2014中考数学专题18 二次函数的图象和性质.

二次函数的图象和性质
一、选择题
1、（2013·湖州市中考模拟试卷7）函数
2y ax b y ax bx c =+=++和在同
一直角坐标系内的图象大致是（ ）
答案：C
2、（2013·湖州市中考模拟试卷8）抛物线
2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单
位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A ．
()2
13
y x =++ B ．
()2
13
y x =+- C ．
()2
13
y x =-- D ．
()2
13
y x =-+
答案：D
3、（2013·湖州市中考模拟试卷10）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过)0,2(-A 、)0,0(O 、),3(1
y B -、),3(2
y C 四点，则1
y 与2
y 的大小关系是( )
A ．1y ＞2y
B ．1y 2
y = C ．1y ＜2y D ．不能确定
答案：A
4、(2013年河南西华县王营中学一摸)将抛物线22-=x y 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ） A ．
()2
3+=x y B ．
()2
3-=x y C ．
()1
22++=x y D ．
()1
22+-=x y
答案：A
5、（2013安徽芜湖一模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，
它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）． 对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＞0；③a ﹣2b +4c ＜0； ④8a +c ＞0．其中正确结论的是__________． 答案：②③④
6、（2013吉林镇赉县一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线x x y 42+-=（单
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米 答案：A
7、（2013吉林镇赉县一模）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数
22
1x
y =的图象，C 2是函数
22
1x
y -=的图象，C 3是函数x y 3=的图象，则阴影部分的面积是 平方单位（结果保留π）. 答案：π
3
5
8、（2013江苏东台实中）抛物线
4
4
12
-+-=x x y 的对称轴是（ ）． A 、2-=x B 、2=x C 、4-=x D 、4=x 答案：B
9、（2013江苏东台实中）函数
42-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是（ ）
．
A 、（2，0）
B 、（－2，0）
C 、（0，4）
D 、（0，－4） 答案：D
10、（2013江苏东台实中）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确
的是：（ ）
A a >0 b <0 c >0
B a <0 b <0 c >0
C a <0 b >0 c <0
D a <0 b >0 c >0 答案：D
11、（2013江苏东台实中）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，
则函数b ax y +=的
图象是（ ）
答案：B
12、（2013江苏东台实中）将抛物线y =2x 经过怎样的平移可得到抛物线y =2(x +3) －
4.( )
A 、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B 、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C 、先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D 、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 答案：B
13、（2013江苏东台实中）已知函数
201220132+-=x x y 与x 轴交点是)0,(),0,(n m ，则
)20122014)(20122014(22+-+-n n m m 的值是（ ）
A 、2012
B 、2011
C 、2014
D 、、2013 答案：A
14、（2013江苏射阴特庸中学）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是
( )
A ．a ＞0
B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大
C ．c ＜0
D ．3是方程ax 2+bx +c =0的一个根 答案：D
15、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c 和一次函数y 2=mx +n 的图象，
观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围（ ） A ．x ≥0 B ．0≤x ≤1 C ．－2≤x ≤1 D ．x ≤1
答案：C 16、（2013江苏射阴特庸中学）已知二次函数的图象（-0.7≤x ≤2）如右图所示.关于该函数在所给自变量x 的取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值1，有最大值2 B ．有最小值-1，有最大值1 C ．有最小值-1，有最大值2 D ．有最小值-1，无最大值 答案：C
17、（2013江苏扬州弘扬中学二模）点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y =x 2－2x +1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____ y 2（ 填“＞”、“＜”、“=”）． 答案：<
18、（2013山东省德州一模）现掷A 、B 两枚均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，
11题图
3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x y
，），那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线24
y x x
=-+上的概率为（）
A. 1
18
B.1
12
C.1
9
D.1
6
答案：B
19、（2013山东省德州一模）已知抛物线c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；
②2
=
+
+c
b
a；③a＜
2
1；④b＞1.其中正确的结论是（）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
答案：D
20、(2013山西中考模拟六) 若二次函
222
y ax bx a
=++-（a b
，为常数）的图象如
下，则a的值为（）
A．2- B． C．1
答案：D
二、填空题
1、（2013吉林镇赉县一模）抛物线()9
12
2-
+
+
=k
x
k
y开口向下，且经过原点，则k= .
答案：-3
2、（2013江苏东台实中）抛物线5
)2
(42+
-
-
=x
y的对称轴是____，顶点坐标是____．答案：2
=
x；（2，5）
3、（2013江苏东台实中）已知抛物线与x轴两交点分别是（－1，0），（3，0）另有一点（0，－3）也在图象上，则该抛物线的关系式________________ ．
答案：3
2
2-
-
=x
x
y
4、（2013江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个
（第16题）
b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值是
（写出一个值即可）．
答案：-1，0，……只要满足-2<b<2就行，答案不唯一。

5、（2013·温州市中考模拟）如图，以O 为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A 、B 、C 、D ，则阴影部分的面积为______．
答案：1
6、（2013·湖州市中考模拟试卷3）如图为二次函数2y a x b x c
=++的图象，在下列结论中：①0a c >；②方程20a x b x c ++=的根是12
1,5
x x =-=；③0abc ++<；④当2x <时，y 随着x 的增大而增大.正确的结论有_ （请写出所有正确结论的
序号）．
答案： ②④
7、(2013年河北省一摸)|如图9，抛物线
bx ax y +=2与直线kx y =相交于O （0,0）和A
（3,2）两点，则不等式kx bx ax <+2的解集为 ． 答案：0<x <3
8、(2013年河北四摸)已知二次函数
c
bx x y ++=2
2），当y
图9
随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ． 答案：5.0〉x 三、解答题
1、（2013安徽芜湖一模）如图，已知：直线y=-x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线
y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式;
（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P ，使ΔABO 与ΔADP 相似，求出
点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边
形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．
（本小题满分12分）
解：（1）：由题意得，A （3，0），B （0，3） ∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴把A （3，0），B （0，3），C （1，0）三点分别代入2y ax bx c =++得方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++==++03
39c b a c c b a 解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==341c b a
∴抛物线的解析式为243y x x =-+ …………………………… （4分） （2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形,如图所示， 若△ABO ∽△AP 1D ，则
1
DP OB AD AO =
∴DP 1=AD =4 , ∴P 1(1,4)-
若△ABO ∽△ADP 2 ，过点P 2作P 2 M ⊥x 轴于M ，AD =4, ∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP 2是等腰三角形,由三线
合一可得：DM =AM =2= P 2M ，即点M 与点C 重合∴P 2（1，2） ……………………（8分）
（3）如图设点E (,)x y ，则
||2||2
1
y y AD S ADE
=⋅⋅=∆ ①当P 1(-1,4)时，
S
四边形AP 1CE
=S
三角形ACP 1
+S
三角形ACE
||22
1
4221y ⋅⨯+⨯⨯= = 4y
+
∴
24y y =+ ∴
4
y =
∵点E 在x 轴下方 ∴4y =-
代入得： 2434x x -+=-,即 0742=+-x x
∵△=(-4)2
-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P 2（1，2）时，S 四边形AP 2CE =S 三角形ACP 2+S 三角形ACE = 2y
+
∴
22y y
=+ ∴
2
y =
∵点E 在x 轴下方 ∴2y =- 代入得：2432x x -+=-
即 0542=+-x x ，∵△=(-4)2
-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E 。

………………………………（14分） 2、（2013吉林镇赉县一模）如图，抛物线
c
bx x y ++-=2
2
1过A （0，2）、B （1，3）两点，CB ⊥x 轴于C ，四边形CDEF 为正方形，点D 在线段BC 上，点E
BC 的左侧.
（1）求此抛物线的函数关系式； （2）求正方形CDEF 的边长. 答案：
3、（2013吉林镇赉县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线5+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与抛物线bx ax y +=2交于点C 、D .已知点C 的坐标为（1，7）
，点D 的横坐标为5.
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB 只有一个交点. 答案：
4、（2013吉林镇赉县一模）如图，已知抛物线
c bx x y ++-=2与x 轴负半轴交于点A ，与
y 轴正半轴交于点B ，且OA =OB .
（1）求+的值；
答案：
5、（2013江苏东台实中）若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与x 轴两交点间的距离为8，（1）试求该抛物线的关系式；
（2）求出这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标。

答案：（1）
16)1(2+--=x y 或1522++-=x x y （4分）
（2）（－1，12）（2分）（3，12）（2分）（合计4分）
6、（2013江苏东台实中）已知抛物线过点A （－1，0），B （0，6），对称轴为直线x ＝1 （1）求抛物线的解析式 （2）画出抛物线的草图
（3）根据图象回答：当x 取何值时，y >0
答案：（1）6422++-=x x y （4分）（2）图略（3分）（3）31≤≤-x
7、（2013江苏东台实中）某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y （万元），且bx ax y +=2，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为
4万元。

25题图
（1）求y 与x 之间的关系式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 答案：(1)
x x y +=2（5分）
（2）设投产后的纯收入为
/y ，则y x y --=10033/ 即：
156)16(1003222/+--=-+-=x x x y （2分）
由于当161≤≤x 时，/y 随x 的增大而增大，且当x =1，2，3时，/y
的值均小于0，当
x =4时，.012156)164(2/ =+--=y （2分）可知：
投产后第四年该企业就能收回投资。

（1分） 8、（2013江苏东台实中）如图，抛物线
2
12
y x mx n
=++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ， 点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1． （1） 求m 、n 的值； （2）
求直线PC 的解析式；
（3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由． （参考数据414.12=，732.13=，236.25=）
答案：
（1）
23,1-==n m （4分）（2） 2
321-
=x y （3分） (3)⊙A 与直线PC 相交(可
用相似知识，也可三角函数，求得圆心A 到PC 的距离d 与r 大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。

)（3分）
9、（2013江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y =ax 2
+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (-2，
0)和点B ，与y 轴相交于点C ，顶点D (1，- 92). （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）求四边形ACDB 的面积；
（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴．．．
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]
答案：(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2， ……1分
求得，a=1/2， ……3分 ∴y=1/2(x-1)2
-9/2． ……4分 (2)令y=0,得x 1=-2，x 2=4，∴B(4，0)， ……6分
令x=0, 得y=-4,∴C(0，-4)， ……7分 S 四边形ACDB =15.∴四边形ACDB 的面积为15. ……8分
(3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2; 向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2
-1/2; 向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;
向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分 10、（2013江苏射阴特庸中学）如图a ，在平面直角坐标系中，A (0，6)，B (4，0).
（1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得
到△DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为 ；
（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象； （3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从
点B 向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？
答案：(1)画图1分; C (-2,0),D(0,-3). ……3分 (2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4), 将D(0,-3)代入,得a=3/8. ……5分 ∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x 2-3/4x-3. ……6分 大致图象如图所示. ……7分 (3)设经过ts,△BPQ 为等腰三角形，
此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5. ①若PQ=PB,过P 作PH ⊥BD 于H,则BH=1/2BQ=1/2t,[
由△BHP ∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s. ……9分 ②若QP=QB,过Q 作QG ⊥BC 于G,BG=1/2(6-t).
备用图
图a
由△BGQ ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s. ……10分 ③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. ……11分 ∴当t=48/13s 或30/13s 或3s 时,△BPQ 为等腰三角形.……12分
11、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线
k
x x y +-=2
4
1的图象与y 轴相交于点B （0，1），点C （m ，n ）在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰好经过顶点A ．
（1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；
（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动， 试探索：
①当S 1＜S ＜S 2时，求t 的取值范围
（其中：S 为△PAB 的面积，S 1为△OAB 的面积，S 2为四边形OACB 的面积）； ②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）
答案：解：（1）k =1－－－－－－－1分 （2）由（1）知抛物线为：
2
2)
2(4
1141-=+-=x x x y ∴顶点A 为（2，0）， －－－－－－－－－－－－－－2分 ∴OA =2，OB =1；
过C （m ，n ）作CD ⊥x 轴于D ，则CD =n ，OD =m ， ∴AD =m －2，
由已知得∠BAC =90°，－－－－－－－－－－－－－－－－－3分[w*ww.~z#zs%tep.co@m]
∴∠CAD +∠BAO =90°，又∠BAO +∠OBA =90°，
∴∠OBA =∠CAD ， ∴Rt △OAB ∽Rt △DCA ， ∴OA CD OB AD
=，即2
12n m =-－－－－－－－－－4分 ∴n =2（m －2）； 又点C （m ，n ）在
2
)
2(4
1-=x y 上， ∴
2
)
2(4
1-=m n ， 解得：m =2或m =10；[w*ww.z#@z&step.c^om] 当m =2时，n =0，当m =10时，n =16；
∴符合条件的点C 的坐标为（2，0）或（10，16）．－－－－－－－－－6分 （3）①依题意得，点C （2，0）不符合条件， ∴点C 为（10，16） 此时S 1=1
2
1
=⋅OB OA ，
S 2=S BODC －S △ACD =21；－－－－－－－－－－7分
又点P 在函数图象的对称轴x =2上， ∴P （2，t ），AP =|t |， ∴
AP
AP OA S =⋅=2
1
=|t |－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分 ∵S 1＜S ＜S 2， ∴当t ≥0时，S =t ，
∴1＜t ＜21． －－－－－－－－－－－－－－－－9分 ∴当t ＜0时，S =－t ， ∴－21＜t ＜－1
∴t 的取值范围是：1＜t ＜21或－21＜t ＜－1－－－－－－－－10分[来&源:z*zstep.c@~om%]
②t =0，1，17－－－－－12分
12、（2013山东省德州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线
2y ax bx c =++与y 轴交
于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
答案：解：（1）
圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，
∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，
抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，
∴(11)(11)M N --，、，．
点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入
2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：1
11a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴抛物线的解析式为：21y x x =-++．
（2）
2
215124y x x x ⎛
⎫=-++=--+
⎪⎝
⎭
∴抛物线的对称轴为
12
x =
，
122
OE DE ∴===
，．
连结90BF BFD ∠=，°，
BFD EOD ∴△∽△，DE OD DB FD
∴=，
又
12
DE OD DB ===，，
FD ∴=
，
13、（2013山东省德州一模）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线
22
3
y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线
52
x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．
解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为
2
25()32
y x m
=-+
第13题
∴
225
4()32
m
=⨯-+ ∴
1
6
m =-
∴所求函数关系式为：
22251210
()4
32633y x x x =--=-+ （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，
∴
5
AB =
∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 当5x =时，
2210554433y =⨯-⨯+= 当2x =时，2210
224033
y =⨯-⨯+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上．
（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则 5420
k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ． 则
2210433M y t t =-+， 4833
N y t =-
，
∴
22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫
=-=---+=-+-=--+
⎪⎝⎭
∵2
3
-<， ∴当
72t =时，32
l =
最大，
此时点M 的坐标为（72，12）． [www#.~zz%ste@p.^co 14、（2013温州市一模）如图，经过原点的抛物线22y x mx =-与x 轴的另一个交点为A ．过点
1(1,)
2
P m +作直线PH y ⊥轴于点H ，直线AP 交y 轴于点C ．
（点C 不与点H 重合） （1）当2m =时，求点A 的坐标及CO 的长．[www.zz^s@t#%ep.~com]
（2）当1m >时，问m 为何值时
32
CO =
？ （3）是否存在m ，使 2.5CO HC =？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出
[w&^ww~.*zz@]
相对应的点C 坐标；若不存在，请说明理由．
C
y
解：（1）当2m =时，24y x x =-，
令0y =，解得12
0,4,(4,0)x x A ==∴
∵HP ∥OA ，∴△CHP ∽△COA ，∴HP
CH OA CO
=
∵
113,4,2HP m OA OH =+===⋅ ∴340.5
CH CH =
+
∴ 1.5,2HC CO HC HO =∴=+=
（2）
,HP CH OA CO =Q 3
1,2,,12
HP m OA m CO CH =+===⋅ 17、（2013·湖州市中考模拟试卷3）已知：如图，抛物线22
y a x b x =++与x 轴的交点是(3,0)A 、(6,0)B ，与y 轴的交点是C .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设(,)P x y （0<x <6）是抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于点Q . ①当x 取何值时，线段PQ 的长度取得最大值？其最大值是多少?
②是否存在这样的点P ，使△OAQ 为直角三角 形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由.
∴点C 的坐标为（0，2）.
设直线BC 的函数表达式是y k x b =+.
则有602.k b b +=⎧⎨
=⎩
解得：
132.
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩
∴直线BC 的函数表达式是1
2
3
y x =-+. ………………………5分 06,x <<
∴
2
11(2)(2)39
Q p
P Q yy x xx =-=-++--+ =2
1293x x -+ ………………………7分 =2
1(3)19
x --+. ………………………8分
∴当3x =时，线段PQ 的长度取得最大值.最大值是1. …………9分 ②当90O A Q ∠=时，点P 与点A 重合，∴P （3，0） …………10分
当90Q O A ∠=时，点P 与点C 重合，∴0x =（不合题意） …11分 当90O Q A ∠=时， 设PQ 与x 轴交于点D .
90,90O D Q A D QQ A D A Q D ∠+∠=∠+=， O Q D Q A D ∴∠=∠. 又90,O D Q Q D A ∠=∠= ∴⊿ODQ ∽⊿QDA . ∴DQ
DA OD DQ
=，即2D
Q O D D A =⋅. ∴
2
1(2)(3)3
x x x -+=-， …………………………………………12分 21039360x x -+=
，∴12312,25
x x ==
. ………………………13分
∴
211333()2,9224y =⨯-+=2211236()295225
y =⨯-+=. ∴
33(,)24P 或126(,)525
P . ∴所求的点P 的坐标是P （3，0）或
33(,)24P 或126(,)525
P . ……14分
①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，
221(2)5n ∴+-=．
解得10n =（舍去）；2
4n =．
(04)P ∴，．
24(01)2a ∴=-+．解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ ………………………………………2分
②如图②，当EP FP =时，，
22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得
52
n =-
（舍去）………………………2分
③当EF EP =时，
3EP =<，这种情况不存在．………………………1分 综上所述，符合条件的抛物线解析式是
22(1)2y x =-+．
（3）存在点M N ，，使得四边22EP FP =形MNFE 的周长最小．
如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与
x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．…………………………1分
(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．
43BF BE ''∴==，5==．
又
5EF =，
∴5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE 的周长最小值是
5分
FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=。

19、（2013·湖州市中考模拟试卷7）已知关于x 的函数2(1)4y k x x k =-++的图像与坐标轴只有2个交点，求k 的值. 解：分情况讨论：
（ⅰ）10k -=时，得1k =.
此时41y x =+与坐标轴有两个交点，符合题意. ……………………………1分 （ⅱ）10k -≠时，得到一个二次函数.
23．抛物线与x 轴只有一个交点，164(1)0k k ∆=--=…………………1分
解得
k =
…………………………………………………………2分
② 抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0,0）…………………1分 把（0,0）带入函数解析式，易得0k =………………………………1分
图①
图②
图③
图2。