第三节曲面及其方程

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第三节曲面及其方程8-3

解设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为

x

22

y
12

z

42

116 .
3
3 9
第八章第三节
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
第八章第三节
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）
第八章第三节
9
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
10
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
11
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
12
5
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,

高数曲面方程

f ( x y , z ) 0
• 柱面如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2
2
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
2
2
2
2
z
M0
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
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M
x
O
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y
结束
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例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得可见此方程表示一个球面
表示怎样
球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5
说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
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2. P30 题3 , 10
题10 答案: 在 xOy 面上
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z
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
C
M ( x, y , z )
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2 2
2
2
O
y
故旋转曲面方程为
x

高等数学同济版第8章：第5课 Newest

o
x x
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. （椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到）
内容小结
1. 空间曲面
2
三元方程 F(x, y , z) = 0
2 2 2
• 球面 (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = R • 旋转曲面
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x +y z − 2 =1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
z
三、柱面
引例. 引例分析方程表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上，
2 2
2 2 2 2
= (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0
说明: 说明动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 定义若曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形. 图形两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, x 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

高等数学第七章：曲面及其方程

这条定直线叫旋转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲面
x
y z
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1

0

2

叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
4/21

曲面及其方程、二次曲面

例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明：旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到，即
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z），表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y），表示母线∥？，准线为？的柱面。
高等数学（下）主讲杨益民
第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年6月15日星期一
12
高等数学（下）主讲杨益民
f 线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的

第八章第3节曲面及其方程

11
旋转曲面
12
旋转曲面
13
旋转曲面
14
旋转曲面
15
旋转曲面
16
旋转曲面
17
旋转曲面
18
旋转曲面
19
旋转曲面
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线: f ( y , z ) 0 ， x 0，
2
2
z1
y 轴、//
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
( 3) y x 1.
(2) x 2 y 2 4;
51
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面圆心在(0,0) ，
y
x2 y2 2 2 1 a b z 0
y2 z2 x2 z2 2 2 1 2 2 1 . , a b c c y 0 x 0
54
(1) 椭球面
z
x y z 2 2 1 2 a b c
x
2
2
2
O
y
2、用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
(2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
球面方程可写为
x y z a .
2 2 2 2
57
(2) 椭圆抛物面

.3曲面及其方程

表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、柱面
z
引例. 分析方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• 球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 柱面如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
• 旋转曲面
如,
曲线

f ( y,z) x0

0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2

表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;

G8_3曲面方程

例6 :xoz平面上的直线
z 1 x
2 2
绕z轴旋转得旋转曲面: S : z 1 x y 是以z轴为轴,顶点(0,0,1), 半顶角 4
的圆锥面.
25
例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
分别绕 x
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
旋转曲面 . 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M ( x, y, z )
2 2 2
2 2
2
化简得
2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
2
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
2
2
b倍沿y轴方向伸缩 x y z a 2 1 2
2 2 2
a
c
z
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
y
x
46
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
x y 2 z 2 a b
把xOz面上的抛物线
2
2
x y 绕z轴旋转,得到旋转抛物面 z 2 a

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱面 4二次曲面第四节空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

第三节曲面及其方程学习资料

M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴旋转 ay22x2c2z21
旋转
椭
绕 z轴旋转 x2a2y2cz22 1
球面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )

第三节空间曲面及方程

即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:

7-3第三节曲面及其方程

学数
高等数学电子教案
以平面y=y1,(y1<b)或x=x1,(x1<a)去截椭球面,可得到类似的结果. 特例:(10)
x2 y 2 z 2 a = b, a > c.变成 2 + 2 + 2 = 1.是绕z轴旋转所得到的旋转 a a c
椭球面
(20)a=b=c,变成球面方程 x2 + y2 + z 2 = a2
( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) + ( z 2 + 2 z + 1) − 6 = 0.
( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = ( 6) 2
曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为 R = 6 的球面.
学数
一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.
学数
下面,我们举例说明.
高等数学电子教案
z s 例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. F(x,y,z)=0
y x
学数
①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.
高等数学电子教案
x 2 y + 2 b a z = z 1
学数
2 2
= 1 +
z c
2 2
它的两个半轴分别为 a c 2 + z 2 和 b c 2 + z 2 1 1 c c

第三节曲面及其方程

( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点的全体所组成的曲面方程. 解设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋转双曲面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.

曲面曲线方程

xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面圆心在(0,0) 半径为 3 的圆斜率为1的直线以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c

D83曲面方程27587

都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
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二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)

z2 c2
1
y 0
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x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)

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