利用隔板法巧解排列组合题
“隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小
球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同
的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12
个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4
个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3
15455
C=种。
“隔板法”解决排列组合问题
隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。
1
（2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小
21
球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同
的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个
相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有
4+66+220+165=455 种。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用
隔板法
隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，
即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.
(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，
即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.
典例解析
题型一：每盒非空
例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.
解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.
图11-
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.
例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.
解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.
可分以下两步完成:
第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题 Revised by BETTY on December 25,2020
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12
个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每
盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个
“隔板法”解决排列组合问题
创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同
的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即
12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四
个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）
隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？
解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在
11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311
C 种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？
解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有5
9C 种排法。由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。 点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？
解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()1
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问
题
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有
序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以
不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12
个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每
微专题隔板法解排列组合问题
微专题“隔板法”模型的构建与应用
隔板法
隔板法是将〃个相同元素分成加组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.
（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有才种，即给〃个元素中间的（〃-1 ）个空隙中插入（〃?—1）个隔板.
（2）任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将〃个相同元
素与（/〃-1）个相同隔板进行排序，在（〃+〃?-1）个位置中选（/〃-1）个安排隔板.
典例解析
题型一：每盒非空
例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.
解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了 3组.图1―1所示的是其中一种装法.
o 0|0oooo|oO O
图1—1
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有C；=36 （种）.
例2.求方程巧+ 工2 +…+与=7的正整数解的个数.
解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有修、£、…、%的5个不同的盒子表示未知数演、招、…、与，要得到方程玉+支,+…+Z=7的正整数解的个数.
可分以下两步完成：
第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法：
第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C：种放法，由分步计数原理知，共有C：种不同放法.我们把标有七（尸1,2,…，5）的每个盒子得到的小球数勺
（i=l, 2,…，5; k«N记作：七二%.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒
巧用隔板法解决一类排列组合问题
相当于在m-1个间隔中插入n-1个隔板，因此不同的放法与不同
的隔板插法种数相同，共有
种放法。
变式1. 把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中，每 个盒子至少放两个球，问有多少种不同的放法？
1
2
3
4
解法透析： 将m个相同的元素有序放入n个不同的盒子中，每个盒子中至少
余的元素用隔板法放入到n个盒子中。解法同上.（回归基本模型）
法放入n个盒子中，最后每个盒子都拿出一个球还回去，所以
共有
种放法。
拓展训练
（1）求方程
的正整数解的个数.
（2）求方程
的非负整数解的个数.
(3)从方程
的所有非负整数解中随机
取出一组解，则该解是正整数解的概率为多少？
变式2
把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每个盒子的小球个数不小于其编号数，问有多少种不同 的放法？
1
2
3
4
变式3
把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中， 允许有空盒，问有多少种不同的放法？
1
2
3
4
Байду номын сангаас共有 种放法。 每个盒子拿出一个球还回去.
解法透析
将m个相同的元素有序地放入n个不同的盒子中（允许空盒）, 需要先另外借来n个相同的元素，转化为将m+n个元素用隔板
巧用隔板法解相同元素组合问题
巧用隔板法解相同元素的组合问题
广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。隔板法：又称剪截法。
解题思路： n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球排列成一排从间隙里插入m-1个隔板形成m 段.因此放法数为: 。
注意事项：隔板法的应用条件有二。首先, n 个 相同小球放入m(m ≤n)个不同盒子里, 这是最重要的条件, 否则不能运用隔板法。其次, 每个对象至少分得一个, 这样就可以在n 个相同小球串成一串从间隙里插入m-1个隔板, 依此将这些元素分给不同的对象。
例1 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
▪ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.
例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
B.9
C.10
D.12
解析：选C 。分析题意, 将30份相同的学习材料分给不同的部门, 满足隔板法应用的条件, 棘手的在于每个部门至少9份, 如何转化11
--m n C 6984C =
为每个部门至少1份呢?这时我们就可以每个部门先发8份, 再将剩下的6份发给三个部门, 每个部门至少发1份, 这样就满足题意了, 所以这道题的答案是 , 10种方法。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问
题
Revised at 2 pm on December 25, 2020.
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种
从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同
的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即
12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个
盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问
题
TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12
个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每
盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个
隔板法在排列组合中的应用技巧
解题思想方法
《中学生数理化》(高中版)/2004・12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑 朱 宁)
隔板法在排列组合中的应用技巧
■湖北 张红兵
在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.
例1 求方程x +y +z =10的正整数解的个数
.将
10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、
右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了
一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.
技巧一:添加球数用隔板法.
例2 求方程x +y +z =10的非负整数解的
个数.
注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个
数为C 212=66(个).
本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.
技巧二:减少球数用隔板法.
例3 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.
解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).
隔板法排列组合题目
隔板法是一种排列组合的方法，通常用于解决将物品分成若干组的问题。一个经典的隔板法题目是：有8个苹果和3个梨，请问你用隔板法将它们排成一排，让苹果和梨交替出现。
这个问题可以用隔板法来解决。首先，我们在苹果和梨之间插入两个隔板，表示两者之间的间隔。然后我们就可以在这些位置排列苹果和梨。按照这种方法，我们可以得到各种不同的排列组合。
用A表示苹果，P表示梨，|表示隔板，那么一种排列方式可能是：
A | A | A | A | A | A | A | A | P | P | P
另外一种可能的排列方式是：
A | A | P | A | A | A | A | A | P | A | P
这样的问题可以通过隔板法来解决，让我们得到所有可能的排列组合。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问
题
Revised at 2 pm on December 25, 2020.
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种
从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同
的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即
12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个
盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装
20种排列组合常见模型 专题15 隔板法模型(解析版)
专题15 隔板法模型
例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A ．462 B ．126 C ．210 D ．132
【解析】
将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有5
9126N C ==种方案. 故选：B .
例2．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540
【解析】
不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可， 因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为2
1491C =. 故选：C.
例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( ) A ．680 B ．816 C ．1360 D ．1456
【解析】
先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，
18个苹果有17个空，插入三个 “板”，共有3
17
C =680种方法. 故选：A.
例4．从A 、B 、C 、D 4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ） A ．42
B ．56
C ．84
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利用隔板法巧解排列、组合题
河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200
隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。
一、 放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？
解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法。
311C =1
2391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。
一、 指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 59种不同分法。由分步计数原理知，共有C 59种不同分法。
C 59=C 49=1
2346789⨯⨯⨯⨯⨯⨯=126（种）。 答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
二、 求n 项展开式的项数。
例3、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一
项。由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
414C =1
23411121314⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1001（种）。 所以，10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有1001项。
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中的
项数的理论依据。
四、求n 元一次方程组的非负整数解。
例4、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。
解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、...、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、...、5x ，要得到方程1x +2x +...+5x =7的正整数解的个数，可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法。由分步计数原理知，共有46C 种不同放法。我们把标有i x （i=1,2, (5)
的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k 。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）。
46C =26C =1
256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个。
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。