新人教版初中数学八年级下册19.2.2第4课时一次函数与实际问题公开课优质课教学设计

第4课时 一次函数与实际问题

1．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)

2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点)

一、情境导入

联通公司手机话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟01元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟015元)两种．设A 套餐每月话费为

y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为(分钟)．

(1)分别表示出y 1与，y 2与的函数关系式；

(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？

(3)什么情况下A 套餐更省钱？

二、合作探究

探究点：一次函数与实际问题 【类型一】 利用一次函数解决最值问题

广安某水果店计划购进甲、

乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：

(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？

(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？

解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，列

出等式求出即可；(2)利用两种水果每

千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．

解：(1)设购进甲种水果千克，则购进乙种水果(140－)千克，根据题意可得5＋9(140－)＝1000，解得＝65，∴140－＝75(千克)．

答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；

(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3＋4(140－)＝－＋560∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－≤3，解得≥35∵－1<0，∴W随的增大而减小，则越小W越大．∴当＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)．

答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．

方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．

【类型二】利用一次函数解决有

关路程问题

为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1h 后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的25倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y()与自行车队离开甲地的时间(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：

(1)自行车队行驶的速度是________/h；

(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？

(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？

解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发a h与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和的坐标，由自行车的速度就可以求出D 的坐标，由待定系数法求出B，ED的解析式就可以求出结论．

解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(/h)．

(2)由题意得邮政车的速度为24×25＝60(/h)．设邮政车出发a h与自行车队首次相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝错误!

答：邮政车出发错误!h与自行车队首次相遇；

(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝错误!(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为错误!＋2＋1＝错误!(h)，∴B(错误!，135)，(75，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋05＝错误!＋05＝错误!(h)，∴D(错误!，135)．设直线B的解析式为y1＝1＋b1，由题意得错误!解得错误!∴y1＝－60＋450设ED的解析式为y2

＝

2

＋b2，由题意得错误!解得错误!∴y2＝24－12当y1＝y2时，－60＋450＝24－12，解得＝55y1＝－60×55＋450＝120

答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120 方法总结：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

【类型三】利用一次函数解决图

形面积问题

如图①，底面积为30c2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(c)与注水时间t(s)

之间的关系如图②所示．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：c3/s)为多少？

(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15c2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．

解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注水的水流速度为c3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a c，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5c，设“几何体”上方圆柱的底面积为S c2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．

解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14c，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11c，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(c)．设匀速注水的水流速度为c3/s，则18·＝30×3，解得＝5，即匀速注水的水流速度为5c3/s；

(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a c，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(c)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S c2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24c2

方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．

【类型四】利用一次函数解决销

售问题

某社区活动中心准备购买10