初中数学 试题解析 中考试题解析--中考数学第26题

中考试题解析--中考数学第26题

题目原型

如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，点C,B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

一、试题背景

（一）题目解析

1.试题出处：本题选自2016年辽宁省丹东中考数学试题26题，是一题多问代数

与几何结合的综合题，此题适用于初三学生在中考复习时出现．2.涉及知识点：二次函数表达式的确定，三角形面积的求法，点坐标的求法，2

动点组成特殊三角形时坐标的确立．

3.涉及思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想．

4.题目难点：①三角形的面积求法（直接或间接）．

②动点三角形(特殊三角形)已知面积确立点坐标．

（二）学情分析

学生经过了初中三年的学习，已经掌握了基本图形面积的求法，函数的初步知识，具备了一定的数形结合能力，能够通过简单的转化求出面积以及动点组成图形面积的初步探索，由于班级学生参差不齐，一些学生对函数与几何的结合题存在或多或少的障碍，因此引导学生把握分析函数与图形综合题的相互转化显得尤为重要．

二、试题分析

（一）审题与解题策略分析 问题（1）求抛物线的表达式；

分析：学生对二次函数解析式的求法已经有基础，此题图像经过原点，故设解析

式为bx ax y +=2 ， 过A (4,0) B (1,3)两点，则代入解析式得关于a,b 的方程

组{04163=+=+b a b a ， 解得a =-1 b =4 .

故解析式为 x x y 42+-=

（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；

分析：抓住此问的关键点：轴对称，关于轴对称要引导学生已知一点写出其对称

点的坐标，这样学生就能写出C 的坐标，当三角形固定（一边在轴上或平行于坐

标轴时）求起来较易．

对称轴：直线 X =2 )3,1(B )3,3(C ∴

因为BC ∥X 轴．所以()33132

121=⨯-⨯=⋅=

∆B y BC ABC S . （3）P 是抛物线第四象限上一动点 ，求P 坐标．

分析：此问多数同学有思路，但仍有少数学生不会转化分析，为了解决此问题应

引导学生充分利用图像画出P 点的大致位置作出三角形⊿ABP ，学生会发现没有

P 点坐标不能直接求，为了解决它，我们要利用设坐标的方法当作已知把所求面

积表示出来．下一步还需要借助坐标轴把图形转化为规则图形的和或差求出，从

而建立方程计算求解．如图1 设()

P P P X X X P 4,2+- 过P 作BH PD ⊥于D

BDP S AHDP S ABH S ABP S ∆∆∆-+=四 ()()P P P X X X 4421332162-++⨯⨯=()

P P P X X X 43212-+- 解得5=P X 或0=P X (舍) 当5=P X 时54-=+-P P X X

()5,5-∴P .

（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C ,M,N 为顶点的三角

形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．

分析：利用分类讨论的思想依次判别等腰三角形存在性及对应面积的求法．

本题难点：①分类讨论 ②充分利用等腰构造两个全等三角形，再利用勾股定理

求出边长进而得出面积.对于动点所围图形需要进行分类，这里有直角和等腰两

个角度去分类讨论,而本题由于动点所在直线是互相垂直的,显然从直角的角度

分类更好,具体如下:

1.若090=∠MCN 不可能，C 点到BH 及X 轴距离分别为2和3不相等

2.若090=∠CMN 如图2，M 在X 轴上方，N 在BH 右侧，MN CM = ,

可证MHN CBM ∆≅∆ ， 所以5=CM , 2

51=

S 如图3，M 在 X 轴 下 方，N 在BH 左侧，MN CM =，

可证MHN CBM ∆≅∆

所以 29==CM MN ， 2292=S ， 51=CM ,2

51=S M 在X 轴下方，N 在BH 左侧，222N M CM =

则222HN M CBM ∆≅∆ ， 29222==CM N M ，2292=

S

3. 若090=∠CNM

如图4 ， N 在BH 左侧M 为X 轴下方，

345322333=+==N M CN

17=∴S

如图5 ， N 在BH 左侧M 在X 轴下方，

101322444=+==N M CN

510210=⋅=∴S

综上等腰Rt ΔCMN 的面积的值为517,2

29,25或.

（二）课后反思

1.解题方法解读

① 较易二次函数表达式的确定（待定系数法）

②③④围绕三角形面积展开，

其中②是简单三角形面积求法．

③已知一般三角形面积求点坐标（图形面积的转化）．

④1定点与2动点组成等腰直角三角形时面积的求法．本小题侧重考查学生

综合利用代数与几何的基础知识与基本方法解决问题的能力．

2.典型条件和知识联系：

（1）三角形面积的求法是图形面积求法的基础，遇到求面积就想到直接或

间接（转化）．

（2）遇到求动点三角形（特殊三角形）或动点四边形（特殊的平行四边形）

面积时要分类讨论，再结合特殊图形的性质去分析存在性，然后利用方程

思想求解．

（3）近几年点的存在性（满足特殊条件如面积，周长得定值和最值）同本

题有异曲同工之处 ．

3.数学思想方法：

数形结合、分类讨论、转化思想、特殊到一般的数学思想．

三、题目拓展与变式分析

点的存在性，近几年基本上是等腰∆， Rt ∆ 平行四边形等联系，而本

题是求等腰Rt ∆的面积实际上等同于上述点存在性，解决此题应充分利用等腰这一条件构造全等再利用勾股定理建立方程求出边长进而求出面积。

变式1， 在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2−2x +3 与x 轴交于A ，B

两点（A 在B 的左侧）与y 轴交于C ，顶点为D ．

（1） 请直接写出点A ，C ，D 的坐标;

（2） 如图1，在x 轴上找一点E ，使得ΔCDE 的周长最小，求E 的坐标 ;

（3） 如图2，F 是直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得Δ

AFP 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在请

说明理由．

解析：本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，图形的轴对称和

动点所围等腰直角三角形的点的确定（1）问较易，（2）轴对称利用解决

和最小，先写出C 关于X 轴的对称点C 1的坐标进而求得，（3）根据A ，C

的坐标写出AC 直线的解析式，先假设存在，设点F 的坐标分3种情况讨

论：∠PAF =900 ∠AFP =900 ∠APF =900 利用等腰三角形的性质结合A ，

B 点的坐标写出点P 的坐标．

过程如下：（1）A （-3,0） ，C （0,3） ，D （-1,4）;

（2）如图1所示，C 关于X 轴的对称点C 1的坐标（0，-3），直线C 1D 的

解析式可求为y =−7x −3，令y =0解得x = −37，所以E (−3

7,0) ;

（4） 设AC 直线的解析式为y =ax +c （a ≠0），将A ， C 坐标代入得到

{0=−3a +c 3=c ,解得{a =1c =3

，所以AC 直线的解析式为y =x +3. 假设存在，设F （m ，m +3），ΔAFP 为等腰直角三角形分为三种情况．