高三数学-2018年广州市一模试题及答案 精品

2018年广州市高三第一次模拟考试
数学试卷
一、选择题
1、满足条件M ⊂{0，1，2}的集合共有
A 、3个
B 、6个
C 、7个
D 、8个
2、在等比数列{a n }中，a 1=
31，公比q=3
1，前n 项和为S n ，则n n S lim ∞→的值为 A 、0 B 、31 C 、2
1 D 、1 3、122)x 1x (+的展开式的常数项是 A 、第四项 B 、第五项 C 、第八项 D 、第九项
4、与圆(x-2)2+y 2=2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
5、复数z 1、z 2在复平面上对应的点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2(cos60º+isin60º)z 2，
|z 2|=2，则△AOB 的面积为
A 、43
B 、23
C 、3
D 、2
6、函数1x 1lg
y -=的图象大致是
A B C
7、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是
A 、α//β⇒l ⊥m
B 、α⊥β⇒l//m
C 、l//β⇒m ⊥α
D 、l ⊥m ⇒α//β
8、在极坐标系中，已知等边三角形ABC 的两个顶点A （2，
4π）、B （2，45π），顶点C 在 直线ρcos(θ-4
3π)=23上，那么顶点C 的极坐标是 A 、（23，47π） B 、（2，47π） C 、（2，43π） D 、（23，4
3π） 9、设函数f(x)的定义域为（∞-，∞+），对于任意x 、y ∈（∞-，∞+）
，都有f(x+y)=f(x)+f(y)， 当x>0时，f(x)<0，则函数f(x)为
A 、奇函数，且在（∞-，∞+）上为增函数
B 、奇函数，且在（∞-，∞+）上为减函数
C 、偶函数，且在（∞-，0）上为增函数，在（0，∞+）上为减函数
D 、偶函数，且在（∞-，0）上为减函数，在（0，∞+）上为增函数
10、函数y=sin 2x+2cosx (
3
π≤x ≤34π)的最大值和最小值分别是 A 、最大值为47，最小值为4
1- B 、最大值为47，最小值为-2 C 、最大值为2，最小值为41- D 、最大值为2，最小值为-2 11、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=13，BB 1=BC=6，E 、F 为侧棱AA 1上
的两点，且EF=3，则多面体BB 1C 1CEF 的体积为
A 、30
B 、18
C 、15
D 、12
12、三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，
则不同的传球方式共有
A 、6种
B 、8种
C 、10种
D 、16种
二、填空题
13、已知函数f(x)=1+x 1)2
1
(-，则f -1(5)=_____________. 14、已知圆台的轴截面面积为Q ，母线与底面成30º的角，则该圆台的侧面积为_______.
15、某校有一个由18名学生组成的社区服务小组，其中女生多于男生，现在这个小组内推
选二女一男共3名学生参加某街道的科普宣传活动，不同的推选方法的总数恰为该组内女生人数的33倍，则这个小组内女生人数为_________（用数字作答）.
16、长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线y 2=2px (p>0，且a>2p)上滑动，则线
段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为_______.
三、解答题
17、（10分）解不等式 1+)2x (log 2)4x (log 2
121-<+
18、（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
7A 2cos 2C B sin 42
=-+ （1）求角A 的度数；
（2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值。

C 1 A 1 B 1 F E C A B
19、（12分）正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点（如图甲），现将该
正方形沿其对角线BD 折成二面角，并连结AC 、EF ，得到图乙所示的棱锥A —BCD ，在棱锥A —BCD 中，
（I ）求线段AC 的长；
（II ）求异面直线EF 和AB 所成角的大小。

甲 乙
20、（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e=21，且经过点M （-1，23） （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若椭圆C 上有两个不同的点P 、Q 关于直线y=4x+m 对称，求m 的取值范围。

21、（14分）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。

某市去年11月份曾发生流感，
据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。

由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人。

问11月几日，该市感染该病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

22、（14分）已知函数f(x)=)a a (1
a a x x 2---，其中a>0，a ≠1. （I ）判断函数f(x)在（∞-，∞+）上的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （II ）若n ∈N ，且n ≥2，证明f(n)>n.
参考答案
一、CCDCB AADBB AC
13、3 14、2πQ 15、12 16、
2
1（a -p ） 17、{x|2<x<4} 18、（I ）60º （II ）⎩⎨⎧==2c 1b 或⎩
⎨⎧==1c 2b 19、（I ）取BD 的中点，连结AP 、PC ，∠APC 为直二面角A —BD —C 的平面角
∠APC=90º
又AB=AD=a ，∠BAD=90º
C
F B A D C F B A
E
AP=2
1BD=a 22 同理CP=a 22 在Rt △APC 中，AC=a
（II ）取AC 的中点Q ，连结PF 、FQ 、QE 、EP 、PQ
因为QF 平行且等于2
1AB 所以∠EFQ 为异面直线EF 和AB 所成的角。

得EPFQ 为平行四边形，进一步证其为菱形，
在Rt △APC 中，PQ=21AC=2
1a △PFQ 为等边三角形，∠PFQ=60º
∠EFQ=30º，原题得解
20、（I ）13
y 4x 2
2=+ （II ）直线y=4x+m 垂直平分线段PQ ，设PQ 为y=-
41x+b 联立椭圆方程消取y 得：13x 2-8bx+16b 2-48=0
再由△≥0得 -213<b<2
13 设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则x 1+x 2=13
b 8 设N （x 0，y 0）为线段PQ 的中点，则
x 0=
13
b 4，y 0=13b 12 代入y=4x+m 得b=-m 2
13 代入-213<b<213 -13132<m<13
132 21、S n =20n+n 5n 25502)1n (n 2-=⋅- 从第n+1日开始，到11月30日止，每日新患者人数构成一首项为[20+(n-1)50]-30=50n-60的等差数列，公差为-30，项数为（30-n ）
T 30-n =（30-n ）（50n-60）+)30(2
)n 29)(n 30(--- S n + T 30-n =8670
n=12或n=49
而1≤n ≤30 ，所以n=12 570人
22、（I ）增函数 分（1）0<a<1 （2）a>1
（II ）用数学归纳法证，略。