余数

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取余数的运算法则

取余数的运算法则

取余数的运算法则取余数运算法则,也叫取模运算法则,是数学中一种常用的运算方法。

它确定了两个数相除后所得的余数的性质和规律。

在数学中,取余数运算通常符号为“%”。

下面将详细介绍取余数运算的法则。

1. 余数的定义:如果a、b是整数,且b不等于0,那么a除以b的余数是指使得a = nb + r成立的整数r,其中n是整数。

2.取余数运算的基本性质:- 加法性:如果a、b、c都是整数,且a = bc + d,那么(a + c) = b(c + 1) + d。

- 减法性:如果a、b、c都是整数,且a = bc + d,那么(a - c) = b(c - 1) + d。

- 乘法性:如果a、b、c都是整数,且a = bc + d,那么(a × c)= b(c × c) + d。

- 除法性:如果a、b、c都是整数,且a = bc + d,那么(a ÷ c)= b + (d ÷ c)。

- 幂运算性:如果a、b、c都是整数,且a = bc + d,那么a^n =b^n(c^n) + d^n。

3.取余数运算的进一步应用:-判断能否整除:当两个数a、b相除时,如果取余数运算的结果为0,即a%b=0,那么a能被b整除,否则a不能被b整除。

-快速判断奇偶性:对于任意整数a,如果取余数运算的结果为1,即a%2=1,那么a为奇数;如果结果为0,即a%2=0,那么a为偶数。

-环形计数:将整数除以一个固定的数b后所得的余数r可以用来进行环形计数,例如一个时钟时间为0至11,即12个小时,需要用余数运算来确定当前时刻。

4.取余数运算的性质:-取余数运算满足结合律和交换律:对于任意整数a、b、c,都有(a%b)%c=a%(b×c)。

-当a为正整数,b为正整数,如果a%b=c,那么a%(-b)=c+b。

-当a为负整数,b为正整数,如果a%b=c,那么a%(-b)=c-b。

-当a为负整数,b为负整数,如果a%b=c,那么a%(-b)=c。

第11讲 余数的性质和计算

第11讲 余数的性质和计算

第11讲余数的性质和计算本讲知识点汇总:一、替换求余利用余数的可加性、可减性以及可乘性,将算式中的每个数都用相应的余数替换。

二、特性求余:利用特殊数(例如2、3、4、5、8、9、11、13、99等)的整除特性来求余数。

三、利用周期规律求余数:对于乘方和一些复杂的具有规律性的算式,可以先找到周期规律,再计算。

为了更好地了解余数的性质规律,我们先来做几个计算:(1)21除以17的余数是(2)135除以17的余数是(3)211+135的和除以17的余数是(4)211-135的差除以17的余数是(5)211×135的积除以17的余数是(6)2112除以17的余数是比较上面的结果,我们发现余数有一些很好的性质:和的余数等于余数的和;差的余数等于余数的差;积的余数等于余数的积。

这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。

在计算一个算式的结果除以某个数的余数时,可以利用上述性质进行简算。

需要提醒大家的是,虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口,但并不严格,在使用时还需要注意:(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数,还需要再次计算结果的余数。

例如:在计算423+317除以6的余数时。

利用“和的余数等于余数的和”,结果就变成了3+5=8,8>6,所以还需要再次计算8除以6的余数是2,オ是423+317除以6最后的余数。

再比如:在计算423×317除以6的余数时,也会遇到3×5=15>6的情况,同样的还需要计算15除以6的余数是3,才是最终的结果。

(2)在计算减法时,会出现余数不够减的情况,这时只要再加上除数即可。

例如:在计算428-317除以6的余数时,会发现结果变成了3-5不够减。

此时,只要再加上6,用6+3-5=4来计算即可。

范例解密例题1、一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个,年终将这些零件按19个一包的规格打包,最后一包不够19个。

请问:最后一包有多少个零件?练习1(1)123+456+789除以111的余数是多少?(2)123⨯456⨯789的结果除以23的余数是多少?我们学过特殊数(2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999)的整除特性。

三年级余数的练习题

三年级余数的练习题

三年级余数的练习题在三年级学习数学的过程中,余数是一个重要的概念。

掌握余数的运算方法和应用是培养学生数学思维和解决问题能力的关键。

本文将介绍一些三年级余数的练习题,帮助学生巩固和提升对余数的理解和运用。

一、填数字,求余数1. 把21除以3,求余数。

解析:用长除法可以得到商为7,余数为0。

2. 把19除以4,求余数。

解析:用长除法可以得到商为4,余数为3。

3. 把53除以6,求余数。

解析:用长除法可以得到商为8,余数为5。

二、找规律,确定余数1. 写出10个能被4整除的数。

解析:可以写出4、8、12、16、20、24、28、32、36、40,这些数都能被4整除,所以余数为0。

2. 写出10个除以3余1的数。

解析:可以写出1、4、7、10、13、16、19、22、25、28,这些数除以3的余数都为1。

3. 写出10个除以7余5的数。

解析:可以写出5、12、19、26、33、40、47、54、61、68,这些数除以7的余数都为5。

三、应用题,解决实际问题1. 一包糖果有37颗,如果平均分给9个小朋友,每个小朋友能分到几颗糖果?还剩下几颗糖果?解析:用长除法可以得到每个小朋友能分到4颗糖果,还剩下1颗糖果。

2. 某同学给爷爷买了55支钢笔,他打算把这些钢笔放在6个盒子里,每个盒子放几支钢笔?还剩下几支钢笔?解析:用长除法可以得到每个盒子放9支钢笔,还剩下1支钢笔。

3. 小明有73元钱,他想买价值8元的铅笔盒,最多可以买几个铅笔盒?还剩下多少钱?解析:用长除法可以得到最多可以买9个铅笔盒,还剩下1元钱。

四、综合练习1. 把58除以9,求余数。

解析:用长除法可以得到商为6,余数为4。

2. 写出10个除以5余3的数。

解析:可以写出3、8、13、18、23、28、33、38、43、48,这些数除以5的余数都为3。

3. 小明参加了一个数学竞赛,他回答对了27道题,如果每道题都能得到5分,他最终能得到多少分?还有几道题没有回答对?解析:用长除法可以得到小明最终能得到135分,没有回答对的题目数为3道。

五年级数学余数的性质

五年级数学余数的性质

余数的性质知识结构一、 三大余数定理:(1) 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2(2) 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=2. 当余数的差不够减时时,补上除数再减。

例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4(3) 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 乘方:如果a 与b 除以m 的余数相同,那么n a 与n b 除以m 的余数也相同.例题精讲【例 1】 在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年,少年数学智力冬令营【解析】 1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.因为252507+=++=,25360253679+++=++++=+,所以这样的数组共有下面4个:()2000,2003,()1998,2000,2003 ,()2000,2003,2001,1995 ,()1998,2000,2003,2001,1995.【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。

余数练习题讲解

余数练习题讲解

一、整数除法1. 15 ÷ 4 = ?2. 28 ÷ 7 = ?3. 36 ÷ 9 = ?4. 45 ÷ 5 = ?5. 52 ÷ 13 = ?二、带余数除法1. 17 ÷ 5 = ?2. 23 ÷ 7 = ?3. 29 ÷ 4 = ?4. 35 ÷ 8 = ?5. 41 ÷ 9 = ?三、带余数除法应用题1. 小明有25个苹果,平均分给4个小朋友,每人能得到几个苹果,还剩几个?2. 一桶水有36升,每次可以倒出8升,需要倒几次才能倒完?3. 小红有18个气球,平均分给3个小朋友,每人能得到几个气球,还剩几个?4. 一本书有72页,每次可以翻看12页,需要翻看几次才能看完?5. 小刚有27个巧克力,平均分给6个同学,每人能得到几个巧克力,还剩几个?四、余数性质1. 下列哪个选项不是余数的性质?A. 余数总是小于除数B. 余数可以是0C. 余数可以是负数D. 余数可以是除数的一半2. 如果一个数除以5的余数是2,那么这个数除以10的余数可能是多少?3. 一个数除以7的余数是3,那么这个数除以14的余数可能是多少?4. 如果一个数除以3的余数是1,那么这个数除以6的余数可能是多少?5. 一个数除以4的余数是2,那么这个数除以8的余数可能是多少?五、余数应用题1. 小华有45个糖果,平均分给3个小朋友,每人能得到几个糖果,还剩几个?2. 一桶水有60升,每次可以倒出12升,需要倒几次才能倒完?3. 小明有36个气球,平均分给4个小朋友,每人能得到几个气球,还剩几个?4. 一本书有48页,每次可以翻看8页,需要翻看几次才能看完?5. 小红有54个巧克力,平均分给6个同学,每人能得到几个巧克力,还剩几个?六、余数与倍数1. 下列哪个数除以6余1?A. 13B. 18C. 24D. 302. 一个数除以8余3,这个数除以16余多少?3. 一个数除以9余4,这个数除以27余多少?4. 一个数除以5余2,这个数除以10余多少?5. 一个数除以7余6,这个数除以49余多少?七、余数与分数1. 如果一个数除以7余3,那么这个数除以49的分数形式是什么?2. 一个数除以5余2,那么这个数除以25的分数形式是什么?3. 如果一个数除以8余4,那么这个数除以64的分数形式是什么?4. 一个数除以9余5,那么这个数除以81的分数形式是什么?5. 如果一个数除以6余1,那么这个数除以36的分数形式是什么?八、余数与方程1. 解方程:x ÷ 4 = 7 余 32. 解方程:y ÷ 5 = 9 余 23. 解方程:z ÷ 6 = 4 余 14. 解方程:w ÷ 7 = 5 余 35. 解方程:v ÷ 8 = 6 余 4九、余数与几何1. 一个正方形的边长是12厘米,如果用边长为5厘米的小正方形拼成,最多可以拼成几个?2. 一个长方形的长是20厘米,宽是15厘米,如果用边长为7厘米的正方形剪裁,最多可以剪成几个?3. 一个圆的半径是10厘米,如果用直径为5厘米的小圆切割,最多可以切割成几个?4. 一个正六边形的边长是8厘米,如果用边长为3厘米的小正六边形拼成,最多可以拼成几个?5. 一个长方体的长是18厘米,宽是12厘米,高是6厘米,如果用边长为2厘米的小正方体填充,最多可以填充成几个?十、余数与生活1. 一箱苹果有48个,每次可以卖掉6个,最多可以卖几次,还剩几个?2. 一袋糖果有60颗,每次可以分给3个小朋友,最多可以分给几个小朋友,还剩几颗?3. 一桶油有80升,每次可以倒出4升,最多可以倒几次,还剩多少?4. 一堆石头有120块,每次可以搬走8块,最多可以搬几次,还剩多少?5. 一箱书有36本,每次可以借给4个同学,最多可以借给几个同学,还剩几本?十一、余数与组合1. 有5个苹果,每次取2个,最多可以取几次,还剩几个?2. 有7个橙子,每次取3个,最多可以取几次,还剩几个?3. 有9个香蕉,每次取4个,最多可以取几次,还剩几个?4. 有6个梨,每次取5个,最多可以取几次,还剩几个?5. 有8个葡萄,每次取2个,最多可以取几次,还剩几个?十二、余数与数列1. 数列1, 4, 7, 10, ,第20项除以5的余数是多少?2. 数列2, 5, 8, 11, ,第15项除以3的余数是多少?3. 数列3, 6, 9, 12, ,第25项除以4的余数是多少?4. 数列4, 8, 12, 16, ,第18项除以5的余数是多少?5. 数列5, 10, 15, 20, ,第22项除以6的余数是多少?十三、余数与密码1. 一个密码由4位数字组成,第一位数字除以3余1,第二位数字除以4余2,第三位数字除以5余3,第四位数字除以6余4,可能的密码有哪些?2. 一个密码由3位数字组成,第一位数字除以7余2,第二位数字除以8余3,第三位数字除以9余4,可能的密码有哪些?3. 一个密码由5位数字组成,第一位数字除以11余5,第二位数字除以12余6,第三位数字除以13余7,第四位数字除以14余8,第五位数字除以15余9,可能的密码有哪些?4. 一个密码由6位数字组成,第一位数字除以16余10,第二位数字除以17余11,第三位数字除以18余12,第四位数字除以19余13,第五位数字除以20余14,第六位数字除以21余15,可能的密码有哪些?5. 一个密码由7位数字组成,第一位数字除以22余16,第二位数字除以23余17,第三位数字除以24余18,第四位数字除以25余19,第五位数字除以26余20,第六位数字除以27余21,第七位数字除以28余22,可能的密码有哪些?十四、余数与音乐1. 一个音乐节有48个座位,每次可以容纳6个观众,最多可以容纳多少个观众,还剩多少个座位?2. 一个音乐会需要80个椅子,每次可以摆放4排,每排10个,最多可以摆放多少排,还剩多少个椅子?3. 一个音乐会需要60个麦克风,每次可以放置3个在每排,每排20个,最多可以放置多少排,还剩多少个麦克风?4. 一个音乐节有72个舞台灯光,每次可以点亮8个,最多可以点亮多少次,还剩多少个灯光?5. 一个音乐会需要90个音响设备,每次可以放置9个,最多可以放置多少次,还剩多少个设备?十五、余数与数学游戏1. 在一个数字游戏中,玩家每次可以抽取一个1到6的数字,如果抽取到3的倍数,则加3分,否则减2分。

数字的商与余数知识点

数字的商与余数知识点

数字的商与余数知识点在数学中,我们经常会遇到对除法运算的商和余数感兴趣的情况。

商和余数是除法运算的两个重要结果,对于解决实际问题和进行数学推理都起到关键作用。

本文将介绍商和余数的概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、商和余数的定义1. 商:在除法运算中,被除数除以除数所得的整数部分,叫做商。

商可以表示为整数或小数,取决于是否能整除。

例如,将12除以5,得到商为2,表示为12 ÷ 5 = 2。

2. 余数:在除法运算中,被除数除以除数所得的余数,叫做余数。

余数永远是一个非负整数,并且小于除数。

例如,将12除以5,得到余数为2,表示为12 ÷ 5 = 2,余2。

商和余数的关系:被除数 = 商 ×除数 + 余数。

这个等式一般称为除法的基本性质。

二、商和余数的性质1. 商的性质:(1)如果被除数能整除除数,即余数为0,那么商为一个整数。

例如,将15除以5,得到商为3,没有余数。

(2)如果被除数不能整除除数,即余数不为0,那么商为一个小数或分数。

例如,将17除以5,得到商为3.4,保留一位小数。

2. 余数的性质:(1)余数总是非负整数,并且小于除数。

例如,将23除以7,得到商为3,余数为2,满足0 ≤ 余数< 除数。

(2)如果余数为0,说明被除数能整除除数。

例如,将15除以5,得到商为3,余数为0,说明15能被5整除。

三、商与余数的应用1. 整除判定:根据商和余数的定义,我们可以判断一个数能否被另一个数整除。

例如,判断120是否能被8整除,只需要计算120 ÷ 8,如果余数为0,则能整除;如果余数不为0,则不能整除。

2. 分配物品:商和余数的概念在实际生活中也有应用,例如,将一袋糖果平均分给几个人。

例如,有50颗糖果,要平均分给8个人,每个人能得到的糖果数量为商,剩下的不够分的糖果数量为余数。

3. 计算时间:商和余数的概念在计算时间上也有应用,例如,计算小时和分钟的转换。

除法整除和余数的概念

除法整除和余数的概念

除法整除和余数的概念除法是数学中常见的运算之一,用于计算一个数能被另一个数整除的次数以及剩余的部分。

在学习除法的过程中,我们常常会遇到两个概念,即整除和余数。

本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。

一、整除的概念在进行除法运算时,如果被除数恰好被除数整除,即没有余数,我们就称之为整除。

简而言之,整除就是没有余数的除法运算。

例如,如果我们用8除以2,那么8被2整除,结果为4,没有余数。

在数学符号中,如果a能被b整除,我们可以用a被b整除的形式表示为:a÷b。

在这个表示法中,a是被除数,b是除数,÷表示除法运算,称为除号。

举例来说,8被2整除可以表示为8÷2=4。

除法运算中的整除概念在实际生活中应用广泛。

比如,在分糖果的时候,如果有8个糖果要平均分给2个小朋友,每个小朋友就可以得到4个糖果,没有多余的糖果。

二、余数的概念余数是指在除法运算中,被除数不能整除时所剩下的部分。

简单来说,余数就是除法运算中的剩余部分。

例如,如果我们用9除以4,商为2余1,其中1就是余数。

在数学符号中,我们用r表示余数。

对于除法运算a÷b来说,r表示a÷b的余数。

举例来说,9÷4=2余1,其中2是商,1是余数。

余数在实际生活中也有很多应用。

比如,我们要将13本书平均分给4个人时,每个人能分到3本书,但还剩下1本书无法平分。

三、除法整除和余数的关系在除法运算中,整除和余数是密切相关的。

我们可以通过整除和余数的关系,来描述除法运算的结果。

对于除法运算a÷b来说,可以表示为:a =b ×商 + 余数其中,a表示被除数,b表示除数,商表示整除的结果,余数表示除法运算的剩余部分。

以之前的例子来解释,8÷2=4,其中8是被除数,2是除数,4是商。

根据上述关系式,我们可以得到:8 = 2 × 4 + 0再以9÷4=2余1为例,9是被除数,4是除数,2是商,1是余数。

第三讲:余数问题

第三讲:余数问题

第三讲余数问题基础知识1、巧算余数的方法:(1)主要思想:被除数去掉或者添上除数的倍数,不会改变余数。

(2)余数的特征:2,3,5,7,9,11,13,4,8,25,125。

(3)在加,减,乘的混合运算中如何去求余数,两数之和的余数等于两数余数的和,两数之积的余数等于两数余数的乘积。

2、了解同余符号,和有关的性质,掌握“韩信点兵”问题的解法。

例题1. 一个两位自然数去除375,余15,这个数可能是________________;解答:375-15=360,这个两位数一定是360的约数,且大于15(除数比余数大)。

那么这个数为:90,72,60,45,40,36,30,24,20,18.2. 一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是19463. 甲、乙、丙三个数分别为603,939,393。

某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。

A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份。

把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数。

939×2-603=1275,939-393×2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8、4、2。

初中余数知识点总结

初中余数知识点总结

初中余数知识点总结在学习余数的概念时,我们需要了解四则运算、整数的概念、两个整数的相对大小的比较、除法时商和余数的关系等。

这是一系列基本数学概念和技能的纽带,是数学教学中重要的知识点之一。

概述:余数是指一个数被另一个数除后得到的剩余部分。

例如 15除以4等于3余3。

余数的概念:在算术中,除法运算是划分的过程。

除法中划分得到的相等的几份就是商。

而最后剩下的一份就是余数。

当我们用一个数除另一个数时,有时会有余数。

例如,当12 ÷ 5时,商是2,余数是2;而当13 ÷ 4时,商是3,余数是1。

取模运算和余数:取模运算即求余数的运算。

它是计算机领域常用的一种数学运算符号。

如果说 a 除以 b 可以得到商 c 和余数 r,那么 r = a % b。

小数和余数:小数是再除法时出现的一种特殊的余数形式。

例如 7 ÷ 2 = 3.5,其中3是商数,0.5是余数,但是以小数的形式存在。

正整数的除法:当一个正整数(除数)除不尽一个大于零的整数(被除数)时,结果和余数都是一个非负整数。

这就是正整数的除法。

负整数的除法:当一个负整数(除数)除不尽一个大于零的整数(被除数)时,结果和余数都是一个与除数同号的整数。

但是当被除数是负数时,结果和余数可能会有很多种情况。

需要合理的确定符号。

同余关系:同余关系是指两个数的差能整除一个数的性质。

例如13和5模6是同余关系,因为13-5=8,8可以整除6。

余数的性质:(1)余数与除数的关系:不管是正负整数,被除数总能写成“商×除数+余数”的形式。

(2)余数的大小:余数永远小于除数,但可以等于0。

余数运算:余数的运算是对余数进行特定的运算。

例如,对余数做加法、减法、乘法、除法等运算。

余数的应用:余数可以用在取模运算、排列组合、密码学、数据校验等领域。

本文将详细介绍余数相关的概念和运算,以及余数的一些基本性质、应用和相关知识点。

一、余数的概念余数是指一个数被另一个数除后得到的剩余部分。

余数定理

余数定理

二、中国余数定理的算理⑴如果被除数加上除数的整数倍,除数不变,则余数不变。

即:如果a除以b余数为c,那么(a+nb)除以b余数也为c(c〈b)。

⑵如果被除数扩大几倍,除数不变,则余数也扩大同样的倍数。

即:如果a除以b余数为c,那么na除以b余数为nc(c〈b,nc〈b)。

⑶如果整数a除以自然数b(b≠0),余数r仍不小于b,则r 除以b的余数等于a除以b所得余数。

对于《孙子算经》中的“物不知数”问题:先从5和7、3和7、3和5的公倍数中相应地找出分别被3、5、7除均余1的较小数70、21、15。

即70÷3=23 (1)21÷5=4 (1)15÷7=2 (1)再用找到的三个较小数分别乘以被3、5、7除所得的余数的积连加,70×2+21×3+15×2=233。

最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数。

233÷105=2 (23)这个余数23就是合乎条件的最小数。

以上三个步骤适合于解类似的所有问题。

例如:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?题中3、4、5三个数两两互质。

则[4,5]=20;[3,5]=15;[3,4]=12;[3,4,5]=60。

为了使20被3除余1,用20×2=40;为了使15被4除余1,用15×3=45;为了使12被5除余1,用12×3=36。

然后,40×1+45×2+36×4=274,因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。

三、中国余数定理的应用例1:一筐苹果,如果按5个一堆放,最后少2个。

如果按6个一堆放,最后也少2个。

如果按7个一堆放,还多出1个。

这筐苹果至少有多少个。

解:苹果数除以5余3,除以6余4,除以7余1。

从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余1的数是126。

第12讲余数(教师版)

第12讲余数(教师版)

第12讲 余数内容概述掌握余数的概念与根本性质,掌握除以某些特殊数的余数的计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数;学会运用同期性处理各类余数计算问题;学会求解“物不知数’问题.典型问题兴趣篇1. 72除以一个数,余数是7.商可能是多少?【答案】1或5【解析】72-7=65,再分解质因数65=5×13,还有1×65=65,所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为0.这个除数可能是多少?【答案】8或16【解析】100和84同余,做差后是这个数的倍数,100-84=16,所以这个除数可能是8或163. 20220808除以9的余数是多少?除以8和25的余数分别是多少?除以11的余数是多少?【答案】8;0,8;0【解析】一个数除以9的方法:各位数字之和除以9,2+8+8+8=26,26÷9=2…8;除以8的方法:末三位除以8, 808÷8=101…0;除以25的方法:末两位除以25, 8÷25=0…8;除以11的方法:奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11, 2+0+0+0=2, 0+8+8+8=24,24-2=22,22÷11=2 04.4个运发动进行乒乓球比赛,他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问:比赛盘数最多的运发动打了多少盘?【答案】5【解析】1+0+1=2,2÷3=…2,1+2+6=9,9÷3=…0,1+7+3=11,11÷3=…2,1+9+3=13…1,最多打了5盘5.某工厂有128名工人生产零件,他们每个月工作23天,在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包,发现最后一包不够17个.请问:最后一包有多少个零件?【答案】16【解析】余数问题,求128×23×300÷17的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6.(1) 220除以7的余数是多少?(2) 1414除以11的余数是多少?(3) 28121除以13的余数是多少?【答案】〔1〕4;〔2〕4;〔3〕2【解析】因为23除以7的余数是1,20=3×6+2,所以220除以7的余数就是22除以7的余数 即为4;同理,1414除以11的余数是4;28121除以13的余数是27.810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少? 【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法,除以5的余数是28.一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?【解析】最小公倍数问题,【21,20】=420,再加上17,这个数最小是4379.有一个数,除以3的余数是2,除以4的余数是1.请问:这个数除以12余数是几?【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5,而5恰好除以4余1,5除以12余数是510.100多名小朋友站成一列,从第一人开始依次按1,2,3,…,11的顺序循环报数,最后一名同学报的数是9;如果按1,2,3,…,13的顺序循环报数,那么最后一名同学报的数是11.请问:一共有多少名小朋友?【答案】141【解析】根据题意,可转化为一个100多的数除以11余9,除以3余11,所以先求11和13的最小公倍数,再减去2就是所求,一共有141名小朋友拓展篇1.1111除以一个两位数,余数是66.求这个两位数.【答案】95【解析】先从1111里减去余数66,再分解质因数,所求的两位数要大于余数66,所以是952.(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少?(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少?【答案】〔1〕1,46;〔2〕3,5【解析】〔1〕21÷4=5…1;421÷125=3…46;〔2〕〔8+8〕×21÷9=37…3;808808÷11余0,最后还剩一个808,8+8=16,16÷11 余53.一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个,年终将这些零件按19个一包的规格打包,最后一包不够19个.请问:最后一包有多少个零件?【答案】15【解析】先求出一年的总数,再除以19余数为154.自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少? 【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期,2,4,8,6…,再看67除以4的余数是3,所以个位数字是8-1=75.算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少?【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4,2007除以4余3,所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的,以10个数为一个周期列出为1,8,7,4,5,6,3,2,9,0…,2006除以10余数为6,所以前6个的和即是所求1+8+7+4+5+6=31,所以个位数字是16.一个自然数除以49余23,除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少?【答案】9【解析】【49,48】+23=2375,被14除余97.一个自然数除以19余9,除以23余7.这个自然数最小是多少?【解析】7+23k-9能被19整除,最小为2378.刘叔叔养了400多只兔子,如果每3只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有2只;如果每5只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有4只;如果每7只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有5只.请问:刘叔叔一共养了多少只兔子?【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2,除以5余4,除以7余5,最后所求的数是4049. 123123123123123个除以99的余数是多少?【答案】90【解析】6个123能被99整除,123里有20个6余3,所以123123123除以99余数是9010.把63个苹果,90个橘子,130个梨平均分给一些同学,最后一共剩下25个水果没有分出去.请问:剩下个数最多的水果剩下多少个?【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道,但是余数的和是25,可以把这三个数相加,根据余数的和等于余数的和来计算,63+90+130-25=258,再分解质因数,最后剩下个数最多的水果剩下20个11.有一个大于l 的整数,用它除300、262、205得到相同的余数,求这个数.【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除,300-262=38,262-205=57,再求〔38,57〕=1912.用61和90分别除以某一个数,除完后发现两次除法都除不尽,而且前一次所得的余数是后一次的2倍,如果这个数大于1,那么这个数是多少?【答案】17【解析】先把余数变相同,再作差求解即可。

小学奥数余数基础

小学奥数余数基础

余数1.定义: 在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整时,就产生余数,取余数运算。

余数指整数除法中被除数未被除尽部分。

例如27除以6,商数为4,余数为3。

2.在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。

取余数运算:a modb =c 表示整数a除以整数b所得余数为c如:7 mod 3 = 13.余数性质:余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):(1)大小法则:余数小于除数(2)式子变换:被除数=除数×商+余数除数=(被除数-余数)÷商商=(被除数-余数)÷除数余数=被除数-除数×商(3)减法法则:如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。

a÷c=k…mb÷c=p…ma-b=cn例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

(4)加法法则:a与b的和除以c的余数(不包括能整除),等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。

a÷c=k…yb÷c=p…z(a+b) ÷c=r..(y+z)例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。

注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。

.(y+z) ÷c例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

(5乘法法则:a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

a÷c=k…yb÷c=p…z(a×b) ÷c=s…(y×z)例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。

注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。

余数是什么

余数是什么

余数是什么
余数指整数除法中被除数未被除尽部分,且余数的取值范围为0到除数之间(不包括除数)的整数。

例如:27除以6,商数为4,余数为3。

一个数除以另一个数,要是比另一个数小的话,商为0,余数就是它自己。

例如:1除以2,商数为0,余数为1;2除以3,商数为0,余数为2。

余数有如下一些重要性质(a,b,c 均为自然数):
(1)余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值(适用于实数域)。

(2)被除数= 除数×商+ 余数;除数=(被除数- 余数)÷商;商=(被除数- 余数)÷除数;余数=被除数-
除数×商。

(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。

例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

数论之余数三大定理

数论之余数三大定理

第十四章数论之余数三大定理观点一般地,假如a是整数,b是整数(b≠0),如有a÷b=q⋯⋯r,也就是a=b×q+r,0≤r<b;我称上边的除法算式一个余除法算式。

里:当r0:我称a能够被b整除,q称a除以b的商或完整商当r0:我称a不可以够被b整除,q称a除以b的商或不完全商三大余数定理余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分除以c的余数之和,或个和除以的余数。

余数的乘法定理a与b的乘除以c的余数,等于a,b分除以c的余数的,或许个除以c所得的余数。

同余定理若两个整数a、b被自然数m除有同样的余数,那么称a、b于模m同余,用式子表示:a≡b(modm),左的式子叫做同余式。

同余式作:a同余于b,模m。

由同余的性,我能够获得一个特别重要的推:若两个数a,b除以同一个数m获得的余数同样, a,b的差必定能被m整除用式子表示为:假如有a≡b(modm),那么必定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)例题用某自然数a去除1992,获得商是46,余数是r,求a和r。

甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少1.(真题)三个不一样的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商同样,所得的余数也同样,这三个数是_______,_______,_______。

一个自然数,除以11时所获得的商和余数是相等的,除以9时所获得的商是余数的3倍,这个自然数是_________。

有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人。

假如把书所有分给第一组,那么每人4本,有节余;每人5本,书不够。

假如把书全分给第二组,那么每人3本,有节余;每人4本,书不够。

余数单位选择法则

余数单位选择法则

余数单位选择法则
余数单位选择法则是指在数学运算中,为了方便计算或表达结果,通常会将除法的余数单位进行适当选择。

在除法运算中,余数是指除数不能整除被除数时,所剩余的部分。

余数单位选择法则主要针对数值运算结果进行单位选择。

通常情况下,为了保持结果整洁和统一,余数单位选择法则遵循以下几个原则:
1. 整数单位选择:如果余数可以用整数单位进行简单表示,通常会选择整数单位作为余数的单位。

例如,在将长度从英尺(ft)转换为英寸(in)时,如果余数
单位是英寸,则保持单位的一致性,选择英寸作为余数单位。

2. 分数单位选择:如果余数不能用整数单位进行简单表示,但可以用分数单位表示,则通常会选择分数单位作为余数的单位。

例如,在将长度从米(m)转换为英尺(ft)时,如果余数单
位是英尺,则选择分数单位作为余数单位。

3. 近似单位选择:如果余数不能用整数单位或分数单位进行简单表示,通常会选择最接近余数的单位进行近似表示。

例如,在将时间从小时(h)转换为分钟(min)时,如果余
数单位是分钟,则选择最接近余数的整数小时作为近似单位。

总之,余数单位选择法则的目的是根据数值运算的实际情况,选择合适的单位对余数进行表示,以便于结果的计算和表达。

第一讲余数问题

第一讲余数问题

2014年龙文1对1五年级第一讲余数问题二卡1例题讲析i基本性质1:被除数=除数X商(当余数大于0时也可称为不完全商)+余数除数=(被除数-余数)*商;商=(被除数-余数)宁除数。

余数小于除数。

理解这条性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了。

在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了。

【例1】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

【例2】一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数,其和是13.求所有满足条件的自然数.【例3】有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

【例4】十二张扑克牌,2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌,使上面点数之和等于52吗?说明理由.基本性质2:如果a,b除以c的余数相同,就称a、b对于除数c来说是同余的,且有a与b 的差能被c整除。

(a,b,c均为自然数)例如:17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

【例5】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数。

【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a>b,求ab X ba基本性质3: a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c 的余数)。

例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+仁4 注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如,23, 19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5 的余数。

【例7】有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少?222 - 2除以13所得余数是 f ' ----2000 个"2"【例9】 191919…19除以99,余数是 _________20基本性质4: a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以 c 的余数)。

余数问题

余数问题

余数问题在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):(1)余数小于除数。

(2)被除数=除数×商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数。

(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。

例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。

例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。

注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。

注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

性质(4)(5)都能够推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。

分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056,5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数,得到5056=26×79。

由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。

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四、余数
知识概述
掌握余数的概念,了解余数与整除之间的联系.掌握除以某些特殊数的余数的计算方法;利用余数的性质进行相关计算;学会运用周期性处理多位数和高次幂运算的余数问题;掌握物不知数问题的简单解法.
基础篇
1.
72除以一个数,余数是7.商可能是多少?
2.100和84除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为0.这个除数可能是多少?
3.20080808除以9的余数是多少?除以8和25的余数分别是多少?除以11的余数是多少?
4.4个运动员进行乒乓球比赛,他们的号码分别为101,126,173,193.规定每两人之间比赛的盘
数是他们号码的和除以3所得的余数.请问:比赛盘数最多的运动员打了多少盘?
5.某工厂有128名工人生产零件,他们每个月工作23天,在工作期间每人每天可以生产300个零
件.月底将这些零件按17个一包的规格打包,发现最后一包不够17个.请问:最后一包有多少个零件?
6.(1)202除以7的余数是多少?(2)1414除以11的余数是多少?(3)12128除以13的余数是多
少?
7.
108
888888+⨯++⨯⨯⨯
个除以5的余数是多少?8.一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?
9.有一个数,除以3的余数是2,除以4的余数是1.请问:这个数除以12余数是几?
10.100多名小朋友站成一列.从第一人开始依次按1,2,3, ,11的顺序循环报数,最后一名同学报的数是9;如果按1,2,3, ,13的顺序循环报数,那么最后一名同学报的数是11.请问:一共有多少名小朋友?
提高篇
1.
1111除以一个两位数,余数是66.求这个两位数.
2.(1)21421
421421421 个除以4和125的余数分别为多少?(2)21808
808808808 个除以9和11的余数分别
是多少?
3.一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个.年终将这些零件按19个一包的规格打
包,最后一包不够19个.请问:最后一包有多少个零件?
4.
自然数672
22221⨯⨯⨯⨯-
个的个位数字是多少?5.算式20072007200720071232006+++⋅⋅⋅+计算结果的个位数字是多少?
6.一个自然数除以49余23,除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少?
7.一个自然数除以19余9,除以23余7.这个自然数最小是多少?
8.刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有2只;如果
每5只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有4只;如果每7只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有5只.请问:刘叔叔一共养了多少只兔子?
9.
123123
123123123 个除以99的余数是多少?
10.把63个苹果,90个桔子,130个梨平均分给一些同学,最后一共剩下25个水果没有分出去.请问:剩下个数最多的水果剩下多少个?
11.有一个大于1的整数,用它除300、262、205得到相同的余数,求这个数.
12.用61和90分别除以某一个数,除完后发现两次除法都除不尽,而且前一次所得的余数是后一次的2倍.如果这个数大于1,那么这个数是多少?
基础篇
答案:
1.1或5.2.8或16.
3.8;0,8;0.4.5盘.
5.16个.6.(1)4;(2)4;(3)2.7.2.8.437.9.5.10.141名.
提高篇
答案:
1.95.2.(1)1,46;(2)3,5.3.15个.4.7.
5.1.6.9.
7.237.8.404只.9.90.10.20个.11.19.12.17.。

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