概率论第七章讲解

7.1
一.点估计
设总体X的分布函数为 F(x; Ө )， 其中Ө为未知参数 (Ө可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本X1,X2,…,Xn
从样本出发构造适当的统计量
T T (X1,, Xn )
作为参数 Ө的估计量，即点估计。 将x1,…,xn 代入估计量，得到Ө的估计值
T (x1,, xn )
2 i
i 1
例6. 设总体X的概率密度如下，其中θ>0 为未知参数,试求θ的矩估计量。
f (x; )
1
x
e , x
2
解：
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
E(X 2)
x2
1
x
e
dx
1
x2
x
e
dx
2
2
2
0
2 2
1 n
n i 1
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 i
ˆ
1 2n
n i 1
X
2 i
例1. 设总体X的分布律如下，其中θ为 未知参数,试求θ的矩估计量。
X1
2
3
P 2 2 (1 ) (1 )2
解：E(X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2
E(X ) 3 2
1 n
n i 1
Xi
X
ˆ 3 X
2
例2. 设总体X~B(n,p)，其中n已知。 试求p的矩估计量。
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
组成 . 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69
估计 为1.68，这是点估计.
估计 在区间[1.57, 1.84]内，这是区间估计.
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这 一枪是猎人射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了极大似 然法的基本思想 .
下面我们再看一个例子,进一步体会极 大似然法的基本思想 .
Ak
1 n
n i 1
X
k i
样本k阶中心矩
Mk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
基本思想是用样本矩代替总体矩 .
2.矩法的步骤
设总体X中有k个未知参数Ө1, Ө2,…, Өk
(1) 计算总体X的 r 阶原点矩E(Xr)，
(r=1,2,…,k);
(2) 用样本r阶原点矩 替换总体r阶原点 矩,列出方程组：
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1,X2,…,Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g( ) .
这类问题称为参数估计.
点估计
参数估计
区间估计
假如我们要估计某队男生的平均身高.
1 (b a)2 1 (a b)2
12
4
aˆ X bˆ X
3(n 1) s2 n
3(n 1) s2 n
例5. 设总体X~E(λ)，其中λ>0为未知参数, 试求λ的矩估计量。
解法一： E(X ) 1 X
ˆ 1
X
解法二： E(X 2)
2
2
1 n
n i 1
X
2 i
ˆ
2n
n
X
E(X )
1 n
n i 1
Xi,
E( X
2)
1 n
n i 1
X 2, i
............
E(X
k
)
1
n
X k,
ni i 1
(3) 解方程组，得 Өr=hr(X1, X2,…, Xn) (r=1,2,…,k);
则以hr(X1, X2,…, Xn)作为Өr的估计量，并 称hr(X1, X2,…, Xn)为Өr的矩估计量,而称 hr(x1, x2,…, xn)为Өr的矩估计值。
矩法
点估计方法
最大似然法
1. 矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
我们知道,服从正态分布N (, 2)的r.vX ,
E( X ) ,由大数定律, 样本体重的平均值
lim
现在我们来介绍参一数类估重计要的统计推断问题
参数在估参计数问估题计是问利题用中从，总假体定抽总样体得分到布的信息 来估形计式总已体知的，某未些知参的数仅或仅者是参一数个的或某几些个函数.
参数. 估计新生儿的体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计降雨量
… …
总体所服从的分布类型已知
参 数 估 计
估计其未知的参数
当总体只含一个未知参数时，用方程
E(X ) X
即可解出未知参数的矩估计量；
当总体只含两个未知参数时，用方程 组
E(X ) X
D( X
)
n
1
S
2
即可解出未 知参数的n矩估计量。
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 .
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
解：E(X)=np.
E(X )
np
1 n
n i 1
Xi
X
pˆ X n
例3. 设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是 未知参数，试求μ,σ2的矩估计量。
解：E(X)=μ, D(X)=σ2.
E(
E(
X X
) 2) 2
1 n
n i 1
2
Xi X 1 n
n i1
X
2 i
ˆ
X
1 n
n i 1
三.极大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
极大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一 起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 .
Xi
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
n 1S2 n
例4. 设总体X~U[a,b]，其中a，b是 未知参数。试求a，b的矩估计量。
解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1
n
n i 1
Xi
E(X )
1 2
(a b)
1
n
n i 1
X
2 i
E(X
2)
D( X ) [E( X )]2
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
|
}1
自然想到把样本体重的平均值作为总体平均
体重的一个估计.
用样本体重的均值 X估计,
类似地，用样本体重的方差 S2估计 2 .
X
1 n
n i 1
Xi,
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
二.矩法
总体k阶原点矩 E( X k )
总体k阶中心矩 EX E(X )k
样本k阶原点矩