高考数学专题03 利用导数求函数的极值、最值(第六篇)(原卷版)
专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值
利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上） 极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一 求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。
利用导数研究函数的极值(最值)
第14讲利用导数研究函数的极值/最值讲义高考中对导数这种方法要求很高，每年的考查形式灵活，难度较大.函数的单调性与极值，作为基础知识，我们一定要把这部分知识点理解好，掌握好，应用好，不管以什么样的形式考查都能处理的游刃有余.为了学习好导数这种方法，下面我们认真来学习用导数研究函数的极值与最值(1)明确函数的定义域，并求函数的导函数)(x f '； (2)求方程的根；(3)检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值，这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值，这个根叫做函数的极小值点. 注意：函数的极值不一定是一个，有的题可能是多个，需要灵活掌握.函数的最大值和最小值(1)设是定义在区间上的函数，且在内可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：①求在内的极值；②将在各极值点的极值与、比较，来确定函数的最大值和最小值.(2)若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.注意：有时极大（小）值也是最大（小）值，有时不一定，需要具体问题具体分析.)(x f )(x f 0)(/=x f )(x f '0)(='x f )(x f )(x f )(x f y =[]b a ,),(b a )(x f y =[]b a ,)(x f y =),(b a )(x f y =)(a f )(b f )(x f []b a ,)(a f )(b f )(x f []b a ,)(a f )(b f讲义一、导入二、知识讲解知识点1 求函数极值知识点2 求函数最值【教学建议】【题干】1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【答案】D【解析】：由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【题干】2.已知函数f(x)＝2e f′(e)ln x－xe(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A．2e－1 B．－1e C．1 D．2ln 2【答案】D．【解析】由题意知，f′(x)＝2e f′（e）x－1e(x>0)，令x＝e得，f′(e)＝2f′(e)－1e，∴f′(e)＝1e，∴f′(x)＝2x－1e.令f′(x)＝0，得x＝2e.当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，2e)三、例题精析例题1上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 【题干】3.已知函数f (x )＝(x －2)(e x －ax )，当a ＞0时，讨论f (x )的极值情况． 【答案】见解析【解析】∵f ′(x )＝(e x －ax )＋(x －2)(e x －a )＝(x －1)(e x －2a )， 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln 2a .①当a ＝e2时，f ′(x )＝(x －1)(e x －e)≥0，∴f (x )单调递增，故f (x )无极值；②当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：； ③当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )有极大值f (1)＝a －e ，极小值f (ln 2a )＝－a (ln 2a －2)2.综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ；当a ＝e 2时，f (x )无极值；当a ＞e2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2.【题干】 1. 若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 【答案】D【解析】函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根．f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得Δ＝a 2－4＞0，解得a ＜－2或a ＞2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解．又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a ＜103.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103.例题2【题干】2.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________． 【答案】－7 【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在R 上单调递增，无极值，舍去；a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.【题干】已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0＜a ＜3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围． 【答案】见解析.【解析】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )＜0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3上单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0上单调递减． 综上，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3上单调递减； 当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0上单调递减． (2)当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3单调递减，在⎝⎛⎭⎫a3，1单调递增， 所以f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，0＜a ＜2，2，2≤a ＜3.所以M －m ＝⎩⎨⎧2－a ＋a 327，0＜a ＜2，a 327，2≤a ＜3.当0＜a ＜2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2. 例题3当2≤a ＜3时，y ＝a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1. 综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2.【题干】1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．【答案】（1）f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；（2）5e 5 【解析】(1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x （e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )的符号相同． 又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5ex. 因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大值，而f (－5)＝5e －5＝5e 5＞5，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.【题干】2. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝⎛⎭⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升)．(1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少？ 【答案】见解析例题4【解析】(1)由题意，得下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎝⎛⎭⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0)．(2)y ′＝3v 25－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得，v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减；当v >1032时，y ′>0，函数单调递增． 若c <1032时，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增， ∴当v ＝1032时，总用氧量最少．若15≥c ≥1032时，则y 在[c ，15]上单调递增，∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少．。
专题六 函数与导数 难点突破03 极值点偏移问题-2023年高考数学二轮复习(全国通用)
例3 (2022年全国甲卷)已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（2）证明：若 有两个零点 ， ，则 .
[解析] （1） 的定义域为 ， ，令 ，解得 ，令 ,解得 ,故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
要使得 恒成立，仅需 ，故 ，即 的取值范围是 .（2）因为函数 有两个零点，所以 ，即 .不妨设 ， ， ，要证明 ，即证明 ，即证明 .又 在 上单调递增，∴即证明 .
得 ，即 ．要证 ，需证 ，即证 ．设 ，则要证 ．令 ，则 ．
在 上单调递增，则 ，即 ．故 ．
3.(2022·山东月考)已知函数 有两个零点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；（2）证明： ．
[解析] （1） 的定义域为 ， ，①当 时， ，所以 在 上单调递增，故 至多有一个零点，不符合题意.②当 时，令 ，得 ；令 ，得 .故 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
2.(2022·天津模拟)已知函数 （ ， 为实数）的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
（2）设函数 ，证明当 时， ．
[解析] （1） 的导数为 ，∵曲线在点 处的切线方程为 ，∴ 解得 ， ．
令 ，得 ．当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减． 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2）由（1）得 ，故 .由 ，
2.构造函数，即根据极值点构造辅助函数 ，若证 ，则令 .
3.判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
4.比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
5.转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进而得到所证或所求．
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
专题3.3导数与函数的极值、最值(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 导数与函数的极值、最值一、题型全归纳题型一 利用导数解决函数的极值问题【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程命题角度一 由图象判断函数的极值【题型要点】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点： (1) 由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性，两者结合可得极值点【例1】设函数()x f 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()()x f x y '-=1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （1）B.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （1）C.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （－2）D.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （2）【解析】由题图可知，当x ＜－2时，()x f '＞0；当－2＜x ＜1时，()x f '＜0；当1＜x ＜2时，()x f '＜0；当x ＞2时，()x f '＞0.由此可以得到函数f （x ）在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 【例2】已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－4)上单调递减B ．函数f (x )在x ＝2处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝－4处取得极值D ．函数f (x )有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x ≤2时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)，故A 错误．当x ＝2时函数取得极大值，故B 正确．当x ＝－4时函数无极值，故C 错误．只有当x ＝2时函数取得极大值，故D 错误．故选B.命题角度二 求已知函数的极值【题型要点】求函数极值的一般步骤（1）先求函数f （x ）的定义域，再求函数f （x ）的导函数. （2）求()x f '＝0的根.（3）判断在()x f '＝0的根的左、右两侧()x f '的符号，确定极值点. （4）求出具体极值.【例3】已知函数f （x ）＝（x －2）（e x －ax ），当a ＞0时，讨论f （x ）的极值情况. 【解析】 ∵()x f '＝（e x －ax ）＋（x －2）（e x －a ）＝（x －1）（e x －2a ），∵a ＞0， 由()x f '＝0得x ＝1或x ＝ln 2a .∵当a ＝e2时，f ′（x ）＝（x －1）（e x －e ）≥0，∵f （x ）在R 上单调递增，故f （x ）无极值.∵当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：∵当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：综上，当0＜a ＜e2时，f （x ）有极大值－a （ln 2a －2）2，极小值a －e ；当a ＝e2时，f （x ）无极值；当a ＞e2时，f （x ）有极大值a －e ，极小值－a （ln 2a －2）2.【例4】已知函数f (x )＝ln x ＋a －1x ，求函数f (x )的极小值．【解析】 f ′(x )＝1x －a －1x 2＝x －（a －1）x 2(x >0)，当a －1≤0，即a ≤1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极小值． 当a －1>0，即a >1时，由f ′(x )<0，得0<x <a －1，函数f (x )在(0，a －1)上单调递减； 由f ′(x )>0，得x >a －1，函数f (x )在(a －1，＋∞)上单调递增．f (x )极小值＝f (a －1)＝1＋ln(a －1)． 综上所述，当a ≤1时，f (x )无极小值； 当a >1时，f (x )极小值＝1＋ln(a －1)．命题角度三 已知函数的极值求参数值(范围)【题型要点】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【易错提醒】若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【例5】设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 时，f ′(x )<0; 当x ∵(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∵(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．题型二 函数的最值问题【题型要点】求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．【例1】（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f （x ）＝2x 3－ax 2＋b . （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）f ′（x ）＝6x 2－2ax ＝2x （3x －a ）.令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∵（－∞，0）∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在 （－∞，0），⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 单调递减. 若a ＝0，f （x ）在（－∞，＋∞）单调递增.若a ＜0，则当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ∵（0，＋∞）时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，（0，＋∞）单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛0,3a 单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（∵）当a ≤0时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递增，所以f （x ）在区间［0,1］的最小值为f （0）＝b ，最大值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1. （∵）当a ≥3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递减，所以f （x ）在区间［0,1］的最大值为f （0）＝b ，最小值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1. （∵）当0＜a ＜3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛3a f ＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾.若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾.综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f （x ）在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.【例2】(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解析】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0∵0<x <1，f ′(x )<0∵x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 1＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e，且⎪⎭⎫⎝⎛e f 1<f (e)．所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值为0，最小值为2－e.题型三 函数极值与最值的综合应用【题型要点】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例1】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .若f (x )在x ＝2处取得极小值，则a 的取值范围为_______． 【解析】 f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ，若a >12，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛2,1a 时，f ′(x )<0；当x ∵(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21. 【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【解析】：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)∵由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0上单调递增．因为f (－1)＝2，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.∵当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.题型四 利用导数研究生活中的优化问题【题型要点】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f （x ）.（2）求函数的导数()x f '，解方程()x f '＝0.（3）比较函数在区间端点和()x f '＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. （4）回归实际问题，结合实际问题作答.【例1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y ＝ax －3＋10（x －6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】（1）因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10（x －6）2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f （x ）＝（x －3）⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10（x －3）（x －6）2,3＜x ＜6.则()x f '＝10［（x －6）2＋2（x －3）（x －6）］＝30（x －4）（x －6）. 于是，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【例2】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本） 【解析】（1）由题意得W ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫10.8－130x 2x －2.7x －10，0＜x ≤10，⎝⎛⎭⎫108x －1 0003x 2x －2.7x －10，x ＞10，即W ＝⎩⎨⎧8.1x －130x 3－10，0＜x ≤10，98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ，x ＞10.（2）∵当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝81－x 210＝（9＋x ）（9－x ）10，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；当9＜x ≤10时，W ′＜0，则W 递减.所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.∵当x ＞10时，W ＝98－⎪⎭⎫⎝⎛+x x 7.231000≤98－21 0003x×2.7x ＝38. 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.二、高效训练突破 一、选择题1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∵[－4，－3)或x ∵(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∵(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：∵函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内单调递增；∵当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ∵函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；∵当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵∵D ．∵∵【解析】：对于∵，函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内有增有减，故∵不正确； 对于∵，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故∵正确；对于∵，当x ∵(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上单调递增，故∵正确； 对于∵，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故∵不正确．3.（2020·东莞模拟）若x ＝1是函数f （x ）＝ax ＋ln x 的极值点，则（ ） A.f （x ）有极大值－1 B.f （x ）有极小值－1 C.f （x ）有极大值0D.f （x ）有极小值0【解析】∵f （x ）＝ax ＋ln x ，x ＞0，∵f ′（x ）＝a ＋1x ，由f ′（1）＝0得a ＝－1，∵f ′（x ）＝－1＋1x ＝1－xx .由f ′（x ）＞0得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得x ＞1， ∵f （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∵f （x ）极大值＝f （1）＝－1，无极小值，故选A.4.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于（ ）A.89B.109C.169D.289【解析】函数f （x ）的图象过原点，所以d ＝0.又f （－1）＝0且f （2）＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f （x ）＝x 3－x 2－2x ，所以f ′（x ）＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′（x ）＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 5.已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e【解析】：函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x－1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2. 6.已知函数f （x ）＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f （x ）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k 的取值范围为（ ） A.［－3，＋∞） B.（－3，＋∞） C.（－∞，－3）D.（－∞，－3］【解析】由题意知f ′（x ）＝3x 2＋6x －9，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：7.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3【解析】：设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120.设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∵(0，80)时，y ′＞0；当x ∵(80，120)时，y ′＜0. 因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.8.(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∵N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A ．2折函数 B ．3折函数 C ．4折函数D ．5折函数【解析】：.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4. 所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．9.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝(x 2－m )e x ，若函数f (x )的图象在x ＝1处切线的斜率为3e ，则f (x )的极大值是( )A ．4e －2 B ．4e 2 C ．e －2D ．e 2【解析】：f ′(x )＝(x 2＋2x －m )e x .由题意知，f ′(1)＝(3－m )e ＝3e ，所以m ＝0，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x .当x >0或x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝－2时，f (x )取得极大值，f (－2)＝4e －2.故选A.10.函数f （x ）＝x 3－3x －1，若对于区间［－3,2］上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A.20 B.18 C.3D.0【解析】原命题等价于对于区间［－3,2］上的任意x ，都有f （x ）max －f （x ）min ≤t ， ∵f ′（x ）＝3x 2－3，∵当x ∵［－3，－1］时，f ′（x ）＞0， 当x ∵［－1,1］时，f ′（x ）＜0，当x ∵［1,2］时，f ′（x ）＞0. ∵f （x ）max ＝f （2）＝f （－1）＝1，f （x ）min ＝f （－3）＝－19. ∵f （x ）max －f （x ）min ＝20，∵t ≥20.即t 的最小值为20.故选A.二、填空题1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝ ．【解析】：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．【解析】：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.3．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝ ，f (x )的极小值为 ．【解析】：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.4.（2019·武汉模拟）若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ．【解析】：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.5.若函数f （x ）＝x 3－3ax 在区间（－1,2）上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .【解析】因为f ′（x ）＝3（x 2－a ），所以当a ≤0时，f ′（x ）≥0在R 上恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增，f （x ）没有极值点，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′（x ）与f （x ）的变化情况如下表所示：因为函数f （x ）在区间（－1,2）上仅有一个极值点，所以⎩⎨⎧a ＜2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a ＞－1，2≤a ，解得1≤a ＜4.三 解答题1.(2020·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 【解析】：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以f (x )max ＝f (1)＝－1.所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∵(0，e]，1x ∵⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e .∵若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意；∵若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∵(0，e]，解得0<x <－1a，令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∵(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛-e a ,1上为减函数，所以f (x )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1＝－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln .令－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln ＝－3，得⎪⎭⎫⎝⎛-a 1ln ＝－2，即a ＝－e 2.因为－e 2<－1e ，所以a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.2.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∵R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值．【解析】：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)f ′(x )＝n －xx2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n .∵当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；∵当n >1时，函数f (x )在[1，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln 3.（2019·郑州模拟）已知函数f （x ）＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值.【解析】 f ′（x ）＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.∵若k ＝0，则f ′（x ）＝－1x 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减.∵若k ≠0，则f ′（x ）＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.（∵）若k ＜0，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0.所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上单调递减，（∵）若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0， 所以f （x ）在1e ，e 上单调递减.综上，当k ＜1e 时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减，所以f （x ）min ＝f （e ）＝1e ＋k －1，f （x ）max ＝⎪⎭⎫⎝⎛e f 1＝e －k －1.4.已知函数f （x ）＝a ln x ＋1x （a ＞0）.（1）求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在［1，e ］上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝a x －1x 2（a ＞0）.（1）由f ′（x ）＞0解得x ＞1a ，所以函数f （x ）的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ；由f ′（x ）＜0解得x ＜1a ，所以函数f （x ）的单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0.所以当x ＝1a 时，函数f （x ）有极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值. （2）不存在.理由如下：由（1）可知，当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0时，函数f （x ）单调递减；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 时，函数f （x ）单调递增.∵若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f （x ）在［1，e ］上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （1）＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件.∵若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f （x ）在⎪⎭⎫⎢⎣⎡a 1,1上为减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,1上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （x ）的极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a （1－ln a ）＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件.∵若1a ＞e ，即0＜a ＜1e时，函数f （x ）在［1，e ］上为减函数，故函数f （x ）的最小值为f （e ）＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件.综上所述，这样的a 不存在.。
高考数学之利用导数研究函数的极值和最值
高考数学之利用导数研究函数的极值和最值一．知识点睛1.可导函数的极值：①如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.②如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们就把b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.注意：①.可导函数y=f（x）在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在点x0左侧和右侧，f′(x)异号②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。
③.若极值点处的导数存在，则一定为02.求可导函数极值的步骤：①.确定函数的定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。
二．方法点拨：1.已知具体函数求极值2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：①极值点处导数为0②由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。
3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围:函数f（x）的极值点导函数f′(x) 的异号零点f′(x)=0的根函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标注意：导函数f′(x)的零点并不是函数f（x）的极值点，导函数f′(x)的异号零点才对应函数f（x）的极值点。
因此方程f′(x)=0的根及函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标，必须对应f′(x) 的异号零点。
方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（1）研究函数图像与X轴的位置关系⑵研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系⑶研究动态曲线与曲线的位置关系。
高考数学专题03导数与函数-高考数学高频考点与最新模拟(原卷版)
高频考点一 函数的性质的应用例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3B ．－1 C ．1D ．3(2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________．高频考点二 函数的图象的分析判断例2、函数f (x )＝ax m(1－x )n在区间[0,1]上的图象如图2－1所示，则m ，n 的值可能是( )图2－1A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1高频考点三 基本初等函数性质及其应用例3、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)高频考点四 函数的零点和方程根的分布例4、(1)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ (2)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.高频考点五 二分法求方程的近似解例5、用二分法求方程ln x ＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c ＝1.5，则下一个有根区间是________．高频考点六 函数模型及其应用例6、如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R)．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．高频考点七 导数的几何意义的应用例7、曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12C ．－22D.22高频考点八 导数在研究函数中的应用 例8、已知函数f(x)＝(x －k)2e xk . (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围．高频考点九 定积分例9、(1)⎠⎛01(e x＋2x)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1(2)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6一、函数、基本初等函数的图象与性质 1．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f(0)＝0；(3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．2．对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；(2)若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0)，(b,0)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别，若奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；(3)若函数f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，4|b －a|是它的一个正周期，特别是若偶函数f(x)有对称中心(a,0)(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期，若奇函数f(x)有对称轴x＝a(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期．3．函数的图象(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α＝0，α<0三种情况．二、函数与方程、函数的应用1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第三步：计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))；(4)判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)． 3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．三、导数在研究函数性质中的应用及定积分 1．导数的几何意义 2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y ＝|x |在x ＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件． 4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．5．定积分与曲边形面积(1)曲边为y ＝f (x )的曲边梯形的面积：在区间[a ，b ]上的连续的曲线y ＝f (x )，和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab|f x |d x .当f (x )≥0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；当f(x)<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(2)曲边为y ＝f (x )，y ＝g (x )的曲边形的面积：在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a b |f (x )－g (x )|d x .当f (x )≥g (x )时，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )<g (x )时，S ＝⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .（2013·新课标I 理）16、若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.（2013·新课标Ⅱ理）（8）设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则 （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b(D)a ＞b ＞c（2013·浙江理）3.已知y x ,为正实数，则（） A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.lg()lg lg 222xy x y =（2013·天津理）7.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4（2013·上海理）14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =（2013·上海理）12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________（2013·陕西理）10.设[x]表示不大于x 的最大整数,则对任意实数x,y,有（） (A)[－x]＝－[x](B)[2x]＝2[x](C)[x ＋y]≤[x]＋[y] (D)[x －y]≤[x]－[y]（2013·陕西理）1.设全集为R,函数2()1f x x =-的定义域为M,则C M R 为（） (A)[－1,1](B)(－1,1)(C),1][1,)(∞-⋃+∞- (D),1)(1,)(∞-⋃+∞-（2013·山东理）8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为（2013·山东理）3.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x=+,则()1f -= A.2-B.0C.1D.2（2013·辽宁理）（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）16（B ）16-（C ）2216a a --（D ）2216a a +-（2013·江西理）2.函数)y x x =-的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]（2013·湖南理）5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．0（2013·福建理）10. 设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A.N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C.{}R B x x A =<<=,10D.Q B Z A ==,（2013·大纲理）9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞（2013·大纲理）4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2（2013·大纲理）5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（）A ．1(0)21x x >-B ．1(0)21xx ≠-C ．21()x x R -∈D ．21(0)xx ->（2013·北京理）5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x关于y 轴对称，则f (x )=（）A.1e x +B.1ex -C.1ex -+D.1ex --（2013·安徽理）（10）若函数()c bx ax x x f +++=23有极值点21,x x ，且()11x x f =，则关于x 的方程()()()0232=++b x af x f 的不同实根个数是（A ）3（B ）4 （C ）5（D ）6（2013·安徽理）(8)函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围为 (A){}2,3(B){}2,3,4 (C){}3,4(D){}3,4,5（2013·大纲理）22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值； （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>.（2013·福建理）8.设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀ B.0x -是)-(x f 的极小值点 C.0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点（2013·福建理）17.（本小题满分13分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值（2013·广东理）21．（本小题满分14分） 设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ)当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .（2013·湖南理）16．设函数(),0,0.x x xf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____。
高考数学专题03 利用导数求函数的极值、最值(第六篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02 利用导数求函数的单调性【典例1】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数()f x x=． (Ⅰ)求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >．【典例2】【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f （x ）=13x 312-（a 2+a+2）x 2+a 2（a+2）x ，a ∈R ．（1）当a=-1时，求函数y=f （x ）的单调区间； （2）求函数y=f （x ）的极值点．【典例3】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟】已知21()ln 2x f x x ae x =+-． （1）设12x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间： （2）0a >时，求证：()12f x >．【典例4】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】设函数21()ln 2f x ax bx x =--. （1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；（2）当0a =，1b =-时，方程22()x mf x =（其中0m >）有唯一实数解，求m 的值.【典例5】【福建省三明市2020届模拟】已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈．（1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+．【典例6】【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试】已知函数()2()ln f x x a x =+. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个极值点()1212,x x x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （i i ）求证：()22212f x e e-<<-. 【典例7】【湖北省黄冈市2019届高三八模模拟测试】已知函数ln ()xf x ax x=-，曲线(y f x =）在1x =处的切线经过点(2,1)-. （1）求实数a 的值；（2）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值.1.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】已知函数()()ln 1xf x e x =-+(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值. 2.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟】已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当1a ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为-5，求a 的值； （Ⅱ）设3211()()(1)22g x xf x ax a x x =-++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：212x x e >.3.【湖北省黄冈市2020届模拟】设函数()aln(1)1xf x x x=-++，()ln(1)g x x bx =+-． （1）若函数f （x ）在0x =处有极值，求函数f （x ）的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0<g x 在(0,)+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；4.【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷】已知函数()()22ln 24a f x a x x a x =-+--.（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行，求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值，并求当()f x 有极大值且极大值为正数时，实数a 的取值范围. 5.【广东省广州市2019届高三第二次模拟】已知函数2()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .（1）若12a =，求函数()f x 的所有零点； （2）若12a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.6.【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知函数()ln f x x x ax =+在0x x =处取得极小值1-． （1）求实数a 的值；（2）设()()()0g x xf x b b =+>，讨论函数()g x 的零点个数．7.【北京市西城区2019届高三4月统一测试】设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
高考数学复习：利用导数求函数的极最值
高考数学复习：利用导数求函数的极最值1.利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．例1．已知函数()()e ln xf x x a x x =++．(1)若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞ (2)证明见解析（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间； （2）函数定义域是(0,)+∞，求得导函数()()1e xx f x x a x +'=+，这里1x x+是正数，引入()e x g x x a =+，利用它的单调性，得其有唯一零点0x ，是()f x 的唯一极小值点，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由0()g x =00e 0x x a +=把0()m f x =转化为关于a 的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立． (1)当a e =-时，()()e e ln xf x x x x =-+，()f x 的定义域是()0,∞+，()()()111e e 1e e x xx f x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． (2)由（1）得()f x 的定义域是()0,∞+，()()1e xx f x x a x+'=+， 令()e xg x x a =+，则()()10x g x x e '=+>，()g x 在()0,∞+上单调递增，因为0a <，所以()00g a =<，()e 0ag a a a a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得()000e 0xg x x a =+=．当()00,x x ∈时，()0g x <，()()1e 0xx f x x a x+'=+<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，()()1e 0xx f x x a x+'=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由00e 0x x a +=，得()()000e n ln e l x xm x a x a a a =+=-+-，令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()11ln ln h x x x '=-+=-， 当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=->，()ln h x x x x =-单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=-<，()ln h x x x x =-单调递减， 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，1m ． 例2．已知函数()()()ln e xxf x a x x a =+-∈R . (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的极值点的个数. 【答案】(1)11ey =-； (2)答案见解析.（1）分别求出()1f 和()1f '，即可求出切线方程；（2）分0a ≥、1a e≤-和10e a -<<三种情况，分别讨论()f x 单调性，即可得到对应的极值点的情况.(1)当1a =时，()n e l xx f x x x =+-定义域为()0+∞，，()111ef =-. 因为()1e 11x x f x x -'=+-，所以()111110ef -'=+-=. 所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：11ey =-. (2) 函数()()()ln e xx f x a x x a =+-∈R 定义域为()0+∞，，()1111e e x x x x x f x a a x x --⎛⎫⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()(),0e x x g x a x =+>，()1ex xg x ='-. 令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >； 所以()g x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 所以()()max 11e g x g a ==+，所以()1ea g x a <≤+①当0a ≥时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >； 所以()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 此时()f x 有且只有一个极值点. ②当1a e≤-时，()0e x xg x a =+≤，令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<； 所以()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增. 此时()f x 有且只有一个极值点.③当10ea -<<时，方程()0g x =有两个相异正根12,x x ，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<时，有()0f x '<；当11x x <<时，有()0f x '>；当21x x <<时，有；()0f x '<；当2x x >时，有；()0f x '>；所以()f x 在()10,x 上单减，在()1,1x 上单增，在()21,x 上单减，在()2,x +∞上单增， 此时()f x 有三个极值点.综上所述：当0a ≥或1a e ≤-时，()f x 有且只有一个极值点；当10ea -<<时，()f x 有三个极值点.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.例3．已知函数()2e e 2x xf x ax -=+--.(1)当1a =时，证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)若()()e xg x f x -=-，讨论函数()g x 的极值点的个数.【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析（1）先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间()0,∞+上单调递增，从而可得()()00f x f ''>=，进而可证得结论，（2）当0a =时，可得()g x 单调递增，无极值点，当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令ee 202x xax a x-=⇒=，令()e xh x x=，利用导数求出()h x 的单调区间和极值，从而分0e 2a <<，e 2a =和2e a >求解即可(1)证明：当1a =时，()()2e e 2,e e 2x x x xf x x f x x --=+----'=. 当0x >时，()e e 20x xf x -=+-'>'，.所以函数()f x '在区间()0,∞+上单调递增，故()()00f x f ''>=，故函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增. (2)解：当0a =时，()e 2xg x =-单调递增，无极值点， 当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令e e 202xxax a x-=⇒=，令()e xh x x =，则()()2e 1x x h x x -'=，当0x <时，()0h x <，且()0h x '<，当0a <时，方程e2xa x=有唯一小于零的零点，故函数()g x 存在一个极值点；当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e h =为函数()h x 极小值， 所以当0e 2a <<时，方程e 2xa x=无解，函数()g x 无极值点；当e 2a =时，方程e 2xa x=有一个解， 但当01x <<时，()e 2,e 20x xa g x ax x ='>->，当1x >时，()e 2,e 20x x a g x ax x='>->，故函数()g x 无极值点.当2e a >时，方程e 2xa x=有两解，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.综上，当0a <时，函数()g x 存在一个极值点， 当e02a 时，函数()g x 无极值点， 当2ea >时，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.1．已知函数ln(1)()x f x x a+=+． (1)当1a =-时，判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性；(2)当1a >时，记()f x 的最大值为M ，求证：1(,)2a M e -∈．【答案】(1)()f x 在(1,)+∞上单调递减．(2)证明见解析（1）利用导数研究函数的单调性即可；（2）由题知2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+，设()ln(1)1x ag x x x +=-++，进而得()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1a x e ∈-且()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+，再结合()000ln 11x a x x ++=+可得011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭. (1)当1a =-时，21ln(1)1()(1)(1)x x x f x x x '--++=>-， 设1()ln(1)1x g x x x -=-++，则21'()(1)x g x x -+=+，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在(1,)+∞上单调递减， 所以()()1ln 20g x g =-＜＜， 所以()0f x '＜，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减． (2)2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+， 设()ln(1)1x a g x x x +=-++，则2()(1)x a g x x '--=+． 当1a >时，()f x 的定义域为(1,),()0,()g x g x '-+∞≤在(1,)-+∞上单调递减，因为()()(1)11(1)ln 21ln 20,102a aaa e a g g e e--+=-≥->-=< 所以()(1)10ag g e -<．又因为()g x 的图象是不间断的，且()g x 在(1,)-+∞上单调递减，所以()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1ax e ∈-，当()01,x x ∈-时，()0,()0,()g x f x f x '>>在()01,x -上单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，()0,()0,()g x f x f x '<<在()0,x +∞上单调递减， 所以()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+由()00g x =得()000ln 11x ax x ++=+，所以011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，从而原命题得证． 2．函数()e sin 2xx x f a x =-+.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0a ≥时，求函数()f x 在0,1上的最小值； (3)直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明. 【答案】(1)()1y a x a =++ (2)a(3)1a =-，证明见解析（1）利用导数的几何意义直接求解；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；（3）取1a =-，构造函数()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. (1)由()e sin 2xx x f a x =-+，知()0f a =，切点为()0,a求导()e cos 2xf a x x =-+'，则切线斜率()0121a f a k =-+='+=所以切线方程为：()1y a a x -=+，即()1y a x a =++ (2)求导()e cos 2xf a x x =-+'，[]0,1x ∈0a ≥，[]cos 1,1x ∈-，0f x，所以函数()f x 在0,1上单调递增，()()min 0f x f a ∴==，即函数()f x 在0,1上的最小值为a . (3)取1a =-，下面证明e sin 21x x x --+≤-恒成立，即证e sin 210x x x +--≥恒成立， 令()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立 求导()e cos 2x g x x '=+-，（i ）当0x ≤时，e 1x ≤，[]cos 1,1x ∈-，此时()0g x '≤所以函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()(0)0g x g ∴≥=，即()0g x ≥成立（ii ）当0x >时，令()()e cos 2,0xp x g x x x '==+->，()e sin x p x x -'=，因为e 1x >，[]sin 1,1x ∈-，所以()0p x '>，所以函数()g x '在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ''∴>=，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=，综上可知，()0g x ≥恒成立，即()f x a ≤恒成立3．已知函数()2e xf x ax =-（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数()f x 的导函数()f x '的单调性；(2)设()()cos g x x x f x =+-，若x ＝0为g （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)()1,+∞.（1）先求导，再对a 利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出()sin 1e 2x g x x ax =-+-+'，令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，再对22a -分两种情况讨论分析得解. (1)解： ()e 2x f x ax '=-，令()e 2x F x ax =-，则()e 2xF x a ='-，①当0a ≤时，()0F x '>，②当0a >时，()()ln 2,x a ∈+∞时，()0F x '>，()(),ln 2x a ∈-∞时，()0F x '<； 综上，当0a ≤时，()f x '在(),-∞+∞上是增函数；当0a >时，()f x '在()()ln 2,a +∞上是增函数，在()(),ln 2a -∞上是减函数； (2)解：()2cos e x g x x x ax =+-+，则()sin 1e 2xg x x ax =-+-+'，()00g '=， 令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，则()sin e xh x x ='-，当0x >时，sin 1x ≤，e 1x >，故()0h x '<，()G x '是减函数， 所以()()022G x G a '='<-.①当220a -≤，即1a ≤时，()0G x '<，即()G x 在()0,∞+上是减函数，不符合0x =是极小值，舍去； ②当220a ->，即1a >时，因为()G x '是减函数，且()00G '>，()()()ln 23cos ln 2330G a a +=-+-<⎡⎤⎣⎦'， 所以()()00,ln 23x a ∃∈+，使得()00G x '=，当()00,x x ∈时，()0G x '>，即()g x '是增函数，所以()()00g x g ''>=，即()g x 在()00,x 上是增函数；当0x <时，(),0π∀∈-，使得()0h x '<，()G x '是减函数， 故()()0220G x G a >=-'>'，从而()g x '是增函数，所以()()00g x g ''<=，即()g x 在(),0π-上是减函数. 综上，a 的取值范围是()1,+∞.4．已知函数2()2ln =--+f x x x a x ax ，a ∈R ． (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设()f x 的极小值点为0x ，且()204<-af x a ，求a 的取值范围．【答案】(1)0y = (2)(2,2)-（1）由导数的几何意义得出切线方程；（2）对a 的值进行分类讨论，利用导数得出其单调性，再根据题意解不等式得出a 的取值范围． (1)由2()ln f x x x x =--可得，(1)0f =，由1()21f x x x'=--可得，(1)2110f '=--= 即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y = (2)(1)(2)()22a x x a f x x a x x-+'=--+=若0a 时，1()0x f x '>⇒>；01()0x f x '<<⇒<即函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，极小值点为1由()241af a <-，可得2140a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪⎩，解得02a ≤<.若2a <-时，当(0,1),2a x ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,1),,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则极小值点为2a -.由224a a f a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭可得，ln 022a a ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解.若2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数()f x 无极值点. 若20a -<<时，当0,(1,)2a x ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，即函数()f x 在0,,(1,)2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()f x 的极小值点为1，由()241af a <-，可得21420a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得20a -<<.综上，(2,2)a ∈- 5．已知函数()()21ln 12f x x a x a x =+-+，其中a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()()1F x f x a x =+-有两个极值点1x ，2x ，且()()1222eF x F x +>--恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)10ea <<． （1）示出导函数()'f x ，在定义域内分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）由()0F x '=有两个不等实根得出a 的一个范围，同时得出12,x x 的关系，计算12()()F x F x +化为a 的函数，不等式变形后，引入函数2()ln eg x x x x =-+，由导数确定单调性后可得不等式的解，即得a 的范围．(1)()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)()()(1)a x x a f x x a x x--'=+-+=， 0a ≤时，01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x 的减区间(0,1)，增区间是(1,)+∞；01a <<时，0x a <<或1x >时，()0f x '>，1<<a x 时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,)a 和(1,)+∞，减区间是(,1)a ；1a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间是(0,)+∞，无减区间；1a >时，01x <<或x a >时，()0f x '>，1x a <<时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,1)和(,)a +∞，减区间是(1,)a ；(2)22()()1x x aF x f x a x-+''=+-=，由题意220x x a -+=有两个不等正根12,x x ，440a ∆=->，1a <，又122x x +=，120x x a =>，所以01a <<，21()ln 22F x x a x x =+-， 2221211122212121212111()()ln 2ln 2[()2]ln()2()222F x F x x a x x x a x x x x x x a x x x x +=+-++-=+-+-+2ln 4ln 2a a a a a a =-+-=--，由题意2ln 22e a a a -->--，2ln 0ea a a -+>， 设2()ln eg x x x x =-+(01)x <<，则()ln 11ln g x x x '=+-=0<， ()g x 在(0,1)上递减，又11112()ln 0e e e e e g =-+=，所以由2ln 0e a a a -+>，得10ea <<．综上，10ea <<． 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查极值点有关的问题，解题方法由导函数为0得出极值点的性质，同时得出参数的一个范围，计算有关极值点的代数式12()()F x F x +，化简不等式，利用函数的单调性得出不等式的解，从而得出结论，本题属于较难题． 6．已知函数221()2ln (0)2f x ax x a x a =-+≠ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212()()11f x f x x x x x -<+-【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析（1）函数()f x 求导后，分子为含参的二次三项式，结合0a ≠，我们可以从0∆和0∆>结合开口方向和两根的大小来讨论；（2）1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，我们可以通过()f x '结合韦达定理，找到1x ，2x 的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于12x x 的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明. (1)22222()1a ax x a f x ax x x-+'=-+=，设22()2p x ax x a =-+．(0)x >，318a ∆=-， ①当12a时，0∆，()0p x ，则()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当102a <<时，0∆>，()p x的零点为1x =，2x =120x x <<，令()0f x '>，得10x x <<，或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，()f x ∴在上单调递减，在，，)∞+单调递增，③当0a <时，0∆>，()p x，()f x ∴在上单调递增，在，)∞+上单调递减．综上所述：当12a时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102a <<时，()f x在上单调递减，在，，)∞+单调递增；当0a <时，()f x在上单调递增，在，)∞+上单调递减． (2)证明：由（1）知，当102a <<时，()f x 存在两个极值点， 不妨设120x x <<，则121x x a+=， 要证：121212()()11f x f x x x x x -<+-，只要证121212121221()()()()x x x x x xf x f x x x x x -+->=-，只需要证211212122211()[()2]2ln2x x x x x a x x a x x x -+-+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12x t x =，(01)t <<， 设函数21()2ln g t a t t t=-+， 22221()t a t g t t -+∴'=-，∴4440a ∆=-<，22210t a t ∴-+>， ()0g t ∴'<，()g t ∴在(0,1)上单调递减，则()(1)g t g >0=， 又121()02x x -<， 则121()0()2g t x x >>-，则21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而121212()()11f x f x x x x x -<+-． 【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；(2)如果函数()f x 在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数()f x 的极值点关系，可以使用韦达定理来表示. 7．已知函数()()()1ln R af x x a x a x=-+-∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点，且这两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的值.【答案】(1)答案见解析 (2)2λ=-（1）求导，然后分0a ≤，01a <<，1a =，1a >讨论研究单调性；（2）由（1）两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =，代入()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+，然后转化为最值问题求解即可. (1)由题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22111x a x a a f x x x x --+'=-+=. 当0a ≤时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<. 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >；由()0f x '<，得1<<a x . 则()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减. 当1a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >；由()0f x '<，得1x a <<. 则()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； 当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. (2)由（1）可知01a <<或1a >，且两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =， 则()()()()1211ln 11ln f x f x a a a a a a +=-+-+-=-+，12ln ln ln x x a +=， 故()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，即()1ln ln a a a λ-+<恒成立. 当01a <<时，ln 0a <，则()1a λ<-+，因为01a <<，所以()211a -<-+<-，则2λ≤-； 当1a >时，ln 0a >，则()1a λ>-+， 因为1a >，所以()12a -+<-，则2λ≥-. 综上，2λ=-.。
专题03 用导数研究函数的极值(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题3 用导数研究函数的极值函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题的求解.(一) 求函数的极值1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.2.求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.3.对极值理解：(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值；(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值的大小没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；(4)使f ′(x )＝0的点称为函数f (x )的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f (x )＝x 3的导数f ′(x )＝3x 2在点x ＝0处有f ′(0)＝0,即x ＝0是f (x )＝x 3的驻点,但从f (x )在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x ＝0不是f (x )的极值点．因此若f ′(x 0)＝0,则x 0不一定是极值点,即f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取到极值的必要不充分条件,函数y ＝f ′(x )的变号零点,才是函数的极值点；(5)函数f (x )在［a ,b ］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f (x )在［a ,b ］上连续且有有限个极值点时,函数f (x )在［a ,b ］内的极大值点、极小值点是交替出现的．【例1】(2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟三) 已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++（a<0）.(1)求函数()f x 的极值；(2)若集合(){}1x f x ³-有且只有一个元素，求a 的值.【解析】（1）由()()1e 1xf x x x a æö=++çè¢÷ø，因为a<0，所以()f x 的定义域为(),0¥-，则1e0xx a+<，因为(),1x ¥Î--时，()0f x ¢>；()1,0x Î-时，()0f x ¢<.所以()f x 的单调递增区间为(),1¥--；单调递减区间为()1,0-，所以=1x -是()f x 的极大值点，()f x 的极大值是()()111ln ef a a -=-+--，无极小值.（2）由（1）可得()()()max 111ln ef x f a a =-=-+--，要使得集合(){}1x f x ³-有且只有一个元素，则只需要()11ln 1ea a -+--=-设()()11ln e g x x x =-+--，则()2211e 1e e x g x x x x +=¢=+，因为1,e x ¥æöÎ--ç÷èø时，()0g x ¢<；1,0e x æöÎ-ç÷èø时，()0g x ¢>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ¥æö--ç÷èø；单调递增区间为1,0e æö-ç÷èø.所以()min 11e g x g æö=-=-ç÷èø，所以关于a 的方程()11ln 1e a a -+--=-有解时，只能是1a e =-，所以集合(){}1x f x ³-有且只有一个元素时1a e=-.(二)函数极值点的个数问题可导函数()f x 的极值点的个数,通常转化为方程()0f x ¢=实根个数,再根据()f x ¢的单调性或图象求解,求解时要注意()0f x ¢=是0x 的必要不充分条件.可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点,即0()0f x ¢=,且在0x 左侧与右侧,()f x ¢的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数()f x x =,在极小值点00x =处是不可导的.【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期考试）已知函数()32()2e (R)xf x ax x a =-Î.(1)当1a =-时,求()f x 的单调区间；(2)求证：当0a >时,函数()f x 有三个不同的极值点.【解析】（1）当1a =-时,()32()2e x f x x x =--,()()()3232234e 254e x x f x x x x x x x x ¢=--=-----()()()254e 14e x x x x x x x x =-++=-++,所以在区间()()()(),4,1,0,0,f x f x ¢-¥-->单调递增,在区间()()()()4,1,0,,0,f x f x ¢--+¥<单调递减.所以()f x 的增区间为()(),4,1,0-¥--；减区间为()()4,1,0,--+¥.（2）依题意()32()2e (0)xf x ax x a =->,()()()32232234e 324e x x f x ax x ax x ax a x x ¢éù=-+-=+--ëû()2324e xx ax a x éù=+--ëû,对于函数()()()23240g x ax a x a =+-->,()()2040,32160g a a =-¹D =-+>,所以()g x 有两个零点,设为12,x x ,则1240x x a-×=<,不妨设120x x <<,所以在区间()()()()12,,0,,0,x x f x f x ¢-¥<单调递减；在区间()()()()12,0,,,0,x x f x f x ¢+¥>单调递增,所以()f x 有三个不同的极值点13,0,x x .(三)由函数极值点个数确定参数范围此类问题一般是先把问题转化为()0f x ¢=实根个数问题,可借助图象分析,若()0f x ¢=可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.【例3】（2024届山西省晋中市高三下学期5月适应训练）已知函数()313f x x ax =+，a ÎR (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()2ln g x f x x =+存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由()313f x x ax =+，知()2f x x a ¢=+.当0a ³时，()0f x ¢³恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；当a<0时，有()(2f x x a x x =+=¢，从而对<x x >有()0f x ¢>，对<<x ()0f x ¢<.所以()f x 在(,¥-和)¥+上单调递增，在éë上单调递减.综上，当0a ³时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在(,¥-和)¥+上单调递增，在éë上单调递减.（2）由于()312ln 3g x x ax x =++，故()22g x x a x=++¢.记()()h x g x =¢，则()()3222122x h x x x x -=-=¢.从而对01x <<有()0h x ¢<，对1x >有()0h x ¢>. 所以()g x ¢在(]0,1上单调递减，在[)1,+¥上单调递增.当3a ³-时，对()()0,11,x ¥ÎÈ+均有()()130g x g a >=+¢³¢，所以()g x ¢不可能有两个零点，从而()g x 不可能有两个极值点；当3a <-时，由2240g a a æö=÷ø¢->çè，()130g a =¢+<，0g ¢>，结合零点存在定理可知()g x ¢存在两个零点2,1u a æöÎ-ç÷èø，(v Î.再结合()g x ¢的单调性知()g x ¢在()()0,,x u v ¥ÎÈ+时取正值，在(),x u v Î时取负值，所以()g x 有极大值点x u =和极小值点x v =.综上，a 的取值范围是(),3¥--. (四)含参数的函数极值的讨论求含参数函数()f x 的极值,通常转化为不等式()0f x ¢>或()0f x ¢<的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论.【例4】（2024届河宁夏银川一中、昆明一中高三下学期二模）已知函数22()e xx ax af x -+=，其中R a Î．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的极值.【解析】（1）222(4)e e (2)2(4)2()(e )e x x x xx a x ax a x a x af x ---+-++-==¢Q ，当1a =时，2252()exx x f x -+-=¢，(0)2f ¢=-，又(0)1f =Q ，故曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=.（2）22(4)2(2)(2)()0e e x xx a x a x a x f x -++--+-==¢=Q ，解得12x =，22a x =，①若4a <，可得2a x <或2x >时，()0f x ¢<，当22ax <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在,2a æö-¥ç÷èø，()2,+¥递减，,22a æöç÷èø递增，所以()f x 的极小值为2()2e a a a f =，()f x 的极大值为28(2)e a f -=. ②若4a =，则()0f x ¢£，所以函数()f x 在R 上单调递减，无极值；③若4a >，当2x <或2ax >时，()0f x ¢<，当22ax <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,2)-¥，,2a æö+¥ç÷èø递减，2,2a æöç÷èø递增，所以()f x 的极小值为28(2)e a f -=，()f x 的极大值为2()2e a a a f =.综上，当4a <时，()f x 的极小值为2()2e a a a f =，()f x 的极大值为28(2)e a f -=. 当4a =时，函数()f x 无极值.当4a >时，()f x 的极小值为28(2)e a f -=，()f x 的极大值为2(2e a a af = (五)由极值点满足条件求解不等式问题此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.【例5】（2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数()ln ,R f x x a x a =-Î.(1)当2a =时，曲线()y f x =与曲线()2f x x m =-+恰有一条公切线y x t =-+，求实数m 与t 的值；(2)若函数()1ln h x x a x x =--有两个极值点()1212,x x x x <且()()214e h x h x -³-，求a 的取值范围.【解析】（1）解：当2a =时，()2ln f x x x =-，可得()21f x x¢=-，令()211f x x=-=-¢，可得1x =，又由()11f =，所以切点()1,1在直线y x t =-+上，则2t =，因为2y x m =-+，所以2y x ¢=-，令1y ¢=-，则12x =，在直线2y x =-+方程中，令12x =，可得32y =，又因为点13,22æöç÷èø在曲线2y x m =-+上，所以74m =.（2）解：函数()1ln h x x a x x =--，可得()()2221110a x ax h x x x x x-+=-+=>¢，由函数()h x 有两个极值点，所以210x ax -+=有两个不等正根，则1212121201x x ax x a x x +=ìï=ïí>ïï<<<î，由()()2122112111ln ln h x h x x a x x a x x x -=---++()()21211212ln ln x x x x a x x x x -=-+-+1111111422ln e x x x x x æöæö=-++³-ç÷ç÷èøèø，可得11111112ln e x x x x x æöæö-++³-ç÷ç÷èøèø，令()()11ln 01g x x x x x x x æö=-++<<ç÷èø，22221111()11ln 11ln 0g x x x x x x x æöæö=--+-++=->ç÷ç÷èøèø¢，所以()g x 在区间()0,1上单调递增，因为()1112e e 1e e e e g æöæö=-++´-=-ç÷ç÷èøèø，所以由11111112ln e x x x x x æöæö-++³-ç÷ç÷èøèø，可得111e x £<，令函数()11,,1e m x x x x éö=+Î÷êëø，可得()2221110x m x x x-=-=<¢，所以()m x 在1[,1)e 上单调递减，可得()()()max 1112,e e e m x m m x m æö>===+ç÷èø，又因为111a x x =+，所以a 的取值范围是12,e e æù+çúèû.【例6】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数()ln 1f x a x ax =-+,R a Î.(1)若经过点()0,0的直线与函数()f x 的图像相切于点()()22f ,,求实数a 的值；(2)设()()2112g x f x x =+-,若()g x 有两个极值点为1x ,()212x x x ¹,且不等式()()()1212g x g x x x l +<+恒成立,求实数l 的取值范围.【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+¥,由()ln 1f x a x ax =-+,得()af x a x ¢=-,则()222a a f a ¢=-=-,因为经过点()0,0的直线与函数()f x 的图像相切于点()()22f ,,所以(2)22f a k ==-,所以ln 221a a a -+=-,解得11ln 2a =-,（2）()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+,则()2(0)a x ax ag x a x x x x -+¢=-+=>,因为()g x 有两个极值点为1x ,()212x x x ¹,所以()20x ax ag x x-+¢==在(0,)+¥上有两个不同的根,此时方程20x ax a -+=在(0,)+¥上有两个不同的根,则240a a D =->,且12120,0x x a x x a +=>=>,解得4a >,若不等式()()()1212g x g x x x l +<+恒成立,则()()1212g x g x x x l +>+恒成立,因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x éù=-+++-ëû21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a ag x g x h a a a a x x a --+===-->+,则112()22ah a a a-¢=-=,因为4a >,所以()0h a ¢<,所以()h a 在(4,)+¥上递减,所以()(4)2ln 23h a h <=-,所以2ln 23l ³-,即实数l 的取值范围为[2ln 23,)-+¥.【例1】（2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）已知函数2e ()xf x x =，2()ln tg x t x x =+.(1)求函数()g x 单调区间；(2)若函数()()()H x f x g x =-在(0,2)有两个极值点，求实数t 的取值范围.【解析】（1）由题意可知，函数定义域为(0,)+¥，导数222(2)()t t t x g x x x x -¢=-+=0=t 时，()0g x ¢=恒成立0t >时，当2,()0x g x ¢>>；当02,()0x g x ¢<<<0t <时，当2,()0x g x ¢><；当02,()0x g x ¢<<>综上可知：0=t 时为常函数，无单调区间0t >时，单调增区间为：(2,)+¥，单调减区间为：(0,2)0t <时，单调增区间为：(0,2)，单调减区间为：(2,)+¥.（2）因为2e 2()ln (0)x t H x t x x x x =-->，所以3(2)(e )()x x tx H x x --¢=，因为()H x 在()0,2上有两个极值点，则e 0xtx -=，即e xt x=在()0,2上有两个根，令e ()x p x x =，2e (1)()x x p x x -¢=当01x <<时，()0p x ¢<，()p x 单调递减当12x <<时，()0p x ¢>，()p x 单调递增又因为0x →时()p x →+¥ ，(1)e p =，2e (2)2p =，所以()h x 在(0,2)上有2个极值点需满足2ee 2t <<.综上所述，当2e e 2t <<时，函数()H x 在(0,2)上有两个极值点.【例2】（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数()12ln 2f x a x x x æö=++-ç÷èø，其中R a Î．(1)当1a ³时，判断()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点()1221,0x x x x >>．（ⅰ）证明：2122x x a-+>；（ⅱ）证明：()1,x Î+¥时，()322221452f x x x x >-+-．【解析】（1）函数()12ln 2f x a x x x æö=++-ç÷èø的定义域为()0,¥+，则()221ln ln 112xa x x f x a x x x x x+--æö¢=++-=ç÷èø，令()1ln x g x a x +=-，()0,x Î+¥，则()2ln ¢=xg x x，所以当01x <<时()0g x ¢<，当1x >时()0g x ¢>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，所以()g x 在1x =处取得极小值，即最小值，所以()()min 110g x g a ==-³，所以()0f x ¢³在()0,¥+上恒成立，所以()f x 在()0,¥+上单调递增；（2）（ⅰ）由（1）可知()g x 在()0,¥+上的最小值为()11g a =-，当0x →时()g x ¥→+，当x →+¥时()g x a →，若()f x 存在两个极值点()1221,0x x x x >>，则()0g x =有两个不相等的实数根()1221,0x x x x >>，所以()0110a g a >ìí=-<î，解得01a <<，又10e g a æö=>ç÷èø，所以1211e x x <<<，且当10x x <<时()0g x >，即()0f x ¢>，则()f x 单调递增，当12x x x <<时()0g x <，即()0f x ¢<，则()f x 单调递减，当2x x >时()0g x >，即()0f x ¢>，则()f x 单调递增，所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点，因为11221ln 01ln 0x a x x a x +ì-=ïïí+ï-=ïî，所以11221ln 1ln x x ax x a +ì=ïïí+ï=ïî，要证2122x x a -+>，即证2122x x a >-+，又111ex <<，只需证221x a >-，即证222211ln x x x >-+，即证2221ln 01x x x -->+，令()()1ln 11x p x x x x -=->+，则()()()222121011x p x x x x x +¢=-=>++，所以()p x 在()1,+¥上单调递增，所以()()10p x p >=，即2221ln 01x x x -->+成立，所以2122x x a-+>；（ⅱ）由（ⅰ）知21x >，221ln x a x +=，且当21x x <<时()0f x ¢<，当2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在()21,x 上单调递减，在()2,x +¥上单调递增，所以()()222212ln 2f x f x a x x x æö³=++-ç÷èø222221ln 12ln 2x x x x x æö+=++-ç÷èø()222222ln ln 22x x x x ++-=，令()()1ln 1H x x x x=+>，则()221110x H x x x x -¢=-=>，所以()H x 在()1,+¥上单调递增，所以()()11H x H >=，即1ln 10x x>->()1x >，所以()22222222322222211211222ln ln 221452x x x x x x x x x x x æöæö-+-+-ç÷ç÷++-èøèø>=-+-，所以()322221452f x x x x >-+-.【例3】（2025届云南省三校高三联考）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【解析】（1）证明：令2()sin (01)g x x x x x =--<<，则()12cos g x x x -¢=-，令()()12cos m x g x x x ==--¢则()2sin 0m x x =-+<¢恒成立，则()g x ¢在(0,1)上单调递减，则()(0)0g x g ¢¢<=，所以()g x 在(0,1)上单调递减，则()(0)0g x g <=，即2sin x x x -<；同理，令()sin (01)h x x x x =-<<，则()cos 10h x x ¢=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，则()(0)0h x h <=，即sin x x <，故当01x <<时，sin x x x x 2-<<. （2）解：由题22()sin 1x f x a ax x ¢=-+-，令()()22sin 1xn x f x a ax x =+¢=--，则()()()()22222222212222cos cos 11x x xx n x a ax a ax x x -+×+=-+=-+--¢，又()()200,02f n a ¢=-¢=+，则①若()2020n a =->¢，即a <<易知存在0d >，使得,()0x d Î时，()0n x ¢>，()f x ¢\在(0,)d 上单调递增，则()(0)0f x f ¢¢>=，则()f x 在(0,)d 上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.②若()2020n a =-<¢，即a <a >易知存在0d >，使得(,)x d d Î-时，()0f x ¢¢<，()f x ¢\在(,)d d -上单调递减，又(0)0f ¢=，\当0x d -<<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0x d <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.③若()2020n a =-=¢，即a =()f x为偶函数，不妨只考虑a =此时22()),(0,1)1xf x x x ¢=+Î-，2221()22(1)011x f x x x x x¢>-+=->--，()f x \在(0,1)上单调递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.综上所述，a的取值范围为(,)-¥+¥U .【例4】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）若函数()x a 有且仅有一个极值点m ，函数()x b 有且仅有一个极值点n ，且m n >，则称()x a 与()x b 具有性质//m n a b ->．(1)函数21()sin x x x j =-与()2e x x x j =-是否具有性质120//0x j j ->？并说明理由．(2)已知函数()()e ln 1x f x a x =-+与()()ln e 1xg x x a =+-+具有性质12//f g x x ->．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()12g x x >．【解析】（1）函数21()sin x x x j =-与()2e x x x j =-具有性质120//0x j j ->，理由如下：1()cos 2x x x j ¢=-，令()()1cos 2h x x x x j ¢==-，则()sin 20h x x =-¢-<，故()1x j ¢单调递减，又()10cos0010j ¢=-=>，()11cos120j ¢=-<，故存在()00,1x Î，使()100x j ¢=，则()1x j 在()0,x ¥-上单调递增，在()0,x ¥+上单调递减，故1()x j 有且仅有一个极值点()00,1x Î，()2e 1x x j ¢=-，则当0x <时，()20x j ¢<，当0x >时，()20x j ¢>，故2()x j 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增，故2()x j 有且仅有一个极值点0，故函数21()sin x x x j =-与()2e x x x j =-具有性质120//0x j j ->；（2）（i ）()1e 1xf x a x =¢-+， 又10x +>，故1x >-，当0a £时，()1e 01xf x a x =-<+¢，此时()f x 没有极值点，故舍去，当0a >时， 令()()1e 1xm x f x a x =-¢=+，则()()21e 01x m x a x =+>+¢恒成立，故()f x ¢在()1,¥-+上单调递增，()1e x g x x a-+¢=，0x a +>，故x a >-，由0a >，令()()1e x n x g x x a==-+¢，则()()21e 0x n x x a =--<+¢恒成立，故()g x ¢在(),a ¥-+上单调递减，当()0,1a Î时，有()010e 1001f a a =-=-<+¢，又x →+¥时，()f x ¥¢→+，故此时存在()10,x ¥Î+，使()f x 在()11,x -上单调递减，在()1,x ¥+上单调递增，则()f x 有唯一极值点()10,x ¥Î+，有()0110e 10g a a¢=-=->，又x →+¥时，()g x ¥¢→-，故此时存在()20,x ¥Î+，使()g x 在()2,a x -上单调递增，在()2,x ¥+上单调递减，则()g x 有唯一极值点()20,x ¥Î+，即有()1111e 01x f x a x =-=+¢，()2221e 0x g x x a=-=+¢，即()111e 1x a x =+，221e x x a=+，此时需满足120x x >>，则12e e x x >，故有()12111a x x a >++，即21x ax >，即211x a x <<，故()0,1a Î符合要求；当()1,a ¥Î+时，()010e 1001f a a =-=->+¢，又1x →-时，()f x ¥¢→-，故此时存在()11,0x Î-，使()f x 在()11,x -上单调递减，在()1,x ¥+上单调递增，则()f x 有唯一极值点()11,0x Î-，有()0110e 10g a a¢=-=-<，又x a →-时，()g x ¥¢→+，故此时存在()2,0x a Î-，使()g x 在()2,a x -上单调递增，在()2,x ¥+上单调递减，则()g x 有唯一极值点()2,0x a Î-，同理可得()12111a x x a >++，此时需满足120x x >>，即21x ax >，则21x a x >，由211x x <，()1,a ¥Î+，故该不等式成立，故()1,a ¥Î+符合要求；当1a =时，有()010e 1001f a a =-=-=+¢，()0110e 10g a a¢=-=-=，此时120x x ==，即()f x 、()g x 的极值点都为0，不符合要求，故舍去；综上，故()()0,11,a ¥ÎÈ+；（ii ）当()0,1a Î时，有120x x >>，则2021e e 1x x a=>=+，故201x a <+<，()g x 在()2,a x -上单调递增，在()2,x ¥+上单调递减，则()()()()2122221ln e 1ln 1x g x g x x a x a x a<=+-+=+-++，令()20,1t x a =+Î，则()21ln 1g x t t =-+，令()1ln 1t t t m =-+，()0,1t Î则()2110t t t m =+>¢，故()t m 在()0,1上单调递增，则()()211ln 11ln1101g x t t m =-+<=-+=，故()()12g x g x >，要证()12g x x >，只需证()120g x x +<，()()()222212222221ln e 1ln e 11e 0ex x x x g x x g x x x a x x +<+=+-++=-++=-<，即当()0,1a Î，有()12g x x >；当()1,a ¥Î+时，有120x x >>，则2021e e 1x x a=<=+，即21x a +>，()g x 在()2,a x -上单调递增，在()2,x ¥+上单调递减，则()()()010ln 0e 1ln 0g x g a a >=+-+=>，即要证()12g x x >，只需证()120g x x +>，()()()11121222ln e 1ln e 1x x g x x x a x x a x +=+-++>+-++111202221lne 1e 11e 1e 0ex x x x x x x =-++=--++=->-=，即当()1,a ¥Î+，有()12g x x >；综上所述，()12g x x >.1. （2024届西藏拉萨市第三高级中学高三下学期5月月考）已知函数()()212ln R 2f x x x ax a =+-Î.(1)讨论()f x 的单调性：(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()123ln24f x x +<-.2．（2024届河南省鹤壁市外国语学校高三上学期11月检测）已知函数()()2e R xf x ax a =-Î，其中e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在()0,¥+上有2个极值点，求a 的取值范围；(2)设函数()()12e e cos x x g xf x ax x -=+-++，()0,2πx Î，证明：()g x 的所有零点之和大于2π．3．（2024辽宁省沈阳市第一二〇中学高三最后一卷）设函数()21ln 2f x x x x ax =--的两个极值点分别为()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)若不等式()12a x x l <+恒成立，求正数l 的取值范围（其中e 271828=L．为自然对数的底数）．4．（2024届四川省百师联盟2024届高三联考）已知函数()ln 2f x ax x x b =-+（a ，b ÎR ）在点()()1,1f 处的切线方程为y x =-．(1)求函数()f x 的极值；(2)设()1e 2x g x xfmx x éùæö=++ç÷êúèøëû（m ÎR ），若()0g x ³恒成立，求m 的取值范围．5．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +D ，当0x D >，()()000lim x f x x f x xD →+D -D 是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x D <，()()000limx f x x f x xD →+D -D 是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；(2)已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.6．（2024届河北省名校联盟高考三模）已知函数()cos 2f x x x =+．(1)当(),0x Î-¥时，证明：()e xf x <．(2)若函数()()()ln 1e xg x x f x =++-，试问：函数()g x 是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．7．（2024届四川省攀枝花市高考数学三模）已知函数()ln 1(R)af x x a x=+-Î．(1)求函数()f x 的极值；(2)设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若12()()f x f x ¢¢=（12x x ¹），证明：()()1211f x f x a++>．8．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数()()sin ,f x x g x x ==．(1)求函数()()()()2,0,2πh x f x x x =Î的极值；(2)函数()()()π,0,2g x x x f x j æö=Îç÷èø．①讨论函数()x j 的单调性；②函数()()()1cos 0F x a x x x j j =××-<，求实数a 的取值范围．9．（2024届江苏省南通市模拟预测）设0a >，函数3()21f x ax x =-+．(1)当1a =时，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程：(2)12,x x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x +为定值．10．（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数ln ln 1()e ax x a f x a x++=-．(1)当1a =时，请判断()f x 的极值点的个数并说明理由；(2)若2()2f x a a ³-恒成立，求实数a 的取值范围．11．（2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前指导卷）已知函数()2ln a f x ax x x =--在区间1,e e æöç÷èø内有两个极值点.(1)求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围.12．（2024届北京市顺义区第一中学高三下学期考前适应性检测）已知函数()()2ln 21f x x x ax =+-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值；(3)求函数()f x 的零点个数.13．（2024届河北省雄安新区部分高中高考三模）已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--ÎR ．(1)若1x =是()f x 的一个极值点，求a 的值；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求a 的取值范围．14．（2024届天津市民族中学高三下学期4月模拟）已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>．(1)当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <；（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）不等式()12f x mx ³恒成立，试求实数m 的取值范围．15．（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性考试）（1）证明：当ππ2x <<时，cos πcos sin 2x x x x <-<；（2）已知函数()2tan f x ax x =-在ππ,22x æöÎ-ç÷èø上有两个极值点，求实数a 的取值范围．。
高考数学专题：利用导数研究函数的极值、最值
高考数学专题：利用导数研究函数的极值、最值考点一 用导数研究函数的极值 【例1】 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2－2x －4ln x ；(2)f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a (a ∈R 且a ≠0). 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ，令f ′(x )＝0得x ＝2或－1(舍).随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )有极小值f (2)(2)由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a .当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.规律方法 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.【训练1】 (1)设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .若f (x )在R 上无极值点，则实数a 的取值范围为________.(2)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13D.a <－13解析 (1)由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立. ①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.(2)y ′＝f ′(x )＝a e ax ＋3，当a ≥0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )无极值点； 当a <0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，∴1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0得a <－3，故选B.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)B考点二 利用导数研究函数的最值【例2】 （·郑州质检)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值. 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞).(2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增.易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意.③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8， 由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上有，a ＝－10.规律方法 (1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. 【训练2】 已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值. (1)求a 的值；(2)求函数在区间[m ，m ＋1]上的最小值. 解 (1)f ′(x )＝(ax ＋a －2)e x ， 由已知得f ′(1)＝(a ＋a －2)e ＝0， 解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意， 所以a 的值为1.(2)由(1)得f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝(x －1)e x . 令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得x <1.所以函数f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (m )＝(m －2)e m ，当0<m <1时，f (x )在[m ，1]上递减，在(1，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减， f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1. 综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎨⎧（m －2）e m ，m ≥1－e ，0<m <1，（m －1）e m ＋1，m ≤0.考点三用导数解决函数的优化问题【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律方法函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设：设出自变量、因变量；二列：列出函数关系式，并写出定义域；三解：解出函数的最值，一般常用导数求解；四答：回答实际问题.【训练3】要做一个圆锥形漏斗，其母线长为30 cm，要使其体积最大，则其高应为()A.12 3 cmB.10 3 cmC.8 3 cmD.5 3 cm解析设圆锥的高为x cm，则底面半径为900－x2，∴圆锥体积V＝13π(900－x2)·x(0<x<30)，∴V′＝π(300－x2)，令V′＝0得x＝10 3.当0<x<103时，V′>0；当103<x<30时，V′<0，∴当x＝103时，V取最大值.答案 B[思想方法]1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.[易错防范]1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.（·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A.－4B.－2C.4D.2解析f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2<x<2时，f′(x)<0，x>2时，f ′(x )>0，∴x ＝2是f (x )的极小值点. 答案 D2.函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12. 答案 A3.（·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( ) A.23 B.43 C.83D.163解析 由图象可知f (x )的图象过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 答案 C4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A.3B.4C.6D.5解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小. 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R .∴S ′＝2πR －54πR 2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小.故选A. 答案 A5.（·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 二、填空题6.（·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值. 答案 57.（·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________.解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数.∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案 28.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1. 答案 (－∞，－1) 三、解答题9.（·安徽卷)已知函数f(x)＝ax（x＋r）2(a>0，r>0).(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.解(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝ax（x＋r）2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝a（x2＋2rx＋r2）－ax（2x＋2r）（x2＋2rx＋r2）2＝a（r－x）（x＋r）（x＋r）4.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；当－r<x<r时，f′(x)>0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r).(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减. 因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar（2r）2＝a4r＝4004＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值. 10.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0，1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.（·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( ) A.2B.3C.6D.9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 答案 D12.（·长沙调研)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，0) B.(－5，0) C.[－3，0)D.(－3，0)解析 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示. 令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3，0)，故选C. 答案 C13.函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________.解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（a ）3－3a a ＋b ＝2，⎩b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1，1). 答案 (－1，1)14.（·济南模拟)设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2.(1)若当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln e 2. 解 (1)f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝（2x ＋1）（x ＋1）x ＋32，且f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞， 当－32<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12时，f ′(x )<0； 当x >－12时，f ′(x )>0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减.(2)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a .方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8，①若Δ≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，故f (x )无极值.②若Δ>0，即a <－2或a >2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根，x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ， 故f ′(x )>0在定义域上恒成立， 故f (x )无极值.当a >2时，－a <x 1<x 2，故f (x )在(－a ，x 1)上递增，(x 1，x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增. 故f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值.综上，f (x )存在极值时，a 的取值范围为(2，＋∞). 由上可知，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝12.所以，f (x )的极值之和为f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1＋a )＋x 21＋ln(x 2＋a )＋x 22 ＝ln(－x 2)＋ln(－x 1)＋(x 21＋x 22)＝ln(x 1x 2)＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝ln 12＋a 2－1>ln 12＋(2)2－1＝ln e 2.。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在上的最大值为2，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于等于2，即，解得：，故选D.【考点】函数最值的应用.2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝________.【答案】1或2【解析】易知当2≤x≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x≤2时，2≤2x≤4，从而由条件得f(x)＝f(2x)＝(1－|2x－3|)．因为c>0，故极大值点为；当2≤x≤4时，4≤2x≤8，从上述步骤得f(2x)＝cf(x)＝c(1－|4x－3|)．因为c>0，故极大值点为(6，c)；上述三点在同一直线上，所以＝，解得c＝2或1.4.已知函数，，其中.(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数的值；（2）问题等价于对任意的时，都有，分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性，由单调性求出函数的最小值及的最大值，根据它们之间的关系求出实数的取值范围．试题解析：(1)∵，其定义域为，∴．∵是函数的极值点，∴，即.∵，∴．经检验当时，是函数的极值点，∴．(2)对任意的都有成立等价于对任意的，都有．当时，．∴函数在上是增函数，∴.∵，且，．①当且时，，∴函数在上是增函数，∴．由，得a≥，又，∴不合题意．②当时，若，则，若，则．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴.由，得．又，∴．③当且时，，函数在上是减函数．∴.由，得．又，∴.综上所述，的取值范围为．【考点】1、函数在某点取得极值的条件；2、利用导数求闭区间上函数的最值．5.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.6.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.7.设函数f(x)＝＋ln x，则()．A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝＋ln x(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．8.已知函数在时有极值0，则．【答案】11【解析】对函数求导得,由题意得 ,即解得: 或,当时,故,【考点】函数的极值9.已知函数在处有极值，则等于( )A．或B．C．或18D．【答案】A【解析】，依题意，解得故当时，；当时，.故答案为11或18.【考点】函数的极值.10.已知函数在处取得极大值，则的值为 .【答案】.【解析】，，依题意知，于是有，，整理得，解得或.①当时，，此时，此时函数在处取得极小值，不合乎题意！②当时，，此时，此时函数在处取得极大值，合乎题意！故.【考点】函数的极值11.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率12.设函数，其中为实常数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论在定义域上的极值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单减区间是；（Ⅱ）当时，无极值；当时，在点处取得极大值，且为，无极小值.【解析】（Ⅰ）先把代入，对函数求导，令导数大于0，求出函数的单调递增区间，令导数小于0，求出函数的单调递减区间（Ⅱ）对参数进行讨论，分和两种情况.试题解析：（Ⅰ）由得，；由得，.所以函数的单调递增区间为，单减区间是. 6分（Ⅱ）当时, ,在上始终单增,无极值.当时，，. 9分当时，；当时，.此时，在点处取得极大值，且为，无极小值. 12分【考点】1.利用导数求单调区间；2.利用导数求极值.13.函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为【答案】10【解析】因为函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为10.14.已知函数在点x=1处连续，则a的值是（）A．2B．3C．－2D．－4【答案】B【解析】解：因为函数在店x=1处连续，因此该点的函数值等于该点的极限值。
专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用(解析版)
专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用目录类型一：求函数的极值或极值点 (1)类型二：利用极值或极值点求参数的值 (3)类型三：利用导数求最值的应用 (4)类型一：求函数的极值或极值点．．．．【答案】B【分析】令y=0，可排除AC，求导，再根据函数的单调性和极值点可排除D，即可得解【详解】y=(x―2))=x(x―2)e x，令0得x=0或x=2，故函数y=x(x―2)e有两个零点0，2，故错误；A．f(x)在(―2,1)上单调递增C．f(x)在x=―2处取得极小值类型二：利用极值或极值点求参数的值【详解】（1）f′(x)=3ax2+2bx，由题意可得f(1)=a+b=3f′(1)=3a+2b=0，解得a=―6b=9，检验：f′(x)=―18x2+18x，令f′(x)=0，解得x=0或x=1，当x∈(―∞,0)∪(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，满足题意；（2）由（1）得f(x)=―6x3+9x2，所以f′(x)=―18x2+18x.所以f(―1)=15，f′(―1)=―36.所以所求切线方程为y―15=―36(x+1)，即36x+y+21=0.类型三：利用导数求最值的应用题型专练：设正四棱柱底面边长为a，高为∵△MO1C∽△MO2E，∴MO1MO2=O1CO2E，即：33―ℎ33∴ℎ=33―62a，又∵a>0ℎ>0⇒a>033―6a故选：D.23．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知菱形ABCD 的边长为2，CD 上，且EF //AC ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，则当五棱锥D ′―ABCFE ―DEF 外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．409πC ．143πD ．5【答案】B【点睛】求解几何体外接球有关的问题，首先要找到球心的位置，可利用几何体各面的外心来确定球心的A．32103B．64103C．128103【答案】D【分析】先确定原图中哪一条线段是侧棱，哪条线段是底边，再设立变量，求出体积关于变量的函数解析式，求导，根据函数的单调性求解.【详解】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，，则有PG2=(10―x)2+102，OF=OG=x，四棱锥的高ℎ2=PG2―OG2=200―20x，EFGH的面积S=4×S△OFG=2x2，四棱锥P-EFGH的体积V=23x2200―20x，200―20x，则x=200―t2，0≤t2<200，+5【答案】2π3【分析】连接CD，【详解】连接CD，由对称性，设∠CBE==所以BE=BD=CDtanθ易知∠MCE=∠NCD=又AC=3，故AB=AC 令sinθ0=1且θ0∈0,3由△SAB∼△SDE可得则该三棱柱的体积V时，V′>当0<r<23时，V取得最大值，且最大值为所以r=23.故答案为：3328．（2023·北京海淀上的动点（不与如图所示．给出下列四个结论：①AC//平面PEF；②△PEC不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得PD⊥AE④当四棱锥P―ACFE的体积最大时，④当底面ACFE的面积一定时，平面平面ABC⊥平面PEF 最大，设FC=x，EF=BF=PF=2―x，0<x<2V P―ACFE=13×12×(2―x+2)⋅x⋅(2―x)=16x3―x2+43xV′=1x2―2x+4=1(3x2―12PQ∥A1C1，确定平面ACPQ，则则五边形ACHE1G为平面ACE根据相似可得F1GGF =12，所以GF所以AG=GF2+AF2=49ℎ同理可得CH=21029，E1H=故当削去的雪最少时，平面ACE故答案为：41029+4669+2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求体积的最值，截面问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中将体积的最值转化为函数的最值，并确定截面是解题的关键。
数学新高考第3节 利用导数研究函数的极值与最值
《高考特训营》 ·数学 返 回
[探究] 极值与最值有怎样的关系？ 1．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数 的最值． 2．极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有 极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值；非常 数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取到．
202利2届用导数研究函数的极值与最值
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第3节 利用导数研究函数的极值 与最值
1 1
利用导数研究函数的极值与最值
《高考特训营》 ·数学 返 回
课标要求
命题方向
数学素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点 1.利用导数解决 数据分析、逻
取得极值的必要条件和充分条件； 函数的极值
13
利用导数研究函数的极值与最值
《高考特训营》 ·数学 返 回
1．[易错诊断]函数 g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极
值点________(填“存在”或“不存在”)． 答案：0 不存在 解 析 ： 结 合 函 数 图 象 可 知 g(x) ＝ － x2 的 极 值 点 是 x ＝ 0. 因 为 f′(x) ＝ 3(x － 1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点． 【易错点拨】混淆极值与极值点的概念致误
9
利用导数研究函数的极值与最值
《高考特训营》 ·数学 返 回
1．[概念辨析]极值与极值点 极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为 f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小 值之间无确定的大小关系．
第13讲 利用导数解决函数的极值、最值(原卷版)
第13讲 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一 利用导数研究函数的极值万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根；第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.例1 已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ） A ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值 B ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值 C ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值D ．当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）()3()ln (,,)f x ax bx c a b c =++∈R (3,)-+∞A ．B ．C ．D ．【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题 【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ） A ．的单调递减区间为 B ．的极小值点为1 C ．的极大值为D ．的最小值为【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数()2ln 2f x ax x =--，()4x g x axe x =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()()()2ln 12ln ln 2g x x x a --+≥-．【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[4,4]-上的最大值与最小值.b ac <<b c a <<a b c <<a c b <<()ln xf x x x=-()f x ()0,1()f x ()f x 1-()f x 1-()221e e 22x x f m x x m =--m 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()1,+∞e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()e,+∞类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点； 第二步 计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2 【河南省天一大联考2020届高三阶段性测试】 已知函数()ln f x x x =-， ()22g x ax x =+ ()0a <.（1）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的极值点.【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期12月联考】已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市2020届高三下学期六月模拟】若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（ ） A ．338B ．32C ．334D ．233【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中】已知函数121()(1),02x f x x a e x ax x -=---+>（1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【来源】安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题 【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ）A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >2．（2021·全国高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为__________．4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________．5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数()2sin sin 2f x x x =． （1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性； （2）证明：()338f x ≤； （3）设*n ∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x xx ≤．6．【2020年高考天津卷20】已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （．）当6k =时，32()ln x f x e x x x ax -=+--()0f x ≥a (,e]-∞(,2]-∞-[2,e][2,2]-()22(0)f x x x =-+<()ln xg x x x=+()()12f x g x =212x x -21e 24e-42e 1e（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （．）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．7．【2018年全国卷．理数】已知函数f (x )=(2+x +ax 2)ln (1+x )−2x ． （1）若a =0，证明：当−1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0． （2）若x =0是f (x )的极大值点，求a ．8．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x . （．）若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ． ．．）若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数f(x)=(x −t 1)(x −t 2)(x −t 3)，其中t 1,t 2,t 3∈R ,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列. ．I ）若t 2=0,d =1, 求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （II ）若d =3，求f(x)的极值；（III ）若曲线y =f(x) 与直线 y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ） A ．B ．在上存在零点，则a 的最小值为C ．在上单调递增D ．在有且仅有一个极大值点【来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模数学（理）试题 2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()()()3F x f x f x '=+tan 3ϕ=()f x [],a a -6π()F x ,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()()22211,01ln ,02x a x x f x ax x x x ⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩R a 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（理）押题试题（三）3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试试题 4．已知函数f （x ）＝﹣e x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）无极大值，也无极小值 B ．f （x ）有极大值，也有极小值 C ．f （x ）有极大值，无极小值 D ．f （x ）无极小值，有极大值【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（二）5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（九）数学（理）试题6．若是函数的极值点，则（ ） A ．B ．C ．D ．【来源】四川省凉山州2021届高三三模数学（文）试题 7．下列函数中，的最小值为的是（ ） A ． B ． C ．D ． 【来源】吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考数学试题 8．若不等式恒成立，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（三）1,2e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(),0e --()()in cos s xe x xf x =-02022x π≤≤()f x ()2012211e e eπππ--()202111e e eπππ--()2022211e e eπππ--()201111e e eπππ--ln xx()32193f x x mx mx =-++R m ()(),01,-∞⋃+∞(][),01,-∞⋃+∞()0,1[]0,10x ()ln 1xx f x e x x=--0x 001ln 0x x +=00ln 0x x -=00ln 0x x +=001ln 0x x -=y 21y x x=+ln 1y x x =--1x y e x =+-1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ln x ax b ≤+2a b +23ln 259．函数在上的最小值为（ ）A ．B ．-1C ．0D ．【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学（文）试题 10．函数，.若，则的最小值为（ ） A ． B ． C ．3D ．【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【来源】湖北省黄冈中学2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ） A ． B ． C ．D ．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题 13．关于x 的不等式在恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ． B ．0 C ．1 D 【来源】安徽省皖江联盟2021届高三下学期最后一卷理科数学试题 14．设，若存在正实数x ，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ．【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题15．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f （x ）＝me x ﹣x 2+3，其中m ．R .（1）如果f （x ）同时满足下面三个条件中的两个：．f （x ）是偶函数；．m ＝1；．f （x ）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h （x ）＝xf （x ）的极值；（2）若函数f （x ）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考】已知函数()ln f x x x x =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln 22+-2ln 22-()42(0)f x x x =-+<()ln xg x x=()()12f x g x =212x x -112e-e 152()211xax bx e ++x ∈R ,,a b e ∈R a b +(,1]-∞-(3,1]--(,3]-∞-(5,3]--()ln 3f x a x x =-(0,)x ∈+∞(1)3x f x e ax ++≥a 032132sin cos 0x x a -≤(0,)x π∈33330k ＞14log 20kx x k --⋅≥k 1ln 2e ln 2eln 2e ln 22()cos ().x f x ae x x a R =--∈（1）若1a =，证明：()0f x ≥；（2）若()f x 在(0,)π上有两个极值点，求实数a 的取值范围. 17．【西南地区名师联盟2020届高三入学调研考试】已知函数()3213f x x bx cx =++，b 、c 为常数，且112b -<<，()10f '=. （1）证明：30c -<<； （2）若0x 是函数()2cy f x x =-的一个极值点，试比较()04f x -与()3f -的大小. 18．【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧PMQ （M 为此圆弧的中点）和线段PQ 构成.已知圆O 的半径为12千米，M 到PQ 的距离为16千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域1R 为矩形ABCD ，养殖区域2R 为AMB ，且 ,A B 均在圆弧上， C D ,均在线段PQ 上，设AOM α∠=.（．）用α分别表示矩形ABCD 和AMB 的面积，并确定cos α的范围；（．）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在1R 内养殖鱼类，在2R 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2.求当α为何值时，能使年总产值最大.19．【江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数()()(),xf x x a e b a b =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ，函数()f x 有零点，求b 的取值范围；（3）当2a =，0b =时，()()ln F x f x x x -=+，记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ，且[),1,m n n n ∈+∈Z ，求n 的值．20．【陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数()1ln f x x a x =--． （1）当1a =时，求f (x )的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．。
(整理)利用导数求函数的极值和最值
利用导数求函数的极值和最值上课时间：上课教师上课重点：掌握导数与函数极值最值的的关系上课规划：解题方法和技巧 考点一 函数的单调性与极值1、函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．2、函数31()443f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．3、曲线3223y x x =-共有____个极值．4、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．5、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．6、求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．7、求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．8、求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．探究：用导数法求函数()(0)b f x x b x=+>的单调区间与极值6、有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．考点二 利用函数的极值求参数或取值范围例题：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数)(x f 的极小值，并求c b a ,,的值。
(一）定值1、设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．4、若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23（二）取值范围1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-< 2、若函数3()63f x x bxb =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3、函数31()43f x x a x =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ．4、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．考点三 导数的综合运用数学思想方法（一) 函数与方程（不等式)的思想例题:设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈（1）求函数)(x f 的单调区间和极值（2）若关于x 的方程a x f =)(有三个不同实根，求实数a 的取值范围1、方程0ln 2)1)(2(=---x x a ，在)21,0(无解，求实数a 的范围。
2021年高考数学高分套路 利用导数求函数的单调性、极值、最值(原卷版)
利用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】---千里之行始于足下一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-.（3）)f (x )＝2x －x 2.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间①求函数的定义域D②求导'()f x ③解不等式'()f x ＞()<0得解集P ④求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第六篇函数与导数
专题02 利用导数求函数的单调性
【典例1】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数()f x x
=． (Ⅰ)求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >．
【典例2】【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f （x ）=13x 31
2
-（a 2+a+2）x 2+a 2（a+2）x ，a ∈R ．
（1）当a=-1时，求函数y=f （x ）的单调区间； （2）求函数y=f （x ）的极值点．
【典例3】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟】已知2
1()ln 2
x f x x ae x =+-． （1）设1
2
x =
是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间： （2）0a >时，求证：()1
2
f x >．
【典例4】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】设函数2
1()ln 2
f x ax bx x =--. （1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；
（2）当0a =，1b =-时，方程2
2()x mf x =（其中0m >）有唯一实数解，求m 的值.
【典例5】【福建省三明市2020届模拟】已知函数2
()ln 2
a f x x x x x =-
-()a R ∈．
（1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；
（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+．
【典例6】【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试】已知函数(
)
2
()ln f x x a x =+. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若()f x 在区间21,e ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
上有两个极值点()1212,x x x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （i i ）求证：()2
221
2f x e e
-
<<-. 【典例7】【湖北省黄冈市2019届高三八模模拟测试】已知函数ln ()x
f x ax x
=-，曲线(y f x =）在1x =处的切线经过点(2,1)-. （1）求实数a 的值；
（2）设1b >，求()f x 在区间1
[,]b b
上的最大值和最小值.
1.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】已知函数()()ln 1x
f x e x =-+(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值. 2.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟】已知函数2
1()ln (1)()2
f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当1a ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为-5，求a 的值； （Ⅱ）设3211
()()(1)22
g x xf x ax a x x =-
++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求实数a 的取值范围；
（ii ）证明：2
12x x e >.
3.【湖北省黄冈市2020届模拟】设函数()aln(1)1x
f x x x
=
-++，()ln(1)g x x bx =+-． （1）若函数f （x ）在0x =处有极值，求函数f （x ）的最大值；
（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0<g x 在(0,)+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；
4.【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷】已知函数()()2
2
ln 24
a f x a x x a x =-+--.
（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行，求曲线()f x 在()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值，并求当()f x 有极大值且极大值为正数时，实数a 的取值范围. 5.【广东省广州市2019届高三第二次模拟】已知函数2()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .
（1）若1
2a =
，求函数()f x 的所有零点； （2）若1
2
a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.
6.【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知函数()ln f x x x ax =+在0x x =处取得极小值1-． （1）求实数a 的值；
（2）设()()()0g x xf x b b =+>，讨论函数()g x 的零点个数．
7.【北京市西城区2019届高三4月统一测试】设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．。