第1章第1节函数的概念
合集下载
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
高数 第一章
i )作图用 ii )单调性 ④奇，偶函数的作用 iii )凹凸性（后续） iV)可以讨论方式根的情况
⑤奇，偶函数的运算性质 i) 有限个奇函数或偶函的和仍为奇（偶)（差不 一定）
ii) “同性”相乘为偶，“异性”相乘为奇 iii) 任意一个对称区间的函数可表达 为一个奇函数和一个偶函数之和：
xaa
ln xyln xln y(x>0, y>0)， O
x ln ln xln y(x>0, y>0)。 -1 y
5 .三角函数 ysin x与ycos x的定义域均为(, )，均以 2p为周期。ysin x为奇函数，ycos x为偶函数。 它们都是有界函数。
1
y=cosx y y=sinx
1
-2
-1
0
1
2
x
4 .对数函数y=logax 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,),图形通过(1, 0)点。当 a>1 时, 函数单调增 加；当 0<a<1时, 函数单调减少。
常用公式： x ln eln x(x>0)， ln x(x>0)，
2 1
1 2 3 y y=log2x y=log10x 4 x y=log0.1x y=log0.5x
第一章
第一节函数
本节重点：
1、函数定义域与表达式求法
2、函数特性（4个）判别
3、区间与邻域的概念
一、 预备知识
1.绝对值:
①运算性质: ②绝对值不等式 :
2、区间与邻域
① 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
开 (a, b) x | a x b 有限区间 闭 a, b x | a x b 区间 半开半闭 a, b x a x b 半无限 a, , (, b) 无限区间 全无限 (-, +)
⑤奇，偶函数的运算性质 i) 有限个奇函数或偶函的和仍为奇（偶)（差不 一定）
ii) “同性”相乘为偶，“异性”相乘为奇 iii) 任意一个对称区间的函数可表达 为一个奇函数和一个偶函数之和：
xaa
ln xyln xln y(x>0, y>0)， O
x ln ln xln y(x>0, y>0)。 -1 y
5 .三角函数 ysin x与ycos x的定义域均为(, )，均以 2p为周期。ysin x为奇函数，ycos x为偶函数。 它们都是有界函数。
1
y=cosx y y=sinx
1
-2
-1
0
1
2
x
4 .对数函数y=logax 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,),图形通过(1, 0)点。当 a>1 时, 函数单调增 加；当 0<a<1时, 函数单调减少。
常用公式： x ln eln x(x>0)， ln x(x>0)，
2 1
1 2 3 y y=log2x y=log10x 4 x y=log0.1x y=log0.5x
第一章
第一节函数
本节重点：
1、函数定义域与表达式求法
2、函数特性（4个）判别
3、区间与邻域的概念
一、 预备知识
1.绝对值:
①运算性质: ②绝对值不等式 :
2、区间与邻域
① 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
开 (a, b) x | a x b 有限区间 闭 a, b x | a x b 区间 半开半闭 a, b x a x b 半无限 a, , (, b) 无限区间 全无限 (-, +)
大学数学第1章：_函数、极限、连续
学过的函数中，奇函数有y＝x、y＝sinx、y＝tanx等， 偶函数有y＝x2、y＝cosx等。 而y＝2x和y＝lgx既不是奇函数，也不是偶函数。
研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶 函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全 貌。
定义1-4 设函数y＝f (x)的定义域为D。如果存在常数
sinx，tanx，cscx为奇函数。cosx,cotx,secx为偶函数。
（6）反三角函数
反正弦函数
y arcsin x
y arcsin
x
反余弦函数
y arccos
x
y arccos
x
反正切函数
y arctan
x
y arctan
x
反余切函数
y arc cot x
T＞0，使得对任一
，都有
，且等式
3、周期性 一定成立；则称函数y＝f (x)是周期函数，T 称为该
函数的周期。
x D
xT D
f (x T ) f (x)
周期函数的周期通常是指它的最小正周期。
例如，y＝sin x和y＝tan x都是周期函数， 前者的周期是2π，后者的周期是π。
4、单调性
和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。
（1）常值函数 y c
y
c x
O
（2）幂函数
y x
( 是常数 )
y
y x
2
y x
y
( 1 ,1 )
1
x
o
y 1 x
1
x
（3）指数函数 y a
高数第一章
极限 第十一节 无穷级数简介
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
高等数学第01章：函数及其性质
果有一个对应法则 ,使得f对于每一个数值 x ,D变量 都y有唯一确定的数值与之对应,则称变 量 是变y量 的函数x ,记为
y f x, x D,
其中 x称为自变量, 称y 为因变量.集合 称D为函数的 定义域,记为 . D f
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0对应的 y 的
x3 y3 1 0 的显函数形式为y 3 1 x3 .而有的
隐函数则不能改写成显函数的形式,如
sinxy ex y 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐
函数的显化.
在函数的定义中,规定了对于变量 的x每一个数 值,变量 有y唯一确定的数值与之对应,这样的函数 称为单值函数;如果变量 有两个y 或更多个确定的 数值与之对应,就称 是 的y 多值x 函数,我们主要研 究单值函数.
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
如函数y sin x 和 y cosx 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法
1.解析法
例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t,下落的距 离为 ,假s定开始下落的时刻为 ,那t 么0 与 s t
之间的依赖关系由下式给出:
s 1 gt2 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
y f x, x D,
其中 x称为自变量, 称y 为因变量.集合 称D为函数的 定义域,记为 . D f
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0对应的 y 的
x3 y3 1 0 的显函数形式为y 3 1 x3 .而有的
隐函数则不能改写成显函数的形式,如
sinxy ex y 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐
函数的显化.
在函数的定义中,规定了对于变量 的x每一个数 值,变量 有y唯一确定的数值与之对应,这样的函数 称为单值函数;如果变量 有两个y 或更多个确定的 数值与之对应,就称 是 的y 多值x 函数,我们主要研 究单值函数.
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
如函数y sin x 和 y cosx 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法
1.解析法
例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t,下落的距 离为 ,假s定开始下落的时刻为 ,那t 么0 与 s t
之间的依赖关系由下式给出:
s 1 gt2 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
高等数学 第一章
x1 ，x2 ，x3 ，，xn ， ，这列数就称为数列，记作{xn}．
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
高中数学必修一第一节第1节 函数的基本概念(一)教案
判断从集合A到集合B在对应关系f下，能否构成一个映射，关键是看集合A中的每 一个元素在f下都能在集合B中找到唯一的元素与之对应．可以允许“多对一”或集合B 中有的元素无A中元素对应． 返回目录
备考指南
基础梳理
函数的表示法
典例研习
考点演练
【例 3】 (2010 年广东云浮市石榴中学模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长， 在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2，S 的最大值为 f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数 u＝f(a)的图象大致是( )
返回目录
备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
两个函数是否是同一函数，关键是看两个函数的定义域和对应关系是否相同， 定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数．特别注意，自变量习惯用x 表示，当然也可以用其他字母表示，这对函数本身无影响，如f(x)＝x＋1与f(t)＝t＋1， g(m)＝m＋1都表示同一函数．
返回目录
备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
质疑探究1：若两个函数的定义域与值域相同，它们是否是同一函数？ 提示：不一定，如f(x)＝x＋2和g(x)＝2x－1的定义域和值域相同，即都为R，但它们不是同 一函数． 2．映射 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元 素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合 B的一个映射． 质疑探究2：映射与函数有什么区别？ 提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数 集，而函数中的两个集合必须是非空数集．
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
第一节函数
x ，D通过映射 f 都有惟一确定的数 与y之 对R 应，
则称 f 为定义在D上的函数f : D R, x y, x D
其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个 根据映射 f 对应于一个y ，记作y =f(x)，称为函数 f 在 x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域
单调增加 (或单调减少).
如果对于区间I上任意两点 x1, x2，当 x1 x2均 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数y=f(x) 在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).
单调函数图形特征: 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；
x r cos t
y
r
s
in
t
, (0 t )
三、函数的特性 1.函数的有界性 定义 设函数y=f (x)的定义域为D, 数集 X D ， 如果存在正数M, 使得对于任意的 x X , 都有不等式 | f ( x ) | M 成立, 则称 f (x)在X上有界, 如果这样的M不 存在, 就称函数 f (x)在X上无界. 注: 如果M为 f (x)的一个界, 易知比 M大的任何一 个正数都是 f (x)的界. 如果f(x)在X上无界, 那么对于任 意给定的正数M, X中总有相应的点 x, 使 | f ( x ) | M
第一章 函 数
第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
第一节 函数的概念 一、函数的概念 二、具有特性的几类函数
第一节 函数的概念
一、函数的概念 常量：如果一个量在某过程中保持不变, 总取同
一值, 则称这种量为常量. 常量通常用a, b, c， 表示.
则称 f 为定义在D上的函数f : D R, x y, x D
其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个 根据映射 f 对应于一个y ，记作y =f(x)，称为函数 f 在 x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域
单调增加 (或单调减少).
如果对于区间I上任意两点 x1, x2，当 x1 x2均 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数y=f(x) 在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).
单调函数图形特征: 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；
x r cos t
y
r
s
in
t
, (0 t )
三、函数的特性 1.函数的有界性 定义 设函数y=f (x)的定义域为D, 数集 X D ， 如果存在正数M, 使得对于任意的 x X , 都有不等式 | f ( x ) | M 成立, 则称 f (x)在X上有界, 如果这样的M不 存在, 就称函数 f (x)在X上无界. 注: 如果M为 f (x)的一个界, 易知比 M大的任何一 个正数都是 f (x)的界. 如果f(x)在X上无界, 那么对于任 意给定的正数M, X中总有相应的点 x, 使 | f ( x ) | M
第一章 函 数
第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
第一节 函数的概念 一、函数的概念 二、具有特性的几类函数
第一节 函数的概念
一、函数的概念 常量：如果一个量在某过程中保持不变, 总取同
一值, 则称这种量为常量. 常量通常用a, b, c， 表示.
高等数学-01第一章 第1节 函数
48
七、复合函数 初等函数
1.复合函数 设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越 广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成 功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分； （2）多元函数微积分；
（3） 无穷级数；
（4） 向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像； 集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数
七、复合函数 初等函数
1.复合函数 设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越 广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成 功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分； （2）多元函数微积分；
（3） 无穷级数；
（4） 向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像； 集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数
高等数学 第一节 函数的概念
3
2.5
y∈[0，π]
2
arccos( x) arccos x
x [1,1].
1.5
π
1
0.5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
1
-0.5
-1
(4)单调性: 是减函数。
yx
o
4
x
y=cosx,x∈[0，π]
y∈[-1，1]
反正切函数y arctan x，定义域为R，值域为(
注意：
复合函数都必须要有内层和外层函数。
2、简单函数：
简单函数即基本初等函数或基本初等函数的四则运算构成的函数。
注意：
复合函数都可以分解为简单函数。
例题1：指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
1、y = cosx
2、y = e
2
3、y = 2 + e
x
sin
1
x
x 2 -1
4、y = arctan 2
2
3
x
-1
-1.5
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
2 2
其图象关于坐标原点对称，
-2
arcsin( x) arcsin x
x [1,1].
(4)单调性:
是增函数。
yx
反余弦函数 y arccos x，定义域为[1,1]，值域为[0, ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
是y cos x的反函数，在定义域上 单调递减，非奇非偶， 无周期
高等数学-第一章-第一节-映射与函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的为函数
当x= 0 当x< 0
例5. 求
解: 当 则
当 则
当 则
反函数
时, 时, 时,
的反函数及其定义域. 定义域为
课后小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
课后习题
1. 设
且
a, b, c 为常数, 且
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 为 f 的逆映射 . 习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
微积分第一章第1节
D f D , R f f ( D ){ y | y f ( x ), xD} R.
函数记号：y g( x ), y( x ), yF ( x )， y y( x ).
函数的两要素:
定义域与对应法则.
约定: 定义域是使算式有意义的一切实数 所组成的集合.
y
y
1 x2 , 1 , 2 1 x
x 3 y , y R.
习惯上, 通常将 x 3 y 写作 y 3 x , x R
一般地, y f ( x ), x D 的反函数记成
1
y f ( x ), x f ( D ).
直接函数与反函数的图形 关于 直线 y x 对称.
y f 1 ( x )
规定 空集为任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A、B是二集合,
I是全集.
并集：A B { x | x A或x B }; 交集：A B { x | x A且x B }; 差集：A \ B { x | x A且x B };
余集：AC I \ A.
例如，
若I R, A { x | 0 x 1},
x—自变量, u—中间变量,
y—因变量 .
例
设 y f ( u)arcsin u, u g( x )2 1 x 2 , 求 f g，并指出其定义域.
解 f g( x ) arcsin 2 1 x 2 ; D [1,1], D [1,1] g f x Dg | x | 1 解 即 , 得D{ x| 3 |x|1}. g ( x )D f |2 1 x 2 |1 2
D [1,1] ；
D (1,1) ；
微积分基础国家开放大学第1章第1节函数的概念
2
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
1 0 x 1 , 求f (0)、f (2)，函数 f ( x)的定义域. 例3 设f ( x) 2 1 x 2
解
f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
当 x1 x2时, y
f x1 f x2
当 x1 x2时, f x1 f x2
y f x
单调增加
y
y f x
单调减少
a O
b
x
a
O
b
x
23
当堂测·查疑缺 1.已知函数f(x)＝－x2，则(
1 2 3
D)
A.f(x)在(－∞，0)上是减函数
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
20
几个特殊函数：取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
1 0 x 1 , 求f (0)、f (2)，函数 f ( x)的定义域. 例3 设f ( x) 2 1 x 2
解
f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
当 x1 x2时, y
f x1 f x2
当 x1 x2时, f x1 f x2
y f x
单调增加
y
y f x
单调减少
a O
b
x
a
O
b
x
23
当堂测·查疑缺 1.已知函数f(x)＝－x2，则(
1 2 3
D)
A.f(x)在(－∞，0)上是减函数
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
20
几个特殊函数：取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
如函数 y x. 3 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q Q Q; Q Q Q ; Q Q 或者Q, 或者Q .
2015年8月24日星期一
天道酬勤
3.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o
教学要求
深刻理解函数概念，熟练掌握基 本初等函数性质及图形，函数性质 及图形结合记忆。（重点）
2015年8月24日星期一
天道酬勤
§1.1函数的概念
数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进 入了数学,辩证法进入数学,微分和积分也就立刻成为必 要了. ---恩格斯 作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系 的反映,在数学中产生了变量和函数的概念,而数学对象 的这种根本扩展就决定了数学的新阶段---变量的数学 过渡. ---亚里山大洛夫
天道酬勤
课程结构
变量
变动观点 对象 工具 基础 相互关系 中心 对象
极限 方法
数学分析
各类 函数 级数论
极限论
微分学
积分学
（单变量和多变量）
2015年8月24日星期一
天道酬勤
第一篇 极 限 论
第一部分 极 限 初 论 （第一、二章）
2015年8月24日星期一
天道酬勤
Chapt 1. 变量与函数 §1. 函数的概念
故
D f : [3,1]
2015年8月24日星期一
天道酬勤 三、函数的一些几何特性
1．函数的有界性:
设f ( x )在数集X上有定义, 若M 0, x X , 有 f ( x) M 成立, 则称函数 f ( x)在X上有界 . 否则称无界 .
y M y=f(x) o x 有界 X o y M
2015年8月24日星期一
r
天道酬勤
定义 设 x和 y 是两个变量, X , Y 是给定的数集，
如果对于每个数 x X , 按照确定的规律 f ，总有
唯一确定的数 y 和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集X叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 X时, 称f ( x0 )为函数在点 x0处的函数值 .
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
X
x
2015年8月24日星期一
天道酬勤
设函数 f ( x)的定义域为 X,
2015年8月24日星期一
天道酬勤
§1.1函数的概念 一、基本概念
1.常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数）,
而数值变化的量称为变量（变数）.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
2015年8月24日星期一
y
4321 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
注意， x R, x [ x] ( x), 其中, [ x]是一整数,
( x)是一个非负小数 ,0 ( x) 1.
7 7 [ ] 3, ( ) 0.5 2 2 [2.16] 3, (2.16) 0.84
(3) 定义中， 对应规律f是抽象的， 只有在具体函数 中才是具体的 .
2015年8月24日星期一
天道酬勤
(4) 函数表示法 : 是用于确定 X Y的单值对应规律的方法 ， 常见有公式法 (解析法 )、 列表法 、 图象法等 .
几个特殊的函数举例(结合图形记住)
例 1. 常值函数y f ( x) C, x (a, b), C const.
函数值全体组成的数集 f ( X ) { y y f ( x), x X } Y称为函数的值域 .
2015年8月24日星期一
天道酬勤
函数的两要素: 定义域与对应规律.
( (
x
y
X
对应法则 f
x0 )
f ( x0 )
自变量
Y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
2015年8月24日星期一
a
b
x
天道酬勤
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a , ) { x a x }
( , b ) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度: b-a
1 x 2 , x 0 例2. 分段函数y f ( x) 0, x0 1 x 2 , x 0
f (1) 0, f (0) 0, f (1) 2
2015年8月24日星期一
天道酬勤
例3. “y 是x的最大整数 部分”确定了一个函数 y=[x], x R 称为取整函数.
x a ( a 0) x a ( a 0)
2015年8月24日星期一
a x a;
x a 或 x a;
天道酬勤
二、函数概念 例 圆内接正多边形的周长随边数n的变化规律
l3
l4
l5
l6
O
ln 2nr sin
n
圆内接正n 边形
n
n 3 ,4 ,5 ,
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
201 : (1,1)
天道酬勤
关于函数定义的几点说明:
(1) 函数f与函数值f ( x )的区别 . 函数f是X到Y的一个单值对应 (映射). 即
f x X 唯一一个y Y ;
§2. 复合函数和反函数
§3. 基本初等函数 §4. 习题课
2015年8月24日星期一
天道酬勤
教学目的
本章通过对变量与函数等基本概 念及其性质的复习与深化讨论，使学 生对函数、基本初等函数、初等函数 及其性质有全面的理解和掌握。为后 面进一步学习讨论奠定基础。
2015年8月24日星期一
天道酬勤
a
0
a
a
x
点a的去心的邻域
O ( a, ) {x 0 x a }.
2015年8月24日星期一
天道酬勤
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
5.绝对值:
( a 0)
a a ; b b
绝对值不等式:
a b a b a b.
2015年8月24日星期一
天道酬勤
当 t (,) 时, U 0.
U U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2
t
2E t , t [ 0 , ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0, t ( ,)
凡能由方程 F ( x, y) 0确 定 的 函 数 关 系 ,称为隐函数 . 注 : 一 个 方 程 一 般 不 一 定是 就一 个 隐 函 数 .
2015年8月24日星期一
天道酬勤
例7. 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
反之, 一个y Y可能对应多个 x X， 例: y sin x, X ( ,),Y f ( X ) [ 1,1] 而函数值f ( x )是一个数值 .
2015年8月24日星期一
天道酬勤
(2) 给定一个函数一定要指 出其定义域 .
定义域是使y f ( x)有意义的实数 x的集合 X {x | f ( x) R}. 然而, 函数的定义域和值域 还要视实际问题的意义 而定. 1 2 1 例 :自由落体公式 S gt , t [0, T ], 值域[0， gT 2 ]; 2 2 从抽象的函数看 , t R, 值域[0， ].
2015年8月24日星期一
天道酬勤
例5. 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
2015年8月24日星期一
天道酬勤
例6. 函数有时可由方程确定. 如
方程 x sin x y 1 0, 得 y 1 x sin x. Kepler 方程 y x sin y 0, (0 1 为常数) , 确定了一个隐函数 y y ( x ).
注意:有时常用X,Y等表示不指明是开的或闭的区间.
2015年8月24日星期一
天道酬勤
4.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{x x a }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
O(a, ) {x a x a }.
或者虽然定义域 X相 同, 但 至 少 存 在 一 个x X , s.t f ( x) g ( x). 注：分清和“函数值的相等与不等”。
x sin x 例 : y sin x 和 y 不相等 . x 1 sin 2 x cos2 x y 和 y 相等 . x x
2015年8月24日星期一
o
x
X
性质：平面点集G能表示一个函数 y f ( x)
任何一条与 y轴平行的直线与 G至多有一个公共点 .