自编高考前夜立体几何核心问题辨析.ppt
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• 45度
2019-8-7
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28
射影定理1
• 平行直线在同一平面内的射影直线是 平行直线或者两个点
• 相交直线在同一平面内的射影直线是 相交直线或一条直线
• 异面直线在同一平面内的射影可能是 两条相交直线，平行直线，或者一条 直线和直线外的一点
2019-8-7
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29
射影定理2
• 两条垂直的直线当且仅当有一条平 行或者在平面内时它们在平面内的 射影垂直
• 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段 的射影也较长
• 相等的射影的斜线段相等，较长的射影的 斜线段也较长
2019-8-7
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32
• 直线a//平面α • 直线b//平面β •a⊥b • —— • α⊥β
2019-8-7
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9
辨析9/10
• 如果两个平面 垂直，那么在 其中一个平面 内的直线都垂 直与另一个平 面
2019-8-7
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10
辨析10/10
• 如果一个二面角的两个面与另一个二面角 的两个面分别平行，那么它们的大小相等 或者互补
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16
射影定理1
• 如果一条直线与两条相交直线 所成的角相等，那么它在这两 条直线所确定的平面内的射影 也是如此
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17
四面体中的射影（1）外心
P
C
O
A
B
2019-8-7
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18
射影定理2
• 如果一个点到一个三角形 的三个顶点的距离相等， 那么它在这个平面内的射 影也是如此
• 如果有两个相交平面都与第三个平面垂直， 那么它们的交线也与这个平面垂直
• 若一条直线与一个平面不垂直，那么过该 直线由且只有一个平面与已知平面垂直
2019-8-7
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15
补充定理三
• 一条直线垂直于一个三角形的 两条边必然垂直于第三条边
• 一个四面体有两组对棱垂直， 则第三组对棱也垂直
2019-8-7
• 如果一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，那么这两个平面平行
2019-8-7
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5
辨析5/10
• 如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面内的直线都平行
• 如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面内的直线都平行或异 面
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6
辨析6/10
• 一条直线与任意长方体同一顶点的 三个面所成的角的余弦的平方和等 于2
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26
三余弦定理2
A
α
O
θ β
B
C
D
• 如图平面AOB 与平面COB垂 直
• cosγ=?
• =cosαcosβ
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27
应用实例
• 长方体的对角线与底面两条 相邻的边所成的角都是60度， 那么它与底面所成的角是多 少度？
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19
内心2
P
C F
D
O
A
E
B
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20
射影定理3
• 如果一个点到一个三角形 的三边的距离相等，那么 它在这个平面内的射影也 是如此
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21
内心2
P
C F
D
O
A
E
B
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22
射影定理4
• 如果一个点到一个三角形 的三顶点的连线分别与三 角形的对边垂直，那么它 在这个平面内的射影也是 如此
• 如果一条直线与 一个平面内的两 条直线都垂直， 那么他和这个平 面垂直
a
O
αb
c
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7
辨析7/10
• 垂直于同一平面的两个 平面平行
• 垂直于同一直线的两条 直线平行
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8
辨析8/10
• 直线a⊥平面α • 直线b⊥平面β •a⊥b • —— • α⊥β
• 如果两个平面垂直， 那么过其中一个平面 内的一点与另一个平 面垂直的直线在第一 个平面内
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P
A
B
13
补充的定理（1）
• 如果一条直线平行于两个相交平面，那么 它平行于交线
• 过两条异面直线中的一条由且只有一个平 面与另一个平面平行
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14
补充的定理（2）
• 如果一个二面角的两个面与另一个二面角 的两个面分别垂直，那么它们的大小相等 或者互补
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11
面面垂直
• 判定定理：
• 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线， 那么这两个平面垂直
P
A
B
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12
面面垂直
• 性质定理：
• 如果两个平面垂直， 那么在其中一个平面 内垂直于交线的直线 垂直于另一个平面
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3
辨析3/10
• 如果一条直线和一 个平面平行，那么 这条直线与已知平 面内的所有直线都 平行
a //
b
a
//
b
2019-8-7
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4
辨析4/10
• 如果一个平面内两条直线都与另一个平面 平行，那么这两个平面平行
• 如果一个平面内任意一条直线与另一个平 面平行，那么这两个平面平行
2019-8-7
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30
射影定理三
• 一个平面图形在一个平面内的射影的面积 与原图形的面积的比值等于这两个平面所 成的二面角的余弦值
• 如果一个屋顶的各个斜面与水平面所成的 角都是45度，那么它的面积是房屋面积的 根2倍
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31
射影定理4
• 从同一点向一个平面引出的斜线段和垂线 段中
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23
（3）垂心
P
C
O
A
B
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24
三余弦定理1
• 一条直线与空间直角坐标系的三条 坐标轴所成的角的余弦的平方和等 于1
• 一条直线与空间直角坐标系的三个 坐标平面所成的角的余弦的平方和 等于2
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25
三余弦定理2
• 一条直线与任意长方体同一顶点的 三条棱所成的角的余弦的平方和等 于1
立体几何核心问题辨析
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1
来自百度文库
辨析1/10
• 分别在两个平面内的两条直线是异面直线 • 不在同一个平面内的两条直线是异面直线 • 不同在任何一个平面内的两条直线式异面
直线
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2
辨析2/10
• 如果一条直线 与平面内一条 直线平行，那 么它和该平面 平行
a∥b，b 面， a∥面
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射影定理1
• 平行直线在同一平面内的射影直线是 平行直线或者两个点
• 相交直线在同一平面内的射影直线是 相交直线或一条直线
• 异面直线在同一平面内的射影可能是 两条相交直线，平行直线，或者一条 直线和直线外的一点
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29
射影定理2
• 两条垂直的直线当且仅当有一条平 行或者在平面内时它们在平面内的 射影垂直
• 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段 的射影也较长
• 相等的射影的斜线段相等，较长的射影的 斜线段也较长
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• 直线a//平面α • 直线b//平面β •a⊥b • —— • α⊥β
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辨析9/10
• 如果两个平面 垂直，那么在 其中一个平面 内的直线都垂 直与另一个平 面
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10
辨析10/10
• 如果一个二面角的两个面与另一个二面角 的两个面分别平行，那么它们的大小相等 或者互补
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射影定理1
• 如果一条直线与两条相交直线 所成的角相等，那么它在这两 条直线所确定的平面内的射影 也是如此
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17
四面体中的射影（1）外心
P
C
O
A
B
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射影定理2
• 如果一个点到一个三角形 的三个顶点的距离相等， 那么它在这个平面内的射 影也是如此
• 如果有两个相交平面都与第三个平面垂直， 那么它们的交线也与这个平面垂直
• 若一条直线与一个平面不垂直，那么过该 直线由且只有一个平面与已知平面垂直
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补充定理三
• 一条直线垂直于一个三角形的 两条边必然垂直于第三条边
• 一个四面体有两组对棱垂直， 则第三组对棱也垂直
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• 如果一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，那么这两个平面平行
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辨析5/10
• 如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面内的直线都平行
• 如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面内的直线都平行或异 面
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辨析6/10
• 一条直线与任意长方体同一顶点的 三个面所成的角的余弦的平方和等 于2
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三余弦定理2
A
α
O
θ β
B
C
D
• 如图平面AOB 与平面COB垂 直
• cosγ=?
• =cosαcosβ
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应用实例
• 长方体的对角线与底面两条 相邻的边所成的角都是60度， 那么它与底面所成的角是多 少度？
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内心2
P
C F
D
O
A
E
B
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20
射影定理3
• 如果一个点到一个三角形 的三边的距离相等，那么 它在这个平面内的射影也 是如此
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21
内心2
P
C F
D
O
A
E
B
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射影定理4
• 如果一个点到一个三角形 的三顶点的连线分别与三 角形的对边垂直，那么它 在这个平面内的射影也是 如此
• 如果一条直线与 一个平面内的两 条直线都垂直， 那么他和这个平 面垂直
a
O
αb
c
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辨析7/10
• 垂直于同一平面的两个 平面平行
• 垂直于同一直线的两条 直线平行
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辨析8/10
• 直线a⊥平面α • 直线b⊥平面β •a⊥b • —— • α⊥β
• 如果两个平面垂直， 那么过其中一个平面 内的一点与另一个平 面垂直的直线在第一 个平面内
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P
A
B
13
补充的定理（1）
• 如果一条直线平行于两个相交平面，那么 它平行于交线
• 过两条异面直线中的一条由且只有一个平 面与另一个平面平行
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补充的定理（2）
• 如果一个二面角的两个面与另一个二面角 的两个面分别垂直，那么它们的大小相等 或者互补
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11
面面垂直
• 判定定理：
• 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线， 那么这两个平面垂直
P
A
B
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12
面面垂直
• 性质定理：
• 如果两个平面垂直， 那么在其中一个平面 内垂直于交线的直线 垂直于另一个平面
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3
辨析3/10
• 如果一条直线和一 个平面平行，那么 这条直线与已知平 面内的所有直线都 平行
a //
b
a
//
b
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4
辨析4/10
• 如果一个平面内两条直线都与另一个平面 平行，那么这两个平面平行
• 如果一个平面内任意一条直线与另一个平 面平行，那么这两个平面平行
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射影定理三
• 一个平面图形在一个平面内的射影的面积 与原图形的面积的比值等于这两个平面所 成的二面角的余弦值
• 如果一个屋顶的各个斜面与水平面所成的 角都是45度，那么它的面积是房屋面积的 根2倍
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31
射影定理4
• 从同一点向一个平面引出的斜线段和垂线 段中
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（3）垂心
P
C
O
A
B
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三余弦定理1
• 一条直线与空间直角坐标系的三条 坐标轴所成的角的余弦的平方和等 于1
• 一条直线与空间直角坐标系的三个 坐标平面所成的角的余弦的平方和 等于2
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25
三余弦定理2
• 一条直线与任意长方体同一顶点的 三条棱所成的角的余弦的平方和等 于1
立体几何核心问题辨析
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辨析1/10
• 分别在两个平面内的两条直线是异面直线 • 不在同一个平面内的两条直线是异面直线 • 不同在任何一个平面内的两条直线式异面
直线
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辨析2/10
• 如果一条直线 与平面内一条 直线平行，那 么它和该平面 平行
a∥b，b 面， a∥面