利用均值定理求最值的几种常见错误

三、知识网将各知识点连接成一个整体 在系统复习了各知识点有机物的性质后, 为了
使所学的知识系统化, 便于记忆, 利用物质之间的转 化关系, 准确、迅速地推导有机化合物及设计有机物 的合成路线, 可在相关有机物衍变关系的主线中, 把 一种物质的性质看作是另一种物质的制法, 彼此形 成网络。
例如, 从烷烃→羧酸衍生物之间的相互关系可 总结为上图。
3
x 4
·
3x 4
·
1 x2
=
3 4
3 12 ,
当且仅当
x 4
=
3x 4
=
1 x2
时取等号。
评析 上面两种解法都是错误的。
解法 1 在讨论极值时忽略了含变数的各项和或
积必须是常数这一先决条件, 所以 2 不是其最小值。
解法
2
错在分解的项中
x 4
、34x、x12
不可能全相
等,
即方程
x 4
=
3x 4
=
1 x2
·110·
安庆师范学院学报 (自然科学版)
1997 年
1 x2
取等号,
即
x+
1 x2
(x>
0) 在 x=
3 2 时取得最小
值3 2
3
2。
三、在使用均值定理时应注意等号成立的条件,
多次使用均值定理还应注意等号成立的一致性。
例 3 已知 m > 0, n> 0 且 m + n= 1, 求 y= (m
+
能成立。 事实上,
∵m +
n=
1]
m
·n≤
(m
+ 2
n) 2=
1 4
当且仅当 m
=
n
时, m ·n
取得最大值
1 4
,
所以
0<
m ·n ≤
1 4
,
设 f (x) = x+
1 x
,
则
f′=
1-
1 x2
,
令
f′>
0]
x> 1 或 x
<-
1, f′< 0]
-
1< x< 1, 且 x≠0, 因此 x+
1 x
在
评析 在上面解的过程中, 没有考虑到变量的
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第 3 期 余永虎: 利用均值定理求最值的几种常见错误
3。
2) 当 x< 0 时, 即- x> 0 时
(- 3x) + (-
4 x
)
≥4
3 , 当且仅当 x=
-
2 3
3 时取等号, 即 2-
(3x+
4 x
)
=
2+
[ (-
3x )
+ (-
4 x
)
]≥2+
4
3 当且仅当 x= -
2 3
3时
2-
( 3x +
4 x
) 取得最小值
2+
4
3。
二、函数式中含有变数的各项和或积必须是常
数, 并且要保证使各项相等的情形能够成立。
例 2 求函数 y=
x+
1 x2
(x>
0) 的最小值。
解法 1 由 x+
1 x2
≥2
x·
1 x2
=
2
1 当且 x
仅当 x=
1 x2
即
x
=
1 时取等号, 故 x+
1 x2
在
x
=
1时
取得最小值 2。
解法
2 将
x
分离成
x 4
+
3x 4
由
x 4
+
3x 4
+
1 x2
≥3
例 6 求 y=
sinx +
4 的最值。 sinx
误解 y=
sinx
+
4 sinx
≥2
y=
sinx
·
4 sinx
=
4, 当且仅当
sinx
=
4 sinx
〔1〕周国镇, 袁志忠编·高中数学习题集·中国 计量出版社, 1986 年 2 月。
〔2〕靳尚诚等·高中数学自测手册·知识出版 社, 1988 年 3 月。
+ 4≥2 (2 m n·m1n ) + 4= 8 故原式有最小值 8。
评析 上述两种解法结果相同, 解法也很简单,
表面上好像没什么问题, 其实结果是错误的。原因是
在解题过程中忽略了等号成立的条件及多次使用均
值定理求极值时等号成立的一致性。
解法一中, m =
1 m
, n=
1 n
且m +
n=
1
这是不可
x 4
) 在 x=
±
2 3
3 时取得最大值 2- 4
3。
评析:
这道题解显然是错误的。原因是
3x
及
4 x
可正可负, 故不能冒然使用均值定理。正确的解法是
1) 当 x> 0 时, 3x+
4 x
≥2
3x·
4 x
=
4
3,
当且仅当 x=
2 3
3 时取等号, 即 2-
(3x +
4 x
)
在
x=
2 3
3 时取得最大值 2- 4
〔3〕中师教材·《代数与初等函数》及其教参· 人民教育出版社。
〔4〕《数学教学通讯》96 年 3 月。
(上接第 101 页) 酰乙酸乙酯是两种互变异构体的平衡混合物? 如何 通过乙酰乙酸乙酯合成下列化合物?a: 2- 庚酮; b: 3 - 甲基- 2- 戊酮; c: 2, 6- 庚二酮。
通过多种形式的实验题组进行复习, 可使学生 始终保持思维的积极性, 使官能团的特性反应经多 次不同形式的出现, 在学生头脑中形成清晰的反应 表象。
无解,
故
3 4
3 12 不是其最小
值。
正确的解法应将
x
分解为
x 2
+
x 2
,
由
x 2
+
x 2
+
1 x2
≥3
3
x 2
·
x 2
·
1 x2
=
3 2
3
2
,
当且仅当
x 2
=
Ξ 收稿日期: 1997- 03- 02 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
(a2+ 2
a4
)
2=
(
1 2
) 2=
1 4
∴a1 ·a2 ·a3 ·a4 ≤
9 4
·
1 4
=
9 16
,
当且仅当
a1
= a3=
3 2
且 a2=
a4=
1 2
时等号成立,
所以
P
为AC
上的点时 a1·a2·a3·a4 取到最大值且最大值为
9。 16
3 上题可推广到: P 是矩形内的任意一点时, 上
述结论仍成立。
0
<
x≤
1 4
上是减函数,
即
x=
1 4
时
x+
1 有最小值 x
4
1 4
。
故当
m
=
n=
1 2
时,
y=
(m +
1 m
) 2+
(n+
1 )2Fra Baidu bibliotekn
有最小值 2×4
1 4
+
4=
12
1。 2
∵a1+ a3= 3
图 一
∴a1·a3≤
(a1+ 2
a3
)
2=
(
3 2
) 2=
9 4
又 a2+ a4= 1
∴a2·a4≤
的或显性的) , 因而出现了这样或那样的错误, 主要
表现在以下几个方面。
一、在函数式中各项都必须是正数
例 1 讨论函数式 2-
(3x+
4 x
)
的极值
解 ∵3x+
4 x
≥2
3x ·
4 x
=
4
3 , 当且仅
当 3x=
4 x
即 x=
±
2 3
3 时取等号。 ∴3x+
4在 x
x=
±
2 3
3 时取得最小值 4
3 , 即 2- (3x +
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评析 上面的解未考虑隐含条件 0≤ sinx ≤1
故解是错误的。
正解 由于 y= x+
4 x
在-
2≤x≤2 且 x ≠0 时
是减函数 (证明仿照例 3, 此处略)。
所以 y=
sinx +
4 sinx
在 0<
sinx ≤1 有最
小值且 sinx = 1 时取得最小值 5, 此函数无最大
值。
参考文献
图 二
1997年8月 第 3 卷第 3 期
安庆师范学院学报 (自然科学版)
J ourna l of Anq ing Te a che rs C o lle ge (Na tura l S c ie nce )
Aug. 1 9 9 7 V o l. 3 No. 3
利用均值定理求最值的几种常见错误
余永虎
(安庆师范学校 安庆 246001)
能的, 所以解是错误的。
解法二中, m =
n, m ·n=
m
1 ·n
且
m
+
n=
1同
样不可能, 所以解也是错误的。 正确的解法是
y=
(m +
1 m
) 2+
(n+
1 )2 n
=
(m 2+
n2) +
(m12 +
1 n2
)
+
4
=
2 (m ·n+
m
1 ·n
)
+
4
这里不能再用平均值不等式, 因为 m ·n= 1 不
根据上面介绍的方法和程序, 引导学生试着总
结各种有机物的知识点和知识网, 建立由“知识点→ 知识主线→知识网”的学习程序, 从而得到整体的、 互相联系的、结构化的知识体系。只有归纳后形成体 系的知识才易于学生掌握。
参考文献
〔1 〕邢其毅等· 基础有机化学· 人民教育出版 社。
〔2〕胡宏纹等·有机化学·第二版高等教育出 版社。
1 m
) 2+
(n+
1 ) 2 的最大值或最小值。 n
解 法 一 (m +
1 m
)2
+
(n +
1 n
)2
≥
(2
m
·1 m
) 2+
(2
n·
1 n
) 2=
8
故原式有最小值 8。
解法二 将原式适当变形后得
y=
(m 2 +
n2) +
(m12 +
1 n2
)
+
4≥2·m n +
2
1 mn
例 4 在矩形 ABCD 中, BC = 3, AB = 1, 动点 P☆在对角线 A C 上移动, P 到各边距离依次是 a1, a2, a3, a4。 求 a1×a2×a3×a4 的最值。 误解 ∵a1+ a3= 3, a2+ a4= 1
·111·
取值范围, 因此上述结果是错误的。 正 解 y= 2x (8- x) = 16x - 2x2= - 2 (x - 4) 2
+ 32 如图所示: 不难看出在 0< x≤3 的条件下, 当 x
= 3 时, y 有最大值 30。
即 sinx 2= 4] sinx = 2 时, y 有最小值 4。
四、注意变量的取值范围
在讨论函数式的极值或最值时还必须注意变量
的取值范围, 这一点同学们往往容易忽视。
例 5 设 0< x≤3, 求函数 y= 2x (8- x) 的最大
值, 并求 x 的值。
解 y= 2x (8-
x) ≤2[ x-
(82
x) ]2= 32, 当且
仅当 x= 8- x 即 x= 4 时, y 有最大值 32。
Ξ
摘 要 讨论利用均值定理求函数最值时产生的错误类型及原因, 并给出了如何利用均值定理正确解题。 关键词 非二次函数 均值定理 极值
利用均值定理,
a+ 2
b
≥
ab (a, b 为正数, 当且
仅当 a= b 时取等号) 求一些非二次函数的极值或值
域是种常见的亦是行之有效的方法。 但是由于同学
们在定理使用过程中忽视了定理成立的条件 (隐性
∴ a1
· a2
·
a3
·
a4
≤
( a1+
a2+ a3+ 4
a4 ) 4
=
( 1+ 4
3) 4=
1
∴a1·a2·a3·a4 的最大值为 1。
评析 这道题解题过程很简捷, 但是错误的。原
因是: 当且仅当 a1 = a2 = a3 = a4 取等号这是不可能 的, 因为 a1+ a3= 3, a2+ a4= 1。 现正解如下, 如图所 示