高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理目标导引素材新人教A版4-1!
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课前导引素材新人教A版4-1!
第一节平行线等分线段定理
课前导引
情景导入
假若你手中有一把无刻度直尺和一副圆规,你能把一条线段三等分、五等分、七等分吗?你当然熟悉三角形、梯形的中位线定理,但它们的逆命题是否仍旧成立呢?这些都离不开本节定理――平行线等分线段定理.
知识预览
1.平行线等分线段定理.
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.两个推论:
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰.
说明:(1)本节重点为平行线等分线段定理及其两个推论.两个推论是“定理”的特殊情况.
(2)猜想和证明是探究问题的两个必不可少的方法,只有猜想,得到的结论是不可靠的,必须通过严格的数学证明才能得到正确的、具有一般意义的结论.
(3)证明应从语言、图形、符号三个方面有机结合进行.
(4)猜想往往是对特例的观察和概括.
1。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理a41a高二41数学
OB=OG,即B项错误. 答案B
12/9/2021
第二十四页，共二十八页。
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
一
二
三
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
12/9/2021
第十三页，共二十八页。
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究(tànjiū)
探究
探究
一
(tànjiū)二 (tànjiū)三
点,所以BE=EC
=12BC=12AD.
12/9/2021
第十九页，共二十八页。
探究
探究
探究(tànjiū)
(tànjiū)一 (tànjiū)二
三
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
解因为四边形ABCD是平行四边形, 所以OA=OC,BC=AD.
2
3
4
5
2.
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10 cm,E为AB的中点,点F在DC上,且 EF∥AD,则EF的长为( )
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1-精品平行线等分线段定理练习新人教A版选修4-精品
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1-精品平行线等分线段定理练习新人教A版选修4-精品2020-12-12【关键字】提升、基础、能力、巩固A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为( )①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1 B．2 C．3 D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝( )A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB ∥l ∥CD ∥EF ，AO ＝OD ＝DF ， 知BO ＝OC ＝CE .又BC ＝6，所以CE ＝3，故BE ＝9. 答案：A4．如图所示，在△ABC 中，DE 是中位线，△ABC 的周长是16 cm ，其中DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，则△ADE 的周长是( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．10 cm解析：因为DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，DE 为中位线， 所以AB ＝16－4－6＝6(cm)，所以AE ＝3 cm. 所以△ADE 周长为8 cm. 答案：C5．如图，AD 是△ABC 的高，DC ＝13BD ，M ，N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于E ，NF⊥BC 于F ，则FC ＝( )A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ， 所以NF ∥ME ∥AD ， 因为AM ＝MN ＝NB ， 所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF ＝FE ＝ED ＝DC ， 所以FC ＝34BC .答案：C二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD ＝20 cm ，则EF ＝________．解析：E 为AB 中点，EF ∥BD ， 则AF ＝FD ＝12AD ，即AF ＝FD ＝CD .又EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以四边形EFDG 为平行四边形，FD ＝5 cm.所以AC ＝AF ＋FD ＋CD ＝15 cm. 因为EF ＝12BD ，所以EF ＝10 cm.答案：15 cm 10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥A B ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别是线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析：连接DE ，由于点E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，所以四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，点F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案：a2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点．求证：AG ＝GH ＝HC .证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD 綊BC ，又因为ED ＝12AD ，BF ＝12BC ，所以ED 綊BF ，所以四边形EBFD 是平行四边形， 所以BE ∥FD .在△AHD 中，因为EG ∥DH ，E 是AD 的中点，所以AG ＝GH ，同理在△GBC 中，GH ＝HC ， 所以AG ＝GH ＝HC .9.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F .若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm ，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM 、CN ，则四边形DMNC 为矩形．因为EG 是梯形ABCD 的中位线， 所以EG ∥DC ∥AB . 所以点F 是AC 的中点． 所以DC ＝2EF ＝8 cm ，AB ＝2FG ＝20 cm ， MN ＝DC ＝8 cm.在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ， 所以△ADM ≌△BCN .所以AM ＝BN ＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝63(cm)． 所以S 梯形＝EG ·DM ＝(4＋10)×63＝843(cm 2)．B 级 能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ， 所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ， 所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线． 所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半． 所以S 梯形ABCD ＝4S △GEF ＝4×22＝82(cm 2)． 答案：8 2 cm 23.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∠B ＝ 60°，AB ＝BC ，E 为AB 的中点，求证△ECD 为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是A B边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理课堂探究新人教A版选修4-1
一平行线等分线段定理课堂探究探究一任意等分已知线段将已知线段AB分成n等份的步骤：(1)作射线AC(与AB不共线)；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D n－1D n；(3)连接D n B；(4)分别过点D1，D2，D3，…，D n－2，D n－1作D n B的平行线，分别交AB于点A1，A2，…，A n－2，A n－1，则点A1，A2，…，A n－2，A n－1将线段AB分成n等份．【典型例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明．思路分析：利用平行线等分线段定理来作图．解：(1)作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；(3)连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．证明：过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．规律小结本题是利用平行线等分线段定理求已知线段的等分点，在等分已知线段时注意这类方法的运用．探究二证明线段相等平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时，要先构造线段的中点．【典型例题2】在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.思路分析：根据条件先证四边形BEDF是平行四边形，得出BF∥DE.再过A，C分别作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE，利用平行线等分线段定理即可得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC边，AD的中点，∴BE DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF∥DE.分别过A，C作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE.∵a∥BF∥DE，AF＝FD，∴AP＝PQ.又∵b∥DE∥BF，CE＝EB，∴PQ＝QC，∴AP＝PQ＝QC.点评本题在证出BF∥DE后利用平行线等分线段定理，也可用推论1来证明．探究三三角形中位线性质的应用如果已知条件中出现了中点，往往利用三角形中位线的性质解决问题，辅助线在几何证明中起着非常重要的作用，而作不同的辅助线，可以得到不同的解题思路．【典型例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF.思路分析：过A作BC的平行线，交DC于点G，利用平行四边形的性质，可得AG＝BC，只需再利用三角形中位线证AG＝2EF即可．证明：过A作BC的平行线，交DC于点G.因为AB∥DC，AG∥BC，所以四边形ABCG为平行四边形．所以BC＝AG.又EF∥BC，所以EF∥AG.又E为AD的中点，所以F为DG的中点．所以AG＝2EF，即BC＝2EF.方法技巧本题也可以用平行线等分线段定理来证明．探究四易错辨析易错点：构建平行线的方式不合理【典型例题4】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD 的延长线分别与EF的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.错解：连接BD，过F作FG∥AB交BD于G.过E作EG∥CD交BD于G.∵GF∥BM，GE∥CD，且E，F分别为BC，AD的中点，又∵AB＝CD，∴GF＝GE.∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.又∵GE∥CN，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠BME＝∠CNE.错因分析：在证明过程中没有说明FG∥AB与EG∥CD的点G是同一个点，不够严谨，导致出错．正解：连接BD，取BD的中点G，连接GE，GF.在△ABD 中，∵G ，F 分别是BD ，DA 的中点，∴GF ＝12AB ，GF ∥BM . 同理可证：GE ＝12CD ，GE ∥CN . ∵AB ＝CD ，∴GF ＝GE ，∴∠GEF ＝∠GFE .∵GF ∥BM ，∴∠GFE ＝∠BME .∵GE ∥CN ，∴∠GEF ＝∠CNE .∴∠BME ＝∠CNE .。
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲综述素材 新人教A版选修41
第一讲相似三角形的判定及有关性质
本讲综述
在本讲中主要学习平行线分线段成比例定理及其推论，相似三角形、相似比等概念，相似三角形的判定定理和性质定理，直角三角形中的射影定理等，通过这些定理的学习，把握数学中的转化思想，提高逻辑思维能力.
本讲的重点是相似三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形中的射影定理，难点是证明相似三角形时如何寻求相似的条件，利用射影定理探讨线段之间的关系.
在本讲的探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序模式.通过具体问题的解决，训练自己的逻辑推理技能，提高逻辑思维能力，进一步形成对数学的浓厚兴趣，发展对数学的深层认识.
学习本讲内容之前，需要回顾平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质，通过类比，理解平行线分线段成比例定理及其推论，理解相似三角形的判定定理和性质定理，事实上，全等是相似比为1的相似.
学习好本讲的关键是在三角形中寻找相似的条件，通常先找两个角对应相等，再找一个角对应相等，夹这个角的两边对应成比例；或找三边对应成比例.
学习本讲可以采用类比的方法，将相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质对比，这将有助于知识的理解与记忆.从特殊到一般的思考方法及化归的思想方法是本讲研究数学问题的重要方法，学习中要注意体会.
学习本讲时应注意特别强调证明，从问题的特殊性发现一般性结论后，必须对结论进行严格的证明，在证明过程中形成逻辑推理技能，提高逻辑思维能力；在发现和证明问题的过程中提高解决问题的能力.
1。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理课件新人教A版选修4-1
[再练一题] 1．如图 1-1-3，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于 F.求证：AF＝13AC. 【证明】 过 D 作 DH∥BF，交 AC 于 H. ∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理 AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH， ∴AF＝13AC.
的线段也__相__等__．
2．图形语言
如图 1-1-1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A，B，
C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则__A_1_B_1_＝__B_1_C_1_.
图 1-1-1
教材整理 2 平行线等分线段定理的推论 阅读教材 P4～P5“习题”以上部分，完成下列问题． 1．推论 1 经过三角形一边的__中__点__与另一边平行的直线必_平__分___第三边． 2．推论 2 经过梯形一腰的_中__点___，且与底边__平__行__的直线_平__分___另一腰．
图 1-1-3
平行线等分线段定理推论 2 的应用
如图 1-1-4 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E 为 AB 的中点．求证： △ECD 为等边三角形．
【精彩点拨】 过 E 作 EF∥BC，先证明 EC＝ED， 再连接 AC，证明∠BCE＝30°，从而∠ECD＝60°.
【精彩点拨】 AF＝FC， GF∥EC → AG＝GE →
△BDG≌△CDE → AGቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2DE
图 1-1-2
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定 理来解决问题．
2．本例在证明 DG＝DE 时也可以过 D 作 EC 的平行线 DH. 因为 BG∥DH∥CE 且 BD＝CD 得 DG＝DE，使用平行线等 分线段定理来证明．
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理教材梳理素材新人教A版4-1!
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a∥b∥c,则EFDEBC AB =.图1-2-13.定理的证明：若BCAB是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多. 知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFECA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图1-2-2所示，a∥b∥c,则BCDEAC AE AB AD ==(1) （2）图1-2-23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好. 误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点. 探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF).图1-2-4 图1-2-5平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l 1∥l 2∥l 3,则EFDEBC AB =. 比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则截得的线段相等,即当EFDEBC AB ==1时,则有AB=BC,DE=EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB 、BC 、AC 的对应线段分别是DE 、EF 、DF.由平行线分线段成比例定理有DF EFAC BC DF DE AC AB DE EF AB BC ===,,.根据比例的性质,还可以得到DF AC DE AB EF BC DE AB ==,,DFACEF BC =. 为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把DFDEAC AB =说成是“上比全等于上比全”，把EFBCDE AB =说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？思路:从学过的所有涉及线段相等的结论进行总结.探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有的(或添作的)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出. 典题·热题例1如图1-2-6所示，∠A=∠E，BE AB =21，BD=8，求BC 的长.图1-2-6思路分析：要求BC ，由于BC 和BD 是对应线段，因此只要得出AC∥DE 即可. 解：∵∠A=∠E，∴AC∥DE.∴BE ABBD BC =(平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例). ∴8BC =21.∴BC=4.误区警示 在列比例式求某线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式第一项，以减少比例变形，减少错误.例2如图1-2-7所示，DE∥BC，EF∥DC，求证:AD 2=AF·AB.图1-2-7思路分析：要证AD 2=AF·AB，只要证ABADAD AF =，由于AF 、AD 、AB 在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形“A”型中立即可找到过渡比为ACAE.证明：∵DE∥BC，∴ACAEAB AD =(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例). ∵EF∥DC,∴ACAEAD AF =. ∴ABAD AD AF =,即AD 2=AF·AB. 深化升华 等积式常常转化为比例式证明，要善于从复杂图形中识别出基本图形中的公共部分(即ACAE)，它往往是构成证明中的过渡比. 例3如图1-2-8所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD=DC ，求证:AE·FB=EC·FA.图1-2-8思路分析：本题只要证FB FA EC AE =即可.由于EC AE 与FBFA没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A 作AG∥BC，交DF 于G 点.∵AG∥BD,∴FB FA =BD AG . 又∵BD=DC,∴FB FA =DC AG.∵AG∥BD,∴DC AG =ECAE.∴EC AE =FBFA ,即AE·FB=EC·FA. 变式方法 本题过点A 还有一种方式作平行线构造基本图形，过B 、C 都有两种方式作平行线构造基本图形.例4如图1-2-9，已知AD 是△ABC 的内角平分线,求证:CDBDAC AB =.图1-2-9思路分析：AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线. 证明：过点C 作CE∥AD，交BA 的延长线于点E, ∵AD∥EC,∴CDBDAE AB = 又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.∴CDBDAC AB =. 深化升华 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例.例5某同学的身高1.60米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，求这个路灯的高？图1-2-10思路分析：结合光的直线传播，建立如图1-2-10所示的三角形，根据人体与路灯杆平行将题目转化为成比例线段，代入数值可以获得结果.解：如图1-2-10，AB 表示同学的身高，CD 表示路灯的高.∵AB∥CD,∴CDABPD PB = ∴CD=2)42(6.1+⨯=⨯PB PD AB =4.8(米).答:路灯高为4.8米.例6如图1-2-11，从Rt△ABC 的两直角边AB 、AC 向三角形外作正方形ABFG 及ACDE ，CF 、BD 分别交AB 、AC 于P 、Q 点，求证:AP=AQ.图1-2-11证明：∵AB∥GF,AC∥ED， ∴BE BA ED AQ CG CA GF AP ==,,即AP=CG GF CA ∙,AQ=BEEDBA ∙. ∵CA=ED,GF=BA,CG=BE,∴AP=AQ.例7如图1-2-12，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证:KO 2=KE·KF.图1-2-12思路分析：KO 、KE 、KF 在一条直线上，要证明KO 2=KE·KF，即要证KOKFKE KO =，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO 、KE 、KF 与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK 、BA ，设它们交于H ，则图形中出现如上题所说的两个基本图形,这就不难将KOKFKE KO =进行转换而找到中间比. 证明：延长CK 、BA ，设它们交于H ，∵KO∥HB,∴KH DK HA KE DHDKHB KO ==,.∴HA KE HB KO =,即HA HBKE KO =. ∵KF∥HB,同理可得HA HB KOKF=.∴KO KF KE KO =,即KO 2=KE·KF. 深化升华 本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到KE KO 与KOKF的中间比，使问题得以突破,也可以由两个基本图形直接得到HAHBKO KF HA HB KE KO ==,.。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理预习导学案新人教A版选修4-1
一平行线等分线段定理
预习导航
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段
分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，
证明同一直线上的线段相等
点拨(1)平行线等分线段定理的条件是a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c 所截．
(2)平行线的条数还可以更多，可以推广．
(3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的．(如图)
2．推论1
证明线段相等，求线段的长度
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．推论2
证明线段相等，求线段的长度
提示：平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另
一腰”，即梯形中位线，或说成“过梯形一腰中点与底边平行的线段为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线．。
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行
一平行线等分线段定理1．理解并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形．2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算．3．会用三角形中位线定理解决问题．证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截．(2)平行线的条数还可以更多，可以推广．(3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的．(如图)【做一做1】如图所示，l1∥l2∥l3，直线a分别与l1，l2，l3相交于A，B，C，且AB＝BC，直线b分别与l1，l2，l3相交于A1，B1，C1，则有( )A．A1B1＝B1C1 B．A1B1＞B1C1C．A1B1＜B1C1 D．A1B1与B1C1的大小不确定2证明线段相等，求线段的长度三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边长的一半．【做一做2】如图所示，DE是△ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有( )A．AG＞GF B．AG＝GFC．AG＜GF D．AG与GF的大小不确定3证明线段相等，求线段的长度梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半． 【做一做3】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＋BC ＝10 cm ，E 为AB 的中点，点F 在DC 上，且EF ∥AD ，则EF 的长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．不确定 答案：1．平行线 相等 线段 B ′C ′【做一做1】A ∵l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.2．中点 平分 AC【做一做2】B ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴在△ABF 中，DG ∥BF ，又∵AD ＝DB ，∴G 平分AF ，即AG ＝GF . 3．中点 平行 CD【做一做3】A 由推论2知，EF 是梯形ABCD 的中位线，则EF ＝12(AD ＋BC )＝12×10＝5(cm)．平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析：(1)推论1：如图①，在△ABC 中，B ′为AB 的中点，过B ′作B ′C ′∥BC 交AC 于点C ′，求证：C ′是AC 的中点．证明：如图②，过A 作直线a ∥BC ， ∵BC ∥B ′C ′，∴a ∥BC ∥B ′C ′. 又∵AB ′＝BB ′，∴AC ′＝CC ′， 即C ′是AC 的中点．(2)推论2：如图③，已知在梯形ACC ′A ′中，AA ′∥CC ′，B 是AC 的中点，过B 作BB ′∥CC ′交A ′C ′于点B ′，求证：B ′是A ′C ′的中点．证明：如图④，∵AA ′∥CC ′，BB ′∥CC ′， ∴AA ′∥BB ′∥CC ′.又∵AB＝BC，∴A′B′＝B′C′，即B′是A′C′的中点．题型一任意等分已知线段【例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明．分析：利用平行线等分线段定理来作图．反思：将已知线段AB分成n等份的步骤：(1)作射线AC(与AB不共线)；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D n－1D n；(3)连接D n B；(4)分别过点D1，D2，D3，…，D n－2，D n－1作D n B的平行线，分别交AB于点A1，A2，…，A n－2，A n－1，则点A1，A2，…，A n－2，A n－1将线段AB分成n等份．题型二证明线段相等【例题2】如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点，求证：OA＝O B．分析：由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．反思：平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时要先构造线段的中点．题型三三角形中位线性质的应用【例题3】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF.分析：由于EF∥BC，联系所证明的结果是BC＝2EF，由此想到三角形中位线定理，过A 作BC的平行线即可实现．反思：(1)如果已知条件中出现中点，那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题．(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明，过E作DC的平行线即可．答案：【例题1】作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；(3)连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．证明：过点A 作MN ∥D 5B .则MN ∥D 4A 4∥D 3A 3∥D 2A 2∥D 1A 1∥D 5B ， ∵AD 1＝D 1D 2＝D 2D 3＝D 3D 4＝D 4D 5， ∴AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4B .∴点A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的线段AB 的五等分点．【例题2】证明：过O 作AB 的垂线，垂足为E ，如图所示．∵AC ⊥AB ，DB ⊥AB ， ∴OE ∥AC ∥DB .又∵O 为CD 的中点，∴E 为AB 的中点，又OE ⊥AB ， ∴△OAB 是等腰三角形，∴OA ＝OB .【例题3】证明：如图所示，过A 作BC 的平行线AG ，交DC 于点G .又AB ∥DC ，∴四边形ABCG 是平行四边形． ∴AG ＝BC ，AG ∥BC . 又EF ∥BC ，∴EF ∥AG . ∵E 为AD 的中点，∴F 是DG 的中点．∴EF ＝12AG .∴EF ＝12BC ，即BC ＝2EF .1如图，在△ABC 中，D ，E 三等分AB ，DF ∥BC ，EG ∥BC ，分别交AC 于F ，G ，若AC ＝15 cm ，则FC ＝________cm.2如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝6，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，则EF ＝__________.3如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD 的中点，求证：AM ＝BM .4如图所示，已知线段AB ，求作AB 的三等分点．5如图所示，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AD 与BC 交于点E ，EG ⊥AB ，AE ＝12ED ，F 是ED 的中点，求证：FG ＝FB ．答案：1．10 ∵DF ∥BC ，EG ∥BC ，∴DF ∥EG ∥BC . 由已知，得AD ＝DE ＝EB ，∴AF ＝FG ＝GC .又∵AC ＝15 cm ，∴FG ＝GC ＝13AC ＝5 cm.∴FC ＝FG ＋GC ＝10 cm.2．2 如图所示，过E 作GE ∥BC 交BA 于G .∵E 是DB 的中点， ∴G 是AB 的中点． 又F 是AC 的中点，∴GF ∥BC ，∴G ，E ，F 三点共线， ∴GE ＝12AD ＝1，GF ＝12BC ＝3. ∴EF ＝GF －GE ＝3－1＝2.3．证明：过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥EM ∥BC . 又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°，∴ME 垂直平分AB . ∴MA ＝MB .4．作法：如图所示，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上以任意取定的长度顺次截取AD 1＝D 1D 2＝D 2D 3； (3)连接D 3B ；(4)分别过D 1，D 2作D 3B 的平行线D 1A 1，D 2A 2，分别交AB 于A 1，A 2，则点A 1和A 2就是线段AB 的三等分点．5．分析：转化为证明△FGB 是等腰三角形．证明：过F 作FH ⊥AB 于点H ，如图所示． 则AC ∥EG ∥FH ∥BD .∵AE ＝12ED ，F 是ED 的中点，∴AE ＝EF ＝FD ， ∴AG ＝GH ＝HB .又∵FH ⊥BG ，∴△FGB 是等腰三角形， ∴FG ＝FB .。
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行
一平行线等分线段定理互动课堂重难突破一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图1-1-3定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-4图1-1-5利用本定理可将一线段分成n等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB =BC，BB′∥CC′交AC′于B′点.求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线a，分别双向延长线段BB′、CC′,得直线b、c.∵a∥b∥c，AB =BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1-6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB =BC，BB′∥CC′.求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB =BC，分别延长AA′、BB′、CC′为a、b、c,如图1-1-7.∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.图1-1-7三、刨根问底问题平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？探究:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形;或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形，它们的关系可以直观地表示,如图1-1-8:图1-1-8活学巧用【例1】如图1-1-9，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC 于点F.求证:BF =CF.图1-1-9思路解析:在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.证明:在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC，∴E是AB的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF∥AC交BC于F，∴F是BC的中点，即BF =FC.【例2】求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图1-1-10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证:ED=EC.图1-1-10思路解析:在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明:过E点作EF∥BC交DC于F,∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F 是DC 的中点(经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC =90°， ∴∠DFE =90°. ∴EF ⊥DC 于F . 又∵F 是DC 中点,∴EF 是DC 的垂直平分线.∴ED =EC (线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等). 【例3】 如图1-1-11,ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,OE ∥AB 交BC 于E ,AD =12,求BE 的长.图1-1-11思路解析:本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力. 解:∵ABCD 是平行四边形, ∴OA =OC ,BC =AD . ∵AB ∥DC ,OE ∥AB , ∴DC ∥OE ∥AB . 又∵AD =12, ∴62121====AD AB EC BE =AD 21. 【例4】已知在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AE ⊥CD 于E ，EF ∥BC 交AB 于F .求证:AF =BF .思路解析:一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺陷时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CD 于E ，恰在三角形内部，而Rt△AEC 又不好用,所以延长AE 与BC 相交就势在必行了.图1-1-12证明:延长AE 交BC 于M.∵CD 是∠ACB 的平分线，AE ⊥CD 于E ,∴在△AEC 与△MEC 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠MCD.ACD CE,EC MEC,AEC∴△AEC ≌△MEC . ∴AE =EM .∴E 是AM 的中点. 又在△ABM 中,FE ∥BC , ∴点F 是AB 边的中点. ∴AF =BF .【例5】如图,已知△ABC 中,AD 平分∠BAC,CD ⊥AD ,DE ∥BA,求证:BC =2BE .图1-1-13思路解析:要证BC =2BE ,即证E 为BC 的中点,联系已知条件DE ∥AB ,考虑平行线等分线段定理的推论,延长CD 交AB 于点F ,只要证点D 为FC 的中点即可. 证明:延长CD 交AB 于点F , ∵AD 平分∠FAC , ∴∠FAD =∠CAD. 在△AFD 和△ACD 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDA,FDA AD,AD CAD,FAD ∴△AFD≌△ACD. ∴FD =CD . 又∵DE ∥AB,∴BE =E C,即BC =2BE.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 一 平行线等分线段定理
一览众山小
学习目标
1.理解平行线等分线段定理及其推论，会推导这些结论，并能利用它们证明相关问题.
2.从平行线等分线段定理的推导过程体会从特殊到一般的思考方法.
3.领会本节知识的背景，感悟数学的方法.
学法指导
学习本节知识前，要首先回顾初中平面几何中关于平行线的知识：如平行线的传递性；两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角的数量关系；平行在平行四边形及特殊的平行四边形如菱形、矩形、正方形等中的应用等.然后回顾立体几何中平行线的性质.
学习平行线等分线段定理时，可借助于手头的有格的练习本，通过在其上画线，帮助形象地理解问题，再思考出现此种情况的原因，从而加深对定理的理解.
学习本节内容时，多借助于图形，注意对三角形与梯形的中位线的结论的推导及应用；对问题的证明，可从多角度进行思考，以获得更多的方法，提高能力.
诱学导入
材料：如图1-1-1有一块三角形的耕地，准备分给三户人家耕种，边BC 临公路，顶点A 处有一眼水井
.
图1-1-1
问题：怎样分才能使得每家的耕地面积都相等且都临公路和机井，从而便于运输和浇水？ 导入：三角形在同高的情况下，只要三等分底边就可以三等分面积，也能满足都临公路和水井的要求.。