网络讲义2-3

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烟台社科赛斯MBA辅导培训中心核心资料：词汇班讲义2-3(c-e)

70. complex adj.复杂的(结构) 71. complicated adj.复杂的(形式); *sophisticated 尖端的,高级的(sth);世故的人,精明的(sb) 72. compliment n./vt.赞美,赞扬; 73. comply comply with 和…保持一致,符合,服从 74. compose vi.组成; 整体+be composed of+材料(个体) ; be made up of +材料 *整体+consist of+ 材料 (无被动) *Seven days constitute a week. *Comprise 组成，构成(正反都可，一般不用被动） *compose a poem 作诗; compose a song 作曲; *composition 作文,成分,合成物 *compound adj.复合的;n.化合物 vt.调和,掺和,混合;
39. climax 41. clue 42. clumsy
n.高潮 n.线索; adj.笨拙的
40. cling vi.粘紧,附着,坚持;cling to/ adhere to /stick to
43. coarse adj.粗糙的，粗俗的，沙哑的; a coarse throat 沙哑的喉咙; coarse foods 粗粮
46. collaborate vi.合作 collaborate with 47. collapse vi.坍塌,崩溃He collapsed at the sad news. lapse 小错误; blunder 大错 *a lapse of the tongue/memory/pen 口误/记错/笔误 48. colleague n.同事; league 同盟; workmate 同事; deskmate 同桌 classmate ; schoolmate; 49. collide vi.相互碰撞,冲突; clash; air crash 50. combat n./v. 打斗，与…战斗 campaign 战役 51. combine vt.联合 combine A with B 52. comfort vt使舒服 comfortable 舒服的 53. command 命令 command sb to do; commander 司令; commander-in-chief 总司令

2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时排列与排列数公式

§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．答案 3 600解析不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．答案 11解析根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)．三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法．解作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。

高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案

二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除．故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。

研究生统计学讲义第2讲第3章定量资料的统计描述

3.u值在－0.46～1.23范围内的面积为Ф(1.23)－Ф(－ 0.46)=0.8907－0.3228＝0.5679，即血清蛋白含量在 72.0g/L～78.6g/L范围内的概率为56.79％。 4. 168名健康女大学生血清总蛋白含量在72.0～ 78.6g/L范围的人数为168×56.79%=95人
493 488 483 490 454 435 412 437 334 495 ……………………………………………………………………
417 500 517 503 534 546 416 520
用途：1.揭示资料的分布特征和分布类型。
2. 便于进一步计算统计指标和分析处理。 3.便于发现某些特大或特小的特异值。图像：对称、左偏、右偏。特征：集中、离散
1.正态随机变量的概率密度函数的形式为
f ( x)
1
2
e
( x ) 2 / 2 2
这个密度函数肯定不简单！是个坏消息．为求累积概率分布，需要对f (x)积分．但是不存在f (x)的不定积分．那就意味着人们不能利用微积分基本公式去计算所需要的积分．于是用一些精确值近似代替曲线下的实际面积，造出正态分布表．于是用一些精确值近似代替曲线下的实际面积，造出正态分布表．下图给出具有平均值μ和标准差σ正态密度函数图，注意它有几个特点．
3.正态分布的应用
1.很多抽样分布如 2 分布、t 分布以正态分布为基础。
2.正态分布的规律运用于区间估计和假设检验如 t 检验、方差分析及直线相关分析的计算公式等。
3.二项分布、Poisson分布、t 分布的极限分布是正态分布。
4.许多医药指标如人体的某些正常生理值都可看作和近似看作服从正态分布。医药科研中很多资料如毒物致死量、食物中毒潜伏期，剂量一效应曲线、正常成人血铅含量等，虽不服从正态分布，但经变量变换(如取对数)后则服从正态分布或近似正态分布，可按正态分布规律来处理

信号与系统讲义3-2

f (t)
1
τ
2
F( jω)
−τ 2
τ
2
t
−ω0
0
ω0
ω
已知：已知：Gτ (t) ⇔τ Sa(ωτ )
2
利用频移特性：利用频移特性： F( jω) = Sa
2
1 f (t) = Gτ (t) cosω0 t = Gτ (t)[e jω0 t + e− jω0 t ] 2 τ (ω −ω0 )τ τ (ω +ω0 )τ
ω
ω
第一个过零点不变
第3章第2讲 8
结
论
2π
τ 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，的第一个过零点频率不变，
即 ω=
τ
，∴ ∆f =
1
τ
带宽不变。
T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅由小变大，谐波频率成分丰富，度变小。度变小。 T → ∞ 时，谱线间隔 → 0 ，这时：这时：周期信号 → 非周期信号；离散频谱 → 连续频谱非周期信号；
同理： sin ω0 tε(t) = 同理：
π
1 jω0 t [e ε(t) − e− jω0 t ε(t)] 2j π ω0 sin ω0tε (t) ⇔ [δ (ω −ω0 ) −δ (ω +ω0 )] − 2 2j ω0 −ω2
第3章第2讲 24
举例
脉冲调制信号 Gτ (t)cos ω0t
2 + 2 Sa 2
一般有: 一般有:
1 f1(t) cosω0 t ⇔ [F (ω +ω0 ) + F (ω −ω0 )] 1 1 2
第3章第2讲 25
举例
指数正弦函数 e−αt cos βtε(t)

高中数学第2章概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学

2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。

2019年数学2-3讲义+第8章 8.3 正态分布曲线

8.3正态分布曲线[读教材·填要点]1．正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数p (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③p (x )在x ＝μ处达到最大值12πσ； ④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑤当μ一定时，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； ⑥曲线与x 轴之间所夹的面积等于1. 2．标准正态分布随机变量X 为服务从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．特别当μ＝0，σ2＝1时称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x )＝12πe －x 22(－∞<x <＋∞)，其图象如图所示，简记为X ～N (0,1)，其分布函数记为Φ(x )．(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝68.3%； P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝95.4%；P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝99.7%.[小问题·大思维]1．正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E (X )去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差D (X )去估计．2．如何由正态曲线求随机变量X 在(a ，b ]的概率值？提示：随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈⎠⎛a bφμ，σ(x )d x ，即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率近似值，如图所示．3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示．则μ1与μ2，σ1与σ2的大小关系是什么？提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．故μ1<μ2，σ1<σ2.也可通过比较两图象的最高点来判断，⎝⎛⎭⎫μ1，1σ12π和⎝⎛⎭⎫μ2，1σ22π，显然有μ1<μ2，1σ22π>1σ22π， ∴σ1<σ2.[例1] (由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析]由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.[答案] A利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是142π，所以12π·σ＝142π，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝142π·e－x232，x∈(－∞，＋∞)．[例2]设(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3<X≤－1)，所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ), P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，则P(X<b)＝1－P(b<X<2μ－b)2.2．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________. 解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.答案：0.363．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)．∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5.[例3](1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X≤－2.1)．[解](1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.要求随机变量X在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及特殊概率的值进行转化求值即可．4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，求P(－2≤X≤2)．解：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.5．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，求P(X≤4)．解：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[尝试] [巧思] 要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外．若该零件的外直径在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的．[妙解] 由于圆柱形零件的外直径ε～N (4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间 (4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026，而5.7∉(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．1．正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝18πe －x 28，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2解析：选C 由条件可知μ＝0，σ＝2.2．右图是当X 取三个不同值X 1，X 2，X 3的三种正态曲线N (0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：选D 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12π·e －x 22.在x ＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.3．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X ＜4)＝0.8，则P (0＜X ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2解析：选C 正态曲线关于x ＝2对称，P (X ＜4)＝0.8， ∴P (X >4)＝0.2，而P (X >4)＝P (X <0)，又P (X ＜2)＝0.5，∴P (0<X <2)＝P (X <2)－P (X <0)＝0.5－0.2＝0.3. 4．若随机变量x ～N (μ，σ2)，则P (x ≤μ)＝________.解析：由于随机变量x ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x ＝μ对称，故P (x ≤μ)＝12. 答案：125．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X ≤8)＝0.3，则P (X <0)＝________. 解析：∵P (4<X ≤8)＝0.3，∴P (0≤X <4)＝0.3. ∴P (X <0)＝1－0.3－0.32＝0.2. 答案：0.26．已知X ～N (1,4)，求X 落在(－∞，3)内的概率．解：由题意知μ＝1，σ＝2，∴P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)＝68.3%. 由正态曲线的对称性，可知 P (X >3)＝12×(1－0.683)＝0.158 5，∴在(－∞，3)内取值的概率为 1－0.158 5＝0.841 5.一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8B ．0.158 7C．0.158 6 D．0.158 5 解析：选B正态曲线关于μ＝3对称，P(X>4)＝1－0.682 62＝0.158 7.2．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－aC．2a D．1－2a解析：选B因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a.3．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于()A．2 B．10C. 2 D．可以是任意实数解析：选A由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2，∴k＝2.4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：选B由正态分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.682 6，P(－6<ξ<6)＝0.954 4，故P(3<ξ<6)＝P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.二、填空题5．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人．解析：设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80,102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.683.所以在80分到90分之间的人数为48 000×12×0.683＝16 392(人)．答案：16 3926.右图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：① ② ③7．若随机变量X 服从正态分布N (0,1)，已知P (X ＜－1.96)＝0.025，则P (|X |＜1.96)＝________.解析：由随机变量X 服从正态分布N (0,1)，得P (X ＜1.96)＝1－P (X ≤－1.96)．所以P (|X |＜1.96)＝P (－1.96＜X ＜1.96) ＝P (X ＜1.96)－P (X ≤－1.96) ＝1－2P (X ≤－1.96) ＝1－2×0.025 ＝0.950. 答案：0.9508．若随机变量X 的正态分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π×e －(x ＋2)28 (x ∈R)，则E (2X－1)＝________.解析：由题知σ＝2，μ＝－2，故E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案：－5 三、解答题9．工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N ⎝⎛⎭⎫4，19，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：∵X ～N ⎝⎛⎭⎫4，19，∴μ＝4，σ＝13. ∴不属于区间(3,5)的概率为 P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－99.7%＝0.3%.∴1 000×0.003＝3(个)．即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．10．若随机变量X～N(0,1)，查表求：(1)P(0<X≤2.31)；(2)P(1.38≤x<0)；(3)P(|X|<0.5)．解：(1)P(0<X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。

高中数学排列与组合综合(一)排除法和均分除序讲义新人教A版选修2-3

排列与组合综合(一) ——排除法和平均分配金题精讲题一：一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了这串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 .题二：(1)5×4的矩形网格，从左下角走到右上角，不走回头路，有多少种不同走法？题三：一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A.12种B. 15种C. 17种D.19种题四：4名男生， 3名女生站成一排，求甲不站在左端，乙不站在右端的不同的排法种数.题五：(1)4本不同的书平均分给甲乙两个人，每人2本，有多少种不同的分法？(2)4本不同的书平均分成两堆(或两组)，有多少种不同的分法？题六：6件不同的礼品，按下列要求，分别有多少种不同的分法？(1)分给甲乙丙3人，每人2件；(2)分给甲乙丙3人，一个人1件，一个人2件，一个人3件；(3)分给甲乙丙3人，甲1件，乙2件，丙3件；(4)分给甲乙丙3人，两个人各得1件，一个人得4件.题七：5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有多少种？排列与组合综合(一)——排除法和平均分配讲义参考答案金题精讲题一：220－1 题二：(1)126 (2)90 题三：D 题四：3720题五：(1) 6 (2) 3 题六：(1)90 (2) 360 (3) 60 (4) 90 题七：150中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

北师版数学选修2-3讲义：第2章 2 超几何分布

§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C680C420 C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．。

数学选修2-3 第一章第一节课件上课讲义

课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
做一件事，完成它有n类办做一件事，完成它需要分成n
法，在第一类办法中有m1种个步骤，做第一个步骤有m1 不同的方法，在第二类办法种不同的方法，做第二个步
中有m2种不同的方法，…，骤有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同做第n个步骤有mn种不同的方的方法，那么完成这件事共法，那么完成这件事共有N＝有N＝__m_1_＋__m__2＋__…__＋__m__n_种 _m__1_×__m_2_×__…__×__m_n__种不同的
课前探究学习
课堂讲练互动
题型三两个原理的综合应用
【例3】现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解按出场位置顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3 种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1＝252(种)．
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立地完成这件事．在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．

中级经济师环球讲义第十章第2、3节(人力)

第十章绩效管理第二节绩效评价方法【知识点】员工绩效分析框架员工个人绩效的产生过程：一位具有某些特征的员工，在一定的组织环境下，通过采取某些行动或表现出某些行为，最终达成某种结果。

可以采用特征法、行为法和结果法三种方法对员工的个人绩效进行衡量或评价。

特征法特征法所强调的是绩效完成者个人的情况，它相对忽略了特定的情境和行为及其产生的结果。

评价者就会对被评价者的那些相对稳定的特征加以评价，其中可能包括认知能力、个性以及责任心等特征。

问题：从特征到行为以及结果的过程是在特定的情境之中发生的。

在大多数组织往往不直接使用特征法行为法行为法是一种以评价员工完成工作的过程为中心的方法，它重点关注员工在工作过程中做了什么，而不考虑员工的个人特征或他们的行为到底产生了怎样的结果。

结果法结果法是一种只看结果的方法，它重点强调员工通过工作产生了哪些成果和结果，而不考虑员工所具有的个人特征或员工是如何完成工作的。

如销售额、开发出的新产品、新发展的大客户数量、质量缺陷等优点：①对结果进行定义和衡量更加直截了当、清晰明了。

②成本有效性也更高。

③通过结果法收集的数据看起来更为客观、直观，同时也比较简洁，不仅更受管理者青睐，而且更容易让被评价者信服。

总体而言，对员工个人绩效进行评价的最常用方法是结果法和行为法。

【知识点】绩效评价方法的应用结果法结果法与目标管理目标管理法的基本理念：组织中的每一位管理者所领导的部门的目标必须与组织的整体目标保持一致，而管理者所属部门的每一位员工的目标也应该与所属部门的整体目标保持一致。

目标管理法的做法：在一个目标管理体系中，组织的高层管理团队会首先为组织确定一个来年的战略目标。

接着，再将这些目标传递给下一个层级的管理者，这一层级的管理者这时就需要明确一点，即为了帮助组织达成未来的目标，自己应当在自己的职责范围内取得哪些成果这种目标制定的过程会一层一层向下传递，直到组织中的所有管理者乃至普通员工都制定了能够帮助组织实现其未来目标的个人目标，而所有这些目标就成为对每一位管理者和员工个人的工作绩效进行评价的标准和依据目标管理体系组成部分：①必须制定具体的、可衡量的、有一定难度的、又相对客观的目标，同时这些目标还要有明确的完成时间或者截止期限②在目标管理体系中所使用的目标不是由管理人员单方面制定的，而是由管理者在下属的参与下共同制定的③管理人员在整个期间都要提供客观的反馈➢评价结果的三大步骤①确定关键职责领域②确定关键绩效指标（KPI）③确定绩效标准或指标值➢评价结果的三大步骤①确定关键职责领域——即员工需要在其中达成结果的主要工作职责在哪些范围内。

Unit3+讲义2-3++++2023-2024学年人教版七年级英语下册

七年级下册Unit 3 讲义2一、根据句意及首字母或汉语提示完成单词.1.We will g_____ to Beijing tomorrow.2.I take a _______ (地铁) to work every day.3.My grandparents l______ in the countryside (乡村).4.There is a ______ (桥) over the river.5.I’m a_______ that he can’t pass the exam (通过考试).6.My _______ (梦想) will come true one day.7.These little boys c______ the street (街道) carefully.8.There are _______ (许多) trees on the both sides of the street.9.Lily sits b______ her mother and father.10.There are twelve months in a ______ (年).二、用所给词的适当形式填空.1.It takes me twenty minutes (分) _______ (finish) my homework.2.Chocolate isn’t a _______ (health) food.3.She ______ (go) to school by bike every day.4.There are two _______ (hundred) books in the box.5.He is thinking of _____ (finish) his work quickly.6.There are five ______ (bus) in our school.7.I’m afraid ______ (go) out at night.8.Thanks for ______ (help) me.9.It is difficult for me ______ (learn) math.10.The old man is walking ______ (cross) the street slowly.三、单项选择( )1. Walking after dinner is _____ good exercise.A.aB. anC. theD. /( )2. There are ______ people in the hall (大厅).A.two hundreds ofB. two hundredsC. hundred ofD. two hundred ( )3. -- ______ is it from your home to the bus station? -- About five kilometers.A.How longB. How muchC. How manyD. How far ( )4. _____ is easy ______ in the pool (水池).A.That; swimB. It; to swimC. That; to swimD. It; swim ( )5. -- How do you go to school, Tony?-- I go to school ______.A.by a busB. take a busC. by busD. in a bus( )6. ____ takes him one hour _____ the room.A.It; to cleanB. It; cleaningC. That; to cleanD. That; cleaning ( )7. We go to school ______ Monday _____ Friday.A.between; andB. in; andC. from; toD. from; on ( )8. Let’s ______ the bridge together.A.acrossB. crossC. to crossD. to across( )9. She is an _______ girl.A.eight - year - oldB. eight - years - oldC. eight years oldD. eight year old( )10. -- Can we get to school at 7: 30?--______A.Have a good dayB. How about youC. Sorry.D. I’m not sure.( )11. Thank you for ______ me the good news.A. tellB. to tellC. tellingD. tells( )12. There are ______ flowers in the garden, but there isn’t ______ water near here.A. many; manyB. much; muchC. many; muchD. much; many( )13. What do you ______ the transportation(交通) in your city?A. think ofB. think aboutC. think overD. think out( )14. _______ does it take you to finish _______ the book?A. How long; to readB. How soon; to read C How often; reading D. How long; reading( )15. It takes ______ 20 minutes ______ English every day.A. I; to readB. us; readC. me; to readD. them; read四、翻译句子1.总有一天我的梦想会实现。

人教版高中数学选修2-3讲义资料,复习补习资料(含知识讲解,巩固练习)：全册资料合集

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法计数原理的原理：3．两个计数原理的联系与区别三、两个计数原理的应用1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．知识参考答案：一、1．m+n2．m1＋m2＋···＋m n二、1．m×n2．m1×m2×···×m n重点1．分类加法计数原理的应用对分类加法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定一个分类标准，在这个标准下进行分类.（2）“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.【例1】从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有A．2种B．3种C．5种D．6种【答案】C【例2】把3枚相同的纪念邮票和4枚相同的纪念币作为礼品送给甲、乙两名学生，要求全部分完且每人至少有一件礼品，则不同的分法共有种.【答案】18【解析】以甲分得的礼品数为标准分类（用(a,b)表示甲分得纪念邮票a枚，纪念币b枚），可分为6类：第1类，甲分得1件礼品有2种分法：（1,0），（0,1）；第2类，甲分得2件礼品有3种分法：（2,0），（1,1），（0,2）；第3类，甲分得3件礼品有4种分法：（3,0），（2,1），（1,2），（0,3）；第4类，甲分得4件礼品有4种分法：（3,1），（2,2），（1,3），（0,4）；第5类，甲分得5件礼品有3种分法：（3,2），（2,3），（1,4）；第6类，甲分得6件礼品有2种分法：（3,3），（2,4）.根据分类加法计数原理，不同的分法共有2+3+4+4+3+2=18种.【名师点睛】本题的分类标准并不明显，根据题意，这些礼品要全部分完且每人至少有一件礼品，因此可以将甲、乙这两人中一人分得的礼品数作为分类标准，本题从甲分得的礼品数考虑，也可以从两类礼品的角度考虑，分两个步骤完成，应用分步乘法计数原理解决.2．分步乘法计数原理的应用对分步乘法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分步的步骤也会不同.（2）“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤就能完成这件事.即各步骤是相互依存的，只有每个步骤都完成才能完成这件事.简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”.【例3】某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有A．180种B．360种C．720种D．960种【答案】D【解析】分五步完成,第i步取第i个号码由分步乘法计数原理,可得车牌号码共有种.【例4】（1）用数字1,2,3可以组成多少个三位数？（2）用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数？【答案】（1）27；（2）6.【解析】（1）要完成“组成三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第三步：确定百位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法.根据分步乘法计数原理,可以组成的三位数有3×3×3=27个.（2）要完成“组成没有重复数字的三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,第一步选过的数字不能选择,因此有2种选法；第三步：确定百位数字,只有1种选法.根据分步乘法计数原理,知可以组成的三位数有3×2×1=6个.【规律总结】（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路．①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．3．两个计数原理的综合应用应用两个计数原理解题时的策略：（1）确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．（2）处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合．（3）注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏．【例5】编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【例6】集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？【解析】（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点.由分类加法计数原理得不同点的个数为12＋12＝24(个).（2）第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类.由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个).4．分类或分步时考虑不全致误【例7】有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号3＋6＋6＝15种．【错因分析】每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．【正解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．【易错警示】审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏．【例8】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有种.【错解】错解1：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4=44=256种不同的冠军获得情况.错解2：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3=34=81种不同的冠军获得情况.【错因分析】要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”.但错解1、2中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况.【正解】可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.【答案】64【易错警示】此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么.也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.基础训练1．某学生去书店,发现2本不同的好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有A．1种B．2种C．3种D．4种2．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种C．54种D．720种3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有A．12种B．7种C．14种D．49种4．在一次才艺展示活动中,甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”,但学校规定每位同学限报其中的一个,且乙知道自己唱歌不如甲,若甲报唱歌比赛乙就报朗诵比赛,则他们三人不同的报名方法有A．3种B．6种C．7种D．8种5．从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为A．2 B．4C．6 D．86．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有A．12 B．24C．36 D．407．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有_______种. 8．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，则共有________种不同的推选方法.9．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________．10．现从高一四个班的学生中选取34人，其中一、二、三、四班分别选取7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（2）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？能力提升11．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有A．120种B．1024种C．625种D．5种12．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有A．6种B．36种C．63种D．64种13．设集合I={1，2，3，4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50 种B．49 种C．48 种D．47 种14．若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这5个数字中任取2个不同的数字，则方程所表示的不同直线有A ．5条B ．7条C ．12条D ．14条15．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种16．已知a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，则方程x 2a ＋y 2b＝1可表示________个不同的椭圆.17．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______ 18．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有________个.19．用n 种不同的颜色为下列两块广告牌（如图甲、乙）着色，要求A ，B ，C ，D 四个区域中相邻（有公共边界）的区域用不同的颜色.（1）若n =6,求为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n .真题练习20．(新课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．921．(2019新课标全国Ⅱ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个22．(2019福建模拟)满足a ，b ∈{−1,0,1,2}，且关于x 的方程有实数解的有序数对的个数为 A ．14 B ．13 C ．12D ．1023．(2019山东模拟)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27924．(2019安徽模拟)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对参考答案2k m ≤12,,,k a a a 220ax x b ++=(,)a b1．【答案】C【解析】分两类:买1本书、买2本书,各类购买方式依次有2种、1种,故购买方式共有2+1=3种.2．【答案】D【解析】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．根据分步乘法计数原理得，共有30×24=720种不同的选法．3．【答案】D【解析】要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4+3=7种方法，第二步出门也有4+3=7种方法，由分步乘法计数原理知，进、出的方案有7×7=49种.4．【答案】B【解析】从甲着手分析,分两类：若甲报唱歌比赛,则乙报朗诵比赛,丙可任选,有2种报名方法；若甲报朗诵比赛,则乙、丙均可任选,有2×2=4种报名方法.所以共有2+4=6种不同的报名方法.5．【答案】D【解析】分两类:第1类,公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个等差数列；第二类,公差小于0,也有4个.根据分类加法计数原理可知,共有4+4=8个不同的等差数列.【名师点睛】完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；②分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．7．【答案】81【解析】4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则每人有3种报名方法，则4人共有3×3×3×3=81种方法.8．【答案】31【解析】分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法.9．【答案】60【解析】第一步任意选取一个螺栓，有6种方法；第二步，按照要求以此固定，不妨第一次固定螺栓1，则有如下的固定方法：1,3,5,2,4,6；1,3,5,2,6,4；1,3,6,4,2,5；1,5,2,4,6,3；1,5,3,6,2,4；1,5,3,6,4,2；1,4,2,6,3,5；1,4,2,5,3,6；1,4,6,3,5,2；1,4,6,2,5,3，共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.10．【解析】（1）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．（2）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．11．【答案】D【解析】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，每次分完只有一个代表队得不到，所以共有5种不同的分法．故选D．12．【答案】C【解析】每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．13．【答案】B【解析】按分类加法计数原理做如下讨论：①当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15种方法；②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种方法；③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种方法；④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8种方法.故共有15＋14＋12＋8＝49种方法.14．【答案】D【解析】方法一（直接法）：本题中有特殊数字0，所以，以A,B中是否有数字0为标准进行分类，可分两类：第1类，当A,B中有一个为0时，表示直线x=0或y=0，共2条不同直线.第2类，当A,B都不为0时，确定直线Ax+By=0需要分两步完成：第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知，共可确定4×3=12条不同直线.由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14条.方法二（间接法）：分两步：第1步，确定A的值，有5种不同的方法；第2步，确定B的值，有4种不同的方法.由分步乘法计数原理知，可以确定5×4=20条直线.在这20条直线中，A=0，B=1，2，3，5，以及B=0，A=1，2，3，5各表示一条直线，即有6条直线是重复计数的，因此，符合条件的不同直线共有20−6=14条.【名师点睛】间接法体现了“正难则反”的思想.若问题从正面考虑的话情况比较多,而问题的反面情况较少,且容易计数,则宜采用间接法,即先求出方法总数,再减去不符合条件的方法数或重复计数的方法数. 15．【答案】C【解析】解法1：分两种情况：①A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．②A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．解法2：先涂A，有4种涂法，再涂B、D，①若B 与D 同色，则B 有3种，E 有2种，C 有2种，共有4×3×2×2＝48种；②若B 与D 不同色，则B 有3种，D 有2种，E 有1种，C 有1种，共有4×3×2×1×1＝24种，由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种．故选C ．【名师点睛】这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则．本题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏”．应用两个计数原理解题时的策略：(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合． (3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏． 16．【答案】12【解析】∵a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，∴x 2a ＋y 2b ＝1可表示不同的椭圆个数为3×4＝12个．17．【答案】【解析】黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为. 【名师点睛】计数原理与其他知识交汇命题，常以“个数”或“概率”形式出现，计数常采用列举数数、树状图、表格等方法．解答时，先依据其他知识转化，将所求问题归结为计数问题，再按计数原理进行计算．49494919．【解析】（1）对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，共有6×5×4×4=480种不同的方法.（2）对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，依次有n 种、n −1种、n −2种和n −3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n (n −1)(n −2)(n −3)=120，整理得(n 2−3n )(n 2−3n +2)=120，(n 2−3n )2+2(n 2−3n )−120=0，n 2−3n −10=0或n 2−3n +12=0（舍去），解得n =5.【名师点睛】（1）由题意知本题考查的是分步乘法计数原理，对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，第一块有6种方法，第二块就不能选第一块的颜色，有5种结果，以此类推，根据分步计数原理得到结果．（2）利用分步乘法计数原理得到不同的染色方法有n (n −1)(n −2)(n −3)种，再根据共有120种结果，列出等式，解关于n 的方程，即可得到结果．对于着色问题的两种典型现象：一是平面图涂颜色：先涂接触区域最多的一块；二是立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 20．【答案】B【解析】由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，则共有6×3=18种走法，故选B.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 21．【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：10a =81a =由上表知，不同的“规范01数列”共有14个，故选C.【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 22．【答案】B【解析】当时，关于x 的方程为，此时有序数对均满足要求；当时，，所以，此时满足要求的有序数对为．综上，共有13个满足要求的有序数对． 23．【答案】B【解析】十个数排成不重复数字的三位数的求解方法是：第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；第2步，排十位数字，有9种方法；第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8=648个没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数有9×10×10=900（个），所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900−648=252.0a =20x b +=()()()0,10,00,102),(-，，，0a ≠440ab ∆=-≥1ab ≤()()(1,11,01,11,2)()-----,,,,()()()111,01,1212,0()()--,,,，,,24．【答案】C【解析】如图，在上底面中选，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．1.2 排列与组合知识一、排列 1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement).【注】（1）排列的定义包含两方面的含义：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序”．（2）定义中规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．（3）定义中的“一定的顺序”与位置有关.如取出数字1，2，3组成一个三位数，就与位置有关，因为123和321是不同的三位数. 2．排列数、排列数公式（1）排列数从n 个不同元素中取出个元素的所有的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示.11B D 11AC ()m m n A mn。

高中必修2-3.2.3直线的一般式方程复习讲义

3.2.3直线的一般式方程复习讲义课前回顾：1.直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式分别是什么?2.从事物的个性与共性，对立与统一的观点看问题，我们希望这些直线方程能统一为某个一般形式，对此我们从理论上作些探究.直线方程的一般式：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型都是二元一次方程，二元一次方程的一般形式是Ax+By+C=0任意一条直线的方程都可以写成Ax+By+C=0的形式，同时，关于x，y的二元一次方程都表示直线，方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.两条直线平行的条件：如果直线L1,L2的方程为L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)那么L1∥L2的充要条件是：两条直线垂直的条件：如果直线L1,L2的方程为L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)那么L1⊥L2的充要条件是A1A2+B1B2=1例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为-4/3，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.例3 已知直线l1：a x+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.例4 已知直线l 1：x-a y-1=0和l 2:a 2x+y+2=0，若l 1⊥l 2，求a 的值.例5: 求与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为5/6的直线的方程．分析：一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+λ=0 ，其中λ待定（直线系）例6 已知直线与互相垂直，求α的值分析：一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为Bx-Ay+λ=0 ，其中λ待定（直线系）练习：1.两条直线L 1:2x-4y+7=0，L 2:x-2y+5=0求证:L 1∥L 22.求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。