二次根式案例分析
《二次根式》课例分析
湘西自治州中小学教师教育技术能力建设应用成果—案例分析报告
教学活动标题：二次根式
所属学科或领域：人教版八年级数学下册二次根式
适于的学段/年级：八年级下册
设计者：龚思思
教学实施者：龚思思
一、实践活动简介
在本次教学活动中，学生通过回顾所学的实数（平方根和算术平方根）的基础上，进一步探究二次根式的概念，二次根式有意义的判定以及二次根式的双重非负性应用，然后让学生在由浅入深的练习中认识、理解、并掌握本节知识。
二、学习者分析
初二学生已经熟悉自己的学习环境，课堂上注意力能保持稳定，集中注意力的能力较好，有自主学习的能力。本节课是在学生已经学习了平方根和算术平方根的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与“实数”
“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是学习二次根式的化简和运算的依据，因此本节课是本章的关键。
三、教学/学习目标及其对应的课程标准
（1）、知识目标：①经历二次根式概念的发生过程，掌握二次根式的概念；②理解二次根式何时有意义，会在简单情况下求被开方数中所含字母的取值范围；③灵活运用二次根式的双重非负性质。
（2）、能力目标：经历探索二次根式是否有意义，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
（3）、情感态度：培养学生准确归纳的科学精神。
四、教学理念和教学方式
教学理念：本节课是后面学习二次根式的性质，运算的基础，是本章的关键，因此在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.
二次根式的化简与应用
二次根式的化简与应用
一、引言
二次根式是数学中常见的一种形式，化简二次根式是解决数学问题
中的重要环节。本文将重点介绍二次根式的化简方法及其在实际应用
中的一些例子。
二、二次根式的定义与化简方法
二次根式是指根号内含有二次方项的根式。一般形式为√(ax²+bx+c)（其中a、b、c为常数，且a≠0）。对于二次根式的化简，主要采用以
下两种方法：
1. 提取公因式法
当二次根式的根号内含有完全平方的因式时，可采用提取公因式法
进行化简。例如，对于二次根式√(4x²+12x+9)，可以提取公因式4，得
到√[(2x+3)²]，进而化简为2x+3。
2. 平方差公式法
当二次根式的根号内含有差的平方时，可使用平方差公式将其化简。例如，对于二次根式√(x²-4)，可以使用平方差公式将其化简为√[(x-
2)(x+2)]。
三、二次根式的应用
二次根式在实际应用中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
1. 几何问题中的应用
二次根式可用于求解几何问题中的边长、面积等。例如，在求解直角三角形斜边时，可以利用勾股定理将边长的平方与二次根式联系起来。
2. 物理问题中的应用
二次根式常出现在物理问题的求解中，如自由落体问题中的时间、距离等。在这类问题中，常常需要对二次根式进行化简，以便进行后续计算和分析。
3. 金融问题中的应用
金融领域中的一些利率、投资回报率等问题，也常涉及到二次根式的运算。通过化简二次根式，可以更好地理解和计算这些金融概念。
四、案例分析
为了更好地理解二次根式的应用，以及其化简方法的实际作用，我们选取了一个案例进行分析。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
一. 教材分析
《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解
二次根式的概念、性质和运算方法。通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析
学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。但是，对
于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标
1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点
1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法
采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引
导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备
1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）
教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个
形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
中考数学复习指导：《二次根式》创新题赏析.doc
《二次根式》创新题赏析
近年出现二次根式问题，不拘泥常规的形式，而表现为内容丰富、立意新颖、背景鲜活，让人赏心悦目的创新题。下面介绍一些新背景下二次根式的新题型，并分类解析.
一、新定义运算问题
就是给出一个“规则”，然后根据所给的新规则进行判定、运算，从而达到解决问题的目的.
例1给出一种运算：= + 则2018*2= _______________ °
分析根据的意义，将2018*2转化为二次根式｛2018x2 + ^1^，化简即得。答案：371009 (求解过程略).
说明对于这类新问题，解题时要仔细阅读所给运算法则，再按照对应元素的位置关系将字母换成数，代入计算即可.
二、开放探究性问题
是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.
例2同学们玩过“24点”游戏吗？现给你一个无理数迈，你再找3个有理数，使它们经过3次运算后得到的结果为24。请你写出一个符合要求的等式_____________________ •分析因为无理数血参与运算，而计算结果是有理数，因此要将血乘以0,或者(A/2)Z,的指数斤是偶数.
解答案不唯一
女口，72x0 + 12x2 = 24
或(血『+4x5 = 24
说明此题的条件和运算是开放的，它是条件开放题。另外，还有结论开放题、存在开放题、方法开放题等.
三、二次根式意义的应用
根据二次根式的意义可知，二次根式的被开方数是非负数，同时二次根式也是非负数; 还要掌握二次根式表示无理数，以及表示有理数的条件.
例3⑴如果(2 + V2)2=a + bV2(a,b为有理数)那么a + b等于( )
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
(1)
；
(2)
× =4× × =4 × =4 =8 .
【答案】(1)不正确．
改正：
=
(2)不正确．
＝ × =2×3=6；
改正：
×=
×=
=
=
＝4 .
2.计算：（1）（2014 秋•门头沟区期末） 4 ÷（﹣ ）×
．
（2）（2014 秋•松江区校级期中）计算： ÷ ×
【解析】解：因为 =
=2 ，因此 不是最简二次根式．
故选 B． 【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简
（1） (2)2 a3b2c5 (a 0, b 0)
（2） 16ab2c3
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b） =﹣2a+b．
故选：A． 【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题
关键．
4. 已 知 a, b, c 为 三 角 形 的 三 边 ， 则 (a b c)2 (b c a)2 (b c a)2 =
．
【答案】 a b c 【解析】 a, b, c 为三角形的三边, a b c 0,b c a 0,b c a 0
《二次根式(第1课时)》教学设计案例
《16
一、内容和内容解析
1.内容
二次根式的概念.
2.内容解析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，明白开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都能够表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范畴的问题，加深学生对二次根式的定义的明白得.
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念;
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)体会研究二次根式是实际的需要.
(2)了解二次根式的概念.
2. 教学目标解析
(1)学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性.
(2)学生能依照算术平方根的意义了解二次根式的概念，明白被开方数必须是非负数的理由，明白二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范畴.
三、教学问题诊断分析
关于二次根式的定义，应侧重让学生明白得“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特点，关心学生明白得
这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判定.
本节课的教学难点为：明白得二次根式的双重非负性.
四、教学过程设计
1.创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗?
二次根式典型例题讲解
二次根式典型例题讲解
【知识要点】
1
的式子叫做二次根式。
注意：这里被开方数可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中
为二次根式的前提条件。 2、二次根式的性质：
（1（2）（3
（4）（5
3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即。
4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
。
5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。
6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式
。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：
①
④
都是最简二次根式）
7
、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 8、二次根式的加减法
二次根式的加减，就是合并同类二次根式。
二次根式加减法运算的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （
2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
【典型例题】
例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1（2
（3 （4
（5 （6
0)a ≥a 0
a ≥0(0)a ≥2
(0)a a =≥a )0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=0,0)
a b =≥>)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅0,0)
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案
《二次根式》教案
教学目标
知识与技能
1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.
2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.
3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.
过程与方法
1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.
3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.
情感态度
通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.
教学重点
1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.
2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.
3.
教学难点
利用“a（a≥0）”解决具体问题.
关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出
教学过程
一、情境导入，初步认识
回顾：
当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.
当a是负数时，a没有意义.
【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.
二、思考探究，获取新知
概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：
（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.
注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.
思考：2a等于什么？
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教案1
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教案1
一. 教材分析
《二次根式的性质》是浙教版数学八年级下册的教学内容，这部分内容主要让学生了解和掌握二次根式的性质，包括二次根式的定义、运算规则、性质等。通过这部分的学习，为学生后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析
学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的基础。但是对于二次根式的概念和性质可能还存在一定的困惑，因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，理解和掌握二次根式的性质。
三. 教学目标
1.让学生了解二次根式的定义，掌握二次根式的性质。
2.培养学生运用二次根式的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点
1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法
采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生从实际问题出发，探索和理解二次根式的性质。
六. 教学准备
1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备教学PPT，包括二次根式的定义、性质、运算规则等内容。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：一个正方形的对角线长为8，求这个正方形的面积。让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式的概念。
2.呈现（15分钟）
通过PPT展示二次根式的定义、性质、运算规则等内容，让学生理解和掌握二次根式的基本知识。
3.操练（15分钟）
让学生进行一些二次根式的运算练习，巩固所学知识。教师可以设置一些有关
初中数学_二次根式的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：)0
(2≥
a
)
a，并能灵
=a
≥a
(
a和)0
(0≥
活应用；
2、掌握二次根式的基本性质：a
2，能利用上述性质对二次根式
a=
进行化简.
ab
3、掌握二次根式的性质： = b
a并能化解一些二次根式二、学习重点、难点
重点：掌握二次根式的三个基本性质．利用二次根式的性质进行化简难点：综合运用性质解决生活的问题
三、学习过程
（一）知识回顾：
1．二次根式概念)0
a
≥a
(0≥
2、二次根式基本性质1)0
a
a
)
=a
(2≥
(
牛刀小试
1、已知，求x＋y的值
130
x y
2、已知
求x+y 的值。
3、若x 、y 都是实数，且 时，求代数式5x — 6y 值。
4、
二、合作学习 请比较左右两边的式子，议一论
与∣a ∣有什么关系？当0≥a 时 = 当a<0时 =
性质二：一般地,二次根式有下面的性质:
___,___,___,
===()0
2922=++-y x x 1
1331+---=x x y ()()()()(()22
22
2
1______,2______,3________,4________,5________.
===⎛=-= ⎝|2|___;
|5|___;
|0|___.
=-==2a 2a 2
a
总结规律
1:从运算顺序来看,
2.从取值范围来看,
3.从运算结果来看: 例题1
=2)2)(1(=-2)2)(2(=
-2)2()3(=
-2)2()4(=
22)5(=--2)2()6(_______)3)(2(______)1()1(22=-=-______)4()4(______)3
11()3(22=-=
二次根式性质的应用
二次根式性质的应用
1 二次根式性质
二次根式性质是数学中的一个概念，它指的是当二次多项式的根相等时，其系数的关系。例如，当ax^2+bx+c=0（ a非零）成立时，有b^2-4ac=0，这就是二次根式性质的应用。
2 应用案例
二次根式性质的应用不仅仅只在数学领域，它也可以用于一些社会经济活动中。例如，在宣传活动中，如果假设考虑到消费者三个行为（购买、放弃购买、口碑宣传），那么可以用收益相等方程来表示它们之间的关系。于是，当用二次根式性质去解决这个方程时，就可以得出该活动的最大收益以及不同参数组合对应的收益。
3 日常生活中的应用
在日常生活中，比如无线通信这一领域，二次根式性质的应用也可以体现出来，利用二次根式性质，可以预知不同的参数组合，不同的参数组合有着不同的信号传输距离，从而可以合理的设计系统的安装距离，提高系统的可靠性。
4 总结
可以看出，二次根式性质的应用十分广泛，既可以应用在数学领域，也可以应用于社会经济活动中以及实际生活方面。它通过分析二
次多项式的根的相等关系，从而可以发现潜在的问题，并有效的解决
问题，同时也可以解决收益最大化的问题，极大的提高了社会生产力。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析
【学习目标】
1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），
（a ≥0），并利用它
们进行计算和化简．
【要点梳理】
要点一、二次根式的概念
一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.
（a ≥0）；
3..
4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
（a ≥0，b ≥0）.
5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即
()a a a b a b b b
=÷=÷或（a ≥0，b >0）.
要点诠释： （1）二次根式
(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即2()(0a a a =≥）.
（22a 2()a 要注意区别与联系：
①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。 ②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念
1．当x 是__________时，
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
一. 教材分析
《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。本章主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。通过本章的学习，学生能够理解二次根式的意义，掌握二次根式的性质和运算方法，并为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析
学生在学习本章内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的相关知识，具备了一定的代数基础。但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标
1.理解二次根式的概念和性质；
2.掌握二次根式的运算方法；
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点
1.二次根式的概念和性质；
2.二次根式的运算方法；
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法
采用讲授法、案例分析法、练习法、小组合作法等教学方法。通过实例引入二次根式，引导学生思考和探索，通过练习和案例分析，让学生巩固知识和提高解题能力。
六. 教学准备
1.教材和教学参考书；
2.投影仪和教学课件；
3.练习题和案例分析题。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
通过一个实际问题引入二次根式的概念。例如，一辆汽车以每小时20公里的
速度行驶，行驶10小时后，行驶了多少公里？引导学生思考和探索，从而引入二
次根式。
2.呈现（10分钟）
介绍二次根式的概念和性质。通过示例和讲解，让学生理解二次根式的意义，
掌握二次根式的性质。
3.操练（10分钟）
进行二次根式的运算练习。给出一些简单的二次根式运算题，让学生独立完成，并及时给予指导和讲解。
4.巩固（10分钟）
二次根式的应用解实际问题
二次根式的应用解实际问题
二次根式是数学中的一个重要概念，常常用于解决实际问题。它的
应用范围非常广泛，涉及到多个领域，比如物理学、工程学和经济学
等等。本文将通过几个实际问题的例子，来说明二次根式的应用方法
以及它在解决实际问题中的重要性。
一、米兰达的马术训练
米兰达是一位爱好马术的女孩，她想在她家附近修建一个马术场地。这个场地应该是长方形的，要能够容纳她进行训练。她已经找到了两
块方形土地，一个长和宽均为x米，另一个长为2x米，宽为3x米。现在米兰达想计算一下这两块土地的总面积是否足够她进行训练。
解决这个问题，我们可以用二次根式来表示面积。第一块土地的面
积为x*x=x²平方米，第二块土地的面积为2x*3x=6x²平方米。总面积为
x²+6x²=7x²平方米。如果米兰达想要训练的场地面积大于等于7x²平方米，那么这两块土地足够她进行训练。
二、建筑物倾斜度的计算
在建筑工程中，我们经常需要计算建筑物的倾斜度，以确保建筑物
的结构安全。假设我们有一个建筑物，高度为h米，底部宽度为b米，顶部宽度为a米。我们想计算建筑物的倾斜度是多少。
要计算倾斜度，我们可以使用二次根式来表示。建筑物的倾斜度可
以用高度h与底部宽度b以及顶部宽度a的差值来表示，即（b-a）/h。
如果我们想要计算倾斜度的百分比，可以将这个差值乘以100。这样得到的结果就是建筑物的倾斜度百分比。
三、金属板的重量计算
假设我们有一张金属板，它的长度为l米，宽度为w米，厚度为t 毫米。现在我们想要计算这张金属板的重量是多少。
金属板的重量可以用二次根式来表示。首先，我们需要将厚度t转换为米，因为长度、宽度和厚度的单位必须一致。假设1毫米=0.001米，那么厚度t米为t*0.001米。
二次根式(论文)
例析二次根式加减中的常见误区
二次根式的有关问题，是初中数学的重点内容，历年来的中考试题均从不同侧面对学生进行考查。因此同学们除要牢固掌握这一章节的基础知识，基本技能和基本思想方法外，还要能正确熟练地运用知识解决相关各类问题。在实际解题过程中，不少同学由于概念不清，思维不周，理解不透，忽视隐含条件而陷入误区。本文就解题过程中的常见误区举例如下：
一、 概念不清，导致错误
例1、 已知b a 4b +和b a +3是同类二次根式，求a 、b 的值。
错解：∵b a 4b +和b a +3是同类二次根式
∴ a+b=2 4b=3a+b 解得：a=1 、b=1
剖析：若a=1 、b=1则b a 4b +=4=2，b a +3=2两式均不为二次根式，所以上述解法显然是错误的，究其原因是由于忽视了b a 4b +在为二次根式时并非为最简形式，应将其化简为2·b a b +，然后利用同类二次根式被开方数相等这一条件求解。
正解：∵b a 4b +和b a +3是同类二次根式
∴b a 4b +=2b
由题得 a+b=2
3a+b=b
解得a=0 b=2
二、 忽视二次根式有意义的条件
例2a
错解：原式a ·1
a －
剖析：上述解法对a ≥0掌握不清，忽视了－a 3＞0这一隐含条件， a (a ≥0)
即a ＜0，盲目进行开方，造成错误。我们知道
－a (a ＜0)
与＞00，但0，1a 0。
正解：原式= － a ·
1a -－三、 忽视隐含条件。
例3：已知a+b=－5 ab=4
错解：原式5
2===-
＞00。显而易见，结果绝对不会小于 0，出错的原因在于忽视了隐含条件，事实上，由于a+b=－5 ab=4可以：a ＜0,b ＜0。
初中数学解题技巧如何使用二次根式解决实际问题
初中数学解题技巧如何使用二次根式解决实
际问题
解题技巧：如何使用二次根式解决实际问题
在初中数学学习中，解决实际问题是我们的主要目标之一。而使用
二次根式解决实际问题是一种常见的技巧。本文将介绍如何正确运用
二次根式解决实际问题，并提供一些相关例题供读者练习。
1. 了解二次根式的定义和性质
首先，我们需要明确二次根式的定义和性质。二次根式指的是形如
√a的表达式，其中a是一个非负实数。二次根式的性质包括加减乘除
四则运算以及开平方的运算规律。熟悉这些基本概念是使用二次根式
解决实际问题的前提。
2. 问题转化为二次根式的形式
接下来，我们需要将实际问题转化为可以用二次根式解决的形式。
这需要我们对问题进行逐步分析，找出与二次根式相关的因素和变量。例如，一个典型的问题可能是求一个矩形的面积，已知其周长为10。
我们可以将该问题转化为求解一个二次方程的形式，已知周长，求解
面积。
3. 建立方程并求解
一旦将问题转化为二次根式的形式，我们需要建立相应的方程，并
求解该方程。利用二次根式的性质和解方程的方法，可以求得问题的
解。例如，对于上述矩形面积的问题，我们可以设矩形的长为x，宽为y，周长为10，则可以建立方程2(x+y)=10。然后我们可以通过解这个方程求得矩形的长和宽，进而求得面积。
4. 实际问题应用
解决了矩形面积的问题后，我们可以进一步应用二次根式解决其他实际问题。例如，求解一个游泳池的体积，已知其长为2x，宽为x，深为y。我们可以利用二次根式的性质和求解方程的方法，建立体积的方程，并求得y的值。通过这样的实际问题练习，我们可以更好地掌握使用二次根式解决实际问题的技巧。
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二次根式
教学目标：
1.根据了解二次根式的概念：
2.知道被开方数必须是非负数的理由；
3.能运用二次根式的性质解决实际问题
新设计：我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算。前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算。本节课主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。前面我们学习的平方根和算术平方根的概念和性质是学习二次根式的基础，我们先来回忆一下平方根和算术平方根的有关知识。新设计：问题平方根的概念，算术平方根的概念，平方根的性质。学情分析：本班40名学生，成绩参差不齐，程度差距很大，鉴于此，对于学生要分层教学。
重点难点：1.重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2.
难点：运用二次根式的性质解决实际问题。
教学过程第一学时教学活动活动1【讲授】二次根式
教学过程设计
创设情境，提出问题
引言
我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算。前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上
就是对符号运用运算律所进行的形式运算。本节课主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。前面我们学习的平方根和算术平方根的概念和性质是学习二次根式
的基础，我们先来回忆一下平方根和算术平方根的有关知识。
问题1 平方根的概念，算术平方根的概念，平方根的性质。
师生活动：给学生充分思考和讨论时间，让他们回忆有关平方根和算术平方根的有关知识，才能在此基础上再进一步研究二次根式概念。设计意图：回顾已学的数和式的运算，丛数和式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生了解本章将要学习的主要内容，起到先行组织者的作用。
问题请思考下列问题
面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形边长为。
一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为 m。一个物体从高处自由落下，落在地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2。如果用含有h的式子表示t，则t为。
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价。关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象。
设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识。抽象概括，形成概念
问题:上面得到的式子有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义。追问1 中a的取值有要求吗？为什么？
师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”。
追问2 二次根式有什么样的特点？
师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让学生总结二次根式的特点，教师归纳总结。
设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳的出二次根式的概念。辨析概念，应用巩固
例1 下列各式是二次根式吗？
师生活动：教师引导学生从二次根式的特征出发思考问题。
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
师生活动：教师可以通过问题“观察各式被开方数是什么？你能根据二次根式的概念的带答案吗？”引导学生从概念出发思考问题。
追问：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让学生总结回答，教师归纳总结。
问题: x取何值时,下列二次根式有意义?
师生活动：学生抢答加分，调动学大亨的积极性。
设计意图：让学生独立思考，再追问。
问题:计算
师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
例3 计算
师生活动：学生直接回答。
设计意图：通过加分制调动学生的积极性，提高学生的注意力，通过练习巩固知识点。
问题: 计算
师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
追问：
师生活动：学生讨论回答，教师归纳总结。
设计意图：通过简单计算学生自己归纳总结二次根式的性质，加深学生的印象。
综合应用，深化提高
练习1学生完成教科书第3页的练习。
练习2 若１＜x＜４，则化简
设计意图：辨别二次根式的概念，确定二次根式有意的条件。利用二次根式的性质解题。
小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答下列问题：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
二次根式与算术平方根有什么联系与区别？
我们以前学过整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
设计意图：共同回顾本节课学习的概念，再次练习算术平方根理解二次根式的概念，提出二次根式应该研究的问题。
布置作业
教科书习题16.1第1、2题。
教学反思：
1.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的两道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。
2.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。
3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。
4.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。在今后教学中，应注意时间的掌控。
5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要