新人教版初中数学八年级下册19.2.2第4课时一次函数与实际问题公开课优质课教学设计

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第4课时 一次函数与实际问题
1．根据问题及条件找出能反映出
实际问题的函数；(重点)
2．能利用一次函数图象解决简单
的实际问题，能够将实际问题转化为
一次函数的问题．(重点)

一、情境导入
联通公司手机话费收费有A套餐
(月租费15元，通话费每分钟01元)
和B套餐(月租费0元，通话费每分钟
015元)两种．设A套餐每月话费为
y1(元)，B套餐每月话费为y
2
(元)，月

通话时间为(分钟)．
(1)分别表示出y1与，y2与的函数
关系式；
(2)月通话时间为多长时，A、B两
种套餐收费一样？
(3)什么情况下A套餐更省钱？

二、合作探究
探究点：一次函数与实际问题
【类型一】 利用一次函数解决最
值问题
广安某水果店计划购进甲、
乙两种新出产的水果共140千克，这
两种水果的进价、售价如表所示：

进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)若该水果店预计进货款为
1000元，则这两种水果各购进多少千
克？
(2)若该水果店决定乙种水果的
进货量不超过甲种水果的进货量的3
倍，应怎样安排进货才能使水果店在
销售完这批水果时获利最多？此时利
润为多少元？
解析：(1)根据计划购进甲、乙两
种新出产的水果共140千克，进而利
用该水果店预计进货款为1000元，列
2

出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可． 解：(1)设购进甲种水果千克，则购进乙种水果(140－)千克，根据题意可得5＋9(140－)＝1000，解得＝65，∴140－＝75(千克)． 答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3＋4(140－)＝－＋560∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－≤3，解得≥35∵－1<0，∴W随的增大而减小，则越小W越大．∴当＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)． 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元． 方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 【类型二】 利用一次函数解决有关路程问题
为倡导低碳生活，绿色出行，
某自行车俱乐部利用周末组织“远游
骑行”活动．自行车队从甲地出发，
途经乙地短暂休息完成补给后，继续
骑行至目的地丙地，自行车队出发1h
后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿
自行车队行进路线前往丙地，在丙地
完成2h装卸工作后按原路返回甲地，
自行车队与邮政车行驶速度均保持不
变，并且邮政车行驶速度是自行车队
行驶速度的25倍，如图表示自行车队、
邮政车离甲地的路程y()与自行车队
离开甲地的时间(h)的函数关系图象，
请根据图象提供的信息解答下列各
题：
(1)自行车队行驶的速度是
________/h；
(2)邮政车出发多久与自行车队
首次相遇？
(3)邮政车在返程途中与自行车
队再次相遇时的地点距离甲地多远？
3

解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发ah与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和的坐标，由自行车的速度就可以求出D的坐标，由待定系数法求出B，ED的解析式就可以求出结论． 解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(/h)． (2)由题意得邮政车的速度为24×25＝60(/h)．设邮政车出发ah与自行车队首次相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝错误! 答：邮政车出发错误!h与自行车队首次相遇； (3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝错误!(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为错误!＋2＋1＝错误!(h)，∴B(错误!，135)，(75，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋05＝错误!＋05＝错误!(h)，∴D(错误!，135)．设直线B的解析式为y1＝1＋b1，由题意得错误!解得错误!∴y1＝－60＋450设ED的解析式为
y
2

＝2＋b2，由题意得错误!解得错误!∴
y
2

＝24－12当y1＝y2时，－60＋450＝24

－12，解得＝55y1＝－60×55＋450＝
120
答：邮政车在返程途中与自行车
队再次相遇时的地点距离甲地120
方法总结：本题考查了行程问题
的数量关系的运用，待定系数法求一
次函数的解析式的运用，一次函数与
一元一次方程的运用，解答时求出函
数的解析式是关键．
【类型三】 利用一次函数解决图
形面积问题
如图①，底面积为30c2的空
圆柱形容器内水平放置着由两个实心
圆柱组成的“几何体”，现向容器内
匀速注水，注满为止，在注水过程中，
水面高度h(c)与注水时间t(s)之间的
关系如图②所示．
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请根据图中提供的信息，解答下
列问题：
(1)圆柱形容器的高为多少？匀
速注水的水流速度(单位：c3/s)为多
少？
(2)若“几何体”的下方圆柱的
底面积为15c2，求“几何体”上方圆
柱的高和底面积．
解析：(1)根据图象，分三个部分：
注满“几何体”下方圆柱需18s；注满
“几何体”上方圆柱需24－18＝
6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱
形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注
水的水流速度为c3/s，根据圆柱的体
积公式列方程，再解方程；(2)由图②
知几何体下方圆柱的高为ac，根据圆
柱的体积公式得a·(30－15)＝
18×5，解得a＝6，于是得到“几何
体”上方圆柱的高为5c，设“几何
体”上方圆柱的底面积为Sc2，根据圆
柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24

－18)，再解方程即可．
解：(1)根据函数图象得到圆柱形
容器的高为14c，两个实心圆柱组成的
“几何体”的高度为11c，水从刚满过
由两个实心圆柱组成的“几何体”到
注满用了42－24＝18(s)，这段高度为
14－11＝3(c)．设匀速注水的水流速
度为c3/s，则18·＝30×3，解得＝5，
即匀速注水的水流速度为5c3/s；
(2)由图②知“几何体”下方圆
柱的高为ac，则a·(30－15)＝18×5，
解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱
的高为11－6＝5(c)．设“几何体”上
方圆柱的底面积为Sc2，根据题意得
5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝
24，即“几何体”上方圆柱的底面积
为24c2
方法总结：本题考查了一次函数
的应用：把分段函数图象中自变量与
对应的函数值转化为实际问题中的数
量关系，然后运用方程的思想解决实
际问题．
【类型四】 利用一次函数解决销
售问题
某社区活动中心准备购买10
5

副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配(≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题： (1)分别写出yA、yB与之间的关系式； (2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 解析：(1)根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；(2)分三种情况进行讨论，当
y
A

＝yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分

别求出购买划算的方案；(3)分两种情
况进行讨论计算求出需要的费用，再
进行比较就可以求出结论．
解：(1)由题意得yA＝(10×30＋
3×10)×09＝27＋270；yB＝10×30＋
3(10－20)＝30＋240；
(2)当yA＝yB时，27＋270＝30＋
240，得＝10；当yA＞yB时，27＋270
＞30＋240，得＜10∵≥2，∴2≤＜10；
当yA＜yB时，27＋270＜30＋240，得＞
10；∴当2≤＜10时，到B超市购买
划算，当＝10时，两家超市一样划算，
当＞10时，在A超市购买划算；
(3)由题意知＝15，15＞10，∴只
在一家超市购买时，选择A超市划算，
y
A
＝27×15＋270＝675(元)．在两家超

市购买时，先选择B超市购买10副羽
毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超
市购买剩下的羽毛球：(10×15－
20)×3×09＝351(元)，共需要费用
10×30＋351＝651(元)．∵651元＜
675元，∴最佳方案是先选择B超市购
买10副羽毛球拍，然后在A超市购买
6

130个羽毛球． 方法总结：本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【类型五】 利用图表信息解决实际问题 某工厂生产甲、乙两种不同的产品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产品所需原材料的数量和生产过程中投入的生产成本的关系如表所示： 产 品 甲 乙 原材料数量(吨) 1 2 生产成本(万元) 4 2 若该工厂生产甲种产品吨，乙种产品n吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种产品的利润y(万元)与销售量(吨)之间的函数关系如图所示，全
部销售后获得的总利润为200万元．
(1)求、n的值；
(2)该工厂投入的生产成本是多
少万元？
解析：(1)求出甲、乙两种产品每
吨的利润，然后根据两种原材料的吨
数和全部销售后的总利润，列出关于、
n
的二元一次方程组，求解即可；(2)

根据“生产成本＝甲的成本＋乙的成
本”，列式计算即可得解．
解：(1)由图可知，销售甲、乙两
种产品每吨分别获利6÷2＝3(万元)、
6÷3＝2(万元)．根据题意可得错误!解
得错误!
(2)由(1)知，甲、乙两种产品分
别生产20吨、70吨，所以投入的生产
成本为20×4＋70×2＝220(万元)．
答：该工厂投入的生产成本为220
万元．
方法总结：本题考查了一次函数
的应用，主要利用了列二元一次方程
组解决实际问题，根据表格求出两种
产品每吨的利润，然后列出方程组是
解题的关键．