高中数学《幂函数》课件
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高中数学(人教A版)必修一 2.3 幂函数 课件(40张)
2.3
幂函数
2.3 │ 三维目标 三维目标
1．知识与技能 理解幂函数的概念，会画幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x ，y＝x2的图像；结合这几个幂函数的图像，理解幂函数 图像的变化情况和性质． 2．过程与方法 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识 图能力；使学生进一步体会数形结合的思想．
2.3 │ 预习探究
知识点二 幂函数的图像与性质 1．幂函数的图像及性质 (1)所有幂函数在区间____________ (0，＋∞) 上都有定义，并且图 像都通过点______________ ． (1，1) (2)当 a>0 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间(0， 增函数 ＋∞)上是______________ ．当 a<0 时，幂函数在区间(0，＋ ∞)上是____________ 减函数 ，图像不通过原点，且在第一象限内， 当 x 从右边趋向于原点时，图像无限接近于______轴，当 x 趋向于正无穷时，图像无限接近于______ 轴． x
2.3 │ 考点类析
考点二 幂函数的图像 重点探究型 α 例 2 (1)如图 231 所示，C1，C2，C3 为幂函数 y＝x 在第 一象限内的图像，则解析式中的指数 α 依次可以取( )
2.3 │ 教学建议 教学建议
对于幂函数定义的教学，建议通过实际问题，引导学生 自己归纳这些函数所具有的共同特征，概括出它们的共性， 获得幂函数的定义． 对于幂函数的基本性质的教学，建议通过画出学生熟悉 的几个幂函数图像，让学生认真观察图像，引导学生类比前 面研究指、对数函数的思想、方法，自己尝试归纳几个幂函 数的基本性质．
幂函数
2.3 │ 三维目标 三维目标
1．知识与技能 理解幂函数的概念，会画幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x ，y＝x2的图像；结合这几个幂函数的图像，理解幂函数 图像的变化情况和性质． 2．过程与方法 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识 图能力；使学生进一步体会数形结合的思想．
2.3 │ 预习探究
知识点二 幂函数的图像与性质 1．幂函数的图像及性质 (1)所有幂函数在区间____________ (0，＋∞) 上都有定义，并且图 像都通过点______________ ． (1，1) (2)当 a>0 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间(0， 增函数 ＋∞)上是______________ ．当 a<0 时，幂函数在区间(0，＋ ∞)上是____________ 减函数 ，图像不通过原点，且在第一象限内， 当 x 从右边趋向于原点时，图像无限接近于______轴，当 x 趋向于正无穷时，图像无限接近于______ 轴． x
2.3 │ 考点类析
考点二 幂函数的图像 重点探究型 α 例 2 (1)如图 231 所示，C1，C2，C3 为幂函数 y＝x 在第 一象限内的图像，则解析式中的指数 α 依次可以取( )
2.3 │ 教学建议 教学建议
对于幂函数定义的教学，建议通过实际问题，引导学生 自己归纳这些函数所具有的共同特征，概括出它们的共性， 获得幂函数的定义． 对于幂函数的基本性质的教学，建议通过画出学生熟悉 的几个幂函数图像，让学生认真观察图像，引导学生类比前 面研究指、对数函数的思想、方法，自己尝试归纳几个幂函 数的基本性质．
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
幂函数
复习引入
我们知道： N ab
1如 . 果a一定， N随b的变化而变化， 我们建立了指数函y 数ax; 2.如果a一定， b随N的变化而变化， 我们建立了对数y函l数 oga： x。
设想：如果b一定，N随a的变化而变化， 是不是也应该可以确定一个函数呢？
我们先来看看以下几个简单的生活事例：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
需要支付P = _w__元___
p是 w的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
s是a的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
长 a _S _2 __
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且 x1< x2 ；
复习引入
我们知道： N ab
1如 . 果a一定， N随b的变化而变化， 我们建立了指数函y 数ax; 2.如果a一定， b随N的变化而变化， 我们建立了对数y函l数 oga： x。
设想：如果b一定，N随a的变化而变化， 是不是也应该可以确定一个函数呢？
我们先来看看以下几个简单的生活事例：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
需要支付P = _w__元___
p是 w的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
s是a的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
长 a _S _2 __
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且 x1< x2 ；
人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件
4．已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3 是定义域为 R 的幂函数，
求 m，n 的值． 解：由题意得mm22＋ －21m>0－，2＝1，
2n－3＝0， m＝－3， 解得n＝32，
所以 m＝－3，n＝32.
本部分内容讲解结束
比较幂值大小的方法 (1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小． (2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与 0 比较大小， 若都大于 0，再与 1 比较，直到比较出所有数的大小，若中介 值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数 的大小．
角度二 解不等式
若(3－2m)12＞(m＋1)12，求实数 m 的取值范围．
问题导学 预习教材 P89－P91，并思考以下问题： 1．幂函数的定义是什么？ 2．幂函数的解析式有什么特点？ 3．幂函数的图象有什么特点？ 4．幂函数的性质有哪些？
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝__x_α__叫做幂函数，其中___x __是自变量，__α___
是常数． ■名师点拨
Biblioteka Baidu
幂函数的特征
1．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则实数 a 的值为( )
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：选 C.因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a－1＝ 1，即 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1.
高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件
答案：B
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，
则a，b，c，d的大小关系是
()
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c 解析：令 a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在
第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以
【对点练清】
已知幂函数 f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R )为偶函数．
(1)求 f12的值； (2)若 f(2a＋1)＝f(a)，求实数 a 的值． 解：(1)函数 f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R )为幂函数，
∴m2－5m＋7＝1，解得 m＝2 或 m＝3. 当 m＝2 时，f(x)＝x－3，不是偶函数，舍去； 当 m＝3 时，f(x)＝x－4，为偶函数，满足题意． ∴f(x)＝x－4，∴f12＝12－4＝1214＝16.
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是幂函数， 则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1， 又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＝－2. (2)由(1)知，f(x)＝x－2， 则f(x)的大致图象如图所示．
a＞b＞c＞d.故选 B. 答案：B
题型三 利用幂函数的单调性比较大小 [探究发现] 幂函数y＝xa的单调性如何判断？ 提示：(1)幂函数y＝xa 的单调性主要通过a的正负判断，并且在第一象限内单
高中数学必修一幂函数ppt课件
详细描述
首先需要了解幂函数的基本概念和数学表达，包括幂函数的定义、幂的运算 规则和幂函数的性质等。
幂函数的图像与性质
总结词
图像描绘、性质解析
详细描述
通过图像的描绘，深入解析幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等方面 。
幂函数的应用与实例
总结词
实际应用、案例展示
详细描述
介绍幂函数在实际生活中的应用和案例，包括物理、工程、经济等领域的应 用，以便学生了解其意义和价值。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
收益预测
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
首先需要了解幂函数的基本概念和数学表达，包括幂函数的定义、幂的运算 规则和幂函数的性质等。
幂函数的图像与性质
总结词
图像描绘、性质解析
详细描述
通过图像的描绘，深入解析幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等方面 。
幂函数的应用与实例
总结词
实际应用、案例展示
详细描述
介绍幂函数在实际生活中的应用和案例，包括物理、工程、经济等领域的应 用，以便学生了解其意义和价值。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
收益预测
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
高中数学课件-幂函数
课前读: 不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
① ax2+bx+c>0在R上恒成立
a 0 b2 4ac
0
或ac
b 0
0
② ax2+bx+c<0在R上恒成立
a 0 b2 4ac
0
或ac
b 0
0
③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
b 2a
m
或
m
≤
b 2a
≤
n
或
b 2a
n
f (m) 0 b2 4ac 0 f (n) 0
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,
n]
上恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
f(x)max<0(x∈[m, n])
幂函数的图像与性质
知识点梳理
1．幂函数的概念 一般地，我们把形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
1
1
22 1.83.
2
2
2 2
(4)4.15 15 1;0 3.8 3 3 1;
3
3
2
① ax2+bx+c>0在R上恒成立
a 0 b2 4ac
0
或ac
b 0
0
② ax2+bx+c<0在R上恒成立
a 0 b2 4ac
0
或ac
b 0
0
③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
b 2a
m
或
m
≤
b 2a
≤
n
或
b 2a
n
f (m) 0 b2 4ac 0 f (n) 0
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,
n]
上恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
f(x)max<0(x∈[m, n])
幂函数的图像与性质
知识点梳理
1．幂函数的概念 一般地，我们把形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
1
1
22 1.83.
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2 2
(4)4.15 15 1;0 3.8 3 3 1;
3
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2
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
2019/8/11
最新中小学教学课件
16
1
1
1.32 1.42
比较幂值的大小时利用相应函数单调性, 若指数相同转化为幂函数， 底数相同时转化为指数函数.
达 标 练习
1、幂函数 y f (x) 过点 (2, 2) ，求 f (25) = 5 .
2、比较下列数值大小 :
< (3.14)2 _____ 2
<1
1
(3.14)2 ____ 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
新课标人教版必修一幂函数课件(共11张PPT)
随 的不同而不同。
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
2:幂函数与指数函数的对比
式子
指数函数: y=a
x
a
底数 指数
名称 x 指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= x a
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
3:幂函数的性质: 幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中a的不同而各异.
m 3
则满足：(a 1) _________.
m 3
(3 2a)
的
a的取值范围是
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
小结：
1、幂函数的定义 及图象特征? a<0,在(0,+∞)上为减函数 2、幂函数的性质 3、思想与方法
图象过定点(1,1)
a>0,在(0,+∞)上为增函数;
其它象限的图像可由函数 奇偶性对称作出
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是________Βιβλιοθήκη Baidu.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
高中数学人教版必修一 3.5幂函数的定义和性质(共19张PPT)
3.5 幂函数
一、实例探究
1、如果小红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需
要付的钱数y是 y x
2、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y为
y x2
3、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y为
y x3
4、如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长y为
1
y x2
5、如果小兰在x秒内骑车行进了1km，那么她骑车的速
度y是
y x1
二、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = xα 叫做幂函数，
其中 x 是自变量，α 是常数。
下列哪些是幂函数？(2)(5)
(1) y 0.2x ; (4) y x x;
(2) y 1 ; x
(5) y x0;
1
(3) y 3x 5;
(6) y 1
二、基础知识讲解
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
(1) y x
1
(4) y x 2
(2) y x2 (5) y x1
(3) y x3
二、基础知识讲解
y
yx
O
定义域：____R________ 值 域：____R________ 奇偶性：___奇__函__数_________ 单调性：__在__R__上__是__增___函__数__
一、实例探究
1、如果小红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需
要付的钱数y是 y x
2、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y为
y x2
3、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y为
y x3
4、如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长y为
1
y x2
5、如果小兰在x秒内骑车行进了1km，那么她骑车的速
度y是
y x1
二、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = xα 叫做幂函数，
其中 x 是自变量，α 是常数。
下列哪些是幂函数？(2)(5)
(1) y 0.2x ; (4) y x x;
(2) y 1 ; x
(5) y x0;
1
(3) y 3x 5;
(6) y 1
二、基础知识讲解
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
(1) y x
1
(4) y x 2
(2) y x2 (5) y x1
(3) y x3
二、基础知识讲解
y
yx
O
定义域：____R________ 值 域：____R________ 奇偶性：___奇__函__数_________ 单调性：__在__R__上__是__增___函__数__
人教版高中数学必修一课件：2.3幂函数 (共24张PPT)
1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内
(-2,4)
4
y= x 3
(2,4) y= x 2
3
y=x y= x
2
1 2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1) y= x -1
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
在第一象限内， a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数. 幂函数的图象都通过点(1,1) a>0时,图象还都过点(0,0) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
练习
1） 2） 3）
1 .3
5 .1
0 .5
＜ 1 .5 0 .5
5 .0 9
2
2
＜
1
1
0 .5 4
2 3
＞ 0 .4 4 ＞ 0 .8
2 3
4）
0 .7
练习： 例 3
若
m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则 求 m的 取 值 范 围 .
1 2
解 :
幂 函 数 f (x) x
α>1
0<α<1
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
∴f(x)=x2.∴f
答案:
=
= .
的值等于
4.比较下列各组中两个数的大小:
(1)
(2)
,
-
,
;
-
.
解:(1)∵函数 y=x7 在区间(0,+∞)内单调递增,
又 > ,∴
>
.
(2)∵函数 y=x-2 在区间(0,+∞)内单调递减,
又 > ,∴
-
<
-
.
或 a+1>3-2a>0 或
- >
3-2a<a+1<0,解得 a<-1 或 <a< .
故实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪
,
.
防范措施
此类问题必须在各个单调区间内分别进行求解,也可以结合
函数的图象来求解.
【变式训练】 已知幂函数 f(x)=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴
是(
,
,则幂函数
y=f(x)的图象
高中数学必修一课件 3.3 幂 函 数
第三章 函数的概念和性质
3．3 幂 函 数
新课程标准 通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝ x， y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的性质.
知识点一 幂函数的概念
(一)教材梳理填空 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是
常数．
(二)基本知能小试
2．若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系 中的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
解析：令 a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给
的形式相符合．在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，
)
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内
y 随 x 的增大而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是
()
解析：函数 y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 故选 D. 答案：D
3．设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 的所有
Baidu Nhomakorabea
值域 _R__ [0，＋∞) _R__ _[0_，__＋___∞__) {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇 函数
3．3 幂 函 数
新课程标准 通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝ x， y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的性质.
知识点一 幂函数的概念
(一)教材梳理填空 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是
常数．
(二)基本知能小试
2．若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系 中的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
解析：令 a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给
的形式相符合．在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，
)
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内
y 随 x 的增大而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是
()
解析：函数 y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 故选 D. 答案：D
3．设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 的所有
Baidu Nhomakorabea
值域 _R__ [0，＋∞) _R__ _[0_，__＋___∞__) {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇 函数
新教材人教版高中数学必修第一册 3-3 幂函数 教学课件
中，是幂函数的是（
④ ）①⑤⑥
【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数. 选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项
选项④同理.
第五页，共二十九页。
2 幂函数的特征
第六页，共二十九页。
2 幂函数的特征 【1】 的系数为1
【2】 的底数为自变量 【3】 的指数为常数
只有同时满足这三个条件的，才 是幂函数.形如 等的函数不是幂函数.
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
判断一个函数是不是幂 函数的依据是该函数是否为
( 为常数)的形式.反
过来，若一个函数为幂函数，那 么它也一定具有这个形式.在我们 解决某些问题的时候这个结论有
奇效.
第七页，共二十九页。
2 幂函数的特征
【1】已知幂函数
的图像经过点
【解】由题意设函数的表达式为
把点
代入，得：
所以这个函数的表达式为
，求这个函数的表达式.
即
，所以
和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点 的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
高中数学必修一课件：幂函数
因为函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，所以 函数f(x)＝x－3是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数，其大致图象如 图．
题型三 利用幂函数的性质比较大小
例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)2512与1312；(2)－23－1与－35－1.
1 x
是两个幂函数和的形式，也不是幂函
数．y＝x12＝x－2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式．故选C.
(2)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2， 2)，则f(25)的值是___5_____．
【解析】 设f(x)＝xα，∵其图象过点(2， 2)，∴ 2＝2α，∴α＝12，即f(x)
1 ＝x2，∴f(25)＝5.
1．如何判断一个函数是幂函数？ 答：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
2．通过对要点2的5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？ 哪个象限一定没有幂函数的图象？
答：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
课时学案
题型一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数中是幂函数的是( C )
1 2
，则α＝－1，f(x)＝x－1，所以函数f(x)的单调递减区间
是(－∞，0)，(0，＋∞)．
6．已知a＝413，b＝1212，c＝(－8)13，则a，b，c的大小关系为__c_<_b_<_a __． 解析 413>113＝1，0<1212<112＝1，(－8)13<0，所以c<b<a.
题型三 利用幂函数的性质比较大小
例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)2512与1312；(2)－23－1与－35－1.
1 x
是两个幂函数和的形式，也不是幂函
数．y＝x12＝x－2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式．故选C.
(2)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2， 2)，则f(25)的值是___5_____．
【解析】 设f(x)＝xα，∵其图象过点(2， 2)，∴ 2＝2α，∴α＝12，即f(x)
1 ＝x2，∴f(25)＝5.
1．如何判断一个函数是幂函数？ 答：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
2．通过对要点2的5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？ 哪个象限一定没有幂函数的图象？
答：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
课时学案
题型一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数中是幂函数的是( C )
1 2
，则α＝－1，f(x)＝x－1，所以函数f(x)的单调递减区间
是(－∞，0)，(0，＋∞)．
6．已知a＝413，b＝1212，c＝(－8)13，则a，b，c的大小关系为__c_<_b_<_a __． 解析 413>113＝1，0<1212<112＝1，(－8)13<0，所以c<b<a.
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1
第一象限内的图象为 C4，y＝x 3 在第一象限内的图象为 C2， y＝x－12 在第一象限内的图象为 C3.
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数学 ·必修1
拓展提升 幂函数图象的特征
(1)在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，各幂函数图象对 应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线 x＝1 的左侧， 指数也呈逆时针增大．
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(2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0； 故 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y＝x－3 或 y＝x0，它们的定义 域都是{x|x≠0}．
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m2＋2m－2＝1，
(2)由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
所以 m＝－3，n＝32.
解得mn＝＝32－，3，
20
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探究2 幂函数的图象及应用
例2
幂函数
y＝x2，y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x－12
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12
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随堂达标自测
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数学 ·必修1
(2)幂函数与指数函数的区别
13
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探究1 幂函数的定义
例 1 (1)在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1， ⑤y＝2x2，⑥y＝x－12 中，是幂函数的是( )
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2．做一做 (1)若 y＝mxα 是幂函数，则 m＝___1_____. (2)(教材改编 P79T1)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点 (2,8)，则 f(－2)＝___－__8___. (3)若 y＝axa 是幂函数，则该函数的值域是 _(_－__∞__，__＋__∞__)_．
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拓展提升 判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝ xα(α 为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自 变量；(3)系数为 1.
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A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥
D．①②④⑤⑥
(2)已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的
解析式，并指出其定义域．
答案 (2)见解析
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解析 (1)幂函数是形如 y＝xα(α 为常数)的函数，①是 α ＝－1 的情形，②是 α＝2 的情形，⑥是 α＝－12的情形，所 以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中 x2 的系数是 2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所 以只有①②⑥是幂函数．
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它们的性质如下表．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x3＋2 是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( × ) (3)指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域为 R，与底数 a 无关，幂函数 y＝xα 的定义域为 R，与指数也无关．( × )
别
幂函数 □2 y＝xα 的底数为自变量，指数是常数 ；指
数函数正好相反，指数函数
□3 y＝ax 中，底数是常数，指数是自变量
．
3
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3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝x
1 2
，y＝x－1
的图象(如图)．
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．3 幂函数
1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1.幂函数的定义
□1 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数
．
2．幂函数 y＝xα 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的区
解析 (1)∵y＝x12＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2 由于出 现系数 2，因此不是幂函数；y＝x2＋x 是两项和的形式，不 是幂函数；从 y＝1＝x0(x≠0)可以看出，常函数 y＝1 的图象 比幂函数 y＝x0 的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y＝1 不是幂函数．
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【跟踪训练 1】 (1)在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x， y＝1 中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
1
(2)已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1 ＋2n－3 是幂函数，求 m， n 的值．
答案 (2)见解析
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在第一象
限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4
B．C1，C3，C2，C4
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
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解析 由于在第一象限内直线 x＝1 的右侧，幂函数 y ＝xα 的图象从上到下相应的指数 α 由大变小，即幂函数图象 在第一象限内直线 x＝1 右侧的“高低”关系是“指大图 高”，故幂函数 y＝x2 在第一象限内的图象为 C1，y＝x－1 在
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『释疑解难』 (1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：
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第一象限内的图象为 C4，y＝x 3 在第一象限内的图象为 C2， y＝x－12 在第一象限内的图象为 C3.
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拓展提升 幂函数图象的特征
(1)在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，各幂函数图象对 应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线 x＝1 的左侧， 指数也呈逆时针增大．
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(2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0； 故 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y＝x－3 或 y＝x0，它们的定义 域都是{x|x≠0}．
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m2＋2m－2＝1，
(2)由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
所以 m＝－3，n＝32.
解得mn＝＝32－，3，
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探究2 幂函数的图象及应用
例2
幂函数
y＝x2，y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x－12
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(2)幂函数与指数函数的区别
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探究1 幂函数的定义
例 1 (1)在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1， ⑤y＝2x2，⑥y＝x－12 中，是幂函数的是( )
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2．做一做 (1)若 y＝mxα 是幂函数，则 m＝___1_____. (2)(教材改编 P79T1)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点 (2,8)，则 f(－2)＝___－__8___. (3)若 y＝axa 是幂函数，则该函数的值域是 _(_－__∞__，__＋__∞__)_．
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拓展提升 判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝ xα(α 为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自 变量；(3)系数为 1.
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A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥
D．①②④⑤⑥
(2)已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的
解析式，并指出其定义域．
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解析 (1)幂函数是形如 y＝xα(α 为常数)的函数，①是 α ＝－1 的情形，②是 α＝2 的情形，⑥是 α＝－12的情形，所 以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中 x2 的系数是 2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所 以只有①②⑥是幂函数．
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它们的性质如下表．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x3＋2 是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( × ) (3)指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域为 R，与底数 a 无关，幂函数 y＝xα 的定义域为 R，与指数也无关．( × )
别
幂函数 □2 y＝xα 的底数为自变量，指数是常数 ；指
数函数正好相反，指数函数
□3 y＝ax 中，底数是常数，指数是自变量
．
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3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝x
1 2
，y＝x－1
的图象(如图)．
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2．3 幂函数
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1.幂函数的定义
□1 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数
．
2．幂函数 y＝xα 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的区
解析 (1)∵y＝x12＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2 由于出 现系数 2，因此不是幂函数；y＝x2＋x 是两项和的形式，不 是幂函数；从 y＝1＝x0(x≠0)可以看出，常函数 y＝1 的图象 比幂函数 y＝x0 的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y＝1 不是幂函数．
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【跟踪训练 1】 (1)在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x， y＝1 中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
1
(2)已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1 ＋2n－3 是幂函数，求 m， n 的值．
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在第一象
限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4
B．C1，C3，C2，C4
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
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解析 由于在第一象限内直线 x＝1 的右侧，幂函数 y ＝xα 的图象从上到下相应的指数 α 由大变小，即幂函数图象 在第一象限内直线 x＝1 右侧的“高低”关系是“指大图 高”，故幂函数 y＝x2 在第一象限内的图象为 C1，y＝x－1 在
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