湖北省巴东一中高中数学 3.1.3导数的几何意义教案 新人教版选修11

§3．1．3 导数的几何意义
【学情分析】：
上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。

【教学目标】：
1.了解曲线的切线的概念
2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．
3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程
【教学重点】：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.
【教学难点】：
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入
圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一
边的直线叫切线
曲线的切线
如图，设曲线c是函数()
y f x
=的图象，点
00
(,)
P x y是曲线 c 上
一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋
近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P
处的切线为课题
引入作
铺垫. 如图，设曲线c是函数()
y f x
=的图象，点
00
(,)
P x y是曲线 c 上一点
作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于
某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处
的切线
y=f(x)
β
∆x
∆y
Q
M
P
x
O
y
切线
x
O
y
补充题目:
1．导数)(0/
x f 的本质是什么？请写数学表达式。

导数的本质是函数)(x f 在 处的
即： ２．函数)(x f 平均变化率
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。

y
)(0x f
O 0x x
3．导数)(0/x f 的几何意义是什么？导数)(0/
x f 的几何意义是
4．在函数105.69.4)(2
++-=t t t h 的图像上，（1）用图形来体现导数3.3)1(/
-=h ，
6.1)5.0(/=h 的几何意义，并用数学语言表述出来。

（2）请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t .
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。

在43,t t 附近呢？
)(x f 1）平均变化率x x f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义：
2）当0→∆x 时，观察图形变化。

h
t
O
3t
4t 0t 1t 2t
（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

）5．如图表示人体血管中的药物浓度)
(t
f
c=（单位：mL
mg/）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计8.0
,6.0
,4.0
,2.0
=
t（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。

(精确到0.1)
t0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的
瞬时变化率
（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

）
(以上几题可以让学生在课堂上完成)
6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.
(1)y=－3x+2, x＝２处（２）y＝
1
1
+
x
，x＝０处．
答案：(1)k=－１２，（２）k=－１
7．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.
解：(1)k=
x
x
x
f
x
f
x
x∆
⋅
-
∆
+
=
∆
-
∆
+
→
∆
→
∆
2
2
1
2
)
1(2
lim
)1(
)
1(
lim
4
)
2
4(
lim
)
(2
4
lim
2
=
∆
+
=
∆
∆
+
∆
=
→
∆
→
∆
x
x
x
x
x
x
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2
8.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.
解：k=
x
x
x
f
x
f
x
x∆
-
-
-
+
∆
+
-
=
∆
-
-
∆
+
-
→
∆
→
∆
1
)2
(
1
)
2
(
lim
)2
(
)
2
(
lim
2
2
4
)
4
(
lim
)
(
4
lim
2
-
=
∆
+
-
=
∆
∆
+
∆
-
=
→
∆
→
∆
x
x
x
x
x
x。