2016届高考数学(文)一轮复习跟踪检测：选修4-5-1+绝对值不等式

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北师版高考总复习一轮文科数学精品课件选修4—5 不等式选讲第1课时绝对值不等式

因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|,
所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,
选修4—5 第1课时绝对值不等式
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.绝对值不等式的解法
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对
2.与绝对值不等式有关的
值不等式的几何意义证明以下不等式:
参数范围
|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
因为|x-3|+|x+4|≥|x-3-x-4|=7,
所以m<7,则m的取值范围是(-∞,7).
考向3.利用绝对值三角不等式求参数范围
典例突破
例4.(2021全国乙,理23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
a 1 +a 2 +…+a n
均值,即
n
≥

1 2 … ,此式当且仅当 a1=a2=…=an 时取“=”号.
4.柯西不等式
(1)定理1:对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向
量(c,d)共线时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式,设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,等号成立的条

【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：选4-5-1绝对值不等式(含答案解析)

配餐作业(选修4－5－1) 绝对值不等式1．已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R 。

(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b＝n 时，求7a ＋4b 的最小值。

解析：(1)∵函数定义域为R ，∴|x ＋1|＋|x －3|－m≥0恒成立，设函数g(x)＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g(x)的最小值，又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g(x)的最小值为4，∴m≤4。

(2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b)⎝⎛⎭⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋＋a ＋2b ＋＋3a ＋b ≥ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94，当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号。

∴7a ＋4b 的最小值为94。

2．(2016·山西四校二联)已知函数f(x)＝|x ＋3|－m ，m ＞0，f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。

(1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f(x)≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围。

解析：(1)∵f(x)＝|x ＋3|－m ，∴f(x －3)＝|x|－m≥0，∵m ＞0，∴x≥m 或x≤－m ，又f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。

故m ＝2。

(2)f(x)≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，令g(x)＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x≤－3，3x ＋2，－3＜x ＜12，－x ＋4，x≥12，故g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t≤12或t≥1，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)。

2016届高考数学总复习课件：选修4-5-第1节绝对值不等式

(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4－|x－4|的解集；
点兵
搏
核心
(2)已知关于 x 的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2 的解集为
突
破 {x|1≤x≤2}，求 a 的值．
课时
提
升
练
菜单
第十九页，编辑于星期五：二十一点六分。
高三总复习·数学(理)
【思路点拨】绝对值不等式，分段讨论求解；将 a 看提
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲考
2．(2012·课标全国卷)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
演
向
实
(1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
战沙
场
切脉
(2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
点兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
第七页，编辑于星期五：二十一点六分。
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考纲要求：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对
考
纲考
值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
演
向
实
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求
战沙
场
切脉
解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－
场
切

高考数学(人教A版)一轮复习课件：选修4-5-1绝对值不等式

考点一绝对值不等式的解法【典例1】(2016· 全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象. (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解题导引】(1)先用零点分段讨论法去掉绝对值号,化简f(x)的表达式,然后分段画出 f(x)的图象. (2)承接(1)分类讨论去掉绝对值号解不等式,最后取并集.
2 ( ， 2). 3
x 1 2a, x 1, 3x 1 2a, 1 x a, x 1 2a, x a,
2a 1 ( ,0) 3
B(2a+1,0), 故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1), 由△ABC的面积大于6, 可得 ·(a+1)>6,求得a>2. 故要求的a的范围为(2,+∞).
x 1, x 1 2 1 x 1， 1 x 1, x 1 2 1 x 1，
2 3
x 1, x 1 2 x 1 1.
解③求得1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为 (2)函数f(x)=|x+1|-2|x-a| = 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A ,
【变式训练】(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集. (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【规范解答】(1)当a=1时,不等式f(x)>1, 即|x+1|-2|x-1|>1, 即 ① 或 ②或 ③ 解①求得无解,解②求得 <x<1,
1 2

【金牌精品】高考数学(文)一轮复习：选修4-5-1绝对值不等式

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．不等式2≤|5－2x |<7的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤72，6D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6 答案 A 解析⎩⎨⎧|5－2x |<7|5－2x |≥2⇒⎩⎨⎧－7<5－2x <75－2x ≤－2或5－2x ≥2得⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6. 2．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( ) A ．－8 B ．－4 C ．2 D ．8答案 B解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4，当a >0时－8a <x <4a ，解集为(－1,2)，有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，⎩⎨⎧a ＝8a ＝2矛盾，故a 不可能大于0，a ＝0，x∈R 不合题意，a <0时，4a <x <－8a ，解集为(－1,2)有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2.⇒a ＝－4，故选B.3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，14 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，14 答案 A解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根， ∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14， ∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立， ∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解．综上可知0≤a ≤14.4．[2014·江西高考]对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2，当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.5．[2015·烟台一模]若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋3|<a 的解集为∅，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，5]D ．(－∞，5)答案 C解析因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，又关于x 的不等式无解，所以a ≤5.6．[2015·广州一模]若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,2)D ．[－4,1]答案 A解析由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．7．[2016·佛山质量检测]不等式x ＋3>|2x －1|的解集为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <4 解析不等式等价于⎩⎨⎧2x －1≥0x ＋3>2x －1或⎩⎨⎧2x －1<0x ＋3>1－2x ，解得12≤x <4，或－23<x <12，故不等式解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <4. 8．[2015·烟台二模]若不等式log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥2恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析由题意可知|x ＋1|＋|x －2|－m ≥4恒成立，即m ≤(|x ＋1|＋|x －2|－4)min .又因|x ＋1|＋|x －2|－4≥|(x ＋1)－(x －2)|－4＝－1，故m ≤－1. 9．若关于x 的不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5； ②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5； ③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需 a 2＋12a ＋2≤52，解得－1≤a ≤12.10．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32解析依题意，不等式|x －1|<4－|x ＋2|等价于⎩⎨⎧x ≤－2－(x －1)<4＋(x ＋2)或⎩⎨⎧－2<x ≤1－(x －1)<4－(x ＋2)或⎩⎪⎨⎪⎧x >1x －1<4－(x ＋2)，解得－52<x ≤－2或－2<x ≤1或1<x <32.因此不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 11．[2016·福建莆田质检]设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－3－3x －3，－3≤x ≤0x －3，x >0.当x <－3时，由f (x )≤7得x ≥－4，则－4≤x <－3；当－3≤x ≤0时，由f (x )≤7得x ≥－103，则－3≤x ≤0；当x >0时，由f (x )≤7得x ≤10，则0<x ≤10；综上，不等式的解集S ＝[－4,10]．(2)由f (x )的表达式及一次函数的单调性可知，f (x )在x ＝0时取得最小值－3，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．12．[2015·沈阳一模]设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥1－x ＋2，0<x <1－3x ＋2，x ≤0，f (x )≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2a ，x ≥a－x ＋2a ，0<x <a－3x ＋2a ，x ≤0.由f (x )的表达式及一次函数的单调性可知，f (x )在x ＝a 时取得最小值，f (x )min ＝f (a )＝a ，若f (x )≥6恒成立，只需a ≥6，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。

2016高考数学(理)一轮全程复习构想课件：选修4-5-1绝对值不等式

∴①③⇒②④.
第二十一页，编辑于星期六：点五十分。
考点二绝对值不等式的解法例2 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5. 解析：法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪ [2，＋∞)．
3．不等式|2x－1|＜2－3x的解集是( ) A．{x|x＜12} B．{x|12≤x＜35} C．{x|x＜35} D．{x|x＞35} 解析：|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔
3x－2＜2x－1 x＜1 2x－1＜2－3x ⇔x＜35
⇔x＜35.
答案：C
第八页，编辑于星期六：点五十分。
x≥a， x－a＋3x≤0，
或ax≤－ax＋，3x≤0，
x≥a， x≤a，即x≤a4，或x≤－a2.
第三十三页，编辑于星期六：点五十分。
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a＝2.
第三十四页，编辑于星期六：点五十分。
第二十页，编辑于星期六：点五十分。
变式探究1 已知α、β是实数，给出下列四个论断：①|α＋β| ＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2 2 ，|β|＞2 2 ；④|α＋β|＞5. 以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．
解析：①|α＋β|＝|α|＋|β|⇔α与β同号，故②成立；再由③得|α ＋β|＝|α|＋|β|＞4 2＞5，故④成立．

高考数学(理)一轮复习文档选修4-5 不等式选讲第1讲绝对值不等式 Word版含答案

第1讲绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．含绝对值不等式的解法设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥7－|x －1|； (2)若f (x )≤1的解集为，求a 的值．【解】 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥7，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1－x ≥7或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋x －1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧x >2x －2＋x －1≥7，所以不等式的解集为(－∞，－2]∪，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1＝2，解得a ＝1.解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.(1)当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，所以x <－3.(2)当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25.(3)当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，所以x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.绝对值不等式性质的应用设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值．(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32，又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．确定“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件．因为|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<m ＋m ＝2m ，所以“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m ”的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |<m ＝2.5，故“|x －a |<m 且|y －a |<m ”不是“|x －y |<2m ”的必要条件．故为充分不必要条件．绝对值不等式的综合应用(2016·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是 (1)不等式f (x )>0，即|2x －1|>|x ＋2|，即4x 2－4x ＋1>x 2＋4x ＋4，即3x 2－8x －3>0，解得x <－13或x >3，所以不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13或x >3.(2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－2－3x －1，－2≤x ≤12x －3，x >12，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，所以4m －2m 2>－52，解得－12<m <52.1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤11}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B ．若x <－3，|x ＋3|＋|x －4|≤11⇒－x －3－x ＋4≤11⇒－5≤x <－3，若－3≤x ≤4，|x ＋3|＋|x －4|≤11⇒x ＋3－x ＋4≤11⇒－3≤x ≤4，若x >4，|x ＋3|＋|x －4|≤11⇒x ＋3＋x －4≤11⇒4<x ≤6，所以A ＝，又因为t >0，所以4t ＋1t≥24t ·1t ＝4，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时，等号成立，所以B ＝．2．已知|2x －3|≤1的解集为． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1. 3．(2017·合肥市第二次质量检测)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x ≤2）2（2<x ≤4）2x －6（x >4）. 结合函数y ＝f (x )的图象知，不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112.4．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．5．(2017·长春市质量检测(二))设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ∈R )． (1)若不等式f (x )＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若不等式f (x )≥32x 恒成立，求实数a 的取值范围．(1)当a ≥0时，f (x )＋a ≥0恒成立，当a <0时，要保证f (x )≥－a 恒成立，即f (x )的最小值|a ＋2|≥－a ，解得－1≤a <0，故a ≥－1.(2)由题意可知，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝32x 的上方，画出两个函数图象可知，当a ≤－2时，符合题意，当a >－2时，只需满足点(a ，a ＋2)不在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，32a 的下方即可，所以a ＋2≥32a ，即－2<a ≤4.综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]．6．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32， y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 7．(2017·宁夏银川月考)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3，得|x －1|＋|x ＋1|≥3.(i)当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f （x ）≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32.(ii)当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，f （x ）≥3的解集为∅.(iii)当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f （x ）≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)若a ＝1，则f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a <1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －（a ＋1），x ≥1.f (x )的最小值为1－a .若a >1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －（a ＋1），x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪ (1)当x >1时，f (x )＝2x ＋1－(x －1)＝x ＋2，因为f (x )<2，所以x <0，此时无解；当－12≤x ≤1时，f (x )＝2x ＋1－(1－x )＝3x ，因为f (x )<2，所以x <23，此时－12≤x <23；当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(1－x )＝－x －2，因为f (x )<2，所以x >－4，此时－4<x <－12.综上所述，不等式f (x )<2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，23. (2)f (x )≤a －a 22有解⇔f (x )min ≤a －a 22.由(1)可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.当x <－12时，f (x )>－32；当－12≤x ≤1时，－32≤f (x )≤3；当x >1时，f (x )>3.所以f (x )min ＝－32，故－32≤a －a 22⇒a 2－2a －3≤0⇒－1≤a ≤3.。

高考数学(文)一轮复习课件：选修4-5-1

解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解；当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2 .
1.解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决． (2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
2.不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． (3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
(2)如果 a、b、c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
绝对值不等式的常见题型及求解策略 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c 可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 可转化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤ －c，然后根据 a，b 的取值求解即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c 根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. (3)c＝0，则|ax＋b|≤0 可转化为 ax＋b＝0，然后根据 a，b 的取值求解即可；|ax＋b|≥0 的解集为 R.

高考理科第一轮复习课件(选修4-5第1节绝对值不等式)

【变式备选】解下列不等式.
（1）
x 1 x 1 1.
（2）|x+3|+|x-3|>8.
【解析】（1）原不等式等价于不等式组
2 2 x 1 x 1 ，（x 1） x 1）（，即 x 1, x 1 0,
解得x≥0且x≠1, ≨原不等式的解集为{x|x≥0且x≠1}.
【变式备选】（2013·渭南模拟）设实数a，b满足2a+b=9. (1)若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围. （2）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值. 【解析】(1)由2a+b=9,得9-b=2a，即|9-b|=2|a|，所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1，所以a的取值范围为-1＜a＜1.
1 1 .( a b
) )
, 则n≥1.(
（3）|x-1|-|x-5|<2的几何意义为数轴上的点x到点1，-5的距离之差小于2.( （4）不等式
ab ab
)
1成立的充要条件是|a|>|b|.(
)
（5）函数 f（x） x 1 的最小值是2.(
x
)
1 1 【解析】(1)错误.当ab>0时，有 1 1 ；当ab<0时，有 .
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型绝对值不等式的解法.
-c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔____________;
ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c⇔__________________.
3.平均值不等式

高考数学(文)一轮复习选修4-5-1绝对值不等式

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高考一轮总复习 ·数学（文）
4．|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距离之和．( √ )
5 ．不等式 |a － b|≤|a| ＋ |b| 等号成立的条件是 ab≤0.( √ )
Байду номын сангаас
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板块三
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(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即 f(x)的最小值等于 4， ∴|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
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(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点 x1＝a 和 x2＝b 的距离之和大于 c 的全体，|x－a|＋|x －b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数 y1＝|x－a|＋|x－b|和 y2＝c 的图象，结合图象求解．
＋a3＝a.
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(2)[2017·忻州模拟]已知|2x－3|≤1 的解集为[m，n]． ①求 m＋n 的值； ②若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.
[解] ①由不等式|2x－3|≤1 可化为－1≤2x－3≤1，得 1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.

2016高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件练习：选修4-5 1含绝对值的不等式及其解法

原不等式等价于 1＜ x＋1 ＜3或－ 3 ＜ x ＋1＜－1 ，
解之得0＜x＜2或－4＜x＜－2，故应选D. [答案] D
选修4-5 不等式(选讲)
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3．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( A．2 C．6 B．4 D．10 )
[解析] 法一 y＝|x－4|＋|x－6|
＝|4－x|＋|x－6|≥|(4－x)＋(x－6)|＝2. 法二 |x－4|＋|x－6|表示在数轴上，x对应的点到4与6对应点的距离之和，随着x在数轴上的移动易看出|x－4|＋|x－6|≥2. [答案] A
选修4-5 不等式(选讲)
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(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„＋|an|. ②≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
2．绝对值不等式的解法 (1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
选修4-5 不等式(选讲)
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活学活用3 (1)(2013·重庆高考)若关于实数x的不等式|x－
5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．
(2)如果存在实数x使不等式|x＋1|－|x－2|＜k成立，则实数k 的取值范围是________.
[ 解析] 2x－2，x≥5， (1)法一 ∵|x－5|＋|x＋3|＝8，－3＜x＜5，－2x＋2，x≤－3，
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(2)记
x h(x)＝f(x)－2f2，
1，x≤－1，－4x－3，－1＜x＜－1， 2 则 h( x ) ＝ 1 －1，x≥－2，所以|h(x)|≤1，因此 k≥1.

高三一轮复习选修4-5 绝对值不等式

1 2
3．已知集合A＝{x|x2－4x＞0}，B＝{x||x－1|≤2}，那么集合 A∩B等于( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|－1≤x＜0或3≤x＜4} 解析： ∵A＝{x|x＜0或x＞4}，B＝{x|－1≤x≤3}，
a x b或 a x b b a 0 ________ . b x a
4．绝对值不等式的性质
1 a 0(当且仅当a 0时，等号成立)； 2 a a； 3 a a a ； 4 a b a b ||| a b | a b .
R
7.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思
想.
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【即时应用1】
(1)思考：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；|x-a|〒|x-b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差). (2)不等式|2x+3|>0的解集是 .
2
【解析】原不等式等价于2x+3≠0,≨x≠- 3 . 答案：{x|x≠- 3 } 2
(3)不等式x|x|<x的解集是
.
【解析】≧x≠0,x<0时，|x|>1,≨x<-1. x>0时，|x|<1,≨0<x<1. ≨{x|x<-1或0<x<1}. 答案：{x|x<-1或0<x<1} 3.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔ __________________; ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c⇔__________________.

(人教版)高中数学选修4-5检测第1讲不等式和绝对值不等式1.1 Word版含答案

第一讲一一、选择题．若＜＜，则( )＜．＜＜．＞＞解析：因为＜<，所以＞，故错．因为＜＜，所以＞，所以＞，故错．因为＜＜，所以＞·，即＞，故对．因为，同号，＞，所以＞＜＜，故错．答案：．已知三个不等式：＞，－＞，－＞(其中，，，均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )．．．．解析：由＞，－＞可得＞两边同除以得＞，即－＞.由－＞得＞，再由＞，两边同乘以得＞，即－＞.由－＞，－>可得＞，＞，所以可得＞.答案：．若＜＜，则下列不等式：①＋＜；②>；③＜；④＋＞中，正确的不等式有( ) ．个．个．个．个解析：＜＜⇔＜＜，∴＋＜＜，＜，＋＞＝(∵＜＜，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选.(注：本题亦可用特值法，如取＝－，＝－验证得)答案：．已知＜＜＜＜，则有( )．()＜．＜()＜．＜()＜．()＞解析：∵＜＜＜＜，∴＜＜＜，由对数函数的单调性和对数的定义得，()＞＝.答案：二、填空题．若>，则＋的最小值为( )．．．．解析：∵>，∴＋≥＝，当且仅当＝即＝时取等号，所以＋的最小值为.答案：．若＜α－β＜π，－＜α－β＜π，则α＋β的取值范围是．解析：由－＜α－β＜π得－π＜β－α＜，再与＜α－β＜π相加得－π＜α＋β＜答案：－π＜α＋β＜三、解答题．设＞，＞且≠，试比较与的大小．解析：＝－÷－＝－.当＞＞时，＞，－＞，∴－＞，于是＞.当＞＞时，＜＜，－＜，∴－＞，于是＞.综上所述，对于不相等的正数，，都有＞.．已知－＜＜＜＜，分别求＋，－，的取值范围．解析：∵－＜＜，∴－＜＜.又＜＜，∴－＜＋＜，∵＜＜，∴－＜－＜－.又－＜＜，∴－＜－＜.∵＜＜，∴＜＜.①当≤＜时，≤＜；②当－＜＜时，－＜＜.综合①②得－＜＜.．设()＝＋，且≤(－)≤≤()≤，求(－)的取值范围．解析：设(－)＝(－)＋()(，为待定系数)，则－＝(－)＋(＋)，即－＝(＋)－(－).于是，得(\\(＋＝，－＝.))解得(\\(＝，＝.))。

2016届高考数学(理科)一轮复习课时检测-选修4-5-第1节绝对值不等式

课时检测绝对值不等式(建议用时：45分钟)1．解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0； (2)||x －2|－1|≤1.【解】 (1)原不等式化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方，化简得4x ＋1>4－8x ，解之得x >14.∴原不等式的解集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14. (2)由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， ∴－2≤x －2≤2,0≤x ≤4.∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}．2．若关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 的解集是R ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a <0时，由于|x ＋1|＋|x －3|≥0， ∴原不等式的解集为R .(2)当a >0时，由于|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|≥4恒成立．若使原不等式的解集为R ，只需a ＋4a ≤4，则(a －2)2a ≤0，∴a ＝2. 综合(1)、(2)知，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}． 3．设f (x )＝|x －2|＋x ，g (x )＝|x ＋1|，解不等式g (x )<f (x )．【解】由g (x )<f (x )，得|x ＋1|<|x －2|＋x . ∴|x －2|－|x ＋1|＋x >0，(*)①当x ≤－1时，(*)式化为(2－x )＋(x ＋1)＋x >0， ∴－3<x ≤－1.②当－1<x <2时，(*)式化为(2－x )－(x ＋1)＋x >0， ∴－1<x <1.③当x ≥2时，(*)式化为(x －2)－(x ＋1)＋x >0，则x >3. 综合(1)、(2)、(3)，原不等式的解集为{x |－3<x <1或x >3}．4．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2化为|x －1|≥2， ∴x ≥3或x ≤－1.所以f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)∵f (x )≤0⇔|x －a |＋3x ≤0.(*)不等式(*)化为⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0.由于a >0，∴不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 依题意，得－a2＝－1，故a ＝2.5．(2014·重庆高考改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】设f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，f (x )>5；当－2≤x <12时，f (x )>52；当x ≥12时，f (x )≥52.因此f (x )的最小值为52，于是原不等式对∀x ∈R 恒成立，则a 2＋a 2＋2≤52，解之得－1≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]．7．(2015·大连模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式||a ＋b |－|a －b ||≤|a |f (x )(a ≠0，a ∈R ，b ∈R )恒成立，求实数x 的范围．【解】(1)f (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x ≥2，1，1<x <2，3－2x ，x ≤1.∴不等式f (x )≤3的解集为[0,3]．(2)因为||a ＋b |－|a －b ||≤2|a |，得2|a |≤|a |f (x )，由a ≠0，得2≤f (x )，即|x －1|＋|x －2|≥2. 解得x ≤12或x ≥52.∴实数x 的取值范围是x ≤12或x ≥52.8．(2015·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，应有－a 2≥a －2，则a ≤43.9．(2014·辽宁高考)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )] ＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.10．(2015·南京调研)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．【解】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{}x |x ≤1或x ≥5. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。

2016届新课标数学一轮复习课件选修4-5 第1讲绝对值不等式

栏目第十三页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
栏目第十四页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
栏目第十五页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
栏目第十六页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
3.(2015·唐山市第一次模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a ，a∈R，g(x)＝|2x－1|.若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
栏目第十七页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
栏目第十八页，编辑于星期五：二十点导分。引
选修4-5 不等式选讲
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选修4-5 不等式选讲
考点三绝对值不等式的综合应用 (2013·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
{x|－a<x<a}
∅
∅
{x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R
－c≤ax＋b≤c ax＋b≥c或ax＋b≤－c
栏目第四页，编辑于星期五：二十点分导。引
选修4-5 不等式选讲
考点一含绝对值不等式的解法考点二绝对值不等式性质的应用考点三绝对值不等式的综合应用
栏目第五页，编辑于星期五：二十点分导。引
考点一含绝对值不等式的解法

2016版高考数学大一轮复习课件：选修4-5-第1节绝对值不等式

解之得－2－a≤x≤2－a.
课时
限
由条件，[1,2]是 f(x)≤|x－4|的解集的子集，
时检
测
∴－2－a≤1 且 2≤2－a，则－3≤a≤0，
核
心考
故满足条件的实数 a 的取值范围是[－3,0]．
向
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十三点五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础知
心考向
菜单
第二十页，编辑于星期五：二十三点五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
规律方法 3 1. 第 (2) 问求解的关键是转化为求
基
础
知识点
fx－2f2x的最大值，法一是运用分类讨论思想，利用函数
的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立课时
基
础
知识
规律方法 2 1.第(1)问的关键是根据绝对值的三角不等
点
式及 a 的取值范围去掉绝对值符号．第(2)问中对参数 a 的结
课
时
论有两种情形，a 的取值范围是各类情形的并集．
限
时
2．本题解不等式，是运用零点分区间讨论，另外还常用
检测
核绝对值的几何意义数形结合求解．
心考向
菜单
第十三页，编辑于星期五：二十三点五十六分。
核
心考
(2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
向
菜单
第七页，编辑于星期五：二十三点五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
【解】 (1)∵23∈A，12∉A，
础
知识点

2016届高考数学(文)大一轮复习课件：选修4-5 第一节绝对值不等式

第十五页，编辑于星期五：二十一点五十分。
[类题通法] 含绝对值不等式的常用解法 1．基本性质法：对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a 或 x>a. 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号． 3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
第十六页，编辑于星期五：二十一点五十分。
4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
第十七页，编辑于星期五：二十一点五十分。
考点二绝对值不等式的证明 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识]
第二十三页，编辑于星期五：二十一点五十分。
[典题例析]
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a>0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．解：(1)证明：由 a>0，有 f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋ a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．所以 f(x)≥2. (2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|. 当 a>3 时，f(3)＝a＋1a，
∴①x＜12，
或②12≤x＜2，
1－2x＋2－x≤3
2x－1＋2－x≤3
或③x2≥x－2， 1＋x－2≤3.
第二十七页，编辑于星期五：二十一点五十分。
解①求得 0≤x＜12；解②求得12≤x＜2；解③求得 x＝2. 综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]． (2)∵当 x∈[1,2]时，f(x)≤3 恒成立，即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，故 2x－4≤2a－x≤4－2x，即 3x－4≤2a≤4－x. 再根据 3x－4 的最大值为 6－4＝2,4－x 的最小值为 4－2＝2， ∴2a＝2，∴a＝1，即 a 的范围为{1}．

2016届高三数学一轮复习课件：选修4-5.1绝对值不等式

不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－ |b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
第十九页，编辑于星期五：二十点十二分。
法是热点.题型为填空题和解答题，难度属中等偏易.
第二十四页，编辑于星期五：二十点十二分。
第二十五页，编辑于星期五：二十点十二分。
第二十六页，编辑于星期五：二十点十二分。
第二十七页，编辑于星期五：二十点十二分。
第二十八页，编辑于星期五：二十点十二分。
第二十九页，编辑于星期五：二十点十二分。
握．
第十一页，编辑于星期五：二十点十二分。
第十二页，编辑于星期五：二十点十二分。
【变式训练】 1.“|x－A|<2ε，且|y－A|<2ε”是 “|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第十三页，编辑于星期五：二十点十二分。
第三页，编辑于星期五：二十点十二分。
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a {x_|－___a_＜___x_＜___a}
_∅__
_∅__
|x|＞a
{x__|x_＞___a_或__ _x_＜___－__a__}
{x|_x_∈___R__且__x_≠___0} _R__
1.绝对值三角不等式定理 1 如果 a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时，等号成立. 定理 2 如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时，等号成立. 【思考探究】绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示: 当 a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.

高考数学(文)一轮复习增分训练选修4-5-1a绝对值不等式

板块三模拟演练·提能增分1.[2016·沈阳模拟]不等式x 2－|x |－2<0的解集是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}答案 A解析不等式x 2－|x |－2<0可化为|x |2－|x |－2<0，即(|x |＋1)(|x |－2)<0，因为|x |＋1>0，所以解得|x |<2，则－2<x <2.故选A.2．[2016·四川模拟]不等式|2x －1|－x <1的解集是________．答案 (0,2)解析 |2x －1|－x <1⇒|2x －1|<x ＋1⇒－(x ＋1)<2x －1<x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)<2x －12x －1<x ＋1⇒0<x <2. 3．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 解析由|x －1|<4－|x ＋2|得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1x ＋2＋x －1<4或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1x ＋2＋1－x <4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－(x ＋2)＋1－x <4，解得1≤x <32或－2<x <1或－52<x ≤－2.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 4．[2016·陕西模拟]若关于x 的不等式x 2－a |x |＋4≥0恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，4]解析当|x |≠0时，不等式x 2－a |x |＋4≥0恒成立⇔a ≤x 2＋4|x |；∵x 2＋4|x |≥4|x ||x |＝4，∴a ≤4.当|x |＝0时，4≥0恒成立，所以，a ∈R .总之，a ≤4.5．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式：f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解 (1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．。