2016年高考新课标1卷(理科数学答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 参考答案

一、选择题：

1—12：DBCBA ADCCB AB 二、填空题：

（13）2- （14）10 （15）64 （16）216000 三、解答题：

（17）解：（I ）由2cos (cos cos )C a B+b A c =得2cos (cos cos )sin C sinA B+sinB A C =，

即1cos 2C =

，又(0,)C π∈，3

C π∴=； （II ）2271

cos 22a b C ab +-==，

1sin 2ABC S ab C ==

，6ab ∴=，2213a b +=

5a b ∴+==，所以ABC ∆

的周长为5

（18）解：（I ）,AF FE AF FD ⊥⊥，F FD FE = ，⊥∴AF 平面EFDC ，

又⊂AF 平面ABEF ，所以平面⊥ABEF 平面EFDC ；

（II ）以E 为坐标原点，EF ，EB 分别为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系（如图）， 设2AF =，则1FD =，

因为二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60， 即60o

EFD FEC ∠=∠=，

易得(0,2,0)B ，(2,2,0)A

，1(2

C ，

1(0,2,0),(2,0,0),(,2EB BA BC ∴===-，

设平面EBC 与平面ABCD 的法向量分别 为1111(,,)n x y z =和2222(,,)n x y z =，则

111111111111(,,)(0,2,0)2011(,,)(,2022n EB x y z y n BC x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪

⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令11x =

，则110,3y z ==-

，1(1,0,3

n ∴=-

由222222222222(,,)(2,0,0)2011(,,)(,2,

2022

22

n BA x y z x

n BC x y z x

y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅

-=-+=

⎪⎩， 令22z =

，则22

0,x y ==，13

(0,n ∴=

12(1,0,

2)cos ,n n ⋅∴<>===， 所以二面角E -BC -A 的余弦值为．

（19）解：（I ）这100台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时的频率为分别为

15，25，15，15

， 故1台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时发生的概率分别为15，25，15，1

5

，

每台机器更换与否相互独立，16,17,18,19,20,21,22X =，

（II ）(1),(1)252252

P X 8P X 9≤=

<≤=≥，所以n 的最小值为19； （III ）若买19件时费用期望为：

404025

1)150019200(252)100019200(255)50019200(251719200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

⨯， 若买20件时费用期望为：

408025

1)100020200(252)50020200(252220200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

⨯， 所以应选用19n =．

（20）解：（I ）圆心为(1,0)A -，圆的半径为4AD =，AD AC =，

ADC ACD ∴∠=∠，又//BE AC ，ACD EBD ADC ∴∠=∠=∠， BE ED =，4EA EB AD +==．

所以点E 的轨迹是以点(1,0)A -和点(1,0)B 为焦点，以4为长轴长的椭圆，即2,1a c ==b ∴=

所以点E 的轨迹方程为：22

1(0)43

x y y +=≠． （II ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，3MN =，8PQ =， 此时四边形MPNQ 面积为12；

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，

与椭圆22

143

x y +=联立得：2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122834k x x k +=+，2122

412

34k x x k

-⋅=+，

|MN |=2212(1)34k k +=+，

直线PQ 方程为1

(1)y x k

=-

-，即10x ky +-=， 所以圆心(1,0)A -到直线PQ

的距离为d =

，PQ ∴==，

221112(1)2234MPNQ k S MN PQ k +=⋅===+四边形

=， 综上可知四边形MPNQ

面积的取值范围为．

（21）解：（I ）'()(2)2(1)(1)(2)x x x

f x e x e a x x e a =+-+-=-+

①当0a =时，()(2)x

f x x e =-，此时函数()f x 只有一个零点，不符合题意舍去；

②当0a >时，由'()01f x x >⇒>，由'

()01f x x <⇒<，

所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，

min ()(1)0f x f e ∴==-<，又(2)0f a =>，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点，

当x →-∞时，0x

e →，此时，()

f x →+∞，所以函数()f x 在(,1)-∞上只有一个零点 此时函数()f x 有两个零点．

③当02e

a -

<<时，0ln(2)1a <-<， 由'()01ln(2)f x x x a >⇒><-或，由'

()0ln(2)1f x a x <⇒-<< 所以()f x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上递增，在(ln(2),1)a -上递减，

()(1)0f x f e ∴==-<极小值，2()(ln(2))(ln(2)2)(2)(ln(2)1)0f x f a a a a a =-=---+--<极大值 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去；

④当2

e a =-时，'()(2)2(1)(1)()0x x x

f x e x e a x x e e =+-+-=--≥恒成立，

此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去；

⑤当2

e a <-时，ln(2)1a ->，由'()01ln(2)

f x x x a >⇒<>-或，由'

()01ln(2)f x x a <⇒<<-

所以()f x 在(,1)-∞和(ln(2),)a -+∞上递增，()f x 在(1,ln(2))a -上递减，

()(1)0f x f e ∴==-<极大值，因为()f x 在(1,ln(2))a -上递减，所以()=(ln(2))0f x f a -<极小值， 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去． 综上可知(0,)a ∈+∞．

（II ）由（I ）若x 1，x 2是()f x 的两个零点，则0a >，不妨令12x x <，则121x x <<

要证122x x +<，只要证122x x <-，21x >，221x ∴-<，当0a >时，()f x 在(,1)-∞上递减， 且1()0f x =，(1)0f <所以，只要证2(2)0f x -<，

222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，又22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-= 222222(2)(2)x x f x x e x e -∴-=---

令2(2),(1)x

x y xe

x e x -=--->

22'22(2)(1)x

x

x

x

x

x

e e y e

xe

e x e x e ---=-+---=-，