2013高中数学高考真题分类:考点29-基本不等式

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考点29 基本不等式

一、选择题

1.(2013·重庆高考理科·T3

)(63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29

C.3

D. 2

2

3 【解题指南】直接利用基本不等式求解.

【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ,当36<<-a 时,

2

9

263)6)(3(=++-≤

+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.

2. (2013·山东高考理科·T12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当

xy z 取得最大值时,212

x y z

+-的最大值为( ) A.0 B.1 C. 9

4

D.3

【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ,再经过变形,转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入212x y z

+-,进而再利用基本不等式求出212x y z

+-的最值.

【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+. 所以

22

14343xy xy x y z x xy y y x ==-++

-1≤=,当且仅当4x y y x =,即2x y =时取等号此时22y z =, 1)(max =z

xy .

xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2

11122412y y ⎛⎫+- ⎪

⎪≤= ⎪

⎪⎝⎭

. 3. (2013·山东高考文科·T12)设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当

z

xy

取得最大值时,2x y z +-的最大值为( ) A.0 B.9

8 C.2 D.94

【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ,再经过变形,转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入2x y z +-,进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.

【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+.

所以1342344322=-⋅≥-+=+-=x

y

y x x y y x xy y xy x xy z ,当且仅当4x y y x =

, 即2x y =时取等号此时22y z =,

所以()2222222422222

22=⎪⎭

⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ,

当且仅当y=2-y 时取等号.

4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A .[]0,2 B .[]2,0- C .[)2,-+∞ D .(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.

【解析】选

D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14

,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题

5. (2013·四川高考文科·T13)已知函数()4(0,0)a

f x x x a x

=+>>在3x =时取得最小值,则a =____________。

【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件,在求解时需要找到等号成立的条件,将3x =代入即可.

【解析】由题

()4(0,0)a f x x x a x

=+>>,根据基本不等式4a x x

+≥4a

x x

=

时取等号,而由题知当3x =时取得最小值,即36a =. 【答案】36

6.(2013·天津高考文科·T14)设a + b = 2, b >0, 则1||

2||a a b

+的最小值为 . 【解题指南】将

1||

2||a a b

+中的1由a + b 代换,再由均值不等式求解.

【解析】因为a + b = 2, b >0,所以

1||||||

2||4||4||4||++=+=++a a b a a b a a b a b a a b

14||4||≥

++a a

a a ,当且仅当||4||=

b a a b 时等号成立,此时2=-a ,或23

=a , 若2=-a ,则

314||4+=a a ,若2

3=a ,则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4

【答案】3

4

7. (2013·天津高考理科·T14)设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,

1||

2||a a b

+取得最小值. 【解题指南】将

1||

2||a a b

+中的1由a + b 代换,再由均值不等式求解.

【解析】因为a + b = 2, b >0,所以

1||||||

2||4||4||4||++=+=++a a b a a b a a b a b a a b

14||4||≥

++a a

a a ,当且仅当||4||=

b a a b 时等号成立,此时2=-a ,或23

=a , 若2=-a ,则

314||4+=a a ,若2

3

=a ,则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时,2=-a .

【答案】-2

8.(2013·上海高考文科·T13)设常数a >0.若1x 92

+≥+a x

a 对一切正实数

x 成立,则a 的取值范围为 .

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