利用隔板法巧解排列组合题
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
“隔板法”解决排列组合问题
隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。
1（2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小21球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。
法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．【答案】126【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为59987612624C ⨯⨯⨯==， 故答案为：126．例2．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为26C =15，故选： D例3．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项【答案】D 【解析】()112x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=．构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法213C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()112x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()112x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为213131278 2C⨯==项．故选：D。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
组合例题+隔板法
1.“至少分配一个”型
将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置）， 每人（或位置）至少有一个。 【例1】将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子，要求每个 盒子至少放1个球，一共有多少种不同的放法？
C93种放法
将例1中10个球改为8个球，4个盒子改为3个盒子，有多少种放法呢？
练习、将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少 1个名额，有多少种不同的分配方法？
C17 19
2.“至少分配n个”型 （减球 插板）
【例2】将8个完全相同的小球放入3个编号为1、2、3的盒子， 要求每个盒子的球数不少于其编号，一共有多少种不同的放法？
111
2
3
C42种放法
将例2改为：16个完全相同的球放入3个不同盒子，每个盒子至少3个球，有 多少种放法呢？
3.“允许空位”型
（添球 插人（或位置）， 允许若干个人（或名额）为空。
例3．有8个相同的球放到三个不同的盒子里， 允许盒子为空，共有多少种不同方法.
111
C120种放法
练习、将20个大小形状完全相同的小球放入3个不 同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多 少种不同的方法？
C222 231
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些 小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允 许有若干组无元素，用隔板法.
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)C33n8n
C 3n 21 n
二、分组分配问题
• 昨日作业讲解
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
山西省考巧用隔板模型解排列组合
巧用隔板模型解排列组合在数量中存在一种题型，是很多同学比较头疼的，那就是排列组合，然而对于排列组合题型中还是有一些题可以通过特征直接利用模型就能够很快的做出来。
今天中公教育专家就带大家学习一个常用的模型——隔板模型，希望通过今天的学习大家可以对隔板模型应用自如。
要能够应用隔板模型，那就需要通过学习他的题型特征和方法两步来进行掌握。
接下来我们就一一的来解决这两大问题。
例题一：6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少要放一个小球。
问有多少种不同的方法？分析：看到题干中有三个条件，条件一：是6个相同的小球说明元素是相同的，条件二：是放到3个不同的盒子里，说明放的对象是不相同，条件三是每个盒子至少一个小球，要想知道几种方法我们这三个条件必须都要满足，其实这道题的本质就是相同元素的不同分堆，并都要分完，可以通过图形来理解，我们可以看到，想要满足这三个条件，只需要在6个小球中间的5个空里插入两个板就可以分为三堆，每一个里至少1个，这样就可以全部满足，则方法总共有1-31-6C ，即25C =10种方法。
通过上面的例题我们可以总结出隔板模型的特征：1、本质:相同元素的不同分堆。
2、条件：①所有元素必须完全相同②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余③每一个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的情况3、公式：把n 个相同元素分给m 个不同的对象，每个对象至少分1个元素，问有多少种不同分法的问题时利用隔板模型，共计1-m 1-n C 种。
例题二：把20台相同的电脑分给8个部门，每个部门至少2台，问共有几种分法？A、165B、330C、792D、1485解析：通过分析题，发现是相同元素的不同分堆，但是题干不完全满足隔板模型的三个条件，但对于这一类型的题，我们可以把它进行变形使之满足条件即可，即先给每一个部门分一台，剩下12台，再将剩下的12台分给8个部门，每个部门至少1台，这样就可以完全满足条件，利用公式711C=330，选择B选项。
2020泉州事业单位行测数量关系技巧：另类排列组合问题之“隔板模型”
2020泉州事业单位行测数量关系技巧：另类排列组合问题之“隔板模型”泉州中公事业单位为各位考生带来更多泉州事业单位咨询，更多精彩内容尽在泉州事业单位招聘考试网！排列组合一直是大家比较头疼的问题，应该怎么去分一直是大家的困惑。
今天老师带大家看一种特殊的排列组合题目，利用隔板法解决同素分配问题。
例1.有10个相同的篮球，分给四个班级，每班至少一个，有多少种分配方案?A.36B.64C.84D.210【答案】C。
解析：我们发现这是10个相同的篮球，分给4个班级，每班至少一个，属于我们相同元素分配的问题。
这类问题如果想一次性分给四个班不太好考虑，我们可以这么来思考，我们把这10个球分成四堆，第一堆给第一个班，第二堆给第二个班，第三堆给第三个班，第四堆给第四个班，这样的话，这个问题就转化成了：把这10个球分成四堆每堆至少一个球就可以了。
我们可以看到这10个球(0，0，0，0，0，0，0，0，0，0)形成了9个空，我只要在这10个空里插上3个板子，就可以把这10个球分成四堆，每堆都至少有一个球。
所以总得情况数就是，所以选择了C选项。
其实对于同素分配，每人至少一的问题，我们都可以利用这个隔板法，公式是：n个相同元素，分配给m个“人”，每“人”至少一个，情况数为例2.将10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子里，若每个盒子里的球的个数不小于它的编号，则共有多少种方法?A.15B.24C.30D.36【答案】A。
解析：首先还是要分析题干，将相同的小球分配给不同的盒子，属于我们隔板模型的分配条件，但是这里出现了新的要求，要求小球的个数不少于盒子的编号，不符合我们隔板模型的公式，不能直接套用上面的公式，所以我们要通过构造让我们的题目符合我们公式的应用条件，这里我们可以先把1、2、3号盒子中放入0、1、2个球，这样，我们这个题就变成了每个盒子至少一个球，一共10个球，我们先放了3个，还剩7个球，这个问题就转换成了，7个小球分给三个盒子，每个盒子至少一个小球，现在我们就可以套用我们的隔板模型的公式，，故选A。
2014上海公务员行测备考：巧用隔板法解排列组合问题
中公教育2014年公务员考试
2014上海公务员行测备考：巧用隔板法解排列组合问题
例1：一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
A.4
B.6
C.8
D.10
例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
B.9
C.10
D.12
还有一些题目对于分法没有要求，即不要求每个对象至少一个。
类似的，我们就要想办法转化为至少一个。
例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?
A.12
B.24
C.36
D.48。
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++展开式中共有多少项？ 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
排列组合中隔板法原理解释
排列组合中隔板法原理解释
嘿，咱今天就来讲讲排列组合里超厉害的隔板法原理！你想啊，这
就好比分糖果！比如说有 10 颗糖果要分给 3 个小朋友，那怎么分呢？
这时候隔板法就派上用场啦！
咱假设这 10 颗糖果排成一排，那中间不就有 9 个空位嘛。
现在咱
要把这些糖果分成3 份，不就相当于在这9 个空位里插进2 块隔板嘛！这一插，不就自然而然地把糖果分成 3 堆啦，每堆就是每个小朋友得
到的糖果数呀！这多简单易懂呀！
再举个例子，有 8 个不同的球要放到 3 个盒子里，每个盒子不能为空，这不也能用隔板法嘛！8 个球排好，7 个空位，插进 2 块隔板，嘿，就搞定啦！你说神奇不神奇？
咱仔细想想，隔板法不就是巧妙地利用了这些“空位”嘛！就像我们
走路找路一样，这些空位就是我们的“路径”呀！通过合理地放置隔板，就能找到最合适的分配方法。
哎呀，这隔板法原理是不是很有意思呀！它真的超级实用，能帮我
们轻松解决很多排列组合的问题呢！我觉得吧，学会了隔板法，就像
是掌握了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门！咱可得好好把它
学会，用起来呀！
我的观点就是：隔板法原理是排列组合中非常实用且有趣的方法，
能让我们更轻松地应对一些复杂的分配问题，一定要好好掌握它！。
隔板法排列组合题目
隔板法是一种排列组合的方法，通常用于解决将物品分成若干组的问题。
一个经典的隔板法题目是：有8个苹果和3个梨，请问你用隔板法将它们排成一排，让苹果和梨交替出现。
这个问题可以用隔板法来解决。
首先，我们在苹果和梨之间插入两个隔板，表示两者之间的间隔。
然后我们就可以在这些位置排列苹果和梨。
按照这种方法，我们可以得到各种不同的排列组合。
用A表示苹果，P表示梨，|表示隔板，那么一种排列方式可能是：
A | A | A | A | A | A | A | A | P | P | P
另外一种可能的排列方式是：
A | A | P | A | A | A | A | A | P | A | P
这样的问题可以通过隔板法来解决，让我们得到所有可能的排列组合。
20种排列组合常见模型 专题15 隔板法模型(解析版)
专题15 隔板法模型例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A ．462 B ．126 C ．210 D ．132【解析】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有59126N C ==种方案. 故选：B .例2．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可， 因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =. 故选：C.例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( ) A ．680 B ．816 C ．1360 D ．1456【解析】先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个 “板”，共有317C =680种方法. 故选：A.例4．从A 、B 、C 、D 4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ） A ．42B ．56C ．84D ．168【解析】将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人，由此可得每班人数的不同情况有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种．故选C ．例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A ．41 B ．56 C ．156 D ．252【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有5856C =种． 故选：B例6．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组 A ．165 B ．120C ．38D ．35【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28C ．36D ．42【解析】根据题意，16个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的10个球排成一排，有9个空位，在9个空位中任选2个，插入挡板，有298936 2C⨯==种不同的放法，即有36个不同的符合题意的放法；故选：C．例8．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A．96B．240C．280D．480【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【解析】（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有22113464216422221560C C C CC AA A⎛⎫+=⎪⎝⎭（种）（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有2211364216222265C C C CCA A+=（种）（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块板，则不同的方法共有3510C =（种） （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有2种放法.例10．（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程. 【解析】（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
排列组合 隔板法模型(原卷版)
专题15 隔板法模型【方法技巧与总结】将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用1m -块隔板，插入n 个元素排成一排的1n -个空隙中，共有11m n C --种分法．【典型例题】例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（ ）A ．15B ．20C ．10D ．30例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2个名额，……，则分配方案有（ ）A ．8种B ．10种C ．165种D ．495种例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（ ）A ．28B ．24C ．18D ．16例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．A ．135B ．10C ．75D ．120例5．（2023春·全国·高二期末）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党100周年朗诵比赛”，学校给了高二7个文科班10个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.例10．（2023秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A ，B ，C ，D 四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．例11．（2023春·安徽宣城·高二阶段练习）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种．例12．（2023·浙江·校联考模拟预测）将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.例13．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有______种.例14．（2023·高二课时练习）把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超过1个，则有______种不同放法．例15．（2023·全国·高三专题练习）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解得个数为______.例16．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考期中）5个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，有____ 种放法．例17．（2023·高二单元测试）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为_______.例18．（2023春·福建三明·高二统考期末）将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为__________.例19．（2023·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.(1)不同的分配方案共有多少种？(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？例20．（2023·全国·高三专题练习）方程18492021x y z ++=的正整数解有多少组？例21．（2023·高二课时练习）用分步乘法计数原理求()5a b c ++展开式的项数．例22．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？例23．（2023·全国·高三专题练习）方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？例24．（2023·高二单元测试）已知不定方程123412x x x x +++=，求：(1)不定方程正整数解的组数；(2)不定方程自然数解的组数.例25．（2023·高二课时练习）不定方程1210100x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解有多少组？例26．（2023·全国·高三专题练习）（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．。
隔板法——精选推荐
解排列组合问题的利器之一:“隔板法”排列、组合是历年高考必考内容之一,它联系实际,生动有趣,题型多样,思路灵活。
教材中出现的解决这类问题常见的方法有插空法、捆绑法、排除法等，本文在这里介绍教材里没有出现的一种方法——隔板法。
隔板法可解决相同元素的分配问题，在相同元素之间之间插入隔板来达到分配的目的，它强调的是分配之后每组元素的个数,而与每一组包含哪几个元素无关。
例【1】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？解析：可把8个相同的篮球排成一列，即OOOOOOOO，8个篮球中间有7个空隙（不包括两端），用3个隔板分别插在7个空隙中，把8个篮球分成4组，例如OOIOOOIOIOO依次分配给甲乙丙丁四所学校的篮球数为2、3、1、2，所以每一种分隔法都对应了一种分法,于是分法种数为C37=35。
上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4）对应一种分配方案，有8个1排成一列，1 1 1 1 1 1 1 1，中间有7个空隙（不包括两端），7个空隙中选出3个分别插入3个“+”，8个1被分成4组，每种插入方法对应着方程的一个解，此方程正整数解的个数为C37=35。
例【2】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，有多少种不同的分法？解析：设分给甲乙丙丁四所学校的篮球数分别为x1，x2，x3，x4，方程x1+x2+x3+x4=8 （x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N），①解的个数即为分配方案的种数，（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=8+1+1+1+1=12设x1+1= y1, x2+1= y2, x3+1= y3, x4+1= y4y1+ y2+ y3+ y4=12 （y1∈N+, y2∈N+, y3∈N+, y4∈N+,）②方程②与方程①解的个数相同，由例【1】中的方法知，方程②的解有C311=165个，方程x1+x2+x3+x4=8 （x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N）①解的个数为C311=165，所以有165种分法。
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利用隔板法巧解排列、组合题
河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200
隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。
一、 放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？
解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法。
311C =1
2391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
一、 指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 59种不同分法。
由分步计数原理知，共有C 59种不同分法。
C 59=C 49=1
2346789⨯⨯⨯⨯⨯⨯=126（种）。
答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
二、 求n 项展开式的项数。
例3、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一
项。
由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
414C =1
23411121314⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1001（种）。
所以，10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有1001项。
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中的
项数的理论依据。
四、求n 元一次方程组的非负整数解。
例4、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。
解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、...、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、...、5x ，要得到方程1x +2x +...+5x =7的正整数解的个数，可分以下两步完成。
第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法。
由分步计数原理知，共有46C 种不同放法。
我们把标有i x （i=1,2, (5)
的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k 。
这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）。
46C =26C =1
256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个。
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。