高三数学一轮复习精品学案：§9.9 第2课时 定点、定值、探索性问题

第2课时 定点、定值、探索性问题

题型一 定点问题

典例 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，3

2，

P 4⎝

⎛⎭

⎫

1，

32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；

(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．

(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3

4b 2知，椭圆C 不经过点P 1，

所以点P 2在椭圆C 上．

因此⎩⎨⎧

1

b 2

＝1，1a 2

＋3

4b 2

＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝4，

b 2＝1.

故椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.

如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝

⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，

⎝

⎛⎭⎪⎫

t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2

＝1，

得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－8km

4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.

而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1

x 2

＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1

x 2

＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.

由题设知k 1＋k 2＝－1，

故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km

4k 2＋1＝0，

解得k ＝－m ＋1

2

.

当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋1

2x ＋m ，

即y ＋1＝－m ＋1

2(x －2)，

所以l 过定点(2，－1)．

思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何

时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练 (2017·长沙联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长

的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． (1)解 设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1， 且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3. ∴椭圆的方程为x 23

＋y 2

＝1.

(2)证明 由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，

由PM →＝λ1MQ →

知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m

y 1－1.

同理由PN →＝λ2NQ →

知λ2＝m y 2

－1.

∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①

联立⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )，

得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，

∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2

t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③

③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，

由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，

得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．

题型二 定值问题

典例 (2017·广州市综合测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，且过点A (2,1)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 解 (1)因为椭圆C 的离心率为3

2

，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b 2＝1，c a ＝3

2

，

又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2

2

＝1.

(2)方法一 因为∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴， 所以P A 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线P A 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k . 所以直线P A 的方程为y －1＝k (x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k (x －2)．

设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，由⎩⎪⎨⎪⎧

y －1＝k (x －2)，

x 28＋y 22＝1，