数学高二同步系列课堂讲义选修4-5北师大试题：第一章 不等关系与基本不等式1.5 Word含答案
北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3172⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞2．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-3．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ） A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定4．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a bc c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤6．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >9．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >10．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ11．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a |>b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 12．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．15．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 16．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．17．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是______． 18．6722519．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()22f x ≥x 取值范围是______20．设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______．三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=. （1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．已知函数()|21||23|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知集合{}413,11A x x x B x x ⎧⎫=+-≤=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式230x ax b ++<的解集为集合B ，求实数,a b 的值. 24．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围.25．设x ∈R ，解不等式211x x +->. 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2af '=-，322a c b >>.（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-； （2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=， 所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.2．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．3．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．B解析：B 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立； 取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->>对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的； 对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.10．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案． 【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <， 又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞，∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．12．D解析：D 【分析】 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】 由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题二、填空题13．【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解 解析：x c -【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-，即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．14．【解析】对只需的最小值大于等于当时当时当时当时只需解得；当时当时当时当时只需解得故答案为解析：(][),13,-∞-+∞【解析】对(),2x R f x ∀∈≥，∴只需()f x 的最小值大于等于2，当1a >时， ∴当1x ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时，()1f x a =-，当x a >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得3a ≥；当1a ≤时，当x a ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1a x <≤时，()1f x a =-，当1x >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得1a ≤-，(][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞，故答案为(][),13,-∞-+∞.15．【解析】结合自变量的范围若可得：不等式明显成立；若由不等式可得解得：综上可得的取值范围是 解析：4a ≠【解析】结合自变量的范围，若02x ≤<，可得：20x -<，不等式明显成立； 若2x =，由不等式可得40a ->，解得：4a ≠， 综上可得a 的取值范围是4a ≠.16．【解析】试题分析：由得由于解得是的必要而不充分条件转化为是的充分而不必要条件则是的真子集故或所以考点：1充分必要条件；2不等式【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题难度稍大分别解得命题和命 解析：9m ≥【解析】试题分析：由22:210q x x m -+-≤，得{|11}Q x m x m =-≤≤+， 由于1:123x p --≤，解得{|210}P x x =-≤≤， p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件转化为p 是q 的充分而不必要条件，则P 是Q 的真子集，故0{12110m m m >-<-+≥或0{12110m m m >-≤-+>，所以9m ≥．考点：1充分必要条件；2不等式．【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题，难度稍大．分别解得命题p 和命题q 中x 的解集,P Q ．根据互为逆否命题的两个命题同真假可得p 是q 的充分而不必要条件，分析可得P 是Q 的真子集，画数轴可得关于m 的不等式，列不等式时注意两个端点不能同时取等号，否则容易出错．17．2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥可求出2a+b 的范围再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c2c 可用2a+b 表达利用不等式的性质求范围即可解：由基本解析：2﹣log 23 【解析】试题分析：由基本不等式得2a +2b ≥，可求出2a+b 的范围，再由2a +2b +2c =2a+b+c =2a+b 2c =2a+b +2c ，2c 可用2a+b 表达，利用不等式的性质求范围即可． 解：由基本不等式得2a +2b ≥，即2a+b ≥，所以2a+b ≥4，令t=2a+b ，由2a +2b +2c =2a+b+c 可得2a+b +2c =2a+b 2c ，所以2c =因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log 23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．18．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法 解析：>【详解】672252(67)13242=+、2(225)1341013240=+=+，要比较13242+13240+42,404240>67>225考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．19．【分析】先根据指数函数单调性化简不等式再根据绝对值定义求解不等式【详解】即或或所以或或即【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式考查基本分析求解能力属基础题解析：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先根据指数函数单调性化简不等式，再根据绝对值定义求解不等式【详解】1132112x x x x +--≥+--≥ 即1{3112x x x ≥+-+≥或1{3112x x x ≤---+-≥或11{3112x x x -≤≤++-≥ 所以1x ≥或φ或314x ≤≤，即34x ≥ 【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】由题意可得在的最大值为中之一可得四个不等式相加再由绝对值不等式的性质即可得到所求最小值【详解】去掉绝对值可得在的最大值为中之一由题意可得上面四个式子相加可得即有可得的最小值为故答案为【点睛】解析：258 【分析】由题意可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】去掉绝对值，可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一，由题意可得()(),242M a b f a b ≥-=++-+， (),242M a b f a b ≥=+++（），()1,211||42M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭， ()11,21||42M a b f a b ⎛⎫≥-=++-+ ⎪⎝⎭， 上面四个式子相加可得()114,2421|22|||42M a b a a b b b b ⎛⎫⎛⎫≥++++-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112524221||42||22≥-++++=，即有()25,8M a b ≥， 可得(,)M a b 的最小值为258． 故答案为258． 【点睛】 本题考查函数的最值求法，注意运用函数取最值的情况，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题21．（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【分析】（1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围； （2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式. 【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， 又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； （2）0a >，0b >，23a b +=，3∴≥908ab <≤， 当且仅当322a b ==时，取等号，()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】 本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.22．（1）{}|12x x -；（2）()()1,03,4-【分析】（1）通过对自变量x 的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式()6f x ≤的解集；（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立⇔22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，利用绝对值不等式的性质易求()4min f x =，从而解不等式22(3)2log a a -<即可．【详解】 解：（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪+--⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩， 解得：322x <或1322x -或112x -<-， ∴不等式()6f x 的解集为{}|12x x -．（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立，22(3)2()|21||23|log a a f x x x ∴-+<=++-恒成立，∴22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-+--=，()f x ∴的最小值为4，∴22(3)24log a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎨--<⎩， 解得：10a -<<或34a <<．∴实数a 的取值范围为()()1,03,4-．【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于中档题．23．（1）{}|12x x -<≤；（2）6,9a b =-=-.【分析】(1)分别求出集合A B 、，再求A B 即可； (2) 1-和3是方程230x ax b ++=的两根，由根与系数的关系可求实数,a b 的值. 【详解】解：（1）当30,3x x -≥≤时，13,313x x x x x -≤-∴-≤-≤-，2x ∴≤， 当30,3x x -<>时，13x x -≤-的解集是空集，所以{}2A x x =≤， 4310,1311x x x x --=<∴-<<++，即{}13B x x =-<< {}{}{}21312A B x x x x x x ⋂=≤⋂-<<=-<≤.（2）不等式230x ax b ++<的解集为集合{}13x x -<<，则1-和3是方程230x ax b ++=的两根，所以(13)36a =--+⨯=-，(1)339b =-⨯⨯=-.【点睛】考查绝对值不等式和分式不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，中档题. 24．（1）{}05x x ≤≤；（2）[]2,1-.【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】（1）当3x ≥时，不等式()5f x ≤化为255x -≤，得5x ≤，即35x ≤≤；当23x <<时，不等式()5f x ≤化为15≤成立，即23x <<；当2x ≤时，不等式()5f x ≤化为525x -≤，得0x ≥，即02x ≤≤； 综上所述，所求不等式的解集为{}05x x ≤≤；（2）()23231f x x x x x =-+-≥--+=，若()21f x m m >+-恒成立，则211m m >+-， 解得：21m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]2,1-.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.25．{|0x x <或}32x >【分析】利用零点分区间法去掉绝对值符号，分组讨论求并集，即可求得不等式的解集【详解】当0x <时，原不等式可化为121x x -+->，解得0x <： 当102x ≤≤时，原不等式可化为121x x +->，即0x <，无解； 当12x >时，原不等式可化为211x x +->，解得23x > 综上，原不等式的解集为{|0x x <或}32x >. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法问题. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-； （2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2a a b c ++=- ∴32c a b =--，∵322a c b >> ∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥ 求导可得21(1)()2x g x x x x -'=+-= ∴()0g x '≥∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。
高中数学北师大版选修4-5练习第一章 不等关系与基本不等式 Word版含解析
第一章测评(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分).已知<,给出下列不等式:①<;②>;③<;④>.其中正确的有()个个个个解析:由已知得<<,所以<<,>,从而>,因此①④正确.答案.若∈,且,则有()≥>≤<解析:由于∈,显然有>>,且()()≥,因此≥.答案.对于∈,不等式≥的解集为().[∞) .().[) .(∞)答案.下列函数中,最小值为的是()解析:在函数中>,所以≥,当且仅当±时函数取最小值.答案.若不等式<的解集为(),则实数等于()解析:由<<,得<<.因为不等式的解集为(),所以.答案.已知函数()是上的增函数且为奇函数,数列{}是等差数列>,则()()()的值() .恒为正数.恒为负数.恒为.可正可负解析:因为()是上的增函数且为奇函数>,所以()>().又,所以>,则>,于是()>(),即()>(),所以()()>,所以()()()>.答案.已知()(∈),若()<的必要条件是<(>),则之间的关系是()≥<≤>解析:由()<可得<<,由<可得<<,由题意可得解得≥.答案.若∈(,π),则的最大值等于(). .. .解析···,当且仅当∈(,π)时等号成立.所以≤,故所求最大值为.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 2．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A ．242-B ．42C ．不存在D ．527．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >8．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ） A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+ B ．22a b ac bc >>若，则 C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd >12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()f x ≥x 取值范围是______16．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.17．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.18．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)三、解答题21．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数()()30f x x x a a =-++>. （1）若1a =，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()221f x a a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()2f x x =-，()()2g x f x x =-． （1）求()g x 的最大值m ； （2）若0a >，0b >，且22m a b+=，求证：()()314f a f b +++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<，即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c =>12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅； 当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．6．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.7．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<，()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确.本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.10．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤153．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <4．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ）A ．42-B ．4C ．不存在D ．525．已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．2log 0a >B ．122a b-< C ．22log log 2a b +<- D ．122a b b a+<6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>8．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是 A ．a a x y -->B ．ax ay <C ．x y a a <D ．log log a a x y >9．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b| B ．若a ＞b ，则11a b< C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 210．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则B ．22a b ac bc >>若，则C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则11．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b > B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <12．设1311ln,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题13．若不等式|2|||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是________． 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______. 15．记1()(1)(2)()nk f k f f f n ==+++∑，则函数41()||k g x x k ==-∑的最小值为__________．16．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______. 17．不等式的解集是______．18．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______. 19．若函数()211f x x x a =+-+-的定义域为R ，则实数a 的取值范围为______.20．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______. 三、解答题21．正项数列{}n a 满足()223*1112,442N n n n n a a a a n +++=-=-∈. （1）求23,a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给予证明； （3）若lg nn a c n=，求证：n c 是无理数. 22．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 23．已知函数(),f x x a a R =-∈ (I)当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；(II)若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求a 的取值范围． 24．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，21ab a b --≥． 25．设x ∈R ，解不等式211x x +->. 26．已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) ba a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.2．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x ++的最大值为15， 所以15a ≥.故选：A 【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.3．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.4．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.5．C解析：C 【分析】根据条件得到1012a b <<<<，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】已知0a b <<，且1a b +=，则1012a b <<<<故2log 0a <，A 错误；取311,442b a a b ==∴-=- ，1222a b -=>，B 错误； 2222221log log log log log 2()24a b a b ab a b +⎛⎫+=<==-≠ ⎪⎝⎭，C 正确； 取10331101,224432a b b a b a b a a b +==∴+=∴=>，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查了不等式的判断，意在考查学生的综合应用能力.6．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366a b a b ==-=<所以该选项是错误的；对于选项C,11,0,b a b a a b ab--=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的. 故选D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．C解析：C 【分析】由幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质判断即可. 【详解】A.a a x y -->，由幂函数y x α= 当0α<函数在()0,∞+上单调递减，可知A 错误； 由1,01x y a >><<，由不等式的性质可得0ax ay >>，故B 错误；由指数函数x y a = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知C 正确；由对函数log a y x = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知D 错误. 故选 C . 【点睛】本题考查幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质，属基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于C ，D 需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论． 【详解】A ．错误，比如34＞-，便得不到34-＞；B ．错误，比如34＞-，便得不到11 34-＜； C ．错误，比如34-＞，得不到2234-＞（）；D ．正确，a b ＞，则0a ＞，根据不等式的性质即可得到22a b ＞． 故选：D ． 【点睛】考查若a b ＞，对a b ，求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变．10．A解析：A 【解析】分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案． 详解：选项①,a b c d >>若，，由不等式的可加性可得a c b d +>+ 故A 正确，选项②22a b ac bc >>若，则，由不等式的性质可得；2c =0时22ac bc >不正确， 选项③a b >若，则11a b <错误，比如12-＞ ，但1112-＞ ； 选项④若,a b c d ac bd >>>，则错误，需满足a b c d ,,,均为正数才可以． 故选：A ．点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．11．B解析：B 【解析】分析：根据幂函数3y x =的单调性，即可判定得到答案. 详解：当1,2a b ==-时，此时a b >，但a b <，且11a b>，所以A 、C 不正确； 由函数2x y =为单调递增函数，当a b >时，22a b >，所以D 不正确，由函数3y x =是R 上的单调递增函数，所以当a b >时，33a b >成立，所以B 是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.12．B解析：B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131 log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3ln log ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<.所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+- 3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.二、填空题13．【分析】先利用化简题中不等式然后将关于的恒成立问题转化为最值问题求解即可【详解】∵∴对恒成立∴或对恒成立即或对恒成立∴解得故答案为：【点睛】本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题一般遇见此类含参问题解析：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】先利用(2,)x ∈+∞化简题中不等式，然后将关于x 的恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】∵(2,)x ∈+∞，∴2||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立， ∴022x a x x a a -⎧⎨-+->⎩或02()2x a x x a a-<⎧⎨--->⎩对(2,)x ∈+∞恒成立，即322x aa x ⎧⎪⎨+>⎪⎩或2x a a <⎧⎨<-⎩对(2,)x ∈+∞恒成立， ∴23222a a ⎧⎪⎨+⎪⎩，解得23a ．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题，一般遇见此类含参问题时，常将恒成立问题转化为最值问题求解，属于中档题.14．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min12a x a x a -+≤-++，根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a ≥ ， 当2ax =-时，等号成立， ()min 322a x a x a ∴-++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即312a a -+≤ ，即312a a ≥-或312a a ≤- ， 解得：25a ≥或2a ≤-. 故答案为：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a b a b a b -≤±≤+.15．4【分析】利用求解【详解】当时等号成立故答案为4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：4 【分析】利用|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x -+-+-+-≥---+---求解. 【详解】()=1234g x |x |+|x |+|x |+|x |----|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x =-+-+-+-≥---+--- 4=，当23x ≤≤时，等号成立.故答案为4 【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【解析】【分析】将不等式转化为分别在的情况下讨论得到的最大值从而可得；分别在的情况去绝对值得到不等式解不等式求得结果【详解】对任意实数恒成立等价于：①当时②当时③当时④当时综上可知：即当时解得：当时 解析：(][),14,-∞+∞【解析】【分析】 将不等式转化为()max121a a f x a ⎛⎫+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭，分别在1a ≤-、10a -<<、102a <<、12a ≥的情况下讨论得到121a a a +--的最大值，从而可得()3f x ≥；分别在2x ≤、23x <<、3x ≥的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【详解】()121a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立等价于：()max121a a f x a ⎛⎫+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ①当1a ≤-时，()12111221a a a a a a a+------==-+- [)22,0a∈- [)1213,1a a a +--∴∈-- ②当10a -<<时，()1211123a a a a a a+--+--==-- ③当102a <<时，()1211123a a a a a a+--+--== ④当12a ≥时，()12112121a a a a a a a +--+--==-+ (]20,4a∈ (]1211,3a a a +--∴∈- 综上可知：max1213a a a ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭ ()3f x ∴≥，即()233f x x x =-+-≥当2x ≤时，()23523f x x x x =-+-=-≥，解得：1x ≤当23x <<时，()2313f x x x =-+-=≥，无解当3x ≥时，()23253f x x x x =-+-=-≥，解得：4x ≥x 的取值集合为：(][),14,-∞+∞本题正确结果；(][),14,-∞+∞【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果. 17．【解析】试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号然后解决问题本题也可不分类讨论首先不等式变形为它等价于这是二次不等式解得还要注意题目要求写成集合形式考点 解析：(1,1)-【解析】试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为212x x -<-，它等价于22(21)(2)x x -<-，这是二次不等式，解得11x -<<，还要注意题目要求写成集合形式．考点：解不等式．18．【分析】根据题意可得从而可得将看为一元二次方程的根利用求出的范围再利用反证法求出即可求解【详解】由已知可得即因此以为根的方程为解得故同理可得下面精确的下限假设由由所以因此矛盾故所以综上故答案为：【点 解析：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】根据题意可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，从而可得21bc a a =--，将,b c 看为一元二次方程的根，利用0∆>求出a 的范围，再利用反证法求出1a >，即可求解.【详解】由已知可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-， 即21bc a a =--，因此，以,b c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=， ()()221410a a a ∴∆=---->， 解得513a -<<， 故23b c +>-， 同理可得513b -<<，513c -<<， 下面精确a 的下限，假设1a ≤，由a b c >>，由1b a -<<<，1c a -<<<，所以21a ≤，21b <，21c <，因此2223a b c ++<，矛盾，故1a >，所以10b c a +=-< 综上，203b c -<+<， 故答案为：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式的性质、一元二次不等式的解法，解题的关键是求出a 的取值范围，考查了转化能力、运算能力.19．【分析】的定义域R 等价于在R 上恒成立只要求出函数的最小值即可求出实数a 的取值范围【详解】的定义域为R 等价于在R 上恒成立令即作的图像如图所示由图可知所以故答案为:【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】()f x 的定义域R 等价于211x x a +-+≥在R 上恒成立，只要求出函数211x x +-+的最小值，即可求出实数a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R 等价于211x x a +-+≥在R 上恒成立，令()211g x x x =+-+，即min ()a g x ≤，,11()32,121,2x x g x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=---≤≤-⎨⎪⎪>-⎪⎩，作()g x 的图像如图所示由图可知，min 1()2g x =-，所以12a ≤- 故答案为:1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.20．【分析】利用方程组形式可得求得后结合不等式性质即可求得的最小值【详解】设即所以解得所以因为所以由不等式性质可知即当且仅当时取等号解得综上可知的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用 解析：12【分析】 利用方程组形式，可得()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值.【详解】 设()223n m x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y ≤≤， 所以()121183xy -≤≤ 由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x y xy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y 的最小值为12.故答案为：12. 【点睛】 本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.三、解答题21．（1）234,8a a ==；（2）2n n a =，证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）对递推公式赋值，即可容易求得结果；（2）根据（1）中所得，猜想2n n a =，用数学归纳法进行证明即可；（3）由（2）中所求，结合lg n n a c n=得到n c ，用反证法证明即可. 【详解】（1）234,8a a ==；（2）猜想：数列{}n a 的通项公式为2n n a =. 下面用数学归纳法证明其成立.①当1n =时，12a =猜想成立②假设当()*n k k N =∈时，猜想成立，即2k k a =， 那么当1n k =+时，有2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 所以2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 即()()2211222k k a ++-=-， 解得112k k a ++=或1142k k a ++=-，因为{}n a 是正项数列，而*k N ∈时，1420k +-，所以112k k a ++=.这就是说，当1n k =+时猜想也成立.根据①和②可知，猜想成立，即2n n a =.（3）lg lg 2n n a c n==. 假设lg 2是有理数，则可设lg 2q p=， 其中,p q 为互素的整数，0p >，由①式可得210qp =，即21025p q q q ==⋅，所以，25p q q -=.又因为lg 21q p =<，即0p q ->，所以*p q N -∈， 所以②式左边为偶数，右边为奇数，产生矛盾.所以，假设不成立，故lg 2是无理数.因此，lg lg 2n n a c n ==是无理数. 【点睛】本题考查数学归纳法证明数列的通项公式，以及用反证法证明命题，属综合中档题. 22．（1）见解析；（2）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）函数()f x 的图象如图所示；（2）将()f x 的图象向右平移一个单位得到函数(1)f x -的图象，()y f x =的图象与(1)=-y f x 的图象的交点坐标为39,44⎛⎫ ⎪⎝⎭，从图象可求得不等式的解；【详解】解：（1）函数()f x 的图象如图所示；（2）将()f x 的图象向右平移一个单位得到函数(1)f x -的图象，()y f x =的图象与(1)=-y f x 的图象的交点坐标为39,44⎛⎫ ⎪⎝⎭，由图象可知当且仅当34x <时，()y f x =的图象在(1)=-y f x 的图象下方， ∴不等式()(1)f x f x <-的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】利用数形结合思想求解绝对值不等式，能使求解过程变得更直观，同时注意绝对值几何意义的应用.23．（1）1{|}2x x ≤；（2）[]4,2a ∈-．【解析】试题分析：（1）当时，不等式即111x x --+≥，利用绝对值的意义求得它的解集；（2）不等式即3x a x -≤-，分类讨论得到解集，再根据解集中包含{}|1x x ≤-，从而得到a 的取值范围.试题（1）时，原不等式可化为111x x --+≥, 当1x <-时，原不等式化为()()111x x -++≥,即21≥，此时，不等式的解集为{}|1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥,即12x ≤-，此时，不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥,即21-≥，此时，不等式的的解集为∅.综上,原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭. （2）不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-,等价于30x a x -+≤,对(],1x ∈-∞-恒成立，即 3x a x -≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，故a 的取值范围为[]4,2-.考点：绝对值不等式的解法.24．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.25．{|0x x <或}32x >【分析】利用零点分区间法去掉绝对值符号，分组讨论求并集，即可求得不等式的解集【详解】当0x <时，原不等式可化为121x x -+->，解得0x <： 当102x ≤≤时，原不等式可化为121x x +->，即0x <，无解； 当12x >时，原不等式可化为211x x +->，解得23x > 综上，原不等式的解集为{|0x x <或}32x >. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法问题. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解26．（1）52（2）55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用分类讨论，去绝对值化简，即可得函数解析式，进而画出函数图像，即可求得最小值； （2）将不等式变形，并令,b t a =化简后结合（1）即可得1512x x >-++，分类讨论去绝对值化简即可得解. 【详解】 （1）函数()212f x x x =-++所以当2x <-时，()()()21231f x x x x =---+=--，当122x -≤≤时，()()()2123f x x x x =--++=-+， 当12x >时，()()()21231f x x x x =-++=+， 所以()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩， 画出函数图像如下图所示：由函数图像可知，当12x =时，()min 1153222f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭. （2）不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，则21211b b x x a a-++>-++， 令,b t a =上式可化为21211t t x x -++>-++， 由（1）可知52122t t -++≥， 所以只需1512x x >-++， 当1x <-时，不等式可化为()()5211x x >---+，解得54x >-，即514x -<<-； 当11x -≤≤时，不等式可化为()()5211x x >--++，解得522>，即11x -≤≤； 当1x >时，不等式可化为()()1512x x >-++，解得54x <，即514x <<； 综上所述，x 的取值范围为55,44⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题.。
北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ） A ．322a ab bc ca +++≥ B ．322a bab bc ca -+++≥ C ．322a b c ab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确2．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac > B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac > 3．已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．)3⎡-⎣C ．[)2,+∞D ．[)2,34．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．若a b c R ∈，，，则以下命题为真的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >6．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >7．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（ ） A ．[,)22ππ-，(,0)2π- B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-8．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >9．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 10．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ）A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+B ．22a b ac bc >>若，则C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd >11．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b > B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <12．设1311ln,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式|2|||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是________． 15．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．16．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．17．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.18．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.19．某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n+；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种.20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．设函数()2|1||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()(1)f x a x +的解集非空，求实数a 的取值范围. 22．已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+（1）2a =时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）若不等式()0f x ≤对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知函数()54f x x x =-++. （1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()13210af x ---≥恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 25．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案. 【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3， 设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--， (1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥， ||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤. 对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B.取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C. 故选：A 【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题.2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据所给等式，用a 表示出b ，代入2a b +中化简，令21t a =+并构造函数()42f t t t=+-，结合函数的图像与性质即可求得2a b +的取值范围. 【详解】因为223a b ab ++=， 所以32412121a b a a -==-+++， 由0b >解得1322a -<<， 因为0a >，所以302a <<， 则2ab +42121a a =+-+ 421221a a =++-+ 由302a <<可得1214a <+<， 令21t a =+，14t <<.所以421221a a ++-+ 42t t=+- 画出()42f t t t=+-，14t <<的图像如下图所示：由图像可知，函数()42f t t t=+-在14t <<内的值域为[)2,3， 即2a b +的取值范围为[)2,3， 故选：D. 【点睛】本题考查了由等式求整式的取值范围问题，打勾函数的图像与性质应用，注意若使用基本不等式，注意等号成立条件及自变量取值范围影响，属于中档题.4．B解析：B 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】 本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.5．D解析：D 【分析】A ．举例：取0,0a b ><的值，检验；B ．举例：0c ，检验；C ．举例：取0,0a b ><的值(注意大小)，检验；D ．考虑两边同时平方来证明.【详解】A ．取1,1a b ==-，所以11a b>，故错误； B ．取0c，所以22ac bc =，故错误；C ．取1,2a b ==-，所以22a b <，故错误；D ．因为0a b >≥，所以22a b >，所以22a b >，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断命题的真假，难度一般.(1)不等号两边同时乘以一个正数，不等号的方向不会改变；(2)已知两数的大小，比较两个数平方的大小时，要注意考虑数的正负.6．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->> 对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的； 对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x=在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】由已知条件结合不等式的基本性质求出结果 【详解】22ππαβ-≤<≤，424παπ∴-≤<，424πβπ-<≤两式相加可得222παβπ+-<<424πβπ-<≤，则424πβπ-≤-<则222παβπ--≤<又αβ< 则02αβ-<故022παβ--≤<故选D 【点睛】本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件．8．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．B解析：B 【解析】分析：先化简2x ≤和11x +≤，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为2x ≤，所以-2≤x≤2.因为11x +≤，所以-1≤x+1≤1，所以-2≤x≤0.因为-2≤x≤2成立，则-2≤x≤0不一定成立，所以2x ≤是11x +≤成立的非充分条件. 因为-2≤x≤0成立，则-2≤x≤2一定成立，所以2x ≤是11x +≤成立的必要条件. 所以2x ≤是11x +≤成立的必要不充分条件. 故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法:定义法、集合法和转化法.10．A解析：A 【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立. 详解：因为同向不等式可相加，所以若,,a b c d >>则a c b d +>+， 因为c=0时，22ac bc =，所以B 错； 因为121,12>->-，所以C 错； 因为10,01,100(1)>>-⨯=⨯-，所以D 错； 选A.点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.11．B解析：B 【解析】分析：根据幂函数3y x =的单调性，即可判定得到答案. 详解：当1,2a b ==-时，此时a b >，但a b <，且11a b>，所以A 、C 不正确； 由函数2x y =为单调递增函数，当a b >时，22a b >，所以D 不正确，由函数3y x =是R 上的单调递增函数，所以当a b >时，33a b >成立，所以B 是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.12．B解析：B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3ln log ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<.所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+- 3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】先利用化简题中不等式然后将关于的恒成立问题转化为最值问题求解即可【详解】∵∴对恒成立∴或对恒成立即或对恒成立∴解得故答案为：【点睛】本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题一般遇见此类含参问题解析：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】先利用(2,)x ∈+∞化简题中不等式，然后将关于x 的恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】∵(2,)x ∈+∞，∴2||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，∴022x a x x a a -⎧⎨-+->⎩或02()2x a x x a a-<⎧⎨--->⎩对(2,)x ∈+∞恒成立， 即322x aa x ⎧⎪⎨+>⎪⎩或2x a a <⎧⎨<-⎩对(2,)x ∈+∞恒成立， ∴23222a a ⎧⎪⎨+⎪⎩，解得23a ．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题，一般遇见此类含参问题时，常将恒成立问题转化为最值问题求解，属于中档题.15．【解析】试题分析：由得由于解得是的必要而不充分条件转化为是的充分而不必要条件则是的真子集故或所以考点：1充分必要条件；2不等式【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题难度稍大分别解得命题和命 解析：9m ≥【解析】试题分析：由22:210q x x m -+-≤，得{|11}Q x m x m =-≤≤+， 由于1:123x p --≤，解得{|210}P x x =-≤≤， p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件转化为p 是q 的充分而不必要条件，则P 是Q 的真子集，故0{12110m m m >-<-+≥或0{12110m m m >-≤-+>，所以9m ≥． 考点：1充分必要条件；2不等式．【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题，难度稍大．分别解得命题p 和命题q 中x 的解集,P Q ．根据互为逆否命题的两个命题同真假可得p 是q 的充分而不必要条件，分析可得P 是Q 的真子集，画数轴可得关于m 的不等式，列不等式时注意两个端点不能同时取等号，否则容易出错．16．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.17．【分析】根据题意可得从而可得将看为一元二次方程的根利用求出的范围再利用反证法求出即可求解【详解】由已知可得即因此以为根的方程为解得故同理可得下面精确的下限假设由由所以因此矛盾故所以综上故答案为：【点解析：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，从而可得21bc a a =--，将,b c 看为一元二次方程的根，利用0∆>求出a 的范围，再利用反证法求出1a >，即可求解. 【详解】由已知可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，即21bc a a =--，因此，以,b c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=，()()221410a a a ∴∆=---->，解得513a -<<， 故23b c +>-， 同理可得513b -<<，513c -<<， 下面精确a 的下限，假设1a ≤，由a b c >>，由1b a -<<<，1c a -<<<， 所以21a ≤，21b <，21c <， 因此2223a b c ++<，矛盾，故1a >， 所以10b c a +=-< 综上，203b c -<+<，故答案为：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式的性质、一元二次不等式的解法，解题的关键是求出a 的取值范围，考查了转化能力、运算能力.18．【分析】结合绝对值三角不等式得即求即可【详解】由绝对值三角不等式得即恒成立当时去绝对值得解得故；当时此时无解综上所述故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围绝对值三角不 解析：0a ≥【分析】结合绝对值三角不等式得|1|||1x x a a ++-≥+，即求11a a +≥-+即可 【详解】由绝对值三角不等式得()()|1|||11x x a x x a a ++-≥+--=+，即11a a +≥-+恒成立，当1a ≥-时，去绝对值得11a a +≥-+，解得0a ≥，故0a ≥；当1a <-时，11a a --≥-+，此时无解，综上所述，0a ≥ 故答案为：0a ≥ 【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：a b a b a b +≥±≥-，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的x .19．二【分析】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：展开利用基本不等式的性质即可得出【详解】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：因此解析：二 【分析】设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)m n ++；第二种：(1%)(1%)22m n m n++++；第三种：1()%m n ++．展开利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】0m n >>，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++； 第二种：(1%)(1%)1%%%%222222m n m n m n m n m n m n++++++++=+++⨯ 1()%%%1()%22m n m n m n m n ++=+++⨯>++1()%%%m n m n =+++；第三种：1()%m n ++． 因此提价最多的方案是第二种． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为解析：②③ 【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可 【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②())0f x x =>，b c a +>>>())0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数④()02f x cosx x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212coscos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数 综上所述，为保三角形函数的是②③ 【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题21．（1）2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）直接分类去绝对值，即可求出()2f x >的解集；（2）去绝对值，得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，画出图象，由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时，a 的取值范围..【详解】解：（1）原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象，如图所示，其中(1,1)A ，(2,2)B ，直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，且绕点(1,0)-旋转时， 由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空，则3a <-或AC a k ≥， 故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，考查数形结合思想和计算能力. 22．（1）()5,3-；（2）(],6-∞-【分析】（1）2()2|3|9f x x x =-+-+，讨论3x ≥和3x <两种情况，解不等式得到答案. （2）2|3|90x a x -+-+≤恒成立，讨论3x =，3x >，3x <三种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】（1）2a =时，2()2|3|9f x x x =-+-+， 当3x ≥时，()2()2390f x x x =-+-+>，解得13x ，故无解；当3x <时，()2()2390f x x x -=--+>，解得53x -<<，故53x -<<. 综上所述：不等式解集为()5,3-.（2）不等式()0f x ≤对于任意x ∈R 恒成立，即2|3|90x a x -+-+≤恒成立. 当3x =时，00≤成立；当3x >时，()2390x a x -+-+≤，故()293a x x -≤-，即3a x ≤+，故6a ≤；当3x <时，()2390x a x --+≤-，故()()293a x x -≥--，即()3a x ≤-+，故6a ≤-.综上所述：(],6a ∈-∞-. 【点睛】本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 23．（1）13{2x x ≥或11}2x ≤-；（2）2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别求得5x >、45x -≤≤、4x <-三种情况下()f x 的解析式，则可求得不等式的解集；（2）不等式()13210af x ---≥恒成立等价于()13min 21a f x -≥+，利用绝对值三角不等式，求得()min f x ，代入不等式即可求得答案. 【详解】（1）原不等式等价于55412x x x >⎧⎨-++≥⎩或455412x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或()45412x x x <-⎧⎨--+≥⎩，解得132x ≥或x ∈∅或112x ≤-. ∴不等式的解集为13{2x x ≥或11}2x ≤-. （2）不等式()13210af x ---≥恒成立等价于()13min 21a f x -≥+， 即()13min5421a x x --++≥+.∵()()54549x x x x -++≥--+=，当且仅当45x -≤≤时，等号成立. ∴13921a -≥+，则133a -≤，解得23a ≥-，∴实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】解题的关键是分段讨论，去掉绝对值，再分别求解，灵活运用绝对值三角不等式，可大大简化计算，提高正确率，属中档题. 24．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 25．（1）{}05x x ≤≤；（2）[]2,1-. 【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论. 【详解】（1）当3x ≥时，不等式()5f x ≤化为255x -≤， 得5x ≤，即35x ≤≤；当23x <<时，不等式()5f x ≤化为15≤成立，即23x <<；当2x ≤时，不等式()5f x ≤化为525x -≤， 得0x ≥，即02x ≤≤；综上所述，所求不等式的解集为{}05x x ≤≤； （2）()23231f x x x x x =-+-≥--+=， 若()21f x m m >+-恒成立，则211m m >+-，解得：21m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]2,1-. 【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力. 26．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形， 令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立， 只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =， 故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-；②由1122114aa a⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a-≤≤；③由12114aa a>⎧⎨++-≤⎩，得413a<≤，故44 33a-≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a <<2．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b b a -<- B ．33a bb a -<-C ．lg lg a b b a -<-D ．lg lg a b b a ->-3．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >4．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+5．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,π B ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ6．已知，则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．7．已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（ ） A ．mx my > B ．m m x y> C ．22mx my >D ．22m m x y> 8．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>9．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥10．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b>11．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C ．a b a b -<-D ．2a ab <二、填空题13．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点(2,2)-，(2,1)，(2,3)，(2,4)-，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 14．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______. 15．已知关于x 的不等式1+1ax ax ->在[2,5]有实数解，则实数a 的取值范围为________． 16．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．17．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ． 19．不等式4x x>的解集为__________． 20．设函数1()||||f x x x a a=++-(0)a >，若(3)5f <，则a 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 23．已知函数()2123f x x x =++- （Ⅰ）求不等式()f x ≤6的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()f x a >恒成立，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．25．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 26．（1）解不等式239x x -++≥； （2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.2．C解析：C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．153．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b >，则a b < D <a b <4．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（ ） A ．1B ．2C ．52D ．35．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-6．已知实数x 、y 满足不等式组11x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+8．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ）A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 10．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞D ．[]4,6-11．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥12．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，Q =P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <二、填空题13．若关于x 的不等式()14x x a a ++->∈R 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.15．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________． 16．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 17．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________．18．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 19．若关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则m 的取值范围是_________20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”) 三、解答题21．分析法或综合法证明：（1）求证：2> （2）已知,,a b c abc.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，数列{}n S n是公差为12的等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21(1)n nb n a =+，求证：对于任意的*n N ∈，12341n b b b +++<. 23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜．（2 24．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 25．已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值. 26．已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=，即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．B解析：B 【分析】 分别令0x =、12、1，则可求得1,1,142a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案. 【详解】 因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈，当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②，当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222ab ac a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤，所以88117a b c ++≤++=， 故选：B 【点睛】本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、42a bc ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题.3．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.4．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥， 即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．6．B解析：B 【分析】 由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，利用待定系数法得出()()31222x y x y x y +=++-，然后利用不等式的基本性质可求得2x y +的取值范围，进而得解. 【详解】由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，设()()()()2x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，则21m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()()31222x y x y x y +=++-，由于()()333222111222x y x y ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，可得222x y -≤+≤，因此，2x y +的最大值是2.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，解答的关键就是利用待定系数法求得()()31222x y x y x y +=++-，考查计算能力，属于中等题. 7．A解析：A 【分析】根据对数函数的单调性可得0m >,0n <,根据不等式的性质可知m n m n ->+ ;通过比较11m n+ 与1 的大小关系,即可判断m n m n +>,从而可选出正确答案. 【详解】解:0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn <()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n +=+=<= m n mn ∴+> 故选:A. 【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于()log a f x x =,若01a << ,则(1)当01x << 时,()0f x >; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x <; 若1a > ,则(1)当01x << 时,()0f x <; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x >.8．B解析：B 【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤； 同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.9．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.10．B解析：B 【分析】利用绝对值三角不等式，得到538x x -++≥，恒成立. 【详解】53(5)(3)8x x x x -++≥--+= 536x x -++≥恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.12．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法二、填空题13．【分析】由绝对值的三角不等式求得最小值得到即可求解【详解】由绝对值不等式可得当且仅当时等号成立所以解得或即实数a 的取值范围是【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用其中解答熟记绝对值的三角不等式 解析：(,5)(3,)-∞-+∞【分析】由绝对值的三角不等式，求得最小值，得到14a +>，即可求解. 【详解】由绝对值不等式可得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+， 当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立， 所以14a +>，解得3a >或5a <-， 即实数a 的取值范围是(,5)(3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，其中解答熟记绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】利用绝对值三角不等式得出根据题意得出解不等式即可得出实数的取值范围【详解】则由绝对值三角不等式得则由题意得解得故答案为：【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题的求解考查绝对值三角不等式的应用属解析：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用绝对值三角不等式得出()()max 3f x t f x t +-=，根据题意得出31t ≤，解不等式即可得出实数t 的取值范围. 【详解】()21f x x x =--，则()()()()211f x t f x x t x x x t +-=+-+--+-，由绝对值三角不等式得()()()()2113f x t f x x t x x x t t +-≤+-+--+-=， 则()()max 3f x t f x t +-=，由题意得31t ≤，解得1133t -≤≤. 故答案为：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题的求解，考查绝对值三角不等式的应用，属于中等题.15．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：【分析】只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，所以||||||c a b a b ++-．因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．故答案为 【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．16．【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数xy 恒成立所以1+a+≥16由此能求出正实数a 的最小值【解答】解：∵不等式对任意正实数xy 恒成立∴对于任意正实数xy 恒成立∵∴1+a+≥16即又a ＞0从而故答解析：【解析】试题分析：由题设知()min116a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对于任意正实数x ，y 恒成立，所以，由此能求出正实数a 的最小值．【解答】解：∵不等式116a x y x y +≥+对任意正实数x ，y 恒成立， ∴()min 116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对于任意正实数x ，y 恒成立 ∵()111a y ax x y a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎝⎭∴即)530≥ ，又a ＞0，min 3,9.a ≥=故答案为9点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.17．【解析】f(x)≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|当x ∈12时|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －(2－x)≥|x ＋a|⇔－2－a≤x≤2－a 由条件得－2－a≤1且2－a≥2即 解析：[]-3,0【解析】f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[]-3,0.18．【分析】令求得st 利用不等式的性质可求的取值范围【详解】令则又①②①+②得故答案为【点睛】本题考查简单线性规划问题可以作图利用线性规划知识解决也可以用待定系数法利用不等式的性质解决是中档题 解析：[]1,7【分析】令3()()x y s x y t x y -=++-,求得s,t ,利用不等式的性质可求3()()x y s x y t x y -=++-的取值范围.【详解】令3()()x y s x y t x y -=++-()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯②∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]【点睛】本题考查简单线性规划问题,可以作图利用线性规划知识解决,也可以用待定系数法,利用不等式的性质解决,是中档题.19．【分析】利用绝对值三角不等式求得在上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解则由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立所以当时的最小值为因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题 解析：()2,+∞【分析】 利用绝对值三角不等式求得13x x -+-在[]0,4x ∈上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则()min 13m x x >-+-， 由绝对值三角不等式可得()()13132x x x x -+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时，等号成立，所以，当[]0,4x ∈时，13x x -+-的最小值为2，2m ∴>.因此，实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞.【点睛】本题考查利用绝对值不等式在区间上有解求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 20．≥【分析】先化简lg(1＋a)＋lg(1＋b)＝lg 再化简lg ＝lg 再比较大小得解【详解】lg(1＋a)＋lg(1＋b)＝lg(1＋a)(1＋b)＝lglg ＝lg ∵a ＞0b ＞0∴a ＋1＞0b ＋1＞0 解析：≥【分析】先化简12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg 12[(1)(1)]a b +⋅+，再化简lg 12a b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝lg 22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，再比较大小得解. 【详解】12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝12lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg 12[(1)(1)]a b +⋅+， lg 12a b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝lg 22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋1＞0，b ＋1＞0. ∴12[(1)(1)]a b +⋅+≤112a b +++＝22a b ++. ∴lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭≥lg 12[(1)(1)]a b +⋅+， 即lg 12a b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 故答案为≥【点睛】本题主要考查对数的运算和基本不等式，考查比较法和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）用分析法证明即可，直至不等式显然成立即可；（2）多次利用基本不等式，用综合法即可证明.【详解】（1）要证明2>只需证明2因为20+>>，所以只需证明22(2>+，即证99+>+因为最后一个不等式成立，所以2>.（2）因为,,a b c 为正数， 所以2;2;2ab bc b ac bc ca c ab ab ca a bc +++；所以()()()222ab bc bc ca ab ca b ac ++++++即ab bc ca b ac +++=， abc.【点睛】 本题考查用综合法和分析法证明不等式，涉及基本不等式的使用，属综合中档题. 22．（Ⅰ）*3(N )n a n n =+∈；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由1141S a ==，所以17=22n S n n +，可得217=22n S n n +， 当2n ≥时有-1n n n a S S =-，又14a =，即可得解；（2） 首先由2211(1)(1)(3)n n b n a n n ==+++，通过放缩和裂项可得： 1111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)n b n n n n n n n <=-+++++++，求和即可得解. 【详解】 （Ⅰ）数列{}n S n 是公差为12的等差数列，且 1141S a ==， 可得17=22n S n n +，217=22n S n n +， ∴-13(2)n n n a S S n n =-=+≥，又14a =， ∴*3(N )n a n n =+∈（Ⅱ）22111111[](1)(1)(3)(1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)n n b n a n n n n n n n n n ==<=-++++++++++ 11=32b ， 当2n ≥时，12n b b b +++ 11111111[]32234454556(1)(2)2(3)n n n n <+-+-++-⨯⨯⨯⨯++++（） 1111=[]322342(3)n n +-⨯++（） 1117<3223496+=⨯ ， 又737419631=0964196419641⨯-⨯-=-<⨯⨯ ∴12341n b b b +++<， 又113=3241b <，∴*123N .41n b b b n +++<∈， 【点睛】 本题考查了等差数列通项公式，考查了数列不等式的证明，有一定的计算量属于中档题. 本题涉及的方法有：（1）放缩法，放缩法是数列不等式证明中的重要方法，难度相对较大；（2）裂项相消法，裂项相消法是数列求和的常用方法.23．（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）由题意得出a ＜0，且a -c ＜b -c ＜0，再证明1b c -＜1a c -，即可得出a a c -＜a b c -； （2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立．【详解】证明：（1）由a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，所以a ＜0，且a -c ＜b -c ＜0， 所以（a -c ）（b -c ）＞0，所以()()a c a c b c ---＜()()b c a c b c ---，即1b c -＜1a c -；所以a b c -＞a a c -，即a a c -＜a b c-．（2即证a +（a -3）a -1）+（a -2）即证a （a -3）＜（a -1）（a -2）；即证0＜2，显然成立；【点睛】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题． 24．答案见解析【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【详解】21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-．③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a =+-； 当1a <且0a ≠时，111a a >+-； 当1a >时，111a a <+-． 【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．25．（1）2m =（2）2【分析】（1）解绝对值不等式得到31m x m -≤≤+，对比解集得到答案.（2）直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）∵1m ，解不等式21x m -≤-得121m x m -≤-≤+，∴31m x m -≤≤+， 因为解集为[]1,3，∴2m =.（2）2a b +=，则()()()()22222222222a b a b ab a b a b a b +=++≤+++=+， 故222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，故22a b +的最小值为2.【点睛】本题考查了绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）52（2）55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用分类讨论，去绝对值化简，即可得函数解析式，进而画出函数图像，即可求得最小值；（2）将不等式变形，并令,b t a =化简后结合（1）即可得1512x x >-++，分类讨论去绝对值化简即可得解.【详解】（1）函数()212f x x x =-++所以当2x <-时，()()()21231f x x x x =---+=--， 当122x -≤≤时，()()()2123f x x x x =--++=-+， 当12x >时，()()()21231f x x x x =-++=+，所以()31,21 3,22131,2x xf x x xx x⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，画出函数图像如下图所示：由函数图像可知，当12x=时，()min1153222f x f⎛⎫==-+=⎪⎝⎭.（2）不等式()2211b a b a a x x-++>-++恒成立，则21211b bx xa a-++>-++，令,bta=上式可化为21211t t x x-++>-++，由（1）可知52122t t-++≥，所以只需1512x x>-++，当1x<-时，不等式可化为()()5211x x>---+，解得54x>-，即514x-<<-；当11x-≤≤时，不等式可化为()()5211x x>--++，解得522>，即11x-≤≤；当1x>时，不等式可化为()()1512x x>-++，解得54x<，即514x<<；综上所述，x的取值范围为55,44⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．152．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．下列结论中一定正确的是（ ） A ．若,0a b c <≠，则ac bc < B ．若33a b >，则a b > C ．若,0a b c >≠，则a b c c> D ．若a bc d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->- 4．设,,a b c ∈R ，且a b >，则( ) A ．ac bc >B ．a c b c -<-C ．33a b >D ．22a b >5．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知01x y a <<<<，log log a a m x y =+，则有（ ） A ．0m <B ．01m <<C ．12m <<D ．2m >7．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd9．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a >- C ．2233a b > D ．22a b >10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 11．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >012．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-二、填空题13．给出下列四个命题：①不等式123x x ++-≥对任意x ∈R 恒成立； >- ③设随机变量X ～(0,1)N ．若(1)P X p >=，则1(10)2P X p -<≤=-； ④设随机变量X ～1(3,)3B ，则1(1)3P X ==． 其中，所有正确命题的序号有__________．14．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________．15．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.16．17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.19．某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n+；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种.20．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n N ++=-∈.（1）证明：数列{}n a 是等差数列； （2）设()*2n n n a b n N =∈，数列{}n b 的前n 项和n T ， ①求证：2n T <；②解关于n 的不等式：3332n nn T +>-. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值. 23．设函数()22f x x x =+--. （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. 24．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 25．已知函数()212f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.26．已知函数()21f x x =+ （1）解不等式()2f x x >- （2）若不等式21()332f x x a a +-≥--对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 分别令0x =、12、1，则可求得1,1,142a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案. 【详解】 因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈，当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②，当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222ab ac a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤，所以88117a b c ++≤++=， 故选：B 【点睛】本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、42a bc ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题3．B解析：B 【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确. 【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误. 对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a bc c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a bc d >⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题.4．C解析：C 【分析】取特殊值判断A,D ,根据不等式的性质判断B ,根据幂函数的性质判断C . 【详解】 A 选项，取0c时，不等式不成立；B 选项，不等式两边加上同一个数c -，不等号方向不发生改变，故错误；C 选项，根据幂函数3y x =在R 上为增函数知33a b >，故正确；D 选项，取1,2a b ==-，不等式不成立，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，幂函数的单调性，特值法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+ 根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.6．D解析：D 【分析】首先根据对数的运算得到()log a m xy =，再由不等式的性质及对数函数的性质即可得解. 【详解】解：由题意得()log a m xy =，01x y a <<<<，201xy a ∴<<<，2log 2a m a ∴>=.故选：D 【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题.7．D解析：D 【解析】 【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅； 当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．8．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.9．B【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->> 对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的； 对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.11．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用绝对值三角不等式，得到538x x -++≥，恒成立. 【详解】53(5)(3)8x x x x -++≥--+= 536x x -++≥恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.二、填空题13．①③【解析】分析：由题意对命题逐一判定①中利用绝对值即可判定；②中利用分析法即可判定；③中利用正态分布的对称性即可判定；④中利用二项分布的概率计算即可判定详解：由题意可知对于①中根据绝对值的三角不等解析：①③ 【解析】分析：由题意，对命题逐一判定，①中，利用绝对值即可判定；②中，利用分析法即可判定；③中，利用正态分布的对称性即可判定；④中，利用二项分布的概率计算，即可判定．详解：由题意可知，对于①中，根据绝对值的三角不等式可知12(1)(2)3++-≥+--=x x x x ，所以是正对于②中，利用分析法，可求得7654-<-，所以不正确； 对于③中，根据正态分布的对称性，可知1(10)2P X p -<≤=-； 对于④中，根据随机变量1(3,)3X B ，则123114(1)()(1)339P X C ==⋅⋅-=，所以不正确，所以正确命题的序号为①③．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到绝对值不等式的应用、直角证明与间接证明的应用、正态分布的概率计算以及二项分布的概率计算等知识点，试题覆盖面广，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．14．【解析】f(x)≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|当x ∈12时|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|⇔4－x －(2－x)≥|x ＋a|⇔－2－a≤x≤2－a 由条件得－2－a≤1且2－a≥2即 解析：[]-3,0【解析】f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[]-3,0.15．【解析】试题分析：因为等式的解集为所以为方程的根即故填考点：绝对值不等式绝对值方程 解析：3-【解析】试题分析：因为等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即3a ⇒=-,故填3-.考点：绝对值不等式 绝对值方程16．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法 解析：>【详解】672252(67)13242=+、2(225)1341013240=+=+，要比较13242+13240+>>考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．17．无最小值【分析】由题意得出再由二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式得出的范围找出最小值即可【详解】因为所以所以当且仅当时后面的等号成立所以所以无最小值故答案为：无最小值【点睛】本题主要考查了解析：无最小值 【分析】由题意得出0x y <<，再由二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式，得出21x y y x-++的范围，找出最小值即可. 【详解】因为ln ln x y <，所以0x y <<，所以 22211111+24=-=⎛⎫-++++ +--⎪⎝⎭x y y y y x xy x x x222111111+2422+--+⎛⎫>==+≥+=⎪⎝⎭x x x x x x x x当且仅当2x =时后面的等号成立，所以21-++>x y y x ，所以21x y yx -++无最小值.故答案为：无最小值. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式，考查转化思想，属于中档题18．2【分析】根据矩形的面积公式化简的表示然后分类讨论结合基本不等式比较法放缩法进行求解即可【详解】由图示可得：当时当且仅当时取得等号；当时即有成立由可得当且仅当时取得等号综上可得的最小值是2【点睛】关解析：2 【分析】根据矩形的面积公式化简3572468152S S S S S S S S S +++++的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可. 【详解】由图示可得：222235724681522211S S S b a b a S S S S S S b a a b ab a b ab +++=++=+++++++++，当1a b ab +<+时，2221b a a b ab ++++2222222221111b a a b ab ab ab ab ab ++++>+=≥=++++，当且仅当1a b ==时，取得等号；当1a b ab +≥+时，即有2221b a a b ab ++++222222a b a b a b a b a b +++≥+=+++成立， 由2222222222(1)(1)20a b a b a b a b a b a b a b+++--+-+--==≥+++，可得3572468152S S S S S S S S S +++++2≥，当且仅当1a b ==时，取得等号，综上可得，3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是2.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据1a b ab ++，之间的大小关系，利用放缩法进行求解.19．二【分析】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：展开利用基本不等式的性质即可得出【详解】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：因此解析：二 【分析】设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)m n ++；第二种：(1%)(1%)22m n m n++++；第三种：1()%m n ++．展开利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】0m n >>，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++； 第二种：(1%)(1%)1%%%%222222m n m n m n m n m n m n++++++++=+++⨯1()%%%1()%22m n m n m n m n ++=+++⨯>++1()%%%m n m n =+++；第三种：1()%m n ++． 因此提价最多的方案是第二种． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【分析】先将不等式对任意恒成立转化为不等式对任意恒成立再令转化为对任意恒成立求解即可【详解】因为不等式对任意恒成立所以不等式对任意恒成立令所以对任意恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查不等 解析：[6,)-+∞【分析】先将不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，转化为不等式22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，再令[]2,5=∈y t x ，转化为22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立求解即可.【详解】因为不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，所以不等式22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，令[]2,5=∈yt x， 所以 22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立， 令211248⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭y t ，所以 max 6y =-， 所以 6a ≥- 故答案为：[6,)-+∞ 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②{1，2} 【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）①22n n n na nb ==，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证； ②原不等式化为2112nn +>，即221n n <+，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集． 【详解】（1）证明：n S 是正项数列{}n a 的求和，22a =，2112n n n S a a ++=-，可得21122222a S a a ==-=，则11a =， 当2n 时，212n n n S a a -=-，又2112n n n S a a ++=-，两式相减可得22111222n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--+， 化为11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由正项数列{}n a ，可得11n n a a +-=， 可得数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列； （2）①证明：22n n n n a n b ==，前n 项和1232482n n nT =+++⋯+， 11123248162n n nT +=+++⋯+， 两式相减可得1111(1)11111221224822212n n n n n n n T ++-=+++⋯+-=--， 化为222n nn T +=-， 可得2n T <； ②3332n n n T +>-即2332322n nn n ++->-， 化为2112nn +>，即221n n <+， 22(11)11n n n n C n =+=+++⋯++，可得1n =时23<；2n =时，45；3n 不成立，故原不等式的解集为{1，2}． 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，化简运算能力和推理能力，属于中档题． 22．（1）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()(),01,P =-∞+∞；（3）存在，0a =或1a =或2a =.【分析】（1）分2x >，12x ≤≤，1x <三种情况求解即可；（2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，由此可得211a ->，从而可求出a 的取值范围；（3）先解不等式.220x x +-<与|212x x -<+，可得()2,3A -∈，当0a =时，符合题意，当0a ≠时，构造函数()2220f x ax x a =+--，则有()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，从而可求出a 的值【详解】（1）若2x >时，112>，符合题意；若12x ≤≤时，1122x x -+->，解得74x >，故724x <≤； 若1x <时，112->，无解； 综上，1122x x --->的解是7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，所以211a ->，解得1a >或0a <， ∴集合()(),01,P =-∞+∞；（3）由220x x +-<可得21x -<<，由212x x -<+可得133x -<<，故()2,3A -∈，若0a =，220x <，解得1010x -<<，符合题意；若0a ≠，设()2220f x ax x a =+--，由于0a >，所以只要()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即可即422200923200a a a a ⎧++-≤⎪⎨+--≤⎪⎩ 因为a N ∈，可得1a =或2a =； 综上，0a =或1a =或2a =. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数()2220f x ax x a =+--，可得()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，从而可求出a 的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题23．（1）{|1}x x ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）去绝对值将函数转化为()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分2x ≥， 22x -<<两种情况讨论求解.（2）通过（1）得到224x x +--≤，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求得111y y+-的最小值即可. 【详解】（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1≥x ，则12x ≤＜. ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由（1）知，224x x +--≤，∵01y ＜＜，则()1111111y y y y y y ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 122241y y y y-=++≥+=- 当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．答案见解析 【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出． 【详解】21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a =-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，21a a >-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a=+-； 当1a <且0a ≠时，111a a>+-； 当1a >时，111a a<+-． 【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．25．（1）52（2）55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用分类讨论，去绝对值化简，即可得函数解析式，进而画出函数图像，即可求得最小值；（2）将不等式变形，并令,b t a =化简后结合（1）即可得1512x x >-++，分类讨论去绝对值化简即可得解. 【详解】（1）函数()212f x x x =-++所以当2x <-时，()()()21231f x x x x =---+=--， 当122x -≤≤时，()()()2123f x x x x =--++=-+， 当12x >时，()()()21231f x x x x =-++=+， 所以()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，画出函数图像如下图所示：由函数图像可知，当12x =时，()min 1153222f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭. （2）不等式()2211b a b a ax x -++>-++恒成立，则21211b bx x a a-++>-++， 令,bt a=上式可化为21211t t x x -++>-++， 由（1）可知52122t t -++≥， 所以只需1512x x >-++， 当1x <-时，不等式可化为()()5211x x >---+，解得54x >-，即514x -<<-；当11x -≤≤时，不等式可化为()()5211x x >--++，解得522>，即11x -≤≤；当1x >时，不等式可化为()()1512x x >-++，解得54x <，即514x <<；综上所述，x 的取值范围为55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题. 26．（1）{|3x x <-或1}3x >；（2）14a -≤≤． 【分析】（1）根据不等式的性质x a x a >⇔>或x a <-，可求解不等式． （2）根据绝对值定义去掉绝对值符号后求得1()2f x x +-的最小值，然后解相应不等式可得a 的范围． 【详解】解：（1）()2f x x >- 即212x x +>- 不等式等价于212x x +>-或212x x +<- 即：13x >或3x <- ∴不等式解集为{|3x x <-或1}3x >；（2）不等式21()332f x x a a +-≥--恒成立 2min 133()2a a f x x ⎡⎤∴--≤+-⎢⎥⎣⎦令11()()2122g x f x x x x =+-=++-113()22311()222113()22x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩∴当12x =-时，min 1()()12g x g =-=2331a a ∴--≤ 即2340a a --≤14a ∴-≤≤．【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查不等式恒成立问题，解题方法对只有一个绝对值的不等式x a >可直接利用性质等价转化为x a >或x a <-，x a <a x a ⇔-<<求解，若有两个或以上的绝对值可按绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数的知识求解．。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(包含答案解析)3
一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-2．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n ++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m ++<<<++ 3．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >6．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 27．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a |>b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 8．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>9．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 10．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 11．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b|B ．若a ＞b ，则11a b<C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2 12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则B ．22a b ac bc >>若，则C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______. 14．给出下列四个命题：①不等式123x x ++-≥对任意x ∈R 恒成立； >- ③设随机变量X ～(0,1)N ．若(1)P X p >=，则1(10)2P X p -<≤=-； ④设随机变量X ～1(3,)3B ，则1(1)3P X ==． 其中，所有正确命题的序号有__________．15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______.17．设5x >，P =Q =，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .18．不等式252x xy -<-对任意[]1,2x ∈都成立，则实数y 的取值范围为______；19．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________.20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．分析法或综合法证明：（1）求证：2> （2）已知,,a b c abc.22．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 23．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 24．已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 26．已知()15f x x x =---， （1）解不等式()2f x <；（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a mb b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>， 所以()()-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n aa a mb n b ++<<<++。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质素材北师大版选修4-5(new)
不等式的基本性质一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系.《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日":“远者小而近者大"、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等.人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢？转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖（a 〉b>0），若再加m （m 〉0)克糖，则糖水更甜了，为什么？ 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++〉ab 即可。
怎么证呢？二、不等式的基本性质：1.实数的运算性质与大小顺序的关系:数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2.不等式的基本性质：①如果a 〉b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a 〉b.(对称性）②如果a 〉b,且b 〉c,那么a 〉c,即a 〉b ，b 〉c ⇒a>c.③如果a 〉b ，那么a+c 〉b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
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§5不等式的应用
课后篇巩固探究
A组
1.若a>0,则2a+的最小值为()
A.2
B.3
C.1
D.3
解析:2a+=a+a+≥3=3,当且仅当a=,即a=1时,取最小值3.答案:D
2.函数f(x)=x+-1的值域是()
A.(-∞,-3]∪[5,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,-5]∪[3,+∞)
D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
解析:当x>0时,x+-1≥2-1=3;
当x<0时,x+-1=----1≤-5,
所以函数值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).
答案:C
3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()
A.3
B.2
C.12
D.12
解析:因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.
当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.
答案:C
4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为()
A.9
B.8
C.3
D.
解析:因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,
所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,
则≥27,所以≥3≥3=9.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
答案:A
5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()
A.2×5
B.2×5.5
C.2×6.1
D.3×5
解析:设长方体水箱长、宽、高分别为x,y,z,则xyz=4.
水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12,当且仅当x=y=2时等号成立.
故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以A,B排除,而C,D均够用,但D剩较多,故选C.
答案:C
6.若a,b,c同号,且≥k,则k的取值范围是.
解析:因为a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3,当且仅当a=b=c时等号成立.
因此k的取值范围是(-∞,3].
答案:(-∞,3]
7.若x>3,则函数f(x)=x-2+
-
的最小值等于.
解析:因为x>3,所以x-3>0,所以f(x)=x-2+
-=x-3+
-
+1≥2-
-
+1=3,当且仅当x-3=
-
,即
x=4时,函数取最小值3.
答案:3
8.若a>b>0,则a+
-
的最小值为.
解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以a+
-=(a-b)+b+
-
≥3-
-
=3,当且仅当a-
b=b=
-
,即a=2,b=1时,取得最小值3.
答案:3
9.某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?
解设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,
则y=
-
=+1≥3,
当且仅当,
即n=10时取等号.
故这种汽车使用10年后报废最合算.
10.导学号35664026已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.
解由平均值不等式,得4a+4b+
≥3=3
(当且仅当a=b=c2时,等号成立).
∵a+b+c=1,
∴a+b=1-c,
∴a+b+c2=c2-c+1=-.
当c=时,a+b+c2取得最小值.
从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.
B组
1.若log x y=-2,则x+y的最小值为()
A. B.
C. D.
解析:由log x y=-2得y=,
因此x+y=x+
≥3,
当且仅当x=时,等号成立.
答案:A
2.若x>0,则f(x)=4-x-的最大值为()
A.4-
B.4-
C.不存在
D.
解析:∵x>0,
∴f(x)=4-x-=4-
≤4-3=4-,
当且仅当x=1时,等号成立.
答案:D
3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()
A.V≥π
B.V≤π
C.V≥π
D.V≤π
解析:如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.
V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.
答案:B
4.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.
解析:因为ab=a+b+3≥2+3,当且仅当a=b时等号成立,
所以ab-2-3≥0,
即(-3)(+1)≥0,
所以-3≥0,
即≥3,故ab≥9.
答案:[9,+∞)
5.设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值是.
解析:因为6=x+3y+4z=+y+y+y+4z
≥6=6,
所以x2y3z≤1,当且仅当=y=4z,
即x=2,y=1,z=时,等号成立,
所以x2y3z的最大值为1.
答案:1
6.某品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h有如下关系:s=x+x2.
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)
解设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h,
根据题意,得x+x2>39.5,
移项、整理,得x2+9x-7 110>0.
因为Δ>0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94.
然后,画出二次函数y=x2+9x-7 110的图像(图略),由图像得不等式的解集为{x|x<-88.94或
x>79.94}.
在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.
7.导学号35664027如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间空白的宽度为5 cm,怎样确定广告的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
解设广告的长和宽分别为y cm,x cm,则每栏的长和宽分别为x-20,-,其中x>20,y>25.
两栏面积之和为2(x-20)·-=18 000,
由此得y=
-
+25.
广告的面积S=xy=x
--+25x,整理得S=
-
+25(x-20)+18 500.
因为x-20>0,
所以S≥2
-
-+18 500=24 500.
当且仅当
-
=25(x-20)时等号成立,
此时有(x-20)2=14 400(x>20),解得x=140,
代入y=
+25,得y=175,
-
即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500,
故当广告的长为175 cm,宽为140 cm时,可使广告的面积最小.。