1且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ．第二部分（非选择题共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9. 分解因式：2a ab −=_______________．【答案】a （a ﹣b ）．【解析】【详解】解：2a ab −=a （a ﹣b ）．故答案为a （a ﹣b ）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2−，1−，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【解析】【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．【详解】解：由题意，填写如下：()()10102020++−=++−=，，满足题意；故答案为：0．11. 如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是 BC所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是________．【答案】90°##90度【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠，结合三角形内角和定理，可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=°，再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠，由此即得答案．【详解】A ∠是 BC所对的圆周角，BOC ∠是 BC 所对的圆心角， 2BOC A ∴∠=∠，180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=° ，2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=°，OB OC = ，OBC OCB ∴∠=∠，2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=°，22180A OBC ∴∠+∠=°，90A OBC ∴∠+∠=°．故答案为：90°．12. 已知点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=−的图象上，若01m <<，则12y y +________0．【答案】<##小于【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出152y =，25y m =−，再根据01m <<，得出25y <−，最后求出120y y +<即可．【详解】解：∵点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x =−的图象上， ∴152y =，25y m=−， ∵01m <<，∴25y <−，∴120y y +<．故答案为：<．13. 如图，在ABC 中，AB AC =，E 是边AB 上一点，连接CE ，在BC 右侧作BF AC ∥，且BF AE =，连接CF ．若13AC =，10BC =，则四边形EBFC 的面积为________．【答案】60【解析】【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C 作C M A B ⊥，CN BF ⊥，根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABC CBF ∠=∠，进而得到CM CN =，得到CBF ACE S S = ，进而得到四边形EBFC 的面积等于ABC S ，设AM x =，勾股定理求出CM 的长，再利用面积公式求出ABC 的面积即可．【详解】解：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BF AC ∥，∴ACB CBF ∠=∠，∴ABC CBF ∠=∠，∴BC 平分ABF ∠，过点C 作C M A B ⊥，CN BF ⊥，则：CM CN =， ∵11,22ACE CBF S AE CM S BF CN =⋅=⋅ ，且BF AE =， ∴CBF ACE S S = ，∴四边形EBFC 面积CBF CBE ACE CBE CBA S S S S S =+=+= ，∵13AC =，∴13AB =，设AM x =，则：13BM x =−，由勾股定理，得：22222CM AC AM BC BM =−=−，∴()2222131013x x −=−−，解：11913x =，∴12013CM =， ∴1602CBA S AC CM ⋅ ， ∴四边形EBFC 的面积为60．故答案为：60．三、解答题（共13小题，计81分。

浙江省中考数学总复习全程考点训练26 几何作图(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

全程考点训练26 几何作图一、选择题(第1题)1．如图所示给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(A ) A ．同位角相等，两直线平行 B ．内错角相等，两直线平行 C ．同旁内角互补，两直线平行 D ．两直线平行，同位角相等2．如图，用尺规作出∠OBF ＝∠AOB ，作图痕迹MN ︵是(D )(第2题)A ．以B 为圆心，OD 长为半径的圆弧 B ．以B 为圆心，DC 长为半径的圆弧 C ．以E 为圆心，OD 长为半径的圆弧 D ．以E 为圆心，DC 长为半径的圆弧(第3题)3．如图，A 是5×5网格图中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长都为1，以A 为其中一个顶点，面积等于52的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为(D )A ．10B ．12C ．14D ．16【解析】以A为直角顶点，直角边为5的等腰直角三角形有8个；以A为45°角顶点，斜边为10的等腰直角三角形有8个，共16个．(第4题)4．如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；②连结AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；②连结AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．由甲、乙两人的作法，可判断(A)A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确(第5题)5．三条公路两两相交，交点分别为A，B，C.现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有(D)A．1处 B．2处C．3处 D．4处【解析】内角平分线交点及两外角平分线的交点，共4处．二、填空题6．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作__4__个．(第6题)(第6题解)【解析】如解图所示．这样的三角形最多可以画出4个．7．已知AB ＝4 cm ，现以A 为圆心，3 cm 长为半径画弧，交AB 所在的直线于点C ，则BC 的长为1或7cm.【解析】在点A 的两侧各有一个交点，BC ＝4－3＝1，或BC ＝4＋3＝7.8．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是①②③．【解析】 ①②③分别符合全等三角形的判定方法SSS ，SAS ，ASA ；④为SSA ，不符合．(第9题)9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝50°.按以下步骤作图： ①以A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F . ②分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G .③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠ADC 的度数为65°．【解析】由作图知AG 为∠CAB 的平分线， ∴∠CAD ＝12∠CAB ＝25°，∴∠ADC ＝90°－∠CAD ＝90°－25°＝65°. 三、解答题(第10题)10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高线，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线． (1)用尺规作图的方法，作∠ADC 的平分线DN (保留作图痕迹，不写作法和证明)． (2)设DN 与AM 交于点F ，判断△ADF 的形状(只写结果)．【解析】 (1)如解图，DN 即为所求作的角平分线．(第10题解)(2)△ADF 是等腰直角三角形．(第11题)11．如图，已知∠AOB ，OA ＝OB ，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中作出∠AOB 的平分线(请写出作法并保留作图痕迹)．【解析】如图，连结AB ，EF 交于点P ，画射线OP 即为∠AOB 的平分线．12．如图是数轴的一部分，其单位长度为a .已知在△ABC 中，AB ＝3a ，BC ＝4a ，AC ＝5a .(第12题)(1)用直尺和圆规作出△ABC (要求：使点A ，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)． (2)记△ABC 外接圆的面积为S 圆，△ABC 的面积为S △，试说明S 圆S △＞π. 【解析】 (1)所作△ABC 如解图．(第12题解)(2)∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠B ＝90°， ∴AC 是外接圆的直径．∴S △＝12×3a ·4a ＝6a 2，S 圆＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 22π＝25a 2π4，∴S 圆S △＝25a 2π46a 2＝25π24＞24π24＝π. 13．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．(第13题)(2)在△ABC 中，若AB ＝8 m ，AC ＝6 m ，∠BAC ＝90°，求圆形花坛的面积．【解析】 (1)如解图(画两边的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆)．(第13题解)(2)S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋8222＝25π(m 2)．(第14题)14．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的32倍(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)．已知：求作：(第14题解)【解析】已知：∠AOB . 求作：∠AOC ，使∠AOC ＝32∠AOB .作法：先作∠AOB 的平分线OP ，再以OB 为边，在∠AOB 外部作∠BOC ＝∠AOP ，则∠AOC ＝32∠AOB ，如解图．15．“三等分任意角”是数学史上的一个著名问题．已知∠MAN ，设∠α＝13∠MAN .(1)当∠MAN ＝69°时，∠α的大小为23°．(2)如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长均为1 cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB ＝2.5 cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法(不要求证明)．(第15题)【解析】 (2)让直尺有刻度的一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网格线交于点C ，与过点B 的水平方向的网格线交于点D ，保持直尺有刻度的一边过点A ，调整点C ，D 的位置，使CD ＝5 cm ，画射线AD ，∠MAD 就是所求的∠α(利用网格结构，作以点B 为直角顶点的Rt△，并且使斜边所在直线过点A ，且斜边长为5 cm.根据中线的性质得斜边中线长等于AB .再结合三角形外角的性质得∠BAD ＝2∠BDC ，再根据平行线中内错角相等得∠BDC ＝∠MAD ，从而得到∠MAD ＝13∠MAN ＝∠α)，作图略．。

2020年江苏省泰州中考数学试卷(附答案与解析)

绝密★启用前2020年江苏省泰州市初中学业水平考试数学请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗． 4．考试时间：120分钟满分150分．第一部分选择题（共18分）一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.2-的倒数是（）A .2-B .12-C .12D .22.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（）（第2题图）A .三棱柱B .四棱柱C .三棱锥D .四棱锥 3.下列等式成立的是（）A.3+=B=C=D3=4.如图，电路图上有4个开关A 、B 、C 、D 和1个小灯泡，同时闭合开关A 、B 或同时闭合开关C 、D 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）（第4题图） A .只闭合1个开关 B .只闭合2个开关 C .只闭合3个开关D .闭合4个开关5.点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（）A .5B .3C .3-D .1-6.如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（）（第6题图） A .10πB .9πC .8πD .6π第二部分非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 7.9的平方根是________． 8.因式分解：24x -=________．9.据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42 600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42 600用科学计数法表示为________． 10.方程2230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为________．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------11.今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围是________．（第11题图）12.如图，将分别含有30、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65︒，则图中角α的度数为________．（第12题图）13.以水平数轴的原点O 为圆心过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30、60︒、90︒、…、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为()5,0︒、()4,300︒，则点C 的坐标表示为________．（第13题图）14.如图，直线a b ⊥，垂足为H ，点P 在直线b 上， 4 cm PH =，O 为直线b 上一动点，若以1 cm 为半径的O 与直线a 相切，则OP 的长为________．（第14题图）15.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC △内心的坐标为________．（第15题图）16.如图，点P 在反比例函数3y x=的图像上且横坐标为1，过点P 作两条坐标轴的平行线，与反比例函数ky x=()0k ＜的图像相交于点A 、B ，则直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为________．（第16题图）三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）（1）计算：()11602π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：311442x x x x -+⎧⎨+-⎩≥＜．18.（本题满分8分）2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成图表如下：2020年5月29日~6月3日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图2020年6月2日（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%．你是否同意他的观点？请说明理由；（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？（3）求统计表中m 的值．19.（本题满分8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是________（精确到0.01），由此估出红球有________个．（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．20.（本题满分10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25 km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30 km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6 min ，求走路线B 的平均速度．-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.（本题满分10分）如图，已知线段a ，点A 在平面直角坐标系xOy 内，（1）用直尺和圆规在第一象限内．．．．．作出点P ，使点P 到两坐标轴的距离相等，且与点A 的距离等于a ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若a ≈A 点的坐标为()3,1，求P 点的坐标．（第21题图）22.（本题满分10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15 m 的A 处测得在C 处的龙舟俯角为23︒；他登高6 m 到正上方的B 处测得驶至D 处的龙舟俯角为50︒，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1 m ，参考数据：tan230.42︒≈，tan400.84︒≈，tan50 1.19︒≈，tan67 2.36︒≈）（第22题图）23.（本题满分10分）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP △的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．（第23题图）24.（本题满分10分）如图，在O 中，点P 为AB 的中点，弦AD 、PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD 、PD 相交于点E 、N ，连接BD 、MN ．（1）求证：N 为BE 的中点．（2）若O 的半径为8，AB 的度数为90︒，求线段MN 的长．（第24题图）25.（本题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为6，M 为AB 的中点，MBE △为等边三角形，过点E 作ME 的垂线分别与边AD 、BC 相交于点F 、G ，点P 、Q 分别在线段EF 、BC 上运动，且满足60PMQ ∠=︒，连接PQ ．（1）求证：MEP MBQ △≌△．（2）当点Q 在线段GC 上时，试判断PF GQ +的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设QMB α∠=，点B 关于QM 的对称点为B '，若点B '落在MPQ △的内部，试写出α的范围，并说明理由．（第25题图）26.（本题满分14分）如图，二次函数()21y a x m n =-+、226y ax n =+（0a ＜，0m ＞，0n ＞）的图像分别为1C 、2C ，1C 交y 轴于点P ，点A 在1C 上，且位于y 轴右侧，直线PA 与2C 在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为()0,2，1C 的顶点坐标为()2,4，求a 的值；（2）设直线PA 与y 轴所夹的角为α．①当45α=︒，且A 为1C 的顶点时，求am 的值； ②若90α=︒，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，PAPB的值不变；（3）若2PA PB =，试判断点A 是否为1C 的顶点？请说明理由．（第26题图）-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________2020年江苏省泰州市初中学业水平考试数学答案解析一、故选：A．60A ∠=︒45B ∠=B α∴=∠故答案为：【答案】3或5 【解析】∵a b ⊥∴O 与直线当O 在直线a 的左侧时，当O 在直线故答案为3或【考点】切线的性质．【答案】()7245%55%88m．【解析】（1）根据本次调查是从托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；7245%55%，（2）画树状图得：画弧，交OM于点P，则点P为所求；22．【答案】解：设BA与CD的延长线交于点O，又∵O 的半径为90AOB =，82AB = 12MN AB ==60，∴60BME PMQ ， ∴BMEQMEPMQQME即有：BMQ EMP ，∵四边形ABCD 是正方形，MEFG∴90MBQMEP在MBQ △和MEP △中BMQ EMPMB MEMBQ MEP∴MBQ MEP △≌△（2）PF GQ +的值不变，理由如下：如图1，连接MG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，ME MB =MG MG ，Rt MBG △BG GE ，30BMG EMG ，BGM EGM ，33MB BG ，60BGMEGM，3GE ，60FGH ∠=︒，FH BC ⊥，90C D ∠=∠=︒，∴四边形DCHF 是矩形，6FHCD，36sin 2FH FGHGFFG，43FG，MBQ△≌△BQ PE，PE BQ BG GQ，23FG EG PE FP EG BG GQ PF GQ PF，23GQ PF；（3）当点B'落在PQ上时，如图2示，MBQ△≌△MQ MP，60QMP，MPQ∴△是等边三角形，当点B'落在PQ上时，点MBQ MB Q△≌△，90MBQ MB Q30QME∴∠=︒∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，30QMB QMB，如图3，当点B'落在MP上时，同理可求：60QMB QMB，综上所述，当3060α︒︒＜＜时，点B'落在MPQ△）由“ASA”可证MBQ MEP△≌△MG，过点F作FH BC⊥于H，由“，30BMG EMG，BGM EGM，由直角三角形的性质可求3BG GE，由锐角三角函数可求43GF，由全PE BQ BG GQ，即可求23GQ PF；）当点B'落在PQ上时，，当点B'落在MP上时，分别求出点α的值，即可求解．【考点】正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的解得：1am=-；()1C的顶点．②将0x =代入()21y a x m n =-+，得到()20,P am n +，再求出A ，B 的坐标，表达出PA ，PB 即可解答；（3）如图所示，过点P 作CD x ∥轴，过点B 作BD CD ⊥于点D ，过点A 作AC CD ⊥于点C ，得到BDP ACP △∽△，设()2,6B x ax n +，根据2PA PB =，得到22CP PD x ==-，222221a AC BD m ax -==，确定点A 的坐标，代入()21y a x m n =-+，解出x ，进而得到(),A m n 即可．【考点】二次函数与几何综合问题，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质。

人教版初三数学9年级下册第26章(反比例函数)复习讲义及例题和习题(含答案)

第二十六章反比例函数本章知识结构图：中考说明中对本章知识的要求：考试内容A 层次B 层次C 层次反比例函数能结合具体情境了解反比例函数的意义;能画出反比例函数的图象;理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式;能用反比例函数的知识解决有关问题主要内容：1.定义：一般地，形如)0(≠=k k x ky 是常数，且的函数，叫反比例函数. 反比例函数的解析式有三种形式：（1）xky =（k ≠0的常数）；（2）k xy =（k ≠0的常数）；（3）1-=kx y （k ≠0的常数）.2. 反比例函数的图象及性质：（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大；（3）反比例函数图象的两个分支无限接近x 轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交；（4）反比例函数的图象是对称图形，反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形：①)0(≠=k x ky 是轴对称图形，其对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）。

③xky x k y -==和在同一坐标系中的图像关于x 轴、y 轴成轴对称。

（5）反比例函数的几何意义：在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上任取一点M ，从几何意义上看，从点M 向两轴作垂线，两垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积为定值k ；（6）k 越大，双曲线越远离原点。

3.反比例函数在代数、几何及实际问题中的应用。

四、例题与习题：1．下面的函数是反比例函数的是（）A ． 13+=x yB ．x x y 22+= C ． 2xy =D ．xy 2=2．用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（）A ．为定值，与成反比例B ．为定值，与成反比例C ．为定值，与成正比例D ．为定值，与成正比例3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当310m V =时，气体的密度是（）A ．5kg/m 3B ．2kg/m 3C ．100kg/m 3D .1kg/m 34．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（）B ．C ．D ．5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝．6．点在反比例函数的图象上，则．7.点（3，－4）在反比例函数ky x=的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（）A.（3,4）B.　（－2，－6）C.（－2，6）D.（－3，－4）P I R 2P I R =P I R P 2I R P I R P 2I R a h a (231)P m -，1y x=m =8．已知某反比例函数的图象经过点()m n ，，则它一定也经过点（）A ．()m n -，B ．()n m ，C ．()m n -，D ．()m n ，9．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为．10.已知n 是正整数，n P (n x ，n y )是反比例函数xky =图象上的一列点，其中1x 1=，2x 2=，…，n x n =，记211y x T =，322y x T =，…，1099y x T =；若1T 1=，则921T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是_________.11．在平面直角坐标系中，将点(53)P ，向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数ky x=的图象上，则此函数的图象分布在第象限．12.对于反比例函数()，下列说法不正确的是（）A. 它的图象分布在第一、三象限B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形D. 每个象限内，随的增大而增大13．一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为．14．已知反比例函数y ＝x2k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（）．（A ）k ＞2 （B ） k ≥2（C ）k ≤2（D ） k ＜215．若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在（）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限16.若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是（）A.-1B.3C.0D.-317．若点00()x y ，在函数ky x=（0x <）的图象上，且002x y =-，则它的图象大致是（）18．设反比例函数中，在每一象限内，随的增大而增大，则一次函数的图象不经过()xk y 2=0≠k k k y x ky x=(3)m m ，0m ≠)0(≠-=k xky y x k kx y -=A ．B ．C ．D ．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限19．如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数ky x=的图象大致是（）20．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（）A ．b c>B ．b c<C ．b c=D ．无法判断21．已知点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-6，y 3）分别为函数xky =（k<0）的图象上的三个点．则y 1 、y 2 、y 3的大小关系为（用“<”连接）．22.在反比例函数的图象上有两点A ，B ，当时，有，则的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、23．若A (，)、B (，)在函数的图象上，则当、满足______________________________________时，＞.24．已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．25．在平面直角坐标系xoy 中，直线yx =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于．26．如果函数x y 2=的图象与双曲线)0(≠=k xky 相交，则当0<x 时，该交点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限27.在同一平面直角坐标系中，函数xy 1=与函数x y =的图象交点个数是（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个28.函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-12my x-=()11,x y ()22,x y 120x x <<12y y <m 0m <0m >12m <12m >1x 1y 2x 2y 12y x=1x 2x 1y 2y mx y =xky =m k xxxx．D ．29．在同一坐标系中，一次函数(1)21y k x k =-++与反比例函数ky x=的图象没有交点，则常数k 的取值范围是．30．如图，直线)0(>=k kx y 与双曲线xy 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别为A ()11,y x ，B ()22,y x ，则1221y x y x +的值为（）A ．－8B ．4C ．－4D ． 031．已知反比例函数2y x=，下列结论中，不正确的是（） A ．图象必经过点(12)，B ．y 随x 的增大而减少C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <32．已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（） A ．1y <- B ．1y ≤- C ．1y ≤- 或0y > D ．1y <-或0y ≥33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是_____________．34．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数xky =过点A ，则K 的值是（）A ．2B ．-2C ．4D ．-435.过反比例函数(0)ky k x=>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.36．如图，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =．37．在反比例函数4y x=的图象中，_4-1-1yx第32题图第34题图第33题图第36题图阴影部分的面积不等于4的是（）A ．B ．C ．D ．38．两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．39．如图，第四象限的角平分线OM 与反比例函数()0≠=k xky 的图象交于点A ，已知OA=23，则该函数的解析式为（）A ．xy 3=B ．xy 3-= C ．xy 9=D ．xy 9-=40.如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k的值和Q 点的坐标分别为______________.ky x =1y x=（第38题图）第39题图41.当m 取什么数时，函数2)1(--=m xm y 为反比例函数式？42.已知反比例函数102)2(--=m x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式.43．平行于直线y x =的直线l 不经过第四象限，且与函数3(0)y x x=>和图象交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，AC x ⊥轴于点C四边形ABOC 的周长为8．求直线l 的解析式．44．已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．45.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A （-6，-2）、B （4，3）两点.（1）求出两函数解析式；（2）画出这两个函数的图象；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？46．如图，直线y ＝x ＋1与双曲线x2y =交于A 、B 两点，其中A 点在第一象限．C 为x 轴正半轴上一点，且S △ABC ＝3．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在坐标平面内，是否存在点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．47．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与y kx =5ky x-=k 0k ≠11()A x y ，22()B x y ，5ky x-=12x x <12y y ，3(0)x x>（第47题）t 的函数关系式为tay =（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?48．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程的解看成函数的图象与函数的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）49．如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置213x x -=-21y x =-3y x =-1y x=210x x --=x 4y x=y x=不再改变，A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)．(1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为 A( ， )、B( ，)和C(，)；(2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。

2022宁夏回族自治区中考数学试题含答案解析

2022宁夏回族自治区中考数学试题含答案解析WORD格式整理宁夏回族自治区2022年初中学业水平暨高中阶段招生考试数学试题说明：1.考试时间120分钟。

总分值120分。

2.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题〔此题共8小题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的〕1.计算：的结果是A. 1B.C.0D.-12.以下运算正确的选项是 A.B. (a2)3=a5÷a-2=1D.〔-2a3〕2=4a6B. 30和25D. 30和17.5是方程x2-4x+c=0的一个根，那么c的值是B.C.D.A.15.某企业2022年初获利润300万元，到2022年初方案利润到达507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是 A.300〔1+x〕=5072B.300〔1+x〕=507D.300+300〔1+x〕+300〔1+x〕=50722C.300〔1+x〕+300〔1+x〕=5076.用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面半径是 A．10B.20ππ7.将一个矩形纸片按如下图折叠，假设∠1=40°，那么∠°°°°专业技术参考资料WORD格式整理8.如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内水面的高度h〔cm〕与注水时间t〔s〕之间的函数关系图象大致是二、填空题〔此题共8小题，每题3分，共24分〕9.不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 . 10.m+n=12,m-n=2,那么m-n= .2211.反比例函数〔k是常数，k≠0〕的图象经过点〔1,4〕，那么这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而 .〔填“增大〞或“减小〞〕12.：，那么的值是 .有两个不相等的实数根，那么c的取值范围13.关于x的方程是 .14.在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为〔8,6〕，M为BC中点，反比例函数是 .15.一艘货轮以的图象经过点M，交AC于点N，那么MN的长度㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的专业技术参考资料WORD格式整理东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离是 km.16.如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪比照图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁张A8的纸.三、解答题〔此题共有6个小题，每题6分，共36分〕?x?3(x?1)?5?17.解不等式组：?x?3x?1?1??2 ?518.先化简，再求值：；其中，.19.：△ABC三个顶点的坐标分别为A〔－2，－2〕，B〔－5，－4〕，C〔－1，－5〕. 〔1〕画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；〔2〕以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.专业技术参考资料WORD格式整理定学生每天户外动时间不少于1小时.为了解学生参加户外体育活动的情况，对局部学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表〔不完整〕. 请根据图表中的信息，解答以下问题：〔1〕表中的a=，将频数分布直方图补全；〔2〕该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间缺乏1小时的学生大约有多少名？〔3〕假设从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 21.点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N. 〔1〕求证：△ABE≌△BCN；专业技术参考资料WORD格式整理〔2〕假设N为AB的中点，求tan∠ABE.22.某工厂方案生产一种创新产品，假设生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元. 〔1〕为使每件产品的本钱价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？〔2〕将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购置该产品的件数与用16000元通过零售价购置该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？四、解答题〔此题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分〕 23.：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP. 〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.〔π取3.14〕24.抛物线线l，顶点为C.〔1〕求抛物线的解析式；经过点A 和点B〔0,3〕,且这个抛物线的对称轴为直〔2〕连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.25.空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox〔水平向前〕、oy〔水平向右〕、oz〔竖直向上〕方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.专业技术参考资料。

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中考试题解析--中考数学第26题题目原型如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，点C,B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．一、试题背景（一）题目解析1.试题出处：本题选自2016年辽宁省丹东中考数学试题26题，是一题多问代数与几何结合的综合题，此题适用于初三学生在中考复习时出现．2.涉及知识点：二次函数表达式的确定，三角形面积的求法，点坐标的求法，2动点组成特殊三角形时坐标的确立．3.涉及思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想．4.题目难点：①三角形的面积求法（直接或间接）．②动点三角形(特殊三角形)已知面积确立点坐标．（二）学情分析学生经过了初中三年的学习，已经掌握了基本图形面积的求法，函数的初步知识，具备了一定的数形结合能力，能够通过简单的转化求出面积以及动点组成图形面积的初步探索，由于班级学生参差不齐，一些学生对函数与几何的结合题存在或多或少的障碍，因此引导学生把握分析函数与图形综合题的相互转化显得尤为重要．二、试题分析（一）审题与解题策略分析问题（1）求抛物线的表达式；分析：学生对二次函数解析式的求法已经有基础，此题图像经过原点，故设解析式为bx ax y +=2 ，过A (4,0) B (1,3)两点，则代入解析式得关于a,b 的方程组{04163=+=+b a b a ，解得a =-1 b =4 .故解析式为 x x y 42+-=（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；分析：抓住此问的关键点：轴对称，关于轴对称要引导学生已知一点写出其对称点的坐标，这样学生就能写出C 的坐标，当三角形固定（一边在轴上或平行于坐标轴时）求起来较易．对称轴：直线 X =2 )3,1(B )3,3(C ∴因为BC ∥X 轴．所以()33132121=⨯-⨯=⋅=∆B y BC ABC S . （3）P 是抛物线第四象限上一动点，求P 坐标．分析：此问多数同学有思路，但仍有少数学生不会转化分析，为了解决此问题应引导学生充分利用图像画出P 点的大致位置作出三角形⊿ABP ，学生会发现没有P 点坐标不能直接求，为了解决它，我们要利用设坐标的方法当作已知把所求面积表示出来．下一步还需要借助坐标轴把图形转化为规则图形的和或差求出，从而建立方程计算求解．如图1 设()P P P X X X P 4,2+- 过P 作BH PD ⊥于DBDP S AHDP S ABH S ABP S ∆∆∆-+=四 ()()P P P X X X 4421332162-++⨯⨯=()P P P X X X 43212-+- 解得5=P X 或0=P X (舍) 当5=P X 时54-=+-P P X X()5,5-∴P .（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C ,M,N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．分析：利用分类讨论的思想依次判别等腰三角形存在性及对应面积的求法．本题难点：①分类讨论 ②充分利用等腰构造两个全等三角形，再利用勾股定理求出边长进而得出面积.对于动点所围图形需要进行分类，这里有直角和等腰两个角度去分类讨论,而本题由于动点所在直线是互相垂直的,显然从直角的角度分类更好,具体如下:1.若090=∠MCN 不可能，C 点到BH 及X 轴距离分别为2和3不相等2.若090=∠CMN 如图2，M 在X 轴上方，N 在BH 右侧，MN CM = ,可证MHN CBM ∆≅∆ ，所以5=CM , 251=S 如图3，M 在 X 轴下方，N 在BH 左侧，MN CM =，可证MHN CBM ∆≅∆所以 29==CM MN ， 2292=S ， 51=CM ,251=S M 在X 轴下方，N 在BH 左侧，222N M CM =则222HN M CBM ∆≅∆ ， 29222==CM N M ，2292=S3. 若090=∠CNM如图4 ， N 在BH 左侧M 为X 轴下方，345322333=+==N M CN17=∴S如图5 ， N 在BH 左侧M 在X 轴下方，101322444=+==N M CN510210=⋅=∴S综上等腰Rt ΔCMN 的面积的值为517,229,25或.（二）课后反思1.解题方法解读① 较易二次函数表达式的确定（待定系数法）②③④围绕三角形面积展开，其中②是简单三角形面积求法．③已知一般三角形面积求点坐标（图形面积的转化）．④1定点与2动点组成等腰直角三角形时面积的求法．本小题侧重考查学生综合利用代数与几何的基础知识与基本方法解决问题的能力．2.典型条件和知识联系：（1）三角形面积的求法是图形面积求法的基础，遇到求面积就想到直接或间接（转化）．（2）遇到求动点三角形（特殊三角形）或动点四边形（特殊的平行四边形）面积时要分类讨论，再结合特殊图形的性质去分析存在性，然后利用方程思想求解．（3）近几年点的存在性（满足特殊条件如面积，周长得定值和最值）同本题有异曲同工之处．3.数学思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想、特殊到一般的数学思想．三、题目拓展与变式分析点的存在性，近几年基本上是等腰∆， Rt ∆ 平行四边形等联系，而本题是求等腰Rt ∆的面积实际上等同于上述点存在性，解决此题应充分利用等腰这一条件构造全等再利用勾股定理建立方程求出边长进而求出面积。

变式1，在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2−2x +3 与x 轴交于A ，B两点（A 在B 的左侧）与y 轴交于C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标;（2）如图1，在x 轴上找一点E ，使得ΔCDE 的周长最小，求E 的坐标 ;（3）如图2，F 是直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得ΔAFP 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在请说明理由．解析：本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，图形的轴对称和动点所围等腰直角三角形的点的确定（1）问较易，（2）轴对称利用解决和最小，先写出C 关于X 轴的对称点C 1的坐标进而求得，（3）根据A ，C的坐标写出AC 直线的解析式，先假设存在，设点F 的坐标分3种情况讨论：∠PAF =900 ∠AFP =900 ∠APF =900 利用等腰三角形的性质结合A ，B 点的坐标写出点P 的坐标．过程如下：（1）A （-3,0），C （0,3），D （-1,4）;（2）如图1所示，C 关于X 轴的对称点C 1的坐标（0，-3），直线C 1D 的解析式可求为y =−7x −3，令y =0解得x = −37，所以E (−37,0) ;（4）设AC 直线的解析式为y =ax +c （a ≠0），将A ， C 坐标代入得到{0=−3a +c 3=c ,解得{a =1c =3，所以AC 直线的解析式为y =x +3. 假设存在，设F （m ，m +3），ΔAFP 为等腰直角三角形分为三种情况．①如图2，当∠PAF =900时，点P与点F关于X轴对称，所以P（m，-m-3）.点P在抛物线上，得−m−3=−m2−2m+3 解得m1=−3(舍)，m2=2,此时P（2，-5）;②如图3∠AFP=900，点P在X轴上，横坐标与点A的横坐标关于对称轴x =-1对称，所以P与B重合，令y=0，解得x1=−3，x2=1 B（1,0），此时P（1,0）;③如图4，∠APF =900，点P在X轴上，所以P与B重合，所以P（1,0）综上所述，在抛物线上存在点P，使得ΔAFP为等腰直角三角形，点P（2，-5）或（1,0）.x2+bx +c经过A（4，0），C（0，4）两点，点B 变式2，如图5，抛物线y =−12是抛物线与x轴的另一个交点，点E是OC的中点，作直线AC、点M在抛物线上，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，设点M的横坐标为m，MN 的长度为d．（1）直接写出直线AC的函数关系式；（2）求抛物线对应的函数关系式；（3）求d关于m的函数关系式；（4）当以点M,N,E,O为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出m的值．图5解析：（1）（2）根据待定系数法可求解析式．（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是大的纵坐标减去小的纵坐标，可得答案．（4）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得MN 的长由解方程可得答案．过程如下：（1）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A ，C 点的坐标代入得{4k +b =0b =4，计算得出{k =−1b =4，直线AC 的解析式为y =-x +4 ; （2）将将A ，C 点的坐标代入抛物线的解析式，得{−12×42+4b +c =0c =4计算得出{b =1c =4抛物线的解析式为y =−12x 2+x +4 ; （3）∵点M 的横坐标为m ，∴M 点的坐标为（m ,−12m 2+m +4） , ∴点N 的坐标为(m ，−m +4).①当点M 在点N 的上方时MN =−12m 2+m +4−(−m +4)=−12m 2+2m >0 解得0≤m ≤4,所以d =−12m 2+2m (0≤m ≤4) ;②当点M 在点N 的下方时 MN =−m +4−(−12m 2+m +4)=12m 2−2m >0解得 m <0或 m >4 ，所以d =12m 2—2m (m <0或m >4） .（4）m 的值是m 1=2 ，m 2=2−2√2 ， m 3=2+2√2.理由如下：①当点M 在点N 的上方时，MN = OE =2，即 −12m 2+2m =2计算得出m 1=m 2=2 ∴ m =2 ;②当点M 在点N 的下方时，MN = OE =2，即12m 2—2m =2计算得出 m 1=2−2√2 ， m 2=2+2√2所以 m =2−2√2 ， m =2+2√2综上所述:当以M ,N ,E ,O 为顶点的四边形为平行四边形时，m 的值为m 1=2 ，m 2=2−2√2 ， m 3=2+2√2 .四、试题价值和意义1.价值：充分考查了学生数形结合思想，二次函数与图形结合分析能力以及求点构造方程的计算能力，试题考查全面，综合性较强。

2.意义：从知识上立足于落实双基，全面掌握知识及解题方法，从方法上注重学生知识的迁移能力，从效果上达到一题多解一题多变，多题同解的教学效果．2020年2月18日。