配套K12(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题 理
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 含答案7
专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'=0,则a=()A.-1B.-2C.1D.2w3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.fB.f-C.f--D.f--4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-B.C.2D.55.(2018全国Ⅲ,理14)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f(x)=a e x++b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.8.设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.9.(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;<a-2.(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:--10.已知函数f(x)=x3+-x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.二、思维提升训练11.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是() A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3)D.e2f(2)≤e3f(3)12.已知f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数,对任意实数x,都有f(x)<f'(x),则不等式f(m+1)<e m+1f的解集为.13.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x>0时,若f(x)>恒成立,求整数k的最大值.14.已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥-.15.已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.D解析因为f'(x)=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a≠1,则f'(1)=-,所以f'(x)=-又因为f'=0,所以-+2=0,解得a=2.故选D.2.D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.3.C解析构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,∴函数F(x)在R上为单调递增函数.->0,∴F->F(0).∵F(0)=f(0)=-1,∴f-->-1,即f---1=-,∴f--,故C错误.4.C解析依题意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-,-2×3=,则b=-,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-a=-81,解得a=2.故选C.5.-3解析设f(x)=(ax+1)e x,可得f'(x)=a·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x,∴f(x)=(ax+1)e x在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.6.3x-y-2=0解析y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min=3;当x=-1时,y=-5.故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.7.解(1)f'(x)=a e x-当f'(x)>0,即x>-ln a时,f(x)在区间(-ln a,+∞)内单调递增;当f'(x)<0,即x<-ln a时,f(x)在区间(-∞,-ln a)内单调递减.①当0<a<1时,-ln a>0,f(x)在区间(0,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(-ln a)=2+b;②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意f'(2)=a e2-,解得a e2=2或a e2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=故a=,b=8.解(1)因为f(x)=x e a-x+bx,所以f'(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,-即----解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=x e2-x+e x.由f'(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).9.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=--①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减.②若a>2,令f'(x)=0,得x=--或x=-当x ---时,f'(x)<0;当x ---时,f'(x)>0.所以f(x)在---内单调递减,在---内单调递增.(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a>2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2lnx2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)内单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.10.解(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当--解得0<a<所以a的取值范围是(3)当a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在区间[-3,-1]上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在区间[t,-1]上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减.因此f(x)在区间[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-,最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),则m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因为f(t)在区间[-3,-2]上单调递增,所以f(t)≤f(-2)=-故g(t)在区间[-3,-2]上的最小值为g(-2)=--②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.因为f(x)在区间[-2,-1],[1,2]上单调递增,所以f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).因为f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-所以g(t)=M(t)-m(t)=综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为二、思维提升训练11.A解析令g(x)=e x f(x),则g'(x)=e x(f(x)+f'(x))<0,所以g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.12.(-∞,-2)解析若g(x)=,则g'(x)=->0,所以g(x)在R上为增函数.又不等式f(m+1)<e m+1f等价于,即g(m+1)<g,所以m+1<,解得m<-2.13.解(1)由f(x)=,知x∈(-1,0)∪(0,+∞).所以f'(x)=-令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),则h'(x)=1+ln(x+1).令h'(x)=0,得x=-1,易得h(x)在区间--内单调递减,在区间-内单调递增.所以h(x)min=h-=1->0,∴f'(x)<0.故f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,+∞).(2)当x>0时,f(x)>恒成立,则k<(x+1)f(x).令g(x)=(x+1)f(x)=,则g'(x)=--令φ(x)=1-x+ln(x+1)(x>0)⇒φ'(x)=-<0,所以φ(x)在区间(0,+∞)内单调递减.又φ(2)=ln 3-1>0,φ(3)=2ln 2-2<0,则存在实数t∈(2,3),使φ(t)=0⇒t=1+ln(t+1).所以g(x)在区间(0,t)内单调递减,在区间(t,+∞)内单调递增.所以g(x)min=g(t)==t+1∈(3,4),故k max=3.14.解(1)因为f(1)=1-=0,所以a=2.此时f(x)=ln x-x2+x,x>0.则f'(x)=-2x+1=-(x>0).令f'(x)<0,则2x2-x-1>0.又x>0,所以x>1.所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞).(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1,则g'(x)=-ax+(1-a)=--当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在区间(0,+∞)内是增函数,又g(1)=ln 1-a×12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时,g'(x)=--=--(x>0),令g'(x)=0,得x=所以当x时,g'(x)>0;当x时,g'(x)<0,因此函数g(x)在x内是增函数,在x内是减函数.故函数g(x)的最大值为g=ln a+(1-a)+1=-ln a.令h(a)=-ln a,因为h(1)=>0,h(2)=-ln 2<0,又h(a)在a∈(0,+∞)内是减函数,且a为整数, 所以当a≥2时,h(a)<0.所以整数a的最小值为2.(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x-ax2+x≤ax-1在区间(0,+∞)内恒成立, 问题等价于a在区间(0,+∞)内恒成立.令g(x)=,因为g'(x)=--,令g'(x)=0,得-x-ln x=0.设h(x)=-x-ln x,因为h'(x)=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,不妨设-x-ln x=0的根为x0.当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)内是增函数;在x∈(x0,+∞)内是减函数.所以g(x)max=g(x0)=因为h=ln 2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此时1<<2,即g(x)max∈(1,2).所以a≥2,即整数a的最小值为2.(3)证明:当a=-2时,f(x)=ln x+x2+x,x>0.由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,得ln x1++x1+ln x2++x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-ln t,则φ'(t)=-可知,φ(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x2-或x1+x2--(舍去).15.解(1)由题意f(π)=π2-2,又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(e x-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.①当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;②当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.(ⅰ)当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;(ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].综上所述:当a≤0时,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0<a<1时,函数h(x)在区间(-∞,ln a)和区间(0,+∞)上单调递增,在区间(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>1时,函数h(x)在区间(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在区间(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].。
2019年高考数学(理科,天津课标版)大二轮复习：综合能力训练 含答案
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=-,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=--若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.-17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A--,B--,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列-的前3项和,而---,即S n=-故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则--=0,即--由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,--=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则-所以即=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-π.12.2解析∵4ρcos-+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件--作出可行域如图,联立-解得A(3,2),-的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=--=1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].----=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n=-=1+-设c n=-,且前n项和为T n,则T n=+…+-,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+---=2-故T n=4--,S n=n+4--17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(λ,-λ,1).则由可得-同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是-,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=-①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=->0,当x-时,f'(x)<0,则f(x)在区间-内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=-<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得--<ln由于n∈N*,则----<ln<e.。
2019年高考数学(理科)二轮复习(天津课标版)题型练Word版含答案2
题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.(2018浙江,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π3.已知sin θ=-,cos θ=-,则tan等于()A.--B.--C.D.54.已知实数x,y满足约束条件-则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-155.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-666.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.157.(2018全国Ⅰ,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.8.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=69.已知-=1+i(i为虚数单位),则复数z=.10.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.11.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.12.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1,则直线截圆C所得的弦长是.13.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.14.已知直线y=mx与函数f(x)=-的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-12.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()4.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=5.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.36.在△ABC中,AC=BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.7.已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)8.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列9.设集合A={x|x+2>0},B=-,则A∩B=.10.已知x,y满足约束条件--则z=-2x+y的最大值是.11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.12.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.13.下边程序框图的输出结果为.14.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)##题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.C解析∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.2.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.3.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.4.B解析实数x,y满足约束条件-对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.5.D解析因为a n=1-2n,S n=--=-n2,=-n,所以数列的前11项和为--=-66.故选D.6.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.7.A解析满足题设的平面α可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A1BC1平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=[(1-a)+a+a]2-3(a)2(-2a2+2a+1),所以当a=时,S max=-。
【K12教育学习资料】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 题型练1 选择题、填空题综
天津市2019年高考数学二轮复习 题型练1 选择题、填空题综](https://img.taocdn.com/s3/m/1273b30467ec102de2bd8964.png)
题型练 1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.(2018北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.44.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.55.(2018全国Ⅰ,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.57.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-98.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()9.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=.10.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.11.的展开式中的常数项为.(用数字表示)12.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.13.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.14.在平面直角坐标系中,已知圆C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin.若直线l与圆C相切,则实数a=.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.(2018北京,理8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A3.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.55.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.6.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()7.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B.C. D.8.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1D.9.(2018天津,理9)i是虚数单位,复数=.10.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.11.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.12.一条曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则切线l的极坐标方程为.13.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.14.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.##题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.A解析∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.2.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.3.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.4.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+25.A解析设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.7.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-8.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.9.1-2i解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i.10解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=11解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为12解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=613解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=14.-1±解析由题意知圆C的普通方程为(x-a)2+y2=1,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.由题意知=1,解得a=-1±思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.D解析若(2,1)∈A,则有化简得即a>所以当且仅当a时,(2,1)∉A,故选D.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.5.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=6.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.7.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),( 2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.8.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.9.4-i解析=4-i.10.-7解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.11.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.12.ρsin13解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=,令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为14.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 6
题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A 1A=6,且A 1A ⊥底面ABCD.点P ,Q 分别在棱DD 1,BC 上.(1)若P 是DD 1的中点,证明:AB 1⊥PQ ;(2)若PQ ∥平面ABB 1A 1,二面角P-QD-A 的余弦值为,求四面体ADPQ 的体积.372.(2018江苏,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.3.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.2(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D?5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.6.已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ,BA=AD=DC=BC=a ,E 是BC 的中点,将△BAE 沿AE 翻折成△12B 1AE ,使平面B 1AE ⊥平面AECD ,F 为B 1D 的中点.(1)求四棱锥B 1-AECD 的体积;(2)证明:B 1E ∥平面ACF ;(3)求平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值.题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.解由题设知,AA 1,AB ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B 1(3,0,6),D (0,6,0),D 1(0,3,6),Q (6,m ,0),其中m=BQ ,0≤m ≤6.(1)证明:若P 是DD 1的中点,则P (0,92,3),PQ =(6,m -92,-3).又=(3,0,6),于是=18-18=0,AB 1AB 1·PQ 所以,即AB 1⊥PQ.AB 1⊥PQ (2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD 内的两个不共线向量.DQ DD 1设n 1=(x ,y ,z )是平面PQD 的一个法向量,则{n 1·DQ =0,n 1·DD 1=0,即{6x +(m -6)y =0,-3y +6z =0.取y=6,得n 1=(6-m ,6,3).又平面AQD 的一个法向量是n 2=(0,0,1),所以cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=31·(6-m )2+62+32= .3(6-m )2+45而二面角P-QD-A 的余弦值为,因此,解得m=4或m=8(舍去),此时Q (6,4,0).373(6-m )2+45=37设=(0<λ≤1),而=(0,-3,6),由此得点P (0,6-3λ,6λ),所以=(6,3λ-2,-6λ).DP λDD 1DD 1PQ 因为PQ ∥平面ABB 1A 1,且平面ABB 1A 1的一个法向量是n 3=(0,1,0),所以n 3=0,即3λ-2=0,亦即PQ ·λ=,从而P (0,4,4).23于是,将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ ,则其高h=4.故四面体ADPQ 的体积V=S △ADQ ·h=6×6×4=24.1313×12×2.解 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以{}为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.OB ,OC ,OO 1因为AB=AA 1=2,所以A (0,-1,0),B (,0,0),C (0,1,0),A 1(0,-1,2),B 1(,0,2),C 1(0,1,2).33(1)因为P 为A 1B 1的中点,所以P ,(32,-12,2)从而=(0,2,2),BP =(-32,-12,2),AC 1故|cos <>|=BP ,AC 1|BP AC ||BP ||AC 1||-1+4|5×22=31020.因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q 为BC 的中点,所以Q ,(32,12,0)因此=(0,2,2),=(0,0,2).AQ =(3,3,0),AC 1CC 1设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,则{AQ ·n =0,AC 1·n =0,即{3x +32y =0,2y +2z =0.不妨取n =(,-1,1).3设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,则sin θ=|cos <,n >|=,CC 1|CC ·n ||CC 1||n |=25×2=55所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55.3.(1)证法一 如图,取AE 的中点H ,连接HG ,HD ,又G 是BE 的中点,所以GH ∥AB ,且GH=AB.12又F 是CD 的中点,所以DF=CD.12由四边形ABCD 是矩形,得AB ∥CD ,AB=CD ,所以GH ∥DF ,且GH=DF ,从而四边形HGFD 是平行四边形,所以GF ∥DH.又DH ⊂平面ADE ,GF ⊄平面ADE ,所以GF ∥平面ADE.证法二 如图,取AB 中点M ,连接MG ,MF.又G 是BE 的中点,可知GM ∥AE.又AE ⊂平面ADE ,GM ⊄平面ADE ,所以GM ∥平面ADE.在矩形ABCD 中,由M ,F 分别是AB ,CD 的中点,得MF ∥AD.又AD ⊂平面ADE ,MF ⊄平面ADE ,所以MF ∥平面ADE.又因为GM ∩MF=M ,GM ⊂平面GMF ,MF ⊂平面GMF ,所以平面GMF ∥平面ADE.因为GF ⊂平面GMF.所以GF ∥平面ADE.(2)解 如图,在平面BEC 内,过点B 作BQ ∥EC.因为BE ⊥CE ,所以BQ ⊥BE.又因为AB ⊥平面BEC ,所以AB ⊥BE ,AB ⊥BQ.以B 为原点,分别以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,BE ,BQ ,BA 则A (0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1).因为AB ⊥平面BEC ,所以=(0,0,2)为平面BEC 的法向量.BA 设n =(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量.又=(2,0,-2),=(2,2,-1),AE AF 由{n ·AE =0,n ·AF =0,得{2x -2z =0,2x +2y -z =0,取z=2,得n =(2,-1,2).从而cos <n ,>=所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为BA BA |n |·|BA |43×2=23.23.4.(1)证明 如图建立空间直角坐标系.设棱长AA 1=a ,则D (0,0,a ),P (0,1,a+1),B (3,2,a ),C (0,2,a ).于是=(0,-1,-1),=(3,1,-1),=(0,1,-1),所以=0,=0.PD PB PC PD ·PB PD ·PC 所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和PB ,由线面垂直的判定定理,得PD ⊥平面PBC.(2)解 A (3,0,a ),=(3,-1,-1),PA而平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1),所以cos <,n 1>==-PA -111×11111.所以PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为1111.所以PA 与平面ABCD 所成角的正切值为1010.(3)解 因为D (0,0,a ),B 1(3,2,0),A (3,0,a ),所以(3,0,0),=(0,2,-a ).DA AB 1设平面AB 1D 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),则有令z=2,可得平面AB 1D 的一个法{DA ·n 2=3x =0,AB 1·n 2=2y -az =0,向量为n 2=(0,a ,2).若要使得PC ∥平面AB 1D ,则要n 2,PC ⊥即n 2=a-2=0,解得a=2.PC ·所以当AA 1=2时,PC ∥平面AB 1D.5.解 如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A (0,0,0),D (2,0,0),C (0,1,0),B ,P (0,0,2).(-12,12,0)(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0).于是=0,所以PC ⊥AD.PC AD PC ·AD (2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD 的法向量n =(x ,y ,z ).PC CD 则不妨令z=1,{n ·PC =0,n ·CD =0,即{y -2z =0,2x -y =0.可得n =(1,2,1).可取平面PAC 的法向量m =(1,0,0).于是cos <m ,n >=,m ·n|m |·|n |=16=66从而sin <m ,n >=306.所以二面角A-PC-D 的正弦值为306.(3)设点E 的坐标为(0,0,h ),其中h ∈[0,2].由此得BE =(12,-12,ℎ).又=(2,-1,0),故cos <>=,CD BE ,CD BE CD|BE |·|CD |=3212+ℎ2×5=310+20ℎ2所以=cos 30°=,解得h=,即AE=310+20ℎ23210101010.6.(1)解 取AE 的中点M ,连接B 1M.因为BA=AD=DC=BC=a ,△ABE 为等边三角形,所以B 1M= a.1232又因为平面B 1AE ⊥平面AECD ,所以B 1M ⊥平面AECD ,所以V=a×a×a×sin 13×32π3=a 34.(2)证明 连接ED 交AC 于点O ,连接OF ,因为四边形AECD 为菱形,OE=OD ,所以FO ∥B 1E ,所以B 1E ∥平面ACF.(3)解 连接MD ,则∠AMD=90°,分别以ME ,MD ,MB 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则E ,C ,A ,D ,B 1,(a 2,0,0)(a ,32a ,0)(-a 2,0,0)(0,32a ,0)(0,0,32a )所以,EC =(a 2,32a ,0),EB 1=(-a 2,0,3a 2)AD =(a 2,3a 2,0),AB 1=(a 2,0,3a 2).设平面ECB 1的法向量为u =(x ,y ,z ),则{a 2x +32ay =0,-a 2x +32az =0,令x=1,u =,同理平面ADB 1的法向量为v =,(1,-33,33)(1,-33,-33)所以cos <u ,v >=,故平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值为1+13-131+13+13×1+13+13=3535.。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案2
{ ������ + ������ - 11 ≥ 0, 3������ - ������ + 3 ≥ 0, 12.设不等式组 5������ - 3������ + 9 ≤ 0表示的平面区域为 D,若指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点,
则 a 的取值范围是 .
二、思维提升训练
17.若函数 f(x)= ������ - 1 ·lg x 的值域为(0,+∞),则实数 a 的最小值为 .
{
������ ≥ 2, ������ - 2������ + 4 ≥ 0, 2������ - ������ - 4 ≤ 0,
18.已知存在实数 x,y 满足约束条件 ������2 + (������ - 1)2 = ������2(������ > 0),则 R 的最小值是 .
+ +
1
1表示两点(x,y)与(-1,-1)所确定直线的斜率,由图知,kmin=kPB=
[ ] [ ] -
-
1 1
-
0 3
=
1
4,kmax=kPA=
-
1 1
-
4
������
0=5,所以������
+ +
1
1的取值范围是
14,5
,������
+ 2������ + ������ + 1
3
的取值范围是
32,11
=
-
3,解得
a=-1
或
1
a=3(舍去),∴a=-1,b=-3.
∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
2019年高考数学(理科)二轮复习(天津课标版)专题能力训练Word版含答案7
专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'1=0,则a=()A.-1B.-2C.1D.2w3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.f1<1B.f1>1k-1C.f1k-1<1k-1D.f1k-1>kk-14.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.1 3C.2D.55.(2018全国Ⅲ,理14)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f(x)=a e x+1x+b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3x,求a,b的值.8.设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.9.(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=1-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;<a-2.(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x210.已知函数f(x)=1x3+1-a x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.二、思维提升训练11.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是() A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3)D.e2f(2)≤e3f(3)12.已知f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数,对任意实数x,都有f(x)<f'(x),则不等式的解集为.e m2f(m+1)<e m+1f m213.已知函数f(x)=1+ln(x+1).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x>0时,若f(x)>k恒成立,求整数k的最大值.14.已知函数f(x)=ln x-1ax2+x,a∈R.(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥5-1.15.已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.D 解析 因为f'(x )=af'(1)+1x ,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a ≠1,则f'(1)=11-a ,所以f'(x )=a 1-a +1x .又因为f' 12 =0,所以a 1-a +2=0,解得a=2.故选D.2.D 解析 设导函数y=f'(x )的三个零点分别为x 1,x 2,x 3,且x 1<0<x 2<x3.所以在区间(-∞,x 1)和(x 2,x 3)上,f'(x )<0,f (x )是减函数,在区间(x 1,x 2)和(x 3,+∞)上,f'(x )>0,f (x )是增函数,所以函数y=f (x )的图象可能为D,故选D .3.C 解析 构造函数F (x )=f (x )-kx ,则F'(x )=f'(x )-k>0,∴函数F (x )在R 上为单调递增函数.∵1k -1>0,∴F 1k -1>F (0). ∵F (0)=f (0)=-1,∴f1k -1 −k k -1>-1, 即f 1k -1 >k k -1-1=1k -1,∴f 1k -1 >1k -1,故C 错误.4.C 解析 依题意得f'(x )=3ax 2+2bx+c ≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b 3a ,-2×3=c 3a ,则b=-3a ,c=-18a. 函数f (x )在x=3处取得极小值,于是有f (3)=27a+9b+3c-34=-115,则-81a=-81,解得a=2.故选C.5.-3 解析 设f (x )=(ax+1)e x ,可得f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x , ∴f (x )=(ax+1)e x 在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.6.3x-y-2=0 解析 y'=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min =3;当x=-1时,y=-5. 故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.7.解 (1)f'(x )=a e x -1x .当f'(x )>0,即x>-ln a 时,f (x )在区间(-ln a ,+∞)内单调递增;当f'(x )<0,即x<-ln a 时,f (x )在区间(-∞,-ln a )内单调递减.①当0<a<1时,-ln a>0,f (x )在区间(0,-ln a )内单调递减,在区间(-ln a ,+∞)内单调递增,从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (-ln a )=2+b ;②当a ≥1时,-ln a ≤0,f (x )在区间[0,+∞)内单调递增,从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (0)=a+1a +b.(2)依题意f'(2)=a e 2-1a e 2=32,解得a e 2=2或a e 2=-12(舍去). 所以a=22,代入原函数可得2+1+b=3,即b=1.故a=22,b=1.8.解 (1)因为f (x )=x e a-x +bx ,所以f'(x )=(1-x )e a-x +b.依题设, f (2)=2e +2,f '(2)=e -1,即 2e a -2+2b =2e +2,-e a -2+b =e -1,解得a=2,b=e . (2)由(1)知f (x )=x e 2-x +e x.由f'(x )=e 2-x (1-x+e x-1)及e 2-x >0知,f'(x )与1-x+e x-1同号.令g (x )=1-x+e x-1,则g'(x )=-1+e x-1.所以,当x ∈(-∞,1)时,g'(x )<0,g (x )在区间(-∞,1)上单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,g (x )在区间(1,+∞)上单调递增.故g (1)=1是g (x )在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g (x )>0,x ∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x )>0,x ∈(-∞,+∞).故f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).9.(1)解 f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=-12-1+a =-x 2-ax +12. ①若a ≤2,则f'(x )≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'(x )=0,所以f (x )在(0,+∞)内单调递减.②若a>2,令f'(x )=0,得x=a - a 2-42或x=a + a 2-42. 当x ∈ 0,a - a 2-42 ∪ a + a 2-42,+∞ 时,f'(x )<0;。
(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题 理
题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题1.(2018天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.4.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|= b.由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=所以,k的值为2.解 (1)由题意得解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=Δ>0⇒4k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2+kt+t2=因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2==0,所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=因为直线PD与直线l垂直,所以k PD=-,得由解得当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.3.解 (1)设F(c,0),由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=因此直线MH的方程为y=-x+设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M≥1,即1,解得k≤-,或k所以,直线l的斜率的取值范围为4.(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-,x1x2=直线PA的方程为y-2=(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为y M=+2=+2.同理得点N的纵坐标为y N=+2.由==,得λ=1-y M,μ=1-y N.所以===2.所以为定值.5.解由题知F设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=由题设可得2|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.解 (1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 1
题型练1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.(2018北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )A.1B.2C.3D.44.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )555A.2+B.4+C.2+2D.55.(2018全国Ⅰ,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.函数f (x )=x cos x 2在区间[0,2]上的零点的个数为( )A .2B .3C .4D .57.如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则()·的最小值为( )PA +PB PCA .B .9C .-D .-992928.函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]上的图象大致为( )9.若复数z 满足2z+=3-2i,其中i 为虚数单位,则z= . z 10.已知圆(x-2)2+y 2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e= .x 2a 2+y 2b 211.的展开式中的常数项为 .(用数字表示)(x -13x )412.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6,S 6= . 13.曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为 .14.在平面直角坐标系中,已知圆C 的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的{x =a +cos θ,y =sin θ非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin .若直线l 与圆C 相切,则实数(θ-π4)=22a= .思维提升训练1.设集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={x|x 2-1<0},则A ∪B=( )A .(-1,1)B .(0,1)C .(-1,+∞)D .(0,+∞)2.(2018北京,理8)设集合A={(x ,y )|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则( )A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤时,(2,1)∉A323.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )A.a+<log 2(a+b )1b <b 2aB.<log 2(a+b )<a+b 2a 1bC.a+<log 2(a+b )<1b b 2aD.log 2(a+b )<a+1b <b 2a4.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x 的值可能为( )12A .-1B .0C .1D .55.已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C 的离心率为x 2a 2‒y 2b 2( )A .B .C .D .352526.函数y=x sin x 在[-π,π]上的图象是( )7.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m ,n ,且两次结果相互独立,互不影响.记m 2+n 2≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( )A. B.38316C. D.π8π168.已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心,∠A=60°,=2m ·,则m 的值为( )cos Bsin C ·AB +cos Csin B ·AC AOA .B .322C .1D .129.(2018天津,理9)i 是虚数单位,复数= .6+7i1+2i 10.若变量x ,y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为 .{x +y ≥-1,2x -y <1,y ≤1,11.在平面直角坐标系中,设直线l :kx-y+=0与圆O :x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,,若点2OM =OA +OB M 在圆O 上,则实数k= . 12.一条曲线C 的参数方程为(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴{x =2cos t ,y =2sin t的非负半轴为极轴建立极坐标系,则切线l 的极坐标方程为 .13.如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD=DA ,PB=BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是 .14.已知等差数列{a n }前n 项的和为S n ,且满足=3,则数列{a n }的公差为 .S 55‒S 22##题型练1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.A 解析 ∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A ∩B={0,1}.2.C 解析 特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,12因为,所以A 错;3>2因为3>2,所以B 错;2=183=12因为log 3=-log 32>-1=log 2,所以D 错;1212因为3log 2=-3<2log 3=-2log 32,所以C 正确.故选C .12123.B 解析 由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b 不成立,k=1,a=-2,a=b 不成12立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k ,则k=2,故选B .4.C 解析 由三视图还原几何体如图.∴S 表面积=S △BCD +2S △ACD +S △ABC=2×2+21+212××12×5×12××5=2+=2+25+55.5.A 解析 设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A 不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C 正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A .6.A 解析 令f (x )=0,即x cos x 2=0,得x=0或cos x 2=0,则x=0或x 2=k π+,x ∈Z .π2∵x ∈[0,2],∴x 2∈[0,4],得k 的取值为0,即方程f (x )=0有两个解,则函数f (x )=x cos x 2在区间上的零点的个数为2,故选A .7.C 解析 =2,∵PA +PB PO ∴()=2=-2||·||.PA +PB ·PC PO ·PC PO PC又||+||=||=3≥||·||,PO PC OC PO PC ≤94∴()-故答案为-PA +PB ·PC ≥92.92.8.C 解析 由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在(0,π]上的极12大值点为,靠近π,排除D .2π39.1-2i 解析 设z=a+b i(a ,b ∈R ),则2z+=3a+b i =3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i .z 10 解析 因为圆(x-2)2+y 2=1与x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=.13ca =13.11 解析 T k+1=x 4-k (-1)k x 4-2k (-1)k ,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为.23C k 4(13)k (1x )k =C k 4(13)k 23.12 解析 将正六边形分割为6个等边三角形,.332则S 6=6×(12×1×1×sin60°)=332.13 解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x 2与y=x 的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴.16影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x 2)d x={y =x 2,y =x ,得{x =0,y =0或{x =1,y =1.∫10(12x 2-13x 3)|10=16.14.-1± 解析 由题意知圆C 的普通方程为(x-a )2+y 2=1,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0.2由题意知=1,解得a=-1±|a +1|12+(-1)22.思维提升训练1.C 解析 A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A ∪B={x|x>-1},选C .2.D 解析 若(2,1)∈A ,则有化简得即a>{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,{a >32,a ≥0,32.所以当且仅当a 时,(2,1)∉A ,故选D .≤323.B 解析 不妨令a=2,b=,则a+=4,,log 2(a+b )=log 2(log 22,log 24)=(1,2),即<log 2(a+b )<a+121b b 2a =1852∈b2a 故选B .1b .4.C 解析 由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x >4,若输出的{sin (π6x ),x ≤2,2x ,x >2,y=,则sin ,结合选项可知选C .12(π6x )=125.C 解析 ∵双曲线C :=1(a>0,b>0)的焦点在x 轴上,∴其渐近线方程为y=±x.x 2a2‒y 2b2ba∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,∴ba 即b 2=4a 2,c 2-a 2=4a 2,c 2=5a 2,=5,,双曲线的离心率e=∴c 2a2ca =55.6.A 解析 容易判断函数y=x sin x 为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,π2可排除C .故选A .7.A 解析 根据要求进行一一列举,考虑满足事件A 的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A 发生的概率为P (A )=,故选A .616=388.A 解析 如图,当△ABC 为正三角形时,A=B=C=60°,取D 为BC 的中点,,则有=2m ,AO =23AD 13AB +13AC ·AO )=2m ,∴13(AB +AC ×23AD 2,∴m=,故选A .∴13·AD =43m AD 329.4-i 解析 =4-i .6+7i1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i +7i +145=20-5i510.-7 解析 画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y 得y=3x-z ,依题意,在可行域内平移直线l 0:y=3x ,当直线l 0经过点A 时,直线l 0的截距最大,此时,z 取得最小值.由则A (-2,1),故z 的最小值为3×(-2)-1=-7.{y =1,x +y +1=0,得{x =-2,y =1,11.±1 解析 如图,,则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形,此时,点O 到AB 距离为1.OM =OA +OB 由=1,解得k=±1.21+k 212.ρsin (θ+π4)=213 解析 由题意易知△ABD ≌△PBD ,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2.123.设AD=x ,则0≤x ≤2,CD=2-x ,在△ABD 中,由余弦定理知BD=334+x 2-23x =设△PBD 中BD 边上的高为d ,显然当平面PBD ⊥平面CBD 时,四面体PBCD 的体积最1+(x -3)2.大,从而V P-BCD d×S △BCD =BC×CD×sin 30°=,≤13×13×PD ×PB ×sin30°BD ×12×16×x (23-x )1+(x -3)2令=t ∈[1,2],则V P-BCD ,即V P-BCD 的1+(x -3)2≤4-t 26t ≤12(易知f (t )=4-t 26t 在[1,2]上单调递减)最大值为12.14.2 解析 ∵S n =na 1+d ,=a 1+d ,n (n -1)2∴S n n n -12 d.∴S 55‒S 22=(a 1+5-12d )‒(a 1+2-12d )=32又=3,∴d=2.S 55‒S 22。
【配套K12】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练15 立体几何中的向量
天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练15 立体几何中的向量](https://img.taocdn.com/s3/m/90f99961e518964bcf847c4d.png)
专题能力训练15 立体几何中的向量方法一、能力突破训练1.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.2.(2018北京,理16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.6.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.二、思维提升训练7.如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,现将梯形ABCD沿OB折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=,E是线段PB上一动点.(1)证明:DE和PC不可能垂直;(2)当PE=2BE时,求PD与平面CDE所成角的正弦值.8.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证:PB∥平面EFG.(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.专题能力训练15立体几何中的向量方法一、能力突破训练1.解依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得n1=0,又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos<,n2>==-,于是sin<,n2>=所以,二面角O-EF-C的正弦值为(3)由AH=HF,得AH=AF.因为=(1,-1,2),所以,进而有H,从而,因此cos<,n2>==-所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为2.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF.∵AB=BC,∴AC⊥BE,∴AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.∵BE⊂平面ABC,∴EF⊥BE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),则令a=2,则b=-1,c=-4,∴平面BCD的法向量n=(2,-1,-4).又平面CDC1的法向量为=(0,2,0),∴cos<n,>==-由图可得二面角B-CD-C1为钝角,∴二面角B-CD-C1的余弦值为-(3)证明平面BCD的法向量为n=(2,-1,-4),∵G(0,2,1),F(0,0,2),=(0,-2,1),∴n=-2,∴n与不垂直,∴FG与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴FG与平面BCD相交.3.解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)解法一:取的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM==2在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.解法二:以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.由可得取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.由可得取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).所以cos<m,n>=因此所求的角为60°.4.解以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(a,0,1),(1)证明:=-0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,∴n,n,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=要使DP∥平面B1AE,只要n,有-az0=0,解得z0=又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=5.(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.(2)解取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).所以cos<n,p>=由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为(3)解由题意知M,C(2,4,0),设直线MC与平面BDP所成角为α,则sin α=|cos<n,>|=所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为6.(1)证明因为AB是直径,所以BC⊥AC.因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥BC.因为CD∩AC=C,所以BC⊥平面ACD.因为CD∥BE,CD=BE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以BC∥DE,所以DE⊥平面ACD.因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD. (2)解依题意,EB=AB×tan∠EAB=4=1.由(1)知V C-ADE=V E-ACD=S△ACD×DE=AC×CD×DE=AC×BC(AC2+BC2)=AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立.如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),则=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1).设平面DAE的法向量为n1=(x,y,z),则取n1=(1,0,2).设平面ABE的法向量为n2=(x,y,z),则取n2=(1,1,0),所以cos<n1,n2>=可以判断<n1,n2>与二面角D-AE-B的平面角互补,所以二面角D-AE-B的余弦值为-二、思维提升训练7.解如题图甲所示,因为BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,所以AO=OB.因为BC=1,OD=3OA,可得OD=3,OC=,如题图乙所示,OP=OA=1,OC=,PC=,所以有OP2+OC2=PC2.所以OP⊥OC.而OB⊥OP,OB⊥OD,即OB,OD,OP两两垂直,故以O为原点,建立空间直角坐标系(如图),则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,3,0),(1)证明:设E(x,0,1-x),其中0≤x≤1,所以=(x,-3,1-x),=(1,1,-1).假设DE和PC垂直,则=0,有x-3+(1-x)·(-1)=0,解得x=2,这与0≤x≤1矛盾,假设不成立,所以DE和PC不可能垂直.(2)因为PE=2BE,所以E设平面CDE的一个法向量是n=(x,y,z),因为=(-1,2,0),,所以n=0,n=0,即令y=1,则n=(2,1,5),而=(0,3,-1),所以|cos <,n>|=所以PD与平面CDE所成角的正弦值为8.解∵平面PAD⊥平面ABCD,且∠PAD=90°,∴PA⊥平面ABCD,而四边形ABCD是正方形,即AB⊥AD.故可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).(1)证明:=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),设=s+t,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),解得s=t=2,=2+2又不共线,共面.∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.(2)=(1,2,-1),=(-2,2,0),=(1,2,-1)·(-2,2,0)=1×(-2)+2×2+(-1)×0=2.又∵||=,||==2,∴cos<>=因此,异面直线EG与BD所成的角的余弦值为(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件,令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m,∴点Q的坐标为(2-m,2,0),=(2-m,2,-1).而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,0,2-m),∴点A到平面EFQ的距离d=,即(2-m)2=,∴m=或m=(不合题意,舍去),故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为。
【配套K12】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练5 基本初等函数、函数
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专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x sin xC.f(x)=D.f(x)=2.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a3.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()4.函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-B.-C.-D.-6.(2018全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.507.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .8.若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是.10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于.11.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .12.若不等式3x2-log a x<0在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练13.函数y=的图象大致为()14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若f(-5)<f(2),则a的取值范围为()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(2,+∞)15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为.18.若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+219.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.A解析函数f(x)=在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.A解析∵b==20.8<21.2=a,且b>1,又c=2log52=log54<1,∴c<b<a.3.D解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.4.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].5.A解析∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-6.C解析∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.42解析设log b a=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+,解得t=2,则a=b2.由a b=b a,得b2b=,即得2b=b2,即b=2,∴a=4.8.1解析∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.9解析由题意知a>0,又lo a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(lo a).∵f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a10.-解析根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-,所以f(3)+f=0+=-11.2解析f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解由题意知3x2<log a x在x内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=log a x的图象.观察两函数图象,当x时,若a>1,函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=log a x的图象必须过点或在这个点的上方,则log a,所以a,所以a<1.综上,实数a的取值范围为a<1.二、思维提升训练13.D解析y=为奇函数,排除A项;y=cos 6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧附近时,可保证2x-2-x>0,cos 6x>0,则此时y>0,故选D.14.B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)<f(2)可化为f(5)<f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B.15.B解析由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称.则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(x i,y i),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,所以(x i+y i)=x i+y i=0+2=m.16解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<故答案为17.-10解析∵f=f,∴f=f,=-a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.19.解 (1)∵f(x)=e x-,且y=e x是增函数,y=-是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又对一切x∈R恒成立,0,∴t=-即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.。
配套K12(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练6 函数与方程及函数的应用 理
专题能力训练6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.f(x)=-+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-B.f(x)=-x2+x-C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和am(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是()4.已知M是函数f(x)=e-2|x-1|+2sin在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M的值为()A.4B.6C.8D.105.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=ln x+2,则函数y=f(x)在区间(-2,4]上的零点个数是()A.7B.8C.9D.106.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos在[0,π]上的零点个数为.7.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.二、思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m,n,则m+n=()A.18B.16C.14D.1212.已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?专题能力训练6函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.B解析由题意得f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=>0,所以f(x)=-+log2x的零点落在区间(1,2)内.2.C解析依题意得g-2<0,g=1>0,则x2若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|>,因此选C.3.B解析设AD长为x cm,则CD长为(16-x)cm,又因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,则矩形ABCD的面积S=x(16-x).当0<a≤8时,当且仅当x=8时,S=64,当8<a<12时,S=a(16-a),即f(a)=画出分段函数图形可得其形状与选项B接近,故选B.4.C解析因为f(x)=e-2|x-1|+2sin=e-2|x-1|-2cos πx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cos πx∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cos πx 有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.C解析由函数f(x)是奇函数且满足f(2-x)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2k(k∈Z)成轴对称,关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称.当0<x≤1时,令f(x)=ln x+2=0,得x=,由此得y=f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,2,2+,-+4,4,共9个零点.故选C.6.3解析令f(x)=cos=0,得3x++kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z.则在[0,π]的零点有故有3个.7.f(a)<f(1)<f(b)解析由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=+1>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).8.520解析设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=整理,得y=∵0.9×200=180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款520元.9.解 (1)g(x)=+2=+2,因为|x|≥0,所以0<1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x--2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x--2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±因为2x>0,所以2x=1+,即x=log2(1+).10.解 (1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c时,y是关于v的减函数.故当v=10时,y min=20-②当<c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v=c时,y min=二、思维提升训练11.A解析由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A.12.A解析因为f(x)=所以f(2-x)=f(2-x)=f(x)+f(2-x)=所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.(1)-1(2)[2,+∞)解析 (1)当a=1时,f(x)=当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.(2)若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1.若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为[2,+∞).14.解 (1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.故W=(2)①当0<x≤10时,由W'=8.1-=0,得x=9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x=9时,W取得最大值,即W max=8.1×9-93-10=38.6.②当x>10时,W=98-98-2=38,当且仅当=2.7x,即x=时,W取得最大值38.综合①②知:当x=9时,W取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解 (1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000-sq(q≥0).因为w=2 000-sq=-s,所以当q=时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q= t.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=又v'=-,令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最大净收入.。
【配套K12】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 题型练4 大题专项(二)数列的通项
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题型练4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解 (1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+d=,∴b n=(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,由c n=解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)故b n-b n-1=(4n-5),n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.设T n=3+7+11+…+(4n-5),n≥2,T n=3+7+…+(4n-9)+(4n-5),所以T n=3+4+4+…+4-(4n-5),因此T n=14-(4n+3),n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)4.解 (1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)+22n+1,∴T n=+…+(22n+3-8)=5.证明 (1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n--a1)a1>0.2)…(1由0<a n,得[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n, 因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 含答案 5
题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.(2018北京,理17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.(2018天津,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=-(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)==0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;第二类电影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;第四类电影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;第五类电影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=-(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=-;P(X=20)=-;P(X=100)=-;P(X=-200)=-所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505 g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505 g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505 g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.308 7.。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 4
题型练4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足(1-q )S n +qa n =1,且q (q-1)≠0.(1)求{a n }的通项公式;(2)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.2.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d=1,前n 项和为S n ,b n =.1S n (1)求数列{b n }的通项公式;(2)设数列{b n }前n 项和为T n ,求T n .3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是,且12a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)求数列的前n 项和T n .{1a n a n +1+1b n b n +1}5.已知数列{a n }满足a 1=,且a n+1=a n -(n ∈N *).12a 2n (1)证明:1≤≤2(n ∈N *);a n a n +1(2)设数列{}的前n 项和为S n ,证明:(n ∈N *).a 2n 12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-=1的离心率为e n ,且e 2=,证明:e 1+e 2+…+e n >.y 2a 2n 534n -3n3n -1题型练4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解 当n=1时,由(1-q )S 1+qa 1=1,a 1=1.当n ≥2时,由(1-q )S n +qa n =1,得(1-q )S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n =qa n-1.又q (q-1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,故a n =q n-1.(2)证明 由(1)可知S n =,又S 3+S 6=2S 9,1-a n q 1-q 所以,1-a 3q 1-q +1-a 6q 1-q =2(1-a 9q )1-q 化简,得a 3+a 6=2a 9,两边同除以q ,得a 2+a 5=2a 8.故a 2,a 8,a 5成等差数列.2.解 (1)∵在等差数列{a n }中,a 1=1,公差d=1,∴S n =na 1+d=,∴b n =n (n -1)2n 2+n 22n 2+n.(2)b n ==2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+…+2n 2+n =2n (n +1)(1n -1n +1)[11×2+12×3+13×41n (n +1)]=2+…+=2故T n =(1-12+12‒13+13‒141n ‒1n +1)(1-1n +1)=2n n +1.2n n +1.3.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4,所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8=20,(q +1q )解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.12(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n ,由c n =解得c n =4n-1.{S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,由(1)可知a n =2n-1,所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1.故b n -b n-1=(4n-5),n ≥2,·(12)n -2b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1)=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.·(12)n -2·(12)n -3·12设T n =3+7+11+…+(4n-5),n ≥2,·12·(12)2·(12)n -2T n =3+7+…+(4n-9)+(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1所以T n =3+4+4+…+4-(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1因此T n =14-(4n+3),n ≥2,·(12)n -2又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.4.解 (1)设{a n }公差为d ,由题意得解得故a n =3n-1,b n ={a 1+2d =8,a 1+2q =3,a 1+d +2q =6,{a 1=2,d =3,q =12,(12)n .(2)+22n+1,∵1a n a n +1+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)∴T n =+…+(22n+3-8)=13[(12-15)+(15-18)(13n -1-13n +2)]+8(1-4n )1-4=13(12-13n +2)+1313(22n +3-13n +2)‒52.5.证明 (1)由题意得a n+1-a n =-0,即a n+1≤a n ,故a n 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 2n≤≤12.a 1)a 1>0.由0<a n ,得[1,2],≤12a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈即12.≤a n a n +1≤(2)由题意得=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1.①a 2n 由和12,得12,所以n 2n ,1a n +1‒1a n =a n a n +1≤a n a n +1≤≤1a n +1‒1a n ≤≤1a n +1‒1a 1≤因此a n+1(n ∈N *).②12(n +1)≤≤1n +2由①②得(n ∈N *).12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.(1)解 由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-=1的离心率e n =y 2a 2n1+a 2n =1+q 2(n -1).由e 2=,解得q=1+q 2=5343.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以>q k-1(k ∈N *).1+q 2(k -1)于是e 1+e 2+…+e n>1+q+…+q n-1=,q n -1q -1故e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.。
【配套K12】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 综合能力训练 理
天津市2019年高考数学二轮复习 综合能力训练 理](https://img.taocdn.com/s3/m/6eaff683dd3383c4bb4cd2fe.png)
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1, ∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+, 故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。
【配套K12】[学习](新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练8 利用导数解不等式及
天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练8 利用导数解不等式及](https://img.taocdn.com/s3/m/24db0a51a26925c52cc5bf94.png)
专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a 的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>2.解 (1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-3.解 (1)∵f(x)=ax+x ln x,∴f'(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+x ln x,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n,∴ln n mn+ln m m>ln m mn+ln n n.整理,得ln(mn n)m>ln(nm m)n.∴(mn n)m>(nm m)n,4.解 (1)f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.则s'(x)=e x-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a5.解 (1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即a ln x+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x∈[1,e]知x-ln x>0,因而a设y=,则y'=∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥y min=-,即实数a的取值范围是(2)当a=1时,f(x)=ln x.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=x2-x ln x(x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.因此,记h(x)=,得h'(x)=∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-当0<a<时,g(x)在区间内单调递增, 在区间内单调递减;当a时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2=0,解得a=令φ(x)=-2ln x+x2-2x-2则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解 (1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).(2)f(x0)-f+ax0+1--a-1=+a=+a+x0+(4+14x0+7+12a).精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 若存在x,使得f (x 0)=f ,则4+14x 0+7+12a=0在内有解. 由a<0,得Δ=142-16(7+12a )=4(21-48a )>0,故方程4+14x 0+7+12a=0的两根为x 1'=,x'2= 由x 0>0,得x 0=x'2=,依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-, 又由得a=-,故要使满足题意的x 0存在,则a ≠-综上,当a 时,存在唯一的x满足f (x 0)=f ,当a时,不存在x0满足f (x 0)=f。
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题型练7 大题专项(五)解析几何综
合问题
1.(2018天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.
3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点
H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
4.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.
5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
6.
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
题型练7大题专项(五)
解析几何综合问题
1.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|= b.
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,
故|AQ|=y2.
由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=
所以,k的值为
2.解 (1)由题意得解得a=2,b=1.
故椭圆C的方程是+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=Δ>0⇒4k2+1>t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k2+kt+t2=
因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.
因为x1x2+y1y2==0,
所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>
又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=
因为直线PD与直线l垂直,
所以k PD=-,得
由解得
当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
3.解 (1)设F(c,0),由,
即,可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(x B,y B),由方程组
消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=,
由题意得x B=,从而y B=
由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),
由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=因此直线MH的方程为y=-x+
设M(x M,y M),由方程组消去y,
解得x M=
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,
即(x M-2)2+,化简得x M≥1,即1,解得k≤-,或k
所以,直线l的斜率的取值范围为
4.(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0<k<1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知x1+x2=-,x1x2=
直线PA的方程为y-2=(x-1).
令x=0,得点M的纵坐标为y M=+2=+2.
同理得点N的纵坐标为y N=+2.
由==,
得λ=1-y M,μ=1-y N.
所以
=
==2.
所以为定值.
5.解由题知F
设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,R
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=
由题设可得2|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.
6.解 (1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,
所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.
当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.
当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为
因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,
从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①
直线l2的方程:y=-(x-1).②
由①②,解得x=-x0,y=,
所以Q
小学+初中+高中+努力=大学
因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.
又P在椭圆E上,故=1.
由解得x0=,y0=无解.
因此点P 的坐标为
小学+初中+高中+努力=大学。